EM第21讲磁场的散度与磁通连续性安培定律

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21.5 矢量A泊松方程
矢量泊松方程
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21.7 安培环路定律的应用
1、当已知磁场场量B的分布时，应用安培环路定律的微分形式， 得电流源J分布为：
2、而当已知场源(电流)分布欲求场量B的分布：
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上厚度为d，而在
体电流分布为
(J(y)仅为y
的函数)，也可以应用安培环路定律求解。此时只需将y方向的厚
度分割为许多
厚度的体电流看成是面电

的无限大的面电流片，并应用本例计算结
果再进行积分叠加便可。 Research Institute of RF & Wireless Techniques
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传导电流和运流电流)。 I的参考正方向与路径c的积分方向服从右手螺旋，即电流方向与c
积分方向符合右手定则者为正，否则为负。
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21.3 真空中的安培环路定律 和恒定磁场的旋度
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21.2 磁通、磁通连续性原理
磁通:磁感应强度B的通量，即通过任意面S上的磁通
若S面是闭合面,应用高斯散度定理及
得：
式(4-19)和式(4-21)分别称为磁通连续性原理的微分 形式和积分形式。
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电磁场与电磁波
Electromagnetic fields and
electromagnetic waves
第21讲
磁场的散度与磁 通连续性原理
黄惠芬
华南理工大学电子与信息学院 射频与无线技术研究所 TEL: 89502331 Email:huanghf@
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21.5 矢量A泊松方程
依据比奥一沙伐定律及
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可以表示成矢量
A，即：
的旋度，令此矢量为
对式(4-18)两边取旋度，得

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21.1 磁感应强度的散度
即B可以表示为一矢量的旋度，利用任意矢量F满足 的恒等式
磁感应强度B是无散的。磁场是没有标量的“磁荷" 源的，即B矢量线没有发出的地方，也没有终止的 地方，它是自行闭合的。
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21.1 磁感应强度的散度
磁场是电流在其周围产生的矢量场。磁感应强度是没 有散度。如图4-8所示的电流 产生的磁场为
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的位置矢量，

的位置矢量，

是源点指向场点
பைடு நூலகம்
的距离矢量，
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例4-5 真空中一无限大薄导板，其上有面电流Js，求此面电流片 所产生的磁感应强度B。
解 如图4-12a所示，将无限大面电流片置于

在与z轴对
的面电流丝，其中电流丝
分别取宽度为

都可以看成是无限长的线电流，
它们在y轴的P点处产生的磁感
方向上无限大，故整片面电流产生的场是均匀场，其方向分
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若取一矩形回路c，令其令其平行于x轴的边长为l，如图如图412b所示，则据积分形式的安培环路定律有:
21.5 矢量A泊松方程
因“ ”只对场点运算，故可以移入积分号
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21.5 矢量A泊松方程
再一次应用恒等式 因恒定电流散度为0
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21.4安培环路定律验证
B对于C的环量为
A 当路径c包围电流I，积分限由
其积分值为：
B 当路径c不包围电流I，积分限为

可得：
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注意：闭合路径c包围的电流实质上是与路径c交链的电流。若交 链的电流不止一个，如图4-9a所示，则c包围的总电流值I为各电 流之代数和。
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21.3 真空中的安培环路定律 和恒定磁场的旋度
c限定的任意曲面S上的体电流密度J，如图4-9b所示。应用斯托克
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21.5 矢量A泊松方程
使积分体积任意扩大成V，且令V包含 并不影响积分值。若V 的包络面为S，再应用高斯散度定理，则可得：

显然，没有电流穿出S面， 故积分值为0。
又
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，且方向与dl方向相同。按安培环路定律的
积分形式，可得
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的圆柱内，被积分路径C包围的电流
即：
I为柱内的总电流量，故：
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例4-4 真空中半径为a的无限长直导体中通过的电流的体密度为
J，求导体柱内、外导体柱的磁感应强度B。 解 将导体柱的轴线放在z轴，如图4-11所示，电流的分布
即J的分布仅与柱坐标变量r有关，因而它产生的B也仅是r的函
数，B仅有
因此，若选择半径为r的B矢量线圆作为
积分路径C，则在C上
处处大小相等
小结
磁感应强度的散度 磁通、磁通连续性原理 真空中的安培环路定律和恒定磁场的旋度 安培环路定律的应用
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习题
P155:4-3
21.1 磁感应强度的散度
为其单位矢量。考虑到
并利用恒等式：
得：
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算子是对场点
的函数，所以上式第二个积分
上式第一个积分式中的
积分号外，于是上式简化为：
r 求微分运算，而 运算亦可提到对
同理， 积分的
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斯定理，则：
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即
安培环路定律的微分形式
安培环路定律的积分形式 磁场是无散有旋场，电流是激发磁场的旋涡源。
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应强度分别为
其合成场量为
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从图4-12b可以看出，因为

分量方向相反而相互抵消，而x方向分量相
同而相互叠加，故其合成结果使dB仅有x方向分量。而且，由于面电流在
21.4安培环路定律证明
真空中位于z轴的无限长直导线，当其载流为I时，离导线r远处的 磁感应强度为：
1 将闭合路径C取为B矢量线圆并令c的积分方向与B的方向相同有：
2 积分路径c不取B矢量线圆，而是任意闭合曲线有：