立方根、实数

实数（二）立方根【知识要点】1．定义：如果一个数x 的立方等于a ，即3x a =，那么这个数x 就叫做a 的立方根（care root ，也叫做三次方根）。

记为“，读作“三次根号a ”。

2．性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。

3．开立方：求一个数a 的立方根的运算叫开立方（extraction of cubic root ）4．开立方的小数点移动规律：被开方数的小数点向左或向右移动三位，则立方根的小数点向左或向右移动一位。

5．n 次方根（平方根和立方根的推广）（1）定义：如果一个数的n 次方等于a ，即n x a =，那么这个数x 就叫做a 的n 次方根。

（2）性质：①正数的偶次方根有两个，它们是互为相反数；负数没有偶次方根； ②任何实数a 的奇次根有且只有一个，且与a 同正负。

③0的任何次方根都为0。

【典型例题】例2 （1）8000-的立方根是 ；（2）0.027的立方根是 。

（3）124125-的立方根是 ；（4）8729的立方根是 。

例3 （1的立方根是 （2）()33.47-的立方根是 。

（3）的立方根是 （4）51.2510⨯的立方根是 。

例4 （1）= （2）= 。

（3）= 。

例5 2.359 1.095= 5.084=求（1）（2）若0.2359=61.09510=⨯50.84=，求x 、y 、z 的值。

例6 计算（1+（2）+（3）+ （4例7 （1）()20041-的六次方根为 。

（2）()20051-的999次方根为 。

（3）－32的五次方根为 。

（4）64的六次方根为 。

（5）()62.5-的六次方根为 。

（6）()910.13-的9次方根为 。

（7）()62-的平方根为 ，立方根为 ，六次方根为 。

例8 解方程（1）2272160x += （2）30.010.00001x -=（3）()34321372x -=实数（二）立方根练习A组1．填空题：（1）125的立方根等于，－125的立方根等于。

专题7 立方根和实数的概念与性质，实数的运算知识要点1.立方根：一个数的立方等于a ，即3x a =，那么这个数x 叫作a 的立方根或三次方根，，读作“三次根号a ”，a 是被开方数，3是根指数.任何数都有立方根。

求一个数的立方根的运算叫作开立方，立方和开立方互为逆运算。

2.正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.了解常见的“开立方”，；立方根等于本身的数有三个，分别是0，-1和1.3.立方根的性质（1（该性质将求一个数的立方根的问题，转化为求其相反数的立方根的问题）.（2）被开方数的小数点向左（或右）移动3位，它的立方根的小数点就相应向左（或右）移动1位。

（3）若a ＞b >a ＞b .（4）两个结论：3=a a . 4.无理数：无限不循环小数又叫作无理数.无理数常见的呈现形式为开方开不尽的数，即化简后带根号的形式，如与圆周率π相关的数，如2π-1；形如0.1010010001…（每两个1之间多一个0）的有规律不循环的形式.无理数是无限小数，但无限小数不一定是无理数；无理数不能写成分数的形式.5.实数（1）有理数和无理数统称实数。

（2）实数的分类：通常有两种分类，按照定义分类和按照正负分类。

（3）实数的性质：数轴上的点和实数一一对应，有理数中如绝对值、相反数、倒数的相关概念和意义，所有运算、运算律和运算性质，在实数范围内仍适用。

典例分析例1 61112⎛⎫--- ⎪⎝⎭的立方根是_______ 【分析】将带分数化为假分数，按照立方根的定义来求值，注意运算的顺序.【解】因为61112⎛⎫--- ⎪⎝⎭=652⎛⎫-- ⎪⎝⎭=652⎛⎫- ⎪⎝⎭，且3252⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=222555222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=652⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以252524⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭. 【点评】①一个数的立方根的符号和原数符号相同；②求立方根的运算，需先转化成3x a =的形式.拓展与变式1 ()6x -的立方根为________.拓展与变式2 若x ²=64的值是________.拓展与变式3 解下列方程：（1）()311x -+=；（2）()3812270x -+=.【反思】①审题时，要注意按照定义进行运算，注意被开方数的范围，注意整体的思想运用。

立方根的概念在数学中，立方根是指一个数的立方等于另一个数的运算。

换句话说，对于任意一个非负实数a，如果存在一个实数x，使得x³=a成立，那么x就是a的立方根。

通过求解立方根可以解决很多实际问题，尤其在几何和科学运算中应用广泛。

1. 立方根的符号和表示方式立方根可以用符号³√a或者a^(1/3)来表示，其中³√a表示a的立方根，a^(1/3)表示a的1/3次幂。

在数学中，我们通常使用a^(1/3)来表示立方根。

2. 立方根的计算方法计算立方根可以使用不同的方法，包括近似法、牛顿法和二分法等。

其中，近似法是最常用的一种方法。

例如，对于一个正实数a，我们可以通过逐次尝试来逼近其立方根的值。

假设x是a的一个近似立方根值，我们可以根据x的大小来调整下一次的尝试值。

通过多次迭代计算，我们可以逼近出a的较精确的立方根值。

3. 立方根的性质立方根具有一些重要的性质，这些性质在数学和科学中经常被应用。

以下是几个常见的立方根性质：- 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。

- 对于任意的正实数a和b，(a * b)^(1/3) = a^(1/3) * b^(1/3)。

- 对于任意的正实数a，(a^(1/3))^3 = a。

- 任意实数的立方根都是在实数范围内的。

4. 立方根在几何中的应用立方根在几何中有广泛的应用。

例如，正方体的体积和边长之间的关系就涉及到了立方根。

正方体的体积等于边长的立方，即V = a^3 ，这里的a表示正方体的边长。

如果我们已知正方体的体积，可以通过求解立方根来计算出其边长。

此外，立方根还在立方连接、立方曲线等几何问题中有着重要的应用，应用范围广泛，涉及到建筑、土木工程、艺术设计等领域。

5. 立方根在科学运算中的应用立方根在科学运算中也有广泛的应用。

例如，在物理学中，根据已知的质量和体积，可以使用立方根来计算物体的密度。

同时，在统计学和金融学中，立方根也经常被用于计算变异系数。

实数章立方根、实数北京四中龚剑钧知识要点：一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.，那么x叫做a的立方根。

即如果3x a求一个数的立方根的运算，叫做开立方.一个数a的立方根，用3a表示，其中a是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.说明：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.三、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：按与0的大小关系分：2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.四、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 开立方例题分析1、下列结论正确的是（ ）A ．64的立方根是±4B ．12-是 16-的立方根 C ．立方根等于本身的数只有0和1 D ．332727-=-2、求下列各式的值：（2）3321145⨯+3、 求下列各式中的x 值．4.将棱长分别为 acm 和 bcm 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体 铝块，这个大正方体的棱长为____________ cm. (不计损耗)5.已知实数a,满足求｜a －1|＋｜a ＋1｜的值．6. 已知5x ＋19的立方根是4，求 2x ＋7的平方根．开立方例题分析1.判断正误，在后面的括号里对的用 “√”， 错的记“×”表示，并 说明理由.(1)无理数都是开方开不尽的数.( )(2)无理数都是无限小数.( )(3)无限小数都是无理数.( )310(1)227--(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )(5)不带根号的数都是有理数.( )(6)带根号的数都是无理数.( )(7)有理数都是有限小数.( )(8)实数包括有限小数和无限小数.( )2.已知实数x、y、z在数轴上的对应点如图所示，试化简：3.若a的两个平方根是方程3x＋2y＝2的一组解．（1）求a的值；（2）求a²的算术平方根．5、如图：平行四边形ABCO中，点A、C的坐标分别是（1）写出点B的坐标；（2）将平行四边形ABCO向左平移5个单位长度，求所得平行四边形四个顶点的坐标；（3）求平行四边形ABCO的面积．。

立方根与实数一、一周知识概述1、立方根的有关概念.（1）立方根定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（或a 的三次方根）.即若x3=a，那么x叫做a的立方根.（2）立方根的表示. 数a的立方根用“”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3是根指数.（3）立方根的性质①正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0.2、立方根与平方根的区别与联系（1）联系：①都与相应的乘方互为逆运算，即开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算；②平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根可通过转化为正数的立方根来研究；③0的平方根和立方根都是0．（2）区别：①用符号表示平方根时，根指数2可以省略，而用符号表示立方根时，根指数3不能省略；②只有非负数才有平方根，而任何数都有立方根；③正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个．3、实数的概念及其分类（1）定义：有理数和无理数统称为实数.（2）实数的分类：①按定义分类②按大小分类（3）实数大小的比较一切正数都大于零；一切负数都小于零；一切正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小.即绝对值大的负数<绝对值小的负数<零<正数.在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.（4）实数和数轴上点的对应关系：一一对应（5）平面直角坐标系中的点与有序实数对：一一对应关系（6）实数中的几个概念①相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0. 注意：两个相反数之和等于0.②倒数：若a≠0，则a与互为倒数. 说明：两个互为倒数的数之积等于1.③绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即（7）实数的运算在实数范围内可以进行加、减、乘、除（0不能作除数）、乘方运算；正数和0可以进行开任意次方（如开平方、开立方等）运算，负数不能开偶次方（如负数不能开平方）运算.注意：①无理数不都是带根号的数，如，0.3030030003….②带根号的数不都是无理数，只有那些开不尽的方根属于无理数，开得尽的方根是有理数.如等是无理数，而等是有理数.③关于有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍然成立，但要注意正数和零可以进行开平方、开立方运算，但负数能开立方运算，却不能开平方运算.二、典型例题剖析例1、求下列各数的立方根.例2、求下列各式的值.例3、求下列各式中的x的值.（1）－3x3=0.081； (2)；（3）.例4、已知是3b－6a－3的立方根，，且x＋y=0，求x2＋2y2的立方根.例5、把下列各数分别填入适当的集合里：自然数集合{ …}；整数集合{ …}；分数集合{ …}；正数集合{ …}；无理数集合{ …}；实数集合{ …}.例6、比较下列各组数中两个实数的大小.例7、求下列各数的相反数与绝对值.例8、计算.。

板块一 平方根、立方根、实数实数可按下图进行详细分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 实数与数轴上的点一一对应.(以下概念均在实数域范围内讨论) 平方根的定义及表示方法：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2x a =，则x 就叫做a 的平方根． 一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a ±”．算术平方根：一个正数a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为“a ”；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根.（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥，则0a ≥.平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．通过验算我们可以知道：⑴当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． ⑵平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①若0a ≥，则2()a a =；②不管a 为何值，总有2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系．⑶若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<时，它的算术平方根也介于1a 、2a 之实数基本概念及化简立方根的定义及表示方法：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根， 一个数a 的立方根可用符号表，其中“3”叫做根指数，不能省略. 前面学习的其实省略了根指数“2”“三次根号a ”“二次根号a ”“根号a ”.任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．通过归纳我们可以知道：⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍．a，3a =⑶若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间，即12a a a <<，利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围．一、实数的概念【例1】在实数010.1235中无理数的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【例2】22π 3.140.614140.10010001000017，，，，这7个实数中，无理数的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例3】 有一个数值转换器原理如图所示，则当输入x 为64时，输出的y 是（ ）输出y输入xA ．8 B． C． D．【例4】【例5】 说明边长为1。

七年级数学1. 立方根 2. 实数人教四年制【同步教育信息】一. 本周教学内容1. 立方根2. 实数二. 教学重点、难点重点：立方根定义及实数的定义难点：立方根定义的理解及求一个数的立方根三. 教学知识要点1. 立方根：如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根（也叫三次方根）或若a x =3那么x 叫做a 的立方根数a 的立方根用符号“3a ”表示读数“三次根号a ” 一个数的立方根运算，叫做开立方。

2. 一般地，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根仍旧是0。

3. 无理数：无限不循环小数叫做无理数4. 实数：有理数和无理数统称为实数【典型例题】[例1] 求下列各数的立方根（1）8- （2）8 （3）278-（4）216.0 （5）0 解：（1）∵8)2(3-=-∴8-的立方根是2-，即283-=- （2）∵823=∴ 8的立方根是2，即283=（3）∵278)32(3-=-∴278-的立方根是32-，即322783-=- （4）∵216.06.03=∴216.0的立方根是6.0，即6.0216.03=（5）∵003=∴0的立方根是0，即003=[例2] 求下列各式的值（1）327 （2）327- （3）327102- （4）36427-- 解：（1）3273= （2）3273-=- （3）327102-3427643-=-= （4）36427--4364273== [例3] （1）求364-的绝对值。

（2）已知一个数的绝对值是3，求这个数。

解：（1）∵4646433-=-=-∴4643=- （2）∵33=∴33=-∴ 绝对值为3的数是3±[例4] 计算（1）π+5（精确到）；（2）23⋅（结果保留三个有效数字）解：（1）38.5142.3236.25≈+≈+π（2）45.2414.1732.123≈⨯≈⋅[例5] 比较下列各组数里的两个数的大小（1）3， （2）6-，7-分析：可以先求出无理数的近似值，再进行比较。

实 数专题二、 立方根 【知识回顾】1.立方根：如果一个数x 的立方等于a ，即x 的三次方等于a(a x =3)，即3个x 连续相乘等于a,那么这个数x 就叫做a 的立方根，也叫做三次方根。

2.开立方:求一个数的立方根的运算叫做开立方。

开立方与立方互为逆运算。

开立方的小数点移动规律：被开方数的小数点向右或向左每移动三位，则立方根的小数点就向右或向左移动一位。

3.常见立方数：113=； 823=； 2733=； 6443=； 12553=21663=； 34373=； 51283=； 72993=； 1000103=4、常用公式：a a =33，a a =33)( 5. 平方根与立方根的比较平 方 根立 方 根定 义如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根。

即：若)0(2≥=a a x 时，则x 称为a 的平方根，记作)0(≥±=a a x ，其中a 是被开方数，根指数是2如果一个数x 的立方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根（也称作a 的三次方根）。

即：若3x a =，则x 称为a 的立方根，记作x=3a ，其中a 是被开方数，根指数是3 性 质 1. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数1. 正数有一个正的立方根2. 0的平方根是0 2. 0的立方根是03. 负数没有平方根 3. 负数有一个负的立方根 开平方与平方互为逆运算开立方与立方互为逆运算n 次根偶数次方根与平方根性质相同 奇数次方根与立方根性质相同6.n 次方根的定义：如果一个数的n 次方等于a ，这个数叫做a 的n 次方根。

n 次方根的性质：（1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数没有偶次方根； （2）任何数a 的奇次方根只有一个，且与a 同正负； （3）0的任何次方根为0。

【典型例题】【例1】求下列各式的值：（1）3125； （2）3271-- ； （3）38-； （4）338【变式练习】 1、填空2549的平方根是 ； -512的立方根是 ； 2(9)-的平方根是 ； -27的立方根是 ；64的平方根是 ； 343的立方根是 。

初中数学什么是立方根立方根是一个数学术语，用来表示一个数的立方的根。

在数学中，我们通常用符号∛来表示立方根。

与平方根类似，立方根也是一种特殊的根运算。

具体而言，给定一个数x，它的立方根是另一个数a，满足a³ = x。

为了更好地理解立方根的概念，我们来看一些例子：1. 对于一个正整数，例如8，它的立方根是2，因为2³ = 8。

我们可以说2是8的立方根。

2. 对于一个负整数，例如-27，它的立方根是-3，因为(-3)³ = -27。

我们可以说-3是-27的立方根。

3. 对于一个小数，例如0.125，它的立方根是0.5，因为0.5³ = 0.125。

我们可以说0.5是0.125的立方根。

需要注意的是，一个数可以有多个立方根，包括实数和复数。

例如，对于正数8，它有两个实数立方根2和-2，因为2³ = 8，(-2)³ = 8。

此外，8还有两个复数立方根，它们是2i和-2i，其中i是虚数单位。

立方根在数学和实际生活中有许多应用。

下面我将介绍一些常见的应用：1. 立方根的运算：我们可以使用计算器或数学软件来计算一个数的立方根。

这对于进行复杂的计算或解决立方根相关的问题非常有用。

2. 立方根的几何应用：立方根的概念在几何中有许多应用。

例如，立方根可以用于计算立方体的边长、体积和表面积。

3. 立方根的代数应用：立方根的概念在代数中也有应用。

例如，在解三次方程时，我们需要找到方程的立方根。

类似于二次方程的求解方法，我们可以使用求根公式来找到三次方程的解。

4. 立方根的统计学应用：立方根在统计学中也有一些应用。

例如，在计算平均误差和标准差时，我们可以用立方根来消除误差的平方。

总之，立方根是一个重要的数学概念，用来表示一个数的立方的根。

它在数学和实际生活中有许多应用，包括运算、几何、代数和统计学。

通过理解立方根的概念和应用，我们可以更好地解决各种数学问题和实际应用。

教师 学生立方根与实数知识梳理：1. 一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根，也称为三次方根；也就是说，如果a x =3，那么x 叫做a 的立方根，数a 的立方根记作3a ，读作“三次根号a ”。

2. 求一个数的立方根的运算叫做开立方。

开立方和立方互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求。

3. 立方根的性质：正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0。

4. 实数的概念：有理数和无理数统称为实数。

也就是说，实数可以分为有理数和无理数。

【注意】凡是分数都是有理数，如6172231，，它们都是无限循环小数 【总结】1、带根号的数不一定是无理数。

2、写成分数形式的未必是有理数。

5. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示实数，实数与数轴上的点是一一对应的。

6. 1、有理数与无理数的和、差一定是无理数。

2、有理数与无理数的积、商可能是有理数，也可能是无理数。

3、两个无理数的和、差、积、商可能是有理数，也可能是无理数。

4、两个实数的和、差、积、商一定是实数7、如何比较两个有理数的大小？1、有理数a 的相反数是 ，绝对值是 ，a （a ≠0）的倒数是 。

回顾后，应指出实数的绝对值、相反数、倒数与有理数范围内的意义完全相同，并且有理数大小比较的方法、运算性质及运算律在实数范围内仍然适用，例如：，互为倒数，与互为相反数，与ππ=--2122233掌握实数的大小比较方法：平方法、倒数法、求差法、看被开方数大小、用计算器等腾大教育学科导学案实数8.近似数实际生产生活中的许多数据都是近似数，例如测量长度，时间，速度所得的结果都是近似数，且由于测量工具不同，其测量的精确程度也不同。

在实际计算中对于像π这样的数，也常常需取它们的近似值9、取近似值的方法：取一个数的近似值有多种方法，如：去尾法；进1法；估计法；四舍五入法等。

而四舍五入是最常用的一种方法。

初一数学暑假班（学生版）一、实数中的几个概念（一）有理数：整数和分数统称有理数。

（六年级学过的内容）（二）无理数：无限不循环小数叫做无理数，例如π，0.1010010001……，2等等这样三类无限不循环小数，在中学阶段比较常见。

（三）实数：有理数和无理数统称为实数。

(1)按定义分类 (2)按性质符号分类⎧⎧⎫⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数 0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 （四）实数相关的概念①相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=0 ②倒数：（1）实数a （a≠0）的倒数是a1； （2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；实数的概念及立方根知识梳理（3）注意0没有倒数 ③绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。

二、立方根与开立方：1．如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根，用“3a ”表示，读作“三次根号a ”。

3a 中的a 叫做被开方数，3叫做根指数。

求一个数a 的立方根的运算叫做开立方。

2．正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根等于零。

3．任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根.也就是说：(1)a a =33)(，(2)a a =33。

【例1】 将下列各数填入相应的横线上：例题解析1，，0.，，﹣3.030030003…，0，，，π，．整数：{ }有理数：{ }无理数：{ }负实数：{ }【例2】求下列各数的相反数、倒数和绝对值．（1）3.8；（2）﹣；（3）﹣π；（4）；（5）．【例3】按要求填空（1）相反数等于它本身的数是；（2）倒数等于它本身的数是；（3）平方等于它本身的数是；（4）平方根等于它本身的数是；（5）算术平方根等于它本身的数是；（6）立方等于它本身的数是；（7）立方根等于它本身的数是；（8）绝对值等于它本身的数是．【例4】在数轴上表示20的点可能是（）【例5】已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：﹣．【例6】已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a﹣b|．【例7】在数轴上近似表示出数3，﹣1，0，﹣4，，|﹣4|，并把它们用“＜”连接起来．【例8】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．请解答：（1）的整数部分是，小数部分是（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．【例9】m是的整数部分，n是的小数部分，求（m﹣n）2的值．【例10】一个棱长为5dm的正方体，要使它保持正方体形状但体积增加1倍，这个新正方体的棱长是多少分米（保留两位小数）？【例11】已知2a的平方根是±2，3是3a+b的立方根，求a﹣2b的值．【例12】已知x的两个平方根分别是2a﹣1和a﹣5，且，求x+y的值．按定义分类⎧⎧⎫⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数一、选择题：1、在实数π、13、2、22,无理数的个数为( )A.1B.2C.3D.4 2、9的平方根是（ ）A 、3±B 、+3C 、3D 、3±反思总结随堂检测31的值（ ）A ．在2和3之间B ．在3和4之间C ．在4和5之间D ．在5和6之间 4、一个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ） A ．B ．CD5、以下说法中正确的有（ ）A ．16的平方根是4B ．64的立方根是4±C ．27-的立方根是3-D ．81的平方根是9 6、与算式222333++的运算结果相等的是（ ）A ．33 B.32 C.63 D.83 7、3a 的值是（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．以上都可能 8、下列说法中：⑴无限小数都是无理数；⑵无理数都是无限小数；⑶带根号的数都是无理数；⑷两个无理数的和还是无理数。

立方根概念：1、如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“3a ”表示，3a 读作“三次根号a ”，其中的a 叫做被开方数，“3”叫做根指数。

2、求一个数a 的立方根的运算叫做立开方。

注意：正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零，所以正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零。

任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根。

例：1、求下列各数的立方根（1）28- （2）0.064（3）17427- （4）2162、求出下列各式的值(1) (3)3、若33731++x x 和互为相反数，求x 的值。

练习：30.729 25－3125 3827＋19n 次方根概念:1、如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根。

当n 为奇数时，这个数为奇数方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶数方根。

2、求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开放数，n 叫做根指数。

3、实数a 的奇数方根有且只有一个，用“n a ”表示.其中被开方数a 是任意一个实数，根指数n 是大于1的奇数。

正数a 的偶数方根有两个，它们互为相反数，正n 次方跟用“n a ”表示，负n 次方用“—n a ”表示.其中被开方数a >0，根指数n 是正偶数（当n =2时，在±n a 中省略n ）.负数的偶数方根不存在.零的n 次方根等于零，表示为00=n .“n a ”读做“n 次根号a ”。

例1：6641=()886-= 例2：当意义取何值时，下列各式有x x1-2-x 34-x xx 42+例3、()的值。

求已知x x nn,532,813-2=-=例4、的值。

求2018201742,011y x y x +=++-用数轴上的点表示实数1、每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，而且这样的点是唯一的，它是这个实数在数轴上所有对应的点。

【本讲教育信息】一. 教学内容： 立方根、实数二. 教学目标： 1. 知识目标：（1）了解一个数的立方根的意义，了解实数的意义。

（2）了解开立方与立方是互逆运算，会用根号表示一个数的立方。

（3）了解有理数的运算律在实数范围内仍然适用，了解实数与数轴上的点成一一对应关系。

（4）掌握立方根的性质，会求一个数的立方根，理解负数立方根与其相反数立方根的转化关系。

（5）掌握实数的性质与实数的绝对值。

（6）能用科学计算器求立方根及其近似值。

2. 能力目标：经历探索新知识的过程，使学生能够用类比方法学习新知识。

3. 情感目标：通过运用立方运算求立方根的过程，感受知识间的内在联系，通过类比平方根的过程，初步体会分类讨论的思想方法，并且学会用辨证的观点看问题。

三. 教学重点和难点：重点：了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。

难点：能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方和立方是互逆运算。

四. 教学知识要点： 1. 立方根的概念：满足的值叫做的立方根x a x a 3= 2. 立方根的表示：数的立方根表示为，读作“三次根”或“立方根号”或“的立方根”a a a a a 3其中a 是被开方数，3是根指数说明：这里的根指数3不能省略，而平方根中的根指数一般省略不写。

3. 弄清立方根与平方根的区别与联系： 区别：（1）定义不同：如果，那么叫做的平方根x a x a 2= 如果，那么叫做的立方根x a x a 3= （2）个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数而一个正数的立方根只有一个，且同样为正数 （3）表示方法不同：正数的平方根表示为a a± 正数的立方根表示为a a3 （4）取值范围不同：任何数都有立方根，并且有唯一的与其自身符号相同的立方根 但只有非负数才有平方根，负数没有平方根 （5）逆运算不同：平方与开平方互为逆运算，立方与开立方互为逆运算 联系：零的平方根与立方根都是零本身 4. 立方根的性质：一个正数只有一个正的立方根 负数有一个负的立方根 零的立方根为零 5. 开立方的概念：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方亦可以这样定义：求立方根号a ，叫做对a 开立方 6. 用计算器求立方根：跟用计算器求平方根的方法一样，先阅读说明书，再根据说明书中所指明的步骤具体操作。

我的个性化教材Youwin Specialization常规课教案NO Date time 学生姓名年级七年级教师姓名科目数学教学主题立方根与实数综合学习目标作业完成情况授课内容知识梳理：1、立方根的概念：一般地，如果有一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方根，也叫作三次方根。

即：若x3=a，则x是a的一个立方根（三次方根）。

2、立方根的符号表示：类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“3a”表示，读作：“三次根号a ”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数。

3、开立方的概念：类似开平方运算，求一个数的立方根的运算叫作“开立方”。

开立方与立方互为逆运算。

4、立方根的性质：（1）正数的立方根是___________（2）负数的立方根是__________（3）0的立方根是_____________（4）互为相反数的两个数____________________。

5、平方根与立方根的区别6、开立方的性质：①被开方数每扩大1000倍，其结果就扩大________倍；经典例题：1．如果一个数的平方为64，则这个数的立方根是（ ）②被开方数每缩小1000倍，其结果就缩小________倍，反之也成立。

7、无理数：无线不循环小数。

8、无理数的三种形式：（1）含π 的一些数；（2）含开不尽方的数；（3）有规律但不循环的小数。

9、无理数小数部分的表示:无理数是无限不循环小数，因此其小数部分不可能全部写出来，如2的整数部分是1，所以它的小数部分就是2-1.即一个无理数减去整数部分，差就是小数部分. 10、实数：有理数和无理数的统称 11、实数的分类：（1）按定义分： （2）按性质分：12、实数和数轴上的点一一对应。

例：在数轴上表示2 13、实数的大小比较：（1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数； （2）两个正数，绝对值大的数较大； （3）两个负数，绝对值大的数反而小。

14、实数的性质：（1）a 是一个实数，实数a 的相反数为-a 。