第2章 2.5 圆锥曲线的共同性质 (共27张PPT) 2017-2018学年高中数学(苏教版)选修1-1 名师ppt课件

§2.5圆锥曲线的共同性质要点精讲椭圆、双曲线、抛物线有共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e.这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线．椭圆的离心率满足0<e <1，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是 ca x 2±=典型题解析【例1】以下同个关于圆锥曲线的命题中①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =-||||，则动点P的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若),(21OB OA OP +=则动点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e 的关系求得【解】双曲线的第一定义是:平面上的动点P 到两定点是A,B 之间的距离的差的绝对值为常数2a,且2||a AB <,那么P 点的轨迹为双曲线,故①错， 由1()2OP OA OB =+,得P 为弦AB 的中点,故②错，设22520x x -+=的两根为12,x x 则12125,12x x x x +==可知两根互与为倒数,且均为正,故③对，221259x y -=的焦点坐标(),而22135x y +=的焦点坐标(),故④正确.【点评】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e 的相互关系.【例2】设,20πθ<<曲线1sin cos 1cos sin 2222=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力．【解】（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,1sin cos ,1cos sin 2222θθθθy x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.sin cos ,cos sin 22θθθθy x有4个不同交点等价于,02>x 且,02>y 即⎩⎨⎧>->+.0sin cos ,0cos sin θθθθ 又因为,20πθ<<所以得θ的取值范围为（0，).4π（II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程),40(cos 222πθθ<<=+y x即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为).40(cos 2πθθ<<=r因为θcos 在)4,0(π上是减函数，所以由.224cos ,10cos ==π知r 的取值范围是).2,2(4【例3】设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 2=23x －4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l:y=2x ＋1与双曲线C 交于A ．B 两点，求|AB|； （Ⅲ）对于直线y=kx ＋1，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知条件判断双曲线C 的焦点在x 轴上，然后求双曲线标准方程中的a ，b ；（Ⅱ）利用弦长公式求|AB|；（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称求k 值，发现矛盾，从而判断不存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a为常数)对称．【解】（Ⅰ）由抛物线y 2=23x －4，即y 2=23 (x －32)， 可知抛物线顶点为（32，0），准线方程为x=63． 在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（32，0），右准线x=63， ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===33213363322222c b a b a c c a c ∴双曲线c 的方程3x 2－y 2=1（Ⅱ）由0241)12(3131222222=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y∴|AB|=210（Ⅲ）假设存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称，设A(x 1，y 1)．B(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+++=+-=222)(121212121x x a y y x x k y y ka由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④ 由②③，有a(x 1＋x 2)=k(x 1＋x 2)＋2 ⑤ 由④知：x 1＋x 2=232k k-代入⑤② ③整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称．【点评】两点关于一直线对称有两方面的含义：一是两点的连线与已知直线垂直；另一方面两点的连线段的中点在已知直线上． 【例4】已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是)0,(1c F -、)0,(2c F ，Q 是椭圆外的动点，满足Q F ||1=点Ｐ是线段Q F 1与该椭圆的交点，点Ｔ在线段Q F 2满足0||,022≠=⋅TF TF PT ．（Ⅰ）设x 为点Ｐ的横坐标，证明 x aca P F +=||1； （Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；（Ⅲ）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△21MF F 的面积2b S =．若存在，求∠21MF F 的正切值；若不存在，请说明理由．【分析】本小题主要考查平面向量的概，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为,(y x 由P ),(y x 在椭圆上，得由0,>+-≥+≥a c x ac a a x 知，所以 |1P F 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记||11r P F =则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由cx r r a r r 4,2222121=-=+，得x aca r P F +==11||． 证法三：设点P 的坐标为).,(y x椭圆的左准线方程为.0=+x ac a 由椭圆第二定义得a c ca x P F =+||||21，即.||||||21x a c a c a x a c P F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x ac a a x 知，所以.||1x ac a P F += （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时， 由0||||2=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥.又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.在△QF 1F 2中，a Q F OT ==||21||1，所以有.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 设点Q的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y cx x 因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x①由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ （Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是 由③得a y ≤||0，由④得.||20cb y ≤所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.当cb a 2≥时，),(),,(002001y xc MF y x c MF --=---=，由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得.||20cb y ≤ 上式代入③得于是，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.③ ④③④当cb a 2≥时，记cx y k k c x y k k M F MF -==+==00200121,， 由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以 规律总结1.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程组，消去y 得关于x 的方程02=++c bx ax ，讨论∆及判别式a 得关于x 的方程02=++c bx ax 解的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系．一般注意以下三点：（１）要注意0=a 与0≠a 两种情况，只有0≠a 时，才可用判别式来确定解的个数；（2）直线与圆锥曲线相切时，一定有 0≠a ； （3）直线与圆锥曲线有且只有一个交点时，不一定相切．对椭圆来讲，一定相切；对双曲线来讲，除了相切，还有一种相交，此时⎩⎨⎧≠=.0,0b a 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线的一支相交有一个交点；对抛物线来说，除了相切，还有一种相交，此时⎩⎨⎧≠=.0,0b a此时直线与抛物线的对称轴平行只有一个交点．2．直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．当弦所在直线的斜率k 存在时．利用两点距离公式()21221221)(y y x x P P -+-=及斜率公式1212x x y y k --=得弦长公式为：()()[]21221212221411x x x x k x x k P P -++=-+=， 或当弦所在直线的斜率k 存在且非零时，弦长公式可表示为：()[]2122121222141111y y y y k y y k P P -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=．。

2.5圆锥曲线的共同性质1(离心率)的动点的轨迹．问题1：当比值大于0小于1时轨迹是什么？提示：椭圆．问题2：当比值大于1时轨迹是什么？提示：双曲线．圆锥曲线的共同定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于常数e的点的轨迹．当0＜e＜1时，它表示椭圆；当e＞1时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线．其中e是离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线.在圆锥曲线的定义中，定点F是焦点，定直线l是准线，而且知道抛物线只有一个焦点和一条准线．问题：椭圆和双曲线有几个焦点、几条准线？提示：椭圆和双曲线有两个焦点、两条准线．椭圆、双曲线和抛物线的准线方程1．关于圆锥曲线共同特征的认识(1)从点的集合(或轨迹)的观点来看：它们都是平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数e 的点的集合(或轨迹)，只是当0<e <1时为椭圆，当e ＝1时为抛物线，当e >1时为双曲线．(2)从曲线形状的生成过程来看：圆锥曲线可看成不同的平面截圆锥面所得到的截面的周界，因此，椭圆(包括圆)、抛物线、双曲线又统称为圆锥曲线．2．圆锥曲线共同特征的应用设F 为圆锥曲线的焦点，A 为曲线上任意一点，d 为点A 到定直线的距离，由AF d＝e 变形可得d ＝AF e.由这个变形可以实现由AF 到d 的转化，借助d 则可以解决一些最值问题．[对应学生用书P36][例1] 已知动点M (x ，y )到点F (2,0)与到定直线x ＝8的距离之比为12，求点M 的轨迹．[思路点拨] 该题有两种解法，一种是利用直译法直接代入化简，另一种是用圆锥曲线的统一定义来求．[精解详析] 法一：由题意得x －2＋y 2|x －8|＝12，整理得x 216＋y 212＝1.法二：由圆锥曲线的统一定义知，M 点的轨迹是一椭圆．c ＝2，a 2c＝8，则a 2＝16，∴a ＝4，∴e ＝24＝12，与已知条件相符，∴椭圆中心在原点，焦点(±2,0)，准线x ＝±8，b 2＝12， 其方程为x 216＋y 212＝1.[一点通](1)解决此类题目有两种方法：①直接列方程，代入后化简整理即得方程．②根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程．(2)当题目中给出的条件直观上看不符合圆锥曲线定义时，要进行适当的变形，通过推导找出与之相关的距离问题进行验证，通过点与点、点与线间距离的转化去寻找解题途径，对于这种轨迹问题，一般都要通过定义解决．1．平面内的动点P (x ，y )(y >0)到点F (0,2)的距离与到x 轴的距离之差为2，求动点P 的轨迹．解：如图，作PM ⊥x 轴于M ，延长PM 交直线y ＝－2于N . ∵PF －PM ＝2.∴PF ＝PM ＋2. 又∵PN ＝PM ＋2，∴PF ＝PN .∴P 到定点F 与到定直线y ＝－2的距离相等．由抛物线的定义知，P 的轨迹是以F 为焦点以y ＝－2为准线的抛物线，顶点在原点，p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝8y .∴动点P 的轨迹是抛物线．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1(－4,0)，直线l ：x ＝－2，动点M 到F 1的距离是它到定直线l 距离d 的2倍．设动点M 的轨迹曲线为E .(1)求曲线E 的轨迹方程；(2)设点F 2(4,0)，若直线m 为曲线E 的任意一条切线，且点F 1，F 2到m 的距离分别为d 1，d 2，试判断d 1d 2是否为常数，并说明理由．解：(1)由题意，设点M (x ，y )， 则有MF 1＝x ＋2＋y 2，点M (x ，y )到直线l 的距离d ＝|x －(－2)|＝|x ＋2|， 故x ＋2＋y 2＝2|x ＋2|，化简得x 2－y 2＝8.故动点M 的轨迹方程为x 2－y 2＝8.(2)d 1d 2是常数，证明如下：若切线m 斜率不存在，则切线方程为x ＝±22， 此时d 1d 2＝(c ＋a )·(c －a )＝b 2＝8.当切线m 斜率存在时，设切线m ：y ＝kx ＋t ， 代入x 2－y 2＝8，整理得：x 2－(kx ＋t )2＝8， 即(1－k 2)x 2－2tkx －(t 2＋8)＝0. Δ＝(－2tk )2＋4(1－k 2)(t 2＋8)＝0， 化简得t 2＝8k 2－8.又由kx －y ＋t ＝0，d 1＝|－4k ＋t |k 2＋1，d 2＝|4k ＋t |k 2＋1， d 1d 2＝|16k 2－t 2|k 2＋1＝|16k 2－k 2－k 2＋1＝8,8为常数．综上，对任意切线m ，d 1d 2是常数.[例2] 若点P 的坐标是(－1，－3)，F 为椭圆x 216＋y 212＝1的右焦点，点Q 在椭圆上移动，当QF ＋12PQ 取得最小值时，求点Q 的坐标，并求出最小值．[思路点拨] 利用定义把QF 转化成到准线的距离，然后再求它与12PQ 的和的最小值．[精解详析] 在x 216＋y 212＝1中a ＝4，b ＝2 3，c ＝2，∴e ＝12，椭圆的右准线l ：x ＝8，过点Q 作QQ ′⊥l 于Q ′， 则QFQQ ′＝e . ∴QF ＝12QQ ′.∴QF ＋12PQ ＝12QQ ′＋12PQ ＝12(QQ ′＋PQ )．要使QQ ′＋PQ 最小，由图可知P 、Q 、Q ′三点共线，所以由P 向准线l 作垂线，与椭圆的交点即为QF ＋12PQ 最小时的点Q ，∴Q 的纵坐标为－3，代入椭圆得：Q 的横坐标为x ＝2.∴Q 为(2，－3)，此时QF ＋12PQ ＝92.[一点通] 利用圆锥曲线的定义通过把到焦点的距离转化为到准线的距离，或把到准线的距离转化为到焦点的距离，从而求得距离问题的最值是这一部分的常见题型，应熟练掌握．3．已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，M 为双曲线的动点，求MA ＋35MF 的最小值．解：双曲线离心率e ＝53，由圆锥曲线的共同性质知MFd ＝e (d 为点M 到右准线l 的距离)，右准线l 的方程为x ＝95，而AM ＋35MF ＝MA ＋35de ＝MA ＋d .显然当AM ⊥l 时，AM ＋d 最小，而AM ＋d 的最小值为A 到l 的距离为9－95＝365.即MA ＋53MF 的最小值为365.4．已知定点A (－2，3)，点F 为椭圆x 216＋y 212＝1的右焦点，点M 在椭圆上运动，求AM＋2MF 的最小值，并求此时点M 的坐标．解：∵a ＝4，b ＝23，∴c ＝a 2－b 2＝2.∴离心率e ＝12.A 点在椭圆内，设M 到右准线距离为d ，则MF d ＝e ，即MF ＝ed ＝12d ，右准线l ：x ＝8.∴AM ＋2MF ＝AM ＋d .∵A 点在椭圆内，∴过A 作AK ⊥l (l 为右准线)于K ，交椭圆于点M 0.则A 、M 、K 三点共线，即M 与M 0重合时，AM ＋d 最小为AK ，其值为8－(－2)＝10. 故AM ＋2MF 的最小值为10，此时M 点坐标为(23，3).[例3] 求椭圆x 216＋y 225＝1的离心率与准线方程，并求与该椭圆有相同准线，且离心率互为倒数的双曲线方程．[思路点拨] 由方程确定a ，c ，从而求e 与准线，由椭圆的准线、离心率，再确定双曲线的实轴长、虚轴长，从而求出双曲线的方程．[精解详析] 由x 216＋y 225＝1知a ＝5，b ＝4，c ＝3，e ＝c a ＝35，准线方程为y ＝±253.设双曲线虚半轴长为b ′，实半轴长为a ′，半焦距为c ′，离心率为e ′. 则e ′＝1e ＝53，又∵a 2c ＝a ′2c ′＝253.解得：a ′＝1259，c ′＝62527，b ′2＝250 000729.双曲线方程为81y 215 625－729x2250 000＝1.[一点通] 在圆锥曲线中，a ，b ，c ，e ，p 是确定图形形状的特征量，把握它们之间的内在联系是解决此类问题的关键．5．过圆锥曲线C 的一个焦点F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆与F 相应的准线相交，则曲线C 为________．解析：设圆锥曲线的离心率为e ，M 为AB 的中点，A ，B 和M 到准线的距离分别为d 1，d 2和d ，圆的半径为R ，d ＝d 1＋d 22，R ＝AB 2＝FA ＋FB 2＝e d 1＋d 22.由题意知R ＞d ，则e ＞1，故圆锥曲线为双曲线．答案：双曲线6．(天津高考)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的一个焦点， 且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2过双曲线的一个焦点，所以c ＝2，又离心率为2，所以a ＝1，b ＝c 2－a 2＝3，所以该双曲线的方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝11．圆锥曲线的准线：在求解圆锥曲线的准线时，应根据曲线的方程先化为其对应的标准形式，通过标准形式确定好曲线的焦点在坐标轴的位置，求出相应的量a 、c 或p ，然后写出其准线．2．圆锥曲线的判断：要判断所给曲线是哪种圆锥曲线，常利用圆锥曲线的定义求解，其思路是： (1)如果遇到有动点到两定点的距离问题应自然联想到椭圆及双曲线的定义．(2)如果遇到动点到一个定点和一条定直线的距离问题，应自然联想到椭圆、双曲线和抛物线的统一定义．[对应课时跟踪训练(十四)]1．若双曲线x 28－y 2b2＝1的一条准线与抛物线y 2＝8x 的准线重合，则双曲线的离心率为________．解析：根据题意和已知可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2c＝2，a 2＝8，⇒⎩⎨⎧c ＝4，a ＝2 2，⇒e ＝ 2.答案： 22．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则cos ∠F 1PF 2的值是________．解析：曲线C 1：x 26＋y 22＝1与曲线C 2：x 23－y 2＝1的焦点重合，两曲线共有四个交点，不妨设P 为第一象限的交点．则PF 1＋PF 2＝26，PF 1－PF 2＝23，解得PF 1＝6＋3，PF 2＝6－3.又F 1F 2＝4，在△F 1PF 2中，由余弦定理可求得 cos ∠F 1PF 2＝6＋32＋6－32－426＋36－3＝13. 答案：133．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则PM ＋PN 的最小值、最大值分别为________________．解析：PM ＋PN 最大值为PF 1＋1＋PF 2＋1＝12，最小值为PF 1－1＋PF 2－1＝8. 答案：8,124．(福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，MF 1＝c ，MF 2＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a＝2cc ＋3c＝3－1.答案：3－15．已知椭圆x 24＋y 22＝1内部的一点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13，F 为右焦点，M 为椭圆上一动点，则MA ＋2MF 的最小值为________．解析：设M 到右准线的距离为d ， 由圆锥曲线定义知MFd ＝22，∴d ＝2MF . ∴MA ＋2MF ＝MA ＋d .由A 向右准线作垂线，垂线段长即为MA ＋d 的最小值．MA ＋d ≥2 2－1.答案：2 2－16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，求此双曲线离心率e 的最大值．解：设P 点坐标为P (x 0，y 0)，由圆锥曲线的统一定义得：e ＝PF 1x 0＋a 2c ＝PF 2x 0－a 2c，把PF 1＝4PF 2. 代入则有：x 0＋a 2c ＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 0－a 2c .整理得5a2c＝3x 0≥3a (∵x 0≥a )．∴e ＝c a ≤53.∴离心率e 的最大值为53.7．已知平面内的动点P 到定直线l ：x ＝2 2的距离与点P 到定点F (2，0)之比为 2. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点N 为轨迹C 上任意一点(不在x 轴上)，过原点O 作直线AB ，交(1)中轨迹C 于点A 、B ，且直线AN 、BN 的斜率都存在，分别为k 1、k 2，问k 1·k 2是否为定值？解：(1)设点P (x ，y )，依题意，有x －22＋y 2|x －2 2|＝22. 整理，得x 24＋y 22＝1.所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由题意，设N (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)，则B (－x 2，－y 2)，x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1.k 1·k 2＝y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝2－12x 21－2＋12x 22x 21－x 22＝－12，为定值． 8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右准线l 2与一条渐近线l 交于点P ，F 是双曲线的右焦点．(1)求证：PF ⊥l ；(2)若PF ＝3，且双曲线的离心率e ＝54，求该双曲线的方程．解：(1)证明：右准线为l 2：x ＝a 2c ，由对称性不妨设渐近线l 为y ＝b a x ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，又F (c,0)，∴k PF ＝abc －0a 2c－c ＝－ab .又∵k l ＝b a ，∴k PF ·k l ＝－a b ·b a＝－1.∴PF ⊥l . (2)∵PF 的长即F (c,0)到l ：bx －ay ＝0的距离， ∴|bc |a 2＋b 2＝3，∴b ＝3.又e ＝c a ＝54，∴a 2＋b 2a 2＝2516.∴a ＝4.故双曲线方程为x 216－y 29＝1.[对应学生用书P38]一、圆锥曲线的意义 1．椭圆平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．(1)焦点：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．(2)焦距：两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．双曲线平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．(1)焦点：两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点．(2)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．3．抛物线平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．二、圆锥曲线的标准方程及几何性质1．椭圆的标准方程和几何性质2．双曲线的标准方程和几何性质3. 抛物线的标准方程和几何性质三、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的共同性质1．圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e .这个常数e 叫值圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线．2．椭圆的离心率满足0<e <1，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e ＝1.⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测二 见8开试卷(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．(江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．解析：令x 216－y 29＝0，解得y ＝±34x .答案：y ＝±34x2．(四川高考改编)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为|±3×1－0|1＋3＝32.答案：323．(辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题意因为PQ 过双曲线的右焦点(5,0)，所以P ，Q 都在双曲线的右支上，则有FP －PA ＝6，FQ －QA ＝6，两式相加，利用双曲线的定义得FP ＋FQ ＝28，所以△PQF 的周长为FP ＋FQ ＋PQ ＝44.答案：444．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )，动圆P 在直线x ＝1的左侧，其半径等于1－x ，则PC ＝1－x ＋1，即x ＋2＋y 2＝2－x .∴y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x5．两个焦点为(±2,0)且过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32的椭圆的标准方程为________．解析：∵两个焦点为(±2,0)， ∴椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫522a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322b 2＝1a 2－b 2＝4，，解得a 2＝10，b 2＝6.∴椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.答案：x 210＋y 26＝16．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，AF ＝2，则BF ＝________. 解析：设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有，焦点F (1,0)，AF ＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故BF ＝AF ＝2.答案：27．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．解析：在△ABF 中，AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则AF ＝6.由AB 2＝AF 2＋BF 2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝OF ＝AB2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以BF ＝AF 1＝8.由椭圆的性质可知AF ＋AF 1＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝c a ＝57.答案：578．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是________．解析：设P (x ，y )为抛物线上任意一点，则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|2x －x 2－4|5＝x －2＋3|5，∴当x ＝1时，d 取最小值35，此时P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)9．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝2a 2的一个交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且PF 1＝3PF 2，则双曲线的离心率为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2a ，PF 1＝3PF 2得PF 1＝3a ，PF 2＝a ，设∠F 1OP ＝α，则∠POF 2＝180°－α， 在△PF 1O 中，PF 21＝OF 21＋OP 2－2OF 1·OP ·cos α ①， 在△OPF 2中，PF 22＝OF 22＋OP 2－2OF 2·OP ·cos(180°－α) ②，由cos(180°－α)＝－cos α与OP ＝2a ， ①＋②得c 2＝3a 2，∴e ＝ca＝3aa＝ 3.答案： 310．已知双曲C 1＝x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐进线的距离为2，则抛物线C 2的方程为______________________．解析：∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的率心率为2.∴c a ＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a .∴双曲线的渐近线方程为 3 x ±y ＝0.∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2.∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y . 答案：x 2＝16y11．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．解析：因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3.所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案：x 218＋y 29＝112．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >b >0)有相同的左、右焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则PF 1·PF 2的值是________．解析：取P 在双曲线的右支上， 则⎩⎨⎧PF 1＋PF 2＝2 m ，PF 1－PF 2＝2 a ，∴⎩⎨⎧PF 1＝m ＋a ，PF 2＝m －a .∴PF 1·PF 2＝(m ＋a )(m －a )＝m －a . 答案：m －a13．若椭圆mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0)与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 的中点的连线斜率为22，则nm的值为________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点(x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x ，得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0∴x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝n m ＋n .∴y 0＝mm ＋n. 又y 0x 0＝22，∴m n ＝22，∴nm＝ 2. 答案： 214．(四川高考改编)从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．解析：由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.答案：22二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知双曲线与椭圆x 236＋y 249＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为37，求双曲线的方程．解：在椭圆x 236＋y 249＝1中，焦点坐标为(0，±13)，离心率e ′＝137， 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝13，137∶a 2＋b 2a ＝37，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝4.∴双曲线的方程为y 29－x 24＝1.16．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为32，且与直线x ＋y －1＝0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆的方程．解：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵e ＝32，∴a 2＝4b 2，即a ＝2b . ∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.把直线方程代入并化简，得5x 2－8x ＋4－4b 2＝0. 设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝85，x 1x 2＝15(4－4b 2)．∴y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝15(1－4b 2)．由于OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 解得b 2＝58，a 2＝52.∴椭圆方程为25x 2＋85y 2＝1.17．(本小题满分14分)如图，F1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c .所以|AB |＝1＋3·|85c －0|＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设AB ＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义BF 1＋BF 2＝2a 可知，BF 1＝3a －t . 由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.18．(本小题满分16分)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，求直线l 的方程．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，当直线l 斜率不存在时，|AB |＝4，不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知k ≠0， 则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.由抛物线定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2， ∴x 1＋x 2＋2＝8，即2k 2＋4k2＋2＝8.解得k ＝±1.所以直线l 的方程为y ＝±(x －1)， 即x －y －1＝0，x ＋y －1＝0.19．(本小题满分16分)(陕西高考)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率． 解：(1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意d ＝2|MN |.由此得|4－x |＝2x －2＋y 2，化简得x 24＋y 23＝1，所以，动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0，故k 2>32.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－24k3＋4k2，① x 1x 2＝243＋4k2.② 又因为A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③ 将③代入①，②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k2， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2＞32，解得k ＝－32或k ＝32，所以直线m 的斜率为－32或32.法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点， ∴x 1＝x 22，①y 1＝3＋y 22.② 又x 214＋y 213＝1，③ x 224＋y 223＝1，④ 联立①，②，③，④解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)， 所以直线m 的斜率为－32或32.20．(本小题满分16分)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求△PB 2Q 的面积．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|， 故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2，由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0， 故可设直线PQ 的方程为x ＝my －2，代入椭圆方程得 (m 2＋5)y 2－4my －16＝0.(*)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程(*)的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5. 又2B P ＝(x 1－2，y 1)，2B Q ＝(x 2－2，y 2)，所以2B P ·2B Q ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－m 2＋m 2＋5－16m2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m ＋5，由PB 2⊥QB 2，知2B P ·2B Q ＝0， 即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为9y 2－8y －16＝0. 故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8109，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16109.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16109.综上所述，△PB 2Q 的面积为16109.。

2．5圆锥曲线的共同性质教学目标：（1）掌握圆锥曲线的共同性质，理解离心率、焦点、准线的意义（2）通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质（3）通过本节的学习，可以培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力重点：圆锥曲线第二定义的推导难点：对圆锥曲线第二定义的理解与运用一．知识回顾二．数学探究问题1：圆锥曲线有什么共同性质？它们的离心率有什么联系？从抛物线的定义出发来研究：1．抛物线离心率e=1:准线方程：2．椭圆的离心率0<e<1：准线方程：3．双曲线的离心率e>1：准线方程：三．数学应用例1：已知动点P满足到定直线的距离和它到定点F的距离比为，那么动点P的轨迹是_________________.例2：若椭圆的一条准线为，则________.例3：已知动点P满足，那么动点P的轨迹是什么？问题2：椭圆和双曲线的准线方程各是什么？练习：求下列曲线的准线方程：（1）（2）（3）（4）（5）（6）例4．在椭圆内有一点P（1，-1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使的值最小，求这个最小值.巩固练习:1.双曲线的准线方程是____________.2.已知平面内动点P到一条定直线的距离和它到定点F的距离的比等于，则点P 的轨迹是__________.3.椭圆上一点到其左准线的距离等于，则P到右焦点的距离等于_______4.以椭圆的右准线为准线的抛物线的标准方程是___________.问题探究：设A，是右焦点为F的椭圆上三个不同的点，则“AF,BF,CF成等差数列”是“”的____________条件.课堂小结：1．知识小结：2．数学思想方法：课外练习：1.双曲线的准线方程为____________,两准线间的距离为_____________.2.椭圆的一条准线方程为，那么__________.3.若抛物线的准线是椭圆的一条准线，则=_______.4.已知点是椭圆上的一点，若点到椭圆右准线的距离是，则点P到左焦点的距离是__________.5.若双曲线的一条准线与两条渐近线交点确定的线段长恰好等于双曲线的实半轴长，则双曲线的离心率为__________________.6.已知定点F（-4,0），动点P到F的距离是P到定直线的距离的倍，则点P的轨迹方程为___________.7.若抛物线上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为_____.8.方程表示的曲线是________________.9.求圆心在抛物线上且与轴及抛物线的准线都相切的圆的方程.10.已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上，且,,求点P到椭圆左准线的距离.。