人教新课标版数学高二-数学选修2-1专项训练3.1.5空间向量运算的坐标表示

3．1.5 空间向量运算的坐标表示1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标．2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直． 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．[学生用书P60]1．空间向量的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)， λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)， a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3．2．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0；|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23； cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23 b 21＋b 22＋b 23 . 3．空间中两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则A ，B 两点间的距离d AB ＝|AB →|＝（a 2－a 1）2＋（b 2－b 1）2＋（c 2－c 1）2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)即使建立的坐标系不同，同一向量的坐标仍相同．( ) (2)若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，a ∥b ，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3.( )(3)若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.( ) (4)若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则|AB →|＝AB →·AB→＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＋（z 2－z 1）2.( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋b ＝(10，－5，－6) B ．a －b ＝(2，－1，－6) C ．a ·b ＝10 D.|a |＝6答案：D与向量m ＝(0，1，－2)共线的向量是( ) A ．(2，0，－4) B ．(3，6，－12) C ．(1，1，－2) D.⎝⎛⎭⎫0，12，－1 答案：D已知a ＝(2，1，3)，b ＝(－4，5，x )，若a ⊥b ，则x ＝________． 答案：1已知A 点的坐标是(－1，－2，6)，B 点的坐标是(1，2，－6)，O 为坐标原点，则向量OA →与OB →的夹角是________．答案：π探究点1 空间向量的坐标运算[学生用书P61](1)已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1，4)，求a ＋b ，a －b ，a ·b ，(2a )·(－b )，(a ＋b )·(a －b )；(2)已知O 是坐标原点，且A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P 的坐标：①OP →＝12(AB →－AC →)；②AP →＝12(AB →－AC →)．【解】 (1)a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)；a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)； a ·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a )·(－b )＝－2(a ·b )＝－2×(－7)＝14；(a ＋b )·(a －b )＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8. (2)由题意知，AB →＝(2，6，－3)，AC →＝(－4，3，1)．①OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6，3，－4)＝(3，32，－2)，则点P 的坐标为(3，32，－2)．②设P(x，y，z)，则AP→＝(x－2，y＋1，z－2)．因为AP→＝12(AB→－AC→)＝(3，32，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x－2＝3y＋1＝32，z－2＝－2解得x＝5，y＝12，z＝0，则点P的坐标为(5，12，0)．关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标．1.已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝()A．－1 B．1C．0 D.－2解析：选A.因为p＝a－b＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0，3，1)，所以p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A.2．已知△ABC中，A(2，－5，3)，AB→＝(4，1，2)，BC→＝(3，－2，5)，求顶点B、C 的坐标及CA→.解：设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，所以AB→＝(x－2，y＋5，z－3)，BC→＝(x1－x，y1－y，z1－z)．因为AB→＝(4，1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝4y ＋5＝1z －3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝－4z ＝5，所以B 的坐标为(6，－4，5)． 因为BC →＝(3，－2，5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1－6＝3y 1＋4＝－2z 1－5＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝9y 1＝－6z 1＝10，所以C 的坐标为(9，－6，10)，CA →＝(－7，1，－7)． 探究点2 坐标形式下的平行与垂直[学生用书P61]已知空间三点A (－2，0，2)、B (－1，1，2)、C (－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)设|c |＝3，c ∥BC →，求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .【解】 (1)因为BC →＝(－2，－1，2)且c ∥BC →， 所以设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R )， 所以|c |＝ （－2λ）2＋（－λ）2＋（2λ）2＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.所以c ＝(－2，－1，2)或c ＝(2，1，－2)． (2)因为a ＝AB →＝(1，1，0)，b ＝AC →＝(－1，0，2)， 所以k a ＋b ＝(k －1，k ，2)， k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． 因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )， 所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0，即(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52.[变条件]将本例(2)中“若k a＋b与k a－2b互相垂直”改为“若k a＋b与a＋k b互相平行”，其他条件不变，求k的值．解：a＝(－1＋2，1－0，2－2)＝(1，1，0)，b＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1，0，2)，所以k a＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)．a＋k b＝(1，1，0)＋(－k，0，2k)＝(1－k，1，2k)，因为k a＋b与a＋k b平行，所以k a＋b＝λ(a＋k b)，即(k－1，k，2)＝λ(1－k，1，2k)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k－1＝λ（1－k），k＝λ·1，2＝λ·2k，则⎩⎪⎨⎪⎧k＝－1，λ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧k＝1，λ＝1.判断空间向量垂直或平行的步骤(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行．(2)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或x1x2＝y1y2＝z1z2(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．1.已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则()A．x＝13，y＝1 B．x＝12，y＝－4C．x＝2，y＝－14 D.x＝1，y＝－1解析：选B.由题意知，a＋2b＝(2x＋1，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)．因为(a＋2b)∥(2a－b)，所以存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ（2－x ），4＝3λ，4－y ＝λ（－2y －2），解得⎩⎨⎧λ＝43，x ＝12，y ＝－4.2．已知空间三点O (0，0，0)，A (－1，1，0)，B (0，1，1)，若直线OA 上的一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为________．解析：设H (x ，y ，z )，则OH →＝(x ，y ，z )，BH →＝(x ，y －1，z －1)，OA →＝(－1，1，0)．因为BH ⊥OA ，所以BH →·OA →＝0，即－x ＋y －1＝0 ①，又点H 在直线OA 上，所以OA →＝λOH →，即 ⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λx ，1＝λy ，0＝λz②，联立①②解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝12，z ＝0.所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，12，0 探究点3 向量夹角与长度的计算[学生用书P62]如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 是A 1A 的中点．(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值．【解】 如图，以C 为坐标原点，分别以CA →，CB →，CC 1→为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz .(1)依题意得B (0，1，0)，N (1，0，1)． 所以|BN →|＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝ 3.(2)依题意得A 1(1，0，2)，B (0，1，0)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2)． 所以BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→＝(0，1，2)， 所以BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝ 5. 所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为夹角与距离问题．已知空间三点A (1，2，3)，B (2，－1，5)，C (3，2，－5)．求：(1)向量AB →，AC →的模； (2)向量AB →，AC →夹角的余弦值．解：(1)因为AB →＝(2，－1，5)－(1，2，3)＝(1，－3，2)， AC →＝(3，2，－5)－(1，2，3)＝(2，0，－8)， 所以|AB →|＝ 12＋（－3）2＋22＝14，|AC →|＝22＋02＋（－8）2＝217.(2)因为AB →·AC →＝(1，－3，2)·(2，0，－8) ＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14， 所以cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－1414×217＝－23834.因此，向量AB →，AC →夹角的余弦值为－23834.1．已知向量a ＝(0，－1，1)，b ＝(4，1，0)，|λa ＋b |＝29，且λ＞0，则λ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D.5解析：选 B.λa ＋b ＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa ＋b |＝42＋（1－λ）2＋λ2＝29，且λ＞0，解得λ＝3.2．已知点A (－1，3，1)，B (－1，3，4)，若AP →＝2PB →，则点P 的坐标是________． 解析：设点P (x ，y ，z )，则由AP →＝2PB →，得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x ，3－y ，4－z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1，3，3)． 答案：(－1，3，3)3．已知向量a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4)，c ＝(2，x ，－4)． (1)判断a ，b 的位置关系； (2)若a ∥c ，求|c |；(3)若b ⊥c ，求c 在a 方向上的投影的长． 解：(1)因为a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4)， 所以b ＝－2a ，所以a ∥b .(2)因为a ∥c ，所以21＝x 2＝－4－2，解得x ＝4.所以c ＝(2，4，－4)，从而|c |＝22＋42＋（－4）2＝6.(3)因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即(－2，－4，4)·(2，x ，－4)＝－4－4x －16＝0，解得x ＝－5，所以c ＝(2，－5，－4)． 所以c 在a 方向上的投影的长为|c |cos 〈a ，c 〉＝|c |×a ·c |a ||c |＝1×2－2×5＋2×412＋22＋（－2）2＝2－10＋83＝0.[学生用书P63]知识结构深化拓展对空间向量坐标运算的两点说明(1)类比平面向量坐标运算：空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广．推广时注意利用向量的坐标表示，即向量在平面上是用惟一确定的有序实数对表示，即a＝(x，y)．而在空间中则表示为a＝(x，y，z)．(2)运算结果：空间向量的加法、减法、数乘坐标运算结果依然是一个向量；空间向量的数量积坐标运算的结果是一个实数.[学生用书P135(单独成册)][A基础达标]1．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则a－b＋2c＝()A．(－9，－3，0) B．(0，2，－1)C．(9，3，0) D.(9，0，0)解析：选 C.a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋(6，2，0)＝(3，1，0)＋(6，2，0)＝(9，3，0)．2．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为()A．2 B．3C．4 D.5解析：选B.设BC边的中点为D，则AD→＝12(AB→＋AC→)＝(－1，－2，2)，所以|AD→|＝1＋4＋4＝3.3．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x的值为()A．2 B．－2C．0 D.1解析：选A.因为c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，所以(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝2－2x ＝－2. 所以x ＝2.4．若△ABC 中，∠C ＝90°，A (1，2，－3k )，B (－2，1，0)，C (4，0，－2k )，则k 的值为( )A.10 B ．－10 C ．2 5D.±10解析：选D.CB →＝(－6，1，2k )，CA →＝(－3，2，－k )， 则CB →·CA →＝(－6)×(－3)＋2＋2k ×(－k ) ＝－2k 2＋20＝0， 所以k ＝±10.5．(2018·四川南充高二(下)月考)已知向量a ＝(1，2，3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D.150°解析：选 C.a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a ·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，〈a ，c 〉＝120°. 6．已知点A (λ＋1，μ－1，3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＝________，μ＝________．解析：因为AB →＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，AC →＝(2，－2，6)，由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥AC →，即λ－12＝－12＝λ－2μ－36，解得λ＝0，μ＝0.答案：0 07．在空间直角坐标系中，已知点A (1，－2，11)，B (4，2，3)，C (6，－1，4)，则△ABC 一定是________三角形．解析：因为AB →＝(3，4，－8)，AC →＝(5，1，－7)，BC →＝(2，－3，1)，所以|AB →|＝32＋42＋（－8）2＝89，|AC →|＝52＋12＋（－7）2＝53，|BC →|＝22＋（－3）2＋1＝14，所以|AC →|2＋|BC →|2＝|AB →|2，所以△ABC 一定为直角三角形． 答案：直角8．若a ＝(x ，2，2)，b ＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是________．解析：a·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝a·b |a ||b |＜0，又|a |＞0，|b |＞0，所以a·b ＜0，即2x ＋4＜0，所以x ＜－2.又a ，b 不会反向，所以实数x 的取值范围是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)9．已知向量a ＝(x ，4，1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，且a ∥b ，b ⊥c .(1)求向量a ，b ，c ；(2)求向量a ＋c 与向量b ＋c 所成角的余弦值．解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1， 解得x ＝2，y ＝－4，此时a ＝(2，4，1)，b ＝(－2，－4，－1)．又由b ⊥c 得b·c ＝0，故(－2，－4，－1)·(3，－2，z )＝－6＋8－z ＝0，得z ＝2，此时c ＝(3，－2，2)．(2)由第一问得，a ＋c ＝(5，2，3)，b ＋c ＝(1，－6，1)，因此向量a ＋c 与向量b ＋c 所成角θ的余弦值为cos θ＝5－12＋338×38＝－219. 10．已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1，2)，B (1，2，－1)，C (－1，1，－3)，D (3，－5，3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．证明：因为AB →＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)，CD →＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)，且－24＝3－6＝－36，所以AB →与CD →共线． 又因为AB 与CD 不共线，所以AB ∥CD .又因为AD →＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)，BC →＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)，且0－2≠－4－1≠1－2，所以AD →与BC →不平行． 所以四边形ABCD 为梯形．[B 能力提升]11．从点P (1，2，3)出发，沿着向量v ＝(－4，－1，8)方向取点Q ，使|PQ |＝18，则Q 点的坐标为( )A ．(－7，0，19)B ．(9，4，－13)C ．(－7，0，19)或(9，4，－13)D ．(－1，－2，3)或(1，－2，－3)解析：选C.设Q (x 0，y 0，z 0)，则PQ →＝λv ，即(x 0－1，y 0－2，z 0－3)＝λ(－4，－1，8)．由|PQ |＝18得（－4λ）2＋（－λ）2＋（8λ）2＝18，所以λ＝±2，所以(x 0－1，y 0－2，z 0－3)＝±2(－4，－1，8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－7，y 0＝0，z 0＝19或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝9，y 0＝4，z 0＝－13.12．已知O 为坐标原点，OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，34，13B.⎝⎛⎭⎫12，23，34C.⎝⎛⎭⎫43，43，83D.⎝⎛⎭⎫43，43，73解析：选C.设OQ →＝λOP →，则QA →＝OA →－OQ →＝OA →－λOP →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝OB→－OQ →＝OB →－λOP →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2[3(λ－43)2－13]． 所以当λ＝43时，QA →·QB →最小，此时OQ →＝43OP →＝(43，43，83)，即点Q 的坐标为(43，43，83)． 13．已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)．(1)求分别以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 与向量AB →，AC →均垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．解：(1)因为AB →＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)，所以|AB →|＝（－2）2＋（－1）2＋32＝14， |AC →|＝12＋（－3）2＋22＝14，所以cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12， 所以S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0，a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3，解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，所以a ＝(1，1，1)或(－1，－1，－1)．14．(选做题)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＋AD ＝4，CD ＝2，∠CDA ＝45°.设AB ＝AP ，在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理由．解：因为P A ⊥平面ABCD ，且AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AD .又AB ⊥AD ，所以AP ，AB ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等．连接GB ，GC，GP，设AB＝AP＝t，则B(t，0，0)，G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，则P(0，0，t)，D(0，4－t，0)．因为∠CDA＝45°，所以C(1，3－t，0)．所以GC→＝(1，3－t－m，0)，GD→＝(0，4－t－m，0)，GP→＝(0，－m，t)．由|GC→|＝|GD→|，得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m.①由|GD→|＝|GP→|，得(4－t－m)2＝m2＋t2.②由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0.③由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，C，D 的距离都相等．。

数学·选修2－1(人教A版)空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3．1.5空间向量运算的坐标表示课前训练一、选择题1．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为( )A．0° B．45° C．90° D．180°答案：C2. 已知a＝(1,1,0)，b＝(0, 1,1)，c＝(1, 0,1)，p＝a－b，q ＝a＋2b－c，则p·q＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－2解析：p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， 所以p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A.答案：A3．已知a ＝ (2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，若a 与b 夹角是钝角，则x 取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪⎝⎛⎭⎪⎫－6，103 B ．(－∞，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，103解析：a ·b ＜0且a 与b 不平行，由于a ∥b ⇒x ＝－6，a ·b ＝3x －10＜0⇒x ＜103， ∴x ∈ (－∞，－6)∪⎝⎛⎭⎪⎫－6，103. 答案：A4．已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(6,2μ－1,2)，若a ∥b ，则λ与μ的值分别为( )A.15，12B ．5,2C ．－15，－12D ．－5，－2答案：A5. 已知空间四点A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，D (x ，－1,3)共面，则x 的值为( )A ．4B ．1C ．10D ．11解析：AB →＝(－2,2，－2)，AC →＝(－1,6，－8)，AD →＝(x －4，－2,0)，因为A 、B 、C 、D 共面，所以AB →、AC→、AD →共面， 所以存在λ、μ，使AD →＝λAB →＋μAC →，即(x －4，－2,0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －4＝－2λ－μ，－2＝2λ＋6μ，0＝－2λ－8μ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－4，μ＝1，x ＝11.答案： D二、填空题 6．若三点A (2,2)，B (a,0)，C0，4共线，则a ＝__________.解析：利用AB →∥AC →列式求解．答案：47．已知向量a＝(1,1,0)，b＝ (－1,0,2)，且ka＋b与2a－b 互相垂直，则k的值是________．答案：7 58．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝29，且λ>0，则λ＝________.解析：a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，所以λa＋b＝(4,1－λ，λ)．因为|λa＋b|＝29，所以16＋(1－λ)2＋λ2＝29.所以λ2－λ－6＝0，解得λ＝3或λ＝－2.因为λ>0，所以λ＝3.答案：3三、解答题9.在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，取如右图所示的空间直角坐标系．(1)写出A 、B 1、E 、D 1的坐标；(2)求AB 1与ED 1所成的角的余弦值.解析：(1) A (2, 2, 0)，B 1(2, 0, 2)，E (0, 1, 0)，D 1(0, 2, 2)．(2)∵AB1→＝(0，－2, 2)，ED 1→＝(0, 1, 2)， ∴ |AB1→|＝22，|ED 1→|＝5， AB1→·ED 1→＝0－2＋4＝2， ∴ cos〈AB 1→，ED 1→〉＝AB 1→·ED 1→|AB 1→||ED 1→|＝222×5＝1010. ∴ AB 1与ED 1所成的角的余弦值为1010.10．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以向量AB →，AC→为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a分别与向量AB→，AC→垂直，且|a|＝3，求向量a的坐标．解析：(1)因为AB→＝(－2，－1,3)，AC→＝(1，－3,2)，所以cos∠BAC＝AB→·AC→|AB→||AC→|＝12，所以∠BAC＝60°，所以S＝|AB→||AC→|sin 60°＝7 3.(2)设a＝(x，y，z)，则a⊥AB→⇒－2x－y＋3z＝0，①a⊥AC→⇒x－3y＋2z＝0，②|a|＝3⇒x2＋y2＋z2＝3，③解①②③构成的方程组，得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，所以a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1).。

高中数学人教a 版高二选修2-1学业测评：3.1.5_空间向量运算的坐标表示 含解析学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a ＝(1，－2，1)，a －b ＝(－1，2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4，2) B ．(－2，4，－2) C ．(－2，0，－2)D ．(2，1，－3)【解析】 b ＝a －(－1，2，－1)＝(1，－2，1)－(－1，2，－1)＝(2，－4，2)． 【答案】 A2．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |的值为( )A.534B.532C.532D.132【解析】 ∵AB 的中点M ⎝⎛⎭⎪⎫2，32，3，∴CM →＝⎝⎛⎭⎪⎫2，12，3，故|CM |＝|CM →|＝ 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋32＝532.【答案】 C3．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(k ，1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( ) A ．－6 B ．－23C. 23D ．14【解析】 由题意得a ＋2b ＝(2＋2k ，5)，且a －b ＝(2－k ，2)，又因为a ＋2b 和a －b 平行，则2(2＋2k )－5(2－k )＝0，解得k ＝23.【答案】 C4．如图3-1-36，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1、平面BCC 1B 1的中心，则E ，F 两点间的距离为( )图3-1-36A ．1 B.52C.62D.32【解析】 以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (1，1，2)，F ⎝⎛⎭⎪⎫2，1，22，所以|EF |＝（2－1）2＋（1－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22＝62，故选C.【答案】 C5．已知a ＝(1－t ，1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是( ) A.55 B.555C.355D.115【解析】 b －a ＝(1＋t ，2t －1，0)， ∴|b －a |2＝(1＋t )2＋(2t －1)2＋02＝5t 2－2t ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95.∴|b －a |2min＝95.∴|b －a |min ＝355. 【答案】 C 二、填空题6．已知点A (1，2，3)，B (2，1，2)，P (1，1，2)，O (0，0，0)，点Q 在直线OP 上运动，当QA→·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________． 【解析】 设OQ→＝λOP →＝(λ，λ，2λ)，故Q (λ，λ，2λ)，故QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．则QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23，当QA →·QB→取最小值时，λ＝43，此时Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，837．若AB →＝(－4，6，－1)，AC →＝(4，3，－2)，|a |＝1，且a ⊥AB →，a ⊥AC →，则a ＝________．【解析】 设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB→＝0，a ·AC →＝0，|a |＝1，代入坐标可解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝313，y ＝413，z ＝1213或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－313，y ＝－413，z ＝－1213. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫313，413，1213或⎝ ⎛⎭⎪⎫－313，－413，－12138．若A (m ＋1，n －1，3)，B (2m ，n ，m －2n )，C (m ＋3，n －3，9)三点共线，则m ＋n ＝________．【解析】 因为AB→＝(m －1，1，m －2n －3)，AC →＝(2，－2，6)，由题意得AB →∥AC →，则m －12＝1－2＝m －2n －36，所以m ＝0，n ＝0，m ＋n ＝0. 【答案】 0 三、解答题9．已知向量a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，点A (－3，－1，4)，B (－2，－2，2)．(1)求|2a ＋b |;(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点) 【解】 (1)2a ＋b ＝(2，－6，4)＋(－2，1，1) ＝(0，－5，5)，故|2a ＋b |＝02＋（－5）2＋52＝5 2.(2)OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1，4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t ，4－2t )，若OE→⊥b ，则OE →·b ＝0， 所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ，E 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－65，－145，25.10．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是正方形ABCD 的中心． 求证：OA 1→⊥AM →. 【证明】 建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为1个单位，则A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，O ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0.∴OA 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－12，1，AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12.∵OA 1→·AM →＝12×(－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×0＋1×12＝0， ∴OA 1→⊥AM →. [能力提升]1．已知向量a ＝(－2，x ，2)，b ＝(2，1，2)，c ＝(4，－2，1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3【解析】 ∵b －c ＝(－2，3，1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2. 【答案】 A2．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【解析】 a ＋b ＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a －b ＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )． 【答案】 A3．已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1，1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是________．【解析】 因为a 与b 的夹角为钝角，所以a·b <0，所以3×(－1)＋(－2)×(x －1)＋(－3)×1<0，解得x >－2.若a 与b 的夹角为π，则x ＝53，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞ 4．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面ABC 和平面A 1B 1C 1为正三角形，所有的棱长都是2，M 是BC 边的中点，则在棱CC 1上是否存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°？【解】 以A 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .由题意知A (0，0，0)，C (0，2，0)，B (3，1，0)，B 1(3，1，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0.又点N 在CC 1上，可设N (0，2，m )(0≤m ≤2)，则AB 1→＝(3，1，2)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，m ，所以|AB 1→|＝22，|MN →|＝m 2＋1，AB 1→·MN →＝2m －1. 如果异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°，那么向量AB 1→和MN →的夹角等于45°或135°.又cos 〈AB 1→，MN →〉＝AB 1→·MN →|AB 1→||MN →|＝2m －122×m 2＋1. 所以2m －122×m 2＋1＝±22，解得m ＝－34，这与0≤m ≤2矛盾．所以在CC 1上不存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°.。

第三章 3.1 课时作业28一、选择题1．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－2解析：p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)，∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A.答案：A2．已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：设BC 中点为D ，则D (2,1,4)，又AD →＝(－1，－2，2)，∴|AD →|＝(－1)2＋(－2)2＋22＝3.答案：B3．[2013·湖北省八校联考]已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，C (1,1,2), O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA →·DB →取最小值时，点D 的坐标为( )A. (43，43，43)B. (83，43，83)C. (43，43，83)D. (83，83，43) 解析：本题主要考查空间向量的坐标运算以及数量积运算，考查函数思想．点D 在直线OC 上运动，因而可设OD →＝(a ，a,2a )，DA →＝(1－a,2－a,3－2a )，DB →＝(2－a,1－a,2－2a )，DA →·DB →＝(1－a )(2－a )＋(2－a )(1－a )＋(3－2a )(2－2a )＝6a 2－16a ＋10，所以a ＝43时DA →·DB →最小为－23，此时OD →＝(43，43，83)，故选C. 答案：C4．已知A (1,0,0)、B (0，－1,1)、O (0,0,0)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66 B.66C ．－66D ．±6解析：OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，OB →＝(0，－1，1)，由题得cos120°＝λ＋λ2·2λ2＋1＝－12，所以λ<0，整理得λ＝－66. 答案：C二、填空题5．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝__________.解析：由题意得(0,0,1－x )·(2,4,2)＝－2，即2(1－x )＝－2，∴x ＝2.答案：26．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2)，若a ∥b ，则λ＝________，μ＝________.解析：∵a ∥b ，∴a ＝m b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋1＝6m ，0＝m (2μ－1)，2＝2m ， ∴m ＝1，λ＝5，μ＝12. 答案：5 127．[2014·人大附中期中考试]△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0，2)，B (－32，12，2)，C (－1,0，2)，则角A 的大小为________．解析：本题主要考查空间向量所成角.AB →＝(－32，12，0)，AC →＝(－1,0,0)．则cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝321×1＝32，故角A 的大小为30°. 答案：30°三、解答题8．已知向量a ＝(3,1,5)，b ＝(1,2，－3)，试求一向量x ，使该向量与z 轴垂直，而且满足x ·a ＝9，x ·b ＝－4.解：设向量x ＝(t ，u ，v )，依题意及向量垂直的充要条件， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ (t ，u ，v )·(0，0，1)＝0(t ，u ，v )·(3，1，5)＝9(t ，u ，v )·(1，2，－3)＝－4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ v ＝03t ＋u ＋5v ＝9t ＋2u －3v ＝－4⇔⎩⎨⎧ v ＝0，t ＝225，u ＝－215.故所求向量x ＝(225，－215，0)． 9．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 是C 1G 的中点．利用空间向量解决下列问题： (1)求EF 与B 1C 所成的角；(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值；(3)求F ，H 两点间的距离．解：如图所示，以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，E (0,0，12)，F (12，12，0)，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)，B 1(1,1,1)，G (0，34，0)． (1)EF →＝(12，12，－12)， B 1C →＝(－1,0，－1)，∴EF →·B 1C →＝(12，12，－12)·(－1,0，－1) ＝12×(－1)＋12×0＋(－12)×(－1)＝0. ∴EF →⊥B 1C →，即EF ⊥B 1C .∴EF 与B 1C 所成的角为90°.(2)C 1G →＝(0，－14，－1)，则|C 1G →|＝174. 又|EF →|＝32，且EF →·C 1G →＝38，∴cos 〈EF →，C 1G →〉＝EF →·C 1G →|EF →||C 1G →|＝5117， 即EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117. (3)∵H 是C 1G 的中点，∴ H (0，78，12)．又F (12，12，0)， ∴|FH |＝|FH →|＝ (0－12)2＋(78－12)2＋(12－0)2＝418.。

3.1第5课时 空间向量运算的坐标表示一、选择题1．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α) ，且a b 则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°[答案] A[解析] ∵|a |2＝2，|b |2＝2， (a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．2．已知空间四点A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，D (x ，－1,3)共面，则x 的值为( ) A ．4 B ．1 C ．10 D ．11 [答案] D[解析] AB →＝(－2,2，－2)，AC →＝(－1,6，－8)，AD →＝(x －4，－2,0)， ∵A 、B 、C 、D 共面，∴AB →、AC →、AD →共面， ∴存在λ、μ，使AD →＝λAB →＋μAC →，即(x －4，－2,0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝－2λ－μ－2＝2λ＋6μ0＝－2λ－8μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－4μ＝1x ＝11.3．下列各组向量中共面的组数为( ) ①a ＝(1,2,3)，b ＝(3,0,2)，c ＝(4,2,5)②a ＝(1,2，－1)，b (0,2，－4)，c ＝(0，－1,2) ③a ＝(1,1,0)，b ＝(1,0,1)，c ＝(0,1，－1) ④a ＝(1,1,1)，b (1,1,0)，c ＝(1,0,1) A ．0 B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] ①设a ＝x b ＋y c ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝3x ＋4y 2＝0·x ＋2y 3＝2x ＋5y，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1.故存在实数x ＝－1，y ＝1使得a ＝－b ＋c ， ∴a ，b ，c 共面．②中b ＝－2c ，③中c ＝a －b . 故②③中三个向量共面．4．下列各组向量不平行的是( ) A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4) B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0) C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16，－24,40) [答案] D[解析] b ＝－2a ，d ＝－3c ，f ＝0e ，只有D 不存在实数λ，使g ＝λh .5．若两点的坐标是A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB →|的取值范围是( ) A ．[0,5] B ．[1,5] C ．(1,5)D ．[1,25][答案] B[解析] |AB →|2＝(2cos θ－3cos α)2＋(2sin θ－3sin α)2＝13－12cos θcos α－12sin θsin α ＝13－12cos(θ－α)∈[1,25]， ∴1≤|AB →|≤5.6．已知a ＝(x,2,0)，b ＝(3,2－x ，x )，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是( ) A ．x <－4 B ．－4<x <0 C ．0<x <4 D ．x >4 [答案] A[解析] ∵a 、b 的夹角为钝角，∴a ·b <0， 即3x ＋2(2－x )＋0·x ＝4＋x <0. ∴x <－4.又当夹角为π时，存在λ<0，使b ＝λa ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝λx 2－x ＝2λx ＝0，此方程组无解，因此选A.7．如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为1，B 1E 1＝14A 1B 1，则BE 1→等于( )A ．(0，14，－1)B ．(－14，0,1)C ．(0，－14，1)D ．(14，0，－1)[答案] C[解析] B (1,1,0)、E 1(1，34，1)，BE 1→＝(0，－14，1)．8．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( ) A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－1 [答案] B[解析] a ＋2b ＝(2x ＋1,4,4－y )， 2a －b ＝(2－x,3，－2y －2)， ∵(a ＋2b )∥(2a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ(2－x )4＝3λ4－y ＝(－2y －2)λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝－49．如图AC 1是正方体的一条体对角线，点P 、Q 分别为其所在棱的中点，则PQ 与AC 1所成的角为( )A ．arctan 22B ．arctan 2 C.π3D.π2[答案] D[分析] 建立空间直角坐标系，求出AC 1→与PQ →的坐标，转化为求AC 1→与PQ →的夹角． [解析] 设正方体棱长为1，以点A 1为坐标原点，A 1B 1、A 1D 1、A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则P ⎝⎛⎭⎫12，0，0，Q ⎝⎛⎭⎫0，1，12，A (0,0,1)，C 1(1,1,0)，所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫－12，1，12，AC 1→＝(1,1，－1)，故PQ →·AC 1→＝－12×1＋1×1＋12×(－1)＝0， ∴PQ →⊥AC 1→，即PQ 与AC 1所成的角为π2.10．已知向量OA →＝(2，－2,3)，向量OB →＝(x,1－y,4z )，且平行四边形OACB 对角线的中点坐标为(0，32，－12)，则(x ，y ，z )＝( )A ．(－2，－4，－1)B ．(－2，－4,1)C ．(－2,4，－1)D ．(2，－4，－1) [答案] A[解析] 由条件(2，－2,3)＋(x,1－y,4z ) ＝2⎝⎛⎭⎫0，32，－12， ∴(x ＋2，－1－y,3＋4z )＝(0,3，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4z ＝－1.二、填空题11．已知a ＝(1,0，－1)，b ＝(1，－1,0)，单位向量n 满足n ⊥a ，n ⊥b ，则n ＝________. [答案] ⎝⎛⎭⎫33，33，33 ⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33[解析] 设n ＝(x ，y ，z )，由条件⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0x －y ＝0x 2＋y 2＋z 2＝1，∴x ＝y ＝z ＝33或－33. 12．已知空间三点A (1,1,1)、B (－1,0,4)、C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是____________．[答案] 120°[解析] AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，AB →·CA →＝－7，|AB →|＝14，|CA →|＝14， ∴cos θ＝－714×14＝－12，∴θ＝120°.13．已知向量a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，－3,0)，c ＝(7，－2，1)，则： (1)a ＋b ＋c ＝________； (2)(a ＋b )·c ＝________； (3)|a －b ＋c |2＝________. [答案] (5，－3,6) －7 54[解析] (1)a ＋b ＋c ＝(－3,2,5)＋(1，－3,0)＋(7，－2,1)＝(5，－3,6)． (2)a ＋b ＝(－2，－1,5)，(a ＋b )·c ＝(－2，－1,5)·(7，－2,1)＝－7. (3)a －b ＋c ＝(3,3,6)，|a －b ＋c |2＝54.14．已知a ，b ，c 不共面，且m ＝3a ＋2b ＋c ，n ＝x (a －b )＋y (b －c )－2(c －a )，若m ∥n ，则x ＋y ＝__________________.[答案] －4[解析] ∵a 、b 、c 不共面，m ∥n ， ∴x ＋23＝－x ＋y 2＝－y －21，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－2. 三、解答题15．已知点A (2,3，－1)，B (8，－2,4)，C (3,0,5)，是否存在实数x ，使AB →与AB →＋xAC →垂直？[解析] AB →＝(6，－5,5)，AC →＝(1，－3,6)， AB →＋xAC →＝(6＋x ，－5－3x,5＋6x )， ∵AB →⊥(AB →＋xAC →)∴6(6＋x )－5(－5－3x )＋5(5＋6x )＝0， ∴x ＝－9651＝－3217，∴存在实数x ＝－3217，使AB →与AB →＋xAC →垂直．16．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、DC 的中点． 求证：(1)AE ⊥D 1F ； (2)AE ⊥平面A 1D 1F .[证明] 设正方体的棱长为1，以DA →、DC →、DD 1→为坐标向量，建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示．(1)易知A (1,0,0)、E (1,1，12)、F (0，12，0)、D 1(0,0,1)．∵AE →＝(0,1，12)，D 1F →＝(0，12，－1)．又AE →·D 1F →＝(0,1，12)·(0，12，－1)＝0，∴AE ⊥D 1F .(2)DA →＝(1,0,0)＝D 1A 1→，∴D 1A 1→·AE →＝(1,0,0)·(0,1，12)＝0，∴AE ⊥D 1A 1，由(1)知AE ⊥D 1F ，且D 1A ∩D 1F ＝D 1， ∴AE ⊥平面A 1D 1F .17．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)设|c |＝3，c ∥BC →，求c . (2)求a 与b 的夹角．(3)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k . [解析] (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－2，－1,2)． ∴设c ＝(－2λ，－λ，2λ)，∴|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3 ∴λ＝±1∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)a ＝AB →＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0) b ＝AC →＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)． ∴cos<a ，b >＝a·b|a|·|b|＝(1，1，0)·(－1，0，2)2×5＝－1010.∴a 和b 的夹角为<a ，b >＝π－arccos1010.(3)k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)．又(k a ＋b )⊥(k a －2b )，则(k a ＋b )·(k a －2b )＝(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0， ∴k ＝2或k ＝－52.18．已知空间三点A (0,2,3)、B (－2,1,6)、C (1，－1,5)． (1)求以AB →、AC →为邻边的平行四边形面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a 的坐标． [解析] (1)由题中条件可知AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝－2＋3＋614×14＝12，∴sin 〈AB →，AC →〉＝32，∴以AB →，AC →为邻边的平行四边形面积 S ＝|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，z ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)。

课时作业22空间向量运算的坐标表示时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于() A．(16,0,4)B．(8，－16,4)C．(8,16,4) D．(8,0,4)解析：4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．答案：D2．若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为()A．4 B．15C．7 D．3解析：∵b＋c＝(2,2,5)，∴a·(b＋c)＝4－6＋5＝3.答案：D3．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于()A．310 B．210C.10 D．5答案：A4．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA→＋λOB →与OB →(O 为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为( ) A.66 B ．－66C ．±66D ．±6 解析：用排除法，OA→＋λOB →＝(1，－λ，λ)，OB →＝(0，－1,1)． 由已知cos120°＝(OA →＋λOB →)·OB →|OA →＋λOB →||OB →|＝2λ2λ2＋1·2＝－12，∴λ<0.故选B. 答案：B5．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是( ) A.55 B.555 C.355 D.115解析：由已知b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＋0 ＝5(t －15)2＋95≥355. 答案：C6．若在△ABC 中，∠C ＝90°，A (1,2，－3k )，B (－2,1,0)，C (4,0，－2k )，则k 的值为( )A.10 B ．－10C ．2 5D ．±10解析：CB→＝(－6,1,2k )， CA→＝(－3,2，－k )， 则CB →·CA→＝(－6)×(－3)＋2＋2k ×(－k ) ＝－2k 2＋20＝0，∴k ＝±10.答案：D二、填空题(每小题8分，共24分)7．如果三点A (1,5，－2)、B (2,4,1)、C (a,3，b ＋2)共线，那么a －b ＝________.解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴AB→＝λAC →，即(1，－1,3)＝λ(a －1，－2，b ＋4) ＝(λ(a －1)，－2λ，λ(b ＋4))．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λ(a －1)，－1＝－2λ，3＝λ(b ＋4)，解得λ＝12，a ＝3，b ＝2.∴a －b ＝1. 答案：18．若A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB→|的取值范围是__________．解析：∵A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，∴AB→＝(2cos θ－3cos α，2sin θ－3sin α，0)． ∴|AB→|＝(2cos θ－3cos α)2＋(2sin θ－3sin α)2＋0 ＝4＋9－12(cos θcos α＋sin θsin α) ＝13－12cos (θ－α)，∴1≤|AB→|≤5. 答案：[1,5]9．已知点A (λ＋1，μ－1,3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＋μ＝________.解析：AB→＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，AC →＝(2，－2,6)，由AB →∥AC →，得λ－12＝－12＝λ－2μ－36. 解得λ＝0，μ＝0，∴λ＋μ＝0.答案：0三、解答题(共40分)10．(10分)已知a ＝(1,2,3)，b ＝(1,0,1)，c ＝a －2b ，d ＝ma －b ，求实数m 的值，使得(1)c ⊥d ；(2)c ∥d .解：c ＝a －2b ＝(－1,2,1)，d ＝ma －b ＝(m －1,2m,3m －1)．(1)∵c ⊥d ，∴c ·d ＝1－m ＋4m ＋3m －1＝0.∴m ＝0.(2)∵c ∥d ，∴－1m －1＝22m ＝13m －1，得m ＝12. 11．(15分)已知关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实数根，a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)，c＝a＋tb，当|c|取最小值时，求t的值．解：∵a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)，c＝a＋tb，∴c＝(－1＋t,1,3－2t)．∴|c|＝(t－1)2＋1＋(3－2t)2.∴|c|＝5t2－14t＋11.∴当t＝7时，|c|取最小值．5图112．(15分)如图1，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．解：(1)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，∴OA＝OC＝3，BO＝OD＝1，S菱形ABCD＝12×2×23＝2 3.在Rt△POB中，∠PBO＝60°，∴PO ＝OB·tan 60°＝tan 60°·1＝ 3.∴V P －ABCD ＝13S 菱形ABCD ·PO ＝13×23×3＝2.图2(2)如图2，以O 为原点，OB 、OC 、OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，C(0，3，0)，D(－1,0,0)，A(0，－3，0)，P(0,0，3)．于是E(12，0，32)， ∴DE →＝(32，0，32)， PA→＝(0，－3，－3)． ∴DE →·PA →＝－32×3＝－32，|DE →|＝3，|PA →|＝ 6. ∴cos 〈DE →，PA →〉＝DE →·PA →|DE →||PA →|＝－323×6＝－24. ∴异面直线DE 与PA 所成角的余弦值为24.。

3讲堂成效落实1.[2014 福·建省福州一中月考 ]已知向量a＝(1，－2,1)，a＋b＝ (3，－6,3)，则b等于 ()A. (2 ，－ 4,2)B. (－2,4,2)C. (－2,0，－ 2)D. (2,1，－ 3)分析：此题主要考察空间向量的坐标运算．b＝(a＋ b)－a＝(3，－6,3)－(1，－ 2,1)＝(2，－ 4,2)，应选 A.答案： A2.[2014 山·东省济宁市质检 ] 已知向量a＝(2，－ 3,5)与b＝(4，x，y)平行，则 x，y 的值分别为 ()A. 6 和－10B. －6 和 10C. －6 和－10D. 6 和 10分析：此题主要考察空间两向量平行的坐标表示．由于向量a＝4x y(2，－ 3,5)与b＝(4，x，y)平行，因此2＝－3＝5，解得 x＝－ 6，y＝10，应选 B.答案： B3．已知：a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于 ()A．3 10B．210C.10D．5分析： a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(1＋2＋6,0＋1＋2,1－1＋0)＝(9,3,0)，∴ |a－b＋2c|＝92＋32＝3 10.答案： A4 ． [2014 ·人大附中期中考试]△ ABC 的三个极点坐标分别为，，－31A(0,0，， 2)，C(－1,0， 2)，则角 A 的大小为 ________．2) B(22→31→分析：此题主要考察空间向量所成角 .AB＝(－2，，0)，AC＝(－2→ →3．则·＝2＝3，故角 A 的大小为 30°.＝ ABAC1,0,0)cosA→→1×12|AB| ·|AC|答案： 30°5．在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，已知 DA＝DC＝4，DD1＝3，求异面直线 A1B 与 B1C 所成角的余弦值．解：以 D 为坐标原点，分别以DA、 DC、DD1所在直线为 x 轴、y 轴、 z 轴，成立空间直角坐标系，→则 A1(4,0,3)，B(4,4,0)，B1(4,4,3)，C(0,4,0)，得 A1B＝(0,4，－ 3)，→→→→ →A1B·B1C ＝＝(－4,0，－ 3)．设 A与B的夹角为θ，则 cosθ＝B1C1B1C→ →|A1B| ·|B1C|9，25→→9∴ A1与B1的夹角即异面直线 A1与 1 所成角的余弦值为.B C B B C25。

3.1.5 空间向量运算的坐标表示一、选择题1．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝1522．直线l 的方向向量为a ，平面α内两共点向量OA →，OB →，下列关系中能表示l ∥α的是( )A ．a ＝OA →B ．a ＝kOB →C ．a ＝pOA →＋λOB →D ．以上均不能3．已知a ＝(1,5，－2)，b ＝(m,2，m ＋2)，若a ⊥b ，则m 的值为( )A ．0B ．6C ．－6D ．±64．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(－2，－1,1)，c ＝(3,1,0)，则|a －b ＋2c |等于( )A ．310B ．210 C.10 D ．55．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°6．如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、P 、Q 分别为棱AB 、CD 、BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.以上结论中正确的是( )A ．①③④B ．①②③④C ．①③D ．③④二、填空题7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．8．已知点A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)，则满足DB ∥AC ，DC ∥AB 的点D 的坐标为________．9．已知向量a ＝(5,3,1)，b ＝(－2，t ，－25)，若a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为________．三、解答题10.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE.11.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.12.如图所示，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是(32，12，0)，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.(1)求向量OD →的坐标；(2)设向量AD →和BC →的夹角为θ，求cos θ的值．13．在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，E 是BC 的中点，以O 为原点，建立空间直角坐标系，用向量方法解决下列问题．(1)求异面直线AO 1与B 1E 所成角的余弦值；(2)过点O 1作O 1D ⊥AC 于点D ，求点O 1到点D 的距离．答案精析1．D [由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y， 解得x ＝6，y ＝152.] 2．D3．B [∵a ⊥b ，∴1×m ＋5×2－2(m ＋2)＝0，解得m ＝6.]4．A [a －b ＋2c ＝(9,3,0)，|a －b ＋2c |＝310.]5．A [a ＋b ＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a －b ＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，所以(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－sin 2α＋sin 2α－cos 2α＝0，又因为它们之间的夹角∈[0°，90°]，所以a ＋b 与a －b 的夹角为90°.]6．A [∵A 1M →＝AM →－AA →1＝DP →－DD →1＝D 1P →，∴A 1M ∥D 1P .①正确．∵D 1P ⊂平面D 1PQB 1，A 1M ⊄平面D 1PQB 1，∴A 1M ∥平面D 1PQB 1.④正确．又D 1P ⊂平面DCC 1D 1，A 1M ⊄平面DCC 1D 1，∴A 1M ∥平面DCC 1D 1.③正确．∵B 1Q 为平面DCC 1D 1的斜线，∴B 1Q 与D 1P 不平行，∴A 1M 与B 1Q 不平行．②不正确．综上，结论中正确的是①③④，故选A.]7.23π 解析 AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，AB →·CA →＝－7，|AB →|＝14，|CA →|＝14，∴cos θ＝－714×14＝－12， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝23π. 8．(－1,1,2)解析 设点D (x ，y ，z )，则DB →＝(－x ，1－y ，－z )，AC →＝(－1,0,2)，DC →＝(－x ，－y,2－z )，AB →＝(－1,1,0)，因为DB ∥AC ，DC ∥AB ，所以DB →∥AC →，DC →∥AB →，有⎩⎪⎨⎪⎧－x －1＝－z 2，1－y ＝0，－x －1＝－y 1，2－z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝1，z ＝2， 所以D (－1,1,2)． 9.⎝⎛⎭⎫－∞，－65∪⎝⎛⎭⎫－65，5215 解析 由已知得a ·b ＝5×(－2)＋3t ＋1×⎝⎛⎭⎫－25＝3t －525， 因为a 与b 的夹角为钝角，所以a ·b <0， 即3t －525＜0，所以t <5215. 若a 与b 的夹角为180°，则存在λ<0，使a ＝λb (λ＜0)，即(5,3,1)＝λ⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝－2λ，3＝tλ，1＝－25λ，所以t ＝－65， 故t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－65∪⎝⎛⎭⎫－65，5215.10．证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz . 设AC ∩BD ＝N ，连接NE ，则点N ，E 的坐标分别是 ⎝⎛⎭⎫22，22，0，(0,0,1)． ∴NE →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1. 又点A ，M 的坐标分别是(2，2，0)，⎝⎛⎭⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1. ∴NE →＝AM →，且A ∉NE ，∴NE ∥AM .又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE .11．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0，设M (1,1，m )． 连接AC ，则AC →＝(－1,1,0)．而E ，F 分别为AB ，BC 的中点，所以EF →＝12AC →＝(－12，12，0)．又因为B 1E →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－1， D 1M →＝(1,1，m －1)，而D 1M ⊥平面EFB 1，所以D 1M ⊥EF ，且D 1M ⊥B 1E ，即D 1M →·EF →＝0，且D 1M →·B 1E →＝0. 所以⎩⎨⎧ －12＋12＋(m －1)×0＝0，0－12＋1－m ＝0，解得m ＝12，即M 为B 1B 的中点．12．解 (1)过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ， 在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2得BD ＝1，CD ＝3，∴DE ＝CD ·sin30°＝32， OE ＝OB －BD ·cos60°＝1－12＝12， ∴D 点的坐标为(0，－12，32)， 故向量OD →的坐标为(0，－12，32)． (2)依题意OA →＝(32，12，0)，OB →＝(0，－1,0)，OC →＝(0,1,0)， ∴AD →＝OD →－OA →＝(－32，－1，32)， BC →＝OC →－OB →＝(0,2,0)，∴cos θ＝AD →·BC →|AD →|·|BC →|＝－210＝－105. 13．解 由题意，以O 为原点，分别以OA →，OC →，OO 1→的方向为x 轴，y轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，(1)由题意得A (2,0,0)，O 1(0,0,2)，B 1(2,3,2)，E (1,3,0)，∴AO 1→＝(－2,0,2)，B 1E →＝(－1,0，－2)，∴cos 〈AO 1→，B 1E →〉＝－2210＝－1010， 因为异面直线所成的角为锐角或直角，故异面直线AO 1与B 1E 所成的角的余弦值为1010.(2)由题意得O 1D →⊥AC →，AD →∥AC →，C (0,3,0)，设D (x ，y,0)，则O 1D →＝(x ，y ，－2)，AD →＝(x －2，y,0)，AC →＝(－2,3,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋3y ＝0，x －2－2＝y 3，解得⎩⎨⎧ x ＝1813，y ＝1213， ∴D (1813，1213，0)， ∴O 1D ＝|O 1D →|＝(1813)2＋(1213)2＋4 ＝1144132＝228613.。

3.1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.知识点1空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.【预习评价】设a＝(1，－1，3)，b＝(－2，1，2)，则a＋2b＝________.[解析]a＋2b＝(1，－1，3)＋2(－2，1，2)＝(1，－1，3)＋(－4，2，4)＝(－3，1，7).[答案](－3，1，7)知识点2空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23；cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23.【预习评价】设a＝(1，－1，1)，b＝(－2，0，1)，则cos〈a，b〉＝________.[解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－2＋13·5＝－1515.[答案] －1515知识点3 空间两点间的距离已知点A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则A ，B 两点间的距离d AB ＝|AB →|＝（a 2－a 1）2＋（b 2－b 1）2＋（c 2－c 1）2. 【预习评价】已知点A (－1，2，0)，B (－1，0，2)，则|AB →|＝________.[解析] |AB →|＝（－1＋1）2＋（2－0）2＋（0－2）2＝2 2.[答案] 22题型一 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示【例1】 设O 为坐标原点，向量OA→＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，求点Q 的坐标.解 设OQ→＝λOP →， ∴QA→＝OA →－OQ →＝OA →－λOP → ＝(1，2，3)－λ(1，1，2)＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB→＝OB →－OQ →＝OB →－λOP → ＝(2，1，2)－λ(1，1，2)＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， 则QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ) ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ) ＝6λ2－16λ＋10，∴当λ＝43时，QA →·QB→取得最小值.又OQ →＝λOP →＝43(1，1，2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.所以，所求点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.规律方法 (1)建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为最佳选择.(2)向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标.求向量的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标.【训练1】 设正四棱锥S －P 1P 2P 3P 4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求SP 1→，P 2P 3→的坐标.解 如图所示，建立空间直角坐标系，其中O 为底面正方形的中心，P 1P 2⊥Oy 轴，P 1P 4⊥Ox 轴，SO 在Oz 轴上.∵P 1P 2＝2，而P 1，P 2，P 3，P 4均在xOy 平面上， ∴P 1(1，1，0)，P 2(－1，1，0).在xOy 平面内，P 3与P 1关于原点O 对称，P 4与P 2关于原点O 对称，∴P 3(－1，－1，0)，P 4(1，－1，0). 又SP 1＝2，OP 1＝2，∴在Rt △SOP 1中，SO ＝2，∴S (0，0，2). ∴SP 1→＝OP 1→－OS →＝(1，1，－2)， P 2P 3→＝OP 3→－OP 2→＝(0，－2，0).互动探究 题型二 向量的平行与垂直【探究1】 已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设AB →＝a ，AC→＝b . (1)设向量c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，1，试判断2a －b 与c 是否平行？(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .解 (1)因为a ＝AB→＝(1，1，0)，b ＝AC →＝(－1，0，2)，所以2a －b ＝(3，2，－2)，又c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，1，所以2a －b ＝－2c ，所以(2a －b )∥c .(2)因为a ＝AB→＝(1，1，0)，b ＝AC →＝(－1，0，2)，所以k a ＋b ＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4). 又因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )，所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0， 即(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或－52.【探究2】 如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点.求证：(1)AM ∥平面BDE ； (2)AM ⊥平面BDF .证明 (1)如图，建立空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连接NE ，则点N ，E 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，(0，0，1).∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.又点A ，M 的坐标分别是(2，2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1，∴AM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∴NE→＝AM →.又NE 与AM 不共线， ∴NE ∥AM .又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE .(2)由(1)知AM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∵D (2，0，0)，F (2，2，1)， ∴DF →＝(0，2，1)，∴AM →·DF →＝0，∴AM→⊥DF →. 同理，AM→⊥BF →.又DF ∩BF ＝F ，且DF ⊂平面BDF ，BF ⊂平面BDF ， ∴AM ⊥平面BDF .规律方法 解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题.【训练2】 在正三棱锥P －ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△PAB 的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2. 求证：(1)平面GEF ⊥平面PBC ； (2)EG ⊥BC ，PG ⊥EG .证明 (1)如图，以三棱锥的顶点P 为原点，PA ，PB ，PC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，令PA＝PB ＝PC ＝3，则A (3，0，0)，B (0，3，0)，C (0，0，3)，E (0，2，1)，F (0，1，0)，G (1，1，0)，P (0，0，0). 于是PA→＝(3，0，0)，FG →＝(1，0，0)， 故PA→＝3FG →，∴PA ∥FG . 又PA ⊥平面PBC ， ∴FG ⊥平面PBC ， 又FG ⊂平面GEF ， ∴平面GEF ⊥平面PBC .(2)∵EG→＝(1，－1，－1)，PG →＝(1，1，0)，BC →＝(0，－3，3)， ∴EG →·PG →＝1－1＝0，EG →·BC →＝3－3＝0， ∴EG ⊥PG ，EG ⊥BC . 题型三 夹角与距离的计算【例3】 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点.(1)求BN 的长；(2)求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值； (3)求证：BN ⊥平面C 1MN .(1)解 如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz .依题意得B (0，1，0)，N (1，0，1)， ∴|BN→|＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝3，∴线段BN 的长为 3.(2)解 由(1)中建立的坐标系得A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2)， ∴BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→＝(0，1，2)， ∴BA 1→·CB 1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝ 5. ∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.故A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为3010.(3)证明 由(1)中建立的坐标系得A 1(1，0，2)，C 1(0，0，2)，B (0，1，0)， N (1，0，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，∴C 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1N →＝(1，0，－1)， BN→＝(1，－1，1)， ∴C 1M →·BN →＝12×1＋12×(－1)＋0×1＝0， C 1N →·BN →＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.∴C 1M →⊥BN →，C 1N →⊥BN →， ∴BN ⊥C 1M ，BN ⊥C 1N ，又∵C 1M ∩C 1N ＝C 1，C 1M ⊂平面C 1MN ，C 1N ⊂平面C 1MN ， ∴BN ⊥平面C 1MN .规律方法 在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求.利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单.【训练3】 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是棱AC ，A 1C 1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求三棱柱的侧棱长；(2)M 为BC 1的中点，试用基向量AA 1→，AB →，AC →表示向量AM →； (3)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值.解 (1)设侧棱长为b ，则A (0，－1，0)，B 1(3，0，b )，B (3，0，0)，C 1(0，1，b )，所以AB 1→＝(3，1，b )，BC 1→＝(－3，1，b ). 因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝(3，1，b )·(－3，1，b ) ＝－(3)2＋12＋b 2＝0， 解得b ＝ 2.故侧棱长为 2. (2)因为M 为BC 1的中点，所以AM →＝12(AC 1→＋AB →)＝12(AA 1→＋AC →＋AB →). (3)由(1)知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1，0)，因为|AB 1→|＝（3）2＋12＋（2）2＝6，|BC →|＝（－3）2＋12＋02＝2，AB 1→·BC →＝(3，1，2)·(－3，1，0) ＝－(3)2＋1×1＝－2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝|AB 1→·BC →||AB 1→||BC →|＝|－2|6×2＝66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.课堂达标1.已知向量a ＝(0，2，1)，b ＝(－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.0°B.45°C.90°D.180°[解析] ∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝2－25×6＝0，0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝90°. [答案] C2.设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到C 的距离CM 的值为( ) A.534B.532C.532D.132[解析] AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，又C (0，1，0)，所以CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，3，故M 到C 的距离为CM ＝|CM →|＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋32＝532. [答案] C3.设O 为坐标原点，M (5，－1，2)，A (4，2，－1)，若OM →＝AB →，则点B 应为( )A.(－1，3，－3)B.(9，1，1)C.(1，－3，3)D.(－9，－1，－1) [解析] 设B (x ，y ，z )，由OM→＝AB →得(5，－1，2)＝(x －4，y －2，z ＋1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝5，y －2＝－1，z ＋1＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1，z ＝1. [答案] B4.若向量a ＝(1，1，x )，b ＝(1，2，1)，c ＝(1，1，1)满足条件 (c －a )·(2b )＝－2，则x 的值为( ) A.2B.－2C.0D.1[解析] ∵c －a ＝(1，1，1)－(1，1，x )＝(0，0，1－x )， 2b ＝(2，4，2)，∴2×(1－x )＝－2，∴x ＝2. [答案] A5.已知a ＝(1－t ，1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|a －b |的最小值为( ) A.55B.555C.355D.115[解析] ∵a －b ＝(1－t ，1－t ，t )－(2，t ，t ) ＝(－1－t ，1－2t ，0)， ∴|a －b |＝（t ＋1）2＋（1－2t ）2＝5t 2－2t ＋2 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95， ∴|a －b |min ＝355. [答案] C课堂小结1.在解决已知向量夹角为锐角或钝角求参数的范围时，一定要注意两向量共线的情况.2.运用向量坐标运算解决几何问题的方法：高中数学选修2-1学案113.若〈AB→，CD →〉＝α，两条异面直线AB ，CD 所成角为θ，则cos θ＝|cos α|.。

3.1.5 空间向量运算的坐标表示双基达标 (限时20分钟)1．已知a ＝(2，－3，1)，则下列向量中与a 平行的是 ( )．A ．(1，1，1)B ．(－2，－3，5)C ．(2，－3，5)D ．(－4，6，－2)解析 若b ＝(－4，6，－2)，则b ＝－2(2，－3，1)＝－2a ，所以a ∥b .答案 D2．已知a ＝(1，5，－2)，b ＝(m ，2，m ＋2)，若a ⊥b ，则m 的值为 ( )．A ．0B ．6C ．－6D ．±6解析 ∵a ⊥b ，∴1×m ＋5×2－2(m ＋2)＝0，解得m ＝6.答案 B3．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a 与b 的夹角的余弦为89，则λ＝ ( )． A ．2 B ．－2C ．－2或255D ．2或－255解析 因为a·b ＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，又因为a·b ＝|a||b|·cos 〈a ，b 〉＝5＋λ2·9·89＝835＋λ2，所以835＋λ2＝6－λ， 解得λ＝－2或255. 答案 C4．已知向量a ＝(－1，0，1)，b ＝(1，2，3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________．解析 因为(k a －b )⊥b ，所以(k a －b )·b ＝0，所以k a·b －|b|2＝0，所以k (－1×1＋0×2＋1×3)－(12＋22＋32)2＝0，解得k ＝7. 答案 75．已知点A (－1，3，1)，B (－1，3，4)，D (1，1，1)，若AP →＝2PB →，则|PD →|的值是______．解析 设点P (x ，y ，z )，则由AP →＝2PB →，得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x ，3－y ，4－z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1，3，3)，则|PD →|＝（－1－1）2＋（3－1）2＋（3－1）2＝12＝2 3.答案 2 36．已知a ＝(1，－2，4)，b ＝(1，0，3)，c ＝(0，0，2)．求(1)a·(b ＋c )；(2)4a －b ＋2c.解 (1)∵b ＋c ＝(1，0，5)，∴a ·(b ＋c )＝1×1＋(－2)×0＋4×5＝21.(2)4a －b ＋2c ＝(4，－8，16)－(1，0，3)＋(0，0，4)＝(3，－8，17)．综合提高（限时25分钟）7．若A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB →|的取值范围是 ( )．A ．[0，5]B ．[1，5]C ．(1，5)D ．(0，5) 解析 |AB →|＝（2cos θ－3cos α）2＋（2sin θ－3sin α）2＋（1－1）2 ＝13－12cos （α－θ），∵－1≤cos(α－θ)≤1，∴1≤|AB →|≤5. 答案 B8．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则BP →等于 ( )．A ．(407，157，－3)B ．(337，157，－3) C ．(－407，－157，－3) D ．(337，－157，－3) 解析 因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z ＝0，所以z ＝4.因为BP ⊥平面ABC ，所以BP →⊥AB →，且BP →⊥BC →，即1×(x －1)＋5y ＋(－2)×(－3)＝0，且3(x －1)＋y ＋(－3)×4＝0.解得x ＝407，y ＝－157， 于是BP →＝(337，－157，－3)． 答案 D9．已知点A (λ＋1，μ－1，3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＋μ＝________．解析 因为AB →＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，AC →＝(2，－2，6)，若A ，B ，C 三点共线，则AB → ∥AC →，即λ－12＝－12＝λ－2μ－36，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0. 答案 010．已知空间三点A (1，1，1)，B (－1，0，4)，C (2，－2，3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．解析 ∵AB →＝(－2，－1，3)，CA →＝(－1，3，－2)， ∴cos 〈AB →，CA →〉＝AB →·CA →|AB →||CA →|＝（－2）×（－1）＋（－1）×3＋3×（－2）14×14＝－714＝－12， 又0°≤〈AB →，CA →〉≤180°，∴θ＝〈AB →，CA →〉＝120°.答案 120°11．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1，2，3)，B (2，－1，5)，C (3，2，－5)．(1)求△ABC 的面积；(2)求△ABC 中AB 边上的高．解 (1)由已知得AB →＝(1，－3，2)，AC →＝(2，0，－8)，∴|AB →|＝1＋9＋4＝14，|AC →|＝4＋0＋64＝217，AB →·AC →＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝－1414×217＝－14217，sin 〈AB →，AC →〉＝1－1468＝2734. ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉 ＝12×14×217×2734＝321. (2)设AB 边上的高为CD ，则|CD →|＝2S △ABC |AB →|＝3 6.12．(创新拓展)在正方体AC 1中，已知E 、F 、G 、H 分别是CC 1、BC 、CD 和A 1C 1的中点．证明：(1)AB 1∥GE ，AB 1⊥EH ；(2)A 1G ⊥平面EFD .证明 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A (0，0，0)、B (1，0，0)、C (1，1，0)，D (0，1，0)、A 1(0，0，1)、B 1(1，0，1)、C 1(1，1，1)、D 1(0，1，1)，由中点性质得E (1，1，12)、F (1，12，0)，G (12，1，0)、H (12，12，1)． (1)则AB 1→＝(1，0，1)，GE →＝(12，0，12)， EH →＝(－12，－12，12) ∵AB 1→＝2GE →，AB 1→·EH →＝1×(－12)＋1×12＝0， ∴AB 1→∥GE →，AB 1→⊥EH →.即AB 1∥GE ，AB 1⊥EH .(2)∵A 1G →＝(12，1，－1)，DF →＝(1，－12，0)， DE →＝(1，0，12)，∴A 1G →·DF →＝12－12＋0＝0， A 1G →·DE →＝12＋0－12＝0，∴A 1G ⊥DF ，A 1G ⊥DE . 又DF ∩DE ＝D ，∴A 1G ⊥平面EFD .。