[精品]2014-2015年河北省衡水中学高一下学期期末数学试卷及解析答案word版(文科)

2014-2015学年河北省衡水中学高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．圆C1：（x﹣1）2+y2=1与圆C2：x2+（y﹣2）2=4的位置关系是（）A．相交B．相离C．外切D．内切2．若圆关于直线l：ax+4y﹣6=0对称，则直线l的斜率是（）A．6 B．C．D．3．直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或04．过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB=6，BC=8，AC=10，则球的表面积是（）A．100πB．300πC．π D．π5．某几何体的三视图如图所示（网格中的小正方形边长为1），则该几何体的表面积为（）A．6+2B．4+4C．2+4+2D．4+26．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．过原点且倾斜角为60°的直线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为（）A．B．2 C．D．9．已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A．B．C．3 D．410．设a，b，c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直11．圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．曲线C1：x2+（y﹣4）2=1，曲线C2：x2=2y，EF是曲线C1的任意一条直径，P是曲线C2上任一点，则•的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．.13．某几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积为．14．已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积=．15．圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为．16．过点P（4，2）作圆O：x2+y2=42的弦AB，设弦AB的中点为M，令M的坐标为（x，y），则x和y 满足的关系式为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，17．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，．（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S=4，求b、c的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD 的中点，PA=2AB=2（1）若F为PC的中点，求证：EF⊥平面PAC；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积V．19．已知两点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣3）．（Ⅰ）求过A、B两点的直线方程；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线l的直线方程；（Ⅲ）若圆C经过A、B两点且圆心在直线x﹣y+1=0上，求圆C的方程．20．已知动点A（x，y）到点（8，0）的距离定于A到点（2，0）的距离的2倍．（1）求动点A的轨迹C的方程；（2）若直线y=kx﹣5与轨迹C没有公共点，求k的取值范围；（3）求直线x+y﹣4=0被轨迹C截得的弦长．21．已知圆C的圆心为原点O，且与直线相切．（1）求圆C的方程；（2）点P在直线x=8上，过P点引圆C的两条切线PA、PB，切点为A、B，试问，直线AB是否过定点，若过定点，请求出；若不过定点，请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．2014-2015学年河北省衡水中学高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，1．圆C1：（x﹣1）2+y2=1与圆C2：x2+（y﹣2）2=4的位置关系是（）A．相交B．相离C．外切D．内切【分析】根据两圆的标准方程求出这两个圆的圆心和半径，求出圆心距，再根据两圆的圆心距C1C2与半径和与差的关系，得出结论．【解答】解：已知圆C1：（x﹣1）2+y2=1；圆C2：x2+（y﹣2）2=4，则圆C1（1，0），C2（0，2），r2=2两圆的圆心距C1C2==，由，故两圆相交，故选：A．【点评】本题主要考查圆的标准方程，两圆的位置关系的判定方法，属于中档题．2．若圆关于直线l：ax+4y﹣6=0对称，则直线l的斜率是（）A．6 B．C．D．【分析】由题意可知直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即可得到a的值，然后求出直线的斜率．【解答】解：圆关于直线l：ax+4y﹣6=0对称，则直线通过圆心（3，﹣3），故3a﹣12﹣6=0，∴a=6，∴直线l的斜率k=﹣，故选：C．【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查对称知识、计算能力．3．直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或0【分析】当a=0时，检验两直线是否平行，当a≠0时，由一次项系数之比相等但不等于常数项之比，求出a的值．【解答】解：当a=0时，两直线平行；当a≠0时，由，得a=，综合可得，a=或0，故选B．【点评】本题考查两直线平行的性质，体现了分类讨论的数学思想．4．过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB=6，BC=8，AC=10，则球的表面积是（）A．100πB．300πC．π D．π【分析】根据边长知△ABC是RT△，则球心的身影为斜边的中点，再由勾股定理求得．【解答】解：根据题意△ABC是RT△，且斜边上的中线为5，又∵球心的射影为斜边的中点，设球的半径为r，则有∴∴故选D．【点评】本题主要考查直角三角形中线定理及球的基本性质．5．某几何体的三视图如图所示（网格中的小正方形边长为1），则该几何体的表面积为（）A．6+2B．4+4C．2+4+2D．4+2【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征是什么，由此求出表面积．【解答】解：由三视图知，该几何体是一个三棱锥，该三棱锥中，侧棱PA⊥底面ABC，底面△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，如图所示；∴S△PAB=•AB•PB=×2×2=2S△ABC=•AB•AC=×2×2=2S△PBC=•PB•BC=×2×=2S△PAC=•PA•AC=××2=2∴的表面积是S=S△PAB+S△ABC+S△PBC+S△PAC=2+2+2+2=4+4，故选：B．【点评】本题考查了几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．6．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α【分析】由题意知，用平行和垂直的定理进行判断，对简单的可在长方体中找反例．【解答】解：A错，平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面；B错，必须平面内有两条相交直线分别与平面平行，此时两平面才平行；C错，两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直；D对，由α⊥β，在α内作交线的垂线c，则c⊥β，因m⊥β，m⊄α，所以m∥α．故选D．【点评】本题为基础题，考查了空间线面的平行和垂直关系，借助具体的事物培养空间想象力．7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由异面直线所成的角的定义，先作出这个异面直线所成的角的平面角，即连接B1C，再证明∠AB1C 就是异面直线AB1与A1D所成的角，最后在△AB1C中计算此角的余弦值即可．【解答】解：如图连接C1D，则C1D∥AB1，∴∠BC1D就是异面直线AB1与BC1所成的角．AB=BC=2，AA1=1，在△BC1D中，BD=，BC1=DC1=，∴cosBC1D==．∴异面直线AB1与A1D所成的角的余弦值为：．故选：A．【点评】本题考查了异面直线所成的角的定义和求法，先作再证后计算，将空间角转化为平面角的思想．8．过原点且倾斜角为60°的直线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为（）A．B．2 C．D．【分析】由题意求出直线方程，再把圆的方程化为一般式，求出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理即可求出截得的弦长．【解答】解：∵直线过原点且倾斜角为60°，∴直线的方程为：y=x，即x﹣y=0，由（x﹣2）2+y2=4，得圆心（2，0），且r=2，∵圆心（2，0）到直线x﹣y=0的距离d==，∴直线被圆截得的弦长为2=2，故选：B．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，以及勾股定理，熟练运用垂径定理及勾股定理是解本题的关键．9．已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A．B．C．3 D．4【分析】由题意易得线段AB的方程为，（x≥0，y≥0），由基本不等式可得．【解答】解：由题意可得直线AB的方程为，∴线段AB的方程为，（x≥0，y≥0）∴1=≥2，∴xy≤3，当且仅当即x=且y=2时取等号，xy有最大值3，故选：C．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及直线的截距式方程，属基础题．10．设a，b，c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直【分析】要寻求直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系，只要先求两直线的斜率，然后由斜率的关系判断直线的位置即可．【解答】解：由题意可得直线sinA•x+ay+c=0的斜率，bx﹣sinB•y+sinC=0的斜率∵k1k2===﹣1则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0垂直故选C．【点评】本题主要考察了两直线的位置关系中的垂直关系的判断，主要是通过直线的斜率关系进行判断，解题中要注意正弦定理的应用．11．圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和比较，可得结果．【解答】解：圆x2+2x+y2+4y﹣3=0的圆心（﹣1，﹣2），半径是2，圆心到直线x+y+1=0的距离是，故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为的共有3个．故答案为：3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合的思想，是中档题．12．曲线C1：x2+（y﹣4）2=1，曲线C2：x2=2y，EF是曲线C1的任意一条直径，P是曲线C2上任一点，则•的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】①当EF的斜率不存在时，对于曲线C1：x2+（y﹣4）2=1，令x=0，解得点E，F的坐标．设P，利用及二次函数的单调性即可得出．②当EF的斜率存在时，设直线EF的斜率为k，则方程为y=kx+4．与圆的方程联立解得点E，F的坐标．设P，即可得出，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：①当EF的斜率不存在时，对于曲线C1：x2+（y﹣4）2=1，令x=0，得（y﹣4）2=1，解得y=3或5．取E（0，3），F（0，5），设P，则===≥6，当且仅当m2=6，即m=时取等号．此时P．②当EF的斜率存在时，设直线EF的斜率为k，则方程为y=kx+4．联立，化为，取E，F．设P．则=•=+=≥6．当且仅当m2=6，即m=时取等号．此时P．综上可知：•的最小值为6．故选B．【点评】本题考查了直线与圆相交转化为方程联立得到方程组、抛物线的标准方程、分类讨论、向量的数量积运算、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．.13．某几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积为8．【分析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥，画出其直观图，判断几何体的高，底面梯形的底边长和高，代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图可知该几何体是一个四棱锥如图，由正视图知三棱锥的高为2，由俯视图与侧视图知底面为直角梯形，且直角梯形的高为4，上、下底边长分别为2、4．∴其体积V=××4×2=8．故答案是8．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量．14．已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积=．【分析】判断点A在圆上，用点斜式写出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，从而求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：由题意知，点A在圆上，切线斜率为==﹣，用点斜式可直接求出切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即x+2y﹣5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以，所求面积为．【点评】本题考查求圆的切线方程的方法，以及求直线与坐标轴围成的三角形的面积．15．圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．【分析】由圆心在直线x﹣2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，∵圆C截x轴所得弦的长为2，∴t2+3=4t2，∴t=±1，∵圆C与y轴的正半轴相切，∴t=﹣1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．【点评】此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．16．过点P（4，2）作圆O：x2+y2=42的弦AB，设弦AB的中点为M，令M的坐标为（x，y），则x和y 满足的关系式为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【分析】由题意，P在圆O内，弦AB的中点为M，可得OM⊥AB，M的轨迹是以OP为直径的圆，即可得出结论．【解答】解：由题意，P在圆O内，∵弦AB的中点为M，∴OM⊥AB，∴M的轨迹是以OP为直径的圆，方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，．（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S=4，求b、c的值．【分析】本题考查的知识点是正弦定理与余弦定理，（1）由，我们易求出B的正弦值，再结合a=2，b=4，由正弦定理易求sinA的值；（2）由△ABC的面积S=4，我们可以求出c值，再由余弦定理可求出b值．【解答】解：（I）∵（2分）由正弦定理得．∴．（5分）（II）∵，∴．∴c=5（7分）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，∴（10分）【点评】在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．而余弦定理在使用时一般要求两边有平方和的形式．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD 的中点，PA=2AB=2（1）若F为PC的中点，求证：EF⊥平面PAC；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积V．【分析】（1）先证CD⊥平面PAC，由三角形中位线的性质得EF∥CD，得到EF⊥平面PAC；（2）把四边形面积分成2个直角三角形面积之和，代入棱锥体积公式进行计算．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．又AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．∵E、F分别为PD、PC中点，∴EF∥CD，∴EF⊥平面PAC；（2）解：在Rt△BAC中，∠ABC═90°，∠BAC=60°，AB=1，∴BC=，AC=2；在Rt△DAC中，∠ACD═90°，∠CAD=60°，AC=2，∴CD=2，AD=4；故底面ABCD的面积为S=×1×+×2×2=∴V P﹣ABCD=×S×PA=××2=．【点评】本题考查用分割法求出棱锥的底面积，直线与平面垂直的判定，考查了学生的空间想象力及计算能力，属于中档题．19．已知两点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣3）．（Ⅰ）求过A、B两点的直线方程；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线l的直线方程；（Ⅲ）若圆C经过A、B两点且圆心在直线x﹣y+1=0上，求圆C的方程．【分析】（Ⅰ）求出斜率，利用点斜式求过A、B两点的直线方程；（Ⅱ）求出线段AB的中点坐标，即可求线段AB的垂直平分线l的直线方程；（Ⅲ）圆C经过A、B两点且圆心在直线x﹣y+1=0上，利用待定系数法求圆C的方程．【解答】解：（I）∵点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣3），∴k AB==1，∴过A、B两点的直线方程为y+1=x﹣1，即x﹣y﹣2=0…（4分）（II）线段AB的中点坐标（0．﹣2），k AB=1，则所求直线的斜率为﹣1，故所求的直线方程是x+y+2=0…（8分）（III）设所求圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0由题意可知，解得D=3，E=1，F=﹣4所求的圆的方程是x2+y2+3x+y﹣4=0．…（14分）【点评】本题考查直线与圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础．20．已知动点A（x，y）到点（8，0）的距离定于A到点（2，0）的距离的2倍．（1）求动点A的轨迹C的方程；（2）若直线y=kx﹣5与轨迹C没有公共点，求k的取值范围；（3）求直线x+y﹣4=0被轨迹C截得的弦长．【分析】（1）利用动点A（x，y）到点（8，0）的距离定于A到点（2，0）的距离的2倍，建立方程，化简，可得动点A的轨迹C的方程；（2）直线y=kx﹣5与x2+y2=16联立，直线y=kx﹣5与轨迹C没有公共点，△=100k2﹣36（1+k2）＜0，即可求k的取值范围；（3）求出圆心（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离，即可求直线x+y﹣4=0被轨迹C截得的弦长．【解答】解：（1）∵动点A（x，y）到点（8，0）的距离定于A到点（2，0）的距离的2倍，∴=2，∴x2+y2=16；（2）直线y=kx﹣5与x2+y2=16联立，可得（1+k2）x2﹣10kx+9=0，∵直线y=kx﹣5与轨迹C没有公共点，∴△=100k2﹣36（1+k2）＜0，∴﹣＜k＜；（3）圆心（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离为2，∴直线x+y﹣4=0被轨迹C截得的弦长为2=4．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，确定轨迹方程是关键．21．已知圆C的圆心为原点O，且与直线相切．（1）求圆C的方程；（2）点P在直线x=8上，过P点引圆C的两条切线PA、PB，切点为A、B，试问，直线AB是否过定点，若过定点，请求出；若不过定点，请说明理由．【分析】（1）由圆C与直线相切，得到圆心到直线的距离d=r，故利用点到直线的距离公式求出d的值，即为圆C的半径，又圆心为原点，写出圆C的方程即可；（2）由PA，PB为圆O的两条切线，根据切线的性质得到OA与AP垂直，OB与PB垂直，根据90°圆周角所对的弦为直径可得A，B在以OP为直径的圆上，设出P的坐标为（8，b），由P和O的坐标，利用线段中点坐标公式求出OP中点坐标，即为以OP为直径的圆的圆心坐标，利用两点间的距离公式求出OP的长，即为半径，写出以OP为直径的圆方程，整理后，由AB为两圆的公共弦，两圆方程相减消去平方项，得到弦AB所在直线的方程，可得出此直线方程过（3，0），得证．【解答】解：（1）依题意得：圆心（0，0）到直线的距离d=r，∴r=d==2，﹣﹣﹣（2分）∴圆C的方程为x2+y2=24①；﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）连接OA，OB，∵PA，PB是圆C的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴A，B在以OP为直径的圆上，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）设点P的坐标为（8，b），b∈R，则线段OP的中点坐标为（4，），﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴以OP为直径的圆方程为（x﹣4）+（y﹣）2=16+，②﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵AB为两圆的公共弦，∴①﹣②得：直线AB的方程为8x+by=24，b∈R，即8（x﹣3）+by=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）则直线AB恒过定点（3，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，切线的性质，圆周角定理，线段中点坐标公式，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两圆公共弦的性质，以及恒过定点的直线方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，即d=r，熟练掌握此性质是解本题第一问的关键．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．【解答】解：（1）联立得：，解得：，∴圆心C（3，2）．若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，解得：k=0或k=﹣，则所求切线为y=3或y=﹣x+3；（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．。

2015-2016学年河北省衡水中学高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大題共12小题，每小题5分，共60分．在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．232．（5分）过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=03．（5分）过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A．y=B．y=﹣C．D．4．（5分）由直线y=x+1上的一点向圆x2﹣6x+y2+8=0引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B．2 C．D．35．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（）A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定8．（5分）数列{a n}中，，且a1=2，则a n等于（）A．B．C．D．9．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=6，则该球的体积为（）A．16πB．32πC．48πD．64π10．（5分）设数列{a n}满足：a1=1，a2=3，且2na n=（n﹣1）a n﹣1+（n+1）a n+1，则a20的值是（）A．4B．4C．4D．411．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．112 B．80 C．72 D．6412．（5分）过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作直线L，使L与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线L可以作（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为．14．（5分）m，n，l表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，下列命题中①若m，n与l都垂直，则m∥n；②若m∥α，m∥n，则n∥α；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）15．（5分）已知⊙O：x2+y2=1．若直线y=kx+2上总存在点P，使得过点P的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是．16．（5分）在直角三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠BAC=，AC=4，AA1=4，M为AA1中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC，则PQ的长度为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应该写出必要的文宇说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0（1）设直线l与圆C交于A、B两点，若|AB|=，求直线l的倾斜角；（2）求证：对m∈R，直线l与圆C恒有两个交点．18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对一切正整数n，点P n（n，S n）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，且过点P n（n，S n）的切线的斜率为k n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设Q={x|x=k n，n∈N*}，R={x|x=2a n，n∈N*}，等差数列{c n}的任一项c n∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，110＜c10＜115，求{c n}的通项公式．20．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（1）求证：平面FBC⊥平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．21．（12分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．22．（12分）已知圆x2+y2=25，△ABC内接于此圆，A点的坐标（3，4），O为坐标原点．（1）若△ABC的重心是，求直线BC的方程；（三角形重心是三角形三条中线的交点，并且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍）（2）若直线AB与直线AC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．2015-2016学年河北省衡水中学高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大題共12小题，每小题5分，共60分．在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．故选：C．2．（5分）过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【解答】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于﹣，由点斜式求得所求直线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣5=0，故选：A．3．（5分）过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A．y=B．y=﹣C．D．【解答】解：如图，圆方程为（x+2）2+y2=12，圆心为A（﹣2，0），半径为1，．故选：C．4．（5分）由直线y=x+1上的一点向圆x2﹣6x+y2+8=0引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B．2 C．D．3【解答】解：圆x2﹣6x+y2+8=0⇒（x﹣3）2+y2=1的圆心C（3，0），半径r=1，∵半径一定，∴切线最短则圆心和点的距离最小，则此时就是C到x﹣y+1=0的距离d==2，由勾股定理切线长最小值为：=．故选：C．5．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z 轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故选：D．6．（5分）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=，ME==，所以BD=2BE=2=2，又AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积S=AC•BD=×2×2=10．故选：B．7．（5分）已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（）A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定【解答】解：因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），从而﹣+3=0，即m=6．故选：C．8．（5分）数列{a n}中，，且a1=2，则a n等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴即∴数列{}是首项为，公差为3的等差数列则=+（n﹣1）×3=3n﹣=∴a n=故选：B．9．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=6，则该球的体积为（）A．16πB．32πC．48πD．64π【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、P扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，PA=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，∴AB=3，∴AE==．AO==2．所求球的体积为：（2）3=32π．故选：B．10．（5分）设数列{a n}满足：a1=1，a2=3，且2na n=（n﹣1）a n﹣1+（n+1）a n+1，则a20的值是（）A．4B．4C．4D．4【解答】解：令b n=na n，则由2na n=（n﹣1）a n﹣1+（n+1）a n+1，得2b n=b n﹣1+b n+1，∴数列{b n}构成以1为首项，以2a2﹣a1=5为公差的等差数列，则b n=1+5（n﹣1）=5n﹣4，即na n=5n﹣4，∴，则．故选：D．11．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．112 B．80 C．72 D．64【解答】解：由三视图可知，此几何体是由一个棱柱和一个棱锥构成的组合体，棱柱的体积为4×4×4=64；棱锥的体积为×4×4×3=16；则此几何体的体积为80；故选：B．12．（5分）过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作直线L，使L与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线L可以作（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为x+2y﹣5=0．【解答】解：由题意可得OP和切线垂直，故切线的斜率为﹣==﹣，故切线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+2y﹣5=0，故答案为：x+2y﹣5=0．14．（5分）m，n，l表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，下列命题中①若m，n与l都垂直，则m∥n；②若m∥α，m∥n，则n∥α；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β其中正确的命题是③．（写出所有正确命题的序号）【解答】解：m，n，l表示不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，对于①，∵若m⊥l，n⊥l，则m与n平行，相交或异面，故①错误；对于②，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故②不正确；对于③，由于n∥β且α∥β可得出n⊂α或n∥α，又m⊥α可得出m⊥n，故若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n，故③正确；④α⊥γ，β⊥γ，如图：显然此时α与β相交，故④错误．故答案为：③．15．（5分）已知⊙O：x2+y2=1．若直线y=kx+2上总存在点P，使得过点P的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．【解答】解：∵圆心为O（0，0），半径R=1．设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，故有PO=R=，∴圆心O到直线y=kx+2的距离d≤，即，即1+k2≥2，解得k≥1或k≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）16．（5分）在直角三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠BAC=，AC=4，AA1=4，M为AA1中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC，则PQ的长度为．【解答】解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4），P（2，2，1），==（0，4，4）=（0，1，1），∴Q（0，1，1），∴PQ的长度为|PQ|==．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应该写出必要的文宇说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0（1）设直线l与圆C交于A、B两点，若|AB|=，求直线l的倾斜角；（2）求证：对m∈R，直线l与圆C恒有两个交点．【解答】（1）解：由圆C：x2+（y﹣1）2=5，得半径r=，又|AB|=，∴圆心C（0，1）到直线l：mx﹣y+1﹣m=0的距离d=．由点到直线的距离公式得d=，解得m=．∴直线的斜率等于．故直线的倾斜角为或；（2）证明：圆C：x2+（y﹣1）2=5的圆心C（0，1），半径为，圆心C到直线l：mx﹣y+1﹣m=0的距离d=．∴直线l与圆C相交，即对∀m∈R，直线l与圆C恒有两个交点．18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．【解答】（1）解：由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，可得S==．△ABC因为PA⊥平面ABC，PA=1，所以V P=•S△ABC•PA=；﹣ABC（2）解：过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN．因为BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM．在直角△BAN中，AN=AB•cos∠BAC=，从而NC=AC﹣AN=．由MN∥PA得==．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对一切正整数n，点P n（n，S n）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，且过点P n（n，S n）的切线的斜率为k n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设Q={x|x=k n，n∈N*}，R={x|x=2a n，n∈N*}，等差数列{c n}的任一项c n∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，110＜c10＜115，求{c n}的通项公式．【解答】解：（1）因为点P n（n，S n）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，所以S n=n2+2n，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n+1，当n=1时，a n=3满足上式，所以数列{a n}的通项公式a n=2n+1；（2）由f（x）=x2+2x求导得f′（x）=2x+2，∴k n=2n+2，∴Q={x|x=2n+2，n∈N*}，又R={x|x=4n+2，n∈N*}，所以Q∩R=R，又c n∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，所以c1=6，又{c n}是公差为4的倍数的等差数列，所以令c10=4m+6，又110＜c10＜115，解得m=27，所以c10=114，设等差数列{c n}的公差为d，则c10﹣c1=9d，d=12．所以{c n}的通项公式c n=6+（n﹣1）×12=12n﹣6．20．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（1）求证：平面FBC⊥平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3，∴AB2=AC2+BC2，∴BC⊥AC．∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE．又∵BC⊂平面FBC，∴平面ACFE⊥平面FBC．…（5分）（2）解：由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令FM=λ（0≤λ≤），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），∴=（﹣，1，0），=（λ，﹣1，1），设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由，得取x=1，则=（1，，），∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，∴cosθ=cos＜＞==，…（10分）∵0≤λ≤，∴当λ=0时，cosθ有最小值，当λ=时，cosθ有最大值．∴cosθ∈[]．…（12分）21．（12分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）（1分）圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2∴d==1（2分）d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（5分）（2）设点P（a，b）满足条件，由题意分析可得直线l 1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等即=（8分）整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5因k的取值有无穷多个，所以或（10分）解得或这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，）（12分）22．（12分）已知圆x2+y2=25，△ABC内接于此圆，A点的坐标（3，4），O为坐标原点．（1）若△ABC的重心是，求直线BC的方程；（三角形重心是三角形三条中线的交点，并且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍）（2）若直线AB与直线AC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．【解答】解：设B（x1，y1），C（x2，y2），由题意可得：即，又，相减得：（x1+x2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴∴直线BC的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0（2）设AB：y=k（x﹣3）+4，代入圆的方程整理得：（1+k2）x2+（8k﹣6k2）x+9k2﹣24k﹣9=0∵3，x1是上述方程的两根，∴同理可得：∴赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

河北省衡水中学2015届高三下学期一调数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∩（∁I B）等于（）A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知正数组成的等比数列{a n}，若a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在4．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A．[1，5]B．[2，6]C．[3，10]D．[3，11]6．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=7．（5分）已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为（）A．4+4+5 B．2+2+C．D．2+2+38．（5分）利用如图所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=10内的共有（）个．A．2B．3C．4D．59．（5分）已知点A（﹣1，0），若函数f（x）的图象上存在两点B、C到点A的距离相等，则称该函数f（x）为“点距函数”，给定下列三个函数：①y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）；②y=；③y=x+4（x≤﹣）．其中，“点距函数”的个数是（）A．0B．1C．2D．310．（5分）设直线l与曲线f（x）=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=，则直线l的方程为（）A．y=5x+1 B．y=4x+1 C．y=x+1 D．y=3x+111．（5分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为的同一半球面上，则当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．2﹣B．2C．D．+112．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）已知，那么展开式中含x2项的系数为．14．（5分）已知P为△ABC所在的平面内一点，满足的面积为2015，则ABP的面积为．15．（5分）若实数a、b、c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是：．16．（5分）已知函数f（x）=，若存在k使得函数f（x）的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（14分）设向量=（cosωx﹣sinωx，﹣1），=（2sinωx，﹣1），其中ω＞0，x∈R，已知函数f（x）=•的最小正周期为4π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若sinx0是关于t的方程2t2﹣t﹣1=0的根，且，求f（x0）的值．18．（14分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：学校学校甲学校乙学校丙学校丁人数 4 4 2 2该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（Ⅱ）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角C﹣A1D﹣E的余弦值．20．（14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．21．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．河北省衡水中学2015届高三下学期一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∩（∁I B）等于（）A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由全集I及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．解答：解：∵集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，∴∁I B={0，1}，则A∩（∁I B）={1}．故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：根据两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简复数z为=1﹣i，故z对应点的坐标为（1，﹣1），从而得出结论．解答：解：∵复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，∴z=====1﹣i，故复数z对应点的坐标为（1，﹣1），故选D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3．（5分）已知正数组成的等比数列{a n}，若a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得a 7+a14≥2=2=2=20．解答：解：∵正数组成的等比数列{a n}，a1•a20=100，∴a 7+a14≥2=2=2=20．当且仅当a7=a14时，a7+a14取最小值20．故选：A．点评：本题考查等比数列中两项和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．4．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．解答：解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．点评：本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题．5．（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A．[1，5]B．[2，6]C．[3，10]D．[3，11]考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3即可．解答：解：根据约束条件画出可行域，∵设k==1+，整理得（k﹣1）x﹣2y+k﹣3=0，由图得，k＞1．设直线l0=（k﹣1）x﹣2y+k﹣3，当直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3．故选D．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；定积分．专题：三角函数的图像与性质．分析：由f（x）dx=0求得cos（φ+）=0，故有φ+=kπ+，k∈z．可取φ=，则f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．解答：解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ），f（x）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]=cosφ﹣sinφ=cos （φ+）=0，∴φ+=kπ+，k∈z，即φ=kπ+，k∈z，故可取φ=，f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，则函数f（x）的图象的一条对称轴为x=，故选：A．点评：本题主要考查定积分，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．7．（5分）已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为（）A．4+4+5 B．2+2+C．D．2+2+3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三棱柱的三视图可得几何体是一个三棱柱，分别计算出棱柱的底面面积，底面周长和高，代入棱柱表面积公式，可得答案．解答：解：由三棱柱的三视图可得几何体是一个三棱柱，底面三角形的三边长为：1，，故底面三角形的面积为：×1×1=，底面周长为：1++，棱柱的高为2，故棱柱的表面积：S=2×+（1++）×2=2+2+3，故选：D点评：本题考查了由三视图求原几何体的体积和表面积，解答的关键是由三视图还原原图形，是基础的计算题．8．（5分）利用如图所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=10内的共有（）个．A．2B．3C．4D．5考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是打印满足条件的点，执行程序不难得到所有打印的点的坐标，再判断点与圆x2+y2=10的位置关系，即可得到答案．解答：解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是打印如下点：（﹣3，6）、（﹣2，5）、（﹣1，4）、（0，3）、（1，2）其中（0，3）、（1，2）满足x2+y2＜10，即在圆x2+y2=10内，故打印的点在圆x2+y2=10内的共有2个，故选：A点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型⇒③解模．9．（5分）已知点A（﹣1，0），若函数f（x）的图象上存在两点B、C到点A的距离相等，则称该函数f（x）为“点距函数”，给定下列三个函数：①y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）；②y=；③y=x+4（x≤﹣）．其中，“点距函数”的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：进行简单的合情推理．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数f（x）为“点距函数”的定义，逐一判断所给定的三个函数，是否满足函数f（x）为“点距函数”的定义，最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：对于①，过A作直线y=﹣x+2的垂线y=x+1，交直线y=﹣x+2于D（，）点，D（，）在y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）的图象上，故y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）的图象上距离D距离相等的两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，故该函数f（x）为“点距函数”；对于②，y=表示以（﹣1，0）为圆心以3为半径的半圆，图象上的任意两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，故该函数f（x）为“点距函数”；对于③，过A作直线y=x+4的垂线y=﹣x﹣1，交直线y=x+4于E（，）点，E（，）是射线y=x+4（x≤﹣）的端点，故y=x+4（x≤﹣）的图象上不存在两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，故该函数f（x）不为“点距函数”；综上所述，其中“点距函数”的个数是2个，故选：C点评：本题考查的知识点是新定义函数f（x）为“点距函数”，正确理解函数f（x）为“点距函数”的概念是解答的关键．10．（5分）设直线l与曲线f（x）=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=，则直线l的方程为（）A．y=5x+1 B．y=4x+1 C．y=x+1 D．y=3x+1考点：函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：根据对称性确定B的坐标，设出直线方程代入曲线方程，求出A的坐标，利用条件，即可求出斜率的值，从而得到直线的方程．解答：解：由题意，曲线f（x）=x3+2x+1是由g（x）=x3+2x，向上平移1个单位得到的，函数g（x）=x3+2x是奇函数，对称中心为（0，0），曲线f（x）=x3+2x+1的对称中心：B（0，1），设直线l的方程为y=kx+1，代入y=x3+2x+1，可得x3=（k﹣2）x，∴x=0或x=±∴不妨设A（，k+1）（k＞2）∵|AB|=|BC|=∴（﹣0）2+（k+1﹣1）2=10∴k3﹣2k2+k﹣12=0∴（k﹣3）（k2+k+4）=0∴k=3∴直线l的方程为y=3x+1故选：D．点评：本题考查直线与曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，设出直线方程是关键．11．（5分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为的同一半球面上，则当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．2﹣B．2C．D．+1考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，判断四棱锥体积最大时S的位置，然后求解底面ABCD的中心与顶点S之间的距离即可．解答：解：四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为的同一半球面上，则当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，顶点S与球心的连线恰好底面ABCD的一边的中点，如图：此时球心O到底面中心F的距离为：OF==1．即EF=OF=1，∠SEF=45°，SE=，SF==所求距离为：．故选：C．点评：本题考查球的内接体，几何体的高的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A．B．C．D．考点：数列与函数的综合．专题：综合题．分析：根据定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），可得f（x+2）=f（x），从而f（x+2n）=f（x），利用当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x，可求（x）在[2n﹣2，2n）上的解析式，从而可得f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n，进而利用等比数列的求和公式，即可求得{a n}的前n项和为S n．解答：解：∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），∴f（x+2）=f（x），∴f（x+4）=f（x+2）=f（x），f（x+6）=f（x+4）=f（x），…f（x+2n）=f（x）设x∈[2n﹣2，2n），则x﹣（2n﹣2）∈[0，2）∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．∴f[x﹣（2n﹣2）]=﹣2[（x﹣（2n﹣2）]2+4[x﹣（2n﹣2）]．∴=﹣2（x﹣2n+1）2+2∴f（x）=21﹣n[﹣2（x﹣2n+1）2+2]，x∈[2n﹣2，2n），∴x=2n﹣1时，f（x）的最大值为22﹣n∴a n=22﹣n∴{a n}表示以2为首项，为公比的等比数列∴{a n}的前n项和为S n==故选B．点评：本题以函数为载体，考查数列的通项与求和，解题的关键是确定函数的解析式，利用等比数列的求和公式进行求和．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）已知，那么展开式中含x2项的系数为135．考点：定积分；二项式定理的应用．专题：计算题；导数的概念及应用；概率与统计．分析：根据定积分的计算方法，计算，可得n的值，进而将n=6代入，利用通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r来解决，在通项中令x的指数幂为2可求出含x2是第几项，由此算出系数．解答：解：根据题意，=lnx|1{\;}^{{e}^{6}}=6，则中，由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r可设含x2项的项是T r+1=C6r（﹣3）r x6﹣2r可知r=2，所以系数为C62×9=135，故答案为：135．点评：本题考查二项式定理的应用以及定积分的计算，关键是由定积分的计算得到n的值．14．（5分）已知P为△ABC所在的平面内一点，满足的面积为2015，则ABP的面积为1209．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：取AB中点D，根据已知条件便容易得到，所以三点D，P，C共线，并可以画出图形，根据图形即可得到，所以便可得到．解答：解：取AB中点D，则：=；∴；∴D，P，C三点共线，如图所示：∴；∴=1209．故答案为：1209．点评：向量加法的平行四边形法则，以及共线向量基本定理，数形结合的方法及三角形面积公式．15．（5分）若实数a、b、c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是：4﹣．考点：等差数列的性质；点到直线的距离公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得动直线l：ax+by+c=0过定点Q（1，﹣2），PMQ=90°，点M在以PQ为直径的圆上，求出圆心为PQ的中点C（0，﹣1），且半径为．求得点N到圆心C的距离，再减去半径，即得所求．解答：解：因为a，b，c成等差数列，故有2b=a+c，即a﹣2b+c=0，对比方程ax+by+c=0可知，动直线恒过定点Q（1，﹣2）．由于点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，即∠PMQ=90°，所以点M在以PQ为直径的圆上，该圆的圆心为PQ的中点C（0，﹣1），且半径为=，再由点N到圆心C的距离为NC=4，所以线段MN的最小值为NC﹣r=4﹣，故答案为：4﹣．点评：本题主要考查等差数列的性质，直线过定点问题、圆的定义，以及点与圆的位置关系，属于中档题．16．（5分）已知函数f（x）=，若存在k使得函数f（x）的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是[，1]．考点：分段函数的应用．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：分别作出函数y=log2（1﹣x）+1，（x＞﹣1）和y=x2﹣3x+2的图象，观察函数值在[0，2]内的图象，讨论最小值和最大值的情况，对a讨论，a=1，a＞1，a＜1，以及a＜，a，的情况，即可得到结论．解答：解：分别作出函数y=log2（1﹣x）+1，（x＞﹣1）和y=x2﹣3x+2的图象，由于函数f（x）的值域是[0，2]，则观察函数值在[0，2]内的图象，由于f（﹣1）=log22+1=2，f（0）=02﹣3×0+2=2，显然a=0不成立，a=1成立，a＞1不成立，又f（）=+1=0，若a＜，则最小值0取不到，则a，综上可得，．即有实数a的取值范围是[，1]．故答案为：[，1]．点评：本题考查已知函数的值域，求参数的范围，考查数形结合的思想方法，注意观察和分析，考查运算能力，属于中档题和易错题．三、解答题：本大题共5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（14分）设向量=（cosωx﹣sinωx，﹣1），=（2sinωx，﹣1），其中ω＞0，x∈R，已知函数f（x）=•的最小正周期为4π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若sinx0是关于t的方程2t2﹣t﹣1=0的根，且，求f（x0）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换以及两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式为，再根据周期求得ω的值．（Ⅱ）求得方程2t2﹣t﹣1=0的两根，可得，可得x0的值，从而求得f（x0）的值．解答：解：（Ⅰ）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+1=sin2ωx+cos2ωx=，因为T=4π，所以，ω=．…（6分）（Ⅱ）方程2t2﹣t﹣1=0的两根为，因为，所以sinx0∈（﹣1，1），所以，即．又由已知，所以．…（14分）点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．18．（14分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：学校学校甲学校乙学校丙学校丁人数 4 4 2 2该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，根据题设条件，利用排列组合知识能求出这两名队员来自同一学校的概率．（II）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出其相对应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．解答：解：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，则．…（6分）（II）ξ的所有可能取值为0，1，2…（7分）则，，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2P…（10分）∴…（13分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型．19．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（Ⅱ）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角C﹣A1D﹣E的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED=（180°﹣∠ECD）=30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE⊥平面平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．（3）建立的空间直角坐标系中，求得平面A1DE的一个法向量，平面CA1D的法向量，利用向量数量积求解夹角余弦值，则易得二面角C﹣A1D﹣E的余弦值．解答：解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD，∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°，又∵△CDE中，∠CED=∠CDE=（180°﹣∠ECD）=30°∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE，∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1，∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE，∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D∴EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==，∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为（Ⅲ）取BE的中点F，以A为原点，AF所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，AA1=则A（0，0，0），D（0，2，0），C（，，0），A1（0，0，），又，设平面CA1D的法向量则得，同理可得平面A1DE的一个法向量为=（）设二面角C﹣A1D﹣E的平面角为θ，且θ为锐角则cosθ=|cos＜＞|===所以二面角C﹣A1D﹣E的余弦值为．点评：本题在直平行六面体中，求证面面垂直并求异面直线所成角余弦，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．20．（14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'，易知a=2，b=m，n=，根据椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，可得关于a，b，m，n的方程，解出即可；（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：．与椭圆C2的方程联立消掉x得y的二次方程，则△＞0，由弦长公式可表示出|MN|，由点到直线的距离公式可表示出△F2MN的高h，则△F2MN的面积S=，变形后运用基本不等式即可求得S的最大值；解答：解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'．由已知a=2，b=m，．∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，即，∴，即∴，即bm=b2=an=1，∴b=m=1，∴椭圆C1的方程是，椭圆C2的方程是；（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：．联立：，得，即，∴△=192m2﹣44（1+4m2）=16m2﹣44＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，△F2MN的高即为点F2到直线的距离．∴△F2MN的面积，∵，等号成立当且仅当，即时，∴，即△F2MN的面积的最大值为．点评：本题考查椭圆方程及其性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式求函数的最值，考查学生的运算能力、分析解决问题的能力．21．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可．（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则kx0＞2lnx0⇒a＞，只需要k大于h（x）=的最小值即可．（3）分离参数，得到k＜，构造函数，求函数的最小值即可．解答：解：（1）∵f′（x）=1+lnx，∴f′（e）=1+lne=k﹣3∴k=5，（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则ax02＞x0lnx0，∴a＞设h（x）=则h′（x）=，当x∈[1，e]时，h′（x）≥0（仅当x=e时取等号）∴h（x）在[1，e]上单调递增，∴h（x）min=h（1）=0，因此a＞0．（3）由题意xlnx＞（k﹣3）x﹣k+2在x＞1时恒成立即k＜，设F（x）=，∴F′（x）=，令m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣=＞0在x＞1时恒成立所以m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，所以在（1，+∞）上存在唯一实数x0（x0∈（3，4））使m（x）=0当1＜x＜x0时m（x）＜0即F′（x）＜0，当x＞＜x0时m（x）＞0即F′（x）＞0，所以F（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，F（x）min=F（x0）===x0+2∈（5，6）故k＜x0+2又k∈Z，所以k的最大值为5点评：本题考查导数在研究函数的单调性、函数恒成立的问题，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力，属于难题．。

河北省衡水市高一下学期期末数学考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017·抚顺模拟) 设正数 x，y 满足﹣1＜x﹣y＜2，则 z=x﹣2y 的取值范围为（ ）A . （0，2）B . （﹣∞，2）C . （﹣2，2）D . （2，+∞）2. （2 分） 已知向量 =（1，1）， =（﹣1，0），λ + 与 ﹣2 共线，则 =（ ）A.B. C.2 D . ﹣23. （2 分） (2017 高二上·大连开学考) 在△ABC 中，∠A=60°，a= ，b=3，则△ABC 解的情况（ ）A . 无解B . 有一解C . 有两解D . 不能确定4. （2 分） (2017 高二上·四川期中) 如图是一几何体的平面展开图，其中别为，的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线与直线线 异面；③直线平面；④平面平面．为正方形， ， 分 异面；②直线 与直其中一定正确的选项是（ ）第 1 页 共 11 页A . ①③ B . ②③ C . ②③④ D . ①③④ 5. （2 分） 已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由 圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ）A. B.C. D.6. （2 分） (2019 高一下·黄山期中) 在 A . 等腰三角形 B . 等边三角形中，若第 2 页 共 11 页，则是（ ）C . 直角三角形 D . 等腰直角三角形7. （2 分） 已知数列 结论，对于等比数列为等差数列，若 ，若A.B.C.D.8. （2 分） (2018 高三上·哈尔滨期中) 在中，的面积为 ，则 的长为（ ）A. B. C. D. 9. （2 分） 不等式 A. B. C.的解集是（ ）第 3 页 共 11 页，则 ， 则可以得到.类比上述 （）是边 上的一点，D.10. （2 分） (2016·普兰店模拟) 已知实数 x，y 满足： 是（ ），z=|2x﹣2y﹣1|，则 z 的取值范围A . [ ，5] B . [0，5] C . [0，5）D . [ ，5） 11. （2 分） (2016 高一上·金华期中) f（x）=（m﹣1）x2+2mx+3 为偶函数，则 f（x）在区间（2，5）上是 （） A . 减函数 B . 增函数 C . 有增有减 D . 增减性不确定 12. （2 分） 将 个正整数 1、2、3、…、 （ ） 任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表,计算各 行和各列中的任意两个数 a、b（a>b）的比值 ,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当 n=2 时,数表的 所有可能的“特征值”最大值为（ ）A.B. C.2 D.3二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)第 4 页 共 11 页13. （1 分） 已知函数 f（x）= 的最大值为________．，若 x1 ， x2 均满足不等式 x+（x﹣1）f（x+1）≤5，则 x1﹣x214. （1 分） (2017 高一下·温州期末) 已知 a，b∈R，若 a2+b2﹣ab=1，则 ab 的取值范围是________．15. （1 分） 在等比数列{an}中，若 a3a5a7a9a11=32，则 的值为________．16. （1 分） (2016 高三上·平罗期中) 如果 tan（α+β）= ，tan（ ） 的值是________．= ，那么 tan（ ）三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)17. （5 分） 设向量 =（ sinx，sinx）， =（cosx，sinx），x∈（0， ）．若| |=| |，求 x 的值；18. （10 分） (2018 高一下·吉林期中) 函数的一条对称轴为.（1） 求；（2） 在给定的坐标系中，用列表描点的方法画出函数其在上的单调递减区间.在区间上的图象，并根据图象写出19. （10 分） (2019 高二上·吴起期中) 在（1） 求, 的值；（2） 若，求中，角所对的边分别是，若，且20. （10 分） (2019·大连模拟) 已知数列｛ ｝的前 项和．（1） 求数列｛ ｝的通项公式；（2） 求数列｛｝的前 项和.第 5 页 共 11 页21. （10 分） (2016 高一下·辽宁期末) 某休闲农庄有一块长方形鱼塘 ABCD，AB=50 米，BC=25 米，为了 便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊 OE、EF 和 OF，考虑到整体规划，要求 O 是 AB 的中点，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 上，且∠EOF=90°．（1） 设∠BOE=α，试将△OEF 的周长 l 表示成 α 的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2） 经核算，三条走廊每米建设费用均为 4000 元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．22. （5 分） (2016 高三上·连城期中) 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 和通项 an 满足 且（q＞0，q≠1）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（g 是常数，（Ⅱ）当时，试证明；（Ⅲ）设函数．f（x）=logqx，bn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），使 求出 m 的值；若不存在，请说明理由．对 n∈N*？若存在，第 6 页 共 11 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 11 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)17-1、 18-1、18-2、第 8 页 共 11 页19-1、 19-2、 20-1、 20-2、第 9 页 共 11 页21-1、21-2、22-1、第 10 页 共 11 页第11 页共11 页。

河北省衡水市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知函数，x∈R，则是（）A . 最小正周期为的偶函数B . 最小正周期为的奇函数C . 最小正周期为的偶函数D . 最小正周期为的奇函数2. （2分）(2019·赣州模拟) 已知，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一下·重庆期末) 中，分别是角所对应的边，，，，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·淄川开学考) 已知向量 =（﹣1，2）， =（1，1），则• =（）A . 3B . 2C . 1D . 05. （2分） (2018高一下·北京期中) 在等差数列{an}中，如果a1+a2=25，a3+a4=45，则a1=（）A . 5B . 7C . 9D . 106. （2分） (2016高二上·成都期中) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大值和最小值分别为（）A . 3，﹣11B . ﹣3，﹣11C . 11，﹣3D . 11，37. （2分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A . A=4B . ω=1C . φ=D . B=48. （2分） (2019高一上·辽宁月考) 手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在（0，1）间，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机的外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化？（）A . “屏占比”不变B . “屏占比”变小C . “屏占比”变大D . 变化不确定9. （2分）(2017·甘肃模拟) 已知a，b，c为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3bcosC=c（1﹣3cosB），sinC：sinA=（）A . 2：3B . 4：3C . 3：1D . 3：210. （2分）点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·深圳模拟) 将函数的图象向左平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A .B .C .D .12. （2分）已知，若，则实数λ的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·抚顺模拟) 在Rt△AOB中，，，，AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，若，则向量在向量上的投影为________．14. （1分） (2018高一下·上虞期末) 在中，是边上一点，且，点列在线段上，且满足，若，则数列的通项 ________．15. （1分）(2014·新课标II卷理) 函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为________．16. （1分）不等式x2﹣|x|﹣2＜0的解集是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）已知点A（3，﹣4）与B（﹣1，2），点P在直线AB上，且|AP|=2|PB|，求点P的坐标．18. （10分）(2013·天津理) 已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N*），且S3+a3 ， S5+a5 ， S4+a4成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．19. （5分） (2016高一下·黄冈期末) 某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？20. （10分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数在区间[﹣2，4]上的最大值和最小值以及对应的x的值．21. （5分） (2017高二上·延安期末) 在△ABC中，a=3 ，c=2，B=150°，求边b的长及S△ABC ．22. （10分） (2017高三上·南充期末) 抛掷三枚不同的具有正、反两面的金属制品A1、A2、A3 ，假定A1正面向上的概率为，A2正面向上的概率为，A3正面向上的概率为t（0＜t＜1），把这三枚金属制品各抛掷一次，设ξ表示正面向上的枚数．（1）求ξ的分布列及数学期望Eξ（用t表示）；（2）令an=（2n﹣1）cos（Eξ）（n∈N+），求数列{an}的前n项和．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。

试卷类型：A卷河北冀州中学2015—2016学年下学期期末考试高一年级文科数学试题考试时间120分钟试题分数150分一、选择题：（共15小题。

每小题4分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

）1. ( )A . B. C. D.2.已知向量，满足，，则（）A． B．C． D．3.若函数，则=（）A． B． C． D．4．已知，那么（）A． B． C． D．5.已知为的边的中点，所在平面内有一个点，满足，则的值为（）A． B．C． D．6.已知是边长为1的等边三角形，则（）A． B． C． D．7．中，，则（）A. B. C. D.8.定义矩阵，若，则的图象向右平移个单位得到函数，则函数解析式为（）A. B.C. D.9.若，是第三象限角，则（）A． B． C． D．10.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.11.的值是 ( )A． B.C. 2D.12．已知定义在R上的奇函数满足则的值为( )A. －1B.0C.1D.213．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( )14．直线的倾斜角的取值范围是( )A．[，] B． [，C．[0，]∪（， D．[，∪[，15.若函数单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. (1,3) D.(2,3)二．填空题：(共5小题，每小题4分，共20分。

)16.已知向量且A,B,C三点共线，则k= .17．已知向量、满足＝，＝，与的夹角为，则||= .18．若，且，则19.在四棱锥中，,若四边形为边长为2的正方形，,则此四棱锥外接球的表面积为 .20．圆关于直线对称，则ab的取值范围是三、解答题：（本大题共6个小题，共70分。

解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）21.（本小题满分10分）已知平面向量，．（1）若，求|-|（2）若与夹角为锐角，求的取值范围．22.（本小题满分12分）已知，且，（1）求的值；（2）若，，求的值.23. (本小题满分12分)已知向量，若函数（1）求的最小正周期；(2)若，求的单调减区间24．(本小题满分12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且。

2014-2015学年河北省衡水中学高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）与直线y=x+3平行且过点（0，﹣1）的直线方程为（）A．2x+y+1=0 B．x+2y+2=0 C．x﹣2y﹣2=0 D．2x﹣y﹣1=02．（5分）若点（1，﹣1）在圆x2+y2﹣x+y+m=0外，则m的取值范围是（）A．m＞0 B．m＜C．0＜m＜D．0≤m≤3．（5分）点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，O是原点，则|OP|的最小值是（）A． B．2 C．D．24．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣1=0关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程是（）A．（x+3）2+（y﹣4）2=2 B．（x﹣3）2+（y+4）2=2C．D．5．（5分）点M（a，b）在圆x2+y2=1内，则直线ax+by=1与圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定6．（5分）两圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=4与（x+1）2+（y﹣2）2=9的公切线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为（）A．16πB．C．πD．32π8．（5分）点P是直线3x+y+10=0上的动点，PA，PB与圆x2+y2=4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（）A．B．2 C．2 D．49．（5分）直线y=x+b与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（）A． B．﹣1＜b≤1或 C．D．10．（5分）某几何体的三视图，如图所示，则它的体积为（）A．12πB．27πC．45πD．57π11．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥底面ABD，G为AD的中点，则点G到平面PAB的距离为（）A．B．C．D．12．（5分）若直线l：ax+by=0与圆C：x2+y2﹣4x+4y=0相交，则直线l的倾斜角不等于（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．（5分）过点（﹣2，6）作圆x2+（y﹣2）2=4的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为．14．（5分）曲线，曲线，EF是曲线C1的任意一条直径，P是曲线C2上任一点，则的最小值为．15．（5分）已知x，y∈（0，2），则的最小值为．16．（5分）球O为边长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，P为球O的球面上动点，M为B1C1中点，DP⊥BM，则点P的轨迹周长为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求与直线l切于点（2，2），圆心在直线x+y﹣11=0上的圆的方程．18．（12分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，（Ⅰ）若直线l1过定点A（1，0），且与圆C相切，求l1的方程；（Ⅱ）若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x+y﹣2=0上，且与圆C外切，求圆D 的方程．19．（12分）如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，BD=1，BC=AD=2，沿BD 将△ABD翻折，使得∠ADC=30°，得到几何体B﹣ACD．（1）求证：AC⊥BD；（2）求AB与平面BCD所成角的正切值；（3）求二面角D﹣AB﹣C的余弦值．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点，点E为BC边上的动点，且=λ．（1）求证：平面ADM⊥平面PBC；（2）是否存在实数λ，使得二面角P﹣DE﹣B的余弦值为？若存在，试求出实数λ的值；若不存在，说明理由．21．（12分）如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向北偏东α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=3km，且∠AOM=β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα=2，cosβ=，AO=15km．（1）求大学M在站A的距离AM；（2）求铁路AB段的长AB．22．（12分）已知圆心在第二象限内，半径为2的圆O1与x轴交于（﹣5，0）和（3，0）两点．（1）求圆O1的方程；（2）求圆O1的过点A（1，6）的切线方程；（3）已知点N（9，2）在（2）中的切线上，过点A作O1N的垂线，垂足为M，点H为线段AM上异于两个端点的动点，以点H为中点的弦与圆交于点B，C，过B，C两点分别作圆的切线，两切线交于点P，求直线PO1的斜率与直线PN的斜率之积．2014-2015学年河北省衡水中学高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）与直线y=x+3平行且过点（0，﹣1）的直线方程为（）A．2x+y+1=0 B．x+2y+2=0 C．x﹣2y﹣2=0 D．2x﹣y﹣1=0【解答】解：由平行关系可得所求直线的斜率为，∴直线的点斜式为y﹣（﹣1）=（x﹣0），化为一般式可得x﹣2y﹣2=0故选：C．2．（5分）若点（1，﹣1）在圆x2+y2﹣x+y+m=0外，则m的取值范围是（）A．m＞0 B．m＜C．0＜m＜D．0≤m≤【解答】解：圆x2+y2﹣x+y+m=0，即+=﹣m，表示以（，﹣）为圆心、半径等于的圆．由于点（1，﹣1）在圆外，可得点（1，﹣1）到圆心的距离大于半径，即＞，求得0＜m＜，故选：C．3．（5分）点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，O是原点，则|OP|的最小值是（）A． B．2 C．D．2【解答】解：由题意可知：过O作已知直线的垂线，垂足为P，此时|OP|最小，则原点（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离d==2，即|OP|的最小值为2．故选：B．4．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣1=0关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程是（）A．（x+3）2+（y﹣4）2=2 B．（x﹣3）2+（y+4）2=2C．D．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣1=0 即（x﹣1）2+y2=2，表示以（1，0）为圆心，半径等于的圆．设圆心（1，0）关于直线x﹣y+3=0对称的点为（a，b），则由，解得a=﹣3，b=4，∴对称的圆的方程为（x+3）2+（y﹣4）2=2．故选：A．5．（5分）点M（a，b）在圆x2+y2=1内，则直线ax+by=1与圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【解答】解：∵点M（a，b）是圆x2+y2=1内的一点，∴a2+b2＜1，∵圆心到直线ax+by=1的距离d=＞1．∴直线和圆相离．故选：C．6．（5分）两圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=4与（x+1）2+（y﹣2）2=9的公切线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：两圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=4与（x+1）2+（y﹣2）2=9的圆心距为：=．两个圆的半径和为：5，半径差为：1，∵，∴两个圆相交．公切线只有2条．故选：B．7．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为（）A．16πB．C．πD．32π【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，设侧棱长为a，又三棱柱的底面为直角三角形，BC=1，∠BAC=30°，∴AC=，AB=2，∴三棱柱的体积V=××a=3，∴H=2，△ABC的外接圆半径为AB=1，三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，如图：∴外接球的半径R=2，∴外接球的表面积S=4π×22=16π．故选：A．8．（5分）点P是直线3x+y+10=0上的动点，PA，PB与圆x2+y2=4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（）A．B．2 C．2 D．4【解答】解：由题意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB，S PAOB=2S△PAO=2PA又∵在Rt△PAO中，由勾股定理可得，PA2=PO2﹣4，当PO最小时，PA最小，此时所求的面积也最小点P是直线l：3x+y+10=0上的动点，当PO⊥l时，PO有最小值d=，PA=所求四边形PAOB的面积的最小值为2．故选：C．9．（5分）直线y=x+b与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（）A． B．﹣1＜b≤1或 C．D．【解答】解：化简得x2+y2=1注意到x≥0所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一四象限．这样很容易画出图来，这样因为直线与其只有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于（0，﹣1）和另一个点，及与曲线交于点（0，1）．分别算出三个情况的B值是：﹣，﹣1，1．因为B就是直线在Y轴上的截距了，所以看图很容易得到B的范围是：﹣1＜b≤1或b=﹣故选：B．10．（5分）某几何体的三视图，如图所示，则它的体积为（）A．12πB．27πC．45πD．57π【解答】解：由三视图可知：原几何体是由上下两部分组成：下面是一个底面半径为3，高为5的圆柱；上面是一个与圆柱的上底面重合、母线长为5的圆锥．圆锥的高h==4．∴V==57π．故选：D．11．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥底面ABD，G为AD的中点，则点G到平面PAB的距离为（）A．B．C．D．【解答】解；在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥底面ABD，G为AD的中点，可知PG⊥底面ABCD，设点G到平面PAB的距离为h，△PAB中，PA=AB=a∴面积S=•a•a=a2，∵v G=V A﹣PGB=×a2×h=×a2×a，﹣PAB∴h=．故选：A．12．（5分）若直线l：ax+by=0与圆C：x2+y2﹣4x+4y=0相交，则直线l的倾斜角不等于（）A．B．C．D．【解答】解：由圆x2+y2﹣4x+4y=0得到圆心坐标为（2，﹣2），半径为2，因为直线与圆相交，所以圆心到该直线的距离d=＜2两边平方得出a2+b2+2ab＞0，（a+b）2＞0，所以a≠﹣b因为k=﹣，所以k≠1，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．（5分）过点（﹣2，6）作圆x2+（y﹣2）2=4的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为x﹣2y+6=0．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=4的圆心为C（0，2），半径为2，以（﹣2，6）、C（0，2）为直径的圆的方程为（x+1）2+（y﹣4）2=5，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程x﹣2y+6=0，故答案为：x﹣2y+6=0．14．（5分）曲线，曲线，EF是曲线C1的任意一条直径，P是曲线C2上任一点，则的最小值为6．【解答】解：设F（cosθ，4+sinθ），∵EF是曲线C1的任意一条直径，则E（﹣cosθ，4﹣sinθ）．设P，则=（﹣cosθ﹣t，4﹣sinθ﹣）•（cosθ﹣t，4+sinθ﹣）=t2﹣cos2θ+==≥6，当时，取等号．∴的最小值为6．故答案为：6．15．（5分）已知x，y∈（0，2），则的最小值为4．【解答】解：表示点（x，y）与原点（0，0）之间的距离，表示点（x，y）与点（0，2）之间的距离，表示点（x，y）与点（2，0）之间的距离，表示点（x，y）与点（2，2）之间的距离，∴函数就是四个距离之和，满足条件0＜x＜2，0＜y＜2的点（x，y）位于矩形内，则距离之和的最小值就是此矩形的对角线长的2倍，等于4．故答案为：4．16．（5分）球O为边长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，P为球O的球面上动点，M为B1C1中点，DP⊥BM，则点P的轨迹周长为．【解答】解：根据题意，该正方体的内切球半径为r=2，由题意，取BB1的中点N，连接CN，则CN⊥BM，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴CN为DP在平面B1C1CB中的射影，∴点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为4，∴O到过D，C，N的平面的距离，∴截面圆的半径为：，∴点P的轨迹周长为：2π×=．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求与直线l切于点（2，2），圆心在直线x+y﹣11=0上的圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）由直线方程的点斜式，可得方程为，化为一般式即得所求直线方程为：3x+4y﹣14=0．…（4分）（Ⅱ）过点（2，2）与l垂直的直线方程为4x﹣3y﹣2=0，…（6分）由得圆心为（5，6），…（8分）∴半径，…（10分）故所求圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣6）2=25．…（12分）18．（12分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，（Ⅰ）若直线l1过定点A（1，0），且与圆C相切，求l1的方程；（Ⅱ）若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x+y﹣2=0上，且与圆C外切，求圆D 的方程．【解答】解：（Ⅰ）①若直线l1的斜率不存在，即直线是x=1，符合题意．（1分）②若直线l1斜率存在，设直线l1为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即（4分）解之得．所求直线方程是x=1，3x﹣4y﹣3=0．（5分）（Ⅱ）依题意设D（a，2﹣a），又已知圆的圆心C（3，4），r=2，由两圆外切，可知CD=5∴可知=5，（7分）解得a=3，或a=﹣2，∴D（3，﹣1）或D（﹣2，4），∴所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2=9或（x+2）2+（y﹣4）2=9．（9分）19．（12分）如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，BD=1，BC=AD=2，沿BD 将△ABD翻折，使得∠ADC=30°，得到几何体B﹣ACD．（1）求证：AC⊥BD；（2）求AB与平面BCD所成角的正切值；（3）求二面角D﹣AB﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）∵在△ABC中，BD为AC边上的高，BD=1，BC=AD=2，沿BD将△ABD翻折，使得∠ADC=30°，∴BD⊥AD，BD⊥DC，且AD∩DC=D，∴BD⊥面ACD，又∵AC⊂面ACD，∴BD⊥AC．解：（2）∵DC==，且AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos30°=4+3﹣2×=1，∴AC2+CD2=AD2，∴AC⊥CD，又∵AC⊥BD，且CD∩BD=D，∴AC⊥平面BCD，∴∠ABC是AB与平面BCD所成的角，在Rt△ABC中，tan=，∴AB与平面BCD所成的角的正切值为．（3）在△BCD中，过点D作DO⊥BC于O，则AC⊥DO，∴DC⊥面ABC，在△ABC中，过O作OD⊥AB于E，连结DE，则AB⊥面ODE，∴∠DEO为二面角D﹣AB﹣C的平面角，在Rt△BCD中，由题意AB=，DE=，在Rt△BCD中，由题意DO=，∴OE==，∴cos=，∴二面角D﹣AB﹣C的余弦值为．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点，点E为BC边上的动点，且=λ．（1）求证：平面ADM⊥平面PBC；（2）是否存在实数λ，使得二面角P﹣DE﹣B的余弦值为？若存在，试求出实数λ的值；若不存在，说明理由．【解答】（本小题满分12分）解：（1）取PB中点N，连结MN、AN，∵M是PC中点，∴，又∵BC∥AD，∴MN∥AD，MN=AD，∴四边形ADMN为平行四边形，∵AP⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥AN，∴AN⊥MN，∵AP=AB，∴AN⊥PB，∴AN⊥平面PBC，∵AN⊂平面ADM，∴平面ADM⊥平面PBC．（6分）（2）存在符合条件的λ．以A为原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴，AP方向为z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，设E（2，t，0），P（0，0，2），D（0，2，0），B（2，0，0）从而，，则平面PDE的法向量为，又平面DEB即为xAy平面，其法向量，则，解得t=3或t=1，进而λ=3或．（12分）21．（12分）如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向北偏东α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=3km，且∠AOM=β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα=2，cosβ=，AO=15km．（1）求大学M在站A的距离AM；（2）求铁路AB段的长AB．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△AOM中，A0=15，∠AOM=β，且cosβ=，OM=3，由余弦定理可得：AM2=OA2+OM2﹣2OA•OM•cos∠AOM=（3）2+152﹣2××15×=72．所以可得：AM=6，大学M在站A的距离AM为6km．…6分（2）∵cos，且β为锐角，∴sinβ=，在△AOM中，由正弦定理可得：=，即=，∴sin∠MAO=，∴∠MAO=，∴∠ABO=α﹣，∵tanα=2，∴sin，cosα=，∴sin∠ABO=sin（）=，又∵∠AOB=π﹣α，∴sin∠AOB=sin（π﹣α）=．在△AOB中，AO=15，由正弦定理可得：=，即，∴解得AB=30，即铁路AB段的长AB为30km．…12分22．（12分）已知圆心在第二象限内，半径为2的圆O1与x轴交于（﹣5，0）和（3，0）两点．（1）求圆O1的方程；（2）求圆O1的过点A（1，6）的切线方程；（3）已知点N（9，2）在（2）中的切线上，过点A作O1N的垂线，垂足为M，点H为线段AM上异于两个端点的动点，以点H为中点的弦与圆交于点B，C，过B，C两点分别作圆的切线，两切线交于点P，求直线PO1的斜率与直线PN的斜率之积．【解答】解：（1）由题知圆与x轴交于（﹣5，0）和（3，0），所以圆心可设为（﹣1，a），又半径为，则（3+1）2+b2=20，得b=2（﹣2舍），所以圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20．…（4分）（2）由题知，点A（1，6）在圆上，所以（1+1）x+（6﹣2）（y﹣2）=20，所以圆的过A点的切线方程为：x+2y=13．…（8分）（3）由题知，P，B，O 1，C四点共圆，设点P坐标为（a，b），则P，B，O1，C四点所在圆的方程为（x+1）（x﹣a）+（y﹣2）（y﹣b）=0，…（10分）与圆（x+1）2+（y﹣2）2=20联立，得直线BC的方程为（1+a）x+（b﹣2）y+a﹣2b﹣15=0，…（12分）又直线AM的方程为x=1，联立两直线方程，H点，所以=，又，所以．…（16分）。

2014-2015学年河北省衡水市故城高中高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列函数中，周期为的是（）A． B．y=sin2x C． D．y=cos4x2．（5分）已知sin10°=a，则sin70°等于（）A．1﹣2a2B．1+2a2C．1﹣a2D．a2﹣13．（5分）将函数y=sinx的图象向左平移φ（0≤φ＜2π）个单位后，得到函数y=sin （x﹣）的图象，则φ等于（）A．B． C． D．4．（5分）已知向量=（4，2），=（x，3），且∥，则x等于（）A．9 B．6 C．5 D．35．（5分）函数f（x）=sinx﹣cos（x+）的值域为（）A．[﹣2，2]B．[﹣，]C．[﹣1，1]D．[﹣，]6．（5分）已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，﹣1）则|2﹣|的最大值，最小值分别是（）A．4，0 B．4，4C．16，0 D．4，07．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则该函数的表达式为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，，△ABC的面积夹角的取值范围是（）A．[]B．[]C．[]D．[]9．（5分）已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足++=0，则等于（）A．B．C．1 D．210．（5分）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=AC D．AC=BC11．（5分）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，令，下面说法错误的是（）A．若与共线，则⊙=0 B．⊙=⊙C．对任意的λ∈R，有⊙=⊙）D．（⊙）2+（）2=||2||2 12．（5分）以原点O和A（4，2）为两个顶点作等腰三角形OAB，∠OBA=90°，则点B的坐标为（）A．（1，3）或（3，﹣1）B．（﹣1，3）或（3，1）C．（1，3）或（3，1）D．（1，3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设向量=（1，2），=（2，3），若向量λ+与向量=（﹣4，﹣7）共线，则λ=．14．（5分）已知sin（）=，x∈（0，），则tanx=．15．（5分）设向量，，满足=，（﹣）⊥，⊥．若||=1，则||2+||2+||2的值是．16．（5分）下面有五个命题：①函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π．②终边在y轴上的角的集合是{a|a=，k∈Z}．③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点．④把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移得到y=3sin2x的图象⑤函数y=sin（x﹣）在（0，π）上是减函数．其中真命题的序号是（写出所有真命题的编号）三、解答题（本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求α+2β的值．18．（12分）已知向量=（cos x，sin x），=（cos，﹣sin），=（1，﹣1），其中x∈[﹣，]．（1）求证：（+）⊥（﹣）；（2）设函数f（x）=（|+|2﹣3）（|+|2﹣3），求f（x）的最大值和最小值．19．（12分）已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴方程；（II）设函数g（x）=[f（x）]2+f（x），求g（x）的值域．20．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），且满足|+|=．（1）求角A的大小；（2）若b+c=a，试判断△ABC的形状．21．（12分）在△ABC中，满足：⊥，M是BC的中点．（Ⅰ）若||=||，求向量+2与向量2+的夹角的余弦值；（Ⅱ）若O是线段AM上任意一点，且，求的最小值．22．（12分）据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f（x）=Asin（ωx+φ）+B的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g（x）（x为月份），且满足g（x）=f（x﹣2）+2．（1）分别写出该商品每件的出厂价函数f（x）、售价函数g（x）的解析式；（2）问哪几个月能盈利？2014-2015学年河北省衡水市故城高中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列函数中，周期为的是（）A． B．y=sin2x C． D．y=cos4x【解答】解：根据公式，的周期为：T=4π，排除A．y=sin2x的周期为：T=π，排除B．的周期为：T=8π，排除C．故选：D．2．（5分）已知sin10°=a，则sin70°等于（）A．1﹣2a2B．1+2a2C．1﹣a2D．a2﹣1【解答】解：sin70°=cos20°=1﹣2sin210°=1﹣2×a2=1﹣2a2，故选：A．3．（5分）将函数y=sinx的图象向左平移φ（0≤φ＜2π）个单位后，得到函数y=sin （x﹣）的图象，则φ等于（）A．B． C． D．【解答】解：将函数y=sinx向左平移φ（0≤φ＜2π）个单位得到函数y=sin（x+φ）．根据诱导公式知当φ=π时有：y=sin（x+π）=sin（x﹣）．故选：D．4．（5分）已知向量=（4，2），=（x，3），且∥，则x等于（）A．9 B．6 C．5 D．3【解答】解：∵，∴2x﹣12=0，解得x=6．故选：B．5．（5分）函数f（x）=sinx﹣cos（x+）的值域为（）A．[﹣2，2]B．[﹣，]C．[﹣1，1]D．[﹣，]【解答】解：函数f（x）=sinx﹣cos（x+）=sinx﹣+=﹣+=sin（x﹣）∈．故选：B．6．（5分）已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，﹣1）则|2﹣|的最大值，最小值分别是（）A．4，0 B．4，4C．16，0 D．4，0【解答】解：2﹣=（2cosθ﹣，2sinθ+1），|2﹣|==，最大值为4，最小值为0．故选：D．7．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则该函数的表达式为（）A．B．C．D．【解答】解：由图象可知，A=2，，T=π，所以ω=2函数y=Asin（ωx+φ）=2sin（2x+φ），当x=时，y=2，因为2sin（+φ）=2，|φ|＜，所以φ=故选：C．8．（5分）在△ABC中，，△ABC的面积夹角的取值范围是（）A．[]B．[]C．[]D．[]【解答】解：所以S=sinB∈所以即所以：这就是夹角的取值范围．故选：B．9．（5分）已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足++=0，则等于（）A．B．C．1 D．2【解答】解：由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知=2，即2﹣（）=2++=因此结合++=即得：=2．因此易得P，A，D三点共线且D是PA的中点，所以=1．故选：C．10．（5分）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=AC D．AC=BC【解答】解：设||=4，则||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，=||•||=||2﹣（a+1）||，•=﹣a，于是•≥••恒成立，整理得||2﹣（a+1）||+a≥0恒成立，只需△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC．故选：D．11．（5分）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，令，下面说法错误的是（）A．若与共线，则⊙=0 B．⊙=⊙C．对任意的λ∈R，有⊙=⊙）D．（⊙）2+（）2=||2||2【解答】解：对于A，若与共线，则有，故A正确；对于B，因为，而，所以有，故选项B错误，对于C，⊙=λqm﹣λpn，而⊙）=λ（qm﹣pn）=λqm﹣λpn，故C 正确，对于D，（⊙）2+（）2=（qm﹣pn）2+（mp+nq）2=（m2+n2）（p2+q2）=||2||2，D正确；故选：B．12．（5分）以原点O和A（4，2）为两个顶点作等腰三角形OAB，∠OBA=90°，则点B的坐标为（）A．（1，3）或（3，﹣1）B．（﹣1，3）或（3，1）C．（1，3）或（3，1）D．（1，3）【解答】解：设点B的坐标为（x，y），则=（x，y），=（x﹣4，y﹣2）．∵∠OBA=90°，即⊥，∴=0，∴x（x﹣4）+y（y﹣2）=0，即x2+y2﹣4x﹣2y=0，①设OA的中点为C，则点C（2，1），=（2，1），=（x﹣2，y﹣1），在等腰三角形AOB中，⊥，所以=0，∴2（x﹣2）+y﹣1=0，即2x+y﹣5=0，②解①②得或故B点坐标为（1，3）或（3，﹣1）；故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设向量=（1，2），=（2，3），若向量λ+与向量=（﹣4，﹣7）共线，则λ=2．【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，3），若向量λ+=（λ+2，2λ+3），又向量λ+与向量=（﹣4，﹣7）共线，∴（λ+2）×（﹣7）﹣（2λ+3）×（﹣4）=0，∴λ=2．故答案为：2．14．（5分）已知sin（）=，x∈（0，），则tanx=．．【解答】解：∵sin（）=sin cos﹣cos sin=，∴cos﹣sin=，∴两边平方可得：1﹣sinx=，∴可解得：sinx=，∵x∈（0，），∴cosx==，∴tanx===．故答案为：．15．（5分）设向量，，满足=，（﹣）⊥，⊥．若||=1，则||2+||2+||2的值是4．【解答】解：∵=，∴=﹣﹣，又∵（﹣）⊥，∴（﹣）•=0，即（﹣）•（﹣﹣）=0，∴﹣=0，得||=||=1；又∵⊥，∴•=0，∴==+2+=1+0+1=2，∴||2+||2+||2的=1+1+2=4；故答案为：4．16．（5分）下面有五个命题：①函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π．②终边在y轴上的角的集合是{a|a=，k∈Z}．③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点．④把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移得到y=3sin2x的图象⑤函数y=sin（x﹣）在（0，π）上是减函数．其中真命题的序号是①④（写出所有真命题的编号）【解答】解：①y=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）=﹣cos2x，最小正周期为π；②当k为偶数时，终边在x轴上，故②错误；③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有一个公共点，原点．④y=3sin（2x+）的图象向右平移得到y=3sin（2（x﹣）+）=3sin2x的图象，故④正确．⑤y=sin（x﹣）=﹣cosx，在（0，π）上是增函数．故答案为：①④．三、解答题（本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求α+2β的值．【解答】解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知，因为α为锐角，则sinα＞0，从而同理可得，因此．所以tan（α+β）=；（2）tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=，又，故，所以由tan（α+2β）=﹣1得．18．（12分）已知向量=（cos x，sin x），=（cos，﹣sin），=（1，﹣1），其中x∈[﹣，]．（1）求证：（+）⊥（﹣）；（2）设函数f（x）=（|+|2﹣3）（|+|2﹣3），求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）由题意可得（+）•（﹣）=﹣=（cos2x+sin2x）﹣（cos2+sin2）=1﹣1=0；∴（+）⊥（﹣）；（2）由题意可得=（cos x+1，sin x﹣1），=（cos+1，﹣sin﹣1），∴|+|2﹣3=（cos x+1）2+（sin x﹣1）2﹣3=2cos x﹣2sin x，同理可得|+|2﹣3=2cos+2sin，∴f（x）=（|+|2﹣3）（|+|2﹣3）=（2cos x﹣2sin x）（2cos+2sin）=4（cos xcos+cos xsin﹣sin xcos﹣sin xsin）=4（cos2x﹣sinx）=﹣8sin2x﹣4sinx+4=﹣8（sinx+）2+由二次函数的知识可知：当sinx=时，f（x）取最大值，当sinx=1时，f（x）取最小值﹣819．（12分）已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴方程；（II）设函数g（x）=[f（x）]2+f（x），求g（x）的值域．【解答】解：（I）=∴最小正周期由，得函数图象的对称轴方程为．（II）．当时，g（x）取得最小值，当时，g（x）取得最大值2，所以g（x）的值域为．20．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），且满足|+|=．（1）求角A的大小；（2）若b+c=a，试判断△ABC的形状．【解答】解：（1）∵，∴=2+2cosA=3，∴，∴（2）∵，∴，∴，∴2b2﹣5bc+2c2=0，∴当b=2c时，a2+c2=3c2+c2=4c2=b2，△ABC是以∠C为直角的直角三角形当b=时，a2+b2=c2，△ABC是以∠B为直角的直角三角形终上所述：△ABC是直角三角形21．（12分）在△ABC中，满足：⊥，M是BC的中点．（Ⅰ）若||=||，求向量+2与向量2+的夹角的余弦值；（Ⅱ）若O是线段AM上任意一点，且，求的最小值．【解答】解：（I）设向量+2与向量2+的夹角为θ，∴cosθ=，设||=||=a，∵⊥，∴cosθ=；（II）∵，∴||=1设||=x，则||=1﹣x，而，∴==2||||cosπ=﹣2x（1﹣x）=2x2﹣2x=2（x﹣）2﹣，当且仅当x=时，的最小值是．22．（12分）据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f（x）=Asin（ωx+φ）+B的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g（x）（x为月份），且满足g（x）=f（x﹣2）+2．（1）分别写出该商品每件的出厂价函数f（x）、售价函数g（x）的解析式；（2）问哪几个月能盈利？【解答】解：（1）f（x）=Asin（ωx+φ）+B，由题意可得A=2，B=6，ω=，φ=﹣，所以f（x）=2sin（x﹣）+6（1≤x≤12，x为正整数），g（x）=2sin（x﹣π）+8（1≤x≤12，x为正整数）．（2）由g（x）＞f（x），得sin x＜．2kπ+π＜x＜2kπ+π，k∈Z，∴8k+3＜x＜8k+9，k∈Z，∵1≤x≤12，k∈Z，∴k=0时，3＜x＜9，∴x=4，5，6，7，8；k=1时，11＜x＜17，∴x=12．∴x=4，5，6，7，8，12．即其中4，5，6，7，8，12月份能盈利．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

河北省衡水市第十四中学2013-2014学年高一数学下学期期末考试试卷一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．sin570°的值是 （ ）A．D ．2，则ααcos sin -＝（ ）A.3．上随机取一个x ，x sin 的值介于）4.下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是( ) A.tan 2y x =B.sin y x =C.πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.3πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 5.与向量a =)5,12(平行的单位向量为（ ）.A.125(,)1313-B.125(,)1313--C.125,1313()或125,1313--() D.125,1313-()或125,1313-()6．在△ABC 中，a ＝4，b ＝43，角A ＝30°，则角B 等于 ( )． A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120°7．若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( )． A.724 B ．－724 C.247 D ．－2478.已知C B A ,,为平面上不共线的三点，若向量)1,1(=AB ，)1,1(-=n ，且n ·2=AC ，则n ·BC 等于（ ）.A ．-2B ．0C ．2D ．2或-2 9．已知2tan =α，则=ααcos sin ( )A ．10.为了得到函数3sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数x y 2sin 3=的图象上所有( ). A.向右平移3π B.向右平移6π C.向左平移3π D.向左平移6π11．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( )．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形12.已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间[3π-,4π]上的最小值是－2,则ω的最小值等于( )A. 23B. 32C.2D.3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在△ABC 中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为________．14、在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CDCB λ+,则 =15．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos α＝________.16.若│a │=2sin15︒,│b │=4cos15︒, a 与b 的夹角为︒30，则a •b 的值是 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．（10分）已知||1=a ，||4=b ，且向量a 与b 不共线. （1）若a 与b 的夹角为60︒，求(2)()-⋅+a b a b ；（2）若向量k +a b 与k -a b 互相垂直，求k 的值.18（12分）袋中装着分别标有数字1，2，3，4，5的5个形状相同的小球. （1）从袋中任取2个小球，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率；（2）从袋中有放回的取出2个小球，记第一次取出的小球所标数字为x ，第二次为y ，求点(,)M x y 满足22(1)9x y -+≤的概率．19．（12分）的最小值是2-，在一个周期内图象最高点与最低点横坐标差是3π，又：图象过点()0,1，求（1）函数解析式，（2）函数的最大值、以及达到最大值时x 的集合；20．（12分）已知α为锐角，且sin α＝45.(1)求sin2α＋sin 2αcos2α＋cos 2α的值； (2)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4的值．21. （12分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且（1（2）若2b =，ABC ∆的面积3S =，求a 的值。

河北省衡水市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共11题；共22分)1. （2分） (2019高二上·林芝期中) 在△ABC中，已知，则最大角与最小角的和为（）A .B .C .D .2. （2分） 1920°转化为弧度数为（）A .B .C . πD . π3. （2分）下列命题正确的是（）A . 第一象限角是锐角B . 钝角是第二象限角C . 终边相同的角一定相等D . 不相等的角，它们终边必不相同4. （2分） (2020高一下·平谷月考) 是第四象限角，，则等于（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一下·邯郸期中) 函数的周期，振幅，初相分别是（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高一下·平谷月考) 如果，那么的值是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高一下·吉林期末) 函数的一个单调增区间是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高一下·吉林期末) 给出命题①零向量的长度为零，方向是任意的．②若，都是单位向量，则．③向量与向量相等．④若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线．以上命题中，正确命题序号是（）A . ①B . ②C . ①和③D . ①和④9. （2分） (2019高一下·吉林期末) 如果点位于第三象限，那么角所在象限是（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限10. （2分） (2019高一下·吉林期末) 在四边形中，如果，，那么四边形的形状是（）A . 矩形B . 菱形C . 正方形D . 直角梯形11. （2分） (2019高一下·吉林期末) 若α是第一象限角，则sinα+cosα的值与1的大小关系是（）A . sinα+cosα＞1B . sinα+cosα=1C . sinα+cosα＜1D . 不能确定二、填空题 (共4题；共4分)12. （1分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于________．13. （1分）(2020·赣县模拟) 设向量，向量，且，则等于________.14. （1分）(2020·温岭模拟) 记A，B，C为的内角，①若，则 ________；②若，是方程的两根，则 ________.15. （1分） (2018高一下·苏州期末) 已知的三个内角，，所对的边分别是，，，且角，，成等差数列，则的值为________．三、解答题 (共5题；共45分)16. （10分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）﹣1（A＞0，|φ|＜）的图象两相邻对称中心的距离为，且f（x）≤ =1（x∈R）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈ 时，求f（x）的取值范围．17. （10分） (2020高一下·黄浦期末) 已知，，求和的值.18. （5分）已知函数f（x0=sin cos + cos2 ﹣（1）将f（x）化为含Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的形式，写出f（x）的最小正周期及其对称中心；（2）如果三角形ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对角为x，试求x的范围及此时函数f（3x）的值域．19. （10分）已知函数（1）求最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值.20. （10分）设f（x）= ，而 =（2﹣4sin2 ，1）， =（cosωx，sin2ωx）（x∈R）．（1）若f（）最大，求ω能取到的最小正数值；（2）对（1）中的ω，若f（x）=（2+ ）sinx+1且x∈（0，），求tan ．参考答案一、单选题 (共11题；共22分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、二、填空题 (共4题；共4分)12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共45分) 16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。