阜阳市阜南县实验中学高一下学期第三次月考数学试卷

卜人入州八九几市潮王学校郸城一高东校区14-15高一下期第三次月考数学试题一．选择题. A.3cos 5π B.3cos 5π- C.3cos 5π±2cos 5π 2.cos tan 0θθ⋅<，那么角θ是〔〕Ａ．第一或者第二象限角Ｂ．第二或者第三象限角Ｃ．第三或者第四象限角Ｄ．第一或者第四象限角3.以下函数中,最小正周期为π的是()A.|sin |y x =B.sin y x =C.tan 2x y = D.cos 4y x = 4.以下函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是()．A ．tan y x =B ．cos()y x =-C ．sin()2y x π=--D ．|tan |y x =2sin(2)3y x π=-的图像,需要将函数sin 2y x =的图像() A ．向左平移23π个单位B ．向右平移23π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位 6.假设A 、B 、C 分别为ABC ∆的内角,那么以下关系中正确的选项是()A.C B A sin )sin(=+B.A C B cos )cos(=+C.C B A tan )tan(=+ D.A C B sin )sin(-=+ 7.sin 210=()A ．21B ．21-C ．23D ．23-α的终边过点()34，-P ，那么ααcos sin 2+的值是〔〕 A ．1或者－1B ．52或者52-C ．1或者52-D ．52 9.某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为〔〕A ．2°B ．2C ．4°D ．4 10.)(cos R x x y ∈=图像的一个对称中心〔〕Ａ．()10，Ｂ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2πＣ．()0，πＤ．()02，π P 在角α的终边的反向延长线上，且1=OP ，那么点P 的坐标为〔〕α的终边经过点0p 〔-3，-4〕，那么)2cos(απ+的值是〔〕 A.54- B.53C.54D.53- 二．填空题：13.在扇形中，半径为8，弧长为12，那么圆心角是弧度，扇形面积是.1sin 2x x =的解的个数为__________. π316化为)20,(2παπα<<∈+Z k k 的形式是y ＝sin(x ＋)，x ∈[0,2π]的单调减区间是______。

阜南县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学一、选择题1． 在曲线y=x 2上切线倾斜角为的点是（ ）A ．（0，0）B ．（2，4） C．（，）D．（，）2． 高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ） A ．720 B ．270 C ．390 D ．300 3． 若双曲线C ：x 2﹣=1（b ＞0）的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率e=（ ）A ．2B．C ．3 D．4． 点集{（x ，y ）|（|x|﹣1）2+y 2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（ ）A． B． C． D．5． 等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46． 二项式(1)(N )nx n *+?的展开式中3x 项的系数为10，则n =（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．7． 已知三棱锥S ABC -外接球的表面积为32π，090ABC ∠=，三棱锥S ABC -的三视图如图 所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）A ．4 B． C ．8 D．8． 在数列{}n a 中，115a =，*1332()n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．21a 和22aB ．22a 和23aC ．23a 和24aD ．24a 和25a 9． 已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则（ ） A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l10．一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P ，直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．下列命题的说法错误的是（ ）A ．若复合命题p ∧q 为假命题，则p ，q 都是假命题B ．“x=1”是“x 2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C ．对于命题p ：∀x ∈R ，x 2+x+1＞0 则￢p ：∃x ∈R ，x 2+x+1≤0D ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0”12．已知集合A={x|1≤x ≤3}，B={x|0＜x ＜a}，若A ⊆B ，则实数a 的范围是（ ）A ．[3，+∞）B ．（3，+∞）C ．[﹣∞，3]D ．[﹣∞，3）二、填空题13．在各项为正数的等比数列{a n }中，若a 6=a 5+2a 4，则公比q= ．14．函数的单调递增区间是 ．15．命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣1＞0”的否定形式是 ．16．用“＜”或“＞”号填空：30.8 30.7．17．命题“若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0”的逆否命题是 （填“真命题”或“假命题”．）18．已知实数x ，y 满足，则目标函数z=x ﹣3y 的最大值为三、解答题19．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n+1=2S n +1，等差数列{b n }满足b 3=3，b 5=9， （1）分别求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）若对任意的n ∈N *，恒成立，求实数k 的取值范围．20．如图，已知边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点（Ⅰ）试在棱AD上找一点N，使得CN∥平面AMP，并证明你的结论．（Ⅱ）证明：AM⊥PM．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象如图，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为原点．且|OQ|=2，|OP|=，|PQ|=．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x∈[0，2]时，求函数h（x）=f （x）•g（x）的最大值．22．某校举办学生综合素质大赛，对该校学生进行综合素质测试，学校对测试成绩（10分制）大于或等于7.5的学生颁发荣誉证书，现从A和B两班中各随机抽5名学生进行抽查，其成绩记录如下：x ＜y ，且A和B 两班被抽查的5名学生成绩的平均值相等，方差也相等．（Ⅰ）若从B 班被抽查的5名学生中任抽取2名学生，求被抽取2学生成绩都颁发了荣誉证书的概率； （Ⅱ）从被抽查的10名任取3名，X 表示抽取的学生中获得荣誉证书的人数，求X 的期望．23．（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB DC ，2ABD π∠=，AD =22AB DC ==，F为PA 的中点．（Ⅰ）在棱PB 上确定一点E，使得//CE 平面PAD ； （Ⅱ）若PA PB PD ===P BDF -的体积．24．如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于E 点，F ，G 分别为AD ，BC 的中点，AB=2，∠DAB=60°，沿对角线BD 将△ABD 折起，使得AC=．（1）求证：平面ABD ⊥平面BCD ； （2）求二面角F ﹣DG ﹣C 的余弦值．ABCDPF25．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中AOB ∠为23π，半径OA 为1km ，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由圆弧AC 、线段CD 及线段BD 组成．其中D 在线段OB 上，且//CD AO ，设AOC θ∠=．（1）用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围； （2）当θ为何值时，观光道路最长？26．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）与双曲线﹣y 2=1的离心率互为倒数，且直线x ﹣y ﹣2=0经过椭圆的右顶点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围．阜南县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：y'=2x，设切点为（a，a2）∴y'=2a，得切线的斜率为2a，所以2a=tan45°=1，∴a=，在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（，）．故选D．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．2．【答案】C解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人，首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型；所求方案有：++=390．故选：C．3．【答案】B【解析】解：双曲线C：x2﹣=1（b＞0）的顶点为（±1，0），渐近线方程为y=±bx，由题意可得=，解得b=1，c==，即有离心率e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．4．【答案】A【解析】解：点集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x，y轴对称，如图所示．由图可得面积S==+=+2．故选：A．【点评】本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想．5． 【答案】B【解析】解：设数列{a n }的公差为d ，则由a 1+a 5=10，a 4=7，可得2a 1+4d=10，a 1+3d=7，解得d=2， 故选B ．6． 【答案】B【解析】因为(1)(N )nx n *+?的展开式中3x 项系数是3C n ，所以3C 10n =，解得5n =，故选A ．7． 【答案】A 【解析】考点:三视图．【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图. 8． 【答案】C 【解析】考点：等差数列的通项公式．9． 【答案】D【解析】解：由m ⊥平面α，直线l 满足l ⊥m ，且l ⊄α，所以l ∥α， 又n ⊥平面β，l ⊥n ，l ⊄β，所以l ∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．10．【答案】D【解析】解：设F2为椭圆的右焦点由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．又因为F1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以．根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a﹣c．所以2a﹣c=，所以e=．故选D．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．11．【答案】A【解析】解：A．复合命题p∧q为假命题，则p，q至少有一个命题为假命题，因此不正确；B．由x2﹣3x+2=0，解得x=1，2，因此“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确；C．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0 则￢p：∃x∈R，x2+x+1≤0，正确；D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确．故选：A．12．【答案】B【解析】解：∵集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0＜x＜a}，若A⊆B，则a＞3，故选：B．【点评】本题考查了集合的包含关系，考查不等式问题，是一道基础题．二、填空题13．【答案】2．【解析】解：由a6=a5+2a4得，a4q2=a4q+2a4，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1，又各项为正数，则q=2，故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意公比的符号，属于基础题．14．【答案】[2，3）．【解析】解：令t=﹣3+4x﹣x2＞0，求得1＜x＜3，则y=，本题即求函数t在（1，3）上的减区间．利用二次函数的性质可得函数t在（1，3）上的减区间为[2，3），故答案为：[2，3）．15．【答案】．【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题所以，命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0”的否定形式是：．故答案为：．16．【答案】＞【解析】解：∵y=3x是增函数，又0.8＞0.7，∴30.8＞30.7．故答案为：＞【点评】本题考查对数函数、指数函数的性质和应用，是基础题．17．【答案】真命题【解析】解：若a＞0，b＞0，则ab＞0成立，即原命题为真命题，则命题的逆否命题也为真命题，故答案为：真命题．【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据逆否命题的真假性相同是解决本题的关键．18．【答案】5【解析】解：由z=x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最大，由，解得，即C（2，﹣1）．代入目标函数z=x﹣3y，得z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5，故答案为：5．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由a n+1=2S n+1①得a n=2S n﹣1+1②，①﹣②得a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1），∴a n+1=3a n（n≥2）又a2=3，a1=1也满足上式，∴a n=3n﹣1；b5﹣b3=2d=6∴d=3∴b n=3+（n﹣3）×3=3n﹣6；（2），∴对n∈N*恒成立，∴对n∈N*恒成立，令，，当n≤3时，c n＞c n﹣1，当n≥4时，c n＜c n﹣1，，所以实数k的取值范围是【点评】已知数列的项与前n项和间的递推关系求数列的通项，一般通过仿写作差的方法得到数列的递推关系，再据递推关系选择合适的求通项方法．20．【答案】【解析】（Ⅰ）解：在棱AD上找中点N，连接CN，则CN∥平面AMP；证明：因为M为BC的中点，四边形ABCD是矩形，所以CM平行且相等于DN，所以四边形MCNA为矩形，所以CN∥AM，又CN⊄平面AMP，AM⊂平面AMP，所以CN∥平面AMP．（Ⅱ）证明：过P作PE⊥CD，连接AE，ME，因为边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点所以PE⊥平面ABCD，CM=，所以PE⊥AM，在△AME中，AE==3，ME==，AM==，所以AE2=AM2+ME2，所以AM⊥ME，所以AM⊥平面PME所以AM⊥PM．【点评】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理的运用；正确利用已知条件得到线线关系是关键，体现了转化的思想．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由余弦定理得cos∠POQ==，…∴sin∠POQ=，得P点坐标为（，1），∴A=1，=4（2﹣），∴ω=．…由f（）=sin（+φ）=1 可得φ=，∴y=f（x）的解析式为f（x）=sin（x+）．…（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求得g（x）=sin x，…h（x）=f（x）g（x）=sin（x+）sin x=+sin xcos x=+sin=sin（﹣）+．…当x∈[0，2]时，∈[﹣，]，∴当，即x=1时，h max（x）=．…【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵（7+7+7.5+9+9.5）=8，=（6+x+8.5+8.5+y），∵，∴x+y=17，①∵，=，∵，得（x﹣8）2+（y﹣8）2=1，②由①②解得或，∵x＜y，∴x=8，y=9，记“2名学生都颁发了荣誉证书”为事件C，则事件C包含个基本事件，共有个基本事件，∴P（C）=，即2名学生颁发了荣誉证书的概率为．（Ⅱ）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，EX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平均值和方差的计算和应用．23．【答案】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当E 为PB 的中点时，//CE 平面PAD ． （1分） 连结EF 、EC ，那么//EF AB ，12EF AB =． ∵//DC AB ，12DC AB =，∴//EF DC ，EF DC =，∴//EC FD ． （3分） 又∵CE ⊄平面PAD ， FD ⊂平面PAD ，∴//CE 平面PAD ． （5分） （Ⅱ）设O 为AD 的中点，连结OP 、OB ，∵PA PD =，∴OP AD ⊥，在直角三角形ABD 中，12OB AD OA ==, 又∵PA PB =，∴PAO PBO ∆≅∆，∴POA POB ∠=∠,∴OP OB ⊥，∴OP ⊥平面ABD ． （10分）2PO ===，2BD ==∴三棱锥P BDF -的体积1112222233P BDF P ABD V V --==⨯⨯⨯=． （13分）24．【答案】【解析】（1）证明；在菱形ABCD 中，AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD ，△CBD 为等边三角形， ∵E 是BD 的中点，∴AE ⊥BD ，AE=CE=，∵AC=，∴AE 2+CE 2=AC 2，∴AE ⊥EC ，∴AE ⊥平面BCD ，又∵AE ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BCD ；（2）解：由（1）可知建立以E 为原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，EA 为z 轴的空间直角坐标系E ﹣xyz ， 则D （0，1，0），C（，0，0），F （0，，）G（﹣，1，），平面CDG的一个法向量=（0，0，1）， 设平面FDG的法向量=（x ，y ，z），=（0，﹣，），=（﹣，1，）ABCDPOE F∴，即，令z=1，得x=3，y=，故平面FDG的一个法向量=（3，，1），∴cos==，∴二面角F ﹣DG ﹣C的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面垂直，考查平面与平面所成的角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．25．【答案】（1）cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭;（2）设∴当6πθ=时，()L θ取得最大值，即当6πθ=时，观光道路最长.【解析】试题分析：（1）在OCD ∆中，由正弦定理得：sin sin sin CD OD COCOD DCO CDO ==∠∠∠2cos 3CD πθθθ⎛⎫∴=-=+ ⎪⎝⎭，OD θ=sin 1sin 0323OD OB πθθθ<∴<∴<<<cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭（2）设观光道路长度为()L θ，则()L BD CD AC θ=++弧的长= 1cos θθθθ+++= cos 1θθθ-++，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴()sin 1L θθθ=-+' 由()0L θ'=得：sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭6πθ∴=∴当6πθ=时，()L θ取得最大值，即当6πθ=时，观光道路最长.考点：本题考查了三角函数的实际运用点评：对三角函数的考试问题通常有：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。

高一下学期第三次月考数学试卷（附含答案）试卷满分150分（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.下列说法正确的是（ ） A.经过三点有且只有一个平面 B.经过一条直线和一个点有且只有一个平面 C.四边形是平面图形D.经过两条相交直线有且只有一个平面2.在ABC △中，AC=1，AB =和BC=3，则ABC △的面积为（ ）D.3.设m ，n 是两条不同的直线，α和β是两个不同的平面（ ） A.若m n ⊥ n α∥，则m α⊥B.若m β∥βα⊥，则m α⊥C.若m β⊥ n β⊥ n α⊥，则m α⊥D.若m n ⊥ n β⊥ βα⊥，则m α⊥4.在ABC △中4a = 3b = 2sin 3A =，则B =（ ） A.6π B.3π C.6π或56π D.3π或23π5.如图 在长方体1111ABCD A B C D -中2AB = 11BC BB == P 是1A C 的中点，则直线BP 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A.13C.36.某车间需要对一个圆柱形工件进行加工 该工件底面半径15cm 高10cm 加工方法为在底面中心处打一个半径为cm r 且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r 的值应设计为（ ）cmC.4D.57.已知在ABC △中2B A C =+ 2b ac =，则ABC △的形状是（ ） A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形8.与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为 侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（ ）22C.D.二、多项选择题（本大题共4小题 每小题5分 共计20分.在每小题给出的四个选项中至少有两个是符合题目要求的 请把答案填写在答题卡相应位置上）9.如图 已知正方体1111ABCD A B C D - M N 分别为11A D 和1AA 的中点，则下列四种说法中正确的是（ ）A.1C M AC ∥B.1BD AC ⊥C.1BC 与AC 所成的角为60°D.CD 与BN 为异面直线10.在ABC △中角A B C 的对边分别是a b c 下列关系式恒成立的是（ ） A.cos cos c a B b A =⋅+⋅B.22sin1cos 2A BC +=+ C.()22cos cos a b c a B b A -=⋅⋅-⋅D.tan tan tan 1tan tan A BC A B+=-11.如图 在正四棱锥S ABCD -中E M N 分别是 BC CD SC 的中点 动点P 在线段MN 上运动时 下列四个结论恒成立的是（ ）A.EP AC ⊥B.EP BD ∥C.EP ∥平面SBDD.EP ⊥平面SAC12.如图 在正方体1111ABCD A B C D -中M 、N 分别为正方形ABCD 、11BB C C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A.平面1D MN 与11B C 的交点是11B C 的中点B.平面1D MN 与BC 的交点是BC 的三等分点C.平面1D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点D.平面1D MN 将正方体1111ABCD A B C D -分成的两部分的体积之比为1：1三、填空题（本大题共4小题 每小题5分 共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13.在ABC △中若4AB = 7AC = BC 边的中线72AD =，则BC =______.14.已知圆锥的顶点为P 底面圆心为O 高为1 E 和F 是底面圆周上两点 PEF △面积的最大值为______.15.正四棱台的上、下底面的边长分别为2 4 侧棱长为2，则其体积为______.16.过正方体1111ABCD A B C D -顶点A 作平面α 使α∥平面11A B CD 11A D 和11D C 的中点分别为E 和F ，则直线EF 与平面α所成角为______.四、解答题（本大题共6小题 共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）一个几何体由圆锥和圆柱组成 其尺寸如图所示. （1）求此几何体的表面积；（2）如图 点P Q 在几何体的轴截面上 P 为所在母线中点 Q 为母线与底面圆的交点 求在几何体侧面上 从P 点到Q 点的最短路径长.18.（本题满分12分）在ABC △中角A B C 的对边分别是a b c cos cos 3cos b A a B c A +=.（1）求cos A ；（2）若2a = 求ABC △面积的最大值.19.（本题满分12分）已知正三棱柱111ABC A B C -中2AB = M 是11B C 的中点. （1）求证：1AC ∥平面1A MB ；（2）点P 是直线1AC 上的一点 当1AC 与平面ABC 所成的角的正切值为2时 求三棱锥1P A MB -的体积.20.（本题满分12分）在ABC △中角A B C 的对边分别是a b c 已知cos cos b A a B b c -=-. （1）求A ；（2）若点D 在BC 边上 且2CD BD = cos B =求tan BAD ∠. 21.（本题满分12分）在四棱锥P ABCD -中90ABC ACD ∠=∠=︒ 30BCA CDA ∠=∠=︒ PA ⊥平面ABCD E F 分别为PD PC 的中点 2PA AB =. （1）求证：平面PAC ⊥平面AEF ； （2）求二面角E AC B --的余弦值.22.（本题满分12分）如图 在一条东西方向的海岸线上的点C 处有一个原子能研究所 海岸线北侧有一个小岛 岛上建有一个核电站.该岛的一个端点A 位于点C 的正北方向处 另一个端点B 位于点A 北偏东30°方向 且与点A 相距10km 研究所拟在点C 正东方向海岸线上的P 处建立一个核辐射监测站. （1）若4km CP = 求此时在P 处观察全岛所张视角APB ∠的正切值； （2）若要求在P 处观察全岛所张的视角最大 问点P 应选址何处？参考答案17.（1）由题设 此几何体是一个圆锥加一个圆柱 其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和.圆锥侧面积())21122S a a π=⨯⨯=；圆柱侧面积()()22224S a a a ππ=⨯=；圆柱底面积23S a π=∴几何体表面积为)222212345S S S S a a a a πππ=++=++=.（2）沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面 展开如图.则PQ ===∴P 、Q 两点间在侧面上的最短路径长为. 18.（1）因为cos cos 3cos b A a B c A +=由正弦定理得sin cos cos sin 3sin cos B A B A C A += ∴()sin 3sin cos A B C A +=∴sin 3sin cos C C A =.在ABC △中sin 0C ≠ ∴1cos 3A =；（2）由（1）知1cos 3A =由22sin cos 1A A += A 为锐角 得sin A =由余弦定理可知222123b c a bc +-= 因为2a =∴2233122b c bc +-= ∴22212336bc b c bc +≥=+ 即3bc ≤ 当且仅当b c ==所以1sin 2ABC S bc A =≤△ ABC △. 19.（1）证明：连接1AB 交1A B 于点N 连接MN因为四边形11AA B B 为平行四边形 11AB A B N ⋂=，则N 为1AB 的中点 因为M 为11B C 的中点，则1MN AC ∥∵1AC ⊂/平面1A MB MN ⊂平面1A MB 故1AC ∥平面1A MB . （2）因为1CC ⊥平面ABC ∴1AC 与平面ABC 所成的角为1CAC ∠因为ABC △是边长为2的等边三角形，则2AC =∵1CC ⊥平面ABC AC ⊂平面ABC ∴1CC AC ⊥，则11tan 2CC CAC AC ∠==所以 124CC AC ==∵1AC ∥平面1A MB 1P AC ∈ 所以点P 到平面1A MB 的距离等于点1C 到平面1A MB 的距离因为M 为11B C 的中点，则11111211222A MC A B C S S ===△△则1111111111433A P A MB C A MB B A C M C M V V V BB S ---===⋅=⨯=△.20.（1）解：因为cos cos b A a B b c -=-由余弦定理可得22222222b c a a c b b a b c bc ac +-+-⋅-⋅=-化简可得222b c a bc +-= 由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==因为0A π<< 所以 3A π=.（2）解：因为cos B =，则B 为锐角 所以 sin 3B ===因为A B C π++= 所以 23C B π=-所以22211sin sin sin cos cos sin 333232326C B B B πππ⎛⎫=-=-=⨯+⨯=+⎪⎝⎭设BAD θ∠=，则23CAD πθ∠=-在ABD △和ACD △中由正弦定理得sin sin BD AD B θ==sin sin 3CD AD C πθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭因为2CD BD =(3sin 3πθθ⎛⎫-=⎪⎝⎭(1sin 3sin 22θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2sin θθ=+所以tan tan BAD θ∠===21.（1）由题意 设AB a =，则2PA AC a == 4AD a =CD =∴PD == 又PA ⊥平面ABCD AC ⊂面ABCD∴PA AC ⊥，则在Rt PAC △中PC =在PCD △中222CD PC PD +=，则CD AC ⊥ 又CD ⊂面ABCD 有PA CD ⊥ 又AC PA A ⋂= 故有CD ⊥面P AC 又E F 分别为PD PC 的中点 即EF CD ∥ ∴EF ⊥面P AC 又EF ⊂面AEF ，则平面PAC ⊥平面AEF ；（2）过E 作EH AD ⊥ 易知H 为AD 中点 若G 是AC 中点 连接EH HG EG∴GH AC ⊥ EH AC ⊥ GH EH H ⋂= 故AC ⊥面EHG 即EGH ∠是二面角E AC D --的平面角∴由图知：二面角E AC B --为EGH π-∠易知EH PA ∥，则EH ⊥面ABCD GH ⊂面ABCD 所以EH GH ⊥在Rt EHG △中EH a = GH =，则2GE a =∴cos 2EGH ∠=，则二面角E AC B --的余弦值为()cos 2EGH π-∠=-.22.（1）设APB θ∠= 由题意知AC CP ⊥ AC = 4km CP = 30yAB ∠=︒ 所以tanCAP ∠==即30CAP ∠=︒ 8km AP = 1803030120PAB ∠=︒-︒-︒=︒ 在BAP △中10km AB =由正弦定理得 ()sin sin sin 60AB AP AP ABP θθ==∠︒- 即()108sin sin 60θθ=︒-化简得13sin θθ= 即tan θ=所以此时在P 处观察全岛所张视角APB ∠. （2）过点B 作BD CP ⊥于点D 设km CP x =由（1）得 当5x >时 点P 在点D 的右侧 ()5km PD x =-，则tan BD BPC PD ∠==当05x <<时 点P 在点D 的左侧 ()5km PD x =-，则tan 5BD BPC PD x ∠=-=-.又tan APC ∠=，则当0x > 且5x ≠时有())24tan tan 5108x BPC APC x x θ+=∠-∠==-+. 当5x =时 点P 与点D 重合tan tan CD CAD AC θ=∠== 满足上式所以)24tan 5108x x x θ+=-+.令4x t +=，则)tan 445410813t t t t t θ===>---++- ⎪⎝⎭因为14424t t +≥=，则0tan θ<≤= 当且仅当1444t t =>即12t = 8x =时取等号 此时tan θ。

2022-2023学年安徽省阜阳市高一下学期第三次月考数学试题一、单选题1．若全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,4M =，{}2,3N =，则集合{}5,6等于（）A ．M N ⋃B ．M N⋂C ．()()U UM N D ．()()U UM N 【答案】D【分析】根据题意结合集合间的运算逐项分析判断．【详解】因为全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,4M =，{}2,3N =，因为{}14,56U N =,,ð，{}2,3,5,6U M =ð，M N ⋂=∅，{}1,2,3,4M N =U ，()(){}5,6UUM N ⋂=，()(){}123456U U M N =U ,,,,,，则集合{}()()5,6U U M N =⋂，故A 、B 、C 错误，D 正确.故选：D ．2．“=1x -”是“20x x +=”（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意由20x x +=得出0x =或=1x -，然后根据充分和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由20x x +=得0x =或=1x -，所以由=1x -可以得到20x x +=，但由20x x +=不一定得到=1x -，所以=1x -是20x x +=的充分不必要条件.故选：A.3．复数()231i i +=A ．2B ．－2C ．2iD ．-2i【答案】A【分析】利用21i =-即可得解.【详解】()()()23122i i i i +=-=故选A.【点睛】本题考查了复数的乘法及乘方运算，属于基础题.4．如图所示，用符号语言可表达为（）A ．m αβ= ，n ⊂α，m n A =B ．m αβ= ，n α∈，m n A =C ．m αβ= ，n ⊂α，A m ⊂，A n ⊂D ．m αβ= ，n α∈，A m ∈，A n∈【答案】A【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可．【详解】如图所示，两个平面α与β相交于直线m ，直线n 在平面α内，直线m 和直线n 相交于点A ，故用符号语言可表达为m αβ= ，n ⊂α，m n A = ，故选：A ．5．已知向量()1,2AB =- ，(),5BC x =- ，若7AB BC ⋅=-，则AC = （）A ．5B ．42C ．6D ．52【答案】A【解析】通过向量的数量积求解x ，并求出向量AC的坐标，然后利用向量模的坐标运算求出AC ．【详解】解：向量()1,2AB =- ，(),5BC x =- ，若7AB BC ⋅=-uuu r uuu r，可得107x --=-，解得3x =-，所以()4,3AC AB BC =+=--，则22(4)35AC =-+=uuu r ．故选：A ．【点睛】本题考查向量的数量积的运算，向量的模的求法，是基本知识的考查．6．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且,BD CD AB BD CD ⊥==，则直线AC 与平面ABD 所成角的正切值是（）A ．2B ．22C ．3D ．33【答案】B【解析】根据条件判断出直线AC 与平面ABD 所成角即为CAD ∠，然后根据线段长度即可计算出线面角的正切值.【详解】因为AB ⊥平面BCD ，所以AB CD ⊥，又因为,BD CD AB BD B ⊥= ，所以CD ⊥平面ABD ，所以直线AC 与平面ABD 所成角即为CAD ∠，又因为AB BD CD ==，所以2tan 2CD CAD AD ∠==，故选：B.【点睛】本题考查线面垂直关系的判断与证明以及求解线面角的正切值，难度一般.利用几何方法求解线面角的三角函数值时，首先可考虑根据线面垂直关系作出线面角，然后再求解相关值.7．在ABC ∆中，已知222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，且满足4ab =，则ABC ∆的面积为A ．1B ．2C ．2D ．3【答案】D【分析】根据正弦定理先进行化简，然后根据余弦定理求出C 的大小，结合三角形的面积公式进行计算即可．【详解】在ABC ∆中，已知222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，∴由正弦定理得222a b ab c +-=，即222a b c ab +-=，∴cos C ＝2222a b c ab+-＝122ab ab =，即C ＝3π.∵4ab =，∴ABC ∆的面积113sin 43222S ab C ==⨯⨯=．故选D ．【点睛】本题主要考查三角形面积的计算，结合正弦定理余弦定理进行化简是解决本题的关键,属于基础题．8．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则函数()()f x g x 的最大值为（）A ．224+B ．3C ．34D ．34【答案】C【分析】利用三角函数图象变换求出()g x ，再根据三角恒等变换公式及二倍角公式结合三角函数的性质即可求解.【详解】解：函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()y g x =所以()sin 23g x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()2sin 23sin 2sin 2cos cos 2sin 3313sin 2sin 2cos 2221s 3sin 2sin 2cos 22211cos 431sin 42222113cos 4sin 444411sin 4in 4226f x g x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫=⋅- ⎪⎪⎝⎭=-⋅-=⨯-⨯⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=-+ ⎝⋅⎪⎭当sin 416x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()()f x g x 取得最大值，且最大值为()1131424-⨯-=故选：C.二、多选题9．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，则下列结论正确的是（）A ．圆柱的侧面积为22πRB ．圆锥的侧面积为22πR C ．圆柱的侧面积与球的表面积相等D ．圆柱､圆锥､球的体积之比为3:1:2【答案】CD【详解】根据圆柱，圆锥，球体的侧面积，表面积，和体积公式依次判断选项即可.【点睛】对选项A ，圆柱的侧面积为22π24πR R R ⨯=，故A 错误；对选项B ，圆锥的母线为()2225R R R +=，圆锥的侧面积为2152π5π2R R R ⨯⨯=，故B 错误.对选项C ，球的表面积为24πR ，故C 正确.对选项D ，圆柱的体积231π22πV R R R =⨯=，圆锥的体积23212π2π33V R R R =⨯⨯=，球的体积334π3V R =，所以圆柱､圆锥､球的体积之比为333242π:π:π3:1:233R R R =，故D 正确.故选：CD10．下列命题正确的是（）A ．平面//α平面β，一条直线a 平行与平面α，则a 一定平行于平面βB ．平面//α平面β，则面α内的任意一条直线都平行于平面βC ．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行D ．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线【答案】BCD【分析】由空间直线与平面、平面与平面的平行的判定定理与性质定理，对每一个选项进行逐一判断即可得到答案.【详解】选项.A 平面//α平面β，一条直线a 平行于平面α，则a 可能在平面β内，故A 错误；选项B .平面//α平面β，则α内的任意一条直线都平行与平面β，故B 正确；选项C .一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，由面面平行的判定知，三角形所在的平面与这个平面平行，故C 正确；选项D .分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线，不可能相交，故D 正确.故选：BCD .11．下列说法正确的序号是（）A ．偶函数()f x 的定义域为[]21a a -，，则1=3a B ．一次函数()f x 满足()()43f f x x =+，则函数()f x 的解析式为()1f x x =+C ．奇函数()f x 在[]24，上单调递增，且最大值为8，最小值为1-，则()()24215f f -+-=-D ．若集合2{|420}A x ax x =-++=中至多有一个元素，则2a ≤-【答案】AC【分析】对A ，由偶函数定义域对称解出参数即可；对B ，设()()0f x kx b k =+≠，则可得()()243f f x k x kb b x =++=+，建立方程组求解即可；对C ，由单调性得()21f =-，()48f =，由奇偶性得()21f -=，()48f -=-，即可求解；对D ，分别讨论=0a 、0a ≠解的个数即可【详解】对A ， 偶函数f x （）的定义域为[]21a a -，，21a a ∴-=-，解得1=3a ，A 对；对B ，设一次函数()()0f x kx b k =+≠，则()()()()2f f x f kx b k kx b b k x kb b =+=++=++，∵()()43f f x x =+，2=4+=3k kb b ∴⎧⎨⎩，解得=2=1k b ⎧⎨⎩或=2=3k b --⎧⎨⎩，∴函数()f x 的解析式为()21f x x =+或()23f x x =--，B 错；对C ， 奇函数()f x 在[]24，上单调递增，且最大值为8，最小值为1-，()21f ∴=-，()48f =，()()221f f ∴-=-=，()()448f f -=-=-，()()()24228115f f -+-=⨯-+=-，C 对；对D ， 集合2{|420}A x ax x =-++=中至多有一个元素，∴方程2420ax x -++=至多有一个解，当=0a 时，方程420x +=只有一个解12-，符合题意；当0a ≠时，由方程2420ax x -++=至多有一个解，可得1680a ∆=+≤，解得2a ≤-，0a ∴=或2a ≤-，D 错.故选：AC12．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==．下列说法正确的是（）A ．四棱锥11B A ACC -为“阳马”B ．四面体11AC CB 为“鳖臑”C ．四棱锥11B A ACC -体积最大为23D ．过A 点分别作1AE A B ⊥于点E ，1AF AC ⊥于点F ，则1EF A B ⊥【答案】ABD【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A ，B 的正误；当且仅当AC BC =时，四棱锥11B A ACC -体积有最大值，求值可判断C 的正误；根据题意可证1A B ⊥平面AEF ，进而判断D 的正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，侧棱1AA ⊥平面ABC ，A 选项，∴1AA BC ⊥，又AC BC ⊥，且1AA AC A = ，则BC ⊥平面11A ACC ，∴四棱锥11B A ACC -为“阳马”，对；B 选项，由AC BC ⊥，即11AC BC ⊥，又111AC C C ⊥且1BC C C C ⋂=，∴11A C ⊥平面11BB C C ，∴111AC BC ⊥，则11A BC 为直角三角形，又由BC ⊥平面11AAC C ，得1A BC 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11A C C 为直角三角形，1CC B 为直角三角形．∴四面体11AC CB 为“鳖臑”，对；C 选项，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤，当且仅当2AC BC ==时取等号，1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，错；D 选项，因为BC ⊥平面11AAC C ，则BC AF ⊥，1AF AC ⊥且1AC BC C = ，则AF ⊥平面1A BC ，∴1AF A B ⊥，又1AE A B ⊥且AF AE A ⋂=，则1A B ⊥平面AEF ，所以则1A B EF ⊥，对；故选：ABD ．三、填空题13．已知向量(1,2)a =- ，(,1)b m =r ．若向量a b +与a 垂直，则m =．【答案】7【分析】首先求出a b +的坐标，再根据两个向量垂直的性质得到()0a b a +⋅= ，根据向量数量积的坐标运算得到方程，即可求得实数m 的值．【详解】解：因为(1,2)a =- ，(,1)b m =r ，所以()1,3a b m +=- ，因为向量a b +与a 垂直，所以()()1230a b a m +⋅=--+⨯=，解得7m =，故答案为：7．14．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为2143R π.设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V ，下部分（半球）的体积为2V ，则12V V 的值是.【答案】2.【分析】设圆柱的高为h ，表示出表面积可得43h R =，再分别表示出1V ，2V 即可.【详解】解：设酒杯上部分高为h ，则酒杯内壁表面积221144223S R Rh R πππ=⨯+=，则43h R =，所以23143V R h R ππ==，321423V R π=⨯，故122V V =，故答案为：2.【点睛】本题考查圆柱、球体积及表面积的公式，需熟记公式，属于基础题.15．下列说法中，所有正确说法的序号是．①终边落在y 轴上的角的集合是π,2k k θθ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ；②函数π2cos 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心是3π,04⎛⎫⎪⎝⎭；③函数sin y x =在第一象限是增函数；④为了得到函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数cos y x =的图象向右平移π6个单位长度．【答案】②④【分析】对于①：根据任意角的定义分析判断；对于②：根据题意以π4x -为整体，结合正弦函数分析判断；对于③：通过举反例说明命题错误；对于④：根据函数图象变换规律得出分析运算．【详解】对于①：当角θ的终边落在y 轴的非负半轴上时，角π2π,2k k θ=+∈Z ；当角θ的终边落在y 轴的非正半轴上时，角3π2π,2k k θ=+∈Z ；故终边落在y 轴上的角的集合是π3ππ|2π2π,|π,222k k k x kk θθθθ⎧⎫⎧⎫=+=+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ZZ 或，故①不正确；对于②：令πππ,42x k k -=+∈Z ，可得对称中心为3ππ,0,4k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，令0k =，得到一个对称中心的坐标3π,04⎛⎫⎪⎝⎭，故②正确；对于③：因为39036030︒=︒+︒，45︒是第一象限角，且39045︒>︒，12sin 390sin 4522︒=<=︒，所以函数sin y x =在第一象限是增函数错误，故③不正确；对于④：只需把函数cos y x =的图象向右平移π6个长度单位，即可得到函数ππππcos cos sin 6323y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故④正确；故答案为：②④．16．函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ､N 两点，且M 在y 轴上，圆的半径为512π，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.【答案】4π【分析】根据题意，结合图像求出周期，进而可得ω的值，再代点分别求出A 和ϕ的值，即可得到函数()f x 的解析式，进而可得6f π⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，点,03C π⎛⎫⎪⎝⎭，故2362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，即T π=，因2T ωπ=，所以2ω=.由2sin 033f A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得2,3k k Z ϕππ+=∈，又因0ϕπ<<，所以3πϕ=，故()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由图可知222OM OC MC +=，又因,03C π⎛⎫⎪⎝⎭且圆的半径为512π，所以4OM π=，因此()30sin324f A A ππ===，即36A π=，所以()3sin 263f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因此32sin 6634f ππππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为：4π.四、解答题17．已知z 为复数，2i z -和2iz+均为实数，其中i 是虚数单位.(1)求复数z ；(2)若复数12i z z m m =++对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)42iz =+(2)41m -<<【分析】（1）设出复数z ，化简2z i+，利用实数，虚部为0，即可求出复数z ．（2）化简复数，利用复数的几何意义转化为不等式组求解即可．【详解】（1）z 为复数，2i z -和2iz +均为实数，可设：2i z a =+，a ∈R ，2i (2i)(2i)22(4)i 2i 2i (2i)(2i)5z a a a a ++-++-===+++-，2iz +为实数，可得40a -=，解得4a =，复数42i z =+．（2）复数()12i 42i 2i 422i z z m m m m m m =++=-++=++-，复平面上对应的点在第四象限，可得：40220m m +>⎧⎨-<⎩，解得41m -<<．18．已知()22sin ,cos a x x = ，(3cos ,2)b x = ，()f x a b =⋅ ．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期为π，单调减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为3，最小值为0．【分析】（1）利用向量的坐标运算化简，再利用整体的思想.（2）根据（1）的结果及x 的范围求出26x π+的范围，从而计算出函数的最值.【详解】解：2(1)(2sin ,cos )a x x = ，(3cos ,2)b x = ，由2()23sin cos 2cos f x a b x x x=⋅=+ 3sin 2cos 212sin(2)16x x x π=++=++，()f x \的最小正周期22T ππ==，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得：2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，()f x \的单调递减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；()2由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：72,,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当7266x ππ+=时，函数()f x 取得最小值为7210,6sin π+=当262x ππ+=时，函数()f x 取得最大值为213,2sin π+=故得函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为0．19．已知四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB CD ，AD ＝CD ＝1，∠BAD ＝120°，3PA =，∠ACB ＝90°．(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)求直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)34【分析】（1）通过证明BC AC ⊥，PA BC ⊥即可证明BC ⊥平面PAC ；（2）过C 作CE AB ⊥于E ，则直线PC 与平面PAB 所成的角为EPC ∠，然后解三角形求解即可．【详解】（1）因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则PA BC ⊥，又因为90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥，PA AC A = ，PA ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ．（2）过C 作CE AB ⊥于E ，连接PE ，因为PA ⊥底面ABCD ，,AC CE ⊂平面ABCD ，则,PA AC PA CE ⊥⊥，AB AP A =I ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以CE ⊥平面PAB ，所以直线PC 与平面PAB 所成的角为EPC ∠，因为1AD CD ==，AB //CD ，120BAD ∠=︒，则60ADC ∠=︒，ADC △是等边三角形，可得1AC =，又因为3PA =，在Rt PAC △中，2PC =，Rt ACE 中求得32CE =，所以3sin 4EC EPC PC ∠==，即直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为34．20．已知两个非零向量a 与b 不共线，(1)若,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=+=- ，求证：A ､B ､D 三点共线；(2)试确定实数k ，使得ka b + 与k + a b 共线；(3)若(1,2),(1,1),a b c a b λ===+ ，且b c ⊥ ，求实数λ的值.【答案】(1)证明见解析(2)1k =±(3)32λ=-【分析】（1）由平面向量的共线定理证明,AB BD 共线，即可得证；（2）由平面向量的共线定理与向量相等求解即可；（3）由向量垂直的坐标表示求解即可【详解】（1）∵,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=+=- ，∴283()28335()5BD BC CD a b a b a b a b a b AB =+=++-=++-=+= ，∴,AB BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A ､B ､D 三点共线；（2）∵ka b + 与k + a b 共线，∴存在实数λ，使()ka b a kb λ+=+ ，即ka b a kb λλ+=+ ，∴()(1)k a k b λλ-=- ，∵,a b 是两个不共线的非零向量，∴10k k λλ-=-=，∴210k -=，解得1k =±；（3）∵(1,2),(1,1),a b c a b λ===+ ，且b c ⊥ ，∴(1,2),120c b c λλλλ=++⋅=+++= ，解得32λ=-.21．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1,CD ＝3，cos B ＝33.(1)求△ACD 的面积；(2)若BC ＝23，求AB 的长．【答案】(1)2；（2）4.【详解】试题分析：（1）根据二倍角公式求cos D ，再根据平方关系求sin D ，最后根据三角形面积公式求求△ACD 的面积；（2）根据余弦定理求AC ，再根据余弦定理求AB试题解析：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos B ＝，所以cos D ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝－.因为D ∈(0，π)，所以sin D ＝＝.因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝AD ·CD ·sin D ＝×1×3×＝.(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ＝12，所以AC ＝2.因为BC ＝2，＝，所以＝＝＝＝，所以AB＝4.22．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM 上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，H在BD上.AP GH；(1)证明：//MN平面APD.(2)若AB的中点为N，求证：//【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.PA面MBD，再利用线面平行的性质定理即【分析】（1）连结AC交BD于O，连结OM.先证明出//可证明；MN平面APD.（2）连结MN.取PD的中点E，连结EM,AE.利用线面平行的判定定理即可证明//【详解】（1）连结AC交BD于O，连结OM.因为ABCD是平行四边形，所以O为AC中点.OM PA.因为M是PC的中点，所以//PA面MBD.因为OM⊂面MBD，PA⊄面MBD，所以//又过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，H 在BD 上，所以//AP GH .（2）连结MN.取PD 的中点E ，连结EM ,AE .因为M 是PC 的中点，所以//EM DC ，且12EM DC =.因为ABCD 是平行四边形，所以//AN DC ，且12AN DC =所以//EM AN ，且EM AN =，所以四边形ANME 为平行四边形，所以//MN AE .因为AE ⊂面APD ，MN ⊄面APD ，所以//MN 平面APD.。

2021学年安徽省阜阳市高一（下）第三次月考数学试卷（文科）学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 将−300∘化为弧度为( )A.−4π3B.−5π3C.−7π6D.−7π42. 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率是（）A.1 2B.13C.14D.不确定3. 已知α是第二象限的角，那么α2是第几象限的角() A.第一、二象限角 B.第二、三象限角C.第一、三象限角 D.第三、四象限角4. α是第四象限角，cosα=1213，则sinα=()A.5 13B.−513C.512D.−5125. 从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是()A.1 4B.12C.18D.无法确定6. 空间直角坐标系中，已知A(2, 3, 5)，B(3, 1, 4)，则A，B两点间的距离为（）A.6B.√6C.√30D.√427. 若过点M(−2, m)，N(m, 4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )A.1B.4C.1或3D.1或48. 如图是一个物体的三视图，则这个物体的形状是（）A.圆柱B.长方体C.立方体D.圆锥9. 直线l1与直线l2:3x+2y−12=0的交点在x轴上，并且l1⊥l2，则l1在y轴上的截距是（）A.−4B.4C.−83D.8310. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、C1D1的中点，则异面直线AB1与EF所成的角的大小为（）A.60∘B.90∘C.45∘D.30∘11. 直线(a+2)x+(1−a)y−3＝0与(a−1)x+(2a+3)y+2＝0互相垂直，则a的值为（）A.−1B.1C.±1D.−3212. 若圆C与圆(x+2)2+(y−1)2=1关于原点对称，则圆C的方程为（）A.(x−2)2+(y+1)2=1B.(x+1)2+(y−1)2=1C.(x−1)2+(y+2)2=1D.(x+1)2+(y−2)2=113. 圆x2+y2+2kx+k2−1=0与圆x2+y2+2(k+1)y+k2+2k=0的圆心之间的最短距离是（）A.√22B.2√2C.1D.√214. 已知直线x=2及x=4与函数y=log2x图象的交点分别为A，B，与函数y=lg x图象的交点分别为C，D，则直线AB与CD()A.平行B.垂直C.不确定D.相交15. 圆x2+2x+y2+4y−3=0上到直线x+y+1=0的距离为√2的点共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个16. 已知ABCD为平行四边形，且A(4, 1, 3)，B(2, −5, 1)，C(3, 7, −5)，则点D的坐标为________．17. 如图长方体中，AB=AD=2√3，CC1=√2，则二面角C1−BD−C的大小为________．18. 圆x2+y2−2x−2y+1=0上的点到直线x−y=2的距离的最大值是________．19. 如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是________．20. 直线y=2x+3被圆x2+y2−6x−8y=0所截得的弦长等于________．21. 求过两条直线x−2y+4=0和x+y−2=0的交点P，且满足下列条件的直线方程．（1）过点Q(2, −1)；（2）与直线3x−4y+5=0垂直．22. 已知圆C:x2+y2−8y+12＝0，直线l经过点D(−2, 0)，且斜率为k．（1）求以线段CD为直径的圆E的方程；（2）若直线l与圆C相离，求k的取值范围．23. 如图，是一个几何体的三视图，请认真读图．（1）画出几何体的直观图．（2）当AB的中点为M，PC的中点为N时，求证：MN // 平面PAD．．24. 直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1，∠CAB=π2（1）证明：CB1⊥BA1；（2）已知AB=2，BC=√5，求三棱锥C1−ABA1的体积．25. 已知圆M:x2+(y−2)2=1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A，B两点．（1）若点Q的坐标为(1, 0)，求切线QA、QB的方程；（2）求四边形QAMB的面积的最小值；，求直线MQ的方程．（3）若|AB|=4√2326. 过原点O作圆C:x2+y2+6x=0的弦OA．（1）求弦OA中点M的轨迹方程．（2）延长OA到N，使|OA|=|AN|，求N点的轨迹方程．参考答案与试题解析2021学年安徽省阜阳市高一（下）第三次月考数学试卷（文科）一、选择题（本题共计 15 小题，每题 3 分，共计45分）1.【答案】B【考点】弧度与角度的互化【解析】根据角度与弧度的互化公式：1∘=π180，代入计算即可．【解答】解：−300∘=−300×π180=−5π3.故选B．2.【答案】B【考点】任意角的三角函数几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值．【解答】记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，所以事件A发生的概率P(A)=13．3.【答案】C【考点】象限角、轴线角【解析】由α是第二象限的角，可得2kπ+π2<α<2kπ+π，故kπ+π4<α2<kπ+π2，k∈z，从而得到α2所在的象限．【解答】解：∵α是第二象限的角，∴2kπ+π2<α<2kπ+π，k∈Z，∴kπ+π4<α2<kπ+π2，k∈Z，故α2是第一、三象限角.故选C．4.【答案】B【考点】同角三角函数基本关系的运用象限角、轴线角【解析】根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1，得到余弦的值，又由角在第四象限，确定符号．【解答】解：∵α是第四象限角，cosα=1213∴sinα=−√1−cos2α=−513.故选B．5.【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从4件产品中取2件，共有C42种结果，满足条件的事件是取出的产品全是正品，共有C32种结果，根据概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是从4件产品中取2件，共有C42=6种结果，满足条件的事件是取出的产品全是正品，共有C32=3种结果，∴根据古典概型概率公式得到P=36=12，故选B．6.【答案】B【考点】空间两点间的距离公式【解析】根据所给的两个点的坐标，代入空间中两点之间的距离的公式，整理成最简结果，得到要求的A与B之间的距离，注意数字运算不要出错．【解答】解：∵A，B两点的坐标分别是A(2, 3, 5)，B(3, 1, 4)，∴ |AB|=√(3−2)2+(1−3)2+(4−5)2=√6， 故选：B ． 7.【答案】 A【考点】斜率的计算公式 【解析】 根据斜率k =y 2−y 1x 2−x 1，直接求出m 的值．【解答】解：过点M(−2, m)，N(m, 4)的直线的斜率等于1， 所以k =y 2−y 1x 2−x 1=4−m m+2=1，解得m =1. 故选A . 8.【答案】 A【考点】由三视图求体积 【解析】根据该几何体的正视图和侧视图可得该几何体为一柱体，进而根据俯视图可得柱体形状，得到结论． 【解答】解：根据该几何体的正视图和侧视图均为矩形， 可得该几何体为一柱体， 又∵ 俯视图为一个圆， 故该几何体为圆柱， 故选：A 9.【答案】 C【考点】直线的点斜式方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】用点斜式求得直线直线l 1的方程，再根据直线在y 轴上的截距的定义求得l 1在y 轴上的截距． 【解答】解：由于直线l 2:3x +2y −12=0与x 轴的交点为(4, 0)，斜率为−32， 故直线l 1的斜率为23，且经过(4, 0)，故l 1的方程为y −0=23(x −4)． 令x =0求得y =−83，即l 1在y 轴上的截距是−83．故选：C．10.【答案】A【考点】异面直线及其所成的角【解析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：如图，将EF平移到A1B1，再平移到AC，则∠B1AC为异面直线AB1与EF所成的角三角形B1AC为等边三角形，故异面直线AB1与EF所成的角60∘，故选A11.【答案】C【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】根据两条直线垂直的充要条件可得：(a+2)(a−1)+(1−a)(2a+3)＝0，从而可求a 的值【解答】由题意，∵直线(a+2)x+(1−a)y−3＝0与(a−1)x+(2a+3)y+2＝0互相垂直∴(a+2)(a−1)+(1−a)(2a+3)＝0∴(a−1)(a+2−2a−3)＝0∴(a−1)(a+1)＝0∴a＝1，或a＝−112.【答案】A【考点】关于点、直线对称的圆的方程【解析】圆C与圆(x+2)2+(y−1)2=1关于原点对称，先求圆C的圆心坐标，再求半径即可．【解答】解：由题意可知圆(x+2)2+(y−1)2=1的圆心(−2, 1)，半径为1，关于原点对称的圆心(2, −1)，半径也是1，所求对称圆的方程：(x−2)2+(y+1)2= 1故选A．13.【答案】A【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】求出两个圆的圆心距，利用二次函数的最值，即可得到结果．【解答】解：圆x2+y2+2kx+k2−1=0的圆心(−k, 0)，圆x2+y2+2(k+1)y+k2+2k= 0的圆心(0, −k−1)．圆心之间的距离为：√(−k)2+(k+1)2=√2k2+2k+1=√2(k+12)2+12，当k=−12时圆心距最小，最小值为：√22．故选：A．14.【答案】D【考点】对数函数的图象与性质指数函数的性质【解析】先求出四个交点的坐标，进而分别求出直线AB，CD的解析式得出答案．【解答】解：当x=2时，y=log22=1，x=4时，y=log24=2∴A坐标为(2, 1)，B坐标为(4, 2)设直线AB解析式为y=kx+b，则有{2k+b=1 4k+b=2，解得k=12，b=0，∴直线AB的解析式为y=12x，同理可求出直线CD的解析式为y=12x lg2，两条直线斜率不等，且乘积不为−1，故直线AB，CD不平行，不垂直，即直线AB，CD相交，故选：D15.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系直线与圆相交的性质【解析】先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和√2比较，可得结果．【解答】解：圆x2+2x+y2+4y−3=0的圆心(−1, −2)，半径是2√2，圆心到直线x+y+1=0的距离是√2=√2，故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为√2的共有3个．故选C.二、填空题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分）16.【答案】(5, 13, −3)【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】由ABCD为平行四边形，结合平行四边形的性质，两条对角线互相平分，我们易得平行四边形的中心（即两条对角线的交点），即是AC的中点，也是BD的中点，根据中点坐标公式，我们不难得到A，C两点的坐标和等于B、D两点的坐标和，构造方程，解方程即可求出答案．【解答】解：由平行四边形的两条对角线互相平分，得A，C两点的坐标和等于B、D两点的坐标和设D点坐标为(x, y, z)则{4+3=2+x1+7=−5+y3−5=1+z 解得：{x=5 y=13 z=−3故答案为：(5, 13, −3)17.【答案】30∘【考点】二面角的平面角及求法【解析】取BD的中点E，连接C1E，CE，根据三垂线定理可知C1E⊥BD，从而∠C1EC为二面角C1−BD−C的平面角，在三角形C1EC中求出此角即可．【解答】解：取BD的中点E，连接C1E，CE∵AB=AD=2√3，∴AC⊥BD，根据三垂线定理可知C1E⊥BD∴∠C1EC为二面角C1−BD−C的平面角∴CE=√6，而CC1=√2，∴tan∠C1EC=√2√6=√33∴二面角C1−BD−C的大小为30∘故答案为：30∘18.【答案】√2+1【考点】点到直线的距离公式【解析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，求出d+r即为所求的距离最大值．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：(x−1)2+(y−1)2=1，所以圆心坐标为(1, 1)，圆的半径r=1，所以圆心到直线x−y=2的距离d=√2=√2，则圆上的点到直线x−y=2的距离最大值为d+r=√2+1．故答案为：√2+119.【答案】13【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由题意图形折叠为三棱锥，直接求出三棱柱的体积即可．【解答】解：由题意图形折叠为三棱锥，则B,C,D三点重合为点M，则AM,EM,FM两两垂直,因为正方形边长为2，所以AM=2，EM=1，FM=1，所以三棱柱的体积：V=13×12×1×1×2=13.故答案为：13．20.4√5【考点】直线与圆的位置关系 【解析】求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可． 【解答】解：圆x 2+y 2−6x −8y =0的圆心坐标(3, 4)，半径为5， 圆心到直线的距离为：√22+1=√5，因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y =2x +3被圆x 2+y 2−6x −8y =0所截得的弦长为：2×√52−(√5)2=4√5．故答案为：4√5．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ） 21.【答案】解：（1）由{x −2y +4=0x +y −2=0，解得{x =0y =2，∴ P(0, 2)．∵ k PQ =2+10−2=−32，∴ 直线PQ:y −2=−32x ，即3x +2y −4=0． （2）∵ 直线3x −4y +5=0的斜率k =34， ∴ 所求直线的斜率k′=−43，∴ 所求直线为y −2=−43x ，即4x +3y −6=0．【考点】待定系数法求直线方程 【解析】（1）联立方程组求得两条直线的交点坐标，可得它的斜率，再用点斜式求得直线PQ 的方程．（2）利用两条直线垂直的性质求得所求直线的斜率，再用点斜式求得所求直线的方程． 【解答】解：（1）由{x −2y +4=0x +y −2=0，解得{x =0y =2，∴ P(0, 2)．∵ k PQ =2+10−2=−32，∴ 直线PQ:y −2=−32x ，即3x +2y −4=0． （2）∵ 直线3x −4y +5=0的斜率k =34， ∴ 所求直线的斜率k′=−43，∴ 所求直线为y −2=−43x ，即4x +3y −6=0． 22.将圆C的方程x2+y2−8y+12＝0配方得标准方程为x2+(y−4)2＝4，则此圆的圆心为C(0, 4)，半径为2．所以CD的中点E(−1, 2)，|CD|=√22+42=2√5，∴r=√5，故所求圆E的方程为(x+1)2+(y−2)2＝5．直线l的方程为y−0＝k(x+2)，即kx−y+2k＝0．若直线l与圆C相离，则有圆心C到直线l的距离√k2+1>2，解得k<34．【考点】圆的一般方程直线与圆的位置关系【解析】（1）求出圆的圆心，然后求以线段CD为直径的圆E的圆心与半径，即可求出方程；（2）通过直线l与圆C相离，得到圆心到直线的距离大于半径列出关系式，求k的取值范围．【解答】将圆C的方程x2+y2−8y+12＝0配方得标准方程为x2+(y−4)2＝4，则此圆的圆心为C(0, 4)，半径为2．所以CD的中点E(−1, 2)，|CD|=√22+42=2√5，∴r=√5，故所求圆E的方程为(x+1)2+(y−2)2＝5．直线l的方程为y−0＝k(x+2)，即kx−y+2k＝0．若直线l与圆C相离，则有圆心C到直线l的距离√k2+1>2，解得k<34．23.【答案】（1）解：由三视图知：该几何体为一条侧棱PA垂直于底面ABCD的四棱锥，底面ABCD为矩形，如右上图所示．（2）证明：如右下图，取PD的中点G，连接MN，NG，GA，则NG= // CD，又AB= // CD，AM=AB，∴NG= // AM，∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN // AG，又AG⊂平面PAD，MN⊈平面PAD．∴MN // 平面PAD．【考点】直线与平面平行的判定由三视图还原实物图【解析】（1）由三视图推出几何体为一条侧棱PA垂直于底面ABCD的四棱锥，底面ABCD为矩形．（2）取PD的中点G，连接MN，NG，GA，由已知条件推导出四边形AMNG为平行四边形，由此能证明MN // 平面PAD．【解答】（1）解：由三视图知：该几何体为一条侧棱PA垂直于底面ABCD的四棱锥，底面ABCD为矩形，如右上图所示．（2）证明：如右下图，取PD的中点G，连接MN，NG，GA，则NG= // CD，又AB= // CD，AM=AB，∴NG= // AM，∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN // AG，又AG⊂平面PAD，MN⊈平面PAD．∴MN // 平面PAD．24.【答案】解：（1）连接AB1，∵ABC−A1B1C1是直三棱柱，∴平面ABC⊥平面ABB1A1，又∵平面ABC∩平面ABB1A1=AB，AC⊥AB，∴AC⊥平面ABB1A1，∵BA1⊂平面ABB1A1，∴AC⊥BA1，∵矩形ABB1A1中，AB=AA1，∴四边形ABB1A1是正方形，∴AB1⊥BA1，又∵AB1、CA是平面ACB1内的相交直线，∴BA1⊥平面ACB1，∵CB1⊂平面ACB1，∴CB1⊥BA1；（2）∵AB=2，BC=√5，∴Rt△ABC中，AC=√BC2−AB2=1∴直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C1=AC=1又∵AC // A1C1，AC⊥平面ABB1A1，∴A1C1是三棱锥C1−ABA1的高．∵△ABA1的面积等于正方形ABB1A1面积的一半∴S△ABA1=12AB2=2三棱锥C1−ABA1的体积为V=13×S△ABA1×A1C1=23．【考点】直线与平面垂直的性质柱体、锥体、台体的体积计算【解析】（1）连接AB1，根据ABC−A1B1C1是直三棱柱，得到平面ABC⊥平面ABB1A1，结合AC⊥AB，可得AC⊥平面ABB1A1，从而有AC⊥BA1，再在正方形ABB1A1中得到AB1⊥BA1，最后根据线面垂直的判定定理，得到BA1⊥平面ACB1，所以CB1⊥BA1；（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理，得到AC=√BC2−AB2=1，又因为直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C1=AC=1且AC⊥平面ABB1A1，得到A1C1是三棱锥C1−ABA1的高，且它的长度为1．再根据正方形ABB1A1面积得到△ABA1的面积，最后根据锥体体积公式，得到三棱锥C1−ABA1的体积为23．【解答】解：（1）连接AB1，∵ABC−A1B1C1是直三棱柱，∴ 平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，又∵ 平面ABC ∩平面ABB 1A 1=AB ，AC ⊥AB ， ∴ AC ⊥平面ABB 1A 1，∵ BA 1⊂平面ABB 1A 1，∴ AC ⊥BA 1， ∵ 矩形ABB 1A 1中，AB =AA 1， ∴ 四边形ABB 1A 1是正方形， ∴ AB 1⊥BA 1，又∵ AB 1、CA 是平面ACB 1内的相交直线， ∴ BA 1⊥平面ACB 1，∵ CB 1⊂平面ACB 1，∴ CB 1⊥BA 1；（2）∵ AB =2，BC =√5，∴ Rt △ABC 中，AC =√BC 2−AB 2=1∴ 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1C 1=AC =1 又∵ AC // A 1C 1，AC ⊥平面ABB 1A 1， ∴ A 1C 1是三棱锥C 1−ABA 1的高．∵ △ABA 1的面积等于正方形ABB 1A 1面积的一半 ∴ S △ABA 1=12AB 2=2三棱锥C 1−ABA 1的体积为V =13×S △ABA 1×A 1C 1=23．25.【答案】 解：（1）设过点Q 的圆M 的切线方程为x =my +1，------ 则圆心M 到切线的距离为1，∴√m 2+1=1⇒m =−43或0，------∴ 切线QA 、QB 的方程分别为3x +4y −3=0和x =1−−−−−−（2）∵ MA ⊥AQ ，∴ S MAQB =|MA|⋅|QA|=√|MQ|2−|MA|2=√|MQ|2−1≥√|MO|2−1=√3−−−−−−（3）设AB 与MQ 交于点P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，|MP|=(2√23)=13，在Rt △MBQ 中，|MB|2=|MP|⋅|MQ|，解得|MQ|=3设Q(x, 0)，则x 2+22=9，x =±√5，∴ Q(±√5，0)∴ 直线MQ 的方程为2x +√5y −2√5=0或2x −√5y +2√5=0−−−−−− 【考点】 圆的切线方程 直线的一般式方程【解析】（1）设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求切线QA 、QB 的方程；（2）求出四边形QAMB 的面积的表达式，利用|MQ|>|MO|求出面积的最小值； （3）设AB 与MQ 交于点P ，通过MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，求出|MP|，求出|MQ|，即可求直线MQ 的方程．【解答】 解：（1）设过点Q 的圆M 的切线方程为x =my +1，------ 则圆心M 到切线的距离为1，∴√m 2+1=1⇒m =−43或0，------∴ 切线QA 、QB 的方程分别为3x +4y −3=0和x =1−−−−−−（2）∵ MA ⊥AQ ，∴ S MAQB =|MA|⋅|QA|=√|MQ|2−|MA|2=√|MQ|2−1≥√|MO|2−1=√3−−−−−−（3）设AB 与MQ 交于点P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，|MP|=√1−(2√23)2=13，在Rt △MBQ 中，|MB|2=|MP|⋅|MQ|，解得|MQ|=3设Q(x, 0)，则x 2+22=9，x =±√5，∴ Q(±√5，0)∴ 直线MQ 的方程为2x +√5y −2√5=0或2x −√5y +2√5=0−−−−−− 26.【答案】 解：（1）圆C:x 2+y 2+6x =0即(x +3)2+y 2=9，表示以点C(−3, 0)为圆心、半径等于3的圆．由题意可得CM ⊥OA ，可得点M 在以线段OC 为直径的圆上． 再根据|OC|=3，可得圆M 的方程为(x +32)2+y 2=94．（2）设圆和x 轴的负半轴交于点D(−6, 0)，由于A 为线段ON 的中点，C 为线段OD 的中点，∴ AC 是△OND 的中位线，AC // 12ND ，且AC =12ND ． ∴ |ND|=2|AC|=6，故点N 在以D 为圆心、半径等于6的圆上， 故点N 的轨迹方程为(x +6)2+y 2=36． 【考点】直线与圆的位置关系 【解析】（1）圆C:x2+y2+6x=0即(x+3)2+y2=9，由题意可得CM⊥OA，可得点M在以线段OC为直径的圆上．再根据|OC|=3，求得圆M的方程．（2）设圆和x轴的负半轴交于点D(−6, 0)，由题意可得AC是△OND的中位线，AC=12ND、|ND|=2|AC|=6，可得点N在以D为圆心、半径等于6的圆上，由此求得点N的轨迹方程．【解答】解：（1）圆C:x2+y2+6x=0即(x+3)2+y2=9，表示以点C(−3, 0)为圆心、半径等于3的圆．由题意可得CM⊥OA，可得点M在以线段OC为直径的圆上．再根据|OC|=3，可得圆M的方程为(x+32)2+y2=94．（2）设圆和x轴的负半轴交于点D(−6, 0)，由于A为线段ON的中点，C为线段OD的中点，∴AC是△OND的中位线，AC // 12ND，且AC=12ND．∴|ND|=2|AC|=6，故点N在以D为圆心、半径等于6的圆上，故点N的轨迹方程为(x+6)2+y2=36．。

卜人入州八九几市潮王学校元氏一中二零二零—二零二壹高一数学下学期第三次月考试题时间是：120分钟总分值是：150分一、选择题〔一共24小题，每一小题5分，一共120分〕()1,0且与直线220x y --=平行的直线方程是() A.210x y --= B.210x y -+= C.220x y +-= D.210x y +-=2.0,0ab bc <<,那么直线ax by c +=通过( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限()2,M m -,(),4N m 的直线的斜率等于1,那么m 的值是( )4.()(),20a a >到直线:30l x y -+=的间隔为1,那么a 的值是( )B.2- 1- 1+ 27x y -=与直线3270x y +-=的交点坐标为( )A.(3,1)-B.(1,3)-C.(3,1)--D.(3,1),)①坐标平面内的任何条直线均有倾斜角与斜率;②直线的倾斜角α的取值范围为001800≤≤α;③假设一直线的斜率为tan α,那么此直线的倾斜角为α;④假设一直线的倾斜角为α,那么此直线的斜率为tan α.1l ,过点()1,1A --和()1,1B ,直线2l 的倾斜角是直线1l 的倾斜角的2倍,那么直线2l 的斜率是( ) 12,l l 的斜率是方程2310x x --=的两根,那么1l 与2l 的位置关系是( )A.平行52100x y --=在x 轴上的截距为a ,在y 轴上的截距为b ,那么有( )A.2,5a b ==B.2,5a b ==-C.2,5a b =-=D.2,5a b =-=-()00 y y k x x -=-( )x 轴垂直的直线y 轴垂直的直线(,5)A x 关于点）（y ,1的对称点为()2,3--,那么点(,)P x y 到原点的间隔是( )A.40135,在y 轴上的截距为1-的直线方程是( )A.10x y -+=B.10x y --=C.10x y +-=D.10x y ++=l 过点()3,4A ,且与点(3,2)B -的间隔最远,那么直线l 的方程为( )A.350x y --=B.350x y -+=C.3130x y ++=D.3130x y +-=14.0a >,假设平面内),3(),,2(),,1(A 32a C a B a -三点一共线,那么实数a 的值是( )A.1B.11D.11ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边为,,,60,4a b c B a =︒=,其面积S =,那么c =()A.15B.16C.20D.042)y (a 5)x 2a =+++—（与直线(2)(3)10a x a y -++-=互相垂直,那么a =( )()()2,3,3,2A B ---,直线过点()1,1P 且与线段AB 相交,那么l 的斜率k 的取值范围是( ) A.34k ≥或者4-≤k B.344k -≤≤ C.344k ≤≤(2)3x x ->的解集是( )A.{|13}x x -<<B.{|11}x x -<<C.{|3x x <-或者1}x >D.∅{}n a 的前5项和255=S ,且32=a ,那么7a =( ))4,3(P 且与点），22(-A ,)2,4(-B 等间隔,那么直线的方程为( )A.01832=-+y xB.022=--y xC.01823=+-y x 或者022=++y xD.01832=-+y x 或者022=--y xm 为何值,直线012y x )1(=++m m ——恒过定点( ) A.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B.()2,0- C.()2,3 D.()2,3-()3,5A -射到x 轴上,经反射后经过点()2,10B ,那么光线从A 到B 的间隔是( )A.23、经过直线0623=++y x 和0752=-+y x 的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为()A.01=++y xB.01=+-y xC.01=++y x 或者043=+y xD.01=+-y x 或者01=++y x 2360x y +-=关于点()1,1-对称的直线方程是( )A.3220x y -+=B.2370x y ++=C.32120x y --=D.2380x y ++=二、解答题〔一共3小题，每一小题10分，一共30分〕25.设△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且sin cos b A B =.〔1〕求角B 的大小;〔2〕假设3,sin 2sin b C A ==,求,a c 的值.{}n a 中,24a =,4715a a +=.〔1〕求数列{}n a 的通项公式;〔2〕设22n a n b n -=+,求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值.()()8,6,2,2A B -.(1)求线段AB 的中垂线方程;(2)求过点()2,3P -且与直线AB 平行的直线l 的方程;(3)一束光线从B 点射向(2)中的直线l ,假设反射光线过点A ,求反射光线所在的直线方程.高一年级下学期第三次月考数学试题答案时间是：120分钟总分值是：150分一、选择题〔一共24小题，每一小题5分，一共120分〕()1,0且与直线220x y --=平行的直线方程是( )A.210x y --=B.210x y -+=C.220x y +-=D.210x y +-=答案：A解析：略2.0,0ab bc <<,那么直线ax by c +=通过( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限答案：C 解析：0,0,<>-=+-=bc b a k b c x b a y ,∴该直线过第一、三、四象限. ()2,M m -,(),4N m 的直线的斜率等于1,那么m 的值是( )答案：A解析：由题意得2m ≠-,且412m m -=+,解得1m =. 4.()(),20a a >到直线:30l x y -+=的间隔为1,那么a 的值是( )B.2- 1- 1+答案：C解析：略27x y -=与直线3270x y +-=的交点坐标为( )A.(3,1)-B.(1,3)-C.(3,1)--D.(3,1)答案：A解析：略,)①坐标平面内的任何条直线均有倾斜角与斜率;②直线的倾斜角α的取值范围为001800≤≤α;③假设一直线的斜率为tan α,那么此直线的倾斜角为α;④假设一直线的倾斜角为α,那么此直线的斜率为tan α.答案：A①④不正确;由直线倾斜角的定义知倾斜角a 的取值范围为001800<≤α,而不是001800≤≤α②不正确;直线的斜率可以是tan 210,但其倾斜角是30°,而不是③也不正确。

数学试卷一、选择题1．已知集合A=｛x∈Z｜x（x﹣3)≤0｝，B=｛x｜lnx＜1｝，则A∩B=(）A．｛0，1，2} B．｛1，2,3} C．｛1,2} D．｛2，3｝2．已知函数f（x）=,则f（f（)）的值是( ）A．﹣ B．﹣9 C． D．93．下列函数中,既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y= B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg｜x｜4．幂函数y=f（x）的图象经过点（4，)，则f（)的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．下列各个对应中,构成映射的是（）A．B．C．D．6．函数f（x）=log2（3x+1)的值域为（)A．（0,+∞） B．［0，+∞) C．(1，+∞）D．［1，+∞）7．若100a=5，10b=2，则2a+b=（）A．0 B．1 C．2 D．38．函数f(x）=的图象大致是（)A．B．C．D．9．函数f(x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y轴对称，则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1 C．e﹣x+1D．e﹣x﹣110．函数y=f(x）在［0,2]上单调递增，且函数f(x+2)是偶函数，则下列结论成立的是（）A．f（1）＜f（）＜f（) B．f（）＜f（1）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（1）D．f（）＜f（1）＜f(）11．设方程10x=|lg（﹣x)｜的两个根分别为x1，x2，则（）A．x1 x2＜0 B．x1 x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1 x2＜112．若不等式lg≥（x﹣1）lg3对任意x∈(﹣∞，1]恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．［1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，1］二、填空题13．函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是．14．已知函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1)的反函数，其图象过点（a2，a)，则f（x）= ．15．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是．16．已知2a=3b=6c，若∈（k，k+1）,则整数k的值是．三、解答题17．已知集合A={x｜2a﹣1＜x＜3a+1｝，集合B={x｜﹣1＜x＜4｝．（1)若A⊆B，求实数a的取值范围；(2）是否存在实数a，使得A=B?若存在,求出a的值；若不存在，请说明理由．18．不用计算器计算：（1)log3+lg25+lg4+7+(﹣9。