北师大版9年级数学下册3.6 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆学案

第三章圆《直线和圆的位置关系（第2课时）》教学目标能判定一条直线是否为圆的切线．会过圆上一点画圆的切线．直线与圆相切的判定与性质的应用教学重点探索圆的切线的判定方法，并能运用．教学难点探索圆的切线的判定方法．教学方法自学.讨论.引导一、教学过程分析第一环节引入新课上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径．由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢?本节课我们就继续探索切线的判定条件．第二环节新课讲解活动内容：1．探索切线的判定条件2．做一做3．补充例题讲解1．探索切线的判定条件如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α，当l绕点A旋转时，(1)随着∠α的变化，点O到l的距离(d如何变化?直线l与⊙O的位置关系如何变化?(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r?此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系?为什么?学生讨论：判定圆的切线的又一种方法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．做一做已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可．如右图．(1)连接OA．(2)过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线．3．补充例题讲解例1.在直角三角形ABC中，AC=3 cm，BC=4 cm，∠C=90°当r为2.4 cm 时，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？思路导析：如下图所示，欲判定⊙C与直线AB的关系，只需求出圆心C 到直线AB的距离CD，然后与r比较就可以。

第三章 圆3.6 直线和圆的位置关系第2课时 切线的判定及三角形的内切圆学习目标：1．掌握切线的判定定理，并会运用它进行切线的证明；(重点)2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线；(难点)3．掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念. (重点)一、复习回顾转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？一、要点探究知识点一：圆的切线的判定合作探究如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为⊙α. 当 l 绕点 A 旋转时， （1）随着⊙α 的变化，点 O 到 l 的距离 d 如何变化？直线 l 与 ⊙O 的位置关系如何变化？（2）当⊙α 等于多少度时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r ？此时，直线 l 与 ⊙O 有怎样的位置关系？为什么？知识要点切线的判定定理典例精析例1 判断：(1) 过半径的外端的直线是圆的切线 ( )(2) 与半径垂直的的直线是圆的切线 ( )(3) 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 ( )做一做已知 ⊙O 上有一点 A ，过点 A 画 ⊙O 的切线.方法总结典例精析例2 如图，已知：直线 AB 经过⊙O 上的点 C 并且OA = OB ，CA = CB.自主学习 合作探究求证：直线 AB 是⊙O 的切线.例3 如图，在 Rt⊙ABC 中，⊙ABC = 90°，⊙BAC 的平分线交 BC 于 D ，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ． 求证：AC 是⊙O 的切线．合作探究思考 观察例 2 和例 3，说说这两种证明方法有什么不同. 知识点二：三角形的内切圆及内心 探究：小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能最大化利用三角形废料呢？例4 已知：⊙ABC.求作：⊙I ，使它与⊙ABC 的三边都相切.知识要点这样的圆可以作出几个? 为什么?知识要点典例精析例5 ⊙ABC 中，⊙O 是 ⊙ABC 的内切圆，⊙A=70°，求 ⊙BOC 的度数.二、课堂小结1. 判断下列命题是否正确.(1) 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ）(2) 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）(3) 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ）(5) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ）(6) 三角形的内心是三角形三个角平分线的交点. （ ）(7) 三角形的内心到三角形各边的距离相等. （ ）(8) 三角形的内心一定在三角形的内部. （ ）2. 如图，⊙O 内切于△ABC ，切点 D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上．已知∠B ＝50°，∠C ＝60°，连接 OE ，OF ，DE ，DF ，那么∠EDF 等于( )A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°链接中考当堂检测 D C B A1.(宁夏)如图，以线段 AB 为直径作 ⊙O ，交射线 AC 于点 C ， AD 平分⊙CAB 交 ⊙O 于点 D 作直线 DE⊙AC 于点 E ，交 AB 的延长线于点 F.连接 BD 并延长交 AC 于点 M. 求证：直线 DE 是⊙O 的切线.参考答案二、小组合作，探究概念和性质知识点一：圆的切线的判定 合作探究⊙α 从 90° 变小到 0°，再由 0° 变大到 90°，点 O 到 l 的距离 d 先由 r 变小到 0，再由 0 变大到 r.直线 l 与 ⊙O先 相切 ，再 相交 ，最后又 相切 .当⊙α = 90° 时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r . 此时，直线 l 与 ⊙O 相切. 典例精析例1答案：（1）× （2）× （3）×做一做已知 ⊙O 上有一点 A ，过点 A 画 ⊙O 的切线.典例精析例2证明：连接 OC (如图).⊙ OA = OB ，CA = CB ，⊙ AB ⊙ OC.⊙ OC 是⊙O 的半径.⊙ AB 是⊙O 的切线.例3证明：如图，过 D 作 DE⊙AC 于 E.⊙⊙ABC = 90°，⊙ DB⊙AB.又⊙ AD 平分⊙BAC ，DE⊙AC ，⊙ DE = DB.⊙ AC 是⊙O 的切线.知识点二：三角形的内切圆及内心例4作法：1. 分别作⊙B ，⊙C 的平分线 BE 和 CF ，交点为 I .C D O MB E2. 过I 作BC 的垂线，垂足为D .3. 以I 为圆心，以ID 的长为半径作⊙I .⊙I 就是所求的圆.与三角形三边都相切典例精析例5解：⊙⊙A = 70°，⊙⊙ABC +⊙ACB =180° -⊙A=110°.⊙⊙O 是⊙ABC 的内切圆，⊙BO，CO 分别是⊙ABC 和⊙ACB 的平分线，即⊙OBC= 12⊙ABC ，⊙OCB=12⊙ACB.⊙⊙BOC=180°-(⊙OBC+⊙OCB) =180°-12(⊙ABC +⊙ACB)=180°-12×110° = 125°.当堂检测1.答案：(1)×(2) ×(3) √(4)√(5) √(6) √(7) √(8) √2.答案：B链接中考。

第三章圆《3.6 直线和圆的位置关系（第2课时）》教学设计一、学生起点分析学生的知识技能基础：之前的课程学生已经学习了与圆有关的概念，如半径、圆周角、圆心角等，学习了圆的性质，学习了直线和圆的三种位置关系，这里将进一步讨论其中的一种情况：相切。

学生的活动经验基础：进入初三下学期的学生在观察、操作、猜想能力较强，但逻辑推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、结密性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导。

学生思维活跃，能跟上教师的思路，并用较完整的话回答老师的提问；但学生课堂回答问题的气氛不是那么浓厚，学习不具有自觉性，需要教师设计好教学环节，并给予充分的关注和指导。

二、教学任务分析本节课的内容是北师大九年级初中下册数学第三章《圆》第六节《直线和圆的位置关系》的第二课时。

具体的教学目标为：知识与技能（1）能判定一条直线是否为圆的切线。

（2）会过圆上一点画圆的切线。

（3）了解三角形的内切圆、内心等概念，会作三角形的内切圆。

过程与方法（1）通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力。

（2）会过圆上一点画圆的切线、作三角形的内切圆，训练学生的作图能力。

情感态度与价值观（1）经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。

（2）经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。

教学重点（1）探索圆的切线的判定方法，并能运用。

（2）作三角形内切圆的方法，内心的慨念。

教学难点探索圆的切线的判定方法。

三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：回顾反馈、探索新知、应用新知、巩固提升、课堂小结、布置作业。

第一环节回顾反馈上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有哪几种种位置关系？（相离、相切、相交）。

判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，圆的切线有什么性质？（圆的切线垂直于过切点的直径。

3.6 直线和圆的位置关系第2课时切线的判定及三角形的内切圆目标导航1、经历探索直线和圆位置关系的过程，理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．2、直线和圆的三种位置关系，切线的概念和性质．3、探索切线的性质．4、能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线，会作三角形的内切圆．5、探索圆的切线的判定方法，作三角形内切圆的方法．基础过关1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm，以点C为圆心，6cm 的长为半径的圆与直线AB的位置关系是________．2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，⊙A与BC相切于点D，与AB相交于点E，则∠ADE等于____度．AE C DPOBPC2题图3题图5题图3．如图，P A、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙A于点D、E，交AB于C．图中互相垂直的线段有_________（只要写出一对线段即可）．4．已知⊙O的半径为4cm，直线L与⊙O相交，则圆心O到直线L的距离d的取值范围是____．5．如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，且∠APB=50°，点C是优弧AB上的一点，则∠ACB的度数为________．6．如图，⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，∠DOB=73°，∠DOE=120°，则∠DOF=_______度，∠C=______度，∠A=_______度．FO EDBA OCDB A6题图 12题图7．若∠OAB =30°，OA =10cm ，则以O 为圆心，6cm 为半径的圆与直线AB 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定8．给出下列命题：①任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形， 并且只有一个外切三角形，其中真命题共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如l 是⊙O 的切线，要判定AB ⊥l ，还需要添加的条件是（ ）A ．AB 经过圆心OB ．AB 是直径C ．AB 是直径，B 是切点D ．AB 是直线，B 是切点10．设⊙O 的直径为m ，直线L 与⊙O 相离，点O 到直线L 的距离为d ，则d 与m 的关系是（ ）A ．d =mB ．d >mC ．d >2mD ．d <2m 11．在平面直角坐标系中，以点（－1，2）为圆心，1为半径的圆必与（ ）A ．x 轴相交B ．y 轴相交C ．x 轴相切D ．y 轴相切12．如图，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 、C 是切点，延长OB 到D ，使BD =OB ，连接AD ，如果∠DAC =78°，那么∠ADO 等于（ ）A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°13．如图，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，过C 作半圆的切线，连接AC ，作直线AD ，使∠DAC =∠CAB ，AD 交半圆于E ，交过C 点的切线于点D ．（1）试判断AD 与CD 有何位置关系，并说明理由； （2）若AB =10，AD =8，求AC 的长．14．如图，BC是半圆O的直径，P是BC延长线上一点，P A切⊙O于点A，∠B=30°．（1）试问AB与AP是否相等?请说明理由．（2）若P A O的直径．15．如图，∠P AQ是直角，半径为5的⊙O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B、C．（1）BT是否平分∠OBA?证明你的结论．（2）若已知AT=4，试求AB的长．P能力提升16．如图，有三边分别为0.4m、0.5m和0.6m的三角形形状的铝皮，问怎样剪出一个面积最大的圆形铝皮?请你设计解决问题的方法．CBA17．如图，AB 为半圆O 的直径，在AB 的同侧作AC 、BD 切半圆O 于A 、B ，CD 切半圆O 于E ，请分别写出两个角相等、两条边相等、两个三角形全等、 两个三角形相似等四个正确的结论．聚沙成塔如图，已知：⊙D 交y 轴于A 、B ，交x 轴于C ，过点C 的直线：y =－8 与y 轴交于点P ．（1）试判断PC 与⊙D 的位置关系．（2）判断在直线PC 上是否存在点E ，使得4EOP CDO S S ∆∆=，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．。

北师大版数学九年级下册《圆的切线的判定和三角形的内切圆》教案3一. 教材分析北师大版数学九年级下册《圆的切线的判定和三角形的内切圆》这一章节是在学生已经掌握了圆的基本性质、直线与圆的位置关系等知识的基础上进行讲解的。

本章节主要介绍了圆的切线的判定和三角形的内切圆的相关性质。

通过这一章节的学习，学生可以进一步理解圆的切线的判定方法，以及如何运用三角形的内切圆来解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的基本性质和直线与圆的位置关系有一定的了解。

但是，对于圆的切线的判定和三角形的内切圆的相关性质可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生从已有的知识出发，逐步理解和掌握新的知识。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握圆的切线的判定方法，了解三角形的内切圆的性质，能够运用内切圆解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、思考、探究等活动，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的意志。

四. 教学重难点1.圆的切线的判定方法2.三角形的内切圆的性质及其应用五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等教学方法，引导学生通过观察、思考、探究等活动，自主掌握圆的切线的判定方法和三角形的内切圆的性质。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和图片，以便在课堂上进行讲解和展示。

2.准备一些练习题，以便在课堂上进行操练和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一些与圆的切线和三角形的内切圆相关的实际问题，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）讲解圆的切线的判定方法，以及三角形的内切圆的性质，引导学生通过观察和思考，理解并掌握相关的知识。

3.操练（10分钟）通过一些相关的练习题，让学生运用所学的知识进行解答，巩固所学的内容。

4.巩固（5分钟）对所学的内容进行总结，引导学生通过小组合作、讨论等方式，进一步巩固所学的知识。

北师大版九年级数学下册：3.6《直线和圆的位置关系——圆的切线的判定和三角形的内切圆》教案一. 教材分析《直线和圆的位置关系——圆的切线的判定和三角形的内切圆》这一节主要让学生了解圆的切线的判定方法，掌握圆的切线的性质，并进一步了解三角形的内切圆的性质。

通过这一节的学习，让学生能够运用切线和内切圆的知识解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，对函数、几何等概念有一定的理解。

但是，对于圆的切线和三角形的内切圆的知识，他们可能还比较陌生，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。

三. 教学目标1.让学生了解圆的切线的判定方法，掌握圆的切线的性质。

2.让学生了解三角形的内切圆的性质，并能运用切线和内切圆的知识解决实际问题。

四. 教学重难点1.圆的切线的判定方法。

2.圆的切线的性质。

3.三角形的内切圆的性质。

五. 教学方法采用问题驱动法，让学生在解决问题的过程中，理解和掌握圆的切线和三角形的内切圆的知识。

同时，通过实例和练习，让学生进一步巩固所学知识。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过PPT展示一些实际问题，如：在平面上有两个圆，它们的位置关系有哪些？如何判断一个圆是另一个圆的切线？让学生思考和讨论，引出本节课的主题——圆的切线和三角形的内切圆。

2.呈现（10分钟）讲解圆的切线的判定方法和性质，以及三角形的内切圆的性质。

通过PPT和实物模型，让学生直观地理解圆的切线和三角形的内切圆的概念。

3.操练（10分钟）让学生在PPT上或者纸上画出一些圆和切线，判断它们的位置关系，并运用圆的切线的性质解决问题。

同时，让学生尝试画出一些三角形的内切圆，并运用内切圆的性质解决问题。

4.巩固（10分钟）让学生做一些练习题，巩固所学知识。

可以设置一些选择题和填空题，让学生在解答的过程中，加深对圆的切线和三角形的内切圆的理解。

5.拓展（10分钟）让学生思考和讨论一些拓展问题，如：如何求一个圆的切线的长度？如何求一个三角形的内切圆的半径？可以让学生分组讨论，并展示他们的讨论结果。

北师大版数学九年级下册《圆的切线的判定和三角形的内切圆》教学设计3一. 教材分析北师大版数学九年级下册《圆的切线的判定和三角形的内切圆》是本节课的主要内容。

教材通过引入圆的切线和三角形的内切圆的概念，引导学生探究圆的切线的判定条件和三角形的内切圆的性质，从而培养学生的几何思维和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和判定定理，具备了一定的几何知识基础。

但是，对于圆的切线的判定条件和三角形的内切圆的性质的理解和应用还需进一步引导和培养。

三. 教学目标1.理解圆的切线的判定条件。

2.掌握三角形的内切圆的性质。

3.能够运用圆的切线的判定和三角形的内切圆的性质解决实际问题。

四. 教学重难点1.圆的切线的判定条件。

2.三角形的内切圆的性质。

五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过引导学生自主探究和合作交流，让学生在实践中理解和掌握圆的切线的判定条件和三角形的内切圆的性质。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.几何画图软件。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：如何判断一条直线是否是圆的切线？引发学生的思考和兴趣。

2.呈现（15分钟）利用PPT呈现圆的切线的判定条件和三角形的内切圆的性质，引导学生直观地理解和记忆。

3.操练（15分钟）利用几何画图软件，让学生动手操作，验证圆的切线的判定条件和三角形的内切圆的性质。

引导学生通过实践加深理解和掌握。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固圆的切线的判定条件和三角形的内切圆的性质。

引导学生运用所学知识解决实际问题。

5.拓展（10分钟）引导学生思考和探讨圆的切线和三角形的内切圆在实际应用中的意义和价值，激发学生进一步学习的兴趣。

6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调圆的切线的判定条件和三角形的内切圆的性质的重要性和应用价值。

7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生进一步巩固和应用所学知识。

3.6 直线和圆的位置关系第2课时切线的判定及三角形的内切圆1．掌握切线的判定定理，并会运用它进行切线的证明；(重点)2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线；(难点)3．掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念. (重点)一、情境导入下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况．二、合作探究探究点一：切线的判定【类型一】已知直线过圆上的某一个点，证明圆的切线如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线．解析：要证明CD是⊙O的切线，即证明OC⊥CD.连接OC，由AC＝CD，∠D＝30°，则∠A＝∠D＝30°，得到∠COD＝60°，所以∠OCD＝90°.证明：连接OC，如图，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切线．方法总结：一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】直线与圆的公共点没有确定时，证明圆的切线如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．解析：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON即可．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O相切．方法总结：如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型三】切线的性质和判定的综合应用如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE ⊥EB .(1)求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线；(2)若AD ＝23，AE ＝6，求EC 的长．解析：(1)取BD 的中点O ，连接OE ，如图，由∠BED ＝90°，可得BD 为△BDE 的外接圆的直径，点O 为△BDE 的外接圆的圆心，再证明OE ∥BC ，得到∠AEO ＝∠C ＝90°，可得结论；(2)设⊙O 的半径为r ，根据勾股定理和平行线分线段成比例定理，可求答案．(1)证明：取BD 的中点O ，连接OE ，如图所示，∵DE ⊥EB ，∴∠BED ＝90°，∴BD 为△BDE 的外接圆的直径，点O 为△BDE 的外接圆的圆心．∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE ＝∠OBE .∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB ，∴∠OEB ＝∠CBE ，∴OE ∥BC ，∴∠AEO ＝∠C ＝90°，∴OE ⊥AE ，∴AC 是△BDE 的外接圆的切线；(2)解：设⊙O 的半径为r ，则OA ＝OD ＋DA ＝r ＋23，OE ＝r .在Rt △AEO 中，有AE 2＋OE 2＝AO 2，即62＋r 2＝(r ＋23)2，解得r ＝2 3.∵OE ∥BC ，∴AE CE ＝AO OB ，即6CE ＝4323，∴CE ＝3. 方法总结：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题探究点二：三角形的内切圆【类型一】利用三角形的内心求角的度数如图，⊙O 内切于△ABC ，切点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上．已知∠B ＝50°，∠C ＝60°，连接OE ，OF ，DE ，DF ，那么∠EDF 等于( )A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°解析：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝50°，∠C ＝60°，∴∠A ＝70°.∵⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ，∴∠OEA ＝∠OF A ＝90°，∴∠EOF ＝360°－∠A －∠OEA －∠OF A ＝110°，∴∠EDF ＝12∠EOF ＝55°.故选B. 方法总结：解决本题的关键是理解三角形内心的概念，求出∠EOF 的度数．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题【类型二】 求三角形内切圆半径如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，CB ＝8，则△ABC 的内切圆半径r 为( )A ．1B ．2C ．1.5D ．2.5解析：∵∠C ＝90°，AC ＝6，CB ＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝10，∴△ABC 的内切圆半径r ＝6＋8－102＝2.故选B.方法总结：记住直角边为a 、b ，斜边为c 的三角形的内切圆半径为a ＋b －c2，可以大大简化计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】 三角形内心的综合应用如图①，I 是△ABC 的内心，AI的延长线交边BC 于点D ，交△ABC 的外接圆于点E .(1)BE 与IE 相等吗？请说明理由．(2)如图②，连接BI ，CI ，CE ，若∠BED ＝∠CED ＝60°，猜想四边形BECI 是何种特殊四边形，并证明你的猜想．解析：(1)连接BI ，根据I 是△ABC 的内心，得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据∠BIE ＝∠1＋∠3，∠IBE ＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，得出∠BIE ＝∠IBE ，即可证出IE ＝BE ；(2)由三角形的内心，得到角平分线，根据等腰三角形的性质得到边相等，由等量代换得到四条边都相等，推出四边形是菱形．解：(1)BE ＝IE .理由如下：如图①，连接BI ，∵I 是△ABC 的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠BIE ＝∠1＋∠3，∠IBE ＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，∴∠BIE ＝∠IBE ，∴BE ＝IE ；(2)四边形BECI 是菱形．证明如下：∵∠BED ＝∠CED ＝60°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴BE ＝CE .∵I 是△ABC 的内心，∴∠4＝12∠ABC ＝30°，∠ICD ＝12∠ACB ＝30°，∴∠4＝∠ICD ，∴BI ＝IC .由(1)证得IE ＝BE ，∴BE ＝CE ＝BI ＝IC ，∴四边形BECI 是菱形．方法总结：解决本题要掌握三角形的内心的性质，以及圆周角定理．三、板书设计切线的判定及三角形的内切圆 1．切线的判定方法2．三角形的内切圆和内心的概念本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容，如动手操作“切线的判定定理的发现过程”，以及讲解例题时学生的参与，课堂练习的设计都体现了以教师为主导、学生为主体的教学原则.。

第三章圆6直线和圆的位置关系第2课时切线的判定及三角形的内切圆教学目标教学反思1.理解并掌握切线的判定定理,能够熟练运用切线的性质和判定解决有关的证明和计算.2.了解三角形的内切圆的有关概念及性质并能灵活应用.教学重难点重点：切线的判定定理,能够熟练运用切线的性质和判定解决有关的证明和计算.难点：三角形的内切圆的有关概念及性质并能灵活运用.教学过程导入新课直线和圆的位置关系的性质与判定：d＞r直线l和⊙O相离；d＝r直线l和⊙O相切；d＜r直线l和⊙O相交．上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，知道了直线和圆有三种位置关系，会判断直线和圆属于哪一种位置关系.判断直线和圆相切的方法有两种，但是否仅此两种呢?本节课我们就继续探索切线的判定条件．探究新知一、圆的切线的判定探究1 如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A顺时针旋转时, 圆心O到直线l的距离d如何变化？你能写出一个命题来表述这个事实吗?(1)随着∠α的变化，点O 到l 的距离d 如何变化?直线l 与⊙O 的位置关系如何变化?(2)当∠α等于多少度时，点O 到l 的距离d 等于半径r ?此时，直线l 与⊙O 有怎样的位置关系?为什么?在教学中，教师可以引导学生，拿笔当直线l ，让笔绕着点A 旋转．观察∠α发生变化时，点O 到l 的距离d 如何变化，然后互相交流意见．学生得到的结论：生1：如上图，直线l 1与AB 的夹角为α,点O 到l １的距离为d 1，d 1<r ，这时直线l 1与⊙O 的位置关系是相交；当把直线l 1沿顺时针方向旋转到l 位置时，∠α由锐角变为直角，点O 到l 的距离为d ，d =r ，这时直线l 与⊙O 的位置关系是相切：当把直线l 再继续旋转到l 2位置时，∠α由直角变为钝角，点O 到l 2的距离为d 2，d 2<r ，这时直线l 2与⊙O 的位置关系是相交． 生2：当∠α＝90°时，点O 到l 的距离d 等于半径．此时，直线l 与⊙O 的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O 到直线l 的距离d ＝r 时，直线与⊙O 相切．生3：这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．得出结论：定理 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ∵ AB 是⊙O 的直径,直线CD 经过A 点,且CD ⊥AB , ∴ CD 是⊙O 的切线.这个定理实际上就是教学反思d =r 直线和圆相切的另一种说法.例1.如图，AT 是⊙O 的直径，∠ABT =45°，AT ＝AB ． 求证：AB 是⊙O 的切线．分析：AB 经过直径的一端，因此只要证AT 垂直于AB 即可，而由已知条件可知AT ＝AB ，所以∠ABT ＝∠ATB .又由∠ABT ＝45°，所以∠ATB ＝45°.由三角形内角和可证∠TAB ＝90°，即AT ⊥AB ．证明：∵ AB =AT ，∠ABT ＝45°，∴ ∠ATB ＝∠ABT ＝45°． ∴ ∠TAB =180°-∠ABT -∠ATB ＝90°． ∴ AT ⊥AB ，即AT 是⊙O 的切线．例2.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，AC 交⊙O 于点P ，E 是BC 边上的中点，连接PE .求证：PE 与⊙O 相切．证明：连接OP ，BP （图略），则OP ＝OB ，∴ ∠OBP ＝∠OPB . ∵ AB 为直径，∴ ∠APB ＝90°，∴ BP ⊥AP .在Rt △BCP 中， ∵ E 为斜边BC 的中点，∴ PE ＝12BC ＝BE ，∴ ∠EBP ＝∠EPB ，∴ ∠OBP ＋∠PBE ＝∠OPB ＋∠EPB ，即∠OBE ＝∠OPE .∵ BC 与⊙O 相切于点B ，∴ AB ⊥BC ，∴ OP ⊥PE ，即PE 是⊙O 的切线．总结：一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．二、三角形的内切圆探究2 如图，在△ABC 中，作一个圆使它与这个三角形的三边都相切.教学反思分析：在△ABC中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切，即作以三角形内角平分线的交点为圆心，圆心到三角形三边的距离为半径的圆．解：(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如图所示)；(2)过点I作BC的垂线，垂足为D；(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆．思考：这样的圆可以作出几个呢?为什么?因为BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等,因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.做一做分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况.结论：内心均在三角形内部课堂练习1.如图，P为圆O外一点，OP交圆O于点A，且OA＝2AP．甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：甲：以点P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于点B，则直线PB即为所求；乙：作OP的中垂线，交圆O于点B，则直线PB即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确? ()A ．两人皆正确B ．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误，乙正确2.如图，圆O 是△ABC 的内切圆，分别切BA ，BC ，AC 于点E ，F ，D ，点P 在弧DE 上，如果∠EPF ＝70°，那么∠B ＝( )A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°3.如图，在△ABC 中，点O 是△ABC 的内心，（1）若∠ABC =50°，∠ACB =70°，则∠BOC 的度数是； （2）若∠A =80°，则∠BOC = ； （3）若∠BOC =110°，则∠A =.4.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，D 为AC ︵的中点，AC ，BD 相交于点E ，AP 交BD 的延长线于点P ，∠P AC ＝2∠CBD . 求证：AP 是⊙O 的切线．5.如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线与△ABC 的外接圆相交于点D .(1)若∠BAC ＝70°，求∠CBD 的度数； (2)求证：DE ＝DB .教学反思参考答案1.B2.A3.120° 130° 40°4.证明：∵ D 为AC ︵的中点，∴ ∠CBA ＝2∠CBD . 又∵ ∠P AC ＝2∠CBD ，∴ ∠CBA ＝∠P AC . ∵ AB 为⊙O 的直径，∴ ∠CAB ＋∠CBA ＝90°， ∴ ∠CAB ＋∠P AC ＝90°，即∠P AB ＝90°，∴ P A ⊥AB ，∴ AP 为⊙O 的切线． 5.(1)解：∵ 点E 是△ABC 的内心，∠BAC ＝70°， ∴ ∠CAD ＝12∠BAC ＝35°，∴ ∠CBD ＝∠CAD ＝35°.(2)证明：∵ 点E 是△ABC 的内心， ∴ ∠ABE ＝∠CBE ，∠BAD ＝∠CAD . ∵ ∠CBD ＝∠CAD ，∴ ∠CBD ＝∠BAD .∵ ∠BAD ＋∠ABE ＝∠BED ，∠CBE ＋∠CBD ＝∠DBE ， ∴ ∠DBE ＝∠BED ，∴ DE ＝DB .课堂小结（学生总结，老师点评） 1.圆的切线的判定定理. 2.三角形的内切圆.板书设计第三章 圆 6 直线和圆的位置关系第2课时 切线的判定及三角形的内切圆1.圆的切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2.三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.教学反思。