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参数估计理论与应用(第三章)剖析

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参数估计知识点总结

参数估计知识点总结

参数估计知识点总结一、参数估计的基本概念参数估计是统计学中的一个重要问题，它是指从样本数据中估计总体参数的值。

在实际问题中，我们往往对总体的某个特征感兴趣，比如总体的均值、方差等，而这些特征通常是未知的。

参数估计就是利用样本数据来估计这些未知的总体参数值的方法。

在参数估计中，有两种主要的估计方法：点估计和区间估计。

点估计是指利用样本数据来估计总体参数的一个具体值，它通常用一个统计量来表示。

而区间估计则是利用样本数据来估计总体参数的一个区间范围，通常用一个区间来表示。

二、点估计点估计是参数估计中的一种方法，它是利用样本数据来估计总体参数的一个具体值。

在点估计中，我们通常使用一个统计量来表示参数的估计值，这个统计量通常是样本数据的函数。

1. 无偏估计无偏估计是指估计量的期望值等于所估计的总体参数的真实值。

对于一个无偏估计而言，平均来说，估计值和真实值是相等的。

无偏估计是统计学中一个很重要的性质，在实际问题中，我们希望能够得到一个无偏估计。

2. 一致估计一致估计是指当样本大小趋于无穷时，估计量收敛于真实参数的概率接近于1。

一致性是估计量的另一个重要性质，它保证了在样本较大的情况下，估计值能够越来越接近真实值。

3. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是利用样本数据来选择最有可能产生观测数据的参数值。

最大似然估计的原理是选择一个参数值，使得样本数据出现的概率最大。

最大似然估计的优点在于它的统计性质良好，且通常具有较好的渐近性质。

4. 贝叶斯估计贝叶斯估计是另一种常用的参数估计方法，它是基于贝叶斯定理的一种参数估计方法。

贝叶斯估计将参数视为随机变量，通过引入先验分布和后验分布来对参数进行估计。

贝叶斯估计的优点在于它能够利用先验知识对参数进行更为准确的估计。

三、区间估计区间估计是另一种常用的参数估计方法，它是利用样本数据来估计总体参数的一个区间范围。

区间估计的优点在于它能够提供参数值的估计范围，同时也能够反映估计的不确定性。

第3章参数估计理论讲解

第3章参数估计理论讲解

第3章 参数估计理论参数估计的基本方法：点估计，区间估计点估计：以样本的某一函数值作为总体中未知参数的估计值。

区间估计：把总体中的参数确定在某一区间内。

第1节 点估计点估计就是以样本的某一函数值作为总体中未知参数的估计值。

设θ是总体X 的待估参数，用样本12,,,n X X X 构造一个合适的统计量12(,,,)n T X X X 来估计参数θ，通常记为ˆθ，即12ˆ=(,,,)n T X X X θ，称为参数θ的估计量。

对样本的一组观测值12(,,,)n x x x ，统计量T 的值12ˆ=(,,,)n T x x x θ称为参数θ的估计值。

点估计的问题就是要找一个作为待估参数θ的估计量12(,,,)n T X X X 的问题。

点估计的方法：数字特征法（矩估计法）、极大似然估计法、Bayes 估计法、最小二乘法等等。

第2节 矩估计法矩估计法由英国统计学家K.Person 在20世纪初提出，基本思想就是用样本矩去估计相应的总体矩。

理论依据是大数定律。

例1 设总体X 服从参数为θ的指数分布，即11,0(,)0,0x e x f x x θθθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，求参数θ的矩估计量。

例2 设总体2~(,)X N μσ，12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，求参数2,μσ的矩估计量。

例3 设总体2~(0,)X N σ，12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，求参数2σ的矩估计量。

例4 设总体~(,)X U a b ，12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，求参数,a b 的矩估计量。

ˆˆ=a X b X =+ 例5 设总体~()X P λ，12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，求参数λ的矩估计量。

第3节 极大似然估计法极大似然估计法最初由德国数学家C.F.Gauss 于1821年提出，英国统计学家R.A.Fisher 于1922年再次提出极大似然的思想，并探讨了它的性质。

参数估计方法与实例例题和知识点总结

参数估计方法与实例例题和知识点总结

参数估计方法与实例例题和知识点总结在统计学中，参数估计是一项重要的任务，它帮助我们通过样本数据来推断总体的特征。

这一过程对于做出合理的决策、进行科学研究以及解决实际问题都具有关键意义。

接下来，让我们深入探讨参数估计的方法，并通过实例例题来加深理解，同时对相关知识点进行总结。

一、参数估计的基本概念参数估计，简单来说，就是根据样本数据对总体参数进行推测和估计。

总体参数是描述总体特征的数值，例如总体均值、总体方差等。

而我们通过抽样得到的样本数据则是进行参数估计的基础。

二、参数估计的方法（一）点估计点估计是用一个数值来估计总体参数。

常见的点估计方法有矩估计法和极大似然估计法。

矩估计法的基本思想是利用样本矩来估计总体矩，从而得到总体参数的估计值。

例如，对于正态分布，我们可以用样本均值来估计总体均值，用样本二阶中心矩来估计总体方差。

极大似然估计法则是基于这样的思想：在给定样本观测值的情况下，找到使样本出现的概率最大的总体参数值。

（二）区间估计区间估计是给出一个区间，认为总体参数有一定的概率落在这个区间内。

常用的区间估计有置信区间。

置信区间的构建基于样本统计量的分布，以及给定的置信水平。

例如，对于总体均值的估计，我们可以构建一个置信水平为 95%的置信区间。

三、实例例题假设我们对某工厂生产的灯泡寿命进行抽样调查。

抽取了 50 个灯泡，其寿命的样本均值为 1000 小时，样本标准差为 100 小时。

（一）点估计我们可以用样本均值 1000 小时作为总体均值的点估计值。

（二）区间估计若要构建 95%的置信区间，由于样本量较大，我们可以使用正态分布近似。

标准正态分布的 95%置信区间对应的 z 值约为 196。

则总体均值的 95%置信区间为：＼＼begin{align}＆1000 196 ＼times ＼frac{100}｛＼sqrt{50}｝＼＼＆1000 ＋ 196 ＼times ＼frac{100}｛＼sqrt{50}｝＼end{align}＼计算可得置信区间约为（9608，10392）。

参数估计理论与应用(第三章).

参数估计理论与应用(第三章).

Fisher 信息 Fisher 信息用J（θ）表示，定义为
J ( )
E{[
ln
p(x
| ]2}
E[
2
2
ln
p(x
| )]
（3.1.1）
2020/8/21
的标准之一。例如，如果
2 (ˆ1) 2 (ˆ2 )
则ˆ 1的值比ˆ 2 的值更密集地聚集在真值θ的附近。通常将方 差（或协方差阵）在所有的无偏估计量中达到最小的 ˆ 称为 有效估计量。
例3-2 设x1,…,xN 是N个独立观测样本，若被估计参数
2020/8/21
第三章 参数估计理论与应用
θ=E[x]，则对任何满足
2020/8/21
第三章 参数估计理论与应用
lim
N
E[
Rˆ2
(
)]
Rx
(
)
渐进无偏估计量 Rˆ 2(τ)是半正定的，而无偏估计量 Rˆ 1(τ)却 不一定是半正定的，故 Rˆ2(τ)的使用场合较多。
（2）有效性 如果ˆ1 和ˆ 2 是两个根据N个独立观测样 本得到的无偏估计量，无疑地，对θ 的平均偏差较小是选择
3.1 参数估计的评价准则
参数估计是通过样本去估计总体的某些数字特征或统计量。任何一 个统计量都可作为参数的估计量，但其效果的优劣有所差别。
3.1.1 无偏性、有效性与相容性
（1）无偏性 设样本的总体分布密度函数为 p(x;θ), θ 是未知参数。从总体中抽取容量为 N 的样本 x={x1, …, xN }, 用样本的估计量 ˆ 来估计θ，如果希望多次估计中，平均 的估计值没有偏差，即
x
作为θ的估计量，对该估计量取期望值，有
E[ˆ] E[
1 N

高考数学知识点解析参数估计的方法与性质

高考数学知识点解析参数估计的方法与性质

高考数学知识点解析参数估计的方法与性质高考数学知识点解析：参数估计的方法与性质在高考数学中，参数估计是一个重要的知识点，它在统计学和概率论中有着广泛的应用。

理解和掌握参数估计的方法与性质，对于解决相关的数学问题以及在实际生活中的数据分析都具有重要意义。

一、参数估计的基本概念参数估计是指从样本数据中估计总体参数的值。

总体参数是描述总体特征的数值，例如总体均值、总体方差等。

而样本则是从总体中抽取的一部分数据。

通过对样本数据的分析和处理，我们试图推测出总体参数的大致范围或准确值。

二、参数估计的方法1、点估计点估计是用一个具体的数值来估计总体参数。

常见的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。

（1）矩估计法矩估计法的基本思想是利用样本矩来估计总体矩，从而得到总体参数的估计值。

例如，对于总体均值的估计，可以用样本均值来代替；对于总体方差的估计，可以用样本方差来代替。

（2）最大似然估计法最大似然估计法是基于样本出现的概率最大的原则来估计参数。

假设总体服从某种分布，通过求解使得样本出现概率最大的参数值，即为最大似然估计值。

2、区间估计区间估计则是给出一个区间，认为总体参数落在这个区间内的可能性较大。

这个区间被称为置信区间，而与之对应的概率称为置信水平。

三、参数估计的性质1、无偏性如果一个估计量的期望值等于被估计的参数，那么这个估计量就是无偏估计量。

无偏性意味着在多次重复抽样和估计的过程中，估计量的平均值会趋近于真实参数值。

2、有效性在多个无偏估计量中，方差越小的估计量越有效。

有效性反映了估计量的精度，方差小表示估计值的波动较小，更接近真实值。

3、一致性当样本容量无限增大时，如果估计量的值越来越接近被估计的参数，那么这个估计量就是一致估计量。

一致性保证了在样本量足够大时，估计量能够准确地反映总体参数。

四、参数估计在实际问题中的应用1、质量控制在生产过程中，通过对样本产品的检测和参数估计，可以推断出整批产品的质量情况，从而决定是否需要调整生产流程。

参数估计方法及其应用

参数估计方法及其应用

参数估计方法及其应用参数估计是统计学中的一个重要概念，它指的是通过对样本数据的分析和统计推断，来对总体的一些未知参数进行估计。

常见的参数估计方法包括最大似然估计、贝叶斯估计和矩估计等。

最大似然估计是一种常用的参数估计方法。

它的核心思想是在给定数据的条件下，选择能使观测样本出现概率最大的参数值作为估计值。

具体过程是建立似然函数，通过最大化似然函数来得到参数的估计值。

最大似然估计方法简单直观，适用于大样本情况下的参数估计，广泛应用于一般统计推断、回归分析、生存分析等领域。

贝叶斯估计是另一种常用的参数估计方法，它是基于贝叶斯定理而提出的。

贝叶斯估计通过结合主观先验信息和样本数据，得到后验概率分布，从而对未知参数进行估计。

与最大似然估计相比，贝叶斯估计方法更加灵活，能够处理小样本、少数据情况下的参数估计。

贝叶斯估计在贝叶斯统计推断、医学诊断、决策分析等领域有广泛应用。

矩估计是一种基于矩的参数估计方法。

矩估计的基本思想是通过样本矩与理论矩的对应关系，建立矩方程组并求解参数。

具体过程是根据样本矩的计算公式，将理论矩与样本矩相等，得到参数的估计值。

矩估计方法简单易行，适用于大样本和小样本情况，广泛应用于生物学、社会科学等领域。

不同的参数估计方法适用于不同的情况和问题。

最大似然估计适用于大样本情况下，可以得到渐近无偏且有效的估计量；贝叶斯估计适用于小样本情况和需要主观先验信息的估计问题；矩估计适用于样本矩存在可计算公式的情况下的参数估计。

此外，还有其他一些参数估计方法，如偏最小二乘估计、缩小估计等。

除了以上常见的参数估计方法，实际应用中也可以根据具体情况发展新的估计方法。

例如，针对数据存在缺失的情况，可以采用最大似然估计的EM算法；对于非参数估计问题，可以使用核密度估计、经验贝叶斯方法等。

不同的参数估计方法有不同的优势和适用范围，选择合适的方法对于得到准确的参数估计结果是非常重要的。

总之，参数估计是统计学中的重要概念，通过对样本数据的分析和统计推断，来对总体的一些未知参数进行估计。

第三讲参数估计共73页

第三讲参数估计共73页

总体 未知 参数
主要样本 平均数 比例（成数） 方差
统计量
06.04.2020
x
p
商学院 李丽明
S2 8
1、样本均值的抽样分布
_
x 用样本均值 对总体均值 进行推断 是最常用的统计方法。其过程如下图表
示：
总体均值 =？
从总体中选取几项组 成一个简单的随机总体
_
x的值对 值进行推断
对样本数据的汇_ 总提
x
商学院 李丽明
X
12
第二节 参数估计基本方法
估计方法
点估计
矩估计法 顺序统计量法 最大似然法 最小二乘法
区间估计
06.04.2020
商学院 李丽明
13
点估计
（概念要点）
1、从总体中抽取一个样本，根据该样本的统 计量对总体的未知参数作出一个数值点的 估计。
例如: 用样本均值作为总体未知均值的估计值就是 一个点估计。
供了样本均值 x 的值
06.04.2020
商学院 李丽明
9
样本均值的抽样分布
在该过程的每一次重复中，我们得到了不同样
本均值
_
x
的值。样本均值
_
x 所有可能值的概率
分布就称为样本均值的抽样分布。例如某市中
10岁儿童有10万人，为了研究10万儿童的平均
身高，从中抽取20名10岁儿童组成样本进行观
Hale Waihona Puke 察，如果把全部可能的样本 一一抽出，并计算
题； 3.得到的结论是否有实际意义； 4.统计推断结论正确与否，与我们对总体
的了解有关；
06.04.2020
商学院 李丽明
4
第一节 统计推断的基本概念

3参数估计

3参数估计
65% 9.35%
55.65%,74.35%
故该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%～74.35%
24
3.3.5区间估计的SPSS应用
正态分布的区间估计
Analyze→Descriptive Statistics→Explore→Statistics
输出均数、中位数、众数、标准误、方差等
0
有，lim n
P(|
ˆn
| )
0
5
有效性
设 ˆ1 ˆ1(X1,..., X n )和 ˆ2 ˆ2 (X1,..., X n ) 都是参数的无偏估计
量，若对任意 ，D(ˆ1) D(ˆ2 ) ，且至少对于某个
上式中的不等号成立，则称 ˆ1 较 ˆ2 有效
注意：
无偏性、有效性、一致性之间并没有必然的联系。如无偏的未必 有效
某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100个 下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城 市下岗职工中女性比例的置信区间。
解：已知n=100，p＝65%，1- =95%， 2 =1.96
p z 2
p(1 p) n
65% 1.96 65%(1 65%) 100
可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件 下尽可能提高精度
15
3.3.2总体方差σ2已知时，总体均值μ的估计
X ~ N , 2 ，x1, x2,, xn为来自总体的样本
样本均值 x 服从数学期望为μ、方差为 2/n的正态分布，
x ~ N , 2 n
当 2已知时
U x ~ N 0,1
最大似然的思想
选择适当的 ˆ，使 L( ) 取得最大值，即
L(x1, x2, , xn,ˆ) max{f(x1,)f(x2,) f(xn,)}

应用数理统计与随机过程 第3章 参数估计

应用数理统计与随机过程 第3章 参数估计
样本矩.通常选 X作为参数 的矩估计量. (2)设总体 X ~ U (1 ,2 ),1 2且都是未知参数，可得
ˆ1 X 3U2 ,ˆ2 X 3U2 .
3.1 参数的点估计 矩估计的优点
直接，简便。 对总体的方差和均值进行估计时，并不需要知道 总体的分布。 矩估计的缺点
（1）对原点矩不存在的总体不适用。 （2）未充分利用分布信息。
的最大似然估计值.
解 概率函数
p( x ; ) x e , x 0 ,1 , 2 , .
x!
构造似然函数为
n
L( )
n
xi
(
e )
i1 xi !
xi
i1
n
en .
( xi !)
i 1
3.1 参数的点估计
取对数，得
n
L( )
xi
e i1
n
n
( xi !).
i 1
n
n
ln L( ) ( xi )ln ln( xi !) n .
i 1
i 1
由极值条件
d ln L( ) 1 n
d i1 xi n 0 .
由此解得 的最大似然估计值为
ˆ
1 n
n i 1
xi
x.
3.1 参数的点估计
例3.4 设总体 X ~ N (, 2 ), , 2为未知参数 , x1 , x2 , , xn 是来自X 的一个样本值 , 求 和 2 的最
3.1 参数的点估计
(2) 总体 X属连续型
设概率密度为 f ( x; ), 为待估参数 , , 是 可能的取值范围 .
设 x1 , x2 , , xn 为相应于样本 X1 , X 2 , , X n 的一个样本值 .

《统计学》第3章 参数估计

《统计学》第3章 参数估计

【例3.5】假定在一个箱子里放着黑、白两 种球共4只，且知道这两种球的数目之比为 1∶3，但不知道究竟哪一种颜色的球多。
设黑球所占的比例为P，由上述假定推知P仅 可能取1/4和3/4这两个值，现在采用有放 回抽样的方法，从箱子中随机地抽取三个 球，观察到球的颜色为黑、白、黑，你会 对箱子中的黑球数作出什么推断呢？即你 认为P的值是1/4，还是3/4？
或 为似然方程组。
ln L(1 , 2 ,, n ) 0 j
解得。上面方程组称
[注意] 上面的讨论中，我们没有提到似函 数 L( ) 取极大值的充分条件，对于具体的 函数可作验证。
【例3.6】设总体X服从参数为 的泊松分 布，求参数 的极大似然估计量。
解 设 X1，X2，X3，……，Xn 是来自 X 的样 本，
【例5.2】设X1，X2，……，Xn是取自总 体X的样本，已知X的概率密度为：
X 1 , 0 X 1 f ( X , ) 其他 0,
( 1)
试用矩估计法估计总体参数 。 解: 由于 E ( X ) xf ( X , )dx 1 样本均值为 X ，令E（X）= X ，得: X ,
又 ∵
1 1 n n ，即 ( 2 1 ) ( x( n) x(1) )
L(1,2 ) L( x(1) , x(n) )
∴ 1 , 2 的极大似然估计量分别为 x(1) , x(n) 。
三、估计量的优良标准
在对总体参数做出估计时并非所有的估计量 都是优良的，从而产生了评价估计量是否 优良的标准。对于点估计量来说，一个好 的估计量有如下三个标准：
(x
i 1 n
n
i
) 0 )

信号检测与估计理论(3)第三章 克拉美-罗下限

信号检测与估计理论(3)第三章 克拉美-罗下限

假设信号是正弦信号，s[n; f0 ] = Acos(2π f0n + φ)
0<
f0
<
1 2
其幅值和相位已知，估计 f 0 的CRLB。根据式（3-14）有
var( fˆ0 ) ≥ N −1
σ2
∑ A2 [2π n sin(2π f0 + φ )]2
n=0
（3-15）
图3-3给出了CRLB与频率的关系，这里信噪比SN为 A2 σ 2 = 1，
Aˆ = x[0] 是一个无偏估计，且方差为 σ 2，因此，随 着 σ 2的减少，估计的准确性得到提高。
3.1 估计的准确性
对于2个不同方差的PDF，它们是给定x[0]下的关 于A的函数。
pi ( x[0]; A) =
1
2πσ
2 i
exp ⎡⎢− ⎣
1
2σ
2 i
(x[0] −
A)
2
⎤ ⎥
⎦
i=(1 2) (3-1)
3-1（a）范围宽。
3.1 估计的准确性
对于给定的x，PDF看作未知参量的函数时，PDF称为似然函 数。图3-1中可以看出似然函数的锐度（sharpness）决定着估 计的精度。
为了证明这一点，用峰值处的2阶导数的负数来有效地测量这 个锐度。这就是似然函数的曲率。我们考虑图3-1中的PDF的自 然对数
var(θˆ) ≥
1
−
E
⎡ ⎢⎣
∂
2
ln p(x;θ ∂θ 2
)
⎤ ⎥⎦
(3-6)
3.2 克拉美-罗下界（CRLB）
这里导数值是真值 θ 下的值。对所有可能
的 θ ，对于某个函数g和I，当且仅当

统计学：3-参数估计

统计学：3-参数估计
8. 置信水平只是告诉我们在多次估计得到的区间中大概 有多少个区间包含了参数的真值，而不是针对所抽取 的这个样本所构建的区间而言的
5 - 14
2008年8月
3.统1 计参学数估计的基本原理
三ST、(A第T三I区S版TI间C) S估计——置信区间的表述 (confidence interval)
点估计值
10. 实际应用中，过宽的区间往往没有实际意义
比如，天气预报说“在一年内会下一场雨”，虽然这很 有把握，但有什么意义呢？另一方面，要求过于准确(过 窄)的区间同样不一定有意义，因为过窄的区间虽然看上 去很准确，但把握性就会降低，除非无限制增加样本量， 而现实中样本量总是有限的
5 - 16
2008年8月
总体分布 样本量
2已知 2未知
正态分布 大样本 n≧30
正态分布 小样本
n˂30 非正态分布 大样本
n≧30
x Z
2
n
x Z
2
n
x Z
2
n
x Z
2
s n
x t (n 1)
2
s n
x Z
2
s n
5 - 19
2008年8月
3.统2 计一学个总体参数的区间估计
STATISTICS (第三版)
3.2 一个总体参数的区间估计
一、 总体均值的区间估计 二、 总体比例的区间估计 三、 总体方差的区间估计
3.统2 计一学个总体参数的区间估计
STATISTICS (第三版)
总体参数 均值 比例 方差
5 - 18
符号表示
2
样本统计量
x p s2
2008年8月
统计学 一个总体均值的区间估计

第三章 概率密度函数的参数估计

第三章 概率密度函数的参数估计

均值的后验概率
均值的后验概率仍满足正态分布，其中：
1 n n = ∑ xi n i =1
2 nσ 0 σ2 n = 2 + 2 0 2 n 2 nσ 0 + σ nσ 0 + σ
σ σ σ = nσ + σ 2
2 n 2 0 2 0 2
均值分布的变化
类条件概率密度的计算
p ( x D) = ∫ p ( x ) p ( D) d
模型在时刻t处于状态wj的概率完全由t-1时刻 的状态wi决定，而且与时刻t无关，即：
P w(t ) W
(
T
) = P ( w ( t ) w ( t 1))
P w ( t ) = ω j w ( t 1) = ωi = aij
(
)
Markov模型的初始状态概率 模型的初始状态概率
模型初始于状态wi的概率用 π i 表示。 完整的一阶Markov模型可以用参数 θ = ( π, A ) 表示，其中：
3.0 引言
贝叶斯分类器中最主要的问题是类条件概 率密度函数的估计。 问题可以表示为：已有c个类别的训练样 本集合D1，D2，…，Dc，求取每个类别的 类条件概率密度 p ( x ωi ) 。
概率密度函数的估计方法
参数估计方法：预先假设每一个类别的概 率密度函数的形式已知，而具体的参数未 知；
最大似然估计(MLE, Maximum Likelihood Estimation)； 贝叶斯估计(Bayesian Estimation)。
p ( x θ ) = ∑ ai pi ( x θi ),
i =1 M
∑a
i =1
M
i
=1
最常用的是高斯混合模型(GMM，Gauss Mixture Model)：

统计学(参数估计)ppt课件

统计学(参数估计)ppt课件
相应地，用最大似然法求得的估计量称为 最大似然估计量，简记为MLE。
13
令最大似然估计的求法
14
3、矩法和最大似然法的比较
令矩估计法是采用样本矩替换总体矩来估 计参数，相当于使用了分布函数的部分信息；
令最大似然估计法是采用似然函数来求得 参数的估计，理论上相当于使用了分布函数的 全部信息；
在已知总体分布的前提下，采用最大似然 估计法的理由更充分，而在总体分布函数未知 但有关的总体矩已知的情况下，采用矩估计法 更合适。
通常可以认为，区间估计是在点估计的基 础上，给出未知总体参数的一个取值范围，及 这个范围的可靠程度。
24
区间估计——就是用一个区间去估计未知 总体参数，把未知总体参数值界定在两个数值 之间。即根据样本估计量，以一定的置信度估 计和推断总体参数的区间范围。
令总体参数的估计区间，通常是由样本统 计量加减抽样极限误差而得到的。
44
【解】 本题的总体方差未知，但属于大样本 抽样极限误差为： 所以，在90%的置信水平下，置信区间为：
表明在90%的置信水平下，投保人的平均年龄在 37.37至41.63岁之间。
45
【练习2】在大兴安岭林区，随机抽取了100块面 积为1公顷的样地，根据调查测量求得每公顷林 地平均出材量为88m3 ，标准差为10m3。
17
一、无偏性
无偏性——是指样本估计量抽样分布的均 值等于被估总体参数的真实值。
无偏性实际是指：不同的样本，会有不同 的估计值。虽然从某一个具体样本来看，估计 值有时会大于 θ ，有时会小于 θ ，有误差。但 从所有可能样本的角度来看，估计值的平均水 平等于总体参数的真实值，即平均说来，估计 是无偏的。
令样本均值、样本方差和样本比率，分别 是总体均值、总体方差和总体比率的无偏、有 效和一致的优良估计量；

第3章参数估计

第3章参数估计

(3.1)
记 L( ) P(x, , xn; ) ，称之为似然函数(likehood function)， 它度量了样本观测值 (x1, , xn ) 出现的可能性的大小。
2019/9/12
《统计学》第3章参数估计
3-22
最大似然估计的求法
如果总体 X 是连续型随机变量，其概率密度函数是 f (x; ) ， 则相应的似然函数为
频率替代从某种意义上可以看成是用样本 均值估计总体期望的估计方法。
2019/9/12
《统计学》第3章参数估计
3-12
矩估计
用样本矩去替换相应的总体矩，用样本矩 的函数去替换相应的总体矩的函数，根据 这个替换原理来求得估计量的方法称为矩 估计法(简称为矩法)(moment estimation)
已知条件：8只A牌号的灯泡的使用寿命和 10只B牌号的灯泡的使用寿命（这些是样本 信息）；
关键：利用抽样得到的样本信息来估计总 体的有关参数--参数估计。
2019/9/12
《统计学》第3章参数估计
3-5
参数估计
参数估计(parameter estimation)，就是在 抽样和抽样分布的基础上，根据样本信息 （通常是样本统计量），对总体的未知参 数（比如总体期望和总体方差）作出估计。
但从对数似然函数出发求的最大似然估计 更方便，
因此通常对对数似然函数求导来求得最大 似然估计。
2019/9/12
《统计学》第3章参数估计
3-24
似然方程
设 (1, ,k ) ，则最大似然估计
ˆ (ˆ1, ,ˆk ) 满足似然方程
l( )
0, i 1, , k
i
即采用样本观测值中最大的值作为区间

优选参数估计理论与应用第三章

优选参数估计理论与应用第三章

1 N
N i 1
yi
E[ y] | } 0,
0
lim P{|
N
1 N
N
xi2 x 2 (E[ x2 ] E2[x]) | }
i 1
lim
N
P{|
ˆ
2 N2|}0,0
于是
lim
N
P{ | ˆ1
1
|
}
3
lim
N
P{|ˆ N
|
}
0
lim
N
P{ | ˆ2
2
|
}
2
3
lim
N
P{|ˆ N
（2）有效性 如果ˆ1 和ˆ 2 是两个根据N个独立观测样 本得到的无偏估计量，无疑地，对θ 的平均偏差较小是选择
的标准之一。例如，如果
2 (ˆ1) 2 (ˆ2 )
则ˆ 1的值比ˆ 2 的值更密集地聚集在真值θ的附近。通常将方 差（或协方差阵）在所有的无偏估计量中达到最小的 ˆ 称为 有效估计量。
变量X的Fisher信息的表达式。
定理（Cramer-Rao不等式） 设观测样本X={ x1,…,xN },
若参数估计ˆ 是真实参数θ 的无偏估计，并且条件分布密度
函数的p(X|θ) 对参数θ 的一、二阶偏导数存在，则有
var(ˆ)
E[( ˆ
)2]
1 J ( )
E[ 2
ln
1 p(X
| ) / 2 ]
矩，分别作为总体均值和二阶矩的估计量，就有
ˆ2 2
3( 1 N
N
xi2 x 2 )1/ 2
i 1
2
3 ˆ N
ˆ1
x
1 2
ˆ2

参数估计的基本理论

参数估计的基本理论

第3章 参数估计的基本理论信号检测：通过准则来判断信号有无；参数估计：由观测量来估计出信号的参数；解决1）用什么方法求取参数，2）如何评价估计质量或者效果严格来讲，这一章研究的是参数的统计估计方法，它是数理统计的一个分支。

推荐两本参考书高等教育出版社《数理统计导论》，《Nonlinear Parameter Estimation 》。

我们首先从一个估计问题入手，来了解参数估计的基本概念。

3.1 估计的基本概念3.1.1 估计问题对于观察值x 是信号s 和噪声n 叠加的情况：()x s n θ=+其中θ是信号s 的参数，或θ就是信号本身。

若能找到一个函数()f x ，利用()12,,N f x x x 可以得到参数θ的估计值θ，相对估计值θ，θ称为参数的真值。

则称()12,,N f x x x 为参数θ的一个估计量。

记作()12,,N f x x x θ=。

在上面的方程中，去掉n 实际上是一个多元方程求解问题。

这时，如果把n 看作是一种干扰或摄动，那么就可以用解确定性方程的方法来得出()f x 。

但是我们要研究的是参数的统计估计方法，所以上面的描述并不适合我们的讨论。

下面给出估计的统计问题描述。

（点估计）设随机变量x 具有某一已知函数形式的概率密度函数，但是该函数依赖于未知参数θ，Ω∈θ ，Ω称为参数空间。

因此可以把x 的概率密度函数表示为一个函数族);(θx p 。

N x x x ,,,21 表示随机样本，其分布取自函数族);(θx p 的某一成员，问题是求统计量()12,,N f x x x θ=，作为参数θ的一个估计量。

以上就是用统计的语言给出的参数估计问题的描述。

数。

统计量的两个特征：1，随机变量的函数，因此也是随机变量；2，不依赖于未知参数，因此当我们得到随机变量的一组抽样，就可以计算得到统计量的值。

例3-1：考虑由(1,2,,)i ix s n i N =+=，给定的观测样本。

其中s 是未知参数，i n 为噪声，取自分布),0(2nn σ。

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x
作为θ的估计量，对该估计量取期望值，有
E[ˆ] E[
1 N
N k 1
xk ]
1 N
N
E[ xk ] E[ x]
k 1
一个无偏估计量在多次估计中将不会产生系统偏差，但
并不意味着有偏估计就不好。如果一个有偏估计是渐进无偏
的，即
lim
N
E[ˆN
]
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第三章 参数估计理论与应用
3.1 参数估计的评价准则
参数估计是通过样本去估计总体的某些数字特征或统计量。任何一 个统计量都可作为参数的估计量，但其效果的优劣有所差别。
3.1.1 无偏性、有效性与相容性
（1）无偏性 设样本的总体分布密度函数为 p(x;θ), θ 是未知参数。从总体中抽取容量为 N 的样本 x={x1, …, xN }, 用样本的估计量 ˆ 来估计θ，如果希望多次估计中，平均 的估计值没有偏差，即
第三章 参数估计理论与应用
3.1 参数估计的评价准则 3.2 基于统计分布的参数估计方法 3.3 基于模型的参数最小二乘估计
本章小结
2021/3/9
第三章 参数估计理论与应用
在许多情况下，观测数据所服从的概率模型已知的，而 模型的未知部分是以未知参数形式出现的。
参数估计的基础是优化理论，即被估计的参数应该在某 种准则下是最优的，以及任何获得最优的估计。
的。一般说来，总是认为N 越大估计的效果应该越好。如果 记依赖样本容量 N 的估计为ˆN ，当满足
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第三章 参数估计理论与应用
lim
N
P{|ˆN
|
}
0,
0
则称ˆN 是θ的一致性估计量，或相容估计。
例3-3 设总体 x 具有均匀分布，分布密度为
p(x) 10/2, ,
1 x 1 2
2021/3/9
第三章 参数估计理论与应用
lim
N
E[
Rˆ2
(
)]
Rx
(
)
渐进无偏估计量 Rˆ 2(τ)是半正定的，而无偏估计量 Rˆ 1(τ)却 不一定是半正定的，故 Rˆ2(τ)的使用场合较多。
（2）有效性 如果ˆ1 和ˆ 2 是两个根据N个独立观测样 本得到的无偏估计量，无疑地，对θ 的平均偏差较小是选择
ˆ2 2
3( 1 N
N
xi2 x 2 )1/ 2
i 1
2
3 ˆ N
ˆ1
x
1 2
ˆ2
x
3 ˆ N
下面说明ˆ1 和 ˆ2 分别是θ1 和θ2 的相容估计。
设 y1,…,yN 是具有同分布的独立观测样本，根据大数定
律，有 令y=x2, 就有
lim P{|
N
1 N
N i 1
yi
E[ y] | } 0,
E[ˆ] ˆ(x)p(x; ) d x
则称 ˆ 是θ的无偏估计量。
2021/3/9
第三章 参数估计理论与应用
例3-1 样本均值是总体数学期望的无偏估计。
设x1, …, xN 是随机过程 {xk} 的N个独立观测样本，如果 参数θ是总体的数学期望E[x]，即用样本的均值
ˆ
1 N
N
xk
k 1
非参数估计方法不假定观测数据服从某种特定的概率模 型。例如，频域上的谱估计与谱线拟合就是典型的非参数估 计方法。
u(t) 控制
w(t) 设备噪声
设备（模型结构已 知、参数未知）
x(t) 状态
v(t) 观量噪声
测量装置
y(t) 观测到的状态
图3-1 系统辨识中的参数估计问题
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第三章 参数估计理论与应用
N
N
ci xi ˆ， ' ( ci 1)
i 1
i 1
都是θ的无偏估计量。利用不等式
可得
N
N
( ci )2 N ci2
i 1
i 1
2(x)
2 ( x) N
2 ( x) N
N
(
i 1
ci )2
2(x)
N i 1
ci2
2 (ˆ')
在估计总体的数学期望时，简单的算术平均比加权平均好。 （3）一致性 估计量的精度是与样本的容量 N 有关系
Fisher 信息 Fisher 信息用J（θ）表示，定义为
J ( )
E{[
ln
p(x
| ]2}
E[
2
2
ln
p(x
| )]
（3.1.1）
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第三章 参数估计理论与应用
其它
其中，θ1 和θ2 是未知参数。 总体样本的均值和二阶矩分别为（严格按定义计算）
解得
E[
x]
1
2
2
m,
E[ x2 ] 12 12
2 2
3
2
1
m
2 2
,
2 2
3( 2 m2 )1/2 2
3
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第三章 参数估计理论与应用
按矩的估计方法，用独立样本的均值和独立样本的二阶
矩，分别作为总体均值和二阶矩的估计量，就有
Rx ( )
E[Rˆ2 ( )]
E[ 1 N
N k 1
xk xk ]
1 N
N
E[ xk xk ]
k 1
(1
N
)Rx ( )
式中，Rx(τ)=E[xk+τ xk] 是随机数据{xk}的相关函数。
以上二式表明，估计量 Rˆ 1(τ) 是无偏的，而Rˆ 2(τ)则是 有偏的。但是，Rˆ 2(τ)是渐进无偏的，即
| }
0,
0
3.1.2 Fisher信息和Cramer-Rao不等式
通常希望获得有效的参数估计量。但是，由于不存在导
致最小方差无偏估计量的最佳算法，所以通常采用参数无偏
估计的Cramer-Rao下限(或CR下界), 作为评价参数估计性能 的测度。为了简洁叙述这一的评价测度，先定义一个重要的
概念。
那么它仍然有可能是一个好的估计。
考虑实随机过程{xk}的相关函数的两种估计量：
Rˆ1( )
1
N
N
xk xk ,
k 1
Rˆ2 ( )
1 N
N k 1
xk
xk
假定数据{xk}是独立观测的，容易验证
E[
Rˆ1
(
)]
E[
N
1
N
xk xk ]
k 1
1
N
N
E[ xk xk ]
k 1
0
lim P{|
N
1 N
N
xi2 x 2 (E[ x2 ] E2[x]) | }
i 1
lim
N
P{|
ˆ
2 N
2|}Fra bibliotek0,0
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第三章 参数估计理论与应用
于是
lim
N
P{ | ˆ1
1
|
}
3
lim
N
P{|ˆ N
|
}
0
lim
N
P{ | ˆ2
2
|
}
2
3
lim
N
P{|ˆ N
的标准之一。例如，如果
2 (ˆ1) 2 (ˆ2 )
则ˆ 1的值比ˆ 2 的值更密集地聚集在真值θ的附近。通常将方 差（或协方差阵）在所有的无偏估计量中达到最小的 ˆ 称为 有效估计量。
例3-2 设x1,…,xN 是N个独立观测样本，若被估计参数
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第三章 参数估计理论与应用
θ=E[x]，则对任何满足