【配套K12】2018年高考数学总复习第十章计数原理概率第2讲排列与组合学案

10.2 排列与组合考纲要求1．理解排列、组合的概念．2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．能解决简单的实际问题．1．排列与排列数：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“一个排列”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列”，它是一件事情，只有元素与其排列顺序都相同的排列才是同一排列；“排列数”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数”，它是所有不同排列的个数，是一个数值． 排列数公式A mn ＝________________，右边的第一个因数是n ，后面的每一个因数都比前面一个少1，最后一个是n －m ＋1，共____个连续正整数相乘．当m ，n 较小时，可利用该公式计数；排列数公式还可表示成A mn ＝__________，它主要有两个作用：一是当m ，n 较大时，可利用计算器计算阶乘数，二是对含字母的排列数式子进行变形和论证时，写出这种形式更便于发现它们之间的规律．2．组合与组合数：“一个组合”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组”，它是一件事情；“组合数”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数值．组合数公式的推导要借助于排列数公式，公式C mn ＝A A mn m m＝__________________，其分子的组成与排列数A m n 相同，分母是m 个元素的全排列数．当m ，n 较小时，可利用该公式计数；组合数公式还可以表示成C mn ＝______，它有两个作用：一是当m ，n 较大时，可利用计算器计算阶乘数，二是对含字母的组合数式子进行变形和论证．3．组合数公式有两个性质：(1)C mn ＝______，该公式说明，从n 个不同元素中取出m个元素与从n 个不同元素中取出n －m 个元素是一一对应关系，实际上就是“取出的”与“留下的”是一一对应关系；(2)1C mn +＝__________________，该公式说明，从a 1，a 2，…，a n＋1中取出m 个元素的组合数1C m n +可以分成两类：第一类含有元素a 1，共1C m n -个；第二类不含元素a 1，共C mn 个．1．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )．A ．8289A A B ．8289A C C ．8287A A D ．8287A C2．(2012山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( )．A ．232B ．252C ．472D ．4843．设集合S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{a 1，a 2，a 3}是S 的子集，且a 1，a 2，a 3满足a 1＜a 2＜a 3，a 3－a 2≤6，则满足条件的集合A 的个数为( )．A ．78B ．76C ．84D ．834．刘、李两家各带一个小孩一起到公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要有两位爸爸，另外，两位小孩一定要排在一起，则这6人入园的顺序排法共有__________种．5．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种(用数字作答)．一、有限制条件的排列问题【例1－1】用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________(用数字作答)．【例1－2】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排，分别计算满足下列条件的排法种数：(1)甲不在排头、乙不在排尾；(2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；(3)甲一定在乙的右端(可以不相邻)．方法提炼对于相邻问题，可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列，同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列，这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素，可先排其他元素，然后将这些要求不相邻的元素插入空当，这种方法称为“插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、元素优先法、间接计算法．请做演练巩固提升5二、组合问题【例2－1】某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )．A．14 B．16 C．20 D．48【例2－2】某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．方法提炼1．注意问题有无顺序要求，一般有序问题用排列，无序问题用组合；2．有些复杂问题用直接法不好解决，往往选用间接法；3．均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序分组要除以均匀组数的阶乘数；还要考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘分组数的阶乘数．请做演练巩固提升1三、排列与组合的综合应用【例3－1】现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机4项工作之一，每项工作至少有1人参加．甲、乙不会开车但能从事其他3项工作，丙、丁、戊都能胜任4项工作，则不同安排方案的种数是( )．A．152 B．126 C．90 D．54【例3－2】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？方法提炼排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素组合(分组)，再对取出的元素排列，分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分组标准．请做演练巩固提升3排列组合的综合应用【典例】(2012课标全国高考)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )．A．12种 B．10种 C．9种 D．8种解析：将4名学生均分为2个小组共有224222C CA＝3种分法，A＝2种分法，将2个小组的同学分给两名教师共有22A＝2种分法，最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有22故不同的安排方案共有3×2×2＝12种．答案：A答题指导：1．仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类；2．深入分析，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏；3．对限制条件较复杂的排列组合应用题，可分解成若干简单的基本问题后用两种计数原理来解决；4．由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同．1．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )．A．4种 B．10种 C．18种 D．20种2．(2012陕西高考)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )．A．10种 B．15种C．20种 D．30种3．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( )．A．10 B．20 C．30 D．404．从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有________种．5．4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？(3个女生身高互不相等)参考答案基础梳理自测知识梳理1．n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m n ！(n －m )！2．n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！n ！m ！(n －m )！3．C n m n - 1C C m m n n -+基础自测1．A 解析：运用插空法．先将8名学生排列，有A 88种排法；再把2位老师插入8名学生形成的9个空中，有A 29种排法，因此共有A 88A 29种排法．2．C 解析：完成这件事可分为两类，第一类3张卡片颜色各不相同共有C 34C 14C 14C 14＝256种；第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有C 13C 24C 13C 14＝216种，由分类加法计数原理得共有472种，故选C.3．D 解析：易知在满足a 1＜a 2＜a 3的集合A 中，仅有{1,2,9}不满足a 3－a 2≤6，故满足条件的集合A 的个数为C 39－1＝83.4．24 解析：先将两位爸爸排在首尾，再将两位小孩视为一个整体同两位妈妈一起排列，最后将两位小孩内部进行排列，故这6人入园的顺序排法种数共有A 22A 33A 22＝24.5．72 解析：其余三个人站成一排有A 33＝6种，甲、乙两人插空有A 24＝12种，共6×12＝72种．考点探究突破【例1－1】40 解析：先将3,5排列，共有A 22种排法；再将4,6插空排列，有2A 22种排法；最后将1,2插入3,4,5,6形成的空中，共有C 15种排法．由分步乘法计数原理，共有A 22·2A 22·C 15＝40种．【例1－2】解：(1)①直接排，要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情况．若甲排在排尾共有A 11A 33＝6种排法．若甲既不在排头也不在排尾共有A 12A 12A 22＝8种排法，由分类计数原理知满足条件的排法共有A 11A 33＋A 12A 12A 22＝14(种)．②也可间接计算：A 44－2A 33＋A 22＝14(种)．(2)可考虑直接排法：甲有3种排法；若甲排在第二位，则乙有3种排法；甲、乙排好后，丙、丁只有一种排法，由分步计数原理知满足条件的所有排法共有3×3×1＝9(种)．(3)可先排丙、丁有A 24种排法，则甲、乙只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排列共有A 24·1＝12(种)，或看作定序问题A 44A 22＝12(种)． 【例2－1】B 解析：直接法：可分为两种情况：(1)甲企业选中1人，有C 12C 24＝12种选法；(2)甲企业无人选中，有C 34＝4种选法，所以由分类计数原理可知共有12＋4＝16种可能．间接法：C 36－C 22C 14＝16.【例2－2】解：(1)依题意，应选一名女生，四名男生，故共有C 15·C 48＝350(种)．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C 22·C 311＝165(种)．(3)至少有一名队长包含两类：只有一名队长和有两名队长，故共有：C 12·C 411＋C 22·C 311＝825(种)或采用排除法：C 513－C 511＝825(种)．(4)至多有两名女生包含三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．故选法为： C 25·C 38＋C 15·C 48＋C 58＝966(种)．(5)分两类：第一类女队长当选，有C 412种；；第二类女队长不当选：C 14·C 37＋C 24·C 27＋C 34·C 17＋C 44.故选法共有：C 412＋C 14·C 37＋C 24·C 27＋C 34·C 17＋C 44＝790(种)．【例3－1】B 解析：(直接法)以从事司机工作为分类标准进行讨论：若有2人从事司机工作，则方案有C 23A 33＝18；若有1人从事司机工作，则方案有C 13C 24A 33＝108种，所以不同安排方案种数是18＋108＝126.(间接法)5人从事4项工作，所有不同安排方案的种数是C 25A 44＝240.不符合要求的有两类：一是甲、乙都从事开车工作，有A 33＝6种；二是甲、乙有1人从事开车工作，它包括只有1人从事开车工作和有2人从事开车工作，故共有C 12C 13A 33＋C 12C 24A 33＝36＋72＝108种．所以不同安排方案种数是240－6－108＝126.【例3－2】解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22＝144(种)．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C 24种方法．4个球放进2个盒子可分成(3,1)，(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法．故共有C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22＝84(种)． 演练巩固提升1．B 解析：可分为两种情况：①画册2本，集邮册2本，则不同的赠送方法有C 24＝4×32＝6种．②画册1本，集邮册3本，则不同的赠送方法有C 14＝4种，∴共有6＋4＝10种．2．C 甲获胜有三种情况，第一种共打三局，甲全胜，此时，有一种情形；第二种共打四局，甲第四局获胜且前三局中只有两局获胜，此时，共有C 23＝3种情形；第三种共打五局，甲第五局获胜且前四局只有两局获胜，此时，共有C 24＝6种情形，所以甲赢共有10种情况，同理乙赢也有10种情形，故选C.3．B4．140 解析：∵从10名同学中挑选4名参加该项公益活动有C 410种不同挑选方法；从甲、乙之外的8名同学中挑选4名参加该项公益活动有C 48种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有C 410－C 48＝210－70＝140种．5．解：(1)3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有A 33种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有A 55种排法，由分步计数原理，有A 33A 55＝720种不同排法．(2)先将男生排好，共有A 44种排法，再在这4个男生的中间及两头的5个空当中插入3个女生有A 35种方案，故符合条件的排法共有A 44A 35＝1 440种不同排法．(3)甲、乙两人先排好，有A 22种排法，再从余下5人中选3人排在甲、乙两人中间，有A 35种排法，这时把已排好的5人视为一整体，与最后剩下的两人再排，又有A 33种排法，这样总共有A 22A 35A 33＝720种不同排法．(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A 44种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有A 22种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中有A 25种排法．这样，总共有A 44A 22A 25＝960种不同排法．(5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有A 47种排法．然后再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按身体高矮排列，故仅有一种排法．这样总共有A 47＝840种不同排法．。

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式高考在本章一般命制1道小题或者1道解答题，分值占5～17分.2.考查内容计数原理常与古典概型综合考查；对二项式定理的考查主要是利用通项公式求特定项；对正态分布的考查，可能单独考查也可能在解答题中出现；以实际问题为背景，考查分布列、期望等是高考的热点题型.3.备考策略从2019年高考试题可以看出，概率统计试题的阅读量和信息量都有所加强，考查角度趋向于应用概率统计知识对实际问题作出决策.第一节两个计数原理、排列与组合[最新考纲] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类〞和“步〞，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.3.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.4.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．1．两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法结论完成这件事共有N ＝m ＋n 种不同的方法完成这件事共有N ＝mn 种不同的方法2.排列、组合的定义 排列的定义 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组3.排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数 公式A mn ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！n －m ！C m n ＝A mn A m m＝n n －1n －2…n －m ＋1m ！性质 A nn ＝n ！，0！＝1 C mn ＝C n －mn ，C mn ＋C m －1n ＝C mn ＋1一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列． ( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( ) (4)k C kn ＝n C k －1n －1.( )[答案](1)× (2)√ (3)√ (4)√ 二、教材改编1．图书馆的一个书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取法有( )A ．12B ．16C ．64D ．120B [书架上共有3＋5＋8＝16本不同的书，从中任取一本共有16种不同的取法，应选B.]2．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )A．8 B．24C．48 D．120C[末位只能从2,4中选一个，其余的三个数字任意排列，故这样的偶数共有A34C12＝4×3×2×2＝48个．应选C.]3．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A．144 B．120C．72 D．24D[ [“插空法〞，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.]4．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，那么不同的报名方法的种数为．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，那么获得冠军的可能性有种. (用数字作答)4554[五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．]考点1 两个计数原理的综合应用利用两个基本计数原理解决问题的步骤第一步，审清题意，弄清要完成的事件是怎样的．第二步，分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一种．第三步，弄清在每一类或每一步中的方法种数．第四步，根据两个基本计数原理计算出完成这件事的方法种数．(1)如果一个三位正整数如“a1a2a3〞满足a1＜a2，且a2＞a3，那么称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为( )A．240 B．204 C．729 D．920(2)(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，那么小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24 B．18C．12 D．9(3)如下图的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，那么不同的涂色方法种数为( )A．24 B．48C．72 D．96(1)A(2)B(3)C[(1)如果这个三位数含0，那么0必在末位，共有这样的凸数C29个；如果这个三位数不含0，那么这样的凸数共有C39A22＋C29个．即共有2C29＋C39A22＝240个．(2)从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条．如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.(3)法一：(以位置为主考虑)分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，有4×3×2＝24种涂法．②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48种涂法．故共有24＋48＝72种涂色方法．法二：(以颜色为主考虑)分两类．(1)取4色：着色方法有2A44＝48(种)．(2)取3色：着色方法有A34＝24(种)．所以共有着色方法48＋24＝72(种)．](1)应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步：分类要做到“不重不漏〞，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整〞，步步相连才能将事件完成．(2)较复杂的问题可借助图表来完成．(3)对于涂色问题：①分清元素的数目以及在不相邻的区域内是否可以使用同类元素；②注意对每个区域逐一进行，分步处理．[教师备选例题]1．甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，那么不同的传递方式共有( )A．4种B．6种C．10种D．16种B[分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)；同理，甲第一次踢给丙时，满足条件的也有3种传递方式．由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方式．]2.如下图的几何体是由三棱锥P­ABC与三棱柱ABC­A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，那么不同的涂色方案共有( )A．6种B．9种C．12种D．36种C[先涂三棱锥P­ABC的三个侧面，有3×2＝6(种)涂法；然后涂三棱柱的三个侧面，有2×1＝2(种)涂法．共有6×2＝12(种)不同的涂法．]1.一个旅游景区的游览线路如下图，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，那么不同(除交汇点O外)的游览线路有( )A．6种B．8种C．12种D．48种D[从点P处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有C16种选法，参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有C14种选法，参观完第二个景点，参观第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任选一个，有C12种选法，那么共有C16C14C12＝48(种)线路．应选D.]2．(2019·河北六校联考)甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，那么不同的用车方案种数为( )A．64 B．80C．96 D．120B[5日至9日，日期尾数分别为5,6,7,8,9，有3天是奇数日，2天是偶数日．第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择，共有2×2＝4(种)；第二步，安排奇数日出行，分两类，第一类，选1天安排甲的车，另外2天安排其他车，有3×2×2＝12(种)，第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有23＝8(种)，共计12＋8＝20(种)．根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数为4×20＝80.]考点2 排列问题求解排列应用问题的6种常用方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素捆绑法的内部排列对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面插空法元素排列的空当中定序问题除法对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列处理 间接法正难那么反、等价转化的方法 3名女生和5名男生排成一排．(1)假设女生全排在一起，有多少种排法？ (2)假设女生都不相邻，有多少种排法？(3)[一题多解]假设女生不站两端，有多少种排法？ (4)其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？(5)[一题多解]其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？[解](1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有A 66种排法，而其中每一种排法中，3名女生之间又有A 33种排法，因此共有A 66·A 33＝4 320种不同排法．(2)(插空法)先排5名男生，有A 55种排法，这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A 36种排法，因此共有A 55·A 36＝14 400种不同排法．(3)法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从5名男生中选2人排，有A 25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A 66种排法，因此共有A 25·A 66＝14 400种不同排法．法二(元素分析法)：从中间6个位置选3个安排女生，有A 36种排法，其余位置无限制，有A 55种排法，因此共有A 36·A 55＝14 400种不同排法.(4)8名学生的所有排列共A 88种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占12，因此符合要求的排法种数为12A 88＝20 160.(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有A 77种不同排法；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A 16种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A 16种，其余人全排列，共有A 16·A 16·A 66种不同排法．由分类加法计数原理知，共有A 77＋A 16·A 16·A 66＝30 960种不同排法．法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有A 17种排法，余下7个位置全排，有A 77种排法，但应剔除乙在最右边时的排法A 16·A 66种，因此共有A 17·A 77－A 16·A 66＝30 960种排法．法三(间接法)：8名学生全排列，共A 88种，其中，不符合条件的有甲在最左边时，有A 77种排法，乙在最右边时，有A 77种排法，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A 66种排法．因此共有A 88－2A 77＋A 66＝30 960种排法．(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原那么，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．1.把5件不同的产品摆成一排，假设产品A与产品B相邻，且产品A与产品C 不相邻，那么不同的摆法有种．36[(捆绑法和插空法的综合应用)记其余两种产品为D，E.将A，B视为一个元素，先与D，E进行排列，有A22A33种方法，再将C插入，每种排列均只有3个空位可选，故不同的摆法共有A22A33×3＝2×6×3＝36(种)．]2．(2019·衡水高三大联考)现有一圆桌，周边有标号为1,2,3,4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，那么所有选座方法有种．(用数字作答)8[先按排甲，其选座方法有C14种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有A22种，所以共有坐法种数为C14·A22＝4×2＝8种．] 考点3 组合问题组合问题的常见类型与处理方法(1)“含有〞或“不含有〞某些元素的组合题型：“含〞，那么先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含〞，那么先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．(2)“至少〞或“至多〞含有几个元素的题型：假设直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长．现从中选5人主持某种活动，依以下条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选．[解](1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选．故共有C15·C48＝350种．(2)两队长当选，共有C22·C311＝165种．(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选．故共有C12·C411＋C22·C311＝825种．(或采用排除法：C513－C511＝825(种))．(4)至多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选．应选法共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种．含有附加条件的组合问题通常用直接法或间接法，应注意“至少〞“最多〞“恰好〞等词的含义的理解．1.某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天．假设6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，那么不同的安排方法共有( ) A．30种B．36种C．42种D．48种C[假设甲在11日值班，那么在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有C14种选法，9日、10日有C24C22种安排方法，共有C14C24C22＝24(种)安排方法；假设甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有C14C13C22种安排方法，共有12种安排方法；假设甲、乙都在10日值班，那么共有C24C22＝6(种)安排方法．所以总共有24＋12＋6＝42(种)安排方法．]2．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( ) A．232 B．252C．472 D．484C[分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有C14C212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，不同的取法共有C312－3C34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知，不同的取法有264＋208＝472(种)．]考点4 分组、分配问题分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配．(1)分组问题属于“组合〞问题，常见的分组方法有三种：①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；②部分均匀分组，应注意不要重复；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列〞问题，常见的分配方法有三种：①相同元素的分配问题，常用“挡板法〞；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配； ③有限制条件的分配问题，采用分类求解．整体均分问题国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有 种不同的分派方法．90 [先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种分派方法．]此题属于整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n (n 为均分的组数)，避免重复计数．部分均分问题将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有种．(用数字作答)1 560 [把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种． ①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有C 36C 13C 12C 11A 33＝20(种)； ②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有C 26C 24A 22·C 12C 11A 22＝45(种)．所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有65×A 44＝1 560(种)．]此题属于局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即假设有m 组元素个数相等，那么分组时应除以m ！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．(2019·淄博模拟)第二届“一带一路〞国际合作高峰论坛于2019年4月25日至27日在北京举行，为了保护各国元首的安全，将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作，且这三个区域每个区域至少有一个安保小组，那么这样的安排方法共有( )A ．96种B ．100种C ．124种D ．150种D [因为三个区域每个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分组的情况：一种是1,1,3，另一种是1,2,2.当按照1,1,3来分时，共有N 1＝C 15C 14C 33A 22·A 33＝60(种)，当按照1,2,2来分时，共有N 2＝C 25C 23C 11A 22·A 33＝90(种)，根据分类加法计数原理知N ＝N 1＋N 2＝150种．]不等分问题(1)假设将6名教师分到3所中学任教，一所1名， 一所2名，一所3名，那么有 种不同的分法．(2)把8个相同的小球全部放入编号为1,2,3,4的四个盒中，那么不同的放法种数为( )A ．35B ．70C ．165D ．1 860(1)360 (2)C [(1)将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C 16种分法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C 25种分法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C 33种分法．根据分步乘法计数原理，共有C 16C 25C 33＝60种分法．再将这3组教师分配到3所中学，有A 33＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．(2)根据题意，分4种情况讨论：①没有空盒，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选3个，插入隔板，将小球分成4组，顺次对应4个盒子，有C 37＝35种放法；②有1个空盒，在4个盒中任选3个，放入小球，有C 34＝4种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选2个，插入隔板，将小球分成3组，顺次对应3个盒子，有C 27＝21种分组方法，那么有4×21＝84种放法；③有2个空盒，在4个盒中任选2个，放入小球，有C 24＝6种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选1个，插入隔板，将小球分成2组，顺次对应2个盒子，有C 17＝7种分组方法，那么有6×7＝42种方法；④有3个空盒，即将8个小球全部放进1个盒子，有4种放法．故一共有35＋84＋42＋4＝165种放法．]此题属于不等分问题，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．1.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A．18种B．24种C．36种D．72种C[1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有C13C22A33种.1个路口1人，2个路口各2人的分配方法有C23C22A33种，由分类加法计数原理知，甲、乙在同一路口的分配方案为C13C22A33＋C23C22A33＝36种．]2．(2019·唐山二模)将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，那么不同的分配方案共有种．(用数．．字作答．．．)660[假设甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有C26C24A33种，假设甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有C36A33种，那么不同的分配方案共有C26C24A33＋C36A33＝660种．]。

第2讲 排列与组合1．排列、组合的定义判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( ) (4)若组合式C xn ＝C mn ，则x ＝m 成立．( ) (5)A mn ＝n (n －1)(n －2)…(n －m )．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．6B ．8C ．12D ．16解析：选C.由于lg a －lg b ＝lg ab，从3，5，7，11中取出两个不同的数分别赋值给a 和b 共有A 24＝12种，所以得到不同的值有12个．(2017·高考全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A．12种B．18种C．24种D．36种解析：选D.因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2，1，1，有C24C12C11A22＝6种，再分配给3个人，有A33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种．解析：由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C26C15＝75(种)．答案：75有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．解析：由题意知，从剩余7人中选出4人担任其余4个学科的课代表，共有A47＝840(种)．答案：840排列应用题[典例引领]3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起．【解】(1)从7个元素中选出5个全排列，有A57＝2 520种排法．(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A77＝5 040 种排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝A33·A44·A22＝288(种)．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A44种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A35种排法，故N＝A44·A35＝1 440(种)．在本例条件下，求不同的排队方案的方法种数：(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端．解：(1)先排甲有4种，其余有A66种，故共有4·A66＝2 880种排法．(2)先排甲、乙，再排其余5人，共有A22·A55＝240种排法．求解有限制条件排列问题的主要方法排列数．(2)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确．[通关练习]1．3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层，则同类书不相邻的放法种数为( )A．36 B．72C．108 D．144解析：选B.3本数学书的放法有A33种，将3本语文书插入使得语文数学均不相邻的插法有2A33种，故同类书不相邻的放法有2A33A33＝2×6×6＝72(种)，故选B.2．(2018·兰州市高考实战模拟)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有( )A．A1818种B．A2020种C．A23A318A1010种D．A22A1818种解析：选D.中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有A22种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有A1818种站法．根据分步计数原理，共有A22A1818种站法．故选D.组合应用题[典例引领]要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．【解】(1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．由分类加法计数原理知总选法数为C15C47＋C25C37＋C35C27＋C45C17＋C55＝771(种)．法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”，可用间接法求解．从12人中任选5人有C512种选法，其中全是男代表的选法有C57种．所以“至少有1名女生入选”的选法有C512－C57＝771(种)．(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可，共有C310＝120种选法．(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有C510种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为C512－C510＝540(种)．在本例条件下，求至多有2名女生入选的选法种数．解：至多有2名女生入选包括以下几种情况：0女5男，1女4男，2女3男，由分类加法计数原理知总选法数为C57＋C15C47＋C25C37＝546(种)．两类有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？ (2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？解：(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C 24C 12C 12＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C 24C 24，又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C 24种，因此满足条件的不同选法种数为C 24C 24－C 24＝30(种)．排列、组合的综合应用(高频考点)排列与组合是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为中档题．高考对此问题的考查主要有以下三个命题角度：(1)相邻、相间问题； (2)分组、分配问题； (3)特殊元素(位置)问题．[典例引领]角度一 相邻、相间问题(2018·福建漳州八校联考)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有( )A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种【解析】 特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C 12种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有C 12A 44A 22＝96种，故选C.【答案】 C角度二 分组、分配问题(2018·福建厦门海沧实验中学等联考)将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有( )A ．240种B ．180种C ．150种D ．540种【解析】 5名学生可分成2，2，1和3，1，1两种形式， 当5名学生分成2，2，1时，共有12C 25C 23A 33＝90种方法，当5名学生分成3，1，1时，共有C 35A 33＝60种方法， 根据分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法． 【答案】 C角度三 特殊元素(位置)问题从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有________个．【解析】 分三类：第一类，没有2，3，由其他三个数字组成三位数，有A 33＝6个；第二类，只有2或3，需从1，4，5中选两个数字，可组成2C 23A 33＝36个；第三类，2，3均有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成12C 13A 33＝9个．故这样的三位数共有51个．【答案】 51解排列、组合综合应用问题的思路[通关练习]1．高三某班课外演讲小组有4名男生，3名女生，从中选拔出3名男生，2名女生，然后让这5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方法种数有( )A ．864B ．432C ．288D ．144解析：选A.选3男2女的选法有C 34C 23＝12种方法，5人在班内逐个进行演讲且两位女生不连续演讲，有A 33A 24＝72，所以共有12×72＝864种．2．某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为( )A ．A 26C 24 B.12A 26C 24 C ．A 26A 24 D ．2A 26解析：选B.法一：将4人平均分成两组有12C 24种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A 26(种)．所以不同的安排方法有12C 24A 26(种)．法二：先从6个班级中选2个班级有C 26种不同方法，然后安排学生有C 24C 22种，故有C 26C 24C 22＝12A 26C 24(种)．3．(2017·高考天津卷)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答) 解析：一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C14C35A44＝960个，四个数字都是奇数的四位数有A45＝120个，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．答案：1 080对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．易错防范(1)区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关．(2)解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．1．不等式A x8＜6×A x－28的解集为( )A．[2，8] B．[2，6]C．(7，12) D．{8}解析：选D.由题意得8！（8－x）！＜6×8！（10－x）！，所以x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12.又x≤8，x－2≥0，所以7＜x≤8，x∈N*，即x＝8.2．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A．85 B．56C．49 D．28解析：选C.由于丙不入选，相当于从9人中选派3人．甲、乙两人均入选，有C22C17种选法，甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种选法．所以由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49种不同选法．3．从1，3，5中取两个数，从2，4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为( )A．12 B．18C．24 D．36解析：选C.从1，3，5中取两个数有C23种方法，从2，4中取一个数有C12种方法，而奇数只能从1，3，5取出的两个数之一作为个位数，故奇数的个数为C23C12A12A22＝3×2×2×2×1＝24.4．某县委将7位大学生志愿者(4男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有( )A．36种B．68种C．104种D．110种解析：选C.分组的方案有3、4和2、5两类，第一类有(C37－1)·A22＝68种；第二类有(C27－C23)·A22＝36种，所以共有N＝68＋36＝104(种)．5. 如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为( ) A．30 B．42C．54 D．56解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点，有C38种取法，再减去三点共线的情形即可，即C38－C35－C34＝42.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A．192种B．216种C．240种D．288种解析：选B.第一类：甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120种方法；第二类：乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96种方法．所以共有120＋96＝216种方法．7．某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为( )A．1 860 B．1 320C．1 140 D．1 020解析：选C.当A，B节目中只选其中一个时，共有C12C36A44＝960种演出顺序；当A，B节目都被选中时，由插空法得共有C26A22A23＝180种演出顺序，所以一共有1 140种演出顺序．8．(2018·河南天一大联考)如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法共有( )A．360种B．720种C．780种D．840种解析：选B.由题意知2，3，4，5的颜色都不相同，先涂1：有6种方法，再涂2，3，4，5，有A45种方法，故一共有6·A45＝720(种)．9．(2018·福建漳州八校第二次联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是( ) A．540 B．480C．360 D．200解析：选D.由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有C15C15 A22＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C14＝4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有50×4＝200(个)．10．(2018·温州中学高三模拟)身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲丁不相邻的不同的排法共有( )A．12 B．14C．16 D．18解析：选B.从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可记为1，2，3，4，5.要求1，4不相邻．分四类：①先排4，5时，则1只有1种排法，2，3在剩余的两个位上，这样有A22A22＝4种排法；②先排3，5时，则4只有1种排法，2，1在剩余的两个位上，这样有A22A22＝4种排法；③先排1，2时，则4只有1种排法，3，5在剩余的两个位上，这样有A22A22＝4种排法；④先排1，3时，则这样的数只有两个，即21534，43512，只有两种排法．综上共有4＋4＋4＋2＝14种排法，故选B.11．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A．18种B．24种C．36种D．72种解析：选C.不同的分配方案可分为以下两种情况：①甲、乙两人在一个路口，其余三人分配在另外的两个路口，其不同的分配方案有C23A33＝18(种)；②甲、乙所在路口分配三人，另外两个路口各分配一个人，其不同的分配方案有C13A33＝18(种)．由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有18＋18＝36(种)．12．(2018·黑龙江哈尔滨第六中学期末)某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为( )A．484 B．472C．252 D．232解析：选B.若三班有1人入选，则另两人从三班以外的12人中选取，共有C14C212＝264种选法．若三班没有人入选，则要从三班以外的12人中选3人，又这3人不能全来自同一个班，故有C312－3C34＝208种选法．故总共有264＋208＝472种不同的选法．13．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有________种．解析：把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数为A24＝12(种)．其中正确的有一种，所以错误的共A24－1＝12－1＝11(种)．答案：1114．(2018·江西八所重点中学联合模拟)摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________．(用数字作答)解析：从5人中任选3人有C35种，将3人位置全部进行调整，有A22种，故有N＝C35A22＝20种调整方案．答案：2015．(2017·高考浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)解析：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C48－C46＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A24＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．答案：66016．用1，2，3，4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．解析：首先排两个奇数1，3，有A22种排法，再在2，4中取一个数放在1，3之间，有C12种方法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A22种排法，即满足条件的四位数的个数为A22C12A22＝8.答案：81．现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同)，计划将其放在4个车库中(每个车库放2辆)，则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有( ) A．144种B．108种C．72种D．36种解析：选C.从4种小车中选取2种有C24种选法，从4个车库中选取2个车库有C24种选法，然后将这2种小车放入这两个车库共有A22种放法；将剩下的2种小车每1种分开来放，因为同一品牌的小车完全相同，只有1种放法，所以共有C24C24A22＝72种不同的放法．故选C.2．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为( )A．360 B．520C．600 D．720解析：选C.当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为2C35A44＝480，当甲、乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为A25A23＝120，则不同的发言顺序的种数为480＋120＝600，故选C.3．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对．解析：如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．一个正四面体中两条棱成60°角的有(C26－3)对，两个正四面体有(C26－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C26－3)×2×2＝48(对)．答案：484．数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，其中N2、N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1<N2<N3的所有排列的个数是________．解析：(元素优先法)由题意知6必在第三行，安排6有C13种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A25种方法，在留下的三位数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C12种方法，剩下的两个数字有A22种排法，根据分步乘法计数原理，所有排列的个数是C13A25C12A22＝240.答案：2405．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止．(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试，有C24·A22＝A24种测试方法，再排余下4件的测试位置，有A44种测试方法．所以共有A46·A24·A44＝103 680种不同的测试方法．(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有C14·C16·A44＝576种不同的测试方法．6．集合A＝{x∈Z|x≥10}，集合B是集合A的子集，且B中的元素满足：①任意一个元素的各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9.(1)集合B中两位数和三位数各有多少个？(2)集合B中是否有五位数？是否有六位数？(3)将集合B中的元素从小到大排列，求第1 081个元素．解：将0，1，…，9这10个数字按照和为9进行配对，(0，9)，(1，8)，(2，7)，(3，6)，(4，5)，B中元素的每个数位只能从上面五对数中每对只取一个数构成．(1)两位数有C25×22×A22－C14×2＝72(个)；三位数有C35×23×A33－C24×22×A22＝432(个)．(2)存在五位数，只需从上述五个数对中每对取一个数即可找出符合条件的五位数；不存在六位数，若存在，则至少要从一个数对中取出两个数，则该两个数字之和为9，与B中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9矛盾，因此不存在六位数．(3)四位数共有C45×24×A44－C34×23×A33＝1 728(个)，因此第1 081个元素是四位数，且是第577个四位数，我们考虑千位，千位为1，2，3的四位数有3×C34×23×A33＝576(个)，因此第1 081个元素是4 012.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

第二节 排列与组合☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．排列与组合的概念(1)排列数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用A m n 表示。

(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用C mn 表示。

3．排列数、组合数的公式及性质(1)A mn ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！n －m ！(2)C m n＝A mn A m m＝nn －n －n －m ＋m ！＝n ！m ！n －m ！微点提醒1．排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”。

取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合。

2．排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题要先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍缩法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价转化。

小|题|快|练一 、走进教材1．(选修2－3P 25练习T 4改编)从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．6B ．8C ．12D ．16【解析】 由于lg a －lg b ＝lg a b，从3,5,7,11中取出两个不同的数分别赋值给a 和b 共有A 24＝12种，所以得到不同的值有12个。

故选C 。

【答案】 C2．(选修2－3P 27A 组T 5改编)2015年北京国际田联世界田径锦标赛，要从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有( )A ．30种B ．36种C ．42种D ．60种【解析】 分两类：第1类：有1名女生的有C 12·C 26＝2×15＝30种， 第2类：有2名女生的有C 22·C 16＝6，由分类加法计数原理得共有30＋6＝36(种)。

第2讲排列及组合最新考纲 1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.知识梳理1.排列及组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(2)＝)＝＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地＝1性质(1)0！＝1；＝n！(2)＝；＝＋1.判断正误(在括号内打“√〞或“×〞) (1)所有元素完全一样的两个排列为一样排列.( )(2)两个组合一样的充要条件是其中的元素完全一样.( )(3)假设组合式＝，那么x＝m成立.( )(4)＝.( )解析元素一样但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)不正确；假设＝，那么x＝m或n－m，故(3)不正确.答案(1)×(2)√(3)×(4)√2.从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，那么不同的送法种数是( )解析4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，那么不同的分配方法为＝24.答案B 3.(选修2－3P28A17改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，那么男女生都有的选法种数是( )解析法一选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有＋＝30种.法二从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即－－＝30.答案C 4.(2021·浙江三市十二校联考)用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数共有个；其中1，3，5三个数字互不相邻的六位数有个.解析用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字六位数共有＝720个；将1，3，5三个数字插入到2，4，6三个数字排列后所形成的4个空中的3个，故有＝144个.答案720 144 5.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(用数字作答).解析末位数字排法有，其他位置排法有种，共有＝48种.答案48 6.(2021·绍兴调研)某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，那么甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(用数字作答).解析法一(直接法)甲、乙两人均入选，有种.甲、乙两人只有1人入选，有种方法，∴由分类加法计数原理，共有＋＝49(种)选法.法二(间接法)从9人中选3人有种方法.其中甲、乙均不入选有种方法，∴满足条件的选排方法是－＝84－35＝49(种).答案49考点一排列问题【例1】(2021·河南校级月考)3名女生和5名男生排成一排.(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？(3)如果女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？解(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有种排法，因此共有·＝4 320(种)不同排法.(2)(插空法)先排5个男生，有种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有种排法，因此共有·＝14400(种)不同排法.(3)法一(位置分析法) 因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人，有种排法，剩余的位置没有特殊要求，有种排法，因此共有·＝14 400(种)不同排法.法二(元素分析法) 从中间6个位置选3个安排女生，有种排法，其余位置无限制，有种排法，因此共有·＝14 400(种)不同排法.(4)8名学生的所有排列共种，其中甲在乙前面及乙在甲前面的各占其中，∴符合要求的排法种数为＝20 160(种).(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置.法一(特殊元素法)甲在最右边时，其他的可全排，有种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有种；而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有种；其余人6个人进展全排列，有··种.由分类加法计数原理，共有＋··＝30 960(种).法二(特殊位置法)先排最左边，除去甲外，有种，余下7个位置全排，有种，但应剔除乙在最右边时的排法·种，因此共有·－·＝30 960(种).法三(间接法)8个人全排，共种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有种，乙在最右边时，有种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有－2＋＝30 960(种).规律方法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进展排列时一般采用特殊元素优先原那么，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.【训练1】(1)(2021·新余二模)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人参加队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，那么不同的参加方法种数为( )(2)(2021·抚顺模拟)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有( )解析(1)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3×4×5×6＝360种方法.(2)假设只有甲乙其中一人参加，有＝480种方法；假设甲乙两人都参加，有＝240种方法，那么共有480＋240＝720种方法，应选C.答案(1)C (2)C考点二组合问题【例2】某市工商局对35种商品进展抽样检查，其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有＝561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有种或者－＝＝5 984种.∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有＝2 100种.∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有种，选取3件假货有种，共有选取方式＋＝2100＋455＝2 555种.∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)选取3件的总数为，因此共有选取方式－＝6 545－455＝6 090种.∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.规律方法组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有〞或“不含有〞某些元素的组合题型；“含〞，那么先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含〞，那么先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少〞或“至多〞含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少〞及“至多〞这两个关键词的含义，，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【训练2】(1)(2021·邯郸一模)现有6个不同的白球，4个不同的黑球，任取4个球，那么至少有两个黑球的取法种数是( )(2)(2021·湖州市质检)假设从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，那么不同的取法共有( )D.66种C.65种种B.63种解析(1)分三类，取2个黑球有＝90种，取3个黑球有＝24种，取4个黑球有＝1种，故共有90＋24＋1＝115种取法，选B.(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，那么4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴共有不同的取法有＋＋＝66(种).答案(1)B (2)D考点三排列、组合的综合应用【例3】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解(1)为保证“恰有1个盒不放球〞，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？〞即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有×＝144(种).(2)“恰有1个盒内有2个球〞，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球〞及“恰有1个盒不放球〞是同一件事，所以共有144种放法.(3)确定2个空盒有种方法. 4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有种方法；第二类有序均匀分组有)·(＋)·)＝84(种).规律方法(1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进展分组，再对取出的元素或分好的组进展排列.(2)不同元素的分配问题，，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③局部均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异.其次对于一样元素的“分配〞问题，常用的方法是采用“隔板法〞.【训练3】 (1)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，那么不同的安排方案种数为( )(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，，每人2张，不同的获奖情况有种(用数字作答).解析(1)法一将4人平均分成两组有种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有(种).所以不同的安排方法有(种).法二先从6个班级中选2个班级有种不同方法，然后安排学生有种，故有＝(种).(2)把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有种分法，再分给4人有种分法，所以不同获奖情况种数为＋＝24＋36＝60.答案(1)B (2)60[思想方法]1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法及技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类及准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团〞排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难那么反，等价条件.[易错防范] 1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否及顺序有关.2.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，防止出现重复或遗漏.3.解组合应用题时，应注意“至少〞、“至多〞、“恰好〞等词的含义.4.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组及不平均分组的区别，防止重复或遗漏.。