制作人程素君 第五章 角动量 关于对称性

第五章 角动量习题解答5.1.1 我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d 近=439km,远地点高度d 远=2384km,地球半径R 地=6370km,求卫星在近地点和远地点的速度之比。

解：卫星在绕地球转动过程中，只受地球引力（有心力）的作用，力心即为地心，引力对地心的力矩为零，所以卫星对地心的角动量守恒m 月v 近（d 近+R 地）=m 月v 远（d 远+R 地）v 近/v 远=（d 远+R 地）/（d 近+R 地）=（2384+6370）/（439+6370）≈1.295.1.2 一个质量为m 的质点沿着j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+=的空间曲线运动，其中a 、b 及ω皆为常数。

求此质点所受的对原点的力矩。

解： 0)ˆsin ˆcos (ˆsin ˆcos /ˆcos ˆsin /222222=⨯-=⨯=-==-=+-=--==+-==r r m F r rm a m F r j t b i t a j t b i t a dt v d a j t b i t a dt r d v ωτωωωωωωωωωωωωω5.1.3 一个具有单位质量的质点在力场j t i t t F ˆ)612(ˆ)43(2-+-= 中运动，其中t 是时间。

该质点在t=0时位于原点，且速度为零。

求t=2时该质点所受的对原点的力矩。

解：据质点动量定理的微分形式，)1()(===m v d v m d dt Fdt j t i t t v d ]ˆ)612(ˆ)43[(2-+-=∴kk k k ij k j i j j i i j i j i F r j i j i F ji j i r j t t i t t r dt t t j dt t t i r d dtj t t i t t dt v r d jt t i t t v dt t j dt t t i v d r t t t t v ˆ40)ˆ(44ˆ18)2(ˆˆˆ,ˆˆˆ,0ˆˆˆˆ)ˆ18ˆ4()ˆ4ˆ()2()2()2(ˆ18ˆ4ˆ)6212(ˆ)2423()2(ˆ4ˆˆ)2322(ˆ)22()2(ˆ)32(ˆ)()(ˆ6)2(ˆ]ˆ)(6ˆ)2[(ˆ)(6ˆ)2()612(ˆ)43(ˆ343423423332441233324410002232232230020-=-⨯+⨯-=∴-=⨯=⨯=⨯=⨯+⨯+-=⨯=+=-⨯+⨯-⨯=+-=⨯-⨯+⨯-⨯=-+-=-+-=-+-==-+-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ττ5.1.4地球质量为6.0×1024kg ，地球与太阳相距149×106km ，视地球为质点，它绕太阳做圆周运动，求地球对于圆轨道中心的角动量。

WORD 格式.整理版图2.4习题解答第二章2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。

解：(1)pi iq qj jkpq qj jk pj jk pk δδδδδδδδδδ===;(2)()pqi ijk jkpj qk pk qj jk pq qp e e A A A A δδδδ=-=-;(3)()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。

2.2证明：若ijji a a =，则0ijk jk e a =。

证：20ijk jk jk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jk i e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。

2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a cb a b b bc a b c c a c b c c证：1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。

2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明：()()()()()()⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅a b c d a c b d a d b c证：()()i j ijk k l m lmn n i j l m ijk lmk a b e c d e a b c d e e ⨯⋅⨯=⋅=a b c d e e ()()()()()i j l m il jm im jl i i j j i i j j a b c d a c b d a d b c δδδδ=-=- ()()()()=⋅⋅-⋅⋅a c b d a d b c 。

第五张 刚体力学平动中见彼此,转动中见分高低.运动美会让你感受到制造的乐趣.走过这遭,或许会有曾经沧海难为水的感叹.别忘了,坐标变换将为你迷津救渡,同时亦会略显身手.【要点分析与总结】1 刚体的运动（1）刚体内的任一点的速度、加速度（A 为基点）A r υυω'=+⨯()()A d r a a r dtωωω'⨯'=++⨯⨯ （2）刚体内的瞬心S ：()21s A A r r ωυω=+⨯〈析〉ω为基点转动的矢量和，12ωωω=++A r r r '=+dr dtυ=*A A A dr dr d r r r dt dt dt υωυω''''=+=++⨯=+⨯ ()A d r d d a dt dt dtωυυ'⨯==++()r ωω'⨯⨯ 值得注意的是：有转动时r '与r ω'⨯的微分，引入了r ω'⨯与()r ωω'⨯⨯项。

2 刚体的动量，角动量，动能 （1）动量：c P m υ=（2）角动量： x x xx xy xz i i i y yxyy yz y zx zyzz z z L J J J L r m L J J J J J J J L ωυωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪=⨯===-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑式中：转动惯量()()()222222xx yy zz J y z dmJ z x dm J x y dm ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎩⎰⎰⎰惯量积xx yy zz J xydm J yzdm J zxdm ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰且c c cL r m L υ'=⨯+* l e 方向（以l 为轴）的转动惯量：(),,l l J e J e J ααβγβγ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭222222xx yy zz yz zx xy J J J J J J αβγβγγααβ=++---（,,αβγ别离为l e 与,,x y z 轴夹角的余弦） * 惯量主轴惯量主轴能够是对称轴或对称面的法线若X 轴为惯量主轴，那么含X 的惯量积为0，即: 0==xy xz J J 若,,x y z 轴均为惯量主轴，那么:xx yy zz L J i J j J k =++ 〈析〉成立的坐标轴轴应尽可能的是惯量主轴，如此会降低解题繁度。

第五章 角动量、关于对称性到目前为止，我们已先后学习乐两个主要的守恒量——动量和能量（机械能）。

在本章中我们将学习、认识另一个重要的守恒量，即角动量。

并就其概念，变化规律和它的守恒性质进行较为深入的讨论。

本章的另一大主题是关于对称性与守恒律的关系。

内容：§5、1 质点的角动量 §5、2 质点系的角动量定理及其守恒定律因为角动量这一物理量，从概念倒数学表达，都要比动量和动能难以理解。

所以，我们先从简单的情况，即质点的角动量开始。

§5、1 质点的角动量 一、质点的角动量我们都知道，运动是复杂的，只有动量和动能一起，才能作为运动的空间量度。

但是在涉及倒转动问题时，动量和动能还不能反映运动的全部特点。

以有心力为例，天文观测表明：地球相对太阳的运动||||v v ⎧⎪⎨⎪⎩近远大小这个特点（其原因）用角动量概念及其规律很容易说明。

特别是在动量和机械能都不守恒的情况下，角动量可能是守恒的。

这就为求解这类问题开辟了新的途径，更为重要的是角动量不但能描述经典力学重的运动状态，在近代物论中角动量在表征状态方向也是不可缺少的主要物理量之一。

因此，我们通过对几种运动情况的分析，引出质点的角动量这一概念。

1、 行星运动问题（开普勒问题） 行星（在一固定平面内）以椭圆轨道绕太阳运动。

dt 时间内：位矢扫过的面积为：|/2|dSr vdt =⨯掠面速度： 大小： |/2|dSr v dt=⨯（单位时间内位矢r 扫过的面积）方向：v =r ⊥和v 所构成的平面，符合右手螺旋关系天文观测表明：行星运动时，其掠面速度：/2r v ⨯=恒矢量（与行星有关）vdt r vv vr/2r v ⨯v(),()r r t v v t ==讨论：①方向不变说明，轨道总在一固定平面内。

（由r v 和所构成） ②行星的动量和动能都不守恒，但有心力是保守力，故机械能守恒。

2、如图所示：橡皮筋一端固定于O 处，另一端与滑物块相系。

讨论张力和重力的力矩
三、力对点的力矩与对轴的力矩之间的关系
质点对点的角动量定理及其守恒定律
作用在质点上的合外力对参考点的力矩等于
此为角动量定理的积分形式（也称冲量矩定理）
质点对某轴的角动量对时间的变化率等
平面内的分量亦即质点角动量与Z轴存在一个夹角，我们可将其在
质点系对轴的角动量定理及其守恒定律我们考虑几个质点均分别在与Z轴垂直平面内运动，
考虑到前面已经证明成对出现的内力对参考点力
)
5.2.5轴的角动量对时间的变化率等于质点
轴的力矩之和始终为
在质心参照系中观察，各质点除受常力外，尚有惯性力
当运动速度远小于光速时，经典力学适用。

可将经典在经典力学中，物质的粒子性、波动性截然分开，量子力学以为在一些条件下粒子性是主要的，在另一些
当表征质点（粒子）的某些量（如角动量）远远大于普朗克常量时，可以用经典力
）相比时经典力学要让位于量子力学；
在量子力学中，粒子的能量、角动量均取分立值（经典力学中取连续值），速度与坐标不能同时确定。

第五章 角动量 关于对称性思考题解答5.1下面的叙述是否正确,试作分析,并把错误的叙述改正过来:(1) 一定质量的质点在运动中某时刻的加速度一经确定，则质点所受的合力就可以确定了，同时作用于质点的力矩也就确定了。

(2) 质点作圆周运动必定受到力矩的作用；质点作直线运动必定不受力矩的作用。

(3) 力1F 与z 轴平行，所以力矩为零；力2F与z 轴垂直，所以力矩不为零。

(4) 小球与放置在光滑水平面上的轻杆一端连结，轻杆另一端固定在铅直轴上。

垂直于杆用力推小球，小球受到该力力矩作用，由静止而绕铅直轴转动，产生了角动量。

所以，力矩是产生角动量的原因，而且力矩的方向与角动量方向相同。

(5) 作匀速圆周运动的质点，其质量m ，速率v 及圆周半径r 都是常量。

虽然其速度方向时时在改变，但却总与半径垂直，所以，其角动量守恒。

答：（1）不正确. 因为计算力矩, 必须明确对哪个参考点. 否则没有意义. 作用于质点的合力可以由加速度确定. 但没有明确参考点时, 谈力矩是没有意义的.（2）不正确. 质点作圆周运动时, 有两种情况: 一种是匀速圆周运动, 它所受合力通过圆心; 另一种是变速圆周运动, 它所受的合力一般不通过圆心. 若对圆心求力矩, 则前者为零, 后者不为零.质点作直线运动, 作用于质点的合力必沿直线. 若对直线上一点求力矩, 必为零; 对线外一点求力矩则不为零.（3）不正确. 该题应首先明确是对轴的力矩还是对点的力矩. 力与轴平行, 力对轴上某点的力矩一般不为零, 对轴的力矩则必为零.力与轴垂直, 一般力对轴的力矩不为零, 但力的作用线与轴相交, 对轴力矩应为零（4）不正确. 因为一个物体在不受力的情况下, 保持静止或匀速直线运动状态, 它对直线外一点具有一定的角动量而并无力矩. 根据角动量定理, 力矩为物体对同一点角动量变化的原因. 力矩的方向与角动量变化的方向相同, 而与角动量的方向一定不相同.（5）不正确. 因为作匀速圆周运动的质点, 所受合力通过圆心, 对圆心的力矩为零，对圆心的角动量守恒，但对其他点，力矩不为零，角动量不守恒。

第五章 角动量 关于对称性若∑=ii F 0外时，动量守恒 动量、能量不能反映运动的全部特点若∑∑==00内非外A ，A时，机械能守恒不能解决所有问题—→引入角动量—→新守恒量—→角动量——与转动相联系的物理量，角动量守恒；宏观，微观领域均有重要应用。

（当然有不同内涵）对称性：20世纪以来物理研究的重要方法与内容，与守恒定律密切相关，本章予以介绍§5.1 质点的角动量一、质点的角动量 1．行星的掠面速度以太阳中心为参考系，建立日心恒星坐标系，则行星可视为其坐标系中质点。

开普勒：1609年，发现了行星运动第二定律，即等面积定律：从太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。

若以r v ,分别表示行星（视为质点）的速度和矢径，dt v表示dt 内的位移，利用矢积概念，dt 内矢径扫过面积大小为|,2/|dt v r ⨯掠面速度：大小|,2/|v r⨯2v r ⨯的方向：右手螺旋法则，它的方向不变，说明即轨道在一个平面内。

由开普勒定律：运动规律：2vr ⨯=恒矢量结论： ①掠面速度大小不变②恒矢量、方向不变，即：与此矢量垂直的轨道平面总在一个平面上。

2．水平面上一端固定的橡皮筋，其另一端的小物体对固定点的掠面速度守恒运动规律：2vr ⨯=恒矢量结论： ①掠面速度大小不变②恒矢量、方向不变，即：与此矢量垂直的轨道平面总在一个平面上。

3．自由粒子．．．．的掠面速度为恒矢量:r 矢径 速度v若t ∆相当，则：t v s ∆=∆相等因此，每个相等的时间t ∆内矢径r扫过面积为三角形面积，所有三角形底均为t v s ∆=∆，相等，高均为θsin r OH =相等。

所以扫过面积为t rv OH s ∆⋅=⋅∆θsin 2121相等，故：掠面速度 2vr⨯ 大小相等，方面不变为恒矢量2vr ⨯=恒矢量4．角动量： 掠面速度各自保持不变分析：前面例中，保持掠面速度不变时，不同时刻，质点速度不同（大小、方向均不同），所以动能、动量均变化；例3中为自由粒子，v恒矢量，动量动能守恒，所以不能用动量，动能对其共性进行描述，⎪⎭⎫⎝⎛⨯2v r为几何量，面积大小，为此引入动量矩：角动量（矢量对某点可说矩）定义： p r v m r L⨯=⨯=为质点对参考点的角动量质点对于参考点的位矢与动量的矢积称为质点的参考点的角动量。

量子力学中的对称性和角动量§3.1 引言从经典物理知道，自然界存在各种守恒定律如能量守恒、动量守恒、角动量守恒等。

为什么会这样？ 从形式上看，守恒定律是运动方程的结果，因为它可以从运动方程导出。

但是，从本质上看，守恒定律也许比运动方程更为基本，因为它表达了自然界的一些普遍法则，支配着自然界的所有过程。

反过来，也可以认为运动方程实际上受着守恒定律的限制。

为什么会有守恒定律？守恒定律存在的深刻根源在于自然界存在着普适的对称性。

运动过程的所有特征，实际上都已经隐含在运动方程之中，对称与守恒的研究，只是使运动过程本来就具有的那些特征更加显现出来，但它并不能给出超出运动方程的结果。

经典力学中，Hamiltonian 决定了体系的运动规律，看H 是否对于某一种变换不变，则体系在变换前后的运动规律也保持不变。

----守恒量。

{}{}0,H u ,=+∂∂=H u H u tu dt du 不显含时间，则和如--表示u 是一个运动常数。

量子力学中， 运动方程为[]H F dtdFi ,=，其中力学量为算符[]0,=H F --二者具有共同的本征函数。

Wigner-Weyl 实现：态的对称性直接反映了H 的对称性。

§3.2 转动态的定义和转动算符 §3.2A 转动态的定义在经典物理中，转动后坐标的变化为()()p R p r R r ϕθϕθ,',,'==如果n 为z 轴，转动角为θ，则z z y x y y x x p p z z p p p y x y p p p y x x ==+=+=-=-=',',cos sin ',cos sin ',sin cos ',sin cos 'θθθθθθθθ-------⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x z y x 100cos sin 0sin cos '''θθθθ 在量子力学中，一自旋为0的标量粒子波函数()r ψ，将它绕空间n 轴（z 轴）转动一个角度θ，此操作为作用在波函数上的算符()θ,n R ，则()()()r r n R ',ψψθ=。