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二项分布与超几何分布辨析二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中,理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．例 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求: （1)有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解：（1)有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1,2,3．又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，．3031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3033141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因此,X 的分布列为2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C P Y C ===．因此，Y 的分布列为辨析:通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变,因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样． 超几何分布和二项分布都是离散型分布，超几何分布和二项分布的区别： 超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要;超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.。
2023年高考数学复习---排列组合构造法模型和递推模型、环排问题典型例题讲解构造法模型和递推模型【典型例题】例1、贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球，每次传球，传球者将球随机将传给另外两位同学之一，足球最开始在文同学脚下，则：①n 次传球之后，共有___________种可能的传球方法；②n 次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法有___________种．【答案】2n 122(1)33n n ⨯+⨯− 【解析】每次传球有两种方法，所以n 次传球之后，共有2n 种可能的传球方法； 设n 次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法为n a 种．则2122(2)n n n a a n −+=≥，即 1111111111()(2)()()(2)2322323232n n n n n n n a a a a n n −−−−=−−≥∴−=−−≥ 因为1220(1).33n n n a a =∴=+− 例2、一只蚂蚁从一个正四面体ABCD 的顶点A 出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点A 的爬行方法种数是__________．【答案】60【解析】解法一：第一次爬行可以到B C D 、、的任何一点，第二次爬行分到A 与不到A ，对于第二次不到A 的第三次爬行再分到A 与不到A ．爬行方法总数为313[22⨯⨯⨯+⨯1326]20⨯+⨯=（）（种）．解法二：设从点A 出发爬行n 次仍在点A 的爬行方法种数为(2)n a n ≥，则23a =，113(3)n n n a a n −−−=≥，11113(3)(1)(1)(1)n n n n n n n a a −−−−−==−−−−−，11[](1)(1)(1)n n n n n n a a a −−=−−−−1212[](1)(1)n n n n a a −−−−+−+−−322322[](1)(1)(1)a a a +−+−−−12(3)(3)n n −−=−−−−−−123[(3)1](3)331n −−−−−+=−−−13[(3)1]4n −=−−−， 553(1)4a ∴=−−4[(3)1]60−−=−，560a =．（亦可由递推式从第二项递推出第五项的值） 故答案为：60．环排问题【典型例题】例1、21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为A ．19B ．38C ．51D ．57【答案】D 【解析】根据题意 21人报数21人次，其中有7人次报数为3，则此7人出列，剩下13人；13人报数15人次，其中有5人报数为3，则此5人出列，剩下8人；8人报数9人次，其中有3人报数为3，则此3人出列，剩下5人；5人报数6人次，其中有2人报数为3，则此2人出列，剩下3人；3人报数3人次，其中有1人次报数为3，则此1人出列，剩下2人；2人报数3人次，其中1人次报数为3，则此人出列，剩下1人．在这个过程中一共报数： 21+15+9+6+3+3=57人次．应选答案D ．例2、现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（ ）．A ．6种B ．8种C ．12种D ．16种【答案】B 【解析】先安排甲，其选座方法有14C 种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有22A 种，所以共有坐法种数为1242C A 428⋅=⨯=种．。
概率问题中的数列递推方法《数理化解题研究》2伽年第7期数学篇23(n—1)种丢法,第三次也有(rt一1)种丢法,…,第(m一1)次也有(n一1)种丢法.第m次因要传回小雪手中共有1种传法,故共(n一1)一种丢法.但若第(m一1)次手绢已在小雪手中,则相当于(m一1)次丢手绢,手绢在小雪手中,共0一.种.故得递推式0=(rt一1)一一0…同问题一可得通项公式一f二2[f二2:±二2二:rt注:不难看出以上两个问题的渊源——递推数列.问题三的解设走完rt阶的楼梯共有"种走法,走法可分两类:(1)由第(rt一1)级再迈一级台阶到达第rt级台阶,共"种走法;(2)由第(rt一2)级再迈两步到达第rt级台阶,共ua_2种走法.故得递推式Ⅱ=Ⅱ一+Ⅱ一2(,z≥3),且Ⅱ1=1,Ⅱ2=2.这相当于从第二项开始的菲波那契数列.下面由特征方程:+l,得特征根L设()n+()卢,『-=学+,由i2=(州,解之得1一一'卢=.故得通丢[()Jl+一(1].通过以上三例我们看到:数学存在于我们生活实际当中,就在我们身边.我们要处处留心,发现生活的数学,生动的数学,美丽的数学.河北省蠡县中学(071400)禄敏娟.数列是高中数学的重点内容,数列易与其它内容交汇融合.由于高考注重在知识的交汇点处设计试题,在近几年的高考和模拟试题中,出现了递推数列和概率融合的试题.下面就相关试题进行解析,旨在探索解题的规律和方法.例1某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球,已知按钮第一次按下后,出现红球与绿球的概1率都是÷,从按钮第二次按下起,若前次出现红球,则'一'下一次出现红球,绿球的概率分别为÷,-二E-;若前次出JJ ,'现绿球,受lj下一次出现红球,绿球的概率分别为÷,J一,詈,记第n次按下按钮后出现红球的概率为P.(I)求P的值;(Ⅱ)当rt≥2时,求用P表示P的表达式;(Ⅲ)求P关于n的表达式.解析(I)若按钮第一次,第二次按下后均出现红球,则其概率为丢×了1=吉;若按钮第一次,第二次按下后依次出现绿球,红球,则其概率为÷×导:3l0.故所求概率为P=1+而3=7.(1I)第n一1次按下按钮后出现红球的概率为P(n≥2),则出现绿球的概率为1一P.若第n一1次,第n次按下按钮后均出现红球,则其概率为P×÷;,●.●-,一一～一一法～～方～一推一～递一.◆一列一～数～～的～～一一中～..～题～一问～一率一一概～.◆一一I,;;24数学篇《数理化解题研究~2008年第7期着弟r/,一1次,,弟r/,次授卜按钮后依次出现绿球, 红球,则其概率为(1一Pn-1)×3;故得递推关系:P,=吉,P=一1P一+3(1一Pn-|)=一().(Ⅲ)由(Ⅱ)得P=3+(一P一,=3+(一)(3+(一)一】=3+了3×(一)+(一)P=}+了3×(一)+(一西4)【3+(一)一,】:了3+了3【(一)+(一)】+(一)一=…:+3【(一)+(一去)+…+(一)J卜】+(一)J卜所以=(一)1+.例2有人玩掷骰子移动棋子的游戏,棋盘分为A.B两方,开始时棋子放在A方,根据①②③的规定移动棋子:①骰子现出1点时不能移动棋子;②出现2,3,4,5点时把棋子移向对方;③出现6点时如果棋子在A方就不动,如果棋子在B方就移至4方.将骰子掷了n次后,棋子仍在A方的概率为P.(1)证明点(,.)总在过定点(.5,手J斜率为一的直线上;(2)求P.解析(1)设把骰子掷了(,+1)次后,棋子仍在A方的概率为P+,有两种情况:①第次棋子在A方概率为P.且第(+1)次骰子出现1点或6点,棋子不动,其概率为吾了1;,,'②第n次棋子在B方,概率为1一P,且第(n+1)次骰子出现2,3,4,5点或6点,棋子移至A方,其概率为?5.故得递推关系:P+.:喜一+5(1一P),即+一手=一1(一5)...点(P,P+)总在过定点(5,吾)斜率为一1的直线上.(2)'.'P0='.P,=P0+詈(1一P0)=÷.D三.,,91由(1)知——=一,Pn一..{一吾)是首项为P一吾=～29,公比为一一的等比数列...一吾=一吾c一号1,lJ]P:5+?.例3设正四面体的四个顶点是A,B,C,D,各棱长度均为1米.有一个小虫从点A开始按以下规则前进:在每一顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一,并一直爬到这条棱的尽头.求它爬了7 米之后恰好首次位于顶点A的概率.解析考虑一般情况,若小虫爬过米之后又回到起点,则它爬过一1米就在B,C,D三点中的一点.小虫爬过一1米到达点与不到达点是对立事件.设P表示小虫爬过,}米后又回到点的概率,贝尸一表示小虫爬过一1米后回到点的概率,1一P一表示小虫爬过一1米后不在点A的概率.因从,c,D三点到点是等可能的,概率都为÷,于是有P=÷(1一P一,).因起始时小虫在点A,所以PorP0l,'故得递推关系:i=÷(1..P)(≥1).由P0:l逐步推得P=182.所以小虫爬过7米后首次回到点的概率是.点评以上三个例题都是形如a+.=pa+q(P,I7为常数,P≠1)的一阶递推关系,例1,例2分别给出解决此类问题的两种常用方法——迭代法和构造等比数列法.《数理化解题研究>>2oo8年第7期数学篇25 例4从原点出发的栗质点M,援同量a=(0,1)移动的概率为,按向量=(0,2)移动的概率为了1,设质点可到达点(0,n)的概率为P.(1)求P,P的值;(2)求证P+2=了lP+了2P+.;(3)求P的表达式.解析(1)P.=了2,P:=()+号=吾.(2)质点M到达点(0,n+2)有两种情况:从点(0,n)按向量b=(0.2)移动,从点(0,n+1)按向量a(0,1)移动,概率分别为寺Pn与亍P,故得递推关系P+:了1P+了2P+.(3)由P=了1P+了2P+.得P+一P+.=一-(p川一),故数列{P+.一P}是以P一P.=寺为首项,一1为公比的等比数列.所以+一P=×(一÷)1=(一)".又P一Pl=(P一P一1)+(P一l—P一2)+…+(P一P1)=l一(一÷],..=3+1×(一÷).点评此例用向量给出概率题,又以数列收场,注意知识的交叉和渗透.本题得到二阶递推关系a =寺口一.+寺an-2(n≥3)后,通过构造等比数列求出通项.一般地,解决概率问题中的递推数列问题,首先利用所学知识分析问题,克服难点,建立与之对应的递推数列模型,然后对递推数列灵活变换,运用累加, 累乘,迭代,构造新数列等方法化归为等差,等比数列问题,求出数列的通项公式.说换底法索暑棱锥韵体积四川省苍溪中学(628400)林明成●求j棱锥的体积时,若底面积或高不易求出,则往往转换顶点和底面,然后进行计算求解,这种方法叫换底法.换底法是求三棱锥体积的一种常用方法.有意识地换底,进行合理的体积转换,往往有助于化难为易,化繁为简,使问题顺利得到解决.例l如图,在边长为a的正方体ABCD—AlBlClDl中,,N,P分别是棱I.,A.D.,AIA上的点,1且满足AI=÷AlBl,AlN=2ND,A.P=IA,试求j棱锥AI—MNP的体积.AlMBCC分析若用公式=s直接计算三棱锥A.一MNP的体积,则需要求出AMNP的面积和该三棱锥的高,这两者显然都不易求出.但若将三棱锥A.一MNP的顶点和底面转换一下,变为求三棱锥P—A.MN的体积,便能很容易的求出其高和底面△A,MN 的面积,从而代人公式求解.解l—MNP=-A1=}s.h=i.1AlMAlN)A,P=了1'1×吉.?了2.3.=1.3.例2在如图的四面体中,PA=1,AB=AC=2.=/PAC=/BAC=60.,求四面体的体积.解在△PAB中,由AB=2PA,PAB=60~.知PALPB.同理上PC,故上平面PBC.选平面PBC为底面,为三棱锥的高.。
概率图模型基础知识解析概率图模型（Probabilistic Graphical Models）是一种用于建模复杂系统的工具，它将概率论和图论相结合，能够有效地描述变量之间的依赖关系和不确定性。
概率图模型广泛应用于机器学习、人工智能、统计学、计算机视觉等领域，是当今研究的热门话题之一。
本文将对概率图模型的基础知识进行解析，包括概率论、图论、概率图模型的基本概念和常见类型等内容。
概率论基础概率图模型的基础是概率论，因此了解概率论的基本概念对于理解概率图模型至关重要。
概率论是研究随机现象的数学理论，它包括概率空间、随机变量、概率分布、随机过程等内容。
在概率图模型中，我们通常使用贝叶斯概率来描述不确定性，贝叶斯概率是一种主观概率，它表示对未知事件的信念程度。
图论基础另一个概率图模型的基础是图论，图论是研究图的数学理论，它包括图的基本概念、图的表示方法、图的遍历算法等内容。
在概率图模型中，我们通常使用有向图或无向图来表示变量之间的依赖关系。
有向图中的节点表示随机变量，有向边表示变量之间的因果关系；无向图中的节点表示随机变量，无向边表示变量之间的相关关系。
概率图模型基本概念概率图模型是一种用图表示概率分布的模型，它包括两个基本要素：图结构和概率分布。
图结构表示变量之间的依赖关系，概率分布表示变量之间的联合概率分布。
常见的概率图模型包括贝叶斯网络（Bayesian Network）和马尔科夫网络（Markov Network）。
贝叶斯网络是一种有向图模型，它使用条件概率分布来表示变量之间的依赖关系；马尔科夫网络是一种无向图模型，它使用势函数来表示变量之间的相关关系。
贝叶斯网络贝叶斯网络是一种有向图模型，它由有向无环图（DAG）表示变量之间的依赖关系，每个节点表示一个随机变量，每条有向边表示一个变量之间的因果关系。
贝叶斯网络使用条件概率分布来表示变量之间的依赖关系，每个节点的条件概率分布表示了该节点在给定其父节点的取值情况下的条件概率分布。
概率递推解析一、多选题1．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复()*N n n ∈次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为n X ，恰有1个黑球的概率为n p ，恰有2个黑球的概率为n q ，则下列结论正确的是（）A ．21627p =，2727q =B ．数列{}21n n p q +-是等比数列C ．数列{}21n n p q +-是等比数列D ．n X 的数学期望()()*11N 3nn E X n ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭二、填空题2．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一人的口袋，重复n ()n N +∈次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为n X ，恰有2个黑球的概率为n p ，则n X 的数学期望为；数列{}n p 的通项公式为.3．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为n X，恰有2个E X=.（用n表黑球的概率为n p，恰有1个黑球的概率为n q，则n X的数学期望()n示）三、解答题4．甲、乙两个口袋都装有3个小球（1个黑球和2个白球）.现从甲、乙口袋中各取1个小球交换放入另外一个口袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋），交换小球n次后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为n p，恰有1个黑球的概率为n q.(1)求1p，1q；(2)求2p，2q；5．甲、乙、丙参加某竞技比赛，甲轮流与乙和丙共竞技n 场，每场比赛均能分出胜负，各场比赛互不影响.(1)假设乙的技术比丙高，如果甲轮流与乙和丙竞技3场，甲只要连胜两局即可获胜，甲认为：先选择与实力弱的丙比赛有优势，判断甲猜测的正确性；(2)假设乙与丙的技术相当，且甲与乙，甲与丙竞技甲获胜的概率都是12，设()*3,n P n n ≥∈N 为甲未获得连续3次胜利的概率.①求3P ，4P ；②证明：1n n P P +≤.【答案】(1)甲猜测错误.。
马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）如果要评选出 2023 年各地模拟题中最“成功”的题目，我想非“马尔科夫链”莫属了，尽管2023 年新高考I 卷出乎了很多“命题专家”的意料，但第 21 题考察了马尔科夫链，可谓为广大“专家”“名卷”“押题卷”挽回了一些颜面。
2023年新高考I 卷第21题的投篮问题是马尔可夫链；再往前的热点模考卷中，2023年杭州二模第21题的赌徒输光问题是马尔可夫链，2023年茂名二模的摸球问题是马尔可夫链；再往更前的2019年全国I 卷药物试验也是马尔可夫链，在新人教A 版选择性必修三 P91 页 拓展探索中的第10题是传球问题，是马尔科夫链的典型模型，可以看出自从新教材引入全概率公式（新人教A 版选择性必修三 P49 页），可想而知，未来会有越来越多的递推型概率难题出现模考试题中！因此，在复习备考中全概率等系列内容需要格外关注马尔科夫链作为一种命题模型出现了，马尔科夫链在题中的体现可以简单的概括为全概率公式+数列递推，对于高中生而言，马尔科夫链其实也不难理解。
本文主要介绍了马尔科夫链和一维随机游走模型在高考中的几种具体的应用情形，希望对各位接下来的复习和备考有一些帮助。
基本原理虽然贝叶斯公式不做要求，但是全概率公式已经是新高考考查内容了，利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻0=t 时，位于点)(+∈=N i i x ，下一个时刻，它将以概率α或者β（1),1,0(=+∈βαα）向左或者向右平移一个单位. 若记状态i t X =表示：在时刻t 该点位于位置)(+∈=N i i x ，那么由全概率公式可得：)|()()|()()(1111111+==++=−==+−==+⋅+⋅=i t i t i t i t i t i t i t X X P X P X X P X P X P另一方面，由于αβ==+==+−==+)|(,)|(1111i t i t i t i t X X P X X P ，代入上式可得：11−+⋅+⋅=i i i P P P βα.进一步，我们假设在0=x 与),0(+∈>=N m m m x 处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，1,00==m P P .随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a ，原地不动，其概率为b ，向右平移一个单位，其概率为c ，那么根据全概率公式可得：2024年高考数学专项复习马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）（解析版）11+−++=i i i i cP bP aP P2023·新高考Ⅰ卷T211．乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==−===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q == = ∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．2019·全国Ⅰ卷2．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1−分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1−分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X .（1）求X 的分布列.（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，)0,1,2,,8(i p i =⋅⋅⋅表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11()127i i i i p ap bp cp i ==++…－＋，，，，其中)1(a P X ==－，(0)b P X == (1)c PX ==. 假设0.5α=，0.8β=. ①证明：1)0{,1,2,,}7(i i p p i−=⋅⋅⋅＋为等比数列； ②求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性.课本原题：人教A版数学《选择性必修三》P913．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第１次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．求n次传球后球在甲手中的概率．重点题型·归类精讲3．从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，2023届惠州一模4．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐. 已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为23，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为14，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为12，如此往复.（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为n P（Ⅰ）证明：25nP−为等比数列；（Ⅱ）证明：当2n≥时，512nP≤.2023届佛山二模·165．有n 个编号分别为1,2,3,,n ⋅⋅⋅的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子均为1个白球1个黑球，现从第1个盒中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第n 个盒子中取到白球的概率是 .2023·唐山调研6．甲、乙、丙三人玩传球游戏，第1次由甲传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第k 次传球后球在甲手中的概率为*N k p k ∈，，则下列结论正确的有（ ）A. 10p =B. 213p = C. 121k k p p ++= D. 202313p >2024届武汉高三九月调研T167．甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷n 次骰子后（），记球在甲手中的概率为，则 ； ．2024届·湖北荆荆恩高三9月起点联考·218．甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为，甲盒中恰有2个黑球的概率为，恰有3个黑球的概率为.(1)求；(2)设，证明：；(3)求的数学期望的值. *n ∈N n p 3p =n p =()*n n ∈N n X n p n q 11,p q 2n n n c p q =+11233n n c c +=+n X ()n E X2023·济南开学考10．甲、乙两人进行抛掷骰子游戏，两人轮流地掷一枚质均匀的骰子.规定：先掷出点数6的获胜，游戏结束.（1）记两人抛掷骰子的总次数为X，若每人最多抛掷两次骰子，求比赛结束时，X的分布列和期望；（2）已知甲先掷，求甲恰好抛掷n 次骰子并获得胜利的概率.2023届·杭州二模11．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，2t X −，1t X −，t X ，1t X +，…，那么1t X +时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态t X ，即()()t 1t 2t 1t t 1t ,,,X X X X X X P P +−−+= ∣∣. 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为*(,)A A N A B ∈<元，赌博过程为如图所示的数轴．当赌徒手中有n 元()0,n B n N ≤≤∈时，最终输光的概率为()P n ，请回答下列问题：（1）请直接写出()0P 与()P B 的数值；（2）证明(){}P n 是一个等差数列，并写出公差d ；（3）当100A =时，分别计算200B =，1000B =时，()P A 的数值，并结合实际，解释当B →+∞时，()P A 的统计含义.12．校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到。
一种求解黑白球均匀排列问题的算法
潘凤;乔超
【期刊名称】《电脑开发与应用》
【年(卷),期】2008(021)002
【摘要】主要研究黑白球的均匀排列问题,在简要分析了不同情况下如何做到"尽量均匀"后,给出一个基于累加的算法,并对该算法进行了简单的分析.最后,通过实验验证该算法的有效性.从实验结果来看,算法排出的白球和黑球相当规整,而且也最大限度地满足了"尽量均匀"的要求.此问题是一个很具有实用价值的模型,经过扩展后的算法可用于多维协调控制问题的求解.
【总页数】3页(P13-14,17)
【作者】潘凤;乔超
【作者单位】成都理工大学,成都,610059;成都理工大学,成都,610059
【正文语种】中文
【中图分类】TP31
【相关文献】
1.一种求解TSP问题的均匀设计抽样混合遗传算法 [J], 赵义超;周本达
2.基于递归算法的排列和组合问题的求解研究 [J], 王济生
3.利用粒子群优化算法求解圆排列问题 [J], 徐小平;朱秋秋;邰会强
4.利用遗传算法求解圆排列问题 [J], 徐小平;朱秋秋;邰会强
5.一种基于Stirling图枚举算法的分球入盒问题求解 [J], 彭哲也;谢民主
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由一道概率题所引发的对递推数列的思考
如果你有一道概率题，可以引发对递推数列的思考，那么很可能这道题目要求你利用递推的方法来解决。
递推数列是一种数学工具，可以用来描述一个数列的形式。
它通常由一个初始值和一个递推公式组成，用于计算数列中后续项的值。
例如，你可能有一道概率题，要求你求出掷n次骰子后，每种点数出现的概率。
这道题目可以用递推数列来解决，具体方法如下:
•首先，你需要确定初始值。
在这道题目中，初始值为掷一次骰子后每种点数出现的概率，即1/6。
•然后，你需要确定递推公式。
在这道题目中，掷n次骰子后每种点数出现的概率等于掷n-1次骰子后每种点数出现的概率乘以1/6。
根据初始值和递推公式，你就可以求出掷n次骰子后每种点数出现的概率了。
总之，递推数列是一种非常有用的数学工具，可以帮助你快速解决一些求解数列的问题。
25个黑球和白球的图推题
数黑球和白球的个数是拿到这种类型的图形推理题目最简单的一个思路，也是最容易想到的思路之一，因此将它放在了第一个。
只需要我们将黑球或者白球的个数数一下，分别分析是否存在数字规律即可，因此也是最简单粗暴的思路之一，建议大家优先考虑。
比如下面这个例题：
【例1】从所给四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之符合已呈现的规律性：
【答案】C
解析：题干图形出现较多黑白球，其中黑白球个数发生明显变化，所以优先考虑黑白球的个数是否存在规律。
观察题干可发现，白球的个数变化相对更加明显，所以优先考虑白球的个数，分析可知白球数量依次为：9、3、3、1。
9÷3=3、3÷3=1构成除法的规律，所以接下来应该符合3÷1=3的规律，因此在？处应选择一个有3个白球的选项。
因此，选择C选项。
黑色区域和白色区域的部分数是在这种类型的图形推理题目中相对比较直观的特征，所以这种思路相对简单且直接，因此将它放到第二个思考的方向，当大家数完黑白球的个数发现不存在明显的规律时就可以直接往部分数上来思考，比如下面这个例题：【例2】从所给四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，之符合已呈现的规律性：
【答案】A
解析：题干均由黑白球组成，但是黑白球的个数无明显的规律，所以优先考虑黑球或白球的部分数。
观察题干可明确发现，第一段中，黑球的部分数依次为1、2、3；第二段应用此规律，前两个图形中黑球的部分数分别为1、2，所以？处黑球的部分数应为3。
因此，选择A选项。
九宫格黑白球行测例题九个球以下是九宫格黑白球的行测例题：题目：九宫格中放置了9个球，其中黑球和白球各5个，黑球和白球之间相互隔开。
现从任意一个黑球开始，每次只能向右移动到相邻的球，移动时不能越过其他球。
求有多少种不同的路径？答案：首先，我们需要理解这个问题的基本规则和限制。
在这个九宫格中，黑球和白球各有5个，且它们是相互隔开的。
这意味着我们不能从一个黑球直接跳到另一个黑球，或者从一个白球直接跳到另一个白球。
现在，让我们从一个黑球开始考虑。
由于每次只能向右移动到相邻的球，且不能越过其他球，因此我们可以将问题简化为一个简单的数学模型。
假设我们有一个黑球和一个白球相邻，那么我们可以选择向左移动到黑球，或者向右移动到白球。
这是一个二选一的问题，因此有2种可能。
如果我们有3个连续的黑球或3个连续的白球，那么我们可以选择向左或向右移动到中间的球。
这是一个三选一的问题，因此有3种可能。
根据这个逻辑，我们可以得出以下结论：- 如果有n个连续的黑球或白球，那么有n种可能的路径。
- 如果有m个黑球和n个白球相邻，那么有m+n种可能的路径。
- 如果有p个黑球和q个白球不相邻，那么有p+q种可能的路径。
对于这个问题，我们可以看到黑球和白球的排列方式是交替的。
因此，我们可以将问题转化为求解这个交替序列的长度。
由于总共有9个球，且黑球和白球的个数相等，因此交替序列的长度为9/2=。
这意味着我们可以通过4步从任意一个黑球移动到任意一个白球。
根据上述逻辑，我们可以得出结论：从任意一个黑球开始，总共有2^4=16种不同的路径可以到达任意一个白球。
概率计算中的两类递推关系在概率计算中，递推关系是指在计算概率时，概率值之间存在的关联关系。
常见的递推关系有两类：•第一类递推关系：在第一类递推关系中，概率值是由前面的概率值经过转化得到的。
例如，如果要计算掷骰子的概率，可以先考虑掷出数字1的概率，然后根据掷出数字1的概率计算掷出数字2的概率，依此类推。
•第二类递推关系：在第二类递推关系中，概率值是由前面的概率值的加和或积得到的。
例如，如果要计算掷两次骰子，得到相同数字的概率，可以先考虑第一次和第二次掷出数字1的概率，然后将这两个概率相乘得到最终的概率。
下面是关于第一类递推关系的示例：假设有一个满足如下条件的随机事件：在抽取红球和绿球的过程中，至少有一个红球出现。
其中，红球的数量为R，绿球的数量为G，总球数为N=R+G。
则在抽取一个红球的概率为：P(抽取一个红球) = R/N在抽取一个绿球的概率为：P(抽取一个绿球) = G/N根据定义，至少抽取一个红球的概率等于1减去不抽取任何红球的概率。
因此，至少抽取一个红球的概率为：P(至少抽取一个红球) = 1 - P(不抽取任何红球)由于不抽取任何红球的概率等于抽取G个绿球的概率，即：P(不抽取任何红球) = P(抽取G个绿球) = (G/N)^G代入计算得：P(至少抽取一个红球) = 1 - (G/N)^G这就是第一类递推关系的示例。
下面是关于第二类递推关系的示例：假设有一个满足如下条件的随机事件：掷两次骰子，得到两个相同的数字。
则掷出数字1的概率为：P(掷出数字1) = 1/6掷出两个数字1的概率为：P(掷出两个数字1) = (1/6)^2 = 1/36掷出两个数字2的概率为：P(掷出两个数字2) = (1/6)^2 = 1/36依此类推，可以得到所有可能的情况的概率。
总结一下，掷出两个相同的数字的概率为：P(掷出两个相同的数字) = P(掷出两个数字1) + P(掷出两个数字2) + … + P(掷出两个数字6)= 1/36 + 1/36 + … + 1/36= 6/36= 1/6这就是第二类递推关系的示例。
1概率问题中的递推数列一．1n n P aP b -=+型例1．甲、乙、丙、丁四人做相互传球练习，第一次传给甲以外其他三人，第二次由拿球者再传给其他三人中一人，这样共传了4次，求（1）第4次仍传回到甲共有多少种传法？（2）第4次仍传回到甲的概率是多少？例2．设正四面体的4个顶点是A 、B 、C 、D ，各棱长均为1米，有一个小虫从点A 开始按如下规则前进：在每一顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到这条棱的尽头，求它爬了7米之后恰好着次回到顶点A 的概率。
例3．某种电路开关闭合后，会出现闪动的红灯或绿灯。
已知开关第一次闭合，出现红灯和出现绿灯的概率都是12，从开关第二次闭合起，若前一次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是13，出现绿灯的概率是23；若前一次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是35，出现绿灯的概率是25。
记开关第n 次闭合后出现红灯的概率为n P 。
（1） 求2P ；（2）1(2)2n P n <≥。
例4．A 、B 两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方掷。
第一次由A 开始掷，设第n 次由掷的概率为n P ，求n P 。
2 二．11n n n P aP bP +-=+型例5．某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是0.5，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站。
一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站，若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束。
设棋子跳到第n 站的概率为n P 。
（1） 求0P ，1P ，2P ；（2） 求证：1121()2n n n n P P P P ----=--； （3） 求玩该游戏获胜的概率。
例6．抛掷一枚均匀的硬币，出现正面向上（即国徽向上）得1分，反面向上得2分，记n P 为得分为n 分的概率。
你是如何被古典概率题忽悠的来源：前几天跟着08级的学弟学妹上了几节概率论，有感而发，遂写此文在中学和大学的古典概率中有很多让人头疼的概率题，老师们也许会叫大家很多有关排列组合的天花乱坠的技巧，而忽略了一些基本的概念，使同学们最后闹得一团雾水，也就是俗话说的被忽悠了。
在这里我要说的是，从理论上来讲，书上的古典概率题几乎没有一题是严密的。
也就是说，从某种角度来说，每一题的答案都可以是在[0,1]中的任何数。
（这里假设读者对概率空间概念有所了解）我将以下题为例子，给大家讲解一下：袋中有a只黑球，b只白球，他们除颜色不同外，其他方面没有差别，现在把球随机地一只只摸出来，求第k次摸出的一只球是黑球的概率（1《k《a+b）书上给出的答案想必大家都知道，是a/(a+b),如果跟答案不一样也没关系，我等会会告诉你你是怎么错的（计算错误除外）。
书上的标准解法是把每只球都编号，抽出他们相当于把编过号的球拿出来排成一排，所以有P=a*(a+b-1)!/(a+b)!=a/(a+b)怎么样，这个方法看起来很熟悉吧？有种回到中学的味道。
好一点的老师会告诉大家另一种（简单）方法：同样把球编号，把第k次摸到的球号作为一个样本空间，易得其大小为a+b，而所求事件的大小为a,即拿到a个黑球中的一个，所以概率为a/(a+b)。
貌似换了一个事件域，概率的求法就变得简单了，其实你被忽悠了。
首先，计算简单了，但是思想难度加大了，大家有没有想过，为什么第k次摸到的球号可以作为一个样本空间？为什么其中的元素可以认为是等可能的？有些人可能会说“这是常识，可以看得出来的”，那你为什么不是每题都能看出来呢？特别是数学系的，应该知道这个是需要证明的，但是很可惜，几乎没有老师给出严格的证明。
是他们忘了吗？不是的，其实如果需给出证明，那就跟第一种方法没什么区别了。
其实可以认为第一种方法中包含着第二种方法的证明。
第二种方法其实是把所谓的难度转嫁给了一个模糊的概念上了。
巧用数列方法解决概率问题——2023年新高考1卷第21题的一点思考引言：2023年高考已落下帷幕，本轮考试中继续在反套路，反机械刷题上下功夫，充分落实中国高考评价体系中“四层四翼”的考查要求，合理控制考题的难度，进一步科学引导教学.今年的高考题中又再一次继2019年后利用数列的递推公式公式解决概率问题，此类题型在新教材中也有体现，也进一步体现教考衔接，引导广大师生要在高三复习备考中要回归课本，回归基本方法，注意章节知识之间的灵活应用。
关键词：概率递推数列一、2023年高考真题再现例：甲、乙两人投篮，每次由其中一位投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求.分析:研究每一次（第2次起）是谁投篮是需要知道上一次是谁投篮的，因为甲乙投篮的命中率不一样，会关系到下一轮是谁投篮，所以需要弄清楚它们的关系，利用树状图就非常清晰。
解：（1）略（2）.求第投篮是甲是要弄清楚第次投篮的是谁，其可以分为甲和乙，设表示第次投篮是甲的概率.第次投篮是甲的概率来自两个方面，若果前一次是甲的话（概率为），那么第次投篮是甲的概率为；若果前一次是乙的话（概率为），那么第次投篮是甲的概率为，故第次投篮是甲的概率可表示为，进而又可以根据数列的知识化为，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以第次投篮的人是甲的概率.用数列的递推公式求概率问题是一个比较抽象的问题，需要学生较强逻辑推理和归纳概括的能力，在概率题中特别需要让学生体会表格和树状图的作用，它常常能帮助我们理清它们的关系，在高三复习备考中要关注培养学生的这些能力.第（3）问给出的公式在考场短时间上很多学生不能轻易理解其中含义，因而也就无法知道这个公式计算的就是期望，其实我们还是可以根据自己对均值的理解来帮助理解这个公式的意义，采用特殊到一般的思路获得两点分布中的均值等于每个表示成功的随机变量与相应概率之积的和来理解.如：设第次甲投篮的概率为P①当前1次中甲投篮的次数的分布列为:②当前2次中甲投篮的次数的分布列为:P③当前3次中甲投篮的次数的分布列为:P由不完全归纳可以得出前次投篮中甲投篮次数的均.这样也能帮助我们进一步理解问题中给的公式就是计算期望的.所以.事实上给出的公式还是可以这样来理解的：前次中甲投篮次数的均值可以理解为前边的n次中每次投篮贡献的均值之和，而第二问求出的概率刚好又是每次投篮的概率，所以前边n次投篮中每次投篮在均值中的贡献可用下面这个表格来表示:.当然更进一步的问题也可以改为前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮成功的次数为，求.这样就会对甲每次投篮成功的概率有关系了.二、探寻2023年高考概率题的“源”其实，在新教材中二项分布和超几何分布都对均值有了明确的阐述，也对其结果进行了证明.而今年的高考题第21题无论是方法还是过程都可以参考二项分布中均值的方法进行，都是采用归纳推理的思想。
概率递推模型1. 概念介绍概率递推模型是一种用于预测未来事件概率的数学模型。
它基于已有的历史数据和统计方法，通过递推计算得出未来事件的概率分布。
概率递推模型广泛应用于各个领域，如金融、气象、医疗等，用于预测股票价格、天气预报、疾病发生等。
2. 基本原理概率递推模型的基本原理是利用已有的历史数据，通过统计方法建立一个数学模型来描述事件的概率分布。
然后根据这个模型和新的输入数据进行递推计算，得出未来事件发生的概率。
在建立概率递推模型时，需要考虑以下几个方面： - 数据收集：收集相关的历史数据，包括事件发生的时间、地点、条件等。
- 数据分析：对收集到的数据进行统计分析，了解事件发生的规律和特点。
- 模型选择：根据数据分析结果选择合适的数学模型来描述事件发生的概率分布。
- 参数估计：通过最大似然估计等方法确定模型中的参数值。
- 递推计算：利用已有的历史数据和模型参数进行递推计算，得出未来事件的概率分布。
3. 常见应用3.1 股票价格预测概率递推模型在股票价格预测中有广泛应用。
通过对历史股票价格数据进行分析，可以建立一个适合描述股票价格变动的数学模型。
然后根据这个模型和新的市场信息，可以预测未来股票价格的概率分布。
投资者可以根据这些概率分布做出相应的投资决策。
3.2 天气预报天气预报是概率递推模型的另一个常见应用领域。
通过对历史天气数据进行分析，可以建立一个能够描述天气变化规律的数学模型。
利用这个模型和实时的气象观测数据，可以预测未来几天甚至几周的天气情况。
这对于农业、交通等行业都具有重要意义。
3.3 疾病发生预测概率递推模型还可以应用于疾病发生预测。
通过对历史疾病发生数据进行分析，可以建立一个能够描述疾病传播规律的数学模型。
然后根据这个模型和新的流行病学数据，可以预测未来疾病的传播趋势和概率分布。
这对于制定防控策略和分配医疗资源都具有重要意义。
4. 模型评估与改进在应用概率递推模型时，需要对模型进行评估和改进，以提高预测准确性。
建立不同模型优化解题过程发表时间：2019-04-19T09:29:13.523Z 来源：《素质教育》2019年6月总第309期作者：袁小侠[导读]陕西省汉中市洋县第二高级中学723300概率是高考考查的重点内容之一，解决概率问题要树立模型意识。
对于同一个随机试验，可以根据需要建立不同的概率模型来解决。
现举例说明：口袋中装有形状大小相同的2个白球、2个黑球，甲、乙、丙、丁四人依次无放回地从中摸一球，求乙摸得白球的概率。
解法1：用A表示事件“乙摸得白球”，记两个白球为白1、白2，两个黑球为黑1、黑2。
于是，4个人按序依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图直观地表示出来。
从上面的树状图可看出，试验有24种可能结果。
由于袋内的4个球形状大小相同，因此，这24种结果的出现是等可能的，试验属于古典概型。
这24种结果中，乙摸得白球的结果有12种，因此，事件A的概率P(A)= ＝。
解法2：因为是计算“乙摸得白球”的概率，所以考虑前两个人摸球的情况，甲、乙依次从袋中摸出1球的所有可能结果用树状图列举如下：从树状图可得，试验有6种可能结果，这6种结果的出现是等可能的，试验属于古典概型。
这6种结果中，乙摸得白球的结果有3种，因此，事件A的概率P(A）= 。
解法4：只考虑甲、乙摸球情况，且忽略同色球差异。
甲、乙依次从袋中摸出1球的所有可能结果数为2（黑——白，白——黑），这2种结果的出现是等可能的，试验属于古典概型。
这2种结果中，乙摸得白球的结果有1种，因此，事件A的概率P(A）= 。
解法5：只考虑乙摸球的情况，乙可能摸到4个球中的一个，这4种结果的出现是等可能的，试验属于古典概型。
这4种结果中，乙摸得白球的结果有2种，因此，事件A的概率P(A）= 。
解法6：只考虑乙摸球情况，且忽略同色球差异。
乙可能摸到2色中的任何一种，有2种可能的结果，其出现的可能性相同，属于古典概型。
这2种结果中，乙摸得白球的结果有1种，因此，“乙摸得白球”的概率P(A)= 。
一个袋子中有a 个黑球和b 个白球(两种球除颜色外其余条件均相同)，从中任意摸取1个球，若取出黑球，则把它放回袋子里；若取出白球，则该白球不再放回，另外补1个黑球到袋子中.
在重复进行n 次这样的操作后，记袋子中黑球的个数为.
试探究数学期望和之间的关系并求出数列的通项公式.
【解析】
当n=1时，
①袋子中黑球的个数可能为a 个（即取出的是黑球），
此种情形下的概率为.②袋子中白球的个数可能为（a +1）个（即取出的是白球），
此种情形下的概率为.故.第n+1次取出球后，黑球的个数数学期望分为两类：
(i )若第n+1次取出来的是黑球，
此种情况发生的概率为，此时黑球的个数的数学期望为.(ii)若第n+1次取出来的是白球，
此种情况发生的概率为，此时黑球的个数变为.故由易得n X {()}n E X 1()n E X +()n E X a a b +b a b +21()(1)a b a ab b E X a a a b a b a b
++=×++×=+++1()n E X +1n X +()n E X a b
+()n E X ()n a b E X a b +-+()1n E X +1()()1()()(()1)(1)() 1.n n n n n n E X a b E X E X E X E X E X a b a b a b ++-=×++×=-×++++11()(1)()1n n E X E X a b +=-×++*1()(1).n n E X a b b n N a b =+-×-Î+ 其中。
