6.3特殊的平行四边形(一)

《特殊的平行四边形》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生对特殊平行四边形概念的理解，掌握特殊平行四边形的性质及其在实际生活中的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、作业内容本次作业包括以下内容：1. 概念复习：学生需复习特殊平行四边形的定义及其类型（如矩形、菱形等），理解各类特殊平行四边形的性质特点。

2. 题目练习：通过典型例题和练习题，巩固对特殊平行四边形性质的运用。

例如，让学生通过图形的拼接、翻折或旋转等方式，找出特殊的平行四边形并证明其性质。

3. 思考探究：要求学生分析并尝试解答日常生活中遇到的特殊平行四边形问题，如建筑物的窗户设计、桥梁的构造等。

三、作业要求1. 作业量适中：本课时作业量不宜过大，以避免学生因疲劳而影响学习效果。

同时，也要保证学生有足够的思考时间。

2. 内容清晰：作业中涉及的知识点要明确，每一题的目标和解题步骤要清晰，以便学生能够明确解题思路。

3. 难度递进：题目设置应遵循由易到难的原则，先让学生掌握基础知识点，再逐步提高难度，引导学生深入思考。

4. 格式规范：要求学生按照规范的格式完成作业，如题目编号、解题步骤、答案等，以方便教师批改。

四、作业评价教师将根据以下标准对作业进行评价：1. 正确性：答案是否准确无误，是否完全符合题目要求。

2. 解题思路：学生的解题思路是否清晰，是否有创新性。

3. 书写规范：学生书写是否工整，格式是否规范。

4. 独立思考能力：学生在解决问题过程中是否能够独立思考，并运用所学知识解决实际问题。

五、作业反馈1. 及时批改：教师将及时批改作业，并对学生的答题情况进行统计和分析。

2. 反馈形式：教师将通过课堂讲解、小组讨论等形式，对学生在作业中出现的错误进行纠正，对优秀答案进行表扬和分享。

3. 个性化指导：针对学生在作业中表现出的不同特点和问题，教师将给予个性化的指导和建议，帮助学生更好地掌握知识和技能。

4. 家长沟通：教师将与家长保持沟通，及时反馈学生的学习情况，以便家长更好地配合学校的教育工作。

特殊平行四边形的性质和判定（一）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.矩形具有而菱形不具有的性质是( )A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等答案：B解题思路：矩形的对角线互相平分且相等，而菱形的对角线互相平分且垂直.故选B.试题难度：三颗星知识点：菱形的性质2.已知下列命题中：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案：C解题思路：根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数．①矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，正确；②只有两条对角线相等的平行四边形是矩形，错误；③所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，错误；④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，正确；所以其中正确的有①和④．故选C．试题难度：三颗星知识点：矩形的性质和判定3.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD,BC上，连接BM,DN，若四边形MBND是菱形，则( )A. B.C. D.答案：C解题思路：不妨设AB=1，则AD=2，∵四边形MBND是菱形，∴MB=MD．设AM=x，则MB=2-x，在Rt△ABM中，由勾股定理，得，即，∴∴故选C.试题难度：三颗星知识点：菱形的性质4.如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们的夹角为60°，则它们重叠部分的面积为( )A. B.1C. D.2答案：C解题思路：过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，∴∠BEA=∠BFC=90°．根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE=BF=1，∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠BAD=∠BCD=60°．∴∠ABE=∠CBF=30°．∴△ABE≌△CBF(AAS)．∴AB=BC．∴四边形ABCD为菱形．在Rt△ABE中，∠ABE=30°，BE=1，∴．∴．故选C．试题难度：三颗星知识点：菱形的性质5.如图，矩形ABCD中，，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）( )A.aB.C. D.答案：C解题思路：∵AN平分∠DAB，DM⊥AN，CN⊥AN，∴∠ADM=∠MDP=∠NCP=45°．∴△DMP和△NPC均为等腰直角三角形．∴，．∵，即，∴．故选C.试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的性质和判定6.如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠CFA的度数为( )A.30°B.45°C.22.5°D.135°答案：C解题思路：在正方形ABCD中，∠ACD=45°，在菱形AEFC中，AC=CF，∴∠CAF=∠CFA．又∵∠ACD=∠CAF+∠CFA，∴∠CFA=22.5°．故选C．试题难度：三颗星知识点：菱形的性质7.如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E，F为垂足，AE=ED，则∠EBF的度数为( )A.75°B.60°C.50°D.45°答案：B解题思路：如图，连接BD．在菱形ABCD中，AB=AD=CB=CD，又∵BE⊥AD，AE=ED，∴BD=AB．∴△ABD是等边三角形．∴∠A=60°．又∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠D+∠EBF=180°．又∵∠D+∠A=180°，∴∠EBF=∠A=60°．故选B．试题难度：三颗星知识点：菱形的性质8.如图所示，在平行四边形ABCD中，AE是∠DAB的平分线，EF∥AD交AB于点F，若AB=9，CE=4，AE=8，则DF等于( )A.4B.8C.6D.9答案：C解题思路：∵AB∥CD，∴∠EAF=∠AED．又AE是∠DAB的平分线，∴∠DAE=∠AED．∴AD=ED．∵AB∥CD，EF∥AD∥BC，∴四边形ADEF和四边形BCEF是平行四边形．∴四边形ADEF是菱形．∴AD=DE=DC-EC=5，，AE⊥DF．∴∴DF=2DO=6．故选C．试题难度：三颗星知识点：菱形的判定9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )A.BC=ACB.CF⊥BFC.BD=DFD.AC=BF答案：D解题思路：∵EF垂直平分BC，∴BE=CE，BF=CF．∵BE=BF，∴BE=CE=BF=CF．∴四边形BECF是菱形．①当BC=AC时，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°．∴∠EBF=2∠EBC=90°．∴菱形BECF是正方形．故选项A不符合题意；②当CF⊥BF时，菱形BECF是正方形，故选项B不符合题意；③当BD=DF时，BC=EF，∴菱形BECF是正方形．故选项C不符合题意；④当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D符合题意．故选D.试题难度：三颗星知识点：菱形的判定10.如图，在△ABC中，已知AB=3，AC=4，BC=5，P为BC边上一动点，且PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF长度的最小值为( )A.2B.C. D.答案：C解题思路：在△ABC中，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴．∴∠BAC=90°．又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∴四边形AEPF是矩形．∴EF=AP．AP长度的最小值为Rt△ABC斜边上的高，即为，∴EF长度的最小值为.故选C．试题难度：三颗星知识点：垂线段最短。

平行四边形的知识点整理（一）引言概述：平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和特点。

了解这些知识点有助于我们在几何学中更好地理解和运用。

本文将对平行四边形的知识进行整理和总结，以帮助读者更好地掌握相关内容。

正文：一、平行四边形的定义和特点：1. 平行四边形的定义2. 平行四边形的性质和特点3. 平行四边形的内角和外角性质4. 平行四边形的对角线性质5. 平行四边形的边长和内角关系二、平行四边形的分类：1. 平行四边形的分类方法2. 等边平行四边形的性质和特点3. 矩形和正方形的性质和特点4. 菱形的性质和特点5. 平行四边形的其他特殊分类三、平行四边形的面积和周长计算：1. 平行四边形的面积计算方法2. 平行四边形的周长计算方法3. 面积和周长的相关性质和公式4. 平行四边形的面积和周长实例计算5. 平行四边形的面积和周长在实际问题中的应用四、平行四边形的相关定理和推论：1. 平行四边形的对称性定理2. 平行四边形的角平分线与边平分线定理3. 对角线互相平分的平行四边形定理4. 平行四边形的中位线定理5. 平行四边形的相关推论和应用五、平行四边形的解题方法和技巧：1. 解直角平行四边形的问题的方法和步骤2. 解面积和周长问题的技巧和注意事项3. 解平行四边形的性质问题的思路和方法4. 运用平行四边形求证和构造题的解题技巧5. 平行四边形相关问题的典型例题和解答总结：平行四边形是几何学中的重要内容，了解平行四边形的定义、性质和特点，掌握其分类、面积和周长计算方法，熟悉其相关定理和推论，并具备解题技巧和应用能力，对我们的几何学学习和问题解决能力都有很大的帮助。

通过学习本文所总结的平行四边形的知识点，相信读者会在几何学中取得更好的成绩，对未来的学习和发展起到积极的促进作用。

6.3 特殊的平行四边形一．选择题（共5小题）1．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以△ABC的边向外作正方形，连接EC、BF，过点B 作BM⊥FG于M，交AC于N，下列结论：①△ABF≌△AEC；②S四边形ABDE=2S△AEC；③S四边形AFMN=2S△ABF；④S正方形ABDE=S四边形AFMN，其中正确的是（）（第1题图）A．①②B．①②③C．①D．①②③④2．如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB=CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是菱形；③HF平分∠EHG；④EG=（BC﹣AD），其中正确的个数是（）（第2题图）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF 交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论，其中正确结论的个数是（）①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④S△AOE：S△BCF=2：3．（第3题图）A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列说法中正确的是（）A．对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直且一组邻边相等的平行四边形是正方形C．四个角都相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形5．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的大小是（）（第5题图）A．67.5°B．22.5°C．30°D．45°二．填空题（共5小题）6．如图，在菱形ABCD中，AB=4，AE⊥BC于点E，点F，G分别是AB，AD的中点，连接EF，FG，若∠EFG=90°，则FG的长为．（第6题图）7．已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE=DF=1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．（第7题图）8．菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则较长对角线BD的长是．9．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠ABC=120”，则花坛对角线AC的长等于．（第9题图）10．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF=20°，则∠DEF=度．（第10题图）三．解答题（共5小题）11．如图，将一张边长为8cm，一角为72°的菱形纸片，剪三剪，用四种不同的剪法（剪得的四个等腰三角形一致，视为同一剪法）使之成四个等腰三角形纸片，并写出每个等腰三角形的顶角度数．（第11题图）12．如图，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，DE⊥BD交BC的延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）请直接写出与△CED面积相等的三角形．（第12题图）13．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE 于点F，交BC于点G，连接EG，求证：四边形ABGE是菱形．（第13题图）14．如图，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，连接EF．∠AEF、∠CF的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．求证：四边形EGFH是矩形．（第14题图）15．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A 停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．（第15题图）参考答案一．1．D 2．C 3．B 4．C 5．B二．6．2 7． 8．6 9．6 10．50 三．11．解：如答图.（第11题答图）12.（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB=∠CBD，∴AB=AD.设AC、BD相交于点O，又∵AC平分∠BAD，∴BO=DO，AC⊥BD，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵DE⊥BD，AC⊥BD，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴BC=AD=CE，∴图中所有与△CDE 面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．（第12题答图）13．证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC且AD=BC，∴∠CBE=∠AEB，∴∠ABE=∠AEB=∠CBE，∴AB=AE，∵AF⊥BE，∴∠AFB=∠GFB=90°，在△ABF和△GBF中，，∴△ABF≌△GBF（ASA），∴AB=GB，∴AE=GB，又∵AD∥BC，∴四边形ABGE是平行四边形，又∵AB=GB，∴四边形ABGE是菱形；14．证明：∵EH平分∠BEF，∴∠FEH=∠BEF，∵FH平分∠DFE，∴∠EFH=∠DFE，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°，∴∠FEH+∠EFH=（∠BEF+∠DFE）=×180°=90°，∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，∴∠EHF=180°﹣（∠FEH+∠EFH）=180°﹣90°=90°，同理可得：∠EGF=90°，∵EG平分∠AEF，∴∠EFG=∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠FEH=∠BEF，∵点A、E、B在同一条直线上，∴∠AEB=180°，即∠AEF+∠BEF=180°，∴∠FEG+∠FEH=（∠AEF+∠BEF）=×180°=90°，即∠GEH=90°∴四边形EGFH是矩形；15．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，∴BC=AD=16cm，AB=CD=8cm，由已知可得，BQ=DP=tcm，AP=CQ=（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形，∴t=16﹣t，得t=8，故当t=8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP=CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形即=16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t=6，故当t=6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t=6s时，AQ=CQ=CP=AP=16﹣6=10（cm），则周长为4×10cm=40（cm）；面积为10cm×8cm=80（cm2）．。

6.3特殊的平行四边形(1)——矩形的性质学习目标：1、知道矩形的定义和矩形与平行四边形的区别与联系。

2、掌握矩形的性质定理，会用定理进行有关的计算与证明。

3、掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用。

重点：掌握矩形的性质定理，会用定理进行有关的计算与证明。

难点：掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用。

温故知新：1、什么叫平行四边形？2、平行四边形与四边形有什么关系？3、平行四边形有哪些性质？①边：②角：③对角线：学习过程：（一）、情境导入：、在两幅图片中，你能看到长方形的形象吗?你还能举出生活中长方形的实例吗?演示平行四边形活动框架，引入课题.（二）、探究新知：活动一:(1)你还记得八(上)我们研究过中国象棋棋盘的轴对称性吗?矩形是轴对称图形吗?___________如果是，有____条对称轴?(取一张矩形的纸片折一折，试一试。

)(2)利用矩形的轴对称性，你能发现矩形的四个角有什么关系吗?___________。

根据矩形的定义及平行线的性质，能证明你得到的命题是真命题吗? __________________。

(小组成员之间先讨论交流,然后展示。

)小结：你能用一句完整的话总结上面的结论吗？(3)度量矩形的两条对角线的长，你有什么发现?能利用三角形全等证明矩形的对角线相等吗?(讨论交流)活动二：典例分析已知：如图，四边形ABCD是矩形．求证：AC=BD．(小组成员之间先讨论交流,然后上台展示。

)证明：多媒体出示答案。

小结：你能用一句完整的话总结上面的结论吗？活动三：动脑思考如果将下图中矩形ABCD沿对角线AC剪开，会得到两个什么图形?这时，OB(或OD)的长度与边AC的长度有什么关系?______。

能证明你得到的命题是真命题吗?小结：你能用一句完整的话总结上面的结论吗？这是直角三角形的一个重要性质。

活动四:精讲点拨例1:如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，∠BOC=1200，AB=6cm．求AC的长。

平行四边形的主要特征(一)平行四边形的主要特征1. 定义平行四边形是一种特殊的四边形，它具有以下特点：•具有四条边•对边平行•相邻的两边相等•对角线互相平分2. 基本性质平行四边形具有许多独特的性质，这些性质使其在几何学中被广泛研究和应用：•对角线互相平分：平行四边形的两条对角线互相平分，即将平行四边形划分为四个相等的三角形。

•内角和：平行四边形的内角和为360度，即四个内角的和为360度。

•相等的对边：平行四边形的相邻两边相等，即两条相邻边的长度相等。

•相对角相等：平行四边形的相对角度相等，即对边的夹角相等。

•对边平行：平行四边形的对边是平行的，即两条对边永远不会相交。

3. 性质推论根据平行四边形的基本性质，我们可以推导出以下更多有趣的性质：•垂直对角线：平行四边形的对角线互相垂直，即两条对角线的夹角为90度。

•垂直相邻边：平行四边形的相邻两边互相垂直，即两条相邻边的夹角为90度。

•对角线分割比例：平行四边形的对角线将对边分割成相等的线段。

•对角线长度关系：平行四边形的对角线长度满足勾股定理，即两条对角线的平方和等于两条底边的平方和。

4. 应用平行四边形的特征和性质在几何学中被广泛应用，具有重要的实际意义：•工程测量：平行四边形的性质可以应用于土地测量、建筑设计等领域，帮助测绘师和工程师进行精确测量和设计。

•制图和绘画：平行四边形的特征能够帮助制图师绘制平行四边形形状的对象，如建筑物、道路等。

•数学证明：平行四边形的性质和推论在数学证明中起到重要的作用，帮助解决几何学和代数学中的问题。

综上所述，平行四边形作为一种特殊的四边形，具有许多独特的性质和应用。

对于学习几何学的人来说，深入了解和掌握平行四边形的特征是非常重要的。

通过研究平行四边形，我们可以更好地理解和应用几何学的基本概念和原理。

5. 平行四边形的构造平行四边形可以通过多种方式进行构造，以下是常见的两种构造方法：•基于角度：给定两个相等的角度，通过直尺和量角器可以构造出一个平行四边形。