极坐标下二重积分的计算

高等数学：第三讲极坐标系下二重积分的计算

解：画出积分区域，极点在区域 D 的外部区域 D可表示为
D {(r, ) | 2 r 3, 0 2 }
因此Biblioteka ex2y2dxdy 2d
3 er2 rdr
D
0
2
y
2 r 3
4 x2 y2 9
O
x
0 2
例2
2 0
[
1 2
er2
] |32
d
2 ( 1 e9 1 e4 )d
D
o
i1 i
i
r ri1 r ri
x
极坐标系下计算二重积分
再由直角坐标与极坐标的关系
x r cos , y r sin
可得
D f ( x, y)dxdy D f ( x, y)d D f (r cos , r sin )rdrd
D
o
i1
i
r
ri 1
i
r ri
x
极坐标系下计算二重积分
因此
O
x
x2 y2dxdy
d
2sin
r rdr
D
0
0
例3
0
[
1 3
r
3
]
|2sin
0
d
8 sin3 d
30
32 9
y
x2 y2 2y
2 sin
•
0
O
x
谢谢
此时
D f (r cos , r sin )rdrd
r ( )
= d 0 f (r cos , r sin )rdr
r r( )
D
o x
例1
计算
D1
1 x2

利用极坐标系计算二重积分

π 2 π 2 a cos θ 0
f ( r , θ)dr ( a ≥ 0).
思考题解答
π π ≤θ≤ D: 2 2 , 0 ≤ r ≤ a cos θ
I = ∫ dr ∫
0 a r arccos a r arccos a
y
θ = arccos
D
r a r = a cosθ
a x
o
f ( r ,θ )dθ .
D
示为极坐标形式的二次积分为______________. 示为极坐标形式的二次积分为______________. 3 、将 ∫ dx ∫
0 2 3x x
x2
f ( x 2 + y 2 )dy 化为极坐标形式的二
次积分为______________________. 次积分为______________________. 4 、将 ∫ dx ∫
∫∫ e
D
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
).
例3
求广义积分∫0 e
2
∞
x2
dx .
2
解 D1 = {( x , y ) | x + y ≤ R }
2
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }
2 2 2
D1
D S2 D
二、利用极坐标系计算二重积分
∫∫ f ( x , y )dxdy
D
r = ri + ri
θ = θ i + θ i
ηi )xi yi
λ →0 i 1 = n

极坐标系下二重积分的计算

_,其值为_______________.
二、计算下列二重积分:
1、 ln(1 x 2 y 2 )d ,其中D 是由圆周x 2 y 2 1
D
及坐标轴所围成的在第一象限内的区域.
2、 ( x 2 y 2 )d 其中D 是由直线y x ,
D
y x a, y a, y 3a(a 0)所围成的区域.
D： , 0 r ( ).
f ( x, y)dxdy
D
r ( )
D
o
A
f (r cos , r sin )rdrd
D
d
0
(
)
f
(r cos ,
r sin ) r
dr.
3、区域特征如图
0 2 , 0 r ( ).
r ( )
D
f ( x, y)dxdy
D
o
A
f (r cos , r sin )rdrd
极坐标系下二重积分的计算
一、极坐标系下二重积分的一般公式
1、面积元素
d r drd . 或 dxdy r drd .
r ri ri r ri
2、一般公式
f ( x, y)dxdy
o
D
f (r cos , r sin )rdrd .
D
i i
i D
i A
二、极坐标系下二重积分化为累次积分的
例 4 计算 ( x2 y2 )dxdy。
D
x r cos
y
r
sin
其中 D 为由圆 x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直
线 x 3 y 0， y 3 x 0 所围的闭区域.
解： x 3 y 0
1
6
x2 y2 4 y r 4sin

利用极坐标系计算二重积分

利用极坐标系计算二重积分极坐标系是一种在平面上描述点的坐标系，其中每个点由一个极径（r）和一个极角（θ）确定。

在极坐标系中，点的坐标表示为（r，θ）。

二重积分是用于计算曲面下给定区域的体积、质量、质心等物理量的方法。

在极坐标系中，我们可以使用极坐标系下的二重积分来计算这些物理量。

考虑一个二元函数，f(x,y)，其中x和y是平面上的坐标。

将其转换为极坐标系下的函数，我们可以将其表示为f(r,θ)。

要计算在极坐标系下的二重积分，我们首先需要确定积分区域在极坐标系下的表示。

假设积分区域在直角坐标系下的表示为D，那么它在极坐标系下的表示为E。

在极坐标系下，积分的区域通常由两个角度（θ1和θ2）以及一个极径（r1和r2）确定。

我们可以将二重积分表示为：∬f(x, y)dxdy = ∬f(r, θ)rdrdθ其中，积分范围为r在r1和r2之间变化，θ在θ1和θ2之间变化。

在计算二重积分时，我们可以按照以下步骤进行：1.将被积函数f(x,y)转换为极坐标系下的函数f(r,θ)。

2.确定积分区域在极坐标系下的表示。

3.根据极坐标系的表示，设置积分范围。

4.计算积分。

例如，我们要计算二元函数f(x,y)=x^2+y^2在极坐标系下的二重积分，积分区域为单位圆，即D={(x,y)，x^2+y^2≤1}。

首先，将f(x,y)转换为极坐标系下的函数f(r,θ)=r^2接下来，确定积分区域在极坐标系下的表示。

在这个例子中，积分区域为圆心在原点，半径为1的圆。

因此，积分区域在极坐标系下的表示为E={(r,θ)，0≤r≤1,0≤θ≤2π}。

设置积分范围后，我们可以计算积分：∬f(r, θ)rdrdθ =∫[0, 2π] ∫[0, 1] r^2rdrdθ=∫[0,2π](1/3)r^4，0,1dθ=(1/3)∫[0,2π]dθ=(1/3)(θ，0,2π)=(1/3)(2π-0)=2π/3因此，二元函数f(x,y)=x^2+y^2在单位圆上的二重积分结果为2π/3以上是使用极坐标系计算二重积分的基本方法。

第二节利用极坐标计算二重积分

2 2 2
+∞
− x2
∫∫e
− x2 − y2
dxdy
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R ， ≥ 0，y ≥ 0}, x
S = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ R, 0 ≤ y ≤ R},
D1
dxdy .
R
D S2 D
R
∴ ∫∫ e
D1
显然有 D1 ⊂ S ⊂ D2 .
3. 二重积分在极坐标下的变换公式：变换公式： ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ . D D F(ρ，) θ θ的二次积分， 4. 计算方法：化为关于 ρ，的二次积分，计算方法： . 一般是先对 ρ，再对θ积分
特别：特别：
如果积分区域可表示为 D: ϕ1(θ)≤ρ≤ϕ2(θ), α≤θ≤β, 则 : ≤ ,
二、利用极坐标系计算二重积分
二重积分在直角坐标下的计算公式
(1)∫∫ f ( x，)dσ = ∫a dx∫ϕ ( x) f (x，)dy ( X型区域 ), y y
b
ϕ2 ( x)
1
(2)∫∫ f ( x，)dσ = ∫a dy∫ ( x) f ( x，)dx ( Y型区域 ). y y ψ
b D
D
极坐标下对 r的积分 .
解：
∫∫ f (
D
x + y )dxdy =
2 2
∫0
2π
dθ ∫0 f (r )rdr
1
1
= 2π ∫0 rf ( r )dr .
例7. 求I = ∫∫ e
D
max{ x 2， 2 } y

极坐标下二重积分的计算

极坐标下二重积分的计算极坐标是用角度和半径来描述平面上一个点的坐标的一种形式。

在极坐标中，每个点由一个非负的半径值r和与正x轴逆时针旋转的角度θ确定。

极坐标的转换关系与直角坐标系之间的关系是：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)在极坐标下，二重积分可以表示为：∬R f(x, y) dA = ∬D f(r * cos(θ), r * sin(θ)) * r dr dθ其中，R是平面上的一个区域，D是R在极坐标下的对应区域，f(x, y)代表函数值在点(x, y)处的取值，f(r * cos(θ), r * sin(θ))代表函数值在点(r * cos(θ), r * sin(θ))处的取值，dA代表面积微元元素，r和θ分别代表极坐标中的半径和角度。

二重积分的计算可以分为两步：首先计算内积分，然后计算外积分。

其中内积分是对r进行积分，外积分是对θ进行积分。

计算内积分时，需要确定r的取值范围。

这可以通过统计图形在极坐标下的特征来确定。

例如，在极坐标下，圆形的方程为r=a。

因此，内积分的下限通常是0，上限通常是一个与图形形状有关的函数表达式。

计算外积分时，需要确定θ的取值范围。

通常将θ的取值范围设置为[0,2π]，表示一个完整的圆。

对于一些特殊形状的图形，可以通过选取合适的极坐标变换简化计算。

例如，对于以坐标原点为中心的圆，可以通过令θ=0和θ=2π来简化计算。

在实际计算中，可以使用数值方法、计算机软件或者表格来计算极坐标下的二重积分。

计算机软件如Mathematica、MATLAB、Python中的SciPy库等都内置了对极坐标下的积分计算的支持。

总之，极坐标下的二重积分可以通过将直角坐标下的函数转换为极坐标下的函数，然后进行内积分和外积分来进行计算。

计算的具体方法可以根据问题的特点和形状选择不同的方式来求解。

经济数学在极坐标系下二重积分的计算

A
D
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
（4）区域如图4
0 2, 0 r ( ).
r ( ) D
o
A
f (r cos ,r sin )rdrd
D
图4
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数f(x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计算.
解由对称性，可只考虑第一象限部分，
D1
D 4D1
注意：被积函数也要有对称性.
sin( x2 y2 )
dxdy 4
sin( x2 y2 )
dxdy
D
x2 y2
D1
x2 y2
4
2 d
2 sin r
rdr 4.
0
1r
例 5 计算 ( x2 y2 )dxdy，其中 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
定r的上下限：
任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限．
具体地（如图）
（1）区域如图1
r 2()
,
r 1()
D
1( ) r 2( ).
o
A
f (r cos ,r sin )rdrd
图1
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
解根据对称性有 D 4D1
在极坐标系下
D1
x2 y2 a2 r a,
( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) r a 2cos2 ,

极坐标下的二重积分的计算

r
I
f ( x , y )d xdy
D
1. 极点不在区域 D 的内部
D: r1 ( ) r r2 ( )
步骤： B
r2 ( )
F
.
1 从D的图形找出 r, 上、下限；
2 化被积函数为极坐标形式； 3 面积元素dxdy化为rdrd
.
E
r1 ( )
D
A

0
x=y y = 2x
即

即 arctan
D
r = 8 cos
D2
解: D1 {( x , y ) | x 2 y 2 R 2 }
D2 {( x , y ) | x y 2 R }
2 2 2
S
D1
D S2 D
R
S {( x , y ) | 0 x R,0 y R}
2R
{ x 0, y 0}
显然有 D1 S D2
例1. 把 f ( x , y )dxdy 变为极坐标形式，
D
D : ( x a )2 y 2 a 2 与 y 0 围成的区域；
解: ( x a) y a
2 2 2
即 r acos ,
x rcosθ 令代入 y rsin θ
2 2
2
1
D
0
0
1 2 ( 2 ln 2 1)d ( 2 ln 2 1). 2 0
例4. 计算 sin x 2 y 2 dxdy，其中
D
D {( x , y ) | x y 4 };
2 2 2 2
解:

极坐标求二重积分公式

极坐标求二重积分公式极坐标是一种描述平面上点的坐标系，通过角度和距离来确定点的位置。

它在数学、物理和工程等领域具有重要的应用。

而在积分学中，极坐标下的二重积分是一种简化计算的方法，特别适用于具有旋转对称性的问题。

本文将深入探讨极坐标下的二重积分公式及其计算方法。

首先，我们需要了解极坐标系的定义。

在平面直角坐标系中，我们通常使用x轴和y轴来表示点的位置。

而在极坐标系中，我们用极径（r）和极角（θ）来表示点的位置。

极径是点到原点的距离，极角是从正半轴到点所在线段与x轴的夹角（逆时针方向为正）。

在极坐标系中，一个区域R可以用极角的两个边界θ1和θ2以及极径的两个边界r1和r2来描述。

这样，我们可以将R分割成许多小区域，每个小区域可以用一个极坐标点（r，θ）来表示。

我们可以利用这些小区域的面积来近似R的面积，并通过求和的方式得到二重积分的近似值。

现在我们来讨论二重积分的求解方法。

对于一个在极坐标系下的函数f(r,θ)，我们希望求解它在区域R内的二重积分。

根据极坐标下的面积元素公式，我们有dA = r dr dθ。

因此，函数f(r,θ)在区域R内的二重积分可以表示为：∬Rf(r,θ)dA = ∫∫Rf(r,θ)r dr dθ其中，∫∫R表示对区域R内的所有小区域进行求和，r和θ分别是小区域的极径和极角，f(r,θ)是函数在极坐标下的描述。

接下来，我们需要确定极径和极角的边界。

通常，极径的边界可以使用直角坐标系中的曲线来表示。

例如，如果给定了平面上的一个圆，我们可以将它的方程转换为极坐标系下的方程。

极角的边界则由问题的旋转对称性来确定。

常见的极角边界有：1.对称边界：如果函数f(r,θ)在极角的范围内具有对称性，我们可以只计算一部分区域的二重积分，然后乘以2来得到整个区域的积分结果。

2.旋转边界：如果我们需要计算一个以极轴为对称轴的旋转体的体积，可以将f(r,θ)表示为极坐标下的函数，然后将极角范围限定在一个完整的圆周上。

二重积分的极坐标计算方法

f (x, y)d f (r cos, r sin ) r drd
D
D
3. 平面曲线与平面区域在极坐标系下的表示形式
平面曲线的极坐标方程：r g( ) , 其中 g 为已知函数。
直角坐标曲线方程转换为极坐标曲线方程：
转换x , y
y f (x) r sin f (r cos )
1 0
r dr 1 r2
1 2
ln(1
r
2
)
1 0
ln 2
2
;
2
I2
D
xy
区域关于 x 轴对称
d
1 x2 y2
被积函数对于 y 是奇函数
0
；
I
D
1
1 x2
xy
y
2
d
I1 I2
2
ln 2
.
求 [ x2 y2 y] d , 其中 D 是由圆 x2 y2 4
D
和 (x 1)2 y2 1 所围成的平面区域 (2004 年考研试题）
例计算二重积分 ydxdy，其中 D 是由曲线 x 2y y2
D
和直线 x = -2 , x 轴， y = 2 围成的区域。（1999年考研数学试题）
2
D D1 1
-2
解：区域 D 如图所示.
记 D1 { (r, )
2
, 0 r 2sin }
易见，D D1 { (x, y) 2 x 0 , 0 y 2 }
D { (r, ) ，0 r 4cos }
2
2
0.5
0.4
0.3 0.2
D
0.1
直径为 1，圆心在点 ( 1 ，0) 2
处的右偏心圆上半部

15二重积分计算(极坐标与换元法)

高等数学（下）主讲杨益民
二、利用极坐标计算二重积分 1.公式: 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数及射线 =常数, 分划区域D 为
y
k k
k
k (k 1, 2,
, n)
o
r rk
k
x
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
2 2 1 k 1 ( r r ) r k k 2 k 2 k k
dxdy
sin r 4 d rdr 4 0 1 r
2
2018年5月16日星期三
9
高等数学（下）主讲杨益民
例 12 求曲线 ( x y ) 2a ( x y ) 和 x 2 y 2 a 2
2 2 2 2 2 2
所围成的图形的面积。
解：根据对称性有 D 4 D1
x r cos 解: 在极坐标系下 y r sin
所以圆方程为 r 1,
x2 y2 1
1 直线方程为 r , sin cos
x y 1
f ( x, y )dxdy
D
2018年5月16日星期三

2
0
d
1
1 sin cos
解：D : 0 r 2 a cos , 0 由对称性可知
2
x2 y2 z 2 4 a2
V 4
D
4 a 2 r 2 r d r d
x2 y2 2 a x z 0
2018年5月16日星期三
7
高等数学（下）主讲杨益民
例 10 计算
D
o
d
0
2018年5月16日星期三

极坐标系下的二重积分计算

二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
及射线 =常数, 分划区域D 为
k (k 1, 2, , n)
o
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
k k
k
k
r rk x
k
1 2
(rk
rk )2 k
1 2
rk
2
k
rk k
rk rk k
在 k 内取点(rk ,k ), 对应有
解
y
3x
0
2
3
x2 y2 4 y r 4sin
x
3y
0
1
6
x2 y2 2 y r 2sin
( x2 y2 )dxdy
3 d
r 4sin 2 rdr 15(
3).
D
6
2sin
2
前页后页返回
例 5 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
D
x2 y2
例7. 求球体
被圆柱面 x2 y2 2 ax
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设 D : 0 r 2 a cos , 0
2
z
由对称性可知
V 4 D 4 a2 r 2 r d r d
o
y
2 acos 0
4a2 r2 rdr
2a
x
32 a3( 2 )
3 23
前页后页返回
设
D
:
1
( )
r
2
(
),
则
r 2 ( )
D
f (r cos , r sin )r d r d
D
d
2 ( )

二重积分的变换.

D
02
d
( )
0
f
(r cos ,
r sin ) r
dr.
极坐标系下区域的面积 rdrd .
D
例1 将 f ( x, y) d 化为在极坐标系下的二次积分。
D
y
1）
2
x2 y2 4
D
o
2x
2）
2
y
2
x2 y2 4
D
o
2x
3）
2
y
2
x2 y2 4 4）
y
x2 y2 4x
D
o
D 可表示为
0 , 0 r 2.
2
f ( x, y) d
D
f (r cos , r sin ) r drd
D
0
d
2
0
f
(r
cos
,
r sin ) r
dr.
y
2
x2 y2 4
D
o
2x
r2 o 2A
3）在极坐标系中，闭区域 D 可表示为
0 2 , 0 r 2. 2
f ( x, y) d
极坐标系下二重积分的计算
一、极坐标系下二重积分的一般公式
1、面积元素
d r drd . 或 dxdy r drd .
r ri ri r ri
2、一般公式
f ( x, y)dxdy
o
D
f (r cos , r sin )rdrd .
D
i i
i D
i A
二、极坐标系下二重积分化为累次积分的
4
即( ex2dx)2 ,
0
4
所求广义积分
ex2 dx

二重积分在极坐标系下的计算

R
2R
{ x ≥ 0, y ≥ 0}
显然 D1 ⊂ S ⊂ D2
因为 e
所以
− x2 − y2
> 0,
− x2 − y2
∫∫ e D
1
− x2 − y2
dxdy ≤ ∫∫ e
S
dxdy ≤ ∫∫ e
D2
− x2 − y2
dxdy .
又因为 I = ∫∫ e
S
R
− x2 − y2
d xd y
R − y2
计算方法——化为二次积分化为二次积分计算方法
D : ρ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ρ 2 (θ ), α ≤ θ ≤ β
其中ρ1 (θ ), ρ 2 (θ ) ∈ C [α , β ], 0 ≤ ρ1 (θ ) ≤ ρ 2 (θ ), 0 ≤ β − α ≤ 2 π.
ρ = ρ2(θ)
D
ρ = ρ1(θ) β α
所围成的图形的面积 .
解
根据对称性 S D = 4 S D1 . ( x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) ⇒ ρ = a 2 cos 2θ
x2 + y2 = a2 ⇒ ρ = a
D1
ρ = a 2 cos 2θ π 得交点 (a , ). 6 ρ = a
S = ∫∫ dxdy = 4 ∫∫ dxdy
θ + dθ
ρdθ
dρ
θ
∆σ ≈ ρdρdθ
ρ ρ + dρ
ρ
dxdy = ρdρdθ
x = ρ cosθ y = ρ sinθ
θ + dθ
二重积分的变量从直角坐标到极坐标的变换公式

极坐标系下二重积分的计算

所以圆方程为 r 1 ,
直线方程为 rs i n 1 c o,s
x2 y2 1 xy1
f(x, y)dxdyf(rco,srsin)rdrd
D
D
0 2d1 sAi 1 n c ofs(rco,rsi)n rd .11 r
例 3计算 e x2y2dx， d 其中 yD是由中心在原点，
A
16
I1II2,
( 1 e R 2 ) (R e x 2 d ) 2 x ( 1 e 2 R 2 );
4
0
4
当 R 时 , I1
4
,
I2
4
,
故当 R 时 ,I ,
4
即( ex2dx)2 ,
0
4
所求广义积分ex2dx
.
0
2
A
17
例 6 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
ex2y2dxdy ex2y2dxdy ex2y2dxd.y
D1
S
D2
A
15
又 Ie x 2 y 2 dxdy
S
Rex2dxRey2dy( Rex2dx)2;
0
0
0
I 1 e x 2 y 2 dxdy
D 1
2d
Rer2rdr
(1eR2
);
00
4
同理 I2 D 2e x 2 y 2 dx 4(d 1ey 2R2 );
D
y 1） 2 x2y24
D o 2x
2）
2
y
2
x2y2 4
D o 2x
3）
2
y
2
x2y24 4）

极坐标系下二重积分的计算

的三种情形
r 1( )
r 2( )
1、区域特征如图
D
,
D：
1( ) r 2( ).
f ( x, y)dxdy
D
o r 1( )
A
DD r 2( )
f (r cos , r sin )rdrd
D
o
A
d 2( )
1( )
f (r cos ,
r sin ) r
dr.
2、区域特征如图
2
2
d
15(
4
3 8
).
r 4sin
r 2sin
3
6
例 5 求广义积分 ex2dx. 0
解： D1 {( x, y) | x2 y2 R2 }
D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {( x, y) | 0 x R,0 y R}
R 2R
极坐标系下二重积分的计算
一、极坐标系下二重积分的一般公式
1、面积元素
d r drd . 或 dxdy r drd .
r ri ri r ri
2、一般公式
f ( x, y)dxdy
o
D
f (r cos , r sin )rdrd .
D
i i
i D
i A
二、极坐标系下二重积分化为累次积分的
D
2 2
d
4 cos
0
f (r cos ,
r sin ) r
dr.
r 4cos
2
2
o
2A
例 2 写出积分 f ( x, y)dxdy 的极坐标二次积分形式，
D

在极坐标系下二重积分的计算

第九节在极坐标系下二重积分的计算根据微元法可得到极坐标系下的面积微元θσr d r dd = 注意到直角坐标与极坐标之间的转换关系为,c o s θr x = ,sin θr y =从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式为⎰⎰⎰⎰=D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ)sin ,cos (),( (9.1)内容分布图示★ 利用极坐标系计算二重积分★ 二重积分化为二次积分的公式★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 例7 ★ 例8★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-9★ 返回内容提要：一、二重积分的计算1．如果积分区域D 介于两条射线βθαθ==,之间，而对D 内任一点),(θr ，其极径总是介于曲线)(),(21θϕθϕ==r r 之间（图6-9-2），则区域D 的积分限).()(,21θϕθϕβθα≤≤≤≤r于是 ⎰⎰⎰⎰=D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ)sin ,cos (),( .)sin ,cos ()()(21⎰⎰=θϕθϕβαθθθrdr r r f d (9.2)具体计算时，内层积分的上、下限可按如下方式确定：从极点出发在区间),(βα上任意作一条极角为θ的射线穿透区域D （图6-9-2），则进入点与穿出点的极径)(),(21θϕθϕ就分别为内层积分的下限与上限.2．如果积分区域D 是如图6-9-3所示的曲边扇形，则可以把它看作是第一种情形中当)()(,0)(21θϕθϕθϕ==的特例，此时，区域D 的积分限).(0,θϕβθα≤≤≤≤r 于是.)sin ,cos (),()(0⎰⎰⎰⎰=θϕβαθθθrdr r r f d dxdy y x f D (9.3)3．如果积分区域D 如图6-9-4所示，极点位于D 的内部，则可以把它看作是第二种情形中当πβα2,0==的特例，此时，区域D 的积分限).(0,20θϕπθ≤≤≤≤r于是.)sin ,cos (),()(020⎰⎰⎰⎰=θϕπθθθrdr r r f d dxdy y x f D (9.4)注：根据二重积分的性质3，闭区域D 的面积σ在极坐标系下可表示为⎰⎰⎰⎰==DD rdrd d θσσ (9.5) 如果区域D 如图6-9-3所示，则有⎰⎰⎰⎰⎰===βαθϕβαθθϕθθσd rdr d rdrd D )(21)(0 (9.6) 例题选讲：例1（讲义例1）计算⎰⎰++D yx dxdy 221，其中D 是由122≤+y x 所确定的圆域. 例2（讲义例2）计算⎰⎰++D dxdy y x y x 2222)sin(π, 其中积分区域D 是由4122≤+≤y x 所确定的圆环域.例3（讲义例3）计算⎰⎰D dxdy x y 22, 其中D 是由曲线x y x 222=+所围成的平面区域. 例4（讲义例4）写出在极坐标系下二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(的二次积分，其中区域}.10,11|),{(2≤≤-≤≤-=x x y x y x D 例5 计算dxdy y x D)(22+⎰⎰,其中D 为由圆y y x y y x 4,22222=+=+及直线03=-y x , 03=-x y 所围成的平面闭区域.例 6 将二重积分σd y x f D⎰⎰),(化为极坐标形式的二次积分,其中D 是曲线,222a y x =+ 42222a y a x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-及直线0=+y x 所围成上半平面的区域.例7（讲义例5）求曲线)(2)(222222y x a y x -=+和a y x ≥+22所围成区域D 的面积.例8（讲义例6）求球体22224a z y x ≤++被圆柱面ax y x 222=+)0(>a 所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积（图6-9-9）.课堂练习1.计算⎰⎰--D y x dxdy e22, 其中D 是由中心在原点, 半径为a 的圆周所围成的闭区域.2.计算,|2|22⎰⎰-+D d y x σ 其中3:22≤+y x D .。

极坐标下二重积分的计算

合集下载

高等数学：第三讲极坐标系下二重积分的计算

利用极坐标系计算二重积分

极坐标系下二重积分的计算

利用极坐标系计算二重积分

第二节利用极坐标计算二重积分

极坐标下二重积分的计算

经济数学在极坐标系下二重积分的计算

极坐标下的二重积分的计算

极坐标求二重积分公式

二重积分的极坐标计算方法

15二重积分计算(极坐标与换元法)

极坐标系下的二重积分计算

二重积分的变换.

二重积分在极坐标系下的计算

极坐标系下二重积分的计算

极坐标系下二重积分的计算

在极坐标系下二重积分的计算

文档推荐

最新文档

极坐标下二重积分的计算

合集下载

高等数学：第三讲 极坐标系下二重积分的计算

利用极坐标系计算二重积分

极坐标系下二重积分的计算

利用极坐标系计算二重积分

第二节利用极坐标计算二重积分

极坐标下二重积分的计算

经济数学在极坐标系下二重积分的计算

极坐标下的二重积分的计算

极坐标求二重积分公式

二重积分的极坐标计算方法

15二重积分计算(极坐标与换元法)

极坐标系下的二重积分计算

二重积分的变换.

二重积分在极坐标系下的计算

极坐标系下二重积分的计算

极坐标系下二重积分的计算

在极坐标系下二重积分的计算

文档推荐

最新文档

高等数学：第三讲极坐标系下二重积分的计算