数学建模实验2

第1篇一、实验目的本次实验旨在让学生掌握数学建模的基本步骤，学会运用数学知识分析和解决实际问题。

通过本次实验，培养学生主动探索、努力进取的学风，增强学生的应用意识和创新能力，为今后从事科研工作打下初步的基础。

二、实验内容本次实验选取了一道实际问题进行建模与分析，具体如下：题目：某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售量。

表中给出了1977—1981年公司的销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元）。

1. 数据准备：将数据整理成表格形式，并输入到计算机中。

2. 数据分析：观察数据分布情况，初步判断是否适合使用线性回归模型进行拟合。

3. 模型建立：利用统计软件（如MATLAB、SPSS等）进行线性回归分析，建立公司销售额对全行业的回归模型。

4. 模型检验：对模型进行检验，包括残差分析、DW检验等，以判断模型的拟合效果。

5. 结果分析：分析模型的拟合效果，并对公司销售量的预测进行评估。

三、实验步骤1. 数据准备将数据整理成表格形式，包括年份、季度、公司销售额和行业销售额。

将数据输入到计算机中，为后续分析做准备。

2. 数据分析观察数据分布情况，绘制散点图，初步判断是否适合使用线性回归模型进行拟合。

3. 模型建立利用统计软件进行线性回归分析，建立公司销售额对全行业的回归模型。

具体步骤如下：（1）选择合适的统计软件，如MATLAB。

（2）输入数据，进行数据预处理。

（3）编写线性回归分析程序，计算回归系数。

（4）输出回归系数、截距等参数。

4. 模型检验对模型进行检验，包括残差分析、DW检验等。

（1）残差分析：计算残差，绘制残差图，观察残差的分布情况。

（2）DW检验：计算DW值，判断随机误差项是否存在自相关性。

5. 结果分析分析模型的拟合效果，并对公司销售量的预测进行评估。

四、实验结果与分析1. 数据分析通过绘制散点图，观察数据分布情况，初步判断数据适合使用线性回归模型进行拟合。

2. 模型建立利用MATLAB进行线性回归分析，得到回归模型如下：公司销售额 = 0.9656 行业销售额 + 0.01143. 模型检验（1）残差分析：绘制残差图，观察残差的分布情况，发现残差基本呈随机分布，说明模型拟合效果较好。

数学建模题目1. 引言数学建模是一种综合运用数学、统计学和计算机科学等学科的方法，对实际问题进行建模和求解的过程。

在现实生活中，我们经常面临各种各样的问题，而数学建模能够帮助我们分析问题、提出解决方案并进行优化。

本文将通过一个具体的数学建模题目来介绍数学建模的方法和过程。

2. 题目描述某公司有10个仓库，分布在不同的城市。

每个仓库都有不同的容量和固定的成本，同时也有不同的供应能力。

该公司需要根据需求来决定使用哪些仓库进行供应。

仓库的容量、成本和供应能力如下表所示：仓库编号容量（单位：件）成本（单位：元）供应能力（单位：件）110050050 220080080 315060070 43001000120 5250900100 615060070 720080080 8250900100 910050050 103001000120现在该公司收到了一批订单，需要发货。

订单的需求量为200件。

请问该公司应该选择哪些仓库来进行供应，以使得成本最低。

3. 模型建立我们可以使用线性规划模型来解决这个问题。

令 \(x_1, x_2, \ldots, x_{10}\) 表示选择与否的变量，其中 \(x_i\) 表示是否选择第 \(i\) 个仓库进行供应。

则该问题可以表示为如下的数学模型：\[ \text{minimize } C = \sum_{i=1}^{10} c_i \cdot x_i \]\[ \text{subject to } \sum_{i=1}^{10} a_i \cdot x_i \geq b \] \[ x_i \in \{0, 1\}, i = 1,2,\ldots,10 \]其中，\(C\) 表示总成本，\(c_i\) 表示第 \(i\) 个仓库的成本，\(a_i\) 表示第 \(i\) 个仓库的供应能力，\(b\) 表示订单的需求量。

4. 求解过程我们可以使用线性规划软件来求解上述的线性规划问题。

实验二： 微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。

二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。

其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。

（1） 微分方程 例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解 输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解 输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简 输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。

数学建模实验报告姓名：学院：专业班级：学号：数学建模实验报告（一）——用最小二乘法进行数据拟合一．实验目的：1.学会用最小二乘法进行数据拟合。

2.熟悉掌握matlab软件的文件操作和命令环境。

3.掌握数据可视化的基本操作步骤。

4.通过matlab绘制二维图形以及三维图形。

二．实验任务：来自课本64页习题：用最小二乘法求一形如y=a+b x2的多项式，使之与下列数据拟合：三．实验过程：1.实验方法：用最小二乘法解决实际问题包含两个基本环节：先根据所给出数据点的变化趋势与问题的实际背景确定函数类；然后按照最小二乘法原则求最小二乘解来确定系数。

即要求出二次多项式: y=a+b x2的系数。

2．程序：x=[19 25 31 38 44]y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]ab=y/[ones(size(x));x.^2];a=ab(1),b=ab(2)xx=19:44;plot(xx,a+b*xx.^2,x,y,'.')3.上机调试得到结果如下：x = 19 25 31 38 44y=19.0000 32.3000 49.0000 73.3000 97.8000a = 0.9726b = 0.0500图形：四．心得体会通过本次的数学模型的建立与处理，我们学习并掌握了用最小二乘法进行数据拟合，及多项式数据拟合的方法，进一步学会了使用matlab软件，加深了我们的数学知识，提高了我们解决实际问题的能力，为以后深入学习数学建模打下了坚实的基础。

数学建模实验报告（二）——用Newton法求方程的解一．实验目的1.掌握Newton法求方程的解的原理和方法。

2.利用Matlab进行编程求近似解。

二．实验任务来自课本109页习题4-2：用Newton法求f(x)=x-cosx=0的近似解三．实验过程1.实验原理：把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。

实验5 定积分的近似计算一、问题求定积分的近似值。

二、实验目的了解定积分计算的梯形法与抛物线法；会用Mathematica语言编写求定积分近似值的程序；会用Mathematica中的系统算符求定积分。

三、预备知识根据牛顿－莱布尼兹公式，定积分的值可以通过求原函数而计算出来，但在工程技术与科学实验中，有些定积分的被积函数的原函数可能求不出来，即使求出，计算也可能很复杂；特别地，当被积函数是用图形或表格给出时，更不能用牛顿－莱布尼兹公式计算。

因此必需寻求定积分的近似计算方法，根据定积分的几何意义就是曲线，直线，及轴所围的面积，因此有下述近似计算方法。

1．梯形法梯形法就是把曲边梯形分成若干窄小曲边梯形，然后用相应的窄小梯形来近似代替窄小曲边梯形，以窄小梯形的面积之和作为曲边梯形的近似值。

具体做法如下：用分点将区间 [，] 分成个等长的小区间，每个小区间的长度记为，设函数y =f (x) 对应于各分点的函数值为 y0 , y1 , y2 ,… yn ，如右图所示，每一个窄小梯形的面积为：＝＝(i =1,2,…n)从而有＝ (1)(1)式称为梯形法公式。

若时存在且，可以证明梯形法的误差为|－|对于较复杂函数f(x)，估计的上限往往比计算定积分本身更复杂，与实验四的牛顿迭代法的误差估计类似，在编程计算定积分时可采用如下方法估计误差。

记＝，误差限为，逐步计算，若则以A(n+1)作为的近似值，实现该方法的Mathematica程序如下。

f[x_]:=以x为自变量的函数表达式;er=误差限a=积分下限; b=积分上限;n=4;(*从4等分开始计算*)A[t_]:=((b-a)/t)*((f[a]+f[b])/2+Sum[f[a+i*(b-a)/t],{i,1,t-1}]); (*梯形法公式*) While[Abs[N[A[n+1]-A[n]]]>er,n=n+1];N[A[n]] (*输出定积分的近似值*)n (*输出计算停止时对[a,b]的等分数*)上述程序的效率并不高，因为在计算A(n+1)时没有利用到A(n)的信息，这里我们可以采用步长加倍法，即第二次计算时等分数加倍，A(2n)与A(n)的关系为A(2n)＝＝A(n)＋误差估计用，上述方法的Mathematica程序请读者自行考虑。

《数学建模与实验》教学大纲一、课程基本信息中文名称：数学建模与实验英文名称：Mathematical Modelingand Experiments课程编码：06104C课程类别：专业主干课总学时：64总学分：4适用专业：数学与应用数学信息与计算科学先修课程：高等代数数学分析解析几何C语言开课系部：应用数学系二、教学大纲1.课程的性质与任务数学建模是一门实践性很强的课程。

重点是如何建立数学模型，基本方法是机理分析法、数据分析法和计算机仿真。

本课程针对大学生数学建模竞赛，讲授数学建模的知识，介绍典型趣味范例、数学建模竞赛题目，还包括微分方程模型、线性规划模型、图论模型、回归模型、计算机模拟等数学内容，提高学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力，培养和增强学生的创新能力，为学生利用数学知识解决实际问题以及更好地适应未来的工作做必要的准备。

2.有关教学环节的要求本课程的教学以课堂讲授为主,实验为辅的教学方式。

考核方式：考核；结构成绩结合课程作业。

3．课程教学目的和要求第一章数学建模概论(2学时，实验2)教学目的与要求：1.理解数学模型和数学建模的意义;2.掌握数学建模的方法和步骤;3.了解数学模型的特点和建模能力的培养;4.了解数学模型的分类。

1.数学建模的意义；2.数学建模的方法和步骤；3.数学模型的分类。

第二章数学建模赛题选讲（4学时，实验4）教学目的与要求：1.了解一些数学建模的实际赛题，使学生能够了解数学建模在实际生产生活中的应用。

内容目录1.从近五年赛题中选择两到三个进行讲解。

2.建模流程。

第三章数模论文写作优秀模板（2学时，实验2）教学目的与要求：1.了解一些数学建模论文写作模版及写作技巧。

内容目录1.写作模版；2.写作技巧；3.优秀论文。

第四章初等数学方法建模（2学时，实验2）教学目的与要求：1.掌握参数比、类比、量纲分析等建模方法与实验;内容目录1.桌子能放平吗；2.刹车距离问题；第五章实验软件Matlab介绍（6学时，实验6）教学目的与要求：1.了解Matlab软件，初步掌握简单的编程方法;内容目录1.Matlab安装与界面；2.Matlab运算与表达式；3.Matlab程序结构；第六章线性代数模型（2学时，实验2）教学目的与要求：1.了解线性代数基本概念并能够利用线性代数解决一些实际问题; 内容目录1.人狗鸡米问题；2.夫妻过河；3.魔方（或幻方）问题。

一、实验背景与目的随着科学技术的不断发展，数学建模作为一种解决复杂问题的有力工具，在各个领域都得到了广泛应用。

本实验旨在通过数学建模的方法，解决实际问题，提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

二、实验内容与步骤1. 实验内容本实验选取了一道具有代表性的实际问题——某城市交通拥堵问题。

通过对该问题的分析，建立数学模型，并利用MATLAB软件进行求解，为政府部门提供决策依据。

2. 实验步骤（1）问题分析首先，对某城市交通拥堵问题进行分析，了解问题的背景、目标及影响因素。

通过查阅相关资料，得知该城市交通拥堵的主要原因是道路容量不足、交通信号灯配时不当、公共交通发展滞后等因素。

（2）模型假设为简化问题，对实际交通系统进行以下假设：1）道路容量恒定，不考虑道路拓宽、扩建等因素；2）交通信号灯配时固定，不考虑实时调整；3）公共交通系统运行正常，不考虑公交车运行时间波动；4）车辆行驶速度恒定，不考虑车辆速度波动。

（3）模型构建根据以上假设，构建以下数学模型：1）道路容量模型：C = f(t)，其中C为道路容量，t为时间；2）交通流量模型：Q = f(t)，其中Q为交通流量；3）拥堵指数模型：I = f(Q, C)，其中I为拥堵指数。

（4）模型求解利用MATLAB软件，对所构建的数学模型进行求解。

通过编程实现以下功能：1）计算道路容量C与时间t的关系；2）计算交通流量Q与时间t的关系；3）计算拥堵指数I与交通流量Q、道路容量C的关系。

（5）结果分析与解释根据求解结果，分析拥堵指数与时间、交通流量、道路容量之间的关系。

针对不同时间段、不同交通流量和不同道路容量，提出相应的解决方案，为政府部门提供决策依据。

三、实验结果与分析1. 结果展示通过MATLAB软件求解，得到以下结果：（1）道路容量C与时间t的关系曲线；（2）交通流量Q与时间t的关系曲线；（3）拥堵指数I与交通流量Q、道路容量C的关系曲线。

2. 结果分析根据求解结果，可以得出以下结论：（1）在高峰时段，道路容量C与时间t的关系曲线呈现下降趋势，说明道路容量在高峰时段不足；（2）在高峰时段，交通流量Q与时间t的关系曲线呈现上升趋势，说明交通流量在高峰时段较大；（3）在高峰时段，拥堵指数I与交通流量Q、道路容量C的关系曲线呈现上升趋势，说明拥堵指数在高峰时段较大。

N MOA B P 2图4321A CP B D AB C图1A B D C AB D CPP ONM BA 第二章 角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。

结论：PB=PA 。

模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。

求证：AP 平分∠BAC 。

热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。

求证：∠BAD+∠BCD=180°。

2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。

模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。

结论：△OPB ≌△OPA 。

图2DP AB C D C 1图P B A ABC DA BC DE DC B AP ONM B A 模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。

《数学建模与数学实验》实验报告实验二水道测量专业、班级信息1002 学号201010010213 姓名兰雪娇课程编号81010240 实验类型验证性学时 2实验（上机）地点教七楼数学实验中心完成时间2012-6-7任课教师谷根代评分一、实验目的及要求1．掌握数学软件Matlab的基本用法和一些常用的规则，能用该软件进行编程；2．能够借助数学软件进行二维和三维网格化数据绘图；3．理解数据生成的基本方法。

二、借助数学软件，研究、解答以下问题（一）依题“水道测量”所给数据和要求，讨论在下面假设情况下的模型。

假设：（1）海底光滑，无暗礁（因浅水海域）；（2）每个给定的数据点对未知点的影响与它们之间距离的平方成反比。

【解】：由于是在考察水域内随机测量有限个数据点，因此所得的数据是散乱的，这就必须对这些散乱数据进行规则化处理。

散乱数据规则化处理的一般流程是：散乱数据的三角剖分→三角网格优化→构造插值曲面→生成规则网格数据1.1 三角剖分一般地，如果一组三维散乱数据点能够有效地投影到某个平面，就可以把空间三角剖分简化为平面问题处理。

曲面较为平坦时，用这样的方法处理效果比较好。

水道的水底面起伏较大，若将三维散乱数据投影到平面上进行三角剖分将明显改变相邻三角形之间的内角关系，也无法真实反映其空间的角度关系，从而影响剖分效果。

因此，这里采用曲面上散乱数据三角剖分的Choi算法。

1.2 三角网格优化这里采用光顺准则对三角网格进行优化，即当空间四边形严格凸时，选择一条对角线（即一对三角形）使得该四边形四条边上的两共边三角形（面）之间的最小夹角最大。

如图2所示，设空间中一个严格凸的四边形ABCD ，四边形由四边e 1,e 2,e 3,e 4界定。

该四边形可看作三角网格中的一个局部区域，我们的目标是利用光顺准则使该局部区域与周围的三角网格光滑的相连接，即对该四边形选择一种三角剖分，使得四条边上两条边三角形（面）之间的最小夹角最大。

数学建模题目：卡车采购姓名1：张志学号：3320130894150姓名2：邱曹富学号：3320130894151姓名3：贾泽银学号：3320130894153专业: 电气工程与自动化班级:电气13（3）-1指导教师：李燕2016 年5 月25 日摘要在如今这个经济高效的时代，我们应该利用有限的资源来获取最大的经济效益，本文考虑到公司所给的拨款、公司目前司机人数、意向购买车辆的各项条件，通过建立线性规划模型，采用lingo软件，确定了所能购买卡车的数量，使公司每天的总运力最大。

首先，考虑规划模型的约束条件，即人员条件、时间条件、卡车购买数量条件满足在规定的要求内，再以各卡车总运力最大为目标函数，使用lingo软件确定其最优解为A车0辆，B车21辆，C车1辆，从而给卡车公司提出指导性建议。

关键词：线性规划，lingo软件1、问题重述某卡车公司拨款8，000，000元用于购买新的运输工具。

可供选择的卡车有A车需要一名司机，如果每天三班工作，每天平均可以运行18小时；当地法律规定，B、C车必须配备两名司机。

三班工作时B每天可以运行18小时，而C可以运行21个小时。

该公司目前每天有150名司机可用，而且在短期内无法招募到其它训练有素的司机，并且禁止任何一名司机每天工作超过一个班次。

由于公司维修设备有限，购买的卡车数量不能超过30辆。

建立数学模型，帮助公司确定购买卡车的数量，使公司每天的总运力最大。

2、模型假设所给数据是真实的，卡车价格不会收其他因素影响，司机每天的工作时间不会发生较大的变化。

3、符号说明X1 表示A的购买数量X2 表示B的购买数量X3 表示C的购买数量a1 表示A的载重量a2 表示B的载重量a3 表示C的载重量v1 表示A的平均速度v2 表示B的平均速度v3 表示C的平均速度p1 表示A的价格p2 表示B的价格p3 表示C的价格t1 表示A的运行时间t2 表示B的运行时间t3 表示C的运行时间n1 表示A的配备人数n2 表示B的配备人数n3 表示C的配备人数W 表示工厂每天总运力4、模型的建立与求解（1）总运力为时间、速度和运行时间的乘积之和总运力w=v1*t1*a1*x1+v2*t2*a2*x2+v3*t3*a3*x3，（2）由于公司维修设备有限，购买的卡车数量不能超过30辆有以下方程x1+x2+x3<=30（3）只有拨款8，000，000元用于购买新的运输工具则：p1*x1+p2*x2+p3*x3<=8000000（4）公司目前每天有150名司机可用，而且在短期内无法招募到其它训练有素的司机，并且禁止任何一名司机每天工作超过一个班次则3*n1*x1+3*n2*x2+3*n3*x3<=150，即n1*x1+n2*x2+n3*x3<=50结果：5、模型的评价5.1模型的缺点由于题目数据有限，考虑情况受限制，无法精确预测卡车数量；模型是在合理假设的前提下进行的，但是，实际情况千变万化，与实际还有一定的差距，所以模型和实际情况或多或少存在误差。

实验2实验报告2013326601054 夏海浜13信科1班一、完成教材（2013高教版）实验；P2131.求解线性规划问题clearf=[3,2,-8,5];A=[-3,6,-5,2;7,-3,-1,3];b=[-3,-1];Aeq=[1,8,1,-1];Beq=[-2];LB=[0;;0];[X,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,Aeq,Beq,LB)2.某快餐店一周中每天需要不同数目的雇员，设周一至少a1员，周二至少a2人，周三至少a3人，周四至少a4员，周五至少a5人，周六至少a6人，周日至少a7人，有规定雇员连续工作五天，每人每天的工资为C元，问快餐店怎样雇佣才能满足条件，又能使总聘用费最少。

clearf=[100,100,100,100,100,100,100];A=[-1,0,0,-1,-1,-1,-1;-1,-1,0,0,-1,-1,-1;-1,-1,-1,0,0,-1,-1;-1,-1,-1,-1,0,0,-1;-1,-1,-1,-1,-1,0,0;0,-1,-1,-1,-1,-1,0;0,0,-1,-1,-1,-1,-1];b=[-16,-15,-16,-19,-14,-12,-18];[X,fval]=linprog(f,A,b)ans =1221P2183.求函数f(x)=x^2+4x+4的最小值。

clearfun='x^2+4*x+4'ezplot(fun,[-12,8])[X,fval,exitflag,output]=fminbnd(fun,-12,8)>> Untitled8 fun =x^2+4*x+4X =-2fval =exitflag =1output =iterations: 5funcCount: 6algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation' message: '优化已终止:当前的 x 满足使用 1.000000e-04 的 OPTIONS.TolX 的终止条件'4.在区间【-10，10】上，求函数f(x)=(x-2)^4*sin(x)-(x-1)^2*cos(x)的最小值clearfun='(x-2)^4*sin(x)-(x-1)^2*cos(x)'ezplot(fun,[-10,10])[X,fval,exitflag,output]=fminbnd(fun,-10,10)>> Untitled9fun =(x-2)^4*sin(x)-(x-1)^2*cos(x) X =-2.2939fval =-247.6956exitflag =1output =iterations: 13funcCount: 14algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation'message: '优化已终止:当前的x 满足使用1.000000e-04 的OPTIONS.TolX 的终止条件P2221.求有约束的线性优化问题：min f(x)=1/3*(x1+)^3+x2,约束条件为x1-1>=0,x2>=0.min=1/3*(x1+1)^3+x2;x1>=1;end运行结果：Local optimal solution found.Objective value: 2.666667Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 5Total solver iterations: 44Variable Value Reduced CostX1 1.000000 0.000000X2 0.000000 1.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 2.666667 -1.0000002 0.000000 -4.0000002.求有约束的非线性规划问题：minf(x)=2x1^2+2x2^2-2x1x2-4x1-6x2,约束条件为：x1+x2<=2,X1+5x2<=5,X1>=0,X2>=0,解：解：min=2*x1^2+2*x2^2-2*x1*x2-4*x1-6*x2;x1+x2<=2;x1+5*x2<=5;end运行结果：Local optimal solution found.Objective value: -7.161290 Infeasibilities: 0.4440892E-15Extended solver steps: 5Total solver iterations: 30Variable Value Reduced CostX1 1.129032 0.000000X2 0.7741935 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 -7.161290 -1.0000002 0.9677419E-01 0.0000003 0.000000 1.032258二、lingo完成PPT上练习题；1.max=5*x1+8*x2;x1+x2<=6;5*x1+9*x2<=45;x1>=0;x2>=0;endGlobal optimal solution found.Objective value: 41.25000 Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 2.250000 0.000000X2 3.750000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 41.25000 1.0000002 0.000000 1.2500003 0.000000 0.75000004 2.250000 0.0000005 3.750000 0.0000002.min=3*x^2+2*y^2+z^2+2*x*y-y*z-0.8*y*z;x+y+z=1;1.3*x+1.2*y+1.08*z>=1.12;x>=0;x<=0.75;y>=0;y<=0.75;z>=0;z<=0.75;endGlobal optimal solution found.Objective value: 0.2479167Objective bound: 0.2479167 Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 1Total solver iterations: 93Variable Value Reduced CostX 0.000000 0.000000Y 0.3958333 0.000000Z 0.6041667 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 0.2479167 -1.0000002 0.000000 -0.49583333 0.7500000E-02 0.0000004 0.000000 -0.29583335 0.7500000 0.0000006 0.3958333 0.0000007 0.3541667 0.0000008 0.6041667 0.0000009 0.1458333 0.0000003.sets:D/1..7/:a;endsetsf=a(7);a(1)=1;a(2)=1;@for(D(i)|i#ge#3:a(i)=a(i-1)+a(i-2));endFeasible solution found.Total solver iterations: 0Variable ValueF 13.00000A( 1) 1.000000A( 2) 1.000000A( 3) 2.000000A( 4) 3.000000A( 5) 5.000000A( 6) 8.000000A( 7) 13.00000Row Slack or Surplus1 0.0000002 0.0000003 0.0000004 0.0000005 0.0000006 0.0000007 0.0000008 0.0000001.min=-x1-5*x2;x1-x2>=-2;5*x1+6*x2<=30;x1<=4;x1>=0;x2>=0;@gin(x1);@gin(x2);endGlobal optimal solution found.Objective value: -17.00000Objective bound: -17.00000 Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX1 2.000000 -1.000000X2 3.000000 -5.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 -17.00000 -1.0000002 1.000000 0.0000003 2.000000 0.0000004 2.000000 0.0000005 2.000000 0.0000006 3.000000 0.0000002.max=3*x1-2*x2+5*x3;x1+2*x2-x3<=2;x1+4*x2+x3<=4;x1+x2<=3;4*x2+x3<=6;@bin(x1);@bin(x2);@bin(x3);endGlobal optimal solution found.Objective value: 8.000000Objective bound: 8.000000 Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX1 1.000000 -3.000000X2 0.000000 2.000000X3 1.000000 -5.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 8.000000 1.0000002 2.000000 0.0000003 2.000000 0.0000004 2.000000 0.0000005 5.000000 0.0000003.min=13*x1+9*x2+10*x3+11*x4+12*x5+8*x6;x1+x4=400;x2+x5=600;x3+x6=500;0.4*x1+1.1*x2+x3<=800;0.5*x4+1.2*x5+1.3*x6<=900;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);endGlobal optimal solution found.Objective value: 13800.00Objective bound: 13800.00 Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX1 0.000000 13.00000X2 600.0000 9.000000X3 0.000000 10.00000X4 400.0000 11.00000X5 0.000000 12.00000X6 500.0000 8.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 13800.00 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 140.0000 0.0000006 50.00000 0.0000004.sets:cities/s,a1,a2,a3,b1,b2,c1,c2,t/:l;roads(cities,cities)/s,a1 s,a2 s,a3a1,b1 a1,b2 a2,b1a2,b2 a3,b1 a3,b2b1,c1 b1,c2 b2,c1 b2,c2c1,t c2,t/:d;endsetsdata:d=6 3 36 5 8 67 46 7 8 95 6;enddatal(1)=0;@ for(cities(i ) |i#gt#@index(s ) :l(i )=@min(roads(j,i ) : l(j)+d(j,i )));endFeasible solution found.Total solver iterations: 0Variable ValueL( S) 0.000000L( A1) 6.000000L( A2) 3.000000L( A3) 3.000000L( B1) 10.00000L( B2) 7.000000L( C1) 15.00000L( C2) 16.00000L( T) 20.00000D( S, A1) 6.000000D( S, A2) 3.000000D( S, A3) 3.000000D( A1, B1) 6.000000D( A1, B2) 5.000000D( A2, B1) 8.000000D( A2, B2) 6.000000D( A3, B1) 7.000000D( A3, B2) 4.000000D( B1, C1) 6.000000D( B1, C2) 7.000000D( B2, C1) 8.000000D( B2, C2) 9.000000D( C1, T) 5.000000D( C2, T) 6.000000Row Slack or Surplus1 0.0000002 0.0000003 0.0000004 0.0000005 0.0000006 0.0000007 0.0000008 0.0000009 0.000000。

基本实验1.微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随t 增加的运动方向，确定平衡点，并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：解答：（1）由平衡点的定义可得，f(x)=x=0，f(y)=y=0，因此平衡点为(0,0)，系统的线性近似方程的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001A ，解得其特征值121==λλ.()0221<-=+-=λλp ,0121>=⋅=λλq .对照稳定性的情况表，可知平衡点(0, 0)是不稳定的。

自治系统相应轨线为：（2）由平衡点的定义可得，f(x)=-x=0，f(y)=2y=0，因此平衡点为(0,0)，系统的线性近似方程的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2001A ，解得其特征值2;121=-=λλ.()0121<-=+-=λλp ,0221<-=⋅=λλq .对照稳定性的情况表，可知平衡点(0, 0)是不稳定的。

自治系统相应轨线为：（3）由平衡点的定义可得，f(x)=y=0，f(y)=-2x=0，因此平衡点为(0,0)，系统的线性近似方程的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0210A ，解得其特征值i i 2;221-==λλ.()021=+-=λλp ,0221>=⋅=λλq .对照稳定性的情况表，可知平衡点(0, 0)是不稳定的。

自治系统相应轨线为：（4）由平衡点的定义可得，f(x)=-x=0，f(y)=-2y=0，因此平衡点为(0,0)，系统的线性近似方程的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2001A ，解得其特征值2;121-=-=λλ.()0321>=+-=λλp ,0221>=⋅=λλq .对照稳定性的情况表，可知平衡点(0, 0)是稳定的。

自治系统相应轨线为：2.营养平衡问题营养以每单位时间R 个分子的常速流入一个细胞，并且以其内营养浓度成比例的速度离开，比例常数为K ，设N 为t 时刻的浓度，则上述营养变化速度的数学描述为：KN R dtdN-= 即N 的变化速度等于营养进入细胞的速度减去它们离开的速度，营养的浓度会达到平衡吗？如果能，平衡解是什么？它是稳定的吗？试用这个方程解的图示解释之。

《数学建模》实验报告二院系专业学号姓名指导教师二Ｏ一五年四月十六日第一部分：数学建模论文P135：11题有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的），由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如表1所示。

这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司，假定现在时间是早晨8：00，请问他们最早何时能离开公司？表1 面试时间要求单位：min一：问题的提出本题问题是要合理安排4名同学的面试顺序，使完成全部面试所花费的时间最少。

二：模型假设定义数学符号如下tij:第i名同学参加第j阶段面试需要的时间;xij:第i名同学参加第j阶段面试的开始时刻(记早上8：00面试开始为0时刻)(i=1, 2, 3, 4；j=1, 2, 3);T:完成全部面试所花费的最少时间。

三：模型建立目标函数：Min T={Max i{xi3+ti3}}模型约束条件：①每个人只有参加完前一阶段的面试后才能进入下一个阶段，则xij+tij<=x(i,j+1) （i=1, 2, 3, 4，j=1, 2）；②每个阶段j在同一时间只能面试1名同学，所以用0-1变量yik表示第k名同学是否排在第i名同学前面(1表示是，0表示否)，则xij+ tij–xkj<=Tyik (i, k=1, 2, 3, 4; j=1, 2, 3; i<k)xkj+ tkj–xij<=T(1–yik) (i, k=1, 2, 3, 4; j=1, 2, 3; i<k) 线性优化目标：Min Ts.t. T >=x13+ t13T >=x23+ t23T >=x33+ t33T >=x43+ t43xij+ tij <=x(i, j+1) (i=1, 2, 3, 4；j=1, 2)xij+ tij–xkj<=Tyik (i, k=1, 2, 3, 4; j=1, 2, 3; i<k)xkj+ tkj–xij<=T(1–yik)(i, k=1, 2, 3, 4; j=1, 2, 3; i<k)xi3+ ti3<=T (i=1, 2, 3, 4)四：模型解法与结果程序：Model:min =T;T >= x13+ t13;T >= x23+ t23;T >= x33+ t33;T >= x43+ t43;x11+ t11 <= x12;x12+ t12 <= x13;x21+ t21 <= x22;x22+ t22 <= x23;x31+ t31 <= x32;x32+ t32 <= x33;x41+ t41 <= x42;x42+ t42 <= x43;x11+ t11 - x21<= T*y12;x21+ t21 - x11<= T*(1-y12); x12+ t12 - x22<= T*y12;x22+ t22 - x12<= T*(1-y12); x13+ t13 - x23<= T*y12;x23+ t23 - x13<= T*(1-y12); x11+ t11 - x31<= T*y13;x31+ t31 - x11<= T*(1-y13); x12+ t12 - x32<= T*y13;x32+ t32 - x12<= T*(1-y13); x13+ t13 - x33<= T*y13;x33+ t33 - x13<= T*(1-y13); x11+ t11 - x41<= T*y14;x41+ t41 - x11<= T*(1-y14); x12+ t12 - x42<= T*y14;x42+ t42 - x12<= T*(1-y14); x13+ t13 - x43<= T*y14;x43+ t43 - x13<= T*(1-y14); x21+ t21 - x31<= T*y23;x31+ t31 - x21<= T*(1-y23); x22+ t22 - x32<= T*y23;x32+ t32 - x32<= T*(1-y23); x23+ t23 - x33<= T*y23;x33+ t33 - x23<= T*(1-y23); x21+ t21 - x41<= T*y24;x41+ t41 - x21<= T*(1-y24);x22+ t22 - x42<= T*y24;x42+ t42 - x22<= T*(1-y24);x23+ t23 - x43<= T*y24;x43+ t43 - x23<= T*(1-y24);x31+ t31 - x41<= T*y34;x41+ t41 - x31<= T*(1-y34);x32+ t32 - x42<= T*y34;x42+ t42 - x32<= T*(1-y34);x33+ t33 - x43<= T*y34;x43+ t43 - x33<= T*(1-y34);t11=13;t12=15;t13=20;t21=10;t22=20;t23=18;t31=20;t32=16;t33=10;t41=8;t42=10;t43=15;@bin(y12);@bin(y13);@bin(y14);@bin(y23);@bin(y24);@bin(y34);End运行结果：Local optimal solution found.Objective value: 84.00000Extended solver steps: 35Total solver iterations: 975Variable Value Reduced Cost T 84.00000 0.000000 X13 36.00000 0.000000 T13 20.00000 0.000000 X23 56.00000 0.000000 T23 18.00000 0.000000X33 74.00000 0.000000T33 10.00000 0.000000X43 18.00000 0.000000T43 15.00000 0.000000X11 8.000000 0.000000T11 13.00000 0.000000X12 21.00000 0.000000T12 15.00000 0.000000X21 21.00000 0.000000T21 10.00000 0.000000X22 36.00000 0.000000T22 20.00000 0.000000X31 31.00000 0.000000T31 20.00000 0.000000X32 56.40000 0.000000T32 16.00000 0.000000X41 0.000000 0.9999970T41 8.000000 0.000000X42 8.000000 0.000000T42 10.00000 0.000000Y12 0.000000 -83.99950Y13 0.000000 0.000000Y14 1.000000 83.99950Y23 0.000000 -83.99950Y24 1.000000 0.000000Y34 1.000000 0.000000五：模型结果的分析所有面试完成至少需要84分钟，其面试顺序为4-1-2-3 (即丁-甲-乙-丙)。

实验05 数学规划模型㈡（2学时）（第4章数学规划模型）1.（求解）汽车厂生产计划（LP，整数规划IP）p101~102(1) (LP)在模型窗口中输入以下线性规划模型max z = 2x1 + 3x2 + 4x3s.t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3≤ 600280x1 + 250x2 + 400x3≤ 60000x1, x2, x3≥ 0并求解模型。

★(1) 给出输入模型和求解结果（见[101]）：(2) (IP)在模型窗口中输入以下整数规划模型max z = 2x1 + 3x2 + 4x3s.t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3≤ 600280x1 + 250x2 + 400x3≤ 60000x1, x2, x3均为非负整数并求解模型。

LINGO函数@gin见提示。

★(2) 给出输入模型和求解结果（见[102]模型、结果）：2.（求解）原油采购与加工（非线性规划NLP ，LP 且IP ）p104~107模型：已知 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+≤≤+≤≤=)15001000(63000)1000500(81000)5000(10)(x x x x x xx c注：当500 ≤ x ≤ 1000时，c (x ) = 10 × 500 + 8( x – 500 ) = (10 – 8 ) × 500 + 8x112112221112212211112112122211122122max 4.8() 5.6()()500100015000.50.6,,,,0z x x x x c x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-+≤++≤≤≥+≥+≥2.1解法1（NLP ）p104~106将模型变换为以下的非线性规划模型：1121122212311122122111121121222123122312311122122max4.8()5.6()(1086)50010000.50.6(500)0(500)00,,500,,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-+++≤++≤≥+≥+=++-=-=≤≤≥LINGO 软件设置：局部最优解，全局最优解，见提示。