八年级数学上册《1.2 全等三角形》全等三角形的判定课后作业2(无答案)(新版)苏科版

三角形全等的判定HL1．如图，若∠B＝∠C＝90°，AB＝AC，则△ABD≌△ACD的理由是(D)A．SAS B．AASC．ASA D．HL2．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，根据“HL”判定，还需添加条件，可使△ACD≌△BCD.(A)A．AC＝BC B．AD＝BDC．∠ACD＝∠BCD D．∠A＝∠B3．如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD＝CA，DE⊥BC交AB于E，则有(C)A．DE＝DB B．AE＝BEC．DE＝AE D．AE＝BD4．如图，AB＝EF，BC⊥AE于C，FD⊥AE于D，CE＝DA.求证：AB∥EF.【解题过程】证明：先证DE＝AC，再证△ABC≌△EFD(HL)得∠A＝∠E，∴AB∥EF.5．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E，F在线段BC上，且∠B＝∠C，BE＝CF.求证：△ABF≌△DCE.【解题过程】证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF≌△DCE(AAS)．知识点二直角三角形全等的判定综合6．如图，AD，BE是△ABC的高，CA＝CB，则图中的全等三角形共有(C)A．1对B．2对C．3对D．4对7．如图，AC⊥AB，BD⊥CD，请添加一个条件，使△ABC≌△DCB.(1)添加__∠ABC＝∠DCB__，根据是AAS；(2)添加__∠ACB＝∠DBC__，根据是AAS；(3)添加__AB＝CD__，根据是HL；(4)添加__AC＝BD__，根据是HL.8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，BE＝BC，如果AC＝6，那么AD＋DE等于__6__.9．如图，OA＝OB，AC＝BD，OA⊥AC，OB⊥BD，OM⊥CD于M.求证：CM＝DM.【解题过程】证明：连接OC，OD，先证△OAC≌△OBD(SAS)，再证Rt△OCM≌Rt△ODM(HL)，∴CM＝DM.10．如图，在△ABC中，D是AB的中点，DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，且DM＝DN.(1)求证：AM＝BN；(2)求证：AC＝BC.【解题过程】证明：(1)连接CD，先证△DAM≌△DBN(HL)，∴AM＝BN；(2)再证△CDM≌△CDN(HL)，∴CM＝CN，∴AC＝BC.11．如图1，已知P(2,2)，点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴上运动，且PA＝PB.(1)求证：PA⊥PB；(2)若点A(8,0)，则点B的坐标为(0，－4)；(3)求OA－OB的值；(4)如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，其他条件不变，直接写出OA＋OB的值是__4__.图1图2【解题过程】证明：(1)作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，∴PM＝PN＝2.∵PA＝PB，∴△PMA≌△PNB(HL)，∴∠PBN＝∠PAM，∴∠BPA＝∠BOA＝90°，∴PA⊥PB.(2)设OB＝x，则AM＝BN＝x＋2，∴OA＝x＋4＝8，∴x＝4，∴B(0，－4)．(3)OA－OB＝(OM＋MA)－(BN－ON)＝OM＋ON＝4.(4)同(1)可得OA＋OB＝(OM＋MA)＋(ON－BN)＝OM＋ON＝4.12.如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，BE＝CF，求证：△ABF≌△DCE.【点睛】①误把BE＝CF看作两三角形对应边．②误把HL用作SAS.。

人教版八年级数学上册12.2.2《三角形全等的判定(2)》说课稿一. 教材分析《人教版八年级数学上册》第12.2.2节《三角形全等的判定(2)》是继第12.2.1节《三角形全等的判定(1)》之后，进一步深化学生对三角形全等判定方法的理解和应用。

本节内容主要包括SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，以及三角形全等的应用。

在学习本节内容时，学生需要掌握这四种判定方法的判定条件和应用场景，并能够熟练运用到实际问题中。

二. 学情分析在八年级的学生中，他们已经掌握了基本的三角形知识，对三角形的全等概念也有了一定的了解。

但在实际应用中，学生可能对判定方法的选用和判断过程的推理有所欠缺。

因此，在教学过程中，需要关注学生的知识掌握情况，针对性地进行辅导和引导，提高他们运用知识解决问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种三角形全等的判定方法，理解它们的判定条件和应用场景。

2.过程与方法：培养学生运用三角形全等知识解决实际问题的能力，提高他们的逻辑思维和推理能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们独立思考、合作交流的良好学习习惯。

四. 说教学重难点1.教学重点：SSS、SAS、ASA、AAS四种三角形全等的判定方法及其判定条件。

2.教学难点：判断方法的选用和实际问题中的灵活运用。

五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、案例分析法、小组讨论法等多种教学方法，结合多媒体课件、几何画板等教学手段，以直观、生动的方式呈现教学内容，提高学生的学习兴趣和参与度。

六. 说教学过程1.导入新课：回顾上节课的内容，引出本节课的主题——三角形全等的判定(2)。

2.知识讲解：讲解SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并通过例题展示各自的判定条件和应用场景。

3.课堂互动：学生分组讨论，选取判定方法解决实际问题，教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.总结提升：对本节课的内容进行总结，强调判定方法的选用和判断过程的推理。

人教版数学八年级上册《三角形全等的判定（复习）》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级上册《三角形全等的判定（复习）》这一节的内容主要包括SSS、SAS、ASA、AAS四种三角形全等的判定方法，以及三角形全等的应用。

学生在学习这一节内容时，需要掌握三角形全等的判定方法，并能够灵活运用到实际问题中。

二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经有了一定的几何基础，掌握了三角形的基本性质和判定方法。

但是，部分学生对于三角形全等的判定方法理解不深，不能灵活运用到实际问题中。

因此，在教学过程中，需要引导学生深入理解三角形全等的判定方法，并通过实际例题让学生学会如何运用这些判定方法。

三. 教学目标1.让学生掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种三角形全等的判定方法。

2.培养学生灵活运用三角形全等的判定方法解决实际问题的能力。

3.培养学生合作交流、归纳总结的能力。

四. 教学重难点1.重点：SSS、SAS、ASA、AAS四种三角形全等的判定方法。

2.难点：如何灵活运用三角形全等的判定方法解决实际问题。

五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、小组合作法、归纳总结法等教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，深入理解三角形全等的判定方法，并能够灵活运用到实际问题中。

六. 教学准备1.教材、教案、PPT等教学资料。

2.三角板、直尺、圆规等几何作图工具。

3.练习题、案例分析题等教学素材。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习已学过的三角形性质和判定方法，引导学生回顾三角形全等的判定方法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）讲解SSS、SAS、ASA、AAS四种三角形全等的判定方法，并通过PPT展示相关例题，让学生直观地理解这些判定方法。

3.操练（10分钟）让学生分成小组，利用几何作图工具，根据四种全等判定方法，相互判断给出的三角形是否全等。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）出示一些判断题和应用题，让学生独立完成，检验学生对三角形全等判定方法的掌握程度。

人教版八年级数学上册《12.2三角形全等的判定》练习题(附答案)一选择题1.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是( )A. 斜边和一直角边对应相等B. 两个锐角对应相等C. 一锐角和斜边对应相等D. 两条直角边对应相等2.一块三角形玻璃被打碎后店员带着如图所示的一片碎玻璃去重新配一块与原来全等的三角形玻璃能够全等的依据是( )A. ASAB. AASC. SASD. SSS3.如图OD⊥AB于点D OP⊥AC于点P且OD=OP则△AOD与△AOP全等的理由是( )A. SSSB. ASAC. SSAD. HL4.如图为6个边长相等的正方形的组合图形则∠1+∠2+∠3的度数为( )A. 90°B. 135°C. 150°D. 180°5.如图AC是△ABC和△ADC的公共边下列条件中不能判定△ABC≌△ADC的是( )A. AB=AD，∠2=∠1B. AB=AD，∠3=∠4C. ∠2=∠1，∠3=∠4D. ∠2=∠16.如图已知点B、E、C、F在同一直线上且BE=CF，∠ABC=∠DEF那么添加一个条件后．仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )A. AC=DFB. AB=DEC. AC//DFD. ∠A=∠D7.如图点C D在AB同侧∠CAB=∠DBA下列条件中不能判定△ABD≌△BAC的是( )A. ∠D=∠CB. BD=ACC. AD=BCD. ∠CAD=∠DBC8.如图D是AB上一点DF交AC于点E，DE=FE，FC//AB若AB=4，CF=3则BD的长是( )A. 0.5B. 1C. 1.5D. 29.如图△ABC中AB=AC，AD是角平分线BE=CF则下列说法中正确的有( )①AD平分∠EDF；②△EBD≌△FCD；③BD=CD；④AD⊥BC．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”如图四边形ABCD是一个筝形其中AD=CD AB=CB 在探究筝形的性质时得到如下结论：③四边形ABCD的面积其中正确的结论有．( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二填空题11.如图在3×3的正方形网格中∠1+∠2=_______度．12.如图已知AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D则图中全等的三角形共有______对．13.如图所示的网格是正方形网格点A，B，C，D均落在格点上则∠BAC+∠ACD=____°．14.如图∠A=∠E，AC⊥BE，AB=EF，BE=10，CF=4则AC=______．15.如图在△ABC和△DEF中点B，F，C，E在同一直线上BF=CE，AB//DE请添加一个条件使△ABC≌△DEF这个添加的条件可以是______(只需写一个不添加辅助线)．16.如图在△ABC中高AD和BE交于点H且DH=DC则∠ABC=°.17.如图在四边形ABCD中AB=AD，∠BAD=∠BCD=90∘连接AC若AC=6则四边形ABCD的面积为．18.如图∠C=90°，AC=20，BC=10，AX⊥AC点P和点Q同时从点A出发分别在线段AC和射线AX上运动且AB=PQ当AP=______时以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．19.如图△ABC中AB=AC，AD⊥BC于D点DE⊥AB于点E BF⊥AC于点F，DE=3cm则BF=cm．20.如图所示∠E=∠F=90∘，∠B=∠C，AE=AF结论：①EM=FN②AF//EB③∠FAN=∠EAM④△ACN≌△ABM.其中正确的有______ ．三解答题21.如图点A，D，C，F在同一条直线上AD=CF，AB=DE，AB//DE.求证：BC=EF．22.如图点C、F、E、B在一条直线上∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE写出CD与AB之间的关系并证明你的结论．23.如图B、C、E三点在同一条直线上AC//DE，AC=CE，∠ACD=∠B．求证：△ABC≌△CDE24.已知：如图在△ABC中BE⊥AC垂足为点E，CD⊥AB垂足为点D且BD=CE．求证：∠ABC=∠ACB．25.如图在△ABC中AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点点E在BC边上且BE=BD 连接AE，DE，DC．(1)求证：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE=30°求∠BDC的度数．答案和解析1.【答案】B【解析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【解答】解：A.符合判定HL故本选项正确不符合题意；B.全等三角形的判定必须有边的参与故本选项错误符合题意；C.符合判定AAS故本选项正确不符合题意；D.符合判定SAS故本选项正确不符合题意．故选B．2.【答案】A【解析】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的判定方法中选用哪一种方法取决于题目中的已知条件若已知两边对应相等则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等则必须再找一组对边对应相等若已知一边一角则找另一组角或找这个角的另一组对应邻边．利用全等三角形判定方法进行判断．【解答】解：这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定从而可根据“ASA”重新配一块与原来全等的三角形玻璃．故选：A．3.【答案】D【解析】本题考查了直角三角形全等的判定的知识点解题关键点是熟练掌握直角三角形全等的判定方法HL.根据直角三角形全等的判别方法HL可证△AOD≌△AOP．【解答】解：∵OD⊥AB且OP⊥AC∴△AOD和△AOP是直角三角形又∵OD=OP且AO=AO∴△AOD≌△AOP(HL)．故选D．4.【答案】B【解析】本题考查了全等图形准确识图并判断出全等的三角形是解题的关键标注字母利用“边角边”证明△ABC和△DEA全等根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠4从而求出∠1+∠3=90°再判断出∠2=45°进而计算即可得解．【解答】解：如图在△ABC和△DEA中{AB=DE∠ABC=∠DEA=90°BC=EA,∴△ABC≌△DEA(SAS)∴∠1=∠4∵∠3+∠4=90°∴∠1+∠3=90°又∵∠2=45°∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．故选B．5.【答案】A【解析】本题考查三角形全等的判定方法判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS等．利用全等三角形的判定定理：SSS SAS ASA AAS等逐项进行分析即可．判定两个三角形全等时必须有边的参与若有两边一角对应相等时这个角必须是两边的夹角．【解答】解：A.AB=AD∠2=∠1再加上公共边AC=AC不能判定△ABC≌△ADC故此选项符合题意；B.AB=AD∠3=∠4再加上公共边AC=AC可利用SAS判定△ABC≌△ADC故此选项不合题意；C.∠2=∠1∠3=∠4再加上公共边AC=AC可利用ASA判定△ABC≌△ADC故此选项不合题意；D.∠2=∠1∠B=∠D再加上公共边AC=AC可利用AAS判定△ABC≌△ADC故此选项不合题意；故选A．6.【答案】A【解析】解：∵BE=CF∴BE+EC=EC+CF即BC=EF且∠ABC=∠DEF∴当AC=DF时满足SSA无法判定△ABC≌△DEF故A不能；当AB=DE时满足SAS可以判定△ABC≌△DEF故B可以；当AC//DF时可得∠ACB=∠F满足ASA可以判定△ABC≌△DEF故C可以；当∠A=∠D时满足AAS可以判定△ABC≌△DEF故D可以；故选：A．根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．本题主要考查全等三角形的判定方法 掌握全等三角形的判定方法是解题的关键 即SSS SAS ASA AAS 和HL ．7.【答案】C【解析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用 能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键 注意：全等三角形的判定定理有SAS ASA AAS SSS 符合SSA 和AAA 不能推出两三角形全等． 根据图形知道隐含条件BC =BC 根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：A 添加条件∠D =∠C 还有已知条件∠CAB =∠DBA BC =BC 符合全等三角形的判定定理AAS 能推出△ABD ≌△BAC 故本选项错误；B 添加条件BD =AC 还有已知条件∠CAB =∠DBA BC =BC 符合全等三角形的判定定理SAS 能推出△ABD ≌△BAC 故本选项错误；C 添加条件AD =BC 还有已知条件∠CAB =∠DBA BC =BC 不符合全等三角形的判定定理 不能推出△ABD ≌△BAC 故本选项正确；D ∵∠CAB =∠DBA ∠CAD =∠DBC∴∠DAB =∠CBA 还有已知条件∠CAB =∠DBA BC =BC 符合全等三角形的判定定理ASA 能推出△ABD ≌△BAC 故本选项错误；故选C ．8.【答案】B【解析】解：∵CF//AB∴∠A =∠FCE ∠ADE =∠F∴在△ADE 和△CFE 中{∠A =∠FCE∠ADE =∠F DE =FE∴△ADE ≌△CFE(AAS)∴AD =CF =3∵AB =4∴DB =AB −AD =4−3=1．故选B ．根据平行线的性质 得出∠A =∠FCE ∠ADE =∠F 再根据全等三角形的判定证明△ADE ≌△CFE得出AD=CF根据AB=4CF=3即可求线段DB的长．本题考查了全等三角形的性质和判定平行线的性质的应用能判定△ADE≌△FCE是解此题的关键解题时注意运用全等三角形的对应边相等对应角相等．9.【答案】C【解析】解：∵AB=AC AD平分∠BAC∴BD=DC AD⊥BC故③④正确在RT△BDE和RT△CDF中{BE=CFBD=CD∴RT△BDE≌RT△CDF故②正确∵AD⊥BC∴∠ADC=∠CDF=90°∴BC平分∠EDF.故①错误．故选：C．根据等腰三角形的三线合一可以判断③④正确根据HL可以证明RT△BDE≌RT△CDF可以判断②正确由BC平分∠EDF得出①错误故不难得到结论．本题考查全等三角形的判定和性质等腰三角形的性质角平分线的定义等知识解题的关键是等腰三角形三线合一的性质的应用属于中考常考题型．10.【答案】C【解析】此题考查全等三角形的判定和性质关键是根据SSS证明△ABD与全等和利用SAS证明与全等．【解答】解：如图在△ABD与中故①正确；∴∠ADB=∠CDB在与中∴∠AOD=∠COD=90°∴AC⊥DB故②正确；故③错误．故选C．11.【答案】90【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质能看懂图形是解题的关键.首先判定两个三角形全等然后根据全等三角形的性质及直角三角形的性质即可判断得出结论．【解答】解：如图所示：∵∠ACB=∠DCE=90°AC=DC BC=EC∴Rt△ACB≌Rt△DCE∴∠2=∠EDC在Rt△DCE中∠1+∠EDC=90°∴∠1+∠2=90°．12.【答案】3【解析】解：①△ABE≌△ACE∵AB=AC EB=EC∴△ABE≌△ACE；②△EBD≌△ECD∵△ABE≌△ACE∴∠ABE=∠ACE∴∠EBD=∠ECD∵EB=EC∴△EBD≌△ECD；③△ABD≌△ACD∵△ABE≌△ACE△EBD≌△ECD∴∠BAD=∠CAD∵∠ABC=∠ABE+∠BED∴∠ABC=∠ACB∵AB=AC∴△ABD≌△ACD∴图中全等的三角形共有3对．在线段AD的两旁猜想所有全等三角形再利用全等三角形的判断方法进行判定三对全等三角形是△ABE≌△ACE△EBD≌△ECD△ABD≌△ACD．本题考查学生观察猜想全等三角形的能力同时也要求会运用全等三角形的几种判断方法进行判断．13.【答案】90【解析】【解答】解：在△DCE和△ABD中∵{CE=BD=1∠E=∠ADB=90°DE=AD=3∴△DCE≌△ABD(SAS)∴∠CDE =∠DAB∵∠CDE +∠ADC =∠ADC +∠DAB =90°∴∠AFD =90°∴∠BAC +∠ACD =90°故【答案】90．【分析】本题网格型问题 考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系 本题构建全等三角形是关键．证明△DCE ≌△ABD(SAS) 得∠CDE =∠DAB 根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论． 14.【答案】6【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质有关知识 由AAS 证明△ABC ≌△EFC 得出对应边相等AC =EC BC =CF =4 求出EC 即可得出AC 的长．【解答】解：∵AC ⊥BE∴∠ACB =∠ECF =90°在△ABC 和△EFC 中{∠ACB =∠ECF ∠A =∠E AB =EF∴△ABC ≌△EFC(AAS)∴AC =EC BC =CF =4∵EC =BE −BC =10−4=6∴AC =EC =6；故答案为6． 15.【答案】AB =ED【解析】解：添加AB =ED∵BF =CE∴BF +FC =CE +FC即BC =EF∵AB//DE∴∠B =∠E在△ABC 和△DEF 中{AB =ED∠B =∠E CB =FE,∴△ABC ≌△DEF(SAS)故【答案】AB =ED ．根据等式的性质可得BC =EF 根据平行线的性质可得∠B =∠E 再添加AB =ED 可利用SAS 判定△ABC ≌△DEF ．本题考查三角形全等的判定方法 判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL ．注意：AAA SSA 不能判定两个三角形全等 判定两个三角形全等时 必须有边的参与 若有两边一角对应相等时 角必须是两边的夹角．16.【答案】45【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质 余角的性质 等腰直角三角形 由三角形的高得到∠ADB =∠ADC =∠BEC =90° 结合余角的性质得到∠HBD =∠CAD 易证△HBD ≌△CAD 得到AD =BD 根据等腰直角三角形得到∠ABD =45° 即可得出结论．【解答】解：∵AD ⊥BC BE ⊥AC∴∠ADB =∠ADC =∠BEC =90°∴∠HBD +∠C =∠CAD +∠C =90°∴∠HBD =∠CAD∵在△HBD 和△CAD 中{∠HBD =∠CAD,HDB =∠CDA,DH =DC,∴△HBD ≌△CAD(AAS)∴AD =BD∵∠ADB =90°∴△ABD 为等腰直角三角形∴∠ABD =45° 即∠ABC =45°故答案为45．17.【答案】18【解析】本题考查全等三角形的判定和性质和三角形的面积.过点A 作AE ⊥AC 交CD 的延长线于点E.做出辅助线是解答本题的关键．过点A 作AE ⊥AC 交CD 的延长线于点E 证明△AED ≌△ACB 将四边形ABCD 的面积转化为△ACE 的面积 利用三角形面积公式求解即可．【解答】解：过点A 作AE ⊥AC 交CD 的延长线于点E∵∠EAC =∠BAD =90°∴∠EAD =∠CAB∵∠BAD =∠BCD =90∘∴∠ADC +∠ABC =360°−(∠BAD +∠BCD)=180°又∵∠ADE +∠ADC =180∘∴∠ADE =∠ABC在△AED 与△ACB 中{∠EAD =∠CABAD =AB ∠ADE =∠ABC∴△AED ≌△ACB(ASA)∴AE =AC =6 四边形ABCD 的面积等于△ACE 的面积故S 四边形ABCD =12AC ⋅AE =12×6×6=18．故答案为18． 18.【答案】10或20【解析】解：∵AX ⊥AC∴∠PAQ =90°∴∠C=∠PAQ=90°分两种情况：①当AP=BC=10时在Rt△ABC和Rt△QPA中{AB=PQBC=AP∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)；②当AP=CA=20时在△ABC和△PQA中{AB=PQAP=AC∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL)；综上所述：当点P运动到AP=10或20时△ABC与△APQ全等；故【答案】10或20．分两种情况：①当AP=BC=10时；②当AP=CA=20时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA(HL)；即可得出结果．本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法本题需要分类讨论难度适中．19.【答案】6【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质三角形的面积利用面积公式得出等式是解题的关键．先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC得出S△ABC=2S△ABD=2×12AB⋅DE=AB⋅DE=3AB又S△ABC=12AC⋅BF将AC=AB代入即可求出BF．【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中{AB=ACAD=AD ∴Rt△ADB≌Rt△ADC∴S△ABC=2S△ABD=2×12AB⋅DE=AB⋅DE=3AB∵S△ABC=12AC⋅BF∴12AC⋅BF=3AB ∵AC=AB∴12BF=3cm∴BF=6cm．故【答案】6．20.【答案】①③④【解析】此题考查了全等三角形的性质与判别考查了学生根据图形分析问题解决问题的能力．其中全等三角形的判别方法有：SSS SAS ASA AAS及HL.学生应根据图形及已知的条件选择合适的证明全等的方法．由∠E=∠F=90°∠B=∠C AE=AF利用“AAS”得到△ABE与△ACF全等根据全等三角形的对应边相等且对应角相等即可得到∠EAB与∠FAC相等AE与AF相等AB与AC相等然后在等式∠EAB=∠FAC两边都减去∠MAN得到∠EAM与∠FAN相等然后再由∠E=∠F=90°AE=AF∠EAM=∠FAN利用“ASA”得到△AEM与△AFN全等利用全等三角形的对应边相等对应角相等得到选项①和③正确；然后再∠C=∠B AC=AB∠CAN=∠BAM利用“ASA”得到△ACN与△ABM全等故选项④正确；若选项②正确得到∠F与∠BDN相等且都为90°而∠BDN不一定为90°故②错误．【解答】解：在△ABE和△ACF中∠E=∠F=90°AE=AF∠B=∠C∴△ABE≌△ACF(AAS)∴∠EAB=∠FAC AE=AF AB=AC∴∠EAB−∠MAN=∠FAC−∠NAM即∠EAM=∠FAN在△AEM和△AFN中∠E=∠F=90°AE=AF∠EAM=∠FAN∴△AEM≌△AFN(ASA)∴EM=FN∠FAN=∠EAM故选项①和③正确；在△ACN和△ABM中∠C=∠B∠CAN=∠BAM AC=AB∴△ACN≌△ABM(ASA)故选项④正确；若AF//EB∠F=∠BDN=90°而∠BDN不一定为90°故②错误则正确的选项有：①③④．21.【答案】解：∵AB//DE∴∠A =∠EDF∵AC =AD +DC DF =DC +CF 且AD =CF∴AC =DF在△ABC 和△DEF 中{AB =DE∠A =∠EDF AC =DF∴△ABC ≌△DEF(SAS)∴BC =EF ．【解析】先证明AC =DF 再根据SAS 推出△ABC ≌△DEF 便可得结论．本题考查了全等三角形的判定和性质的应用 证明三角形的边相等 往往转化证明三角形的全等． 22.【答案】解：CD//AB CD =AB理由是：∵CE =BF∴CE −EF =BF −EF∴CF =BE在△CFD 和△BEA 中{CF =BE∠CFD =∠BEA DF =AE∴△CFD ≌△BEA(SAS)∴CD =AB ∠C =∠B∴CD//AB ．【解析】本题考查了平行线的判定和全等三角形的性质和判定的应用．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角对应相等的重要工具．在判定三角形全等时 关键是选择恰当的判定条件． 求出CF =BE 根据SAS 证△CFD ≌△BEA 推出CD =AB ∠C =∠B 根据平行线的判定推出CD//AB ．23.【答案】证明：∵AC//DE∴∠ACB =∠E ∠ACD =∠D∵∠ACD =∠B∴∠D =∠B在△ABC 和△EDC 中{∠B =∠D∠ACB =∠E AC =CE∴△ABC ≌△CDE(AAS)．【解析】此题主要考查了全等三角形的判定 平行线的性质．首先根据AC//DE 利用平行线的性质可得：∠ACB =∠E ∠ACD =∠D 再根据∠ACD =∠B 证出∠D =∠B 然后根据全等三角形的判定定理AAS 证出△ABC ≌△CDE 即可．24.【答案】证明：∵BE ⊥AC CD ⊥AB∴∠BDC =∠CEB =90°在Rt △BCD 和Rt △CBE 中{BC =CB BD =CE∴Rt △BCD ≌Rt △CBE(HL)∴∠DBC =∠ECB即∠ABC =∠ACB ．【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解题的关键．证明Rt △BCD ≌Rt △CBE(HL) 即可得出结论．25.【答案】(1)证明：∵∠ABC =90°∴∠DBC =90°在△ABE 和△CBD 中{AB =CB∠ABE =∠CBD BE =BD∴△ABE ≌△CBD(SAS)；(2)解：∵AB =CB ∠ABC =90°∴∠BCA =45°∴∠AEB =∠CAE +∠BCA =30°+45°=75°∵△ABE ≌△CBD∴∠BDC =∠AEB =75°．【解析】(1)由条件可利用SAS证得结论；(2)由等腰直角三角形的性质可先求得∠BCA利用三角形外角的性质可求得∠AEB再利用全等三角形的性质可求得∠BDC．本题主要考查全等三角形的判定和性质掌握全等三角形的判定方法(即SSS SAS ASA AAS和HL)和全等三角形的性质(即全等三角形的对应边相等对应角相等)是解题的关键．。

12．2 三角形全等的判定第1课时 “边边边”一、课堂导入问题提出：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图①所示的残片，你对图中的残片作哪些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃，与同伴交流．学生活动：观察，思考，回答教师的问题．方法如下：可以将图①的玻璃碎片放在一块纸板上，然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形．如图②，剪下模板就可去割玻璃了．如果△ABC ≌△A ′B ′C ′，那么它们的对应边相等，对应角相等．反之，如果△ABC 与△A ′B ′C ′满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB ＝A ′B ′，BC ＝B ′C ′，CA ＝C ′A ′，∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′这六个条件，就能保证△ABC ≌△A ′B ′C ′.从刚才的实践我们可以发现：只要两个三角形三条对应边相等，就可以保证这两块三角形全等．这种说法对吗？二、知识点梳理边边边1．三边分别相等的两个三角形全等．简记为“边边边”或“SSS ”． 2．“边边边”判定方法可用几何语言表示为：在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，AC ＝A 1C 1，∴△ABC ≌△A 1B 1C 1(SSS)．三、考点分类考点一： 利用“SSS ”判定两个三角形全等【例1】 如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，点E 、C 在直线BF 上，且BE ＝CF .求证：△ABC ≌△DEF .解析：已知△ABC 与△DEF 有两边对应相等，通过BE ＝CF 可得BC ＝EF ，即可判定△ABC ≌△DEF .证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EC ＝EC ＋CF ，即BC ＝EF .在△ABC 和△DEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝EF ，AB ＝DE ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF (SSS)．方法总结：判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．考点二： “SSS ”与全等三角形的性质结合进行证明或计算【例2】 如图所示，△ABC 是一个风筝架，AB ＝AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架，求证：AD ⊥BC .解析：要证AD ⊥BC ，根据垂直定义，需证∠1＝∠2，∠1＝∠2可由△ABD ≌△ACD 证得．证明：∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD .在△ABD 和△ACD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，BD ＝CD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD (SSS)，∴∠1＝∠2(全等三角形的对应角相等)．∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝∠2＝90°，∴AD ⊥BC (垂直定义)．方法总结：将垂直关系转化为证两角相等，利用全等三角形证明两角相等是全等三角形的间接应用．考点三：利用“边边边”进行尺规作图【例3】已知：如图，线段a、b、c.求作：△ABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c.(保留作图痕迹，不写作法)解析：首先画AB＝c，再以B为圆心，a为半径画弧，以A为圆心，b为半径画弧，两弧交于一点C，连接BC，AC，即可得到△ABC.解：如图所示，△ABC就是所求的三角形．方法总结：关键是掌握基本作图的方法，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．考点四：利用“SSS”解决探究性问题【例4】如图，AD＝CB，E、F是AC上两动点，且有DE＝BF.(1)若E、F运动至图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF.(2)若E、F运动至图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？(3)若E、F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．解析：(1)因为AF＝CE，可推出AE＝CF，所以可利用SSS来证明三角形全等；(2)同样利用三边来证明三角形全等；(3)因为全等，所以对应角相等，可推出AD∥CB.解：(1)∵AF ＝CE ，∴AF ＋EF ＝CE ＋EF ，∴AE ＝CF .在△ADE 和△CBF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CB ，DE ＝BF ，AE ＝CF ，∴△ADE ≌△CBF .(2)成立．∵AF ＝CE ，∴AF －EF ＝CE －EF ，∴AE ＝CF .在△ADE 和△CBF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CB ，DE ＝BF ，AE ＝CF ，∴△ADE ≌△CBF .(3)平行．∵△ADE ≌△CBF ，∴∠A ＝∠C ，∴AD ∥BC .方法总结：解决本题要明确无论E 、F 如何运动，总有两个三角形全等，这个在图形中要分清．【课堂练习】1、找第三边（减公共部分）如图，已知点 B ，C ，D ，E 在同一直线上，且 A B=AE ，AC=AD ，BD=CE ． 求证：△ABC ≌△AED ．2、找第三边（加公共部分） 如图，点 B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB=DE ，AC=DF ，BF=CE ，求证：△ABC ≌△DEF ；3、找第三边（公共边）如图，AD=CB，AB=CD，求证：△ACB≌△CAD．第2课时“边角边”一、课堂导入小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办？请你帮助小伟想一个办法，并说明你的理由．想一想：要画一个三角形与小伟画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件？只知道一个条件(一角或一边)行吗？两个条件呢？三个条件呢？让我们一起来探索三角形全等的条件吧！二、知识点梳理边角边1．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简记为“边角边”或“SAS”．2．“边角边”判定方法可用几何语言表示为：在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝A 1B 1，∠B ＝∠B 1，BC ＝B 1C 1，∴△ABC ≌△A 1B 1C 1(SAS)．3．“SSA ”不能判定两个三角形全等． 三、考点分类考点一： 利用“SAS ”判定三角形全等【例1】 如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD ＝BF ，AE ＝BC ，且AE ∥BC .求证：△AEF ≌△BCD .解析：由AE ∥BC ，根据平行线的性质，可得∠A ＝∠B ，由AD ＝BF 可得AF ＝BD ，又AE ＝BC ，根据SAS ，即可证得△AEF ≌△BCD .证明：∵AE ∥BC ，∴∠A ＝∠B .∵AD ＝BF ，∴AF ＝BD .在△AEF 和△BCD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BC ，∠A ＝∠B ，AF ＝BD ，∴△AEF ≌△BCD (SAS)．方法总结：判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．考点二： “边边角”不能证明三角形全等【例2】 下列条件中，不能证明△ABC ≌△DEF 的是( )A ．AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF B ．AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ＝DFC ．BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，AC ＝DFD ．BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，AC ＝DF解析：要判断能不能使△ABC ≌△DEF ，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C 的条件不符合，故选C.方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA 时是不能判定三角形全等的．考点三：利用全等三角形进行证明或计算【例3】 已知：如图，BC ∥EF ，BC ＝BE ，AB ＝FB ，∠1＝∠2，若∠1＝45°，求∠C 的度数．解析：利用已知条件易证∠ABC ＝∠FBE ，再根据全等三角形的判定方法可证明△ABC ≌△FBE ，由全等三角形的性质即可得到∠C ＝∠BEF .再根据平行，可得出∠BEF 的度数，从而可知∠C 的度数．解：∵∠1＝∠2，∴∠ABC ＝∠FBE .在△ABC 和△FBE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝BE ，∠ABC ＝∠FBE ，AB ＝FB ，∴△ABC≌△FBE (SAS)，∴∠C ＝∠BEF .又∵BC ∥EF ，∴∠C ＝∠BEF ＝∠1＝45°.方法总结：全等三角形是证明线段和角相等的重要工具．考点四： 全等三角形与其他图形的综合【例4】 如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG .求证：(1)AE ＝CG ；(2)AE ⊥CG .解析：(1)因为已知条件中有两个正方形，所以AD ＝CD ，DE ＝DG ，它们的夹角都是∠ADG加上直角，可得夹角相等，所以△ADE 和△CDG 全等；(2)再利用互余关系可以证明AE ⊥CG .证明：(1)∵四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，∴AD ＝CD ，GD ＝ED .∵∠CDG ＝90°＋∠ADG ，∠ADE ＝90°＋∠ADG ，∴∠CDG ＝∠ADE .在△ADE 和△CDG 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDG ，DE ＝GD ，∴△ADE≌△CDG (SAS)，∴AE ＝CG ；(2)设AE 与DG 相交于M ，AE 与CG 相交于N ，在△GMN 和△DME 中，由(1)得∠CGD ＝∠AED ，又∵∠GMN ＝∠DME ，∠DEM ＋∠DME ＝90°，∴∠CGD ＋∠GMN ＝90°，∴∠GNM ＝90°，∴AE ⊥CG .【课堂练习】1、找角（加公共部分） 如图所示，CD=CA ，∠1=∠2，EC=BC ，求证：△ABC ≌△DEC ．2、找边（加公共部分） 如图，点 E ，F 在 A B 上，AD=BC ，∠A=∠B ，AE=BF ．求证：△ADF ≌△BCE ．3、角转换，边转换如图，点E、F 在A C 上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF，求证：△ABF≌△CDE．第2课时“角边角”“角角边”一、情境导入如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？学生活动：学生先自主探究出答案，然后再与同学进行交流．教师点拨：显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的，而仅仅带③则可以，为什么呢？本节课我们继续研究三角形全等的判定方法．二、知识点梳理“角边角”“角角边”1．角边角：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．简记为“角边角”或“ASA ”． 2．角角边：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简记为“角角边”或“AAS ”．3．三角形全等是证明线段相等或角相等的常用方法． 三、考点分类考点一： 应用“ASA ”判定两个三角形全等【例1】 如图，AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，求证：△ADF ≌△CBE .解析：根据平行线的性质可得∠A ＝∠C ，∠DFE ＝∠BEC ，再根据等式的性质可得AF ＝CE ，然后利用ASA 可证明△ADF ≌△CBE .证明：∵AD ∥BC ，BE ∥DF ，∴∠A ＝∠C ，∠DFE ＝∠BEC .∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE .在△ADF 和△CBE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠C ，AF ＝CE ，∠DFA ＝∠BEC ，∴△ADF ≌△CBE (ASA)．方法总结：在“ASA ”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA ”中，“边”必须是“两角的夹边”．考点二： 应用“AAS ”判定两个三角形全等【例2】 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于E .AD 与BE 交于F ，若BF ＝AC ，求证：△ADC ≌△BDF .解析：先证明∠ADC ＝∠BDF ，∠DAC ＝∠DBF ，再由BF ＝AC ，根据AAS 即可得出两三角形全等．证明：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠ADC ＝∠BDF ＝∠BEA ＝90°.∵∠AFE ＝∠BFD ，∠DAC ＋∠AEF ＋∠AFE ＝180°，∠BDF ＋∠BFD ＋∠DBF ＝180°，∴∠DAC ＝∠DBF .在△ADC 和△BDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAC ＝∠DBF ，∠ADC ＝∠BDF ，AC ＝BF ，∴△ADC ≌△BDF (AAS)．方法总结：在“AAS ”中，“边”是“其中一个角的对边”．考点三： 灵活选用不同的方法证明三角形全等【例3】 如图，已知AB ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ，要使△ABC ≌△AED ，还需添加一个条件，这个条件可以是______________．解析：由∠BAD ＝∠CAE 得到∠BAC ＝∠EAD ，加上AB ＝AE ，所以当添加∠C ＝∠D 时，根据“AAS ”可判断△ABC ≌△AED ；当添加∠B ＝∠E 时，根据“ASA ”可判断△ABC ≌△AED ；当添加AC ＝AD 时，根据“SAS ”可判断△ABC ≌△AED .方法总结：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS.注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．考点四：运用全等三角形解决有关问题【例4】 已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E .求证：(1)△BDA ≌△AEC ；(2)DE ＝BD ＋CE .解析：(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AB ＝AC ，利用AAS 即可得证；(2)由△BDA ≌△AEC ，可得BD ＝AE ，AD ＝EC ，根据DE ＝DA ＋AE 等量代换即可得证．证明：(1)∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∴∠ABD ＋∠BAD ＝90°.∵AB ⊥AC ，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAE .在△BDA 和△AEC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∠ABD ＝∠CAE ，AB ＝AC ，∴△BDA ≌△AEC (AAS)；(2)∵△BDA ≌△AEC ，∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝DA ＋AE ＝BD ＋CE .方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．【课堂练习】1、角转换，边转换 如图，已知 A B ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在 A F 上，且 A D=CF ， 求证：△ABC ≌△DEF ．2、隐含条件（对顶角） 已知：如图 A C ，BD 相交于点 O ，∠A=∠D ，AB=CD ， 求证：△AOB ≌△DOC ．3、利用外角找角相等1如图，∠A=∠B，AE=BE，点 D在AC 边上，∠1=∠2，AE 和BD 相交于点O．求证：△AEC≌△BED；4、利用外角找角相等2如图，在△ABC 中，AB=AC，点D、E、F 分别在边A B、BC、AC 上，且B D=CE，∠DEF=∠B．图中是否存在和△BDE 全等的三角形？说明理由．第4课时“斜边、直角边”一、课堂导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、知识点梳理“斜边、直角边”1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL”．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL”，除此之外，还可以选用“SAS”“ASA”“AAS”以及“SSS”．(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．三、考点分类考点一：应用“斜边、直角边”判定三角形全等【例1】如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL ”即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE都为直角三角形．在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ，∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)．方法总结：利用“HL ”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．考点二： 利用“HL ”判定线段相等【例2】 如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .解析：根据“HL ”证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE .证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL ”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．考点三： 利用“HL ”判定角相等或线段平行【例3】 如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等． 证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt△ABC 和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2.方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．考点四： 利用“HL ”解决动点问题【例4】 如图，有一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL)，∴AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △QPA中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP≌Rt △BCA (HL)，∴AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．考点五： 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等【例5】 如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .解析：已知BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，根据ASA 证得△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)．∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE (ASA)．∴OB ＝OC .方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL ”外，还有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS.【课堂练习】如图，在△ABC 中，AB=AC ，DE 是过点 A 的直线，BD ⊥DE 于 D ，CE ⊥DE 于点 E ； （1）若 B 、C 在 D E 的同侧（如图所示）且 A D=CE ．求证：AB ⊥AC ；（2）若。

12.2.2三角形全等的判定（SAS）教学设计一、学习目标在本课的教学中，不仅要让学生学会“边角边”这一全等三角形的识别方法，更主要地是要让学生掌握研究问题的方法，初步领悟分类讨论的数学思想. 从而激发学生学习数学的兴趣.为此，我确立如下：1.知识与能力：(1)学生在教师引导下，积极主动地经历探索三角形全等的条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程(2)掌握三角形全等的“边角边”的判定方法，能用三角形的全等解决一些实际问题。

2.过程与方法：经历探索三角形全等条件的过程，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验，3.情感与态度：通过“边角边公理”的获得和使用，培养学生严密的逻辑思维品质以及勇于探索、团结协作的精神。

二、学习重点根据本节课的内容和地位，重点确定为：“边角边公理”的内容及应用学习难点发现、验证并归纳边角边公理内容，运用此结论解决实际问题。

三、教法分析鉴于教材特点及初二学生思维依赖于具体直观形象的特点，采用实验发现法，将有利于学生更好地理解与应用数学，获得成功的体验，增强学好数学的信心。

本节课主要采用实验发现法，同时以直观演示教学法、观察法、探究法为辅。

在教法上，尽可能地组织学生自主地通过观察、实验等数学活动，探究三角形全等的特征，通过对数学问题情境、数学活动情境等设计，调动学生学习数学的积极性。

运用多媒体直观演示，化静为动，使学生始终处于主动探索问题的积极状态中，使数学学习变得有趣、有效、自信、成功。

学法指导本节课主要是“边边边”这一基本事实的发现，故我在课堂教学中将尽量为学生提供“做中学”的时空，让学生进行小组合作学习，在“做”的过程中潜移默化地渗透分类讨论的数学思想方法，遵循“教是为了不教”的原则，让学生自得知识、自寻方法、自觅规律、自悟原理。

四、教学过程设计（一）创设情境，引入新知1.由生活中遇到的全等问题情境自然引入。

2．画一画如果两个三角形的两边和一角分别对应相等，那么会有几种情况。

三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心〞。

三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。

3. 三角形的角平分线∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。

∠1=∠2=∠BAC.要区分三角形的“角平分线〞与“角的平分线〞，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。

三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心〞。

要求会的题型：①三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度，求其中未知的高或者底边的长度“等积法〞，将三角形的面积用两种方式表达，求出未知量。

三角形的稳定性1. 三角形具有稳定性2. 四边形及多边形不具有稳定性三角形的内角1. 三角形的内角和定理三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关。

2. 直角三角形两个锐角的关系直角三角形的两个锐角互余〔相加为90°〕。

有两个角互余的三角形是直角三角形。

三角形的外角1. 三角形外角的意义三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。

2. 三角形外角的性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

多边形1. 多边形的概念在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。

多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。

连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为〔n－3〕条，其所有的对角线条数为.3. 正多边形各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。

〔两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为假设三角形的三内角相等，那么必有三边相等，反过来也成立〕要求会的题型：①告诉多边形的边数，求多边形过一个顶点的对角线条数或求多边形全部对角线的条数n边形从一个顶点出发的对角线的条数为〔n－3〕条，其所有的对角线条数为.将边数带入公式即可。

多边形的内角和1. n边形的内角和定理n边形的内角和为2. n边形的外角和定理多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。

一、选择题1．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥A ．4B ．3C ．2D ．1B解析：B【分析】 先根据全等三角形的判定定理得出△ACD ≌△ACB ，△ABO ≌△ADO ，再根据全等三角形的性质即可得出结论．【详解】解：在△ABC 和△ADC 中，∵AB AD BC CD AC AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABC ≌△ADC （SSS ），∴∠BAC=∠DAC ， ∠DCA=∠BCA∴点O 到CB 、CD 的距离相等．故②正确在△ABO 与△ADO 中AB AD BAC DAC OA OA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABO ≌△ADO （SAS ），∴BO=DO ，∠BOA=∠DOA∵∠BOA+∠DOA=180°∴∠BOA=∠DOA=90°，即BD AC ⊥故①④正确；∵AD≠CD∴BDA BDC ∠≠∠，故③错误所以，正确的结论是①②④，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．如图，点O 是△ABC 中∠BCA ，∠ABC 的平分线的交点，已知△ABC 的面积是12，周长是8，则点O 到边BC 的距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C【分析】 过点O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA ，根据角平分线的性质得：OE ＝OF ＝OD 然后根据△ABC 的面积是12，周长是8，即可得出点O 到边BC 的距离．【详解】如图，过点O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA .∵点O 是∠ABC ，∠ACB 平分线的交点，∴OE ＝OD ，OF ＝OD ，即OE ＝OF ＝OD∴S △ABC ＝S △ABO ＋S △BCO ＋S △ACO ＝12AB ·OE ＋12BC ·OD ＋12AC ·OF ＝12×OD×(AB ＋BC ＋AC )＝12×OD×8＝12 OD=3故选：C【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．3．如图，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC S 12=，DF 2=，AC 3=，则AB 的长是 ( )A ．2B ．4C ．7D ．9D解析：D【分析】求出DE的值，代入面积公式得出关于AB的方程，求出即可．【详解】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=2，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴12=12×AB×DE+12×AC×DF，∴24=AB×2+3×2，∴AB=9，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．4．如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，要使△ADE≌△CBE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（）A．AE=CE；SAS B．DE=BE；SASC．∠D=∠B；AAS D．∠A=∠C；ASA C解析：C【分析】根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断．【详解】解：A.添加AE=CE后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；B.添加DE=BE后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；C.添加∠D=∠B，根据AAS可证明△ADE≌△CBE，故此选项符合题意；D.添加∠A=∠C，根据AAS可证明△ADE≌△CBE，故此选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．5．如图，已知AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面结论错误的是（）A ．BD ＋ED ＝BCB ．∠B ＝2∠DAC C ．AD 平分∠EDCD ．ED ＋AC >AD B解析：B【分析】 利用角平分线的性质定理判断A ；利用直角三角形两锐角互余判断B ；证明△AED ≌△ACD ，由此判断C ；利用三角形三边关系得到AC+CD>AD ，由此判断D ．【详解】∵AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，∴DE=DC ，∠BAD=∠DAC ，∵BD+DC=BC ，∴BD+ED=BC ，故A 正确；∵∠C=90︒，∴∠B+∠BAC=90︒，∴∠B+2∠DAC=90︒，故B 错误；∵DE ⊥AB ，∴∠AED=∠C=90︒,又∵∠BAD=∠DAC ，DE=CD ，∴△AED ≌△ACD ，∴∠ADE=∠ADC ，∴AD 平分∠EDC ，故C 正确；在△ACD 中，AC+CD>AD ，∴ED ＋AC >AD ，故D 正确；故选：B ．【点睛】此题考查三角形的三边关系，角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．6．如图，点D 在线段BC 上，若1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒，且BC DE =，AC DC =，AB EC =，则下列角中，大小为x ︒的角是( )A ．EFC ∠B ．ABC ∠ C ．FDC ∠D ．DFC ∠ C解析：C【分析】 先证明()ABC CED SSS ∆≅∆得到B E ∠=∠、FCD FDC ∠=∠，再根据1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒可得2CFE x ∠=︒；然后根据外角的性质可得2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠即可解答．【详解】解：在ABC ∆和CED ∆中，AC CD AB CE BC ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC CED SSS ∴∆≅∆，B E ∴∠=∠，FCD FDC ∠=∠1802180ACE ABC x E CFE ∠=︒-∠-︒=︒-∠-∠，2CFE x ∴∠=︒，2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠=2x ︒，FDC x ∴∠=︒．故答案为C ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，弄清题意、理清角之间的关系是解答本题的关键．7．如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．HL D解析：D直接证明全等三角形，即可确定判断方法.【详解】解：∵AB BC ⊥，CD BC ⊥，∴ABC 与△DCB 均为直角三角形，又AC DB =，BC CB =， ∴()ABC DCB HL ≅,故选：D.【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，属于基础题.8．如图，在△ABC 中，点E 和F 分别是AC ，BC 上一点，EF ∥AB ，∠BCA 的平分线交AB 于点D ，∠MAC 是△ABC 的外角，若∠MAC ＝α，∠EFC ＝β，∠ADC ＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（ ）A ．β＝α+γB ．β＝2γ﹣αC ．β＝α+2γD ．β＝2α﹣2γB解析：B【分析】 根据平行线的性质得到∠B=∠EFC=β，由角平分线的定义得到∠ACB=2∠BCD ，根据∠ADC 是△BDC 的外角，得到∠ADC=∠B+∠BCD ，由三角形外角的性质得到∠MAC=∠B+∠ACB ，于是得到结果．【详解】解：∵EF ∥AB ，∠EFC=β，∴∠B=∠EFC=β，∵CD 平分∠BCA ，∴∠ACB=2∠BCD ，∵∠ADC 是△BDC 的外角，∴∠ADC=∠B+∠BCD ，∵∠ADC=γ，∴∠BCD=γ-β，∵∠MAC 是△ABC 的外角，∴∠MAC=∠B+∠ACB ，∵∠MAC=α，∴α=β+2（γ-β），∴β=2γ-α，故选：B ．本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．9．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），当△ACP与△BPQ全等时，则点Q的运动速度为（）cm/s．A．0.5 B．1 C．0.5或1.5 D．1或1.5D解析：D【分析】设点Q的运动速度是x cm/s，有两种情况：①AP=BP，AC=BQ，②AP=BQ，AC=BP，列出方程，求出方程的解即可．【详解】解：设点Q的运动速度是x cm/s，∵∠CAB=∠DBA，∴△ACP与△BPQ全等，有两种情况：①AP=BP，AC=BQ，则1×t=4-1×t，则3=2x，解得：t=2，x=1.5；②AP=BQ，AC=BP，则1×t=tx，4-1×t=3，解得：t=1，x=1，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，以及一元一次方程的应用，掌握方程的思想和分类讨论思想是解此题的关键．10．下列命题，真命题是（）A．全等三角形的面积相等B．面积相等的两个三角形全等C．两个角对应相等的两个三角形全等D．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等A解析：A【分析】根据全等三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A、全等三角形的面积相等，本选项说法是真命题；B 、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；C 、两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，本选项说法是假命题；D 、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题； 故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定义、性质及判定是解题关键．二、填空题11．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且2CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是___________．2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解【详解】解：如图由垂线段最短定理可知：当CE ⊥OB 时CE 的长度最小∵点C 在∠AOB 的平分线上CD ⊥OA ∴CE=CD=2故答案为2【点睛】本题是基础题目解析：2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解 ．【详解】解：如图，由垂线段最短定理可知：当CE ⊥OB 时，CE 的长度最小，∵点C 在 ∠AOB 的平分线上，CD ⊥OA ，∴CE=CD=2，故答案为2 ．【点睛】本题是基础题目，熟练掌握垂线段最短及角平分线的性质定理是解题关键．12．如图，△ABE ≌△ADC ≌△ABC ，若∠1＝130°，则∠α的度数为________．100°【分析】根据全等三角形对应角相等可得然后根据周角等于求出再根据三角形的内角和定理求出从而得解【详解】解：（对顶角相等）故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质三角形的内角和定理解析：100°【分析】根据全等三角形对应角相等可得1BAE ∠=∠，ACB E ∠=∠，然后根据周角等于360︒求出2∠，再根据三角形的内角和定理求出2α∠=∠，从而得解．【详解】解：ABE ADC ABC ∆≅∆≅∆，1130BAE ∴∠=∠=︒，ACB E ∠=∠，23601360130130100BAE ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，180DFE E α∴∠=︒-∠-∠，1802AFC ACD ∠=︒-∠-∠，DFE AFC ∠=∠（对顶角相等），1801802E ACD α∴︒-∠-∠=︒-∠-∠，2100α∴∠=∠=︒．故答案为：100︒．【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等的性质，准确识图，找出对应角是解题的关键．13．已知在△ABC 中，AB ＝9，中线AD ＝4，那么AC 的取值范围是____1＜AC ＜17【分析】作出图形延长AD 至E 使DE ＝AD 然后利用边角边证明△ABD 和△ECD 全等根据全等三角形对应边相等可得AB ＝CE 再利用三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边解析：1＜AC ＜17【分析】作出图形，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB ＝CE ，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出AC 的取值范围．【详解】如图，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ABD 和△ECD 中，BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ECD (SAS )，∴AB ＝CE ，∵AD ＝4，∴AE ＝4+4＝8，∵AC +CE ＞AC ＞CE -AE ，∴9-8＜AC ＜8+9，∴1＜AC ＜17，故答案为：1＜AC ＜17．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．14．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则点A 到直线CD 的距离是_____．4【分析】根据垂直的定义得到∠BCD=延长CD 到H使DH=CD 由线段中点的定义得到AD=BD 根据全等三角形的性质得到AH=BC=4【详解】∵DC ⊥BC ∴∠BCD=∵∠ACB=∴∠ACD=如图延长CD解析：4【分析】根据垂直的定义得到∠BCD=90︒，延长CD 到H 使DH=CD ，由线段中点的定义得到 AD=BD ，根据全等三角形的性质得到 AH=BC=4．【详解】∵ DC ⊥BC ，∴ ∠BCD=90︒，∵ ∠ACB=120︒，∴ ∠ACD=30︒，如图，延长 CD 到 H 使 DH=CD ，∵ D 为 AB 的中点，∴ AD=BD ，在 ΔADH 与 ΔBCD 中，CD DH ADH BDC AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ ΔADH ≅ΔBCD(SAS)，∴ AH=BC=4，∠AHD=∠BCD=90°，∴点A 到CD 的距离为4，故答案为：4．【点睛】本题考察全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．15．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与外角∠ACE 的平分线交于点D ，若∠D ＝20°，则∠A ＝_____．40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC ＝2∠DBC ∠ACE ＝2∠DCE 再根据三角形外角的性质可得出∠D ＝∠DCE ﹣∠DBE ∠A ＝∠ACE ﹣∠ABC 即得出∠A ＝2∠D 即得出答案【详解】∵∠ABC 解析：40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC ＝2∠DBC ，∠ACE ＝2∠DCE ．再根据三角形外角的性质可得出∠D ＝∠DCE ﹣∠DBE ，∠A ＝∠ACE ﹣∠ABC ．即得出∠A ＝2∠D ，即得出答案．【详解】∵∠ABC 的平分线交∠ACE 的外角平分线∠ACE 的平分线于点D ，∴∠ABC ＝2∠DBC ，∠ACE ＝2∠DCE ，∵∠DCE 是△BCD 的外角，∴∠D ＝∠DCE ﹣∠DBE ，∵∠ACE 是△ABC 的外角，∠A ＝∠ACE ﹣∠ABC ＝2∠DCE ﹣2∠DBE ＝2（∠DCE ﹣∠DBE ），∴∠A ＝2∠D ＝40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查角平分线和三角形外角的性质，熟练利用角平分线和三角形外角的性质来判断题中角之间的关系是解答本题的关键．16．如图，AC//BD ，OA ，OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，垂足为E ，如果OE 5=，那么AC 与BD 的距离是________【分析】过点作于作于利用平行线的性质可证得OM ⊥BD进而可证得MN 为AC 和BD 的距离根据角平分线的性质可知OE=OM=OE 即可求得MN 的长度【详解】解：如图过点作于作于∵分别平分和∴又∥∴又∴三点共解析：10【分析】过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ，利用平行线的性质可证得OM ⊥BD ，进而可证得MN 为AC 和BD 的距离，根据角平分线的性质可知OE=OM=OE ，即可求得MN 的【详解】解：如图，过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ．∵OA 、OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，∴OM OE ON 5===，又 AC ∥BD ，OM AC ⊥，∴OM BD ⊥，又ON BD ⊥，∴M ，O ，N 三点共线，∴ AC 与BD 之间的距离为MN=OM ON 10+=．故答案为：10．【点睛】本题考查求平行线间的距离、角平分线的性质、八个基本事实，熟练掌握角平分线的性质，作出AC 和BD 之间的距离是解答的关键．17．如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且5PD =，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为__．5【分析】根据角平分线的性质及垂线段最短解答【详解】根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时PM 最小∵OP 平分PD=5∴PM=PD=5故答案为：5【点睛】此题考查角平分线的性质垂线段最短掌握点到直线的所有 解析：5【分析】根据角平分线的性质及垂线段最短解答.【详解】根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时，PM 最小，∵OP 平分AOC ∠，PD OA ⊥，PD=5，∴PM=PD=5，故答案为：5.【点睛】此题考查角平分线的性质，垂线段最短，掌握点到直线的所有连线中垂线段最短是解题的18．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第____块去，这利用了三角形全等中的____原理．ASA 【分析】根据全等三角形的判断方法解答【详解】解：由图可知带第4块去符合角边角可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃故答案为：4；ASA 【点睛】本题考查了全等三角形的应用是基础题熟记三角形全等的判解析：ASA【分析】根据全等三角形的判断方法解答．【详解】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故答案为：4；ASA【点睛】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 19．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为边BC 、AB 上的点，且AE ＝AC ，DE ⊥AB ．若∠ADC ＝61°，则∠B 的度数为_____．32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC 得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论【详解】解：∵DE ⊥AB ∴∠AED ＝90°＝∠DEB 在Rt △ADE 和Rt △ADC 中∴解析：32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC ，得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°，再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论．【详解】解：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°＝∠DEB ，在Rt △ADE 和Rt △ADC 中，AD AD AE AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △ADC （HL ），∴∠ADE ＝∠ADC ＝61°，∴∠BDE ＝180°﹣61°×2＝58°，∴∠B ＝90°﹣58°＝32°．故答案为：32°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质问题，解题的关键是能够熟练掌握全等三角形的判定及性质．20．如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC cm BC cm ∠=︒==，点P 从点A 出发沿A C -路径向终点C 运动.点Q 从B 点出发沿B C A --路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于,E QF l ⊥于F ．则点P 运动时间为_______________时，PEC ∆与QFC ∆全等．或【分析】对点P 和点Q 是否重合进行分类讨论通过证明全等即可得到结果；【详解】如图1所示：与全等解得:；如图2所示：点与点重合与全等解得:；故答案为:或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质准确解析：1或72【分析】对点P 和点Q 是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；【详解】如图1所示：PEC ∆与QFC ∆全等，PC QC ，683∴-=-t t ，解得:1t =；如图2所示：点P与点Q重合，PEC与QFC∆全等，638∴-=-t t，解得:72t=；故答案为:1或72．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．三、解答题21．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在边BC上（不与点B，C重合），过点C作CE⊥AD，垂足为点E，交AB于点F，连接DF．（1）请直接写出∠CAD与∠BCF的数量关系；（2）若点D是BC中点，在图2中画出图形，猜想线段AD，CF，FD之间的数量关系，并证明你的猜想．解析：（1）∠BCF＝∠CAD；（2）AD＝CF+DF，证明见解析【分析】（1）由余角的性质可求解；（2）过点B作BG∥AC交CF的延长线于G，由“ASA”可证△ACD≌△CBG，可得CD＝BG，AD＝CG，由“SAS”可证△BDF≌△BGF，可得DF＝GF，可得结论．【详解】解：（1）∠BCF＝∠CAD，理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACD＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°＝∠ADC+∠BCF，∴∠CAD＝∠BCF；（2）如图所示：猜想：AD ＝CF +DF ，理由如下：过点B 作BG ∥AC 交CF 的延长线于G ，则∠ACB +∠CBG ＝180°，∴∠CBG ＝∠ACD ＝90°，在△ACD 和△CBG 中，∵CAD BCF AC BC ACD CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACD ≌△CBG （ASA ），∴CD ＝BG ，AD ＝CG ，∵D 是BC 的中点，∴CD ＝BG ＝BD ，∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴∠CBA ＝∠CAB ，∴∠CBA ＝45°，∴∠FBG ＝∠CBG ﹣∠CBA ＝90°﹣45°＝45°，∴∠FBG ＝∠FBD ，在△BDF 和△BGF 中，BF BF FBD FBG BD BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△BGF （SAS ），∴DF ＝GF ，∵AD ＝CG ＝CF +FG ，∴AD ＝CF +DF ．【点睛】本题主要考查余角的性质，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．22．已知：MON α∠=，点P 是MON ∠平分线上一点，点A 在射线OM 上，作180APB α∠=︒-，交直线ON 于点B ，作PC ON ⊥于点C ．（1）观察猜想：如图1，当90MON ∠=︒时，PA 和PB 的数量关系是______．（2）探究证明：如图2，当60MON ∠=︒时，（1）中的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请直接写出PA ，PB 之间另外的数量关系．（3）拓展延伸：如图3，当60MON ∠=︒，点B 在射线ON 的反向延长线上时，请直接写出线段OC ，OA 及BC 之间的数量关系：______．解析：（1）PA=PB ；（2）成立证明见解析；（3）OA=BC+OC【分析】（1）作PD ⊥OM 于点D ，根据角平分线的性质得到PC=PD ，证明△APD ≌△BPC ，根据全等三角形的性质定理证明；（2）作PD ⊥OM 于点D ，根据角平分线的性质得到PC=PD ，证明△APD ≌△BPC ，根据全等三角形的性质定理证明；（3）仿照（2）的解法得出△APD ≌△BPC ，从而得出AD=BC ，再根据HL 得出Rt △OPD ≌△RtOPC ，得出OC=OD ，继而得出结论．【详解】（1）作PD ⊥OM 于点D ，∵点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，∴PC=PD ，∵∠MON=90°，∴∠APB=90°，∠CPD=90°，∴∠APD+∠BPD=90°，∠BPC+∠BPD=90°∴∠APD=∠BPC ，∵∠PDA=∠PCB=90°，在△APD 和△BPC 中，APD BPC PD PCADP BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△BPC （ASA ），∴AP=BP ．（2）（1）中的结论还成立理由如下：如图2，作PD ⊥OM 于点D ，∵点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，∴PC=PD ，∵∠MON=60°，∴∠APB=120°，在四边形OCPD 中，∠CPD=360°-90°-90°-60°=120°，∴∠APD+∠BPD=120°，∠BPC+∠BPD=120°∴∠APD=∠BPC ，∵∠PDA=∠PCB=90°，在△APD 和△BPC 中，APD BPC PD PCADP BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△BPC （ASA ），∴AP=BP ．（3）OA=2BC-OB ．理由如下：如图3，作PD ⊥OM 于点D ，同（2），可证△APD ≌△BPC ，∴AD=BC ，点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，∴PC=PD ，在Rt △OPD 和RtOPC 中，PC PD OP OP =⎧⎨=⎩∴Rt △OPD ≌△RtOPC ，∴OC=OD ，∴OA-AD=OD=OC ，∴OA-BC=OC ，∴OA=BC+OC ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键．23．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．（1）在图1中计算格点三角形ABC 的面积是__________；（每个小正方形的边长为1） （2）ABC 是格点三角形．①在图2中画出一个与ABC 全等且有一条公共边BC 的格点三角形；②在图3中画出一个与ABC 全等且有一个公共点A 的格点三角形．解析：（1）6；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）用割补法求解即可；（2）根据“SSS”画图即可；（3）根据“SSS”画图即可；【详解】解：（1）5×3-12×3×3-12×2×2-12×5×1=6， 故答案为：6；（2）①如图，'A BC 即为所求，②如图，''AB C 即为所求，【点睛】本题考查了“格点三角形的定义”以及全等三角形的判定方法，熟练掌握“SSS”是解答本题的关键．24．如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠BAD =80°，试求： （1）∠EDC 的度数．（2）若∠BCD =n °，试求∠BED 的度数．（用含n 的式子表示）（3）类比探究：已知AB ∥CD ，BE 、DE 分别是∠ABC 、∠ADC 的n 等分线，ABE ∠=1ABC n ∠，1CDE ADC n∠=∠，∠BAD =α，∠BCD =β，请猜想∠BED = ．解析：（1）40︒；（2）1402BED n ∠=︒+︒；（3）1()αβ+n 【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的性质即可得解；（2）过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，由AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，推出12BEF ABE n ∠=∠=︒，利用EF ∥CD ，求得∠FED =∠EDC =40°，即可得到 1402BED n ∠=︒+︒；（3）过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，利用AB ∥CD 推出∠ABC =∠BCD =β，∠ADC =∠BAD =α，求得1ABE n β∠=，111FED CDE ADC BAD n n n α∠=∠=∠=∠=，利用EF ∥AB ，求出1BEF ABE n β∠=∠=，即可得到1()BED n αβ∠=+． 【详解】解：（1）∵AB ∥CD ，∴∠ADC =∠BAD =80°，又∵DE 平分∠ADC ，∴1402EDC ADC ∠=∠=︒；（2）如图，过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABC =∠BCD =n °，又∵BE 平分∠ABC ，∴12ABE n ∠=︒， ∵EF ∥AB ， ∴12BEF ABE n ∠=∠=︒， ∵EF ∥CD ，∴∠FED =∠EDC =40°，∴1402BED n ∠=︒+︒． （3）1()αβ+n．如图，过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABC =∠BCD =β，∠ADC =∠BAD =α，∴1ABE n β∠=，111FED CDE ADC BAD n n n α∠=∠=∠=∠=， ∵EF ∥AB ， ∴1BEF ABE n β∠=∠=， ∴1()BED nαβ∠=+． 故答案为：1()αβ+n ．【点睛】此题考查平行线的性质，角平分线的性质，熟记平行线的性质并正确引出辅助线解决问题是解题的关键．25．已知ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =．直角顶点C 在x 轴上，锐角顶点B 在y 轴上，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．当点B 不动，点C 在x 轴上滑动的过程中．（1）如图1，当点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-时，请求出点B 的坐标； （2）如图2，当点C 的坐标是()1,0时，请写出点A 的坐标；（3）如图3，过点A 作直线AE y ⊥轴，交y 轴于点E ，交BC 延长线于点F ．AC 与y 轴交于点G ．当y 轴恰好平分ABC ∠时，请写出AE 与BG 的数量关系．解析：（1）（0，2）；（2）（-1，-1）；（3）BG=2AE ，理由见详解【分析】（1）先证明Rt∆ADC ≅Rt∆COB ，结合条件，即可得到答案； （2）先证明∆ADC ≅∆COB ，结合点B ，C 的坐标，求出AD ，OD 的长，即可得到答案； （3）先证明∆BGC ≅∆AFC ，再证明∆ABE ≅∆FBE ，进而即可得到答案． 【详解】（1）∵点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-，∴AD=OC ，又∵AC=BC ，∴Rt∆ADC ≅ Rt∆COB （HL ），∴OB=CD=2，∴点B 的坐标是（0，2）；（2）∵AD ⊥x 轴，∴∠DAC+∠ACD=90°，又∵∠OCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠OCB ，又∵∠ADC=∠COB=90°，AC=BC ，∴∆ADC ≅ ∆COB （AAS ），∵点C 的坐标是()1,0∴AD=OC=1，∵点B 的坐标是（0，2），∴CD=OB=2，∴OD=2-1=1，∴点A 的坐标是（-1，-1）；（3）BG=2AE ，理由如下：∵ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =，AE y ⊥轴，∴∠BCA=∠ACF=90°，∠AEG=90°，∴∠GBC+∠BGC=90°，∠GAE+∠AGE=90°，又∵∠BGC=∠AGE ，∴∠GBC=∠FAC ，在∆BGC 和 ∆AFC 中，∵∠GBC=∠FAC ，BC AC =， ∠GBC=∠FAC ，∴∆BGC ≅∆AFC （ASA ），∴BG=AF ，∵BE ⊥AF ，y 轴恰好平分ABC ∠，∴∠ABE=∠FBE ，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE ，∴∆ABE ≅∆FBE ，∴AE=FE ，∴AF=2AE∴BG=2AE ．【点睛】 本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三垂直”模型，是解题的关键．26．在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”，简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当 AB ＞AC 时，∠C ＞∠B ．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：（1）在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线．①如图1，若AB =AC ，则∠BAD =∠CAD ；②如图2，若AB ≠AC ，当AB ＞AC 时，∠BAD ∠CAD ．（填“>”，“<”，“=”）证明：∵ AD 是BC 边上的高线，∴∠ADB =∠ADC =90°．∴ ∠BAD =90°-∠B ，∠CAD =90°-∠C ．∵AB ＞AC ，∴ （在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD ∠CAD ．（2）在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线．①如图1，若AB =AC ，则∠BAD =∠CAD ；②如图3，若AB ≠AC ，当AB ＞AC 时，∠BAD ∠CAD ．（填“>”，“<”，“=”）证明：解析：（1）①见解析，②∠B<∠C ，>；（2）①见解析；②＜【分析】（1）①由HL 证明Rt △ABD ≌Rt △ACD 可得结论；②由AB ＞AC 得∠C ＞∠B 即可得出结论；（2）①由SSS 证明△ABD ≌△ACD 可得结论；②作辅助线证明△BDE CDA ≅∆，得BE CA =，∠BED CAD =∠，证得∠BAD BED <∠，即可得到结论．【详解】解：（1）①证明：∵AD 是BC 边上的高线∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt △ADB 和Rt △ADC 中AB AC AD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △ACD∴∠BAD =∠CAD ；②证明：∵ AD 是BC 边上的高线，∴∠ADB =∠ADC =90°．∴ ∠BAD =90°-∠B ，∠CAD =90°-∠C ．∵AB ＞AC ， ∴ ∠B<∠C （在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD > ∠CAD ．故答案为：∠B<∠C ，>；（2）①证明：∵AD 是BC 边上的中线∴BD=CD在△ABD 和△ACD 中AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD∴∠BAD=∠CAD②如图，延长AD 至点E ，使AD=ED ，连接BE ，∵AD 是△ABC 的BC 边上的中线，∴BD CD =在△BDE 和△CDA 中，BD CD BDE CDA ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE CDA ≅∆∴BE CA =，∠BED CAD =∠，又AB AC >，则AB BE >∴∠BAD BED <∠∴∠BAD CAD <∠．故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．27．如图，点,,,B F C E 在一条直线上，,//,//AB DE AB ED AC FD =．求证：（1） AC DF =（2）FB CE =解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，根据AAS 证出△BAC ≌△EDF ，可得AC=DF ；．（2）由△BAC ≌△EDF ，可证BC=EF ，进而可得FB=CE ．【详解】证明：（1）∵AB//ED ，AC//FD ，∴∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，在△BAC 和△EDF 中ACB DFE B EAB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAC ≌△EDF （AAS ），∴AC=DF ；（2）∵△BAC ≌△EDF ，∴BC=EF ，∴BC-FC=EF-FC ，∴FB=CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，注意：①全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．28．如图，点D ，E 分别在AB 和AC 上，DE//BC ，点F 是AD 上一点，FE 的延长线交BC 延长线BH 于点G ．（1）若∠DBE ＝40°，∠EBC ＝35°，求∠BDE 的度数；（2）求证：∠EGH ＞∠ADE ；（3）若点E 是AC 和FG 的中点，△AFE 与△CEG 全等吗？请说明理由．解析：（1）∠BDE ＝105°；（2）见解析；（3）全等，理由见解析．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DEB=∠EBC=35°，再根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）根据三角形的外角性质得出∠EGH ＞∠ABC ，又根据平行线的性质得出∠ABC=∠ADE ，即可得出答案；（3）根据全等三角形判定的“SAS”定理即可得到结论．【详解】（1）解：∵DE//BC ，∠EBC ＝35°，∴∠DEB ＝∠EBC ＝35°，又∵∠BDE+∠DEB+∠DBE ＝180°，∠DBE ＝40°，∴∠BDE ＝105°；（2）证明：∵∠EGH 是△FBG 的外角，∴∠EGH ＞∠ABC ，又∵DE//BC ，∴∠ABC ＝∠ADE ，∴∠EGH ＞∠ADE ；（3）全等．证明：E 是AC 和FG 的中点，∴AE ＝CE ，FE ＝GE ，在△AFE 和△CEG 中，AE CE AEF CEG FE GE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE ≌△CGE （SAS ）．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质的应用，全等三角形的判定，三角形内角和定理，能运用三角形外角性质进行推理是解此题的关键．。

全等三角形一、全等三角形的概念与性质1、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，记作ABC∆≌DEF∆2、性质：（1）对应边相等（2）对应角相等（3）周长相等（4）面积相等1．下列各组的两个图形属于全等图形的是( )2．如图，△ABD≌△ACE，则∠B与________，∠AEC与________，∠A与________是对应角；则AB与________，AE与________，EC与________是对应边．第2题图第3题图3．如图，△ABC≌△CDA，∠ACB＝30°，则∠CAD的度数为________．4．如图，若△ABO≌△ACD，且AB＝7cm，BO＝5cm，则AC＝________cm.第4题图第5题图5．如图，△ACB≌△DEB，∠CBE＝35°，则∠ABD的度数是________．6．如图，△ABC≌△DCB，∠ABC与∠DCB是对应角．(1)写出其他的对应边和对应角；(2)若AC＝7，DE＝2，求BE的长．二、全等三角形的判定1 全等三角形的判定方法：（SAS）,(SSS), (ASA), (AAS),(HL)边边边（SSS）边角边（SAS）角边角(ASA) 角角边AAS 直角边和斜边（HL）三边对应相等的两三角形全等有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.两角和及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等.有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL）专题一：“边边边”全等三角形（SSS）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”，几何表示如图，在ABC∆和DEF∆中，ABCEFBCEBDEAB∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SASDEF∆【典型例题】AC=DF （SSS)例1找第三边（减公共部分）如图，已知点B，C，D，E 在同一直线上，且A B=AE，AC=AD，BD=CE．求证：△ABC≌△AED．例2找第三边（加公共部分）如图，点B，E，C，F 在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BF=CE，求证：△ABC≌△DEF；例3找第三边（公共边）如图，AD=CB，AB=CD，求证：△ACB≌△CAD．巩固练习1．如图，下列三角形中，与△ABC全等的是( )A．① B．② C．③ D．④2．如图，已知AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，则∠D的度数是( ) A．30° B．60° C．20° D．50°第2题图第3题图3．如图，AB＝DC，请补充一个条件：________，使其能由“SSS”判定△ABC≌△DCB.4．如图，A，C，F，D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF.求证：△ABC≌△DEF.5．如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.求证：∠ADE＝∠AED.6.如图，在ABC ∆中，M 在BC 上，D 在AM 上，AB=AC , DB=DC 求证：AM 是ABC ∆的角平分线7.如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC 的中点。

2021年三角形全等的判定（2）边角边一．选择题（共2小题）1．如图，已知AB＝AE，AC＝AD，再需要哪两个角对应相等，就可以应用SAS判定△ABC≌△AED．（）A．∠A＝∠A B．∠C＝∠D C．∠B＝∠E D．∠BAC＝∠EAD 2．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．下列结论不正确的是（）A．∠BAD＝∠CAE B．△ABD≌△ACE C．AB＝BC D．BD＝CE二．解答题（共4小题）3．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，MB＝NC．求证：DM＝DN．4．如图所示，AD是△ABC的中线，在AD及其延长线上截取DE＝DF，连接CE、BF，试判断△BDF与△CDE全等吗？BF与CE有何位置关系？并说明原因．5．已知，如图△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：AM＜12(AB+AC)．6．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD、AG．（1）求证：AD＝AG；（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．2021年三角形全等的判定（2）边角边参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，已知AB ＝AE ，AC ＝AD ，再需要哪两个角对应相等，就可以应用SAS 判定△ABC≌△AED ．（ ）A ．∠A ＝∠AB ．∠C ＝∠D C ．∠B ＝∠E D ．∠BAC ＝∠EAD【分析】观察图形，找着已知条件在图形上的位置，然后结合全等的判定方法可得．【解答】解：有AB ＝AE ，AC ＝AD ，必须加它们的夹角，所以是∠BAC ＝∠EAD ，D 是正确的；A 、B 、C 都不能应用SAS 判定△ABC ≌△AED ．故选：D ．【点评】若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，要结合图形做题，由位置定方法．2．如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ．下列结论不正确的是（ ）A ．∠BAD ＝∠CAEB ．△ABD ≌△ACEC ．AB ＝BCD ．BD ＝CE【分析】先证明△BAD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质，一一判断即可．【解答】证明：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，故A 正确，在△BAD 和△ACE 中，{BA =CA ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD ≌△CAE ，故B 正确，∴BD ＝EC ，故D 正确，∴C 错误，故选：C ．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．二．解答题（共4小题）3．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，点M ，N 分别在AB ，AC 边上，MB ＝NC ．求证：DM ＝DN ．【分析】根据等式的性质得出AM ＝AN ，根据SAS 证明△AMD 和△AND 全等，利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵AB ＝AC ，MB ＝NC ，∴AB ﹣MB ＝AC ﹣NC ，即AM ＝AN ，又∵AD 平分∠BAC ，∴∠MAD ＝∠NAD ，在△AMD 和△AND 中，{AM =AN ∠MAD =∠NAD AD =AD，∴△AMD ≌△AND （SAS ），∴DM ＝DN ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．4．如图所示，AD 是△ABC 的中线，在AD 及其延长线上截取DE ＝DF ，连接CE 、BF ，试判断△BDF 与△CDE 全等吗？BF 与CE 有何位置关系？并说明原因．【分析】结论：①△BDF ≌△CDE ②BF ∥CE ，①根据两边和夹角对应相等的两个三角形全等即可判断；②根据内错角相等两直线平行即可判断．【解答】解：结论：①△BDF ≌△CDE ②BF ∥CE ．理由：①∵AD 是△ABC 中线，∴BD ＝DC ，在△BDF 和△CDE 中，{BD =CD ∠BDF =∠EDC DF =DE，∴△BDF ≌△CDE ．②∴△BDF ≌△CDE ，∴∠F ＝∠CED ，∴BF ∥CE ．【点评】本题考查全等三角形的判断和性质、两直线平行的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型．5．已知，如图△ABC 中，AM 是BC 边上的中线，求证：AM ＜12(AB +AC)．【分析】可延长AM到D，使MD＝AM，连CD，则△ABM≌△DCM得AB＝CD，进而在△ACD中利用三角形三边关系，证之．【解答】证明：延长AM到D，使MD＝AM，连CD，∵AM是BC边上的中线，∴BM＝CM，又AM＝DM，∠AMB＝∠CMD，∴△ABM≌△DCM，∴AB＝CD，在△ACD中，则AD＜AC+CD，即2AM＜AC+AB，AM＜12（AB+AC）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，应熟练掌握．6．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD、AG．（1）求证：AD＝AG；（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．【分析】（1）由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定义得∠HFB＝∠HEC，由得对顶角相等得∠BHF ＝∠CHE ，所以∠ABD ＝∠ACG ．再由AB ＝CG ，BD ＝AC ，利用SAS 可得出三角形ABD 与三角形ACG 全等，由全等三角形的对应边相等可得出AD ＝AG ，（2）利用全等得出∠ADB ＝∠GAC ，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB ＝∠AED +∠DAE ，又∠GAC ＝∠GAD +∠DAE ，利用等量代换可得出∠AED ＝∠GAD ＝90°，即AG 与AD 垂直．【解答】（1）证明：∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，∴∠HFB ＝∠HEC ＝90°，又∵∠BHF ＝∠CHE ，∴∠ABD ＝∠ACG ，在△ABD 和△GCA 中{AB =CG ∠ABD =∠ACG BD =CA，∴△ABD ≌△GCA （SAS ），∴AD ＝GA （全等三角形的对应边相等）；（2）位置关系是AD ⊥GA ，理由：∵△ABD ≌△GCA ，∴∠ADB ＝∠GAC ，又∵∠ADB ＝∠AED +∠DAE ，∠GAC ＝∠GAD +∠DAE ，∴∠AED ＝∠GAD ＝90°，∴AD ⊥GA ．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．。

三角形全等的判定（HL ）作业一、选择题1、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）A 、两条直角边对应相等B 、斜边和一锐角对应相等C 、斜边和一条直角边对应相等D 、两个锐角对应相等2、如图，点C 在∠DAB 的内部，CD ⊥AD 于D ，CB ⊥AB 于B ，CD=CB 那么Rt △ADC ≌Rt △ABC 的理由是（ ）A.SSSB.ASAC. SASD. HL3、如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，AC ∥DB ，且AC=BD ，那么Rt △AEC ≌Rt △BFC 的理由是（ ）.A ．SSSB. AASC. SASD. HLA C DB F ┎ BCD A E4、下列说法正确的个数有（ ）.①有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等；②有两边对应相等的两个直角三角形全等；③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等；④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等.A ．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个5、在△ABC 和△A'B'C'中，如果AB=A'B'，∠B=∠B'，AC=A'C'，那么这两个三角形（ ）.A ．全等B. 不一定全等C. 不全等D. 面积二、填空题6、如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，（1）若AC//DB ，且AC=DB ，则△ACE ≌△BDF ，根据（2）若AC//DB ，且AE=BF ，则△ACE ≌△BDF ，根据（3）若AE=BF ，且CE=DF ，则△ACE ≌△BDF ，根据（4）若AC=BD ，AE=BF ，CE=DF 。

则△ACE ≌△BDF ，根据7、 若AC=BD ，CE=DF （或AE=BF ），则△ACE ≌△BDF ，根据8、过等腰△ABC 的顶点A 作底面的垂线，就得到两个全等三角形，其理由是 .9、如图，△ABC 中，∠C=90 o ，AM 平分∠CAB ，CM=20cm ，那么M 到AB 的距离是 cm.┐A B MC三、解答题10、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由解：AB平行于CD理由如下：∵AF⊥BC，DE⊥BC （已知）∴∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）∵BE=CF，∴BF=CE在Rt△和Rt△中∵∴≌（）∴= （）∴（内错角相等，两直线平行）11、如图，已知AD为ΔABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F,且BF=AC,FD=CD.求证：BE⊥AC⎩⎨⎧==_______________________________21F E B D A C12、已知BA ⊥BD,FD ⊥BD, AB=CD ,AC=CF 求证： AC ⊥FC.13、如图,在△ABC 中，D 是BC 中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，AE ＝AF. 求证： ∠B=∠CD B AF CA B C D E F14、已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC. 求证：BE=DF.15、如图，已知AB=AD,AC=AE, ∠ABC =∠ADE=90°，BC与DE相交于点F.求证：CF=EF．。

专题12.6全等三角形的判定（ASA 与AAS）（精选精练）（专项练习）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，这是被墨迹污染了一部分的三角形，王林根据所学的知识很快就画出了一个与其全等的三角形，画图的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA2．（21-22八年级上·江苏淮安·期中）如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ．DE FE =．FC AB ∥．若6AB =．4CF =．则BD 的长是（）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．33．（23-24七年级下·广东河源·期中）如图，EOF ∠内有一定点P ，过点P 的一条直线分别交射线OE 于A ，交射线OF 于B ．当满足下列哪个条件时，AOB 的面积一定最小（）A ．OP 为AOB 的中线B ．OP 为AOB 的角平分线C ．OP 为AOB 的高D ．OA OB=4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形ABCD 中，DE BC ⊥，BD 平分ABC ∠，AD CD =，4BE =，3DE =，1CE =，则ABD △的面积是（）A ．4.5B ．6C ．9D ．125．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知点D 为ABC 边AC 上一点，点E 为ABC 外一点，如果123∠=∠=∠，且BC BE =，那么下列结论中正确的是（）A ．ABD FBE △≌△B ．ABD DBE △≌△C ．ABC FBE ≌D ．ABC DBE≌6．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90C ∠=︒，ABC ∠和BAD ∠的平分线交于点P ，点P 在CD 上，PE AB ⊥于点E ，若四边形ABCD 的面积为78，13AB =，则CD 的长为（）A ．6B ．10C ．12D ．187．（21-22八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，下列条件不能证明ABC DCB △≌△的是（）A ．AC BD =，A D∠=∠B ．AB DC =，ABC DCB ∠=∠C ．BO CO =，A D ∠=∠D ．AB DC =，AC DB=8．（22-23八年级上·河北廊坊·期中）如图，下列条件中，不能证明ABC DCB △≌△的是（）A ．AB DC =，AC DB =B ．AB DC =，ABC DCB∠=∠C ．AB DC =，ACB DBC ∠=∠D ．ACB DBC ∠=∠，A D∠=∠9．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在ABC 与AEF △中，A C E 、、三点在一条直线上，180AEF BAF ︒∠+∠=，BCE BAF ∠=∠，AB AF =，若24BC =，14EF =，则AC CE AE -的值为（）A ．16B ．27C ．15D ．31010．（23-24七年级下·陕西西安·期中）小曲在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O 处用一根细绳悬挂一个小球A ，小球A 可以自由摆动，如图，OA 表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从OA 摆到OB 位置，此时过点B 作BD OA ⊥于点D ，当小球摆到OC 位置时，OB 与OC 恰好垂直（图中的O A B C D 、、、、均在同一平面上），过点C 作CE OA ⊥于点E ．现已知85cm OA OB OC ===，测得10cm AD =，则CE 的长为（）A ．70cmB ．75cmC ．85cmD ．无法确定二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，AB CD ，DF EF =，12AB =，9CD =，则AE 等于．12．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，AC AD =，12∠=∠，要使用“ASA”判定ABC AED ≌△△，应添加的条件是．13．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥于点D ，BE CE ⊥于点E ，若9AD =，2DE =，则BE =．14．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，ABC 中，AD 平分BAC ∠，CE AD ⊥于点F ，交AB 于点E ，如果9AB =，5AC =，那么BE =．15．（2024·广西崇左·三模）如图，一个等腰直角三角形ABC 物件斜靠在墙角处()90O ∠=︒，若40cm OA =，30cm OB =，则点C 离墙的水平距离是cm ．16．（2024·重庆·三模）如图，ABC 中，BD AC ⊥于点D ，AB CE ^于点E ，CE 与BD 相交于点H ，已知2AD HD ==，6CD =，则ABC 的面积为．17．（23-24七年级下·四川雅安·期中）如图，90,,E F B C AE AF ∠=∠=︒∠=∠=，给出下列结论：①12∠=∠；②BE CF =；③ACN ABM △≌△；④CN AM =，其中正确的结论是．（将你认为正确的结论序号都填上）18．（23-24八年级下·重庆南岸·期中）如图，在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=，点D 是边BC 上的一点，过点B 作BE AD ⊥交AD 的延长线于点E ，延长EB 至点F ，使得EF AE =，连接CF 交AE 于点H ，连接AF ，若1BE =， 2.3EH =，则AE 的长度为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2024·江苏无锡·二模）如图，ABC 中，点E 是AC 的中点，过点C 作CD AB ∥，连接DE 并延长交AB 于点F ，连接AD 、CF ．（1）求证：AEF CED △≌△；（2）若5AB =，3CD =，求BF 的长．20．（8分）（2024·陕西渭南·二模）如图，点A 为ABC 和ADE V 的公共顶点，已知C E ∠=∠，AC AE =，请你添加一个条件，使得AB AD =．（不再添加其他线条和字母）（1）你添加的条件是______；（2）根据你添加的条件，写出证明过程．21．（10分）（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的岸边点B 处，选对岸正对的一棵树A ；②沿河岸直行15m 处有一棵树C ，继续前行15m 到达点D 处；③从点D 处沿河岸垂直的方向行走，当到达A 树正好被C 树遮挡住的点E 处时，停止行走；④测得DE 的长为10m（1）请你判断他们做法的正确性并说明理由；（2）河的宽度是多少米？22．（10分）（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在ABC 和AEF △中，点E 在BC 边上，C F AC AF CAF BAE ∠=∠=∠=∠，，，EF 与AC 交于点G ．（1）试说明：ABC AEF △△≌；（2）若5520B C ∠=︒∠=︒，，求EAC ∠的度数．23．（10分）（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AE AC =，AF 垂直CB 的延长线于点F ．（1）如图1．①ABC 和ADE V 全等吗？请说明理由；②求FAE ∠的度数；（2）如图2，延长BF 到点G ，使得FG FB =，连接AG ，请你写出CD ，BF 和DE 之间的数量关系，并说明理由．24．（12分）（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读与思考：在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决，比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．例：如图1，D 是ABC 内一点，且AD 平分,BAC CD AD ∠⊥，连接BD ，若ABD △的面积为10，求ABC的面积．该问题的解答过程如下：解：如图2，过点B 作BH CD ⊥交CD 延长线于点,H CH AB 、交于点E ，AD 平分BAC∠DAB DAC ∴∠=∠，AD CD⊥ 90ADC ADE ∴∠=∠=︒，在ADE V 和ADC △中，DAE DAC AD AD ADE ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，ADE ADC ∴△≌△（依据1）ED CD ∴=（依据2），ADE ADC S S = ，12BDE S DE BH =⋅ ，12BDC S CD BH =⋅ ，……（1）任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，____________；（2）任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；（3）应用：如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，,AB AC BE =平分CBA ∠交AC 于点D ，过点C 作CE BD ⊥交BD 延长线于点E ，若3CE =，求BDC 的面积．参考答案：1．D【分析】本题考查了全等三角形的应用，图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．【详解】解：由图可知，根据三角形两角及夹边可以作出，所以画图的依据是ASA ，故选：D ．2．B【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定ADE FCE ≌△△是解此题的关键，解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等．根据平行线的性质，得出,A FCE ADE F ∠=∠∠=∠，根据全等三角形的判定，得出ADE CFE △△≌，根据全等三角形的性质，得出AD CF =，根据6,4AB CF ==，即可求线段DB 的长．【详解】解：∵CF AB ∥，∴A FCE ADE F ∠=∠∠=∠，，在ADE V 和CFE 中，A FCE ADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AA )S ADE CFE ≌ ，∴4AD CF ==，∵6AB =，∴642DB AB AD =-=-=．故选：B ．3．A【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，过点P 的另一条直线CD 交OE 、OF 于点C 、D ，设PD PC <，过点A 作AG OF ∥交CD 于G ，证明()ASA APG BPD ≌，得出APG BPD S S = ，证明AOB AODG S S =四边形 ，根据COD AODG S S <四边形 ，得出AO B CO D S S <△△，即可证明结论．【详解】解：当点P 是AB 的中点时AOB S 最小；如图，过点P 的另一条直线CD 交OE 、OF 于点C 、D ，设PD PC <，过点A 作AG OF ∥交CD 于G ，∵AG OF ∥，∴GAP DBP∠=∠在APG 和BPD △中，GAP DBP AP BP APG BPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA APG BPD ≌，∴APG BPD S S = ，∴AOB AODG S S =四边形 ，∵COD AODG S S <四边形 ，∴AO B CO D S S <△△，∴当点P 是AB 的中点时AOB S 最小．故选：A ．4．A【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义和三角形的面积，利用全等三角形的性质求出AB 是解此题的关键．可以过D 作DF AB ⊥，交BA 的延长线于F ，证明DBE DBF ≌得出3DF DE ==，4BF BE ==，再证明Rt Rt CDE ADF ≌ ，得出1AF CE ==，求出AB ，求出ABD △的面积即可．【详解】解：过D 作DF AB ⊥，交BA 的延长线于F ，∵BD 平分ABC ∠，∴DBF DBE ∠=∠，在DBE 和DBF 中，90DFB DEB DBF DBE DB DB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBE DBF≌∴3DF DE ==，4BF BE ==，在Rt CDE △和Rt ADF 中AD CD DF DE =⎧⎨=⎩，∴Rt Rt CDE ADF ≌ ，∴1AF CE ==，∴3AB BF AF =-=∴ABD △的面积为133 4.52⨯⨯=，故选：A ．5．D【分析】本题主要考查全等三角形的判定，先证明,ABC DBE C E ∠=∠∠=∠，根据ASA 可证明ABC DBE ≌．【详解】解：∵2=3∠∠，∴2+3DBC DBC ∠∠=∠+∠，即ABC DBE ∠=∠，∵1=3,DFC BFE ∠∠∠=∠，∴C E ∠=∠，又BC BE =，∴()ASA ABC DBE ≌∴选项D 正确；而选项A 、B 、C 都无法证明三角形全等，故选：D ．6．C【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，平行线性质，通过证明DAP EAP ≌，EBP CBP ≌，得到AD AE BE BC ==，，根据()1122ABCD S AD BC DC AB DC =+⋅=⋅梯形求出结果即可．【详解】解：AD BC ∥ ，90C ∠=︒，90D ∴∠=︒，PE AB ⊥ 于点E ，90PEA PEB ∴∠=∠=︒，AP 平分BAD ∠，BP 平分ABC ∠，DAP EAP ∴∠=∠，EBP CBP ∠=∠，在DAP 与EAP 中，90D AEP DAP EAP AP AP ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS DAP EAP ∴ ≌，同理()AAS EBP CBP ≌，AD AE BE BC ∴==，，()()11178222ABCD S AD BC DC AE BE DC AB DC =+⋅=+⋅=⋅=梯形，13AB = ，12DC ∴=，故选：C ．7．A【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．运用全等三角形的判定定理有SAS 、ASA 、AAS 、SSS 逐项判断即可．【详解】解：A 、BC BC =、AC BD =，A D ∠=∠，不能推出ABC DCB ≌，故本选项符合题意；B 、AB DC =，ABC DCB ∠=∠，BC BC =，符合全等三角形的判定定理“SAS ”，即能推出ABC DCB ≌，故本选项不符合题意；C 、在AOB 和DOC △中，AOB DOC A D OB OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS AOB DOC ∴ ≌，AB DC ∴=，ABO DCO ∠=∠，OB OC = ，OBC OCB ∴∠=∠，ABC DCB ∴∠=∠，在ABC 和DCB △中，AB DC ABC DCB BC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，即能推出ABC DCB △≌△，故本选项不符合题意；D 、BC BC =、AB DC =、AC BD =符合“SSS ”，能推出ABC DCB △≌△，故本选项不符合题意．故选：A ．8．C【分析】利用公共边BC 和全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【详解】解：A 、AB DC =，AC DB =，BC BC =，根据SSS 可判断ABC DCB △≌△，所以本选项不符合题意；B 、AB DC =，ABC DCB ∠=∠，BC CB =，根据SAS 可判断ABC DCB △≌△，所以本选项不符合题意；C 、AB DC =，ACB DBC ∠=∠，BC BC =，无法判断ABC DCB △≌△，所以本选项符合题意；D 、ACB DBC ∠=∠，A D ∠=∠，BC CB =，根据AAS 可判断ABC DCB △≌△，所以本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．9．A【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据三角形外角性质、邻补角定义及角的和差求出B FAE ∠=∠，BCA AEF ∠=∠，利用AAS 证明ABC FAE ≌，根据全等三角形的性质得出24BC AE ==，14CA EF ==，则10CE AE CA =-=，据此求解即可，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题【详解】解:∵BCE BAF ∠=∠，BCE B BAE ∠=∠+∠，BAF BAE FAE ∠=∠+∠，∴B FAE ∠=∠，∵180AEF BAF ∠+∠=︒，180BCE BCA ∠+∠=︒，BCE BAF∠=∠∴BCA AEF ∠=∠，在ABC 和FAE 中，BCA AEF B FAE AB AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABC FAE ≌，∴24BC AE ==，14CA EF ==，∴10CE AE CA =-=，∴14101246AC CE AE --==，故选：A ．10．B【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明()AAS COE OBD ≌，即可求解．【详解】解：,OB OC ^Q 90BOD COE ∴∠+∠=︒，又CE OA ⊥ ，BD OA ⊥，90CEO ODB ∴∠=∠=︒，90BOD B ∴∠+∠=︒，COE B ∴∠=∠．在COE 和OBD 中，CEO BDO ∠=∠，COE B ∠=∠，OC OB =，()AAS COE OBD ∴≌ ，CE OD ∴=．∵85OA OB OC ===，10AD =∴75cmCE OD OA AD ==-=故选：B ．【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据AB CD 得到D FEB ∠=∠，结合角边角判定即可得到答案；【详解】解：∵AB CD ，∴D FEB ∠=∠，在DFC △与EFB △中，∵D FEB DF EF DFC EFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)DFC EFB ≌，∴CD BE =，∵12AB =，9CD =，∴1293AE AB BE =-=-=，故答案为：3．12．C D ∠=∠/D C∠=∠【分析】由12∠=∠可得CAB DAE ∠=∠，又有AC AD =，要使用“ASA”判定还缺少角，结合图形即可解答．【详解】解：添加C D ∠=∠，∵12∠=∠，∴12BAD BAD ∠+∠=∠+∠，∴CAB DAE ∠=∠，在ABC 与AED △中，C D AC AD CAB DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABC AED ≌△△；故答案为：C D ∠=∠．【点睛】此题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL 、、、、．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．13．7【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证CDA BEC ≌是解题的关键．易证CAD BCE ∠=∠，即可证明BEC DAC △≌△，可得CD BE CE AD ==，，根据BE CD CE CD ==-，即可解题．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，∴90BCE DCA ∠+∠=︒．∵AD CE ⊥，∴90DAC DCA ∠+∠=︒．∴BCE DAC ∠=∠，在BEC 和DAC △中，∵90,BCE DAC BEC CDA BC AC ∠=∠∠=∠=︒=，，∴BEC CDA ≌，∴9CE AD ==，CD BE =，2DE = ，927BE CD CE CD ∴==-=-=．故答案是：7．14．4【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，首先得到EAF CAF ∠=∠，然后证明出()ASA AFE AFC ≌△△，得到5AE AC ==，进而求解即可．【详解】∵AD 平分BAC ∠，∴EAF CAF∠=∠∵CE AD⊥∴90AFE AFC ∠=∠=︒又∵AF AF=∴()ASA AFE AFC ≌△△∴5AE AC ==∴954BE AB AE =-=-=．故答案为：4．15．70【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．过点C 作CD OB ⊥于点D ，通过证明()AAS AOB BDC ≌，得出40cm BD OA ==，最后根据OD OB BD =+，即可解答．【详解】解：如图，过点C 作CD OB ⊥于点D ，90O ABC BDC ∠=∠=∠=︒ ，∴1290ABO ABO ∠+∠=∠+∠=︒，12∴∠=∠（同角的余角相等）．∵ABC 为等腰直角三角形，∴AB BC =，在AOB 与BDC 中，12O BDC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS AOB BDC ≌．40cm BD OA ∴==．∴70cm OD OB BD =+=，故答案为：70．16．24【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据ASA 证明ADB HDC △≌△，得到6BD CD ==，再根据ABC 的面积1·2AC BD =解答即可求解，证明ADB HDC △≌△是解题的关键．【详解】解：∵BD AC ⊥，CE AB ⊥，∴90HDC ADB AEC ∠=∠=∠=︒，∴90A HCD ∠+∠=︒，90DHC HCD ∠+∠=︒，∴A DHC ∠=∠，在ADB 与HDC △中，A DHC AD HD ADB HDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ADB HDC ≌，∴6BD CD ==，∵268AC AD CD =+=+=，∴ABC 的面积11862422AC BD ==⨯⨯= ，故答案为：24．17．①②③【分析】本题考查了全等三角形的判断及性质，灵活运用已知条件证明三角形全等是解题的关键．利用所给条件证出 ≌ACF ABE ，利用全等三角形的性质可判断①和②，接着证出ACN ABM △≌△后即可判断③和④．【详解】解：∵在ACF △和ABE 中，E F B C AE AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ACF ABE ≌，∴AB AC =，BE CF =，EAB FAC ∠=∠，∴EAB CAB FAC CAB -==∠∠∠∠，∴12∠=∠，故①②正确；在ACN △和ABM 中，CAB CAB B C AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ACN ABM ≌，故③正确；∴CN MB =，∵无法判断CAB ∠与B ∠的数量关系，∴④无法判断，故答案为：①②③．18．5.6【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，过点C 作CM AE ⊥于M ，先证明()AAS ABE CAM ≌得到1BE AM ==，AE CM =，进而证明()AAS FHE CHM ≌，得到2.3EH MH ==，则 5.6AE AM MH HE =++=．【详解】解：如图所示，过点C 作CM AE ⊥于M ，∴90MAC MCA ∠+∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90EAB MAC ∠+∠=︒，∴EAB MCA ∠=∠，∵BE AE ⊥，∴90E AMC ∠=∠=︒，又∵AB AC =，∴()AAS ABE CAM ≌，∴1BE AM ==，AE CM =，∵EF AE =，∴EF CM =，又∵90E CMH =∠=︒∠，FHE CHM ∠=∠，∴()AAS FHE CHM ≌，∴ 2.3EH MH ==，∴ 5.6AE AM MH HE =++=．故答案为：5.6．19．(1)详见解析(2)2BF =【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）利用AAS 即可证明AEF CED △≌△；（2）结合（1）利用线段的和差即可解决问题．【详解】（1）证明：E 是AC 的中点，AE CE ∴=，∵CD AB ∥，AFE CDE ∴∠=∠，在AEF △和CED △中，AFE CDE AEF CED AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS AEF CED ∴△≌△；（2）解：由（1）知：AEF CED △≌△，3AF CD ∴==，5AB = ，2BF AB AF ∴=-=．20．(1)CAD EAB∠=∠(2)过程见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定；（1）根据题意添加的条件即可；（2）根据全等三角形的判定定理即可得到证明．【详解】（1）解：CAD EAB ∠=∠．（2）证明：∵CAD EAB ∠=∠，∴CAD BAD EAB BAD ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠．在ABC 和ADE V 中，BAC DAE ∠=∠，AC AE =，C E ∠=∠，∴ASA ABC ADE （）≌△△，∴AB AD =．21．(1)他们的做法是正确的，理由见解析(2)10m【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．（1）利用“角边角”证明ABC EDC △≌△，再根据全等三角形对应边相等即可解得；（2）根据全等三角形对应角相等可得AB DE =即可解答．【详解】（1）解：由题意可知，BC DC =，90ABC EDC ∠=∠=︒在ABC 和EDC △中，ABC EDC BC DC ACB ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABC EDC ≌，∴AB DE =，即他们的做法是正确的．（2）解：由（1）可知，10m AB DE ==．∴河的宽度是10m ．22．(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质是解题的关键．（1）根据等式的性质得BAC EAF ∠=∠，再利用ASA 即可证明结论；（2）由三角形内角和定理可得105BAC ∠=︒，根据全等三角形的性质可得AB AE =，再根据等腰三角形的性质可得55B AEB ∠=∠=︒，最后三角形内角和以及角的和差即可解答．【详解】（1）证明：∵CAF BAE ∠=∠，∴CAF EAC BAE EAC ∠+=∠+∠∠，即BAC EAF ∠=∠，在ABC 和AEF △中，,,C F AC AF BAC EAF ∠=∠=∠=∠，∴()ASA ABC AEF ≌；（2）解：∵5520B C ∠=︒∠=︒，，∴1805520105BAC ∠=︒-︒-︒=︒，∵ABC AEF △△≌，∴AB AE =，∴55B AEB ∠=∠=︒，∴18070BAE B AEB ∠=︒-∠-∠=︒，∴1057035EAC BAC BAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．23．(1)①ABC 和ADE V 全等，理由见解析；②135FAE ∠=︒；(2)2CD BF DE =+，理由见解析．【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，证明ABC ADE △≌△是解题的关键．（1）①由SAS 可证ABC ADE △≌△；②由等腰直角三角形的性质可得45AEC ACE ∠=∠=︒，由全等三角形的性质可得45ACB AED ∠=∠=︒，即可求解；（2）由全等三角形的性质可得ABC ADE ∠=∠，BC DE =，由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得AB AG AD ==，ABG AGB ADC ∠=∠=∠，由AAS 可证ACD ACG ≌△△，可得CD CG =，可得结论．【详解】（1）解：①ABC ADE △≌△，理由如下：90BAD CAE ∠=∠=︒ ，EAD CAB ∴∠=∠，在ABC 和ADE V 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABC ADE ∴ ≌；（2）②90CAE ∠=︒ ，AC AE =，45AEC ACE ∴∠=∠=︒，ABC ADE △≌△，45ACB AED ∴∠=∠=︒，AF CB Q ^，45FAC ∴∠=︒，135FAE ∴∠=︒；（2）解：2CD BF DE =+．理由：ABC ADE △≌△，ABC ADE ∴∠=∠，BC DE =，ADC ABG ∴∠=∠，AF BF ⊥ ，BF FG =，AB AG ∴=，AG AD ∴=，ABG AGB ADC ∠=∠=∠，又45ACG ACD ∠=∠=︒ ，()AAS ACD ACG ∴ ≌，CD CG ∴=，2CD BG CB BF DE ∴=+=+．24．(1)ASA ，全等三角形的对应边相等；(2)见解析；(3)9．【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）根据全等三角形判定和性质即可得到答案；（2）先推出()ASA ADE ADC ≌，得出ADE ADC S S = ，ED CD =，进而可得BDE BDC S S = ，即可得到答案；（3）延长CE 、BA 交于点F ，先推出()ASA FBE CBE ≌，得到6CF CE EF =+=，再推出()ASA ABD ACF ≌，得到6BD CF ==，进而求解即可．【详解】（1）上述解答过程中的依据1是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA ），依据2是：全等三角形的对应边相等；（2）∵ED CD=BDE BDC S S ∴= ．ADE BDE ADC BDCS S S S ∴=++即ABD ADC BDCS S S =+△△△ABC ABD ADC BDCS S S S =++△△△△220ABC ABD S S ∴== ；（3）延长,CE BA 交于点F．BE 平分CBA∠FBE CBE∴∠=∠CE BE⊥Q 90BEF BEC ∴∠+∠=︒在FBE 和CBE △中FBE CBE BE BE BEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA)FBE CBE ∴△≌△EF CE∴=3CE = 3EF ∴=，6CF CE EF =+=在Rt BEF △中，90EBF F ∠+∠=︒90BAC ∠=︒1801809090CAF BAC BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒=∠在Rt CAF △中，90ACF F ∠+∠=︒EBF ACF∴∠=∠在BAD 和CAF V 中DBA ACF AB AC BAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA)BAD CAF ∴ ≌6BD CF ∴==12BDC S BD CE =⨯⨯△1632=⨯⨯9=。

人教版八年级数学上册《第十二章全等三角形》课后练习及答案解析一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列说法正确的是（ ）A.形状相同的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等边三角形全等 2. 如图所示，a,b,c 分别表示△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是（ ）3.如图所示，已知△ABE ≌△ACD ，∠1=∠2，∠B=∠C ， 下列不正确的等式是（ ） B.∠BAE=∠CADA.AB=AC C.BE=DC D.AD=DE 4. 在△ABC 和△A /B /C /中,AB=A /B /,∠B=∠B /,补充条件后仍不一定能保证△ABC ≌△A /B /C /,则补充的这个条件是( )A ．BC=B /C / B ．∠A=∠A / C ．AC=A /C /D ．∠C=∠C / 5.如图所示，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）A.△ACE ≌△BCDB.△BGC ≌△AFCC.△DCG ≌△ECFD.△ADB ≌△CEA6. 要测量河两岸相对的两点A,B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C,D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ，使A,C,E 在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC ≌△ABC ，得ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（ ） 第3题图第5题图 第2题图第6题图AB C DA.边角边B.角边角C.边边边D.边边角7.已知：如图所示，AC=CD ，∠B=∠E=90°，AC ⊥CD ，则不正确的结论是（ ）A ．∠A 与∠D 互为余角B ．∠A=∠2C ．△ABC ≌△CED D ．∠1=∠28. 在△ABC 和△FED 中，已知∠C=∠D ，∠B=∠E ，要判定这两个三角形全等，还需要条件（ ） A.AB=ED B.AB=FD C.AC=FD D.∠A=∠F 9.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC 、∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于O 点，且BD 交AC 于点D ，CE 交AB 于 点E ．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD ≌△CBE ； ②△BAD ≌△BCD ；③△BDA ≌△CEA ；④△BOE ≌△COD ；⑤△ACE ≌△BCE ，上述结论一定正确的是（ ） A.①②③ B.②③④ C.①③⑤ D.①③④10、下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( ) A 、3个 B 、2个 C 、1个 D 、0个二、填空题（每题3分，共21分）11．如图６，ＡＣ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＢＤ，则△ＡＢＣ≌ ；应用的判定方法是 ．12．如图７，△ＡＢＤ≌△ＢＡＣ，若ＡＤ＝ＢＣ，则∠ＢＡＤ的对应角为 ．13．已知ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ⊥ＡＢ于Ｅ，且ＤＥ＝３cm ，则点Ｄ到ＡＣ的距离为 ．Ｂ Ｃ ＤＡ 图6 D O CBA 图8 A D CB图7 第9题图 第7题图14．如图８，ＡＢ与ＣＤ交于点Ｏ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＤ＝ＯＢ，∠ＡＯＤ＝ ，根据 可得△ＡＯＤ≌△ＣＯＢ，从而可以得到ＡＤ＝ ．15．如图９，∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＣ＝ＤＢ，欲使ＯＢ＝ＯＣ，可以先利用“ＨＬ”说明 ≌ 得到ＡＢ＝ＤＣ，再利用“ ”证明△ＡＯＢ≌ 得到ＯＢ＝ＯＣ． 16．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是 ．17．如图10，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带________去配，这样做的数学依据是是 ． 三、解答题（共29分）18. （6分）如右图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由．解： ∵AD 平分∠BAC∴∠________＝∠_________（角平分线的定义）在△ABD 和△ACD 中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∴△ABD ≌△ACD （ ） 19． （8分）如图，已知△≌△是对应角．（1）写出相等的线段与相等的角；（2）若EF=2.1 cm ，FH=1.1 cm ，HM=3.3 cm ，求MN和HG 的长度.第19题图图10 DCBA20．（7分）如图，A、B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B点出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE∥AB，使E、C、A在同一直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请你说明道理．21．（8分）已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．四、解答题（共20分）22．（10分）已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：①△BEC≌△DAE；②DF⊥BC．B C EF A23．（10分）如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．12章·全等三角形（详细答案）一、选择题 CBDCD BDCDC二、填空题 11、△ABD SSS 12、∠ABC 13、3cm 14、∠COB SAS CB 15、△ABC △DCB AAS △DOC 16、相等 17、○3 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等三、解答题18、AD CAD AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD SAS19、B 解：(1)EF=MN EG=HN FG=MH ∠F=∠M ∠E=∠N ∠EGF=∠MHN (2)∵△EFG ≌△NMH ∴MN=EF=2.1cm∴GF=HM=3.3cm ∵FH=1.1cm ∴HG=GF －FH=3.3－1.1=2.2cm 20、解：∵DE ∥AB ∴∠A=∠E在△ABC 与△CDE 中∠A=∠E BC=CD∠ACB=∠ECD∴△ABC ≌△CDE(ASA)∴AB=DE21、证明：∵AB ∥DE∴∠A=∠EDF∵BC ∥EFCA∴∠ACB=∠F∵AD=CF∴AC=DF在△ABC与△DEF中∠A=∠EDFAC=DF∠ACB=∠F△ABC≌△DEF(ASA)四、解答题22、证明：①∵ＢＥ⊥ＣＤ∴∠ＢＥＣ＝∠ＤＥＡ＝９０°在Ｒｔ△ＢＥＣ与Ｒｔ△ＤＥＡ中ＢＣ＝ＤＡＢＥ＝ＤＥ∴Ｒｔ△ＢＥＣ≌Ｒｔ△ＤＥＡ（ＨＬ）②∵Ｒｔ△ＢＥＣ≌Ｒｔ△ＤＥＡ∴∠Ｃ＝∠ＤＡＥ∵∠ＤＥＡ＝９０°∴∠Ｄ＋∠ＤＡＥ＝９０°∴∠Ｄ＋∠Ｃ＝９０°∴∠ＤＦＣ＝９０°∴ＤＦ⊥ＢC23、证明：在△ABC与△ADC中1=∠2AC=AC3=∠4∴△ABC≌△ADC(ASA)∴CB=CD在△ECD与△ECB中CB=CD∠3=∠4CE=CE∴△ECD≌△ECB(SAS)∴∠5=∠6第十二章全等三角形一、填空题（每小题4分,共32分）.1．已知：///ABC A B C ∆∆≌，/A A ∠=∠，/B B ∠=∠，70C ∠=︒，15AB cm =，则/C ∠=_________，//A B =__________．2．如图1，在ABC ∆中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D 点，E 、F 分别为DB 、DC 的中点，则图中共有全等三角形_______对．图1 图2 图33． 已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，若△ABC 的面积为10 cm 2，则△A ′B ′C ′的面积为______ cm 2，若△A ′B ′C ′的周长为16 cm ，则△ABC 的周长为________c m ． 4． 如图2所示，∠1=∠2，要使△ABD ≌△ACD ，需添加的一个条件是________________(只添一个条件即可)．5．如图3所示，点F 、C 在线段BE 上，且∠1=∠2，BC =EF ，若要使△ABC ≌△DEF ，则还需补充一个条件________，依据是________________．6．三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线_____一点，且该点在三角形______部． 7．如图4，两平面镜α、β的夹角 θ，入射光线AO 平行于β，入射到α上，经两 次反射后的出射光线CB 平行于α，则角θ等于________．8．如图5，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE ＝4，BD ＝8，△ABD 的面积为16，则ACE △ 的面积为______．二、选择题（每小题4分,共24分） 9．如图6，AE ＝AF ，AB ＝AC ，E C 与B F 交于点O ，∠A ＝600，∠B ＝250，则∠E OB 的度数为（ ）A 、600B 、700C 、750D 、85010．△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为100 cm ，A 、B 分别与D 、E 对应，且AB ＝35 cm ，DF =30 cm ，则EF 的长为( ) A ．35 cm B ．30 cm C ．45 cm D ．55 cm11．图7是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在________两点上的木条．( )A ．A 、FB ．C 、E C ．C 、AD ．E 、F12．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD= BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上，可以证明△EDC ≌△ABC ， 得到ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长（如图8），判定△EDC ≌△ABC 的理由是（ ）NAMC B图7 图8 图9 图10A．边角边公理 B．角边角公理； C．边边边公理 D．斜边直角边公理13．如图9，在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（）A．1:2 B．1:3C．2:3 D．1:414．如图10，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于F，并分别交OA、OB于CD，则CD_____P点到∠AOB两边距离之和．( )A．小于B．大于C．等于D．不能确定三、解答题（共46分）中，∠ACB=90°，延长BC至B'，使15．已知如图11，ABCC B'=BC，连结A B'．求证：△AB B'是等腰三角形．图11第十二章全等三角形。

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专题(一）三角形高线与角平分线的夹角探究方法点津·根据三角形的内角和定理及外角性质，还有角平分线、高的性质，可以发现从三角形的一个顶点出发的高与角平分线的夹角与另两个内角之间有一个不变的数量关系,呈现如下：图1－S－1典题精练·1．如图1－S－2，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝70°,∠C＝30°。

（1）求∠BAE的度数．（2）求∠DAE的度数．(3)探究:小明认为若将条件“∠B＝70°，∠C＝30°"改成“∠B－∠C＝40°”，也能得出∠DAE的度数，小明的想法正确吗？若正确，请你写出求解过程；若不正确,请说明理由．图1－S－22．如图1－S－3①，在△ABC中，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC＝α，∠B ＝β（α＞β)．（1)若∠BAC＝70°，∠B＝40°，求∠DCE的度数；(2）已知∠BAC＝α，∠B＝β（α＞β），则∠DCE＝________（用含α，β的式子表示);(3）若将△ABC换成钝角三角形，如图1－S－3②，其他条件不变，试用含α,β的式子表示∠DCE的度数，并说明理由；图1－S－3（4）如图1－S－3③，若CE是△ABC外角∠ACF的平分线，交BA延长线于点E，且α－β＝30°，则∠DCE＝________°(直接写出结果）．3．如图1－S－4,在△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC，垂足为D,AE平分∠BAC.已知∠B＝65°，∠DAE＝20°，则∠C＝________°.图1－S－44.如图1－S－5，在△ABC中，∠A＝38°，∠B＝70°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB,DP ⊥CE于点P，则∠CDP的度数为________．图1－S－55．（1)感知:如图1－S－6①,在△ABC中,AD平分∠BAC，AE⊥BC,∠B＝40°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；(2）探究：如图1－S－6②，在△ABC中，若把（1)中的“AE⊥BC"变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”,其他条件不变，求∠DFE的度数；（3）拓展：如图1－S－6③,若把（1）中的△ABC变成四边形ABEC，把“AE⊥BC”变成EA平分∠BEC，其他条件不变,猜测∠DAE的度数是否变化，请证明你的结论．图1－S－6专题（二) 三角形内、外角的平分线的夹角探究类型一三角形两内角的平分线的夹角根据三角形内角和定理与角平分线的性质，可以发现三角形两内角的平分线相交所得到的钝角与第三个角有一个不变的等量关系：图2－S－11．如图2－S－2所示，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上移动,△AOB的角平分线AC与BD相交于点P，随着点A，B的位置的变化，∠APB的大小是否变化?若保持不变,请说明理由；若发生变化，请求出变化的范围．图2－S－22．已知在△ABC中,∠A＝50°。

人教版数学八年级上册《三角形全等的判定（2）》教学设计一. 教材分析《三角形全等的判定（2）》是人教版数学八年级上册的教学内容，本节课是在学生已经掌握了三角形全等的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）的基础上进行进一步的深入学习。

通过本节课的学习，学生将能够灵活运用三角形全等的判定方法，解决实际问题。

二. 学情分析学生在七年级时已经接触过三角形全等的概念和判定方法，对于三角形全等的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）有一定的了解。

但部分学生对于这些判定方法的内在联系和应用场景还不够清晰。

因此，在教学过程中，教师需要帮助学生理解三角形全等判定方法的原理，并通过实例让学生体会不同判定方法的适用情况。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握三角形全等的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），并能灵活运用这些方法解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间观念和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.教学重点：三角形全等的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）的掌握和应用。

2.教学难点：理解三角形全等判定方法的内在联系，以及在不同情况下选择合适的判定方法。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入课题，激发学生的学习兴趣。

2.问题驱动法：引导学生提出问题，培养学生的独立思考能力。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作意识。

4.实践操作法：让学生动手操作，提高学生的实践能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示三角形全等的判定方法及相关实例。

2.教学素材：准备一些三角形模型或图片，用于引导学生观察和操作。

3.教学视频：搜集一些与三角形全等相关的教学视频，用于导入或辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用教学视频或生活实例引入三角形全等的判定方法，引导学生思考：如何判断两个三角形全等？2.呈现（10分钟）介绍三角形全等的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），并通过课件展示各自的判定条件。

《讲亮点》2022-2023学年八年级数学上册教材同步配套讲练《苏科版》专题1.2 全等三角形的判定（上） 【教学目标】1、掌握全等三角形的判定方法：SAS 、ASA、AAS、SSS ；2、熟练掌握全等三角形的运用；【教学重难点】1、全等三角形的判定方法：SAS 、ASA 、AAS 、SSS ；2、构造辅助线找出隐藏的全等关系；【知识亮解】知识点一、全等三角形判定1——“边边边”定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .【例1】★如图，用尺规作一个角等于已知角，其作图原理是：由△ODC ≌△O ′D ′C ′得∠AOB ＝∠A ′O ′B ′，其依据的定理是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS【答案】A 【解析】在△OCD 与△O ′C ′D ′，∵''''''O C OC O D OD C D CD =ìï=íï=î,∴△OCD ≌△O ′C ′D ′（SSS ），2×3排列的可找出9△DAF，△BGQ，△CGQ【答案】（1）证明见解析；（2）37°【解析】（1）∵AC=AD+DC ， DF=DC+CF ，且AD=CF ，∴AC=DF在△ABC 和△DEF 中，AB DE BC EF AC DF =ìï=íï=î，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）（2）由（1）可知，∠F=∠ACB ，∵∠A=55°，∠B=88°，∴∠ACB=180°－（∠A+∠B ）=180°－（55°+88°）=37°，∴∠F=∠ACB=37°。