北师大版2019版同步优化探究理数练习第八章 第一节 直线的方程 Word版含解析

2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第一节直线的方程含解析1 / 11 / 1课时作业A 组 —— 基础对点练1．直线 x ＋ 3y ＋ a ＝ 0(a 为实常数 )的倾斜角的大小是 ()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°分析：直线 x ＋ 3y ＋a ＝0(a 为实常数 )的斜率为－ 33 ，令其倾斜角为 θ，则 tan θ3＝－ 3 ，解得 θ＝ 150°，应选 D.答案： D2．假如 AB<0，且 BC<0，那么直线 Ax ＋ By ＋C ＝ 0 不经过 ()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限AC分析：直线 Ax ＋By ＋ C ＝ 0 可化为 y ＝－ B x － B ，A C∵AB<0，BC<0，∴－ >0，－ >0.∴直线过第一、二、三象限，可是第四象限，故BB选 D.答案： D．直线2＋1)y ＋1＝0 的倾斜角的取值范围是 ( )3 x ＋(aπ 3πA ．[0，4]B ．[ 4 ，π)π π π π 3πC ．[0 ，4] ∪(2， π)D ．[4，2)∪[ 4 ，π)分析： 由直线方程可得该直线的斜率为－21，又－ 1≤－21<0，因此倾斜a ＋ 1a＋13π角的取值范围是 [ 4 ，π)．答案： B4．若方程 (2m 2＋ m －3)x ＋(m 2－m)y －4m ＋1＝0 表示一条直线， 则参数 m 知足的条件是()。

课时作业 A 组——基础对点练1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A.3 B ．3 C.3mD ．3m解析：双曲线方程为x 23m －y 23＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A.答案：A2．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62C.52D ．1解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.答案：D3．双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0D ．y ±4x ＝0解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2＝0，即x ±2y ＝0，选A. 答案：A4．已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．1 B. 3 C. 5D.12解析：在双曲线x 23－y 2＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝12×(5＋3)×(5－3)＝1.故选A. 答案：A5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，直线l ：y ＝2x －2.若直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 5D ．4解析：根据题意，双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点在x 轴上，渐近线方程为y ＝±b a x ，又由直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，可知ba ＝2，直线l ：y ＝2x －2与x 轴的交点坐标为(1,0)，即双曲线C 的一个顶点坐标为(1,0)，即a ＝1，则b ＝2a ＝2，故双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2，故选B. 答案：B6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A.5＋12B ．2 C. 2D ．2 2解析：不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为焦点F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为a ，所以bca 2＋b 2＝a ，即bc c ＝a ，所以b a ＝1，所以该双曲线的离心率e ＝ca＝1＋(b a)2＝2，故选C. 答案：C7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2 (5,0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 解析：由题意得e ＝1＋b 2a 2＝54，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1.答案：C8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.答案：A9．(2018·山西八校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为( ) A. 2 B. 3 C ．23＋1 D.3＋1解析：∵直线y ＝33(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|sin 60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝c3c －c2＝3＋1，选D.答案：D10．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0D ．x ±2y ＝0解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，即∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. 答案：A11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析：依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝251＝b a ×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20b 2＝5，∴双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.答案：A12．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：因为双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y ＝12x 的下方．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎨⎧42a 2－(3)2b2＝1，b a ＝12，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4， 3)，所以424－(3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为 x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝113．双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝ab x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b 2＝5bc＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8. 答案：814．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的方程为________．解析：易得椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，b a ＝2，∴a 2＝1，b 2＝4， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1.答案：x 2－y 24＝115．(2018·合肥市质检)双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线x＝a 与双曲线M 的渐近线交于点P ，若sin ∠PF 1F 2＝13，则该双曲线的离心率为________．解析：不妨设P 为直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线在第一象限内的交点，则P 点坐标为(a ，b )，因为sin ∠PF 1F 2＝13，所以|PF 1|＝3b ，所以(a ＋c )2＋b 2＝9b 2，即9a 2＋2ac －7c 2＝0,7e 2－2e －9＝0，又e >1，解得e ＝97.答案：97B 组——能力提升练1．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1，2] B ．(1,2] C ．[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|⇒4|OP →|≤2c ⇒|OP →|≤c 2，又|OP →|≥a ，∴a ≤c 2，即c ≥2a ，∴e ＝ca ≥2.故选D. 答案：D2．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．答案：D3．(2018·云南五市联考)设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：易知双曲线的两个焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝(|PF 1|－|PF 2|)＋3＝5，同理|PM |－|PN |的最小值为(|PF 1|－2)－(|PF 2|＋1)＝(|PF 1|－|PF 2|)－3＝－1，所以|m －n |＝6，故选C. 答案：C4．(2018·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则点P 到x 轴的距离为( ) A.233B. 2 C ．2D.263解析：由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C. 答案：C5．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D.答案：D6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，b a ＝43，又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x 29－y 216＝1.答案：C7．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2D. 5解析：不妨设B (x ，－bax )，|OB |＝x 2＋(－bax )2＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为BF 的中点，所以A (c －a 2，b 2)，又点A 在直线y ＝b a x 上，则b a ·c －a 2＝b2，c ＝2a ，e ＝2.答案：C8．若直线l 1和直线l 2相交于一点，将直线l 1绕该点逆时针旋转到与l 2第一次重合时所转的角为θ，则角θ就称为l 1到l 2的角，tan θ＝k 2－k 11＋k 1k 2，其中k 1，k 2分别是l 1，l 2的斜率，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 是右顶点，P 是直线x ＝a 2c 上的一点，e 是双曲线的离心率，直线P A 到PF 的角为θ，则tan θ的最大值为( ) A.1e B.e1＋eC.e 21＋eD.e 2解析：设P A ，PF 的斜率分别为k 3，k 4，由题意可知tan θ＝k 4－k 31＋k 3k 4，不妨设P (a 2c ，y )(y >0)，则k 3＝y a 2c －a ，k 4＝y a 2c －c .令m ＝a 2c －a ，n ＝a2c －c ，则tan θ＝y n －ym 1＋y n ×y m ＝m －n mn y＋y ，由m －n ＝c－a >0，得当mn y ＋y 取得最小值时tan θ取最大值，又y >0，m <0，n <0，所以mny ＋y ≥2mn ，当且仅当y ＝mn 时等号成立，此时tan θ＝m －n2mn ＝c －a2(a 2c －a )(a 2c－c )＝e21＋e，故选C.答案：C9．(2018·淄博模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线的右支于点P ，切点为T ，PF 1的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是( ) A ．b －a ＝|MO |－|MT | B ．b －a >|MO |－|MT | C ．b －a <|MO |－|MT | D ．b －a ＝|MO |＋|MT |解析：如图，连接OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝b ，连接PF 2，∵M 为线段F 1P 的中点，O 为F 1F 2的中点， ∴|OM |＝12|PF 2|，∴|MO |－|MT |＝12|PF 2|－⎝⎛⎭⎫12|PF 1|－|F 1T |＝12(|PF 2|－|PF 1|)＋b ＝12×(－2a )＋b ＝b －a ，故选A. 答案：A10．(2018·昆明市检测)已知点F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，以点F 为圆心的圆与C 的渐近线相切，且与C 交于A ，B 两点，若AF ⊥x 轴，则C 的离心率为________． 解析：不妨设F 为双曲线的右焦点，则F (c,0)，易知双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，则双曲线的焦点F 到渐近线的距离d ＝bc a 2＋b2＝b ，所以圆F 的半径为b .在双曲线方程中，令x＝c ，得y ＝±b 2a ，所以A (c ，±b 2a )．因为点A 在圆F 上，所以b 2a＝b ，即a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝2a ，所以e ＝ca ＝ 2.答案： 211．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点M (－3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F 2，则该双曲线的标准方程为______________．解析：不妨设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(c,0)关于渐近线y ＝ba x 对称的点在双曲线上，则过焦点F 2且垂直于该渐近线的直线方程为y －0＝－a b (x －c )，即y ＝－ab(x －c )．联立可得方程组⎩⎨⎧y ＝b ax ，y ＝－ab (x －c )，解得⎩⎨⎧x ＝a 2c，y ＝abc ，由中点坐标公式可得F 2关于渐近线对称的点的坐标为(2a 2c －c ，2abc)，将其代入双曲线的方程可得(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2c 2＝1，化简可得c 2＝5a 2，c 2＝a 2＋b 2＝5a 2，所以b 2＝4a 2.因为M (－3,4)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，所以9a 2－16b 2＝1，9a 2－164a2＝1，所以a 2＝5，b 2＝20，则该双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝112．设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是______．解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)． 答案：(27，8)13．(2018·沈阳质量监测)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则P A →·PB →的值是________． 解析：设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x 3－y ＝0，x3＋y ＝0，所以可取|P A |＝|x 03－y 0|13＋1，|PB |＝|x 03＋y 0|13＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以P A →·PB→＝|P A →|·|PB →|·cos ∠APB ＝|x 203－y 20|43·(－12)＝34×(－12)＝－38.答案：－38。

课时作业A组——基础对点练1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是( )11A．以(1，－2)为圆心，为半径的圆11B．以(1,2)为圆心，为半径的圆11C．以(－1，－2)为圆心，为半径的圆11D．以(－1,2)为圆心，为半径的圆11解析：由x2＋y2＋2x－4y－6＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝11，故圆心为(－1,2)，半径为.答案：D2．若圆C的半径为1，圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为( ) A．x2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1解析：因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.答案：A3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )A．x2＋(y－2)2＝5 B．(x－2)2＋y2＝5C．x2＋(y＋2)2＝5 D．(x－1)2＋y2＝5解析：因为所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆5的圆心为(2,0)，半径为，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.答案：B4．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为________．解析：如图所示，圆心M(3，－1)到定直线x＝－3上点的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.答案：45．(2018·唐山一中调研)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则Error!，即Error!，代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝16．已知圆C经过点(0,1)，且圆心为C(1,2)．(1)写出圆C的标准方程；(2)过点P(2，－1)作圆C的切线，求该切线的方程及切线长．解析：(1)由题意知，圆C 的半径r ＝＝，(1－0)2＋(2－1)22所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P (2，－1)的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，则＝，|－k －3|1＋k 22所以k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1，故所求切线的方程为7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0.由圆的性质易得所求切线长为＝＝2.PC 2－r 2(2－1)2＋(－1－2)2－227．(2018·南昌二中检测)在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图像与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解析：(1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，函数f (x )＝x 2－x －6的图像与两坐标轴交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，由Error!，解得Error!，所以圆的方程为x 2＋y 2－x ＋5 y －6＝0.(2)由(1)知圆心坐标为(，－)，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y ＝0；若直线不1252过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝－＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综1252上可得，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.B 组——能力提升练1．已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2by ＋b 2＝0(a >0，b >0)关于直线x －y －1＝0对称，则ab 的最大值是( )A.B.1218C. D.1424解析：由圆x 2＋y 2－4ax ＋2by ＋b 2＝0(a >0，b >0)关于直线x －y －1＝0对称，可得圆心(2a ，－b )在直线x －y －1＝0上，故有2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1≥2 ，解得ab ≤，2ab 18故ab 的最大值为，故选B.18答案：B2．(2018·绵阳诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－＝1的渐y 23，则圆C 的方程为( )3A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －)2＝33C ．x 2＋(y ＋1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋)2＝33解析：依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为，倾斜角为60°，结合图形(图略)3可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1，选A.答案：A3．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋ (y －1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：由题意知x －y ＝0和x －y －4＝0之间的距离为＝2，所以r ＝.又因为y ＝－x |4|222与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.答案：D4．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝3D ．x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37解析：如图，易知AC 所在直线的方程为x ＋2y －4＝0.点O 到直线x ＋2y －4＝0的距离d ＝＝>1，OA ＝|－4|5455＝，OB ＝＝，OC ＝(－2)2＋3213(－2)2＋(－1)2562＋(－1)2＝，37∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC 有唯一的公共点，则公共点为 (0，－1)或(6，－1)，∴圆的半径为1或，37则该圆的方程为x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37.故选D.答案：D5．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为2，3求圆C 的标准方程．解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以2＝2，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)4b 2－b 232＝4.6．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求·的最小值．PQ → MQ → 解析：(1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则Error!解得Error!则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，·＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)PQ → MQ → ＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.令x ＝cos θ，y ＝sin θ，22所以·＝x ＋y －2＝(sin θ＋cos θ)－2PQ → MQ → 2＝2sin －2，(θ＋π4)又min ＝－1，[sin (θ＋π4)]所以·的最小值为－4.PQ → MQ →。

2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系含解析1 / 11 / 1课时作业A 组 —— 基础对点练1．圆心为 (4,0)且与直线 3x －y ＝0 相切的圆的方程为 () A ． (x －4)2＋ y 2＝1 B ．(x －4)2 ＋y 2＝ 12C ． － 4) 2＋ y 2＝6D ．(x ＋4)2＋y 2＝ 9(x分析：由题意，知圆的半径为圆心到直线3x －y ＝ 0 的距离，即 r ＝ | 3×4－0|＝3＋ 12 3，联合圆心坐标可知，圆的方程为 (x －4)2＋y 2＝ 12，应选 B.答案： B． ·石家庄质检， 是正数，直线 2ax ＋ by －2＝0 被圆 x 2＋ y 2 ＝4 截得 2 (2018 )若 a b的弦长为 2 3，则 t ＝ a 1＋2b 2获得最大值时 a 的值为 ()133 3 A. 2B. 2C. 4D.4分析：由于圆心到直线的距离 d ＝2，则直线被圆截得的弦长 L ＝2r 2－ d 24a 2 ＋b 2＝ 24－ 4＝ 2 3，因此 4a 2＋b 2＝4.t ＝a 1＋2b 2 ＝ 1 ·(2 2a)1＋2b 24a 2＋b 22 2≤112a) 2＋ (2 212＋ 1＋2(4－ 29 ，当且仅当··[(21＋2b ) ] ＝[8a 4a )] ＝2 224 24 22238a ＝1＋2b 22时等号建立，此时a ＝ 4，应选 D.4a ＋b ＝4答案： D3．(2018 ·惠州模拟 )已知圆 O ：x 2＋y 2＝4 上到直线 l ：x ＋y ＝a 的距离等于 1 的点恰有 3 个，则实数 a 的值为 ()A ．2 2 B. 2C ．－ 2或 2D ．－2 2或 2 2分析：由于圆上到直线 l 的距离等于 1 的点恰巧有 3 个，因此圆心到直线 l 的距。

课时作业 A 组——基础对点练1．(2017·南昌模拟)方程(x 2＋y 2－2x )x ＋y －3＝0表示的曲线是( ) A ．一个圆和一条直线 B ．一个圆和一条射线 C ．一个圆D ．一条直线解析：依题意，题中的方程等价于①x ＋y －3＝0或②⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，x 2＋y 2－2x ＝0.注意到圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均位于直线x ＋y －3＝0的左下方区域，即圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均不满足x ＋y －3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x ＋y －3＝0. 答案：D2．(2018·呼和浩特调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：设椭圆的右焦点是F 2，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＞2c ，所以|PF 1|＋|PO |＝12(|MF 1|＋|MF 2|)＝a ＞c ，所以点P 的轨迹是以F 1和O 为焦点的椭圆． 答案：B3．有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a ＞0)且与y 轴相交于点A ，B ，若△ABP 为正三角形，则点P 的轨迹为( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．双曲线解析：设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ， ∵△ABP 为正三角形， ∴P 到y 轴的距离d ＝32R ， 即|x |＝32R .而R ＝|PF |＝(x －a )2＋y 2，∴|x |＝32·(x －a )2＋y 2. 整理得(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2， 即(x ＋3a )212a 2－y 24a 2＝1.∴点P 的轨迹为双曲线．故选D. 答案：D4．已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P 的轨迹C 的方程为 ．解析：由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ，整理得x 2－y2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)答案：x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)5．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是 ． 解析：由正弦定理得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ， 即|AB |－|AC |＝12|BC |，故动点A 是以B ，C 为焦点，a2为实轴长的双曲线右支． 即动点A 的轨迹方程为16x 2a 2－16y 215a 2＝1(x ＞a4且y ≠0)． 答案：16x 2a 2－16y 215a 2＝1(x ＞a4且y ≠0)6．(2018·杭州市质检)在平面直角坐标系内，点A (0,1)，B (0，－1)，C (1,0)，点P 满足AP →·BP →＝k |PC →|2.(1)若k ＝2，求点P 的轨迹方程；(2)当k ＝0时，若|λAP →＋BP →|max ＝4，求实数λ的值．解析：(1)设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y －1)，BP →＝(x ，y ＋1)，PC →＝(1－x ，－y )． 因为k ＝2，所以AP →·BP →＝2|PC →|2， 所以(x ，y －1)·(x ，y ＋1)＝2[(1－x )2＋y 2]， 化简整理，得(x －2)2＋y 2＝1， 故点P 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1. (2)因为k ＝0，所以AP →·BP →＝0， 所以x 2＋y 2＝1，所以|λAP →＋BP →|2＝λ2AP →2＋BP →2 ＝λ2[x 2＋(y －1)2]＋x 2＋(y ＋1)2 ＝(2－2λ2)y ＋2λ2＋2(y ∈[－1,1])． 当2－2λ2>0时，即－1<λ<1，(|λAP →＋BP →|max )2＝2－2λ2＋2λ2＋2＝4≠16，不合题意，舍去； 当2－2λ2≤0时，即λ≥1或λ≤－1时， (|λAP →＋BP →|max )2＝2λ2－2＋2λ2＋2＝16， 解得λ＝±2.7．已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26,1)，Q (2,1)，且|MP |＝5|MQ |. (1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C ，过点N (－2,3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程．解析：(1)由题意，得|MP ||MQ |＝5， 即(x －26)2＋(y －1)2(x －2)2＋(y －1)2＝5， 化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25. 轨迹是以(1,1)为圆心，5为半径的圆． (2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2，此时所截得的线段长度为252－32＝8， 所以l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心(1,1)到直线l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1， 由题意，得(|3k ＋2|k 2＋1)2＋42＝52，解得k ＝512. 所以直线l 的方程为512x －y ＋236＝0，即5x －12y ＋46＝0. 综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.B 组——能力提升练1．(2017·深圳调研)已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程为( ) A ．x 2＝4y B ．y 2＝3x C ．x 2＝2yD ．y 2＝4x解析：设点P (x ， y )，则Q (x ，－1)． ∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y . 答案：A2．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．双曲线 解析：设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， 整理得x 2＋y 2－4x ＝0，又D 2＋E 2－4F ＝16＞0，所以动点P 的轨迹是圆． 答案：B3．已知过点A (－2,0)的直线与x ＝2相交于点C ，过点B (2,0)的直线与x ＝－2相交于点D ，若直线CD 与圆x 2＋y 2＝4相切，则直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为 ．解析：设点M (x ，y )，C (2，m )，D (－2，n )，则直线CD 的方程为(m －n )x －4y ＋2(m ＋n )＝0，因为直线CD 与圆x 2＋y 2＝4相切，所以2|m ＋n |(m －n )2＋16＝2，所以mn ＝4，又直线AC 与BD 的交点为M ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧yx ＋2＝y －m x －2，yx －2＝y －n x ＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4yx ＋2，n ＝－4yx －2，所以－16y 2x 2－4＝4，所以点M 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1(y ≠0)． 答案：x 24＋y 2＝1(y ≠0)4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 中点的轨迹方程为 ．解析：设MN 的中点P (x ，y )，则点M (x,2y )在椭圆上， ∴x 2a 2＋(2y )2b 2＝1，即所求的轨迹方程为x 2a 2＋4y 2b 2＝1. 答案：x 2a 2＋4y 2b 2＝15．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点且|BD →|－|CD →|＝22，求顶点A 的轨迹方程．解析：以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E 、F 分别为两个切点．则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |.∴|AB |－|AC |＝22＜|BC |＝4，∴点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2，∴b＝2，∴轨迹方程为x 22－y 22＝1(x ＞2)．6．(2017·唐山统考)已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长(P 到切点的距离)．记动点P 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)点Q 是直线l 上的动点，过圆心C 作QC 的垂线交曲线E 于A ，B 两点，设AB 的中点为D ，求|QD ||AB |的取值范围．解析：(1)由已知得，圆心为C (2,0)，半径r ＝ 3.设P (x ，y )，依题意可得|x ＋1|＝(x －2)2＋y 2－3，整理得y 2＝6x . 故曲线E 的方程为y 2＝6x . (2)设直线AB 的方程为my ＝x －2， 则直线CQ 的方程为y ＝－m (x －2)， 可得Q (－1,3m )．将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理可得y 2－6my －12＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6m ，y 1y 2＝－12，D (3m 2＋2,3m )，|QD |＝3m 2＋3. |AB |＝23(1＋m 2)(3m 2＋4)， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|QD ||AB |2＝3m 2＋34(3m 2＋4)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13m 2＋4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫316，14， 故|QD ||AB |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，12.7．定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F (3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC |＝|BC |，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．解析：(1)∵F (3，0)在圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16内，∴圆N 内切于圆M . ∵|NM |＋|NF |＝4＞|FM |，∴点N 的轨迹E 为椭圆，且2a ＝4， c ＝3，∴b ＝1，∴轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)①当AB 为长轴(或短轴)时， S △ABC ＝12|OC |·|AB |＝2.②当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝kx ， A (x A ，y A )， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝kx得，x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2， ∴|OA |2＝x 2A ＋y 2A ＝4(1＋k 2)1＋4k 2.将上式中的k 替换为－1k ，可得|OC |2＝4(1＋k 2)k 2＋4.∴S △ABC ＝2S △AOC ＝|OA |·|OC |＝4(1＋k 2)1＋4k 2·4(1＋k 2)k 2＋4＝4(1＋k 2)(1＋4k 2)(k 2＋4). ∵(1＋4k 2)(k 2＋4)≤(1＋4k 2)＋(k 2＋4)2＝5(1＋k 2)2，∴S △ABC ≥85，且仅当1＋4k 2＝k 2＋4，即k ＝±1时等号成立，此时△ABC 面积的最小值是85. ∵2＞85，∴△ABC 面积的最小值是85，此时直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .。

2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第三节圆的方程含解析1 / 11 / 1课时作业A 组 —— 基础对点练．方程 x 2＋ y 2＋2x －4y －6＝0 表示的图形是 () 1A ．以 (1，－ 2)为圆心， 11为半径的圆B ．以 (1,2)为圆心， 11为半径的圆C ．以 (－1，－ 2)为圆心， 11为半径的圆D ．以 (－ 1,2)为圆心， 11为半径的圆分析：由 x 2＋y 2＋2x －4y － 6＝ 0 得(x ＋1)2＋(y －2)2＝11，故圆心为 (－ 1,2)，半径为 11. 答案： D2．若圆 C 的半径为 1，圆心 C 与点 (2,0)对于点 (1,0)对称，则圆 C 的标准方程为()A ． x 2＋y 2＝1B ．(x －3)2 ＋y 2＝ 1C ．(x － 1)2＋ y 2＝1D ．x 2＋(y － 3)2＝ 1分析：由于圆心 C 与点 (2,0)对于点 (1,0)对称， 故由中点坐标公式可得 C(0,0)，因此所求圆的标准方程为 x 2＋y 2＝ 1.答案： A3．圆 (x ＋2)2＋ y 2＝5 对于原点 (0,0)对称的圆的方程为 ( )A ． x 2＋(y －2)2＝5B ．(x －2)2＋y 2＝ 5C ．x 2＋ (y ＋2)2＝5D ．(x －1)2＋y 2＝ 5 分析：由于所求圆的圆心与圆 (x ＋ 2)2＋ y 2＝ 5 的圆心 － ， 0) 对于原点 对称，( 2(0,0) 因此所求圆的圆心为 (2,0)，半径为 5，故所求圆的方程为 (x － 2)2＋y 2＝ 5. 答案： B4．设 P 是圆 (x －3) 2＋ (y ＋1)2＝4 上的动点， Q 是直线 x ＝－ 3 上的动点，则 |PQ|的最小值为．分析：如下图，圆心 M(3，－1)到定直线 x ＝－ 3 上点的最短距离为 |MQ|＝ 3－ (－3)＝6，又圆的半径为 2，故所求最短距离为 6－ 2＝ 4.。

课时作业 A 组——基础对点练1．(2018·西安模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( ) A ．4 B ．3 3 C ．4 3D ．8解析：∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x ＝3或x ＝13(舍)，故A (3,23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.故选C.答案：C2．已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( ) ①y ＝2x －3；②y ＝2x ＋1；③y ＝－2x －3； ④y ＝－2x ＋3. A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7. 答案：C3．(2018·郴州模拟)过点P (－3，0)作直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，设∠AOB ＝θ，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，当△AOB 的面积为34时，直线l 的斜率为( )A.33B ．±33C. 3D ．± 3解析：∵△AOB 的面积为34， ∴12×1×1×sin θ＝34， ∴sin θ＝32. ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴θ＝π3，∴圆心到直线l 的距离为32. 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)， 即kx －y ＋3k ＝0， ∴32＝|3k |1＋k2， ∴k ＝±33. 答案：B4．已知过定点(1,0)的直线与抛物线x 2＝y 相交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则(x 1－1)(x 2－1)＝________.解析：设过定点(1,0)的直线的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程x 2＝y 得x 2－kx ＋k ＝0，故x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝k ，因此(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1. 答案： 15．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为______________．解析：抛物线x 2＝2py 的准线方程为y ＝－p2，与双曲线的方程联立得x 2＝a 2(1＋p 24b2)，根据已知得a 2(1＋p 24b 2)＝c 2 ①.由|AF |＝c ，得p 24＋a 2＝c 2 ②.由①②可得a 2＝b 2，即a ＝b ，所以所求双曲线的渐近线方程是y ＝±x . 答案：y ＝±x6．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若使得|AB |＝λ的直线l 恰有3条，则λ＝________.解析：∵使得|AB |＝λ的直线l 恰有3条． ∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直． 此时A ，B 的横坐标为3，代入双曲线方程， 可得y ＝±2，故|AB |＝4.∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4， 综上可知|AB |＝4时，有三条直线满足题意． ∴λ＝4.答案：47．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程． 解析：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k O M ＝510，从而b 2a ＝510， 进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x5b＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5b 4＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.8.已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P (2，3)，且它的离心率e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线l ：y ＝kx ＋t 交椭圆于M ，N 两点，若椭圆上一点C 满足OM →＋ON →＝λOC →，求实数λ的取值范围．解析：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8b 2＝6，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1.(2)因为直线l ：y ＝kx ＋t 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切， 所以|t ＋k |1＋k2＝1⇒2k ＝1－t2t(t ≠0)， 把y ＝kx ＋t 代入x 28＋y 26＝1并整理得：(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋(4t 2－24)＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－8kt3＋4k2，y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝6t3＋4k2， 因为λOC →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 所以C ⎝⎛⎭⎪⎫－8kt＋4k 2λ，6t ＋4k 2λ， 又因为点C 在椭圆上，所以， 8k 2t 2＋4k22λ2＋6t 2＋4k22λ2＝1⇒λ2＝2t 23＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 22＋1t2＋1， 因为t 2>0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1t22＋1t2＋1>1，所以0<λ2<2，所以λ的取值范围为(－2，0)∪(0，2)．B 组——能力提升练1．已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A 、B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则ab的值为( ) A ．－32B ．－233C ．－932D ．－2327解析：由双曲线ax 2＋by 2＝1知其渐近线方程为ax 2＋by 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有ax 21＋by 21＝0①，ax 22＋by 22＝0②，由①－②得a (x 21－x 22)＝－b (y 21－y 22)，即a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)，由题意可知x 1≠x 2，且x 1＋x 2≠0，∴y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－ab，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则k OM ＝y 0x 0＝2y 02x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－32，又知k AB ＝－1，∴－32×(－1)＝－ab ，∴a b ＝－32，故选A. 答案：A2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为42，虚轴的一个端点与抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点重合，直线y ＝kx －1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p ＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：由抛物线x 2＝2py (p >0)可知其焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以b ＝p2，又a ＝22，因此双曲线的方程为x 28－4y 2p 2＝1，渐近线方程为y ＝±p42x .直线y ＝kx －1与双曲线的一条渐近线平行，不妨设k ＝p42，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p 42x －1，x 2＝2py 可得x 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 42x －1＝p222x －2p ，得x 2－p 222x ＋2p ＝0，则Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2222－8p ＝0，解得p ＝4.故选A.答案：A3．在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________． 解析：设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2中， 整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0， ∴b >－14.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上，即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1.答案：(－2,4)，(1,1)4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________. 解析：抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，焦点为F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由抛物线的定义可知|AF |＝x 1＋1＝3，所以x 1＝2，所以y 1＝±22，由抛物线关于x 轴对称，假设A (2,22)，由A ，F ，B 三点共线可知直线AB 的方程为y －0＝22(x －1)，代入抛物线方程消去y 得2x 2－5x ＋2＝0，求得x ＝2或12，所以x 2＝12，故|BF |＝32.答案：325．定义：在平面内，点P 到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P 到曲线Γ的距离．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝12及点A (－2，0)，动点P 到圆M 的距离与到点A 的距离相等，记P 点的轨迹为曲线W . (1)求曲线W 的方程；(2)过原点的直线l (l 不与坐标轴重合)与曲线W 交于不同的两点C ，D ，点E 在曲线W 上，且CE ⊥CD ，直线DE 与x 轴交于点F ，设直线DE 、CF 的斜率分别为k 1、k 2，求k 1k 2. 解析：(1)由题意知：点P 在圆内且不为圆心，易知|PA |＋|PM |＝23>22＝|AM |，所以P 点的轨迹为以A 、M 为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧2a ＝23，2c ＝22⇒⎩⎨⎧a ＝3，c ＝ 2.所以b 2＝1，故曲线W 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设C (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，E (x 2，y 2)，则D (－x 1，－y 1)，则直线CD 的斜率为k CD ＝y 1x 1，又CE ⊥CD ，所以直线CE 的斜率是k CE ＝－x 1y 1，记－x 1y 1＝k ，设直线CE 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知k ≠0，m ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1得(1＋3k 2)x 2＋6mkx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6mk1＋3k2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋3k 2，由题意知x 1≠x 2， ∴k 1＝k DE ＝y 2＋y 1x 2＋x 1＝－13k ＝y 13x 1， ∴直线DE 的方程为y ＋y 1＝y 13x 1(x ＋x 1)， 令y ＝0，得x ＝2x 1，即F (2x 1,0)．可得k 2＝－y 1x 1.∴k 1k 2＝－13.6．已知椭圆K ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e ＝22，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线x －3y ＋2＝0相切． (1)求K 的方程；(2)过F 2的直线l 交K 于A ，B 两点，M 为AB 的中点，连接OM 并延长交K 于点C ，若四边形OACB 的面积S 满足： a 2＝3S ，求直线l 的斜率．解析：(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，21＋3＝c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1.故椭圆K 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由于直线l 的倾斜角不可为零，所以设直线l 的方程为my ＝x －1， 与x 22＋y 2＝1联立并化简可得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0. 设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2， 可得y 0＝－mm 2＋2，x 0＝my 0＋1＝2m 2＋2.设C (x ，y )，又OC →＝λOM →(λ>0)， 所以x ＝λx 0，y ＝λy 0.因为C 在K 上，故λ2(x 202＋y 20)＝1⇒m 2＋2＝λ2.①设h 1为点O 到直线l 的距离，h 2为点C 到直线l 的距离，则h 1h 2＝|OM →||MC →|＝1λ－1⇒h 2＝(λ－1)h 1.又由点到直线的距离公式得，h 1＝11＋m2＝1λ2－1.而|AB |＝1＋m 2·y 1＋y 22－4y 1y 2＝22＋m 2m 2＋2＝22λ2－λ2，所以S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝2λ2－λ2·λλ2－1＝2λ2－1λ. 由题意知，S ＝a 23＝23，所以2λ2－1λ＝23⇒λ＝ 3.将λ＝3代入①式得m ＝±1，所以直线l 的斜率为±1.。

第章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[考纲传真](教师用书独具)1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．(对应学生用书第130页)[基础知识填充]1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角，当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0.(2)倾斜角的范围是[0，π)．2．直线的斜率(1)定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1. 3．直线方程的五种形式1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．()(4)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×(5)√2．直线3x－y＋a＝0的倾斜角为()A．30°B．60°C．150°D．120°B[设直线的倾斜角为α，则tan α＝3，∵α∈[0，π)，∴α＝π3.]3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为() A．1 B．4C．1或3 D．1或4A[由题意知4－mm＋2＝1(m≠－2)，解得m＝1.]4．(教材改编)直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.1或－2[令x＝0，则l在y轴上的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋2 a.依题意2＋a＝1＋2a，解得a＝1或a＝－2.]5．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 [若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.若直线不过原点，设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a ，则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线方程为x ＋y ＋1＝0.](对应学生用书第130页)(1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( )A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π (2)若直线l 过点P (－3,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13 [(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，又sin α∈[－1,1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π. (2)因为P (－3,2)，A (－2，－3)，B (3,0)，则k P A ＝－3－2－2－(－3)＝－5，k PB ＝0－23－(－3)＝－13.如图所示，当直线l 与线段AB 相交时，直线l 的斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13.]线，则a ＝( ) A ．1±2或0 B.2－52或0 C ．2±52D.2＋52或0(2)直线l 经过A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．(1)A (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 [(1)∵平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，∴k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0， 解得a ＝0或a ＝1±2.故选A ．(2)直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α＜π2.]根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.【导学号：79140262】[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α＜π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13. 故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)． 即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为xa ＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.(1)过点P (2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数； (2)过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍． [解] (1)当直线过原点时，方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.当直线l不过原点时，设直线方程为xa－ya＝1.将P(2,3)代入方程，得a＝－1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.(2)设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.因为tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．[解]设直线l：xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以4a＋1b＝1.(1)4a＋1b＝1≥24a·1b＝4ab，所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为x8＋y2＝1，即x＋4y－8＝0.(2)因为4a＋1b＝1，a＞0，b＞0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a ≥5＋2a b ·4ba ＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.12直线l 1，l 2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a 为何值时，四边形的面积最小？【导学号：79140263】[解] 由⎩⎨⎧ax －2y ＝2a －4，2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，得x ＝y ＝2， ∴直线l 1与l 2交于点A (2,2)(如图)．易知|OB |＝a 2＋2，|OC |＝2－a ，则S 四边形OBAC ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12×2(a 2＋2)＋12×2(2－a )＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，a ∈(0,2)，∴当a ＝12时，四边形OBAC 的面积最小．。

课时作业组——基础对点练．已知直线(＋)－＋＝与直线＋(－)－＝互相平行，则点(，)在( )．圆＋＝上．圆＋＝上．圆＋＝上．圆＋＝上解析：∵直线(＋)－＋＝与直线＋(－)－＝互相平行，∴(＋)(－)＝－，即＋＝.故选.答案：．若直线经过点(－，－)和(－－)，且与经过点(－)、斜率为－的直线垂直，则实数的值为( )．－．－解析：由题意得，直线的斜率为＝＝－(≠)，所以－·＝－，所以＝－，故选.答案：．已知过点()的直线与圆(－)＋＝相切，且与直线－＋＝垂直，则＝( )．．－．解析：由切线与直线－＋＝垂直，得过点()与圆心()的直线与直线－＋＝平行，所以＝，解得＝.答案：．垂直于直线＝＋且与圆＋＝相切于第一象限的直线方程是( )．＋＋＝．＋－＝．＋＋＝．＋－＝解析：由题意可设圆的切线方程为＝－＋，因为与圆相切于第一象限，所以>且＝＝，故＝，所以切线方程为＋－＝，故选.答案：．圆(＋)＋＝的圆心到直线＝＋的距离为( )．．．解析：由圆的标准方程(＋)＋＝，知圆心为(－)，故圆心到直线＝＋即－＋＝的距离＝＝.答案：．直线－＋＝关于直线＝对称的直线方程是( )．＋－＝．＋－＝．＋－＝．＋－＝解析：由题意可知，直线－＋＝与直线＝的交点为()，直线－＋＝的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数．因为直线－＋＝的斜率为，故所求直线的斜率为－，所以所求直线的方程是－＝－(－)，即＋－＝.故选.答案：．(·北京顺义区检测)若直线＝－＋＋与直线－＝－－的交点位于第四象限，则实数的取值范围是( )．－<<－．－<<－．<－．>－解析：解方程组(\\(＝－＋＋－＝－－))得(\\(＝＋＝＋))，因为直线＝－＋＋与直线－＝－－的交点位于第四象限，所以＋>且＋<，所以－<<－.故选.答案：．(·哈尔滨模拟)已知直线＋－＝与直线＋＋＝互相平行，则它们之间的距离是( )．解析：由直线＋－＝与＋＋＝互相平行，得＝，所以直线分别为＋－＝与＋＋＝.它们之间的距离是＝，故选.答案：．已知(－)，()，点为直线＝上的动点，则＋的最小值为( )．．．．解析：设关于直线＝的对称点为′(，)，则－－)＝－，,(＋)＝()×(＋)，))解得′(，－)．由平面几何知识得＋的最小值即是′＝＝.故选.。

课时作业 A 组——基础对点练1、已知动点C 到点F (1,0)的距离比到直线x ＝－2的距离小1,动点C 的轨迹为E . (1)求曲线E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (km <0)与曲线E 相交于A ,B 两个不同点,且OA →·OB →＝5,证明：直线l 经过一个定点、解析：(1)由题意可得动点C 到点F (1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离, ∴曲线E 是以点(1,0)为焦点,直线x ＝－1为准线的抛物线, 设其方程为y 2＝2px (p >0),∴p2＝1,∴p ＝2,∴动点C 的轨迹E 的方程为y 2＝4x . (2)证明：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0, ∴x 1＋x 2＝4－2km k 2,x 1·x 2＝m 2k 2.∵OA →·OB →＝5,∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2＋4km k 2＝5,∴m 2＋4km －5k 2＝0,∴m ＝k 或m ＝－5k .∵km <0,∴m ＝k 舍去,∴m ＝－5k ,满足Δ＝16(1－km )>0, ∴直线l 的方程为y ＝k (x －5), ∴直线l 必经过定点(5,0)、2、(2018·昆明市检测)已知点A ,B 的坐标分别为(－2,0),(2,0),直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积是－12,点M 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)过点F (1,0)作直线l 交曲线E 于P ,Q 两点,交y 轴于R 点,若RP →＝λ1PF →,RQ →＝λ2QF →,证明：λ1＋λ2为定值、解析：(1)设点M (x ,y ),由已知得y x ＋2·y x －2＝－12(x ≠±2),化简得曲线E 的方程：x 22＋y 2＝1(x ≠±2)、(2)证明：设点P ,Q ,R 的坐标分别为P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),R (0,y 0)、由RP →＝λ1PF →,得(x 1,y 1－y 0)＝λ1(1－x 1,－y 1), 所以x 1＝λ11＋λ1,y 1＝y 01＋λ1,因为点P 在曲线E 上,所以12(λ11＋λ1)2＋(y 01＋λ1)2＝1,化简得λ21＋4λ1＋2－2y 20＝0 ①,同理,由RQ →＝λ2QF →,可得x 2＝λ21＋λ2,y 2＝y 01＋λ2,代入曲线E 的方程化简得λ22＋4λ2＋2－2y 20＝0 ②,由①②可知λ1,λ2是方程x 2＋4x ＋2－2y 20＝0的两个实数根(Δ>0), 所以λ1＋λ2＝－4,即λ1＋λ2为定值、3、在平面直角坐标系中,已知点A (－3,0),B (3,0),直线MA ,MB 交于点M ,它们的斜率之积为常数m (m ≠0),且△MAB 的面积最大值为3,设动点M 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)过曲线E 外一点Q 作E 的两条切线l 1,l 2,若它们的斜率之积为－1,那么QA →·QB →是否为定值？若是,请求出该值；若不是,请说明理由、 解析：(1)设M (x ,y ),则由已知得 y x ＋3·yx －3＝m ,即y 2＝m (x 2－3), 即x 23－y 23m ＝1(x ≠±3)、(*)①当m >0时,方程(*)表示双曲线,此时△MAB 面积不存在最大值(不符合)； ②当m ＝－1时,方程(*)表示圆,此时△MAB 的面积最大值为3(不符合)；③当m <0且m ≠－1时,方程(*)为椭圆,此时△MAB 的面积最大值为3,所以m ＝－13. 此时所求的方程为x 23＋y 2＝1(x ≠±3)、(2)设Q (x 0,y 0),过点Q 的切线l 为y ＝k (x －x 0)＋y 0, 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，x 23＋y 2＝1，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (y 0－kx 0)x ＋3(y 0－kx 0)2－3＝0, 则Δ＝36k 2(y 0－kx 0)2－4(1＋3k )2·3[(y －kx 0)2－1]＝0,化简得(3－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0,于是k 1·k 2＝1－y 203－x 20,由已知斜率之积为－1, 则1－y 203－x 20＝－1,则x 20＋y 20＝4(x 0≠±3), 所以|OQ |＝2,于是QA →·QB →＝14[(2QO →)2－AB →2]＝1.4、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1,F 2,离心率为12,点P 为其上一动点,且三角形PF 1F 2的面积最大值为3,O 为坐标原点、 (1)求椭圆C 的方程；(2)若点M ,N 为C 上的两个动点,求常数m ,使OM →·ON →＝m 时,点O 到直线MN 的距离为定值,求这个定值、解析：(1)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝a 2－b 2，bc ＝3，c a ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1x 2＋y 1y 2＝m ,当直线MN 的斜率存在时,设其方程为y ＝kx ＋n ,则点O 到直线MN 的距离d ＝|n |k 2＋1＝n 2k 2＋1, 联立,得⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝kx ＋n ，消去y ,得(4k 2＋3)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0, 由Δ>0得4k 2－n 2＋3>0,则 x 1＋x 2＝－8kn 4k 2＋3,x 1x 2＝4n 2－124k 2＋3,所以x 1x 2＋(kx 1＋n )(kx 2＋n )＝(k 2＋1)x 1x 2＋kn (x 1＋x 2)＋n 2＝m , 整理得7n 2k 2＋1＝12＋m (4k 2＋3)k 2＋1.因为d ＝n 2k 2＋1为常数,则m ＝0,d ＝ 127＝2217,此时7n2k 2＋1＝12满足Δ>0. 当MN ⊥x 轴时,由m ＝0得k OM ＝±1,联立,得⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝±x ，消去y ,得x 2＝127,点O 到直线MN 的距离d ＝|x |＝2217亦成立、综上,当m ＝0时,点O 到直线MN 的距离为定值,这个定值是2217.B 组——能力提升练1、如图,已知直线l ：y ＝kx ＋1(k >0)关于直线y ＝x ＋1对称的直线为l 1,直线l ,l 1与椭圆E ：x 24＋y 2＝1分别交于点A ,M 和A ,N ,记直线l 1的斜率为k 1.(1)求k ·k 1的值；(2)当k 变化时,试问直线MN 是否恒过定点？若恒过定点,求出该定点坐标；若不恒过定点,请说明理由、解析：(1)设直线l 上任意一点P (x ,y )关于直线y ＝x ＋1对称的点为P 0(x 0,y 0), 直线l 与直线l 1的交点为(0,1), ∴l ：y ＝kx ＋1,l 1：y ＝k 1x ＋1, k ＝y －1x ,k 1＝y 0－1x 0,由y ＋y 02＝x ＋x 02＋1, 得y ＋y 0＝x ＋x 0＋2 ①, 由y －y 0x －x 0＝－1,得y －y 0＝x 0－x ②, 由①②得⎩⎨⎧y ＝x 0＋1，y 0＝x ＋1，kk 1＝yy 0－(y ＋y 0)＋1xx 0＝(x ＋1)(x 0＋1)－(x ＋x 0＋2)＋1xx 0＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0,设M (x M ,y M ),N (x N ,y N ), ∴x M ＝－8k 4k 2＋1,∴y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝－8k 14k 21＋1＝－8k 4＋k 2,y N ＝1－4k 214k 21＋1＝k 2－44＋k2. k MN ＝y M －y N x M －x N ＝1－4k 24k 2＋1－k 2－44＋k 2－8k 4k 2＋1－－8k 4＋k 2＝8－8k 48k (3k 2－3)＝－k 2＋13k ,直线MN ：y －y M ＝k MN (x －x M ), 即y －1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k (x －－8k 4k 2＋1),即y ＝－k 2＋13k x －8(k 2＋1)3(4k 2＋1)＋1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k x －53.∴当k 变化时,直线MN 过定点(0,－53)、2、(2018·合肥市质检)如图,在平面直角坐标系中,点F (－1,0),过直线l ：x ＝－2右侧的动点P 作P A ⊥l 于点A ,∠APF 的平分线交x 轴于点B ,|P A |＝2|BF |.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线q 交曲线C 于M ,N ,试问：x 轴正半轴上是否存在点E ,直线EM ,EN 分别交直线l 于R ,S 两点,使∠RFS 为直角？若存在,求出点E 的坐标,若不存在,请说明理由、 解析：(1)设P (x ,y ),由平面几何知识得|PF ||P A |＝22, 即(x ＋1)2＋y 2|x ＋2|＝22,化简得x 2＋2y 2＝2,22(2)假设满足条件的点E (n,0)(n >0)存在,设直线q 的方程为x ＝my －1, M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),R (－2,y 3),S (－2,y 4)、联立,得⎩⎨⎧x 2＋2y 2＝2，x ＝my －1，消去x ,得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0, y 1＋y 2＝2m m 2＋2,y 1y 2＝－1m 2＋2,x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝m 2y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1＝－m 2m 2＋2－2m 2m 2＋2＋1＝2－2m 2m 2＋2,x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝2m 2m 2＋2－2＝－4m 2＋2,由条件知y 1x 1－n ＝y 3－2－n ,y 3＝－(2＋n )y 1x 1－n, 同理y 4＝－(2＋n )y 2x 2－n ,k RF ＝y 3－2＋1＝－y 3,k SF ＝－y 4.因为∠RFS 为直角,所以y 3y 4＝－1, 所以(2＋n )2y 1y 2＝－[x 1x 2－n (x 1＋x 2)＋n 2], (2＋n )21m 2＋2＝2－2m 2m 2＋2＋4nm 2＋2＋n 2,所以(n 2－2)(m 2＋1)＝0,n ＝2,故满足条件的点E 存在,其坐标为(2,0)、3、已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点(m3,m ),延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形？若能,求此时l 的斜率；若不能,说明理由、解析：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0,b ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x M ,y M )、 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0, 故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9,y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k ,即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的积是定值、 (2)四边形OAPB 能为平行四边形、因为直线l 过点(m3,m ),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0,k ≠3.由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x . 设点P 的横坐标为x P ,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81,即x P ＝±km3k 2＋9.将点(m3,m )的坐标代入l 的方程得b ＝m (3－k )3, 因此x M ＝km (k －3)3(k 2＋9).四边形OAPB 为平行四边形,当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P ＝2x M . 于是±km3k 2＋9＝2×k (k －3)m 3(k 2＋9),解得k 1＝4－7,k 2＝4＋7.因为k i >0,k i ≠3,i ＝1,2,所以当l 的斜率为4－7或4＋7时,四边形OAPB 为平行四边形、4、(2018·长沙市模拟)已知P (3,12)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上,F 为右焦点,PF 垂直于x 轴、A ,B ,C ,D 为椭圆上四个动点,且AC ,BD 交于原点O . (1)求椭圆C 的方程；(2)判断动直线l ：m ＋n 2x ＋(m －n )y ＝3＋12m ＋3－12n (m ,n ∈R)与椭圆C 的位置关系； (3)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)满足y 1y 2OA →·OB→＝15,判断k AB ＋k BC 的值是否为定值,若是,请求出此定值,并求出四边形ABCD 面积的最大值,否则请说明理由、解析：(1)∵P (3,12)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上,∴3a 2＋14b 2＝1.①22由①②,解得a ＝2,b ＝1,∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)将动直线l 的方程m ＋n 2x ＋(m －n )y ＝3＋12m ＋3－12n (m ,n ∈R), 化为(x 2＋y －3＋12)m ＋(x2－y －3－12)n ＝0. ∵m ,n ∈R,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y ＝3＋12，x 2－y ＝3－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝12，∴动直线l 恒过点P ,∵P 在椭圆C 上,∴动直线l 与椭圆C 的位置关系是相切或相交、 (3)∵y 1y 2OA →·OB→＝15,∴4y 1y 2＝x 1x 2.当直线AB 的斜率不存在或斜率为0时,不满足4y 1y 2＝x 1x 2. 当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为 y ＝kx ＋m ,联立,得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0,∴Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)·4(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0(*) ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2.∵4y 1y 2＝x 1x 2,y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2, ∴(4k 2－1)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝0, ∴(4k 2－1)4(m 2－1)1＋4k 2＋4km －8km 1＋4k2＋4m 2＝0, 整理得4k 2＝1,∴k ＝±12.∵A ,B ,C ,D 的位置可轮换,∴直线AB ,BC 的斜率是12或－12,∴k AB ＋k BC ＝12＋(－12)＝0,为定值、 不妨设k AB ＝－12,则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝2(m 2－1). 设原点到直线AB 的距离为d ,则 S △AOB ＝12|AB |·d ＝121＋k 2·|x 2－x 1|·|m |1＋k 2＝|m |2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|m |24m 2－4·2(m 2－1)＝m 2(2－m 2)≤m 2＋2－m22＝1.当m 2＝1时(满足(*)),S △AOB ＝1,∴S 四边形ABCD ＝4S △AOB ≤4,即四边形ABCD 面积的最大值为4.。

课时作业 A 组——基础对点练1．(2017·沈阳质量监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 解析：将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C. 答案：C2．(2017·辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B.12 C.32D.52解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32. 答案：C3．(2017·邯郸质检)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：依题意，设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋12)＋(x 2＋12)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.选C. 答案：C4．已知直线l ：y ＝kx －k 与抛物线C ：y 2＝4x 及其准线分别交于M ，N 两点，F 为抛物线的焦点，若2FM →＝MN →，则实数k 等于( ) A ．±33 B ．±1 C ．±3D ．±2解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，直线l ：y ＝kx －k过抛物线的焦点，如图．过M 作MM ′⊥准线x ＝－1，垂足为M ′，由抛物线的定义，得|MM ′|＝|MF |，易知∠M ′MN 与直线l 的倾斜角相等，由2FM →＝MN →，得cos ∠M ′MN ＝|MM ′||MN |＝12，则tan ∠M ′MN ＝±3，∴直线l 的斜率k ＝±3，故选C. 答案：C5．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A ．25－1 B ．25－2 C.17－1D.17－2解析：由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4)，半径r ＝1，抛物线的焦点F (1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝1＋16－1＝17－1.选C.答案：C6．(2017·沈阳质量监测)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作P A ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝ . 解析：设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝233，设P (x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF |＝|P A |＝y 0＋1＝43.。

课时作业A组一一基础对点练1. 直线x+ .3y+ a= 0（a为实常数）的倾斜角的大小是（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°解析：直线x+p3y+ a= 0（a为实常数）的斜率为—普，令其倾斜角为9,则tan 9 =—書，解得A 150。

，故选D.答案：D2. 如果AB<0,且BC<0，那么直线Ax+ By+ C= 0不通过（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限 D .第四象限A C解析：直线Ax+ By+ C= 0可化为y= —Ax —C,A C••• AB<0, BC<0,A —B>0,—B>0.「.直线过第一、二、三象限，不过第四象限，故选D.答案：D3. 直线x+ （a2+ 1）y+ 1= 0的倾斜角的取值范围是（）n 3 n 、A . [0, 4] B.打，n）nn、—”nn 3n、C. [0 , 4] U（2，n ） D . [-, ^）U [匸,n）1 1解析：由直线方程可得该直线的斜率为—乞，又—1W—乞<0,所以倾斜a十1 a十1角的取值范围是[于，n）答案：B4. 若方程（2m?+ m—3）x+ （m?—m）y—4m+ 1 = 0表示一条直线，则参数m 满足的条件是（）3A . m H —2B. m H0C. 0 且1__ 22m + m—3= 0, 一解析：由* 2解得m= 1，故m H 1时方程表示一条直线.、m —m= 0,答案：D5. 设a€ R,则“ a= 1” 是“直线1仁ax+ 2y—1 = 0 与直线b: x+ 2y+ 4= 0 平行”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件解析：由a= 1可得11 // 12，反之，由11 // 12可得a= 1,故选C.答案：C6 .设直线I的方程为x+ ycos 9+ 3= 0（茨R）,则直线I的倾斜角a的取值范围是（）j'n nA . [0, n ） B. 4, 2n 3 n nnn 3 nc. 4, & D.4, 2 u 2, Nn解析：当cos 9= 0时，方程变为x+ 3= 0,其倾斜角为2；1当cos片0时，由直线I的方程，可得斜率k= —C0S-9COS 9因为cos 9€ [ —1,1]且cos 片0,所以k€ (— X,—1] u [1,+%),即tan a€ (—X,— 1] u [1 , + X),又a€ [0, n)所以a€ 4,综上知，直线I的倾斜角a的取值范围是n，3^.答案：C17. （2018开封模拟）过点A（—1,—3）,斜率是直线y= 3x的斜率的—的直线方程为()A . 3x+ 4y+ 15= 0 C. 3x+ y + 6 = 0 B. 4x+ 3y+ 6= 0 D . 3x—4y+ 10= 01 3解析：设所求直线的斜率为k ,依题意k = — 1x 3二—寸•又直线经过点A(- 1, 33),因此所求直线方程为 y + 3= — 4(x + 1), 即卩3x + 4y + 15= 0. 答案：A8. 直线(2m + 1)x + (m + 1)y — 7m — 4= 0 过定点( )A . (1,— 3)B . (4,3) C. (3,1)D . (2,3)解析：2mx + x + my + y — 7m —4 = 0, 即(2x + y — 7)m + (x +y —4) = 0,2x + y = 7, x = 3, 由' ，解得彳 则直线过定点(3,1),故选C./+ y =4 y= 1. 答案：C9. (2018张家口模拟)直线I 经过A(2,1), B(1,— m 2)(m € R)两点，则直线I 的倾 斜角a 的取值范围是() nA . 0" 4n 3 nD ・2<aW 匚彳I 2 1 + m直线I 的斜率k = tan a= -2— 1 答案：C 10.已知直线x + a 2y — a = 0(a 是正常数),当此直线在x 轴，y 轴上的截距和最小 时，正数a 的值是( ) A . 0 B . 2 C. 2D . 12x + a y — a = 0在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数 a 的值是1,故选D. 答案：D11. 已知点M(0,— 1)，点N 在直线x — y + 1 = 0上，若直线 MN 垂直于直线xnB.2< a <nna <22n nI + 1 > 1 ,所以a<2.解析:2 1解析：直线x+ a y —a= 0(a是正常数)在x轴，y轴上的截距分别为a和匚，此直a线在x轴，y轴上的截距和为a + 2,当且仅当a= 1时，等号成立.故当直线a+ 2y - 3 = 0,则点N 的坐标是( )A • (-2,- 1) C . (2,1)解析：•••点N 在直线x — y + 1= 0上， •••可设点N 坐标为(x o , x o + 1).根据经过两点的直线的斜率公式，得 k MN = _X=x o x o1•••直线MN 垂直于直线x + 2y -3= 0,直线x + 2y -3 = 0的斜率k =-㊁,I Q x0一 = 2,解得x o = 2•因此点N 的坐标是(2,3),故选B.答案：B12 •直线I 过点P(1,0)，且与以A(2,1), B(0, 3)为端点的线段有公共点，则直 线I 斜率的取值范围为 __________________ . 解析：如图，因为k AP =1 ― = 1, k BP = j 彳0=_ 3,2-1 0-1 v所以k € (-00, -3] U [1 ,+ 00).答案：(一O,— 3] U [1 , +O )B ・(2,3) D • (-• k MN X2 =- 1,13. 已知直线I : ax + y - 2-a = 0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数 a 和点B(1,0)时，b 分别取得最小值和最大值•••• b 的取值范围是[-2,2].B 组一一能力提升练角为(3 n1, 其倾斜角为才.故选D. 答案：D 2.过点P(1,1)的直线，将圆形区域｛(x ,y)|x 2 + y 2<4｝分为两部分，使得这两部分 的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A . x + y — 2 = 0 B . y — 1 = 0 C . x — y = 0D . x + 3y — 4= 0解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径.因为 过点P(1,1)的直径所在直线的斜率为1,所以所求直线的斜率为—1,方程为x + y —2 = 0. 答案：A3. 过点(3,1)作圆(x — 1)2 + y 2= 1的两条切线，切点分别为A , B ,则直线AB 的方 程为()A . 2x + y — 3 = 0B . 2x — y — 3= 0C . 4x — y — 3 = 0D . 4x + y — 3= 0解析：根据平面几何知识，直线 AB 一定与点(3,1), (1,0)的连线垂直，而这两点1连线所在直线的斜率为2,故直线AB 的斜率一定是-2,只有选项A 中直线的斜 率为—2,故选A. 答案：A4. 已知点A( — 1,0), B(1,0), C(0,1),直线y = ax + b(a>0)将厶ABC 分割为面积相 等的两部分，贝U b 的取值范围是()1•已知 f(x) = asin x — bcos x , ,则直线ax - by + c = 0的倾斜nA.3小3nD.&解析: C.4令x = n,则 f(0) = f ^,即一b = a ,则直线 ax — by + c = 0 的斜率 k =詈=一 若f =fc .(1—孑，3]x +y = 1 a + b消去x ,得y =— ，当a>0时，直线y = ax + b 与x 轴交于y = ax + b a十 1点(—b , 0),结合图形(图略)知 x (1 + 二)=1，化简得(a + b)2 3 = a(a + 1), a 2 a +1 a 2b 2b 2则 a = 1 — 2b.V a >0，； 1 — 2b>0,解得 1_"2，故选 B . 答案：B5. 已知p ： “直线I 的倾斜角o>n ； q :“直线I 的斜率k>1 ”，则p 是q 的() A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：当2< a<冗时，tan a 0,即k < 0,而当k>1时，即tan a >1,则_< a <2，所 以p 是q 的必要不充分条件，故选 B. 答案：B6. 若经过点(1,0)的直线l 的倾斜角是直线x — 2y — 2= 0的倾斜角的2倍，则直线 l 的方程为() A . 4x — 3y — 4= 0 B . 3x — 4y — 3= 0 C . 3x + 4y — 3= 0D . 4x + 3y — 4= 01解析：设直线x — 2y — 2 = 0的倾斜角为a 则其斜率tan a= $直线l 的斜率tan2 a=42響a= 4•又因为I 经过点(1,0),所以其方程为4x — 3y — 4 = 0,故选A.I — tan a 3 答案：A7. —条光线从点(一2,— 3)射出，经y 轴反射后与圆(x + 3)2 + (y — 2)2= 1相切，A • (0,1)B .(1—# 2)1 1 D • [3 2)解析：由, bg.考虑极限位置，即a = 0,此时易得b3_ 53_ 2 - B.5十 4 4十 3C .— 4或一5D 3或—4解析：由题知，反射光线所在直线过点(2,- 3),设反射光线所在直线的方程为 y + 3 — k(x —2)，即卩 kx — y — 2k — 3 — 0.•••圆(x + 3)2 + (y — 2)2 — 1的圆心为(—3,2),半径为1,且反射光线与该圆相切， 二— 1,化简得 12k 2 + 25k + 12— 0,解得 k —— 4或 k — — 3.寸 k 2+13 4答案：D28.已知倾斜角为B 的直线与直线x — 3y + 1— 0垂直，贝U 2%—( )3sin t)— cos uA 10A.J解析：依题意，tan t — — 3( 0€ [0 , n )) 2 2 22 sin (+ cos t 2 tan t+ 1 10Esin 2 (- cos 21 —忑孑匸1—畐，故选C 答案：C9. (2018天津模拟)已知m, n 为正整数，且直线 + ny + 3 — 0互相平行，则2m + n 的最小值为()C . 11D . 16解析：•••直线2x + (n — 1)y — 2 — 0与直线mx + ny + 3 — 0互相平行， 2 1二 2n — m(n — 1),二 m + 2n —mn ,两边同除以 mn 可得m +~ — 1,v m , n 为正整 数，2 . 1 厂 2n 2m 2n 2m 2n 2m•••2m+ n — (2m +n)-+1 尸 5+ 后+5+2\^2m —9.当且仅当-—2■时取等号. 故选B. 答案：B10. ____________________________________________________________ 直线xcos t — y — 1— 0( t€ R)的倾斜角a 的取值范围为 _________________________ . n 3 解析：直线的斜率为 k — cos t€ [ — 1,1],即 tan a [ — 1,1],所以 a€ [0,4] UQn1010 13所以22 2~— 3sin — cos t2x + (n — 1)y — 2— 0 与直线 mxn 3答案：［0, 4〕u〔a n, n)11. ___________________________________________________________ 过点A(1,2)且与直线x—2y+ 3 = 0垂直的直线方程为_________________________ .1解析：直线x—2y+ 3 = 0的斜率为扌,所以由垂直关系可得要求直线的斜率为- 2, 所以所求方程为y—2= —2(x—1)，即2x+ y — 4 = 0.答案：2x+ y—4= 012. 设m€ R,过定点A的动直线x+ my= 0和过定点B的动直线mx—y—m+ 3 =0交于点P(x, y),则|PA| |PB|的最大值是 __________________ .解析：动直线x+ my= 0(m M 0)过定点A(0,0)，动直线mx—y—m+ 3= 0过定点B(1,3).由题意易得直线x+ my= 0与直线mx—y—m+ 3= 0垂直，即FA X PB. 所以|FA| |PB|< |PA|；|PB|=字=号3= 5,即|FA| |PB|的最大值为5.答案：5n 、‘13. 已知直线x=4是函数f(x) = asin x—bcos x(ab^0)图像的一条对称轴，求直线ax+ by+ c= 0的倾斜角.解析：f(x)= a2+ b2sin(x—©，其中tan 片£，将x=才弋入，得sin^—妨=±, n n n i n即4—片k n+ ^, k € Z,解得©= —k n—4, k € 乙所以tan ©= tan —k n—4 =— 1 =b，所以直线ax+ by+ c= 0的斜率为—a= 1,故倾斜角为n.a b 4解析：令x= 0,则l在y轴上的截距为2 + a；令y= 0,得直线l在x轴上的截距2 2为1+二依题意2+ a= 1+ ；,解得a= 1或a=-2.a a答案：1或—214. (2018武汉市模拟)若直线2x+y+ m= 0过圆x* 2+ y2-2x+ 4y= 0的圆心，则m的值为________________ .解析：圆x2+ y2- 2x+ 4y= 0 可化为(x- 1)2+ (y+ 2)2= 5,圆心为(1,- 2),则直线2x+ y+ m= 0 过圆心(1,- 2),故2-2+ m= 0, m= 0.答案：015. 设点A(- 1,0), B(1,0),直线2x+y-b= 0与线段AB相交，求b的取值范围.解析：b为直线y=-2x+ b在y轴上的截距，当直线y=-2x+ b过点A(- 1,0)则反射光线所在直线的斜率为()。

第章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[考纲传真] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．(对应学生用书第110页)[基础知识填充]1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0°，180°)．2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_θ，倾斜角是90°的直线斜率不存在．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1. 3．直线方程的五种形式[1．直线恒过定点问题 在直线方程中，若x 或y 的系数含有字母参数，则直线恒过定点 如直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0，可将方程化为m (2x ＋y －7)＋x ＋y －4＝0，令⎩⎨⎧ 2x ＋y －7＝0x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝3y ＝1，即直线恒过定点(3,1)．2．直线“陡”、“缓”与斜率k 的关系在平面直角坐标系中，直线越“陡”，|k |越大．3．直线在x ，y 轴上的截距问题当直线在x ，y 轴上的截距相等或互为相反数时，应分两种情况讨论：一是直线过原点；二是直线不过原点(待定系数法)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )(3)过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°B [直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，则α＝60°.]3．(2018·泉州模拟)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程是( )【导学号：00090264】A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0D [圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.]4．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________.1或－2 [令x ＝0，则l 在y 轴上的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a .依题意2＋a ＝1＋2a ，解得a ＝1或a ＝－2.]5．(2017·西安模拟)过点P (2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程为________． 3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0 [当直线过原点时，方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0. 当直线l 不过原点时，设直线方程为x a －ya ＝1. 将P (2,3)代入方程，得a ＝－1， 所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.综上，所求直线l 的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0.](对应学生用书第111页)(1)直线________．(2)(2018·郑州模拟)若直线l 过点P (－3,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13 [(1)当θ＝k π＋π2(k ∈Z )时，cos θ＝0，直线为x ＋1＝0，其倾斜角为π2.当θ≠k π＋π2(k ∈Z )时，直线l 的斜率为tan α＝1cos θ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.综上，α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.(2)因为P (－3,2)，A (－2，－3)，B (3,0)，则k PA ＝－3－2－2－(－3)＝－5，k PB ＝0－23－(－3)＝－13.如图所示，当直线l 与线段AB 相交时，直线l 的斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13.][规律方法] 1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R .(2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．第(2)问求解要注意两点： (1)斜率公式的正确应用；(2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为k ≤－5或k ≥－13.[变式训练1] (1)(2018·长沙模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( ) A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1(2)直线l 经过A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．【导学号：00090265】(1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 [(1)设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12.(2)直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α＜π2.](1)直线过点(________．(2)△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，则BC 边上的中线AD 所在直线的方程为________．(3)若A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．(1)x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0 (2)2x －3y ＋6＝0 [(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α＜π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13. 故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)． 即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)设BC 中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边上的中线AD 过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)法一：设直线l 在x 轴、y 轴上的截距均为A ． 由题意得M (3,2)．若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，所以直线l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.若a≠0，设直线l的方程为xa＋ya＝1，因为直线l过点M(3,2)，所以3a＋2a＝1，所以a＝5，此时直线l的方程为x5＋y5＝1，即x＋y－5＝0.综上，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.法二：易知M(3,2)，由题意知所求直线l的斜率k存在且k≠0，则直线l的方程为y－2＝k(x－3)．令y＝0，得x＝3－2k；令x＝0，得y＝2－3k.所以3－2k＝2－3k，解得k＝－1或k＝23.所以直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝23(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.][规律方法] 1.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式直线方程的适用条件，选择适当的形式至关重要．[变式训练2](1)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为________．【导学号：00090266】(2)求过点A(－1，－3)且倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍的直线方程．4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0[(1)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (2)设直线y ＝3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.](1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． [解] (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0， 令⎩⎨⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程， 得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.[规律方法] 在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的求面积、距离的最值问题，则可先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． [变式训练3] 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a 为何值时，四边形的面积最小？[解] 直线l 1的方程可化为a (x －2)－2y ＋4＝0.直线l 2的方程可化为2x －4＋a 2(y －2)＝0，因此直线l 1，l 2恒过定点A (2,2)．(如图) 易知|OB |＝a 2＋2，|OC |＝2－a ， 则S四边形OBAC＝S △AOB ＋S △AOC ＝12×2(a 2＋2)＋12×2(2－a )＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，a ∈(0,2)，∴当a ＝12时，四边形OBAC 的面积最小．。