4.5反函数的概念
一、教学内容分析
“反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用. 二、教学目标设计
（1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；
（2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；
（3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、
独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情.
三、教学重点与难点：
反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定. 四、教学流程设计
五、教学过程设计 1、设置情境，引出概念
引例：在两种温度度量制摄氏度(C
)和华氏度（F
）相互转化时会发现，有时两人选
用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？
教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号
)(1
x f
y ；了解)(1
x f
表示反函数的符号，1
f
表示对应法则.
2、 探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件.
例1（1）2
x y （R x ）的反函数是 （2）2
x y （0 x ）的反函数是 （3）2
x y （0 x ）的反函数是 学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定义）：对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应，即x 与y 必须一一对应. ②探求求反函数的方法.（课本例题） 例2．求下列函数的反函数：
（1）24 x y （2）13
x y （3）)0(12
x x y
（4）)2
1
,(2413
x R x x x y
[说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影. 学生活动：探求求反函数的方法. （1） 变形:解方程，)(x f y 得)(1
y f
x ； （2） 互换:互换y x ,的位置，得)(1
x f
y ；
（3）写出定义域:注明反函数的定义域.
③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.
例3：在同一坐标下，画出例2中的函数及其反函数的图像.（在几何画板中显示）
教师点拨：指导学生观察函数及其反函数的图像，结合反函数的定义，探讨函数及其反
函数之间的关系.
学生活动：探讨互为反函数的两个函数的关系. ①从函数角度看：若函数)(x f y 有反函数)(1
x f
y ，则)(1
x f
y 的反函数是
)(x f y ，即)(x f y 和)(1
x f
y 互为反函数.反函数的定义域与值域恰好是原
函数的值域与定义域.
②从函数图像看：原函数和反函数图像关于x y 对称.
③从单调性来看：原函数和反函数均为单调函数，他们具有相同的单调性. 3、例题分析，巩固方法： （1）课本练习4.5 （2）补充练习：
1、给出下列几个函数：①)21
(12
x x y ；②
)
2(2)1(4x x x y ③)(23
R x x y ④)0()2( x x x y 其中不存在反函数的函数序号是 ②、④
2、若指数函数)(x f y 的反函数的图像经过点（２，－１），则此指数函数为 ( A )
（A ） x
y )2
1( （B ）x y 2 （C ）x
y 3 （Ｄ）x y 10
3、设)1(22)( x x x f ，则)(1
x f
（ D ）
（A ）在（), 上是增函数 （B ）在（), 上是减函数 （C ）在),0[ 上是减函数 （Ｄ）在（]0, 上是增函数
4、若函数)(x f 是函数 10222 x x y 的反函数，则)(x f 的图像为 （ B ）
A B C D
5、)21( 22
x x x y 反函数是 （ B ）
（A ）)11( 112 x x y （B ）)10( 112 x x y （C ）)11( 112 x x y
（D ）)10( 112 x x y
6、若)0( a b ax y 有反函数且它的反函数就是b ax y 本身，求b a ,应满足的条件.
解：由b ax y ，得b y ax .由0 a ，知a
b y a x
1. 所以函数b ax y 的反函数为a b
y a x
1. 由于函数b ax y 的反函数a
b
y a x 1就是函数b ax y 本身，即有
x
x
x
y
y
y
y
a a 1，且
b a
b
. 于是，解得1 a ，0 b 或1 a ，b 为任意实数.
教师点拨：提出两个问题：①什么样的一次函数，它的反函数正好是它本身？②除了一次
函数外，是否还存在其它函数，满足反函数就是它本身?(1
1
),0(
x x y k x k y 等) 4、课堂小结
①反函数的概念及求法； ②函数及其反函数的关系； 5、作业布置 练习册4.5 A 组 六、教学设计说明
1．反函数概念比较抽象，不能简单地从形式上来定义. 在教学时先通过实例根据自变量和应变量的不同，得到两个函数关系式和图像完全不同的函数.在此基础上指出这两个函数互为反函数，这样使学生对反函数有一个初步的认识.
2．在此基础上，引出反函数的一般概念，使得较抽象的概念能被学生逐步理解.然后再进一步强调函数),)((A y D x x f y 的反函数存在的条件——“对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应”.
3．通过学生对课本例题的练习，发现学生在解题过程中存在的问题.通过对课堂练习的点评，让学生了解并总结出求反函数的步骤. 同时让学生认识到若函数)(x f y 有反函数)(1
x f
y ，则)(1
x f
y 的反函数是)(x f y ，即)(x f y 和
)(1
x f
y 互为反函数，并了解反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义
域.
4．通过几何画板在同一坐标下演示课本例题的函数及其反函数的图像，让学生掌握y x ,互换的几何意义，了解原函数和反函数图像关于x y 对称，从而巩固对反函数概念的理解.
小
学二（2）班班规
一、 安全方面
1、 每天课间不能追逐打闹。
