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PT100温度变送器的正温度系数补偿表1. 传感器特性Feature Thermocouple RTDResponse time BetterMaximum temperature HigherRuggedness BetterCost efficiency BetterAccuracy BetterLong-term stability BetterStandardization BetterRTD具有较高的精度，工作温度范围：-200°C至+850°C。
它们还具有较好的长期稳定性，利用适当的数据处理设备就可以传输、显示并记录其温度输出。
因为热敏电阻的阻值和温度呈正比关系，设计人员只需将已知电流流过该电阻就可以得到与温度成正比的输出电压。
根据已知的电阻-温度关系，就可以计算出被测温度值。
电阻值随温度的变化称为“电阻的温度系数”，绝大多数金属材料的温度系数都是正数，而且许多纯金属材料的温度系数在一定温度范围内保持恒定。
所以，热敏电阻是一种稳定的高精度、并具有线性响应的温度检测器。
具体应用中选用哪一种金属材料(铂、铜、镍等)取决于被测温度范围。
铂电阻在0°C的标称电阻值是100Ω，尽管RTD是一种标准化器件，但在世界各地有多种不同的标准。
这样，当同一标准的RTD用在不同标准的仪表设计中时将会产生问题。
表2. 铂电阻RTD的公共标准*Organization Standard ALPHA (): AverageTemperatureCoefficient ofResistance (/°C)NominalResistance at0°C ()British Standard BS 1904: 1984 0.003850 100Deutschen Institut für Normung DIN 43760:19800.003850 100International Electrotechnical Commission IEC 751: 1995(Amend. 2)0.00385055 100Scientific Apparatus Manufacturers of America SAMARC-4-19660.003923 98.129Japanese Standard JISC1604-19810.003916 100American Society forTesting and MaterialsASTM E1137 0.00385055 100*Sensing Devices, Inc.生产满足上述标准的铂电阻RTD。
牛顿法在Pt100铂热电阻温度计算中的应用特性分析张 莉1,2,姜建国1(1.西安电子科技大学 陕西西安 710071;2.陕西邮电职业技术学院 陕西咸阳 712000)摘 要:针对Pt100热电阻温度-电阻计算问题,以二分法为参照,详细分析牛顿法的应用特性,在V C 6.0编程环境下对比2种方法的程序结构、计算复杂性、绝对计算精度以及相对运行速度。
结果表明,在相同的精度约束下,牛顿法计算复杂性小、计算精度高、误差较小;相对运行速度牛顿法要快4倍以上。
说明在Pt100铂热电阻温度计算中,牛顿法不失为一个较好的选择。
关键词:P t100热电阻;牛顿法;二分法;特性分析中图分类号:T N304 文献标识码:B 文章编号:1004-373X(2008)06-146-03Application Characteristic Analysis of Newton Method in TemperatureComputation of Pt100Platinum ResistorZH AN G Li 1,2,JIA NG Jianguo 1(1.Xidi an U niv ersity ,Xi c an,710071,China;2.Shaanx i Post and Teleco mmuni ca tion Co llege,Xi anyang ,712000,Chi na)Abstract :A n analysis of temper ature -resistance computation alg or ithm of P t100platinum r esisto r is discussed.Based on the co mpar ison o f the D icho tomy method,pr og ramming structure,co mputing complex ity ,absolute accuracy and relativ e operat -ing speed of the N ew to n method are analyzed in detail.Results show t hat,at the same accuracy constraint,the N ew ton method has smaller com putatio n complex ity ,higher accuracy,low er calculation er ro r and faster operation speed than the Dichoto my metho d.T herefo re,the N ewt on met ho d is a appropr iate algo rithm fo r the temperature co mputation o f P t100platinum r esistor.Keywords :Pt100platinum resisto r;N ew ton method;dicho tomy met ho d;char acteristic analysis收稿日期:2007-10-191 概 述Pt100铂热电阻通常和显示仪表、记录仪表、电子计算机等配套使用,可直接测量各种生产过程中的-200e ~850e 范围内液体、蒸汽和气体介质以及固体表面温度。
pt100热电阻的量程PT100热电阻是一种常用的温度测量元件，广泛应用于工业控制系统、热工仪表和实验室等领域。
它具有很高的精度和稳定性，适用于各种温度测量场合。
本文将从PT100热电阻的原理、特点、使用注意事项和应用范围等方面进行介绍。
一、PT100热电阻的原理及特点PT100热电阻是根据热电效应原理工作的温度传感器，它利用了铂电阻的温度特性来测量温度。
PT100热电阻的原理是根据铂电阻的电阻值随温度变化的特性来测量温度。
当PT100热电阻加热时，铂电阻的电阻值会随之增大，利用这一特性可以通过测量其电阻值的变化来确定温度的变化。
PT100热电阻具有以下几个特点：1. 较高的测量精度：PT100热电阻的测量精度非常高，一般可以达到0.1℃，甚至更高。
这使得PT100热电阻成为一种非常可靠的温度测量元件。
2. 良好的线性特性：PT100热电阻的电阻值与温度之间呈现良好的线性关系，这使得温度的测量结果更加准确可靠。
3. 宽温度范围：PT100热电阻可以在较宽的温度范围内工作，一般可达-200℃至+850℃。
这使得PT100热电阻适用于各种温度测量场合。
4. 耐腐蚀性强：PT100热电阻采用的铂电阻材料具有较好的耐腐蚀性能，可以在恶劣的环境条件下长时间稳定工作。
二、PT100热电阻的使用注意事项在使用PT100热电阻时，需要注意以下几个问题：1. 防止机械损伤：PT100热电阻是一种较为脆弱的元件，容易受到机械损伤。
在安装和使用过程中，应尽量避免碰撞和振动，以免影响其测量精度和寿命。
2. 防止过电流：PT100热电阻的工作电流一般较小，如果电流过大，会导致电阻发热，影响测量结果甚至损坏热电阻。
因此，在使用过程中应注意控制工作电流，不要超过规定范围。
3. 防止温度梯度：PT100热电阻的测量精度受到温度梯度的影响，如果温度梯度较大，会导致测量结果偏差较大。
因此，在安装和使用过程中，应尽量避免温度梯度较大的情况。
热电阻的测温特性的数据处理本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March热电阻的测温特性的数据处理摘要：热电阻是中低温区最常用的一种温度检测器，通过实验测得电压、温度数据，通过消除系统误差的方法获得热电阻的测温特性曲线。
关键字：热电阻、系统误差、半参数回归方法0 引言热电阻是中低温区最常用的一种温度检测器。
它的主要特点是测量精度高，性能稳定。
其中铂热电阻的测量精确度是最高的，它不仅广泛应用于工业测温，而且被制成标准的基准仪。
热电阻测温是基于金属导体的电阻值随温度的增加而增加这一特性来进行温度测量的。
热电阻大都由纯金属材料制成，目前应用最多的是铂和铜，此外，现在已开始采用镍、锰和铑等材料制造热电阻。
1 热电阻测温原理热电阻测温是基于金属导体的电阻值随温度的增加而增加这一特性来进行温度测量的。
热电阻要求其材料电阻温度系数大，稳定好、电阻率高。
电阻与温度之间最好有线性关系。
热电阻大都由纯金属材料制成，目前应用最多的是铂和铜，此外，现在已开始采用甸、镍、锰和铑等材料制造热电阻。
2热电阻的测温本实验采用的是Pt100铂电阻，热电阻R t与温度t的关系为：R t=R0(1+A t+B t2)Pt100铂电阻的R0=100Ω，A t=×10-2/℃，B t=×10-7/℃2，铂电阻采用三线连接法，其中一端接二根引线主要为了消除引线电阻对测量的影响。
实验部件和单元电路有加热源、K型热电偶、Pt100铂热电阻、温度控制仪、温度传感器实验模板。
热电阻测温特性实验接线图图1 热电阻测温特性实验图热电阻测温步骤1、在图1的R5、R6之间加上±15V模块电源，将R5、R6端同时接地，接上电压表（2V档），调节R w3使V02=0，运放增益R w2调至中间左右。
2、将Pt100铂电阻的三根线分别接入温度实验模板上“R t”输入端的a、b 点，用万用表欧姆档测量Pt100三根线，其中黑线接b点，蓝线接差放的R5端，另一端红线接a点。
pt100铂热电阻标准大气压下水在冰点时的阻值r0为
铂热电阻（Pt100）是一种常用的温度传感器，它的特点是精度高、稳
定性好、可靠性强、价格低廉，因此被广泛应用于温度测量和控制领域。
铂热电阻的标准大气压下水在冰点时的阻值r0是100欧姆，它是根据
国际电工委员会（IEC）标准规定的，即在标准大气压下，水的温度为0℃时，铂热电阻的阻值为100欧姆。
铂热电阻的阻值随温度的变化而变化，其变化规律是温度上升1℃，阻值增加0.385欧姆，温度下降1℃，阻值减少0.385欧姆。
因此，可以通过测量铂热电阻的阻值，来确定温度的大小。
铂热电阻的阻值r0是100欧姆，是根据国际电工委员会（IEC）标准
规定的，它是温度测量和控制领域中常用的温度传感器，具有精度高、稳定性好、可靠性强、价格低廉的特点，可以通过测量铂热电阻的阻值，来确定温度的大小。
pt100热电阻计算方法
PT100热电阻是一种测量温度的传感器，其原理是基于电阻随温度变化的特性。
计算PT100热电阻的方法可以通过以下步骤进行：
1. 查阅PT100热电阻公式：
PT100热电阻通常遵循以下公式：
Rt = R0 * (1 + A * t + B * t^2 + C * (t - 100) * t^3) 其中，Rt是实际温度下的电阻值，R0是参考温度下的电阻值（一般为0℃时的电阻值，即100Ω），t是实际温度（℃），A、B、C是热电阻温度系数。
通常，PT100热电阻使用ITS-90温度标准，其A、B、C系数分别为：
A = 3.9083 * 10^(-3) ℃^(-1)
B = -5.775 * 10^(-7) ℃^(-2)
C = -4.183 * 10^(-12) ℃^(-4)（仅在t < 0℃时使用）
2. 使用公式计算Rt：
如果已知实际温度t，可以将其代入上述公式计算Rt。
例如，若实际温度为50℃，则：
Rt = 100 * (1 + 3.9083 * 10^(-3) * 50 + (-5.775 * 10^(-7)) * 50^2)
Rt ≈ 119.4Ω
3. 逆向计算实际温度t：
若已知Rt，可以使用相应的逆公式计算实际温度t。
在某些情况
下，公式可能较为复杂，可以通过数值方法（如牛顿拉夫逊法）求解。
也可以通过查表或使用现成的软件或工具进行计算。
总之，PT100热电阻的计算方法主要涉及查阅公式、计算电阻值和逆向计算实际温度等步骤。
在具体应用中，可能需要考虑其他因素（如线路电阻、测量误差等），以获得更准确的温度测量结果。
pt100热电阻的量程PT100热电阻是一种常用的温度传感器，其量程广泛应用于各个领域。
本文将以PT100热电阻的量程为标题，介绍其在不同温度范围内的应用和特点。
一、负温度系数热电阻的基本原理PT100热电阻是一种负温度系数热电阻，它的电阻值随温度的升高而线性增加。
这是因为PT100热电阻采用了铂（Pt）作为测温元件，铂的电阻随温度的变化非常稳定和可靠。
PT100热电阻的量程一般为-200℃至+850℃。
二、低温范围的应用在低温范围内，PT100热电阻可以用于冷库、冷藏舱、制冷设备等温度的测量和控制。
由于PT100热电阻的灵敏度高、响应快，能够准确地感知低温环境的变化，从而保证冷藏食品的安全性。
此外，PT100热电阻还可以用于科学实验中对低温环境的监测，如低温物理实验、低温化学实验等。
三、常温范围的应用在常温范围内，PT100热电阻广泛应用于工业自动化领域，如温度控制、温度监测等。
它可以用于石油化工、冶金、电力、机械等行业，对设备的温度进行实时监测和控制，以保证生产过程的安全和稳定。
此外，PT100热电阻还可以用于暖通空调系统中，对室内温度进行测量，实现舒适的室内环境。
四、高温范围的应用在高温范围内，PT100热电阻可以用于炉温测量、高温物理实验等。
由于PT100热电阻的可靠性和稳定性，能够在高温环境下正常工作，因此被广泛应用于冶金、玻璃、陶瓷等行业。
此外，PT100热电阻还可以用于锅炉、热处理设备等高温设备的温度监测和控制，以确保设备的正常运行和安全性。
五、PT100热电阻的优点和特点1. 线性特性：PT100热电阻的电阻值与温度呈线性关系，便于测量和计算。
2. 稳定性高：PT100热电阻采用铂作为测温元件，铂的电阻随温度变化非常稳定，能够在长期使用中保持一致的性能。
3. 灵敏度高：PT100热电阻对温度的变化非常敏感，能够实时感知温度的变化。
4. 高精度：PT100热电阻的测温精度高，能够满足工业和科学实验的需求。
通过铂电阻求取温度的方法王士莹热量表通过PT1000对温度进行测量。
根据比较测量的原理，TDC-GP2通过温度测量单元，测量出通过进水铂电阻、回水铂电阻、精密1K 电阻上的放电时间，MSP430F415单片机根据比例关系计算出进水铂电阻和出水铂电阻的阻值，然后根据阻值得到温度。
根据阻值求温度的方法有两种：查表法和计算法。
查表法相对计算法速度快，但精度低，且占用一定数量的程序空间。
如果对温度精度要求较高且程序存储器资源有限，最好是用计算法。
铂电阻在在0~850o C 时，其温度和阻值符合下面的函数关系：).1(20BT AT R R T ++= R T 为温度T 时的铂电阻阻值，R 0为0o C 时的铂电阻阻值，式中系数为： A=3.9083×10-3o C -1B=－5.775×10-7o C -2这样，通过求解上式的反函数，就可以得到阻值和温度的对应关系：0T =带入数据得：T =这样，得到铂电阻阻值后通过上式即可计算出相对应的温度。
需要注意的一点是上式中有一个求平方根的计算。
在C 语言中当然有求平方根的sqrt()函数，但通过实际使用发现，此函数编译后占用的程序空间多达1K ，这在只有16K 程序空间的415上是没法使用的。
而且，该函数是浮点运算，运算速度也会很慢。
解决的方法是：利用牛顿迭代法来求平方根或直接解此一元二次方程。
下面给出牛顿迭代法求平方根的C 语言函数：unsigned long Rooting(unsigned long x){unsigned long x0,x1;x0=x/2;x1=(x0+x/x0)/2;for(;;){x0=x1;x1=(x0+x/x0)/2;if(labs_(x0,x1)<10) break;}return x1;}使用该方法，占用的程序空间大大减少，执行效率大大提高。
pt100热电阻计算方法
PT100热电阻是一种广泛应用于温度测量的传感器。
它是由一根细丝制成的，能够随着温度的变化而改变其电阻值。
在实际应用中，我们需要根据PT100的电阻值来计算出对应的温度值。
计算PT100热电阻的温度值需要使用温度转换公式，这个公式是根据PT100的电阻值和温度之间的关系推导出来的。
其中，最常用的是ITS-90标准下的温度转换公式。
ITS-90标准下PT100热电阻的温度转换公式为：
t = (-A + √(A - 4B(1-Rt/R))) / 2B
其中，t为温度值，Rt为PT100的电阻值，R为PT100在0℃时的电阻值。
A和B是根据PT100的电阻温度特性确定的系数，其值如下：
A = 3.9083 × 10^-3 K^-1
B = -5.775 × 10^-7 K^-2
使用这个公式计算PT100的温度值需要注意以下几点：
1. PT100的电阻值必须校准过。
2. 温度转换公式只适用于ITS-90标准下的温度计算。
3. 公式中的A和B系数是固定的，不能随意更改。
4. 在计算过程中需要注意单位的转换，如电阻的单位为欧姆，温度的单位为摄氏度。
总之，在使用PT100热电阻进行温度测量时，需要根据其电阻值计算出对应的温度值。
而温度转换公式是计算温度的重要工具，使用时需要注意以上几个要点，确保计算结果的准确性。
任务一金属箔式应变片――单臂电桥性能实验班级姓名一、基本原理：利用导体电阻随温度变化的特性，可以制成热电阻，要求其材料电阻温度系数大，稳定性好，电阻率高，电阻与温度之间最好有线性关系。
常用的热电阻有铂电阻(650℃以内)和铜电阻(150℃以内)。
铂电阻是将0.05～0.07ｍｍ的铂丝绕在线圈骨架上封装在玻璃或陶瓷管等保护管内构成。
在0－650℃以内，它的电阻Rt与温度t的关系为：Rt=Ro(1+At+Bt2)，式中：Ro 系温度为0℃时的电阻值(本实验的铂电阻Ro＝100Ω)。
A＝3.9684×10－3／℃，B＝－5.847×10－7／℃2。
铂电阻一般是三线制，其中一端接一根引线另一端接二根引线，主要为远距离测量消除引线电阻对桥臂的影响(近距离可用二线制，导线电阻忽略不计。
)。
实际测量时将铂电阻随温度变化的阻值通过电桥转换成电压的变化量输出，再经放大器放大后直接用电压表显示。
二、需用器件与单元：主机箱、温度源、Pt100热电阻(二支)、温度传感器实验模板、万用表(自备)。
温度传感器实验模板简介：图28A中的温度传感器实验模板是由三运放组成的差动放大电路、调零电路、ａｂ传感器符号、传感器信号转换电路(电桥)及放大器工作电源引入插孔构成；其中RＷ2为放大器的增益电位器，RW3为放大器电平移动电位器；ａｂ传感器符号<接热电偶(Ｋ热电偶或Ｅ热电偶)，双圈符号接AD590集成温度传感器，Rt接热电阻(Pt100铂电阻或Cu50铜电阻)。
具体接线参照具体实验。
三、任务内容1、用万用表欧姆档测出Pt100三根线中其中短接的二根线(同种颜色的线)设为1、2，另一根设为3，并测出它在室温时的大致电阻值。
2、在主机箱总电源、调节仪电源都关闭的状态下，再根据图28A示意图接线，温度传感器实验模板中ａ、ｂ(Ｒt)两端接传感器，这样传感器(Rt)与R3、R1、Rw1、R4组成直流电桥，是一种单臂电桥工作形式。
牛顿法与解析法在Pt100铂热电阻温度计算中的特性分析作者：张莉, 董银丽来源：《现代电子技术》2010年第11期摘要:针对Pt100铂热电阻温度计算问题,详细分析了牛顿法与解析法的应用特性,在VC 6.0编程环境下对比了两种方法的绝对计算精度以及相对运行速度。
结果表明,牛顿法的计算精度高,误差较小,运行速度快。
解析法虽无模型误差,但实际数值的计算误差较大,且运算速度较慢,相比而言,牛顿法是较好的选择。
使用牛顿法解决铂热电阻的温度计算问题,在工业控制领域具有广泛的应用价值。
关键词:Pt100热电阻; 牛顿法; 解析法; 特性分析中图分类号:TP212.11; TP301.6 文献标识码:A文章编号:1004-373X(2010)11-0135-03Characteristic Analysis of Newton Method and Analytical Method in TemperatureComputation of Pt100 Platinum ResistorZHANG Li 1, DONG Yin-li2(1. Shaanxi Post and Telecommunication College, Xianyang 712000, China;2. Xi’an Eurasia University, Xi’an 710065, China)Abstract: The application characteristic of Newton method and analystic method is analyzed for the problem of temperature-resistance computation of Pt100 platinum resistor. The absolute accuracy and relative operating speed of both methods are compared under the condition of VC6.0 program. The results show that Newton method has higher calculation accuracy and faster operation speed than analytical method. Although analytical method has no any modeling error theoretically, it shows a severe numerical calculation error in practice. Therefore, Newton method is an appropriate algorithm for the temperature computation of Pt100 platinum resistor. It has a widely application value in the industry control domain.Keywords: Pt100 platinum resistor; Newton method; analytical method; characteristic analysis0 引言Pt100 铂热电阻通常和显示仪表、记录仪表、电子计算机等配套使用,可直接测量各种生产过程中-200～+850 ℃范围内的液体、蒸汽和气体介质以及固体表面温度。
Pt100 铂电阻具有抗震性能好,测温范围广,测量精度高,机械强度高,耐压性能好等特点,且电阻率较大,电阻与温度t的关系为正比例系数的单调函数,实际测量中有良好的重复性,因此在工业应用非常广泛。
在使用Pt100 铂热电阻进行温度计算时,由温度t求电阻值的公式已经存在,参见文献[1]。
然而工程应用中,一般用测量得到电阻值通过反解t-的公式找到与之对应的温度值t,从而实现温度测量。
现代化温控系统一般都采用以计算机为核心的自动系统,这些系统中具体的计算算法需要通过编程语言实现(一般是C语言)。
通常,Pt100铂热电阻由求t的方法有解析法、数值法两大类。
解析法的公式,文献[2]已经给出,该公式在计算机编程实现中的具体计算特性有待研究。
文献[3]比较了牛顿法和二分法两种数值方法在处理铂热电阻温度计算问题中的特性,说明牛顿法在该问题的解决方面具有优良的特性。
本文侧重于探讨牛顿法、解析法的计算特性,对二者的精度和求解速度给出分析。
一般认为,基于数学解析的算法没有理论误差,多数情况下是较为理想的方法,但无论何种算法,在计算机编程实现中,数值计算的误差均不可避免,有时甚至会显著到成为一个问题。
本文针对Pt100热电阻的相关计算,分别采用牛顿法和解析法,在VC 6.0编程环境下解算问题,比较了二者的求解精度和速度,发现解析法在数值计算过程中呈现了较为显著的数值误差,在精度和求解速度上都落后于牛顿法。
以下给出具体分析。
1 Pt100铂热电阻温度计算1.1 计算关系式根据文献[1],由温度计算阻值的公式如下:-100)t3),t∈[-200,0]∈(0,850](1)式中:参数℃时的标准电阻);A=3.908 02×10-3 ℃-1;B=- 5.802×10-7 ℃-2;C=-4.273 50×10-12 ℃-4。
从式(1)可以看出,已知t计算t分为两段。
在t∈(0,850]区间,是一元二次方程求根问题,其解析关系式的定解公式比较简单,不是本文探讨的关键;而在t∈[-200,0]区间,已知求t,是一元四次方程求根问题。
一元四次方程可以有解析解,一般会有4个根(含复数形式的根),根据文献[4],式(1)的实根解析表达式为:t=-m′-m′2-(2)式中:m′=a2-a24-n′= u0 2-u20 4-d;a=---q2+q22+p33+3-q2-q22+p33+b3;p=-b2/3+ac-4d;q=2b227-13(4bd-abc)+a2d+4bd-c2。
其中:参数与式(1)相同。
为了检验解析法算法程序的计算特性,本文在VC 6.0编程环境下,按照上述公式实现了解析法的计算步骤,再对比数值方法(以牛顿法为代表)来分析两种方法的精度和速度。
需要说明的是,由于VC 6.0编程环境下的标准数学库中没有求立方根的函数,而的表达式又是求表达式的立方根,因此,可选的替代方法分别是采用求1/3次幂或通过对数/指数函数来实现求立方根的运算。
以下简单分析用数值方法解决该问题的要点。
一般来说,用数值方法进行多项式求根,大致需要三个步骤:(1) 判定根的存在性;(2) 确定根的分布范围,即将每一个根用区间隔离开来;(3) 根的精确化,即根据根的初始近似值,按某种方法逐步精确化,直至满足预先要求的精度为止。
一般的多项式,判定其根的存在性是需要证明的。
而在这个问题中,由其特定的工程物理背景可以肯定,在[-200,0] 和(0,850]两个区间内,实根是确实存在的。
根据式(1)可得:f(t) = t4-100t3 + BCt2 + ACt + 1C1-(3)式中:参数与式(1)相同。
则已知求t的问题,转化为求f(t)=0的方程根问题。
1.2 牛顿法和解析法的计算过程分析1.2.1 牛顿法的计算步骤(1) 给出初始近似根及精度ε。
(2) 计算-。
(3) 若-(4) 输出满足精度的根,结束。
牛顿法的特点是计算函数必须可导,需要计算导数,由(3)可得:f′(x)=4x3-300x2+2BCx+AC(4)能够满足牛顿法应用的要求。
1.2.2 解析法的计算步骤根据式(2),计算步骤如下:(1) 已知求出a,b,c,d;(2) 根据a,b,c,d 求出p,q;(3) 根据p,q,b求出;(4) 根据求出m′,n′;(5) 根据m′,n′求解t。
解析法根据式(2)求解出对应的温度值,理论上没有模型误差,当然,解析法在程序运算中,仍不可避免会有数值计算误差,下文将进行定量分析。
2 牛顿法与解析法计算特性分析2.1 误差对比计算误差是评价算法实现特性的重要条件。
在温度t∈[-200,0]区间,分析牛顿法精度ε设定为1×10-6时的计算结果,与解析法计算结果进行对比,分析两种方法的最大误差。
通过在该区间均匀抽取100个数据点,在这些数据点上比较两种算法的绝对误差,得到图1。
从图1可以看出,牛顿法的绝对误差非常小,图中所列出的数据点,即使是误差较大的部分,也集中在1×10-10量级,比数值算法的基本约束精度ε=1×10-3低7个量级,精度特性非常好。
与之相比,解析法虽然没有模型误差,但数值计算误差比较显著,在t=-200位置,误差达到4.1×10-1,之后慢慢减小。
从原始数据分析,牛顿法的最大绝对误差是2.5×10-10,解析法的最大绝对误差为4.1×10-1。
从最大绝对误差来看,解析法是牛顿法的1.64×109倍(4.1×10-1 / 2.5×10-10= 1.64×109 )。
因此,解析法求得的数据点,在[-200,0]区间整体误差较大,其最大数值计算误差比牛顿法高9个量级。
图1 误差比较图牛顿法是数值算法,还可以通过调整精度约束ε来控制迭代计算的求解精度,而解析法是直接完成一系列公式的运算,既没有迭代过程,也没有类似牛顿法中ε这样一个能够控制精度的量,因此解析法的求解精度是不可控制的。
同时,由于解析法的误差来源是浮点计算的截断误差,这种误差是无法从根本上消除的。
2.2 相对运行速度比较算法的运行速度也是一个很实用的评价指标,运行速度快的算法有更高的应用价值。
解析法的程序流程是固定的,不存在循环和迭代,因此在运行环境不变的前提下,其运行速度也是固定的。
然而,牛顿法的运行速度则受ε的影响,随着ε的变化,牛顿法的循环迭代次数会发生变化。
以解析法为参照,分析牛顿法在各种ε约束下的运行速度,并对二者进行了对比。
在t的[-200,0]区间,均匀抽取数据点,两种算法分别完成同样次数的循环,记录运行时间,得到结果如表1所示。
牛顿法求解时间虽受ε制约,但在表1所示的ε范围内,牛顿法的计算过程运行速度整体比解析法的速度快;随着计算精度ε的提高,牛顿法的运行时间会变长,但直到ε达到1×10-5时,解析法所需时间仍然比牛顿法长,是牛顿法的1.012 8倍。
表1 相对运行速度比较精度ε时间 /s牛顿法解析法运行时间之比不同精度的牛顿法解析法与牛顿法比较1×10-20.9471×10-31.035 61×10-41.0911×10-51.139 21.153 80.947/0.947=11.153 8/0.947=1.218 41.035 6/0.947=1.093 61.153 8/1.035 6=1.114 11.091/0.947=1.152 11.153 8/1.091=1.057 61.139 2/0.947=1.2031.153 8/1.139 2=1.012 8*注:解析法运行时间与ε无关。
