力对点之矩和轴之矩 ppt课件
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力对点之矩的概念.
解：取工件为研究对象，平面力偶系。
M 0
解出：
FAl M1 M 2 M 3 0
FA
M1
M2 l
M3
FA 200 N
FB FA 200
例2 已知：a、m，杆重不计。 求：铰A、C的反力。
解： AB为二力构件。 对BC构件，由力偶平衡有：
M 0, m NC d 0
MO (F) MO (Ft ) MO (Fr ) MO (Ft ) Fr cosa 78.93N.m
§3-3 力偶矩矢
1．力偶与力偶矩
*大小相等，方向相反， 作用线平行的两个力称 为力偶。
*力偶只能使物体转动。因 此，力偶与一个力不等效， 它既不能合成一个力也不 能与一个力平衡。
例1 如图所示，圆柱直齿轮受啮合力
的 作 用 。 设 F=1400N。 压 力 角 a=20o
齿轮的节圆(啮合圆), 半径 r =60mm ， 试计算力对轴的力矩。
解：解法1 按力矩定义求解。
解法2 用合理之矩定理求解。
MO (F) F h Fr cosa
1400 60 cos 20 78.93 N m
（1）平面力偶系的合成： 力偶矩的代数求和。
M
M i
（2）空间力偶系的合成： 力偶矩矢的矢量求和。
M平衡条件
（1）力偶系的合成与平衡
M
M i
0
Mx 0 M y 0 Mz 0
（2）平面力偶系的平衡
Mi 0
例1 工件上作用有三个力偶如图所示。已知：力偶矩分别为 M1=M2=10N·m，M3=20N·m，固定螺柱和的距离l=200mm。求 两光滑螺柱所受的水平力。
M 0
解出：
FAl M1 M 2 M 3 0
FA
M1
M2 l
M3
FA 200 N
FB FA 200
例2 已知：a、m，杆重不计。 求：铰A、C的反力。
解： AB为二力构件。 对BC构件，由力偶平衡有：
M 0, m NC d 0
MO (F) MO (Ft ) MO (Fr ) MO (Ft ) Fr cosa 78.93N.m
§3-3 力偶矩矢
1．力偶与力偶矩
*大小相等，方向相反， 作用线平行的两个力称 为力偶。
*力偶只能使物体转动。因 此，力偶与一个力不等效， 它既不能合成一个力也不 能与一个力平衡。
例1 如图所示，圆柱直齿轮受啮合力
的 作 用 。 设 F=1400N。 压 力 角 a=20o
齿轮的节圆(啮合圆), 半径 r =60mm ， 试计算力对轴的力矩。
解：解法1 按力矩定义求解。
解法2 用合理之矩定理求解。
MO (F) F h Fr cosa
1400 60 cos 20 78.93 N m
（1）平面力偶系的合成： 力偶矩的代数求和。
M
M i
（2）空间力偶系的合成： 力偶矩矢的矢量求和。
M平衡条件
（1）力偶系的合成与平衡
M
M i
0
Mx 0 M y 0 Mz 0
（2）平面力偶系的平衡
Mi 0
例1 工件上作用有三个力偶如图所示。已知：力偶矩分别为 M1=M2=10N·m，M3=20N·m，固定螺柱和的距离l=200mm。求 两光滑螺柱所受的水平力。
力对点之矩
Qd
h
xqdx
h
x2dx
1
h3
0
0
3
kN·m
Q
h
qdx
h
xdx
1 h2
0
0
2
Qd
h
xqdx
h
x2dx
1
h3
0
0
3
所以
h
d 0 xqdx 2 h
Q
3
m
此d值确定了合力Q
作用线的位置。
A
即
FR ＝ F1＋F2＋…＋ Fn
FR ＝ F1＋F2＋…＋ Fn
• 以 r 对上式两端作矢积，有
• r×FR ＝r×F1 ＋ r×F2 ＋ … ＋r×Fn • 由于力F1，F2,…,Fn与点共面， • 上式各矢积平行，因此上式
• 矢量和可按代数和计算。而
• 各矢量积的大小就是力对点
• 之矩，于是证得合力矩定理
MA(F )＝ MA(F x)＋ MA(F y) ＝－ Fx b + Fy a ＝－ F b cosa＋ F a sin a ＝ F a sin a－ F b cosa
• 例2、设水深为h，水的容重（单位容积的
• 重量）为g，求单位长度的坝面所承受的静水压 • 力的合力。 • 解：作用于坝面的静水压力可简化为沿坝面 • 中心线OA分布的水平荷载，且在水面下x处的的 • 线荷载集度为
矩心到该力作用点的矢径与力矢的矢量积。
2、力对点之矩矢MO (F)的三要素 力矩矢的三要素为大小、方位和指向。
（1）、MO (F)的大小即它的模
MO(F ) = r F Fr sin Fh
《工程力学》教学课件 第5章 空间力系
在平面力系中，力 F 与矩心 O 在同一个平面内，用代数量 MO (F ) 就足以概括力对点 O 之矩 的全部要素。但在空间力系中，由于各力与矩心 O 所决定的平面可能不同，导致各力使刚体绕同 一点转动的方位不同。当方位不同时，即使力矩的大小相同，作用效果也会完全不同。例如，作 用在飞机尾部垂直舵和水平舵上大小相同的力，对飞机产生的绕重心转动的效果却不同，前者使 飞机转弯，而后者则使飞机俯卧。
从实践中可知，如果推门时力的作用线与门的转轴平行或相交，无论力多大，门都不会发生 转动。如图 5-6（a）所示，当力 F 与门的转轴 z 共面时，力对轴不产生转动效应，即力对轴之矩 为零。
如图 5-6（b）所示，如果推门时力 F 在垂直于转轴 z 的平面内，此时就能把门推开。实践证 明，力 F 越大或其作用线与转轴间的垂直距离 d 越大，转动效果就越明显。因此，可以用力 F 的 大小与垂直距离 d 的乘积来度量力 F 对刚体绕定轴的转动效应，其转向可用正负号区分。若将力 F 对 z 轴之矩用 M z (F ) 表示，则
1.2 力在空间直角坐标轴上的投影
首先，将力 F 向 z 轴和 Oxy 平面上投影，得 Fz F cos γ Fxy F sin γ
然后再将 Fxy 向 x，y 轴上投影，得 即力 F 在 x，y，z 轴上的投影为
Fx Fxy cos φ F sin γ cos φ
Fy
Fxy
sin φ
F
MO (F ) Fd 2A△OAB
（5-9）
式中， A△OAB 表示三角形 OAB 的面积。 由以上定义可知，力矩矢 MO (F ) 的大小和方向
与矩心 O 的位置有关，即力矩矢 MO (F ) 是一个定位矢量。
图5-5
2.1 力对点之矩
从实践中可知，如果推门时力的作用线与门的转轴平行或相交，无论力多大，门都不会发生 转动。如图 5-6（a）所示，当力 F 与门的转轴 z 共面时，力对轴不产生转动效应，即力对轴之矩 为零。
如图 5-6（b）所示，如果推门时力 F 在垂直于转轴 z 的平面内，此时就能把门推开。实践证 明，力 F 越大或其作用线与转轴间的垂直距离 d 越大，转动效果就越明显。因此，可以用力 F 的 大小与垂直距离 d 的乘积来度量力 F 对刚体绕定轴的转动效应，其转向可用正负号区分。若将力 F 对 z 轴之矩用 M z (F ) 表示，则
1.2 力在空间直角坐标轴上的投影
首先，将力 F 向 z 轴和 Oxy 平面上投影，得 Fz F cos γ Fxy F sin γ
然后再将 Fxy 向 x，y 轴上投影，得 即力 F 在 x，y，z 轴上的投影为
Fx Fxy cos φ F sin γ cos φ
Fy
Fxy
sin φ
F
MO (F ) Fd 2A△OAB
（5-9）
式中， A△OAB 表示三角形 OAB 的面积。 由以上定义可知，力矩矢 MO (F ) 的大小和方向
与矩心 O 的位置有关，即力矩矢 MO (F ) 是一个定位矢量。
图5-5
2.1 力对点之矩
力对点的矩与力对轴的矩ppt课件
——汇交力系合力之矩定理
对于平面汇交力系，各力对力系平面内任一点的矩矢量共 线，因此可看作代数量。
此时合力之矩等于各分力之矩的代数和。
MO( FR ) =Σ MO( Fi )
7
a O
b Fh
F
α
Fv
例：求力 F 对 O 的矩。
解：将力 F 沿水平垂直方向分解 则 MO( F ) =Σ MO( Fi ) = MO( Fv ) + MO( Fh )
10
§2.5 力对轴之矩
二、力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系
z Fz
O′
A
O Fx z
y
B F
Fy
Fxy y
x
A点坐标：x、y、z F 投影：Fx、Fy、Fz 力F 对 oz 轴的矩为 Mz ( F ) = MO′ ( Fxy )
= MO′ ( Fx ) + MO′ ( Fy ) = -Fx.y + Fy .x
力对某轴之矩，等于力在垂直于该轴的平 面上的分力对该轴与此平面交点的矩。
9
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
z
F
Fz
O
xy d
Fxy
Mz ( F ) =Fxy.d ★:注意
①力对轴之矩是代数量,正负由右 手螺旋法则确定;
②力作用线与轴平行或相交(即力 与轴共面)时,力对该轴矩为零;
③力沿其作用线移动时,它对轴之 矩不变。
0 Fsin a2 b2 Fsin a2 b2
8
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
z
F
Fz
O
xy d
Fxy
过力 F 的始端做垂直力的平面 xy 将力 F 分解
对于平面汇交力系，各力对力系平面内任一点的矩矢量共 线，因此可看作代数量。
此时合力之矩等于各分力之矩的代数和。
MO( FR ) =Σ MO( Fi )
7
a O
b Fh
F
α
Fv
例：求力 F 对 O 的矩。
解：将力 F 沿水平垂直方向分解 则 MO( F ) =Σ MO( Fi ) = MO( Fv ) + MO( Fh )
10
§2.5 力对轴之矩
二、力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系
z Fz
O′
A
O Fx z
y
B F
Fy
Fxy y
x
A点坐标：x、y、z F 投影：Fx、Fy、Fz 力F 对 oz 轴的矩为 Mz ( F ) = MO′ ( Fxy )
= MO′ ( Fx ) + MO′ ( Fy ) = -Fx.y + Fy .x
力对某轴之矩，等于力在垂直于该轴的平 面上的分力对该轴与此平面交点的矩。
9
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
z
F
Fz
O
xy d
Fxy
Mz ( F ) =Fxy.d ★:注意
①力对轴之矩是代数量,正负由右 手螺旋法则确定;
②力作用线与轴平行或相交(即力 与轴共面)时,力对该轴矩为零;
③力沿其作用线移动时,它对轴之 矩不变。
0 Fsin a2 b2 Fsin a2 b2
8
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
z
F
Fz
O
xy d
Fxy
过力 F 的始端做垂直力的平面 xy 将力 F 分解
力矩 力偶系
M （ F） rAO F x O
i
j y
k z
Fx Fy Fz ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx ) k
结论：力矩矢在坐标轴上的投影 M 0 (F ) x M x (F ) M 0 (F ) y M y (F ) M 0 (F ) z M z (F )
§ 3-2 力偶及其性质 力偶系的合成与平衡 一、力偶( F , F)
由大小相等,方向相反而不共线 的两个平行力组成的力系。
F d
B A
F= - F
F´
力偶只能使物体发生转动， 不引起移动。
二、力偶矩
F
1、平面力系：
d
A
B
m = ±Fd
正负号的规定： 力偶使物体逆时针转为 + 力偶使物体顺时针转为– 2、空间力系：力偶矩是一个矢量
m
F´
M
A F
M rBA F
rBA
F´
B
三、力偶的性质
1、力偶不能与一个力等效，因此力偶没有合力，也不能
用一个力来平衡。力偶只能与力偶等效,也只能与力 偶平衡。
2、力偶中两力对空间任一点的矩的矢量和（代数和） 等于该力偶矩 ,而与矩心的选择无关。
m mo(F) +mo(F´) = rB0×F + rA0× F´ = rBA×F
d
a
Fxy b
z
结论:
F
B
(a) 当力的作用线与轴平行或相交，
A
即力与轴位于同一平面时力对轴
之矩等于零；
o
(b) 当力沿其作用线移动时力 矩不变。
力偶系教学课件PPT
M x (F ) Fzb Fb sin M y (F ) Fza Fa sin
M z (F ) Fy a Fxb
Fb cos sin Fa cos cos
MO(F) Mx(F) i M y(F) j Mz(F)k
Fbsin i Fa sin j (Fb cos sin Fa cos cos ) k
合成结果：
M Mi
平衡条件：
Mi = 0
例 题 2 已知：a, M
求：A、 C 处约束反力。
M
B
a
解：（1）取AB为研究对象
M 0, M FA 2a 0
FA
FB
2 2a
M
（2）取BC为研究对象
FC
FB
FB
2 2a
M
A
a
C
a
FB
M
FA
A
B B
FB
C
FC
若将此力偶移至BC构件上，再求A、C处约束反力。在
例 题 3 已知： F 、 a、b、c
求： 力F 对OA轴之矩 解：（1）计算 MO(F)
i jk MO(F) r F 0 b 0
00F Fbi
（2）利用力矩关系
z
O
b x
MOA (F ) MO (F ) cos
Fab a2 b2 c2
AF
c ay
例题4
已知： OA=OB=OC =b, OA⊥OB⊥OC. 求：力 F 对OA 边的中点D之矩在AC方向的投影。
“＋ ”—— 使物体逆时针转时力矩为正； “－” —— 使物体顺时针转时力矩为负。
§3-1 平面力对点之矩的概念和计算
2.合力矩定理
平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分力对于 该点之矩的代数和。
M z (F ) Fy a Fxb
Fb cos sin Fa cos cos
MO(F) Mx(F) i M y(F) j Mz(F)k
Fbsin i Fa sin j (Fb cos sin Fa cos cos ) k
合成结果：
M Mi
平衡条件：
Mi = 0
例 题 2 已知：a, M
求：A、 C 处约束反力。
M
B
a
解：（1）取AB为研究对象
M 0, M FA 2a 0
FA
FB
2 2a
M
（2）取BC为研究对象
FC
FB
FB
2 2a
M
A
a
C
a
FB
M
FA
A
B B
FB
C
FC
若将此力偶移至BC构件上，再求A、C处约束反力。在
例 题 3 已知： F 、 a、b、c
求： 力F 对OA轴之矩 解：（1）计算 MO(F)
i jk MO(F) r F 0 b 0
00F Fbi
（2）利用力矩关系
z
O
b x
MOA (F ) MO (F ) cos
Fab a2 b2 c2
AF
c ay
例题4
已知： OA=OB=OC =b, OA⊥OB⊥OC. 求：力 F 对OA 边的中点D之矩在AC方向的投影。
“＋ ”—— 使物体逆时针转时力矩为正； “－” —— 使物体顺时针转时力矩为负。
§3-1 平面力对点之矩的概念和计算
2.合力矩定理
平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分力对于 该点之矩的代数和。
第五章空间力系 第二节 力对轴的矩
Fx
a a b c
2 2 2
F
B
Fz
F
O
Fy
b a b c
2 2 2
F
A
Fy
D
Fx
Fz
c a 2 b2 c 2
F
Fx
a a b c
2 2 2
F
Fy
b a b c
2 2 2
F
Fz
c a b c
2 2 2
F
利用力对轴的矩的合力矩定理，即得
M x F M x Fz bc a b c
M x F yFz zFy MO (F )x M y F zFx xFz M O ( F ) y
其中，（x , y , z ）为力 F 作用点的坐标，Fx、Fy、Fz 为力 F 在 x 、y、z 轴上的投影。
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零.
2 2 2
F
B
Fz
F
O
M z F M z Fx M y1 F M y1 Fz
ab a 2 b2 c 2 ac a b c
2 2 2
F
A
表达式求解
第二节
力对轴的矩与力对点的矩的矢量定义
1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
MO F = r F
B F
三要素：
（1）大小:力 F 与力臂的乘积
MO F A x, y, z
O
r
h
（2）方向:右手螺旋法则决定 （3）作用点：O点.
其中： r = xi + yj + zk
MO F = r F = x
力对点的矩与力对轴的矩
x
rOA投影（A点坐标）：x、y、z rOA = x i +y j +z k
F 投影：Fx、Fy、Fz F =Fx i +Fy j +Fz k
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
力对某轴之矩，等于力在垂直于该轴的平 面上的分力对该轴与此平面交点的矩。
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
z
F
Fz
O
xy d
Fxy
Mz ( F ) =Fxy.d ★:注意
①力对轴之矩是代数量,正负由右手 螺旋法则确定;
②力作用线与轴平行或相交(即力 与轴共面)时,力对该轴矩为零;
③力沿其作用线移动时,它对轴之 矩不变。
对于平面汇交力系，各力对力系平面内任一点的矩矢量共 线，因此可看作代数量。
此时合力之矩等于各分力之矩的代数和。
MO( FR ) =Σ MO( Fi )
a O
b Fh
F
α
Fv
例：求力 F 对 O 的矩。
解：将力 F 沿水平垂直方向分解 则 MO( F ) =Σ MO( Fi ) = MO( Fv ) + MO( Fh )
{ F1、F2、F3、F4 }
O
F3
F5
F2
F4
F1
{ F1、F2、F4、F5 }
空间力系中，各力作用线与矩心所确定的力矩平面不再重合
空间力系中，力对矩心的矩取决于三方面（要素）
①力矩的大小（F.d） ②力矩平面在空间中的方位（法线方位） ③力矩平面内，力使物体绕矩心的转向
力对轴的矩与力对点的矩
cos 3 ， cos 5
5.92
5.92
（2）计算力F 在各坐标轴上的投影
Fx
F
cos
500
N
1 5.92
84.5
N
Fy
F
cos
500
N
3 5.92
253.4
N
Fz
F cos
500
N
5 5.92
422.3
N
图3-6（b）
（3）计算力 F在各坐标轴的矩
力 F 作用点A的坐标是
x 15 cm，y 12 cm，z 0
设有一力 F ，其作用点A的坐标为 (x ，y ，z)，如图3-5所示。 为求力 F 对z轴的矩，可将力 向x，y，z三个坐标轴上投影，
分别记为 Fx ，Fy ，Fz ，而 F 为力 F 在 坐标面内的分力。
根据力对轴之矩的定义，
F 对于z轴的矩等于 对于O点的矩，即 M z (F ) MO (F )
力对轴的矩均为零。
（2）当力沿其作用线移动时，力对轴的矩不变。这是因为此时F 及d
均未改变。
合力矩定理 空间力系的合力对某一轴的矩，等于各分 力对同一轴之矩的代数和。
设有空间一般力系（ F1 ，F2 ， ，Fn ） ，其合力为FR ，则合力矩定理为
n
M z (FR ) M z (F1) M z (F2 ) M z (Fn ) M z (Fi ) i 1
根据平面力系的知识及合力矩定理，有 MO (F ) xFy yFx 于是
M z (F ) xFy yFx
如图3-5
同理，可计算力 F 对x轴及对y轴的矩。因此，力 F对x，y，z轴的矩
分别为
M
x
(F
第二节 力对点之矩
A F
d
d° b)
o
c)
图1-7
1)图1-7a中
MO(F)=-Fd=-200N×200m×10-3×cos30°=-34.64N·m
2)图1-7b中
MO(F)=Fd=200N×200m×10-3×sin30°=20.00N·m
3)图1-7c中
MO(F)=-Fd=-200N×200×m×10-3=-40.00N·m
可得
M o (Fn ) M o (Ft) M o (Fr )
Ft
D
2
0
(Fncos )
D
2
1000N cos20 160m 103 75.2N m 2
图1-8
解 1)解法一 用力矩定义式(1-6)计算Fn对点o 之矩
M
o(Fn
)
Fn
D
2
COSα
1000N 160m 103 cos20 75.2N m 2
2)解法二 用合力矩定理式(1-7)计算Fn对点o之矩
如图1-8b所示，将啮合力Fn在齿轮啮合处分解为圆周力
Ft和径向力Fr，则Ft=Fncosα，Fr=Fnsinα，由合力矩定理
力矩的大小。
2、符号：正号表示逆时
F
针转向，负号表示顺时针转向。
o
3、单位：N .m
图1-5
二、力矩的性质
1、力F 对o 点之矩不仅取决于F 的大小，同时还与矩心 的位置即力臂d 有关。
2、力F 对于任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线
移动而改变。 3、力矩为零的条件：力的大小等于零或力的作用线通过
例1-1 如图1-7所示，数值相同的三个力按不同方式分别
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矢量方向由右手定则确定; 矢量作用在Op点pt课,件垂直于r 和F所在的平面。 4
力对轴之矩的定义
定义:力使物体绕某一轴转动效应的度量,称 为力对该轴之矩.
力
对 轴
FFz
之
矩
实 例
Fx F
Fy
ppt课件
5
ppt课件
6
ppt课件
7
力对点的矩和力对轴的矩
ppt课件
8
ppt课件
9
力对轴之矩代数量的正负号
ppt课件
10
力对轴之矩的计算
方法一 : 将力向垂直于
该轴的平面投影 ,力的投 影与投影至轴的垂直距 离的乘积.
Mz (F) = Fxyd
= 2(OAB)
ppt课件
11
力对轴之矩的计算
方法二: 将力向三个坐 标轴方向分解,分别求三 个分力对轴之矩，然后 将三个分力对轴之矩 的代数值相加。
ppt课件
15
2
z
Mx 0
F
F z F sin 300
1
My
Fza
Fa 2
F y F cos300
M z F ya
y
3 Fa 2
300
or
x
M
y
zFx
Mx xFz
yF ZzFy 0 aF sin 300
1 2
Fa
M z xF ppt课y 件 yFx
• 1、试求图示中力F对O点的矩。
ppt课件
14
• （a）MO (F ) MO (Fx ) MO (Fy ) MO (Fy ) F sin l • （b）MO (F ) F sin l • （c）MO (F ) MO (Fx ) MO (Fy ) F cosFl2 sin (l1 l3) • （d） MO (F ) MO (Fx ) MO (Fy ) MO (Fy ) F sin l12 l22
aF(sin j cos sin 45k)
力F对x、y、z轴之矩为：
Mx(F) 0
M
y
(F
)
aF
s
in
30
aF 2
6
M z (F ) aF cos30sin 45 ppt课件
4
Fa
20
aF cos 300
3 Fa
2 16
• 3 图示正方体的边长a =0.5m，其上作用的 力F=100N，求力F对O点的矩及对x轴的力 矩。
rA
ppt课件
17
解：
i jk
F
MO(F) rA F a(i k)
(i j) 2
a
0a
F F 0
22
Fa (i j k) 2
35.36(i j k) kN m
M x(F ) 35.36 kN m
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18
• 4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知 OA=OB=a，在平面ABED内沿对角线AE有 一个力F， 图中θ =30°，试求此力对各坐 标轴之矩。
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19
• 解：
MO (F ) rA F ai F(cos cos45i cos sin 45 j sin k)
力对点的矩和力对轴的矩
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1
力对点之矩
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2
力对点之矩的矢量运算
F= Fx i + Fy j + Fz k
r=x i + y j + z k
Mo Fr sin r F
i jk =x y z
Fx Fy Fz
MO(F) z
O
r
x
= (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j+(Fppytx课-件Fxy) k
F
y
3
Mo r F= (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j+(Fyx-Fxy) k
Mo Moxi Moy j Mozk
Mox yFz zFy Moy zFx xFz
力对点之矩几点
结论
Moz xFy yFx
力对点 之矩是定位矢量;
M x yFz zFy M y zFx xFz
M z xFy yFx
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12
力对轴之矩与力对点之矩的关系
结论:力对点之矩的矢量在某一轴上 的投影,等于这一力对该轴之矩 。
M
O
F
x
Mx
MO F y M y
Mห้องสมุดไป่ตู้
O
F
z
Mz
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13