精品：【全国百强校】湖南省衡阳市第一中学2015-2016学年高一下学期期中考试生物试题(原卷版)

2023-2024学年湖南省衡阳一中高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，，若集合，则的值为()A.B.C.1D.22.已知命题p ：任意，，命题q ：存在，若“p 且q ”是假命题，则实数a 的取值范围是()A. B.C.D.3.设正实数x ，y ，z 满足，则的最大值为()A.4 B.2C.3D.14.，则当t 变化时，的最小值为()A.2020B.2019C.2018D.20175.已知函数，其中，，若对任意，恒成立，则的最小值为()A.B.C.D.6.如图所示，矩形ABCD 中，，点E 为AB 中点，若，则()A.B.C.3D.7.已知函数定义域为，，对任意的，，当时，有若，则实数a 的取值范围是()A. B.C.D.8.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则下列结论正确的是()A. B.是奇函数C.在上单调递增D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数的部分图象如图所示，若，，则()A.B.的单调递增区间为C.的图象关于点对称D.的图象关于直线对称10.已知函数其中表示不大于x的最大整数，则()A.是奇函数B.是周期函数C.在上单调递增D.的值域为11.在中，D为BC边上的中点，是边AB上的一个定点，，且对于AB上任一点P，恒有，则下列结论中正确的是()A. B.存在点P，使C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知，点M是内一点且，则的面积为______.13.函数的最小值______.14.已知，，，，且，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题13分已知的内角所对的边分别为，且，若，求的值；若的面积，求的值．16.本小题15分已知函数的最小正周期为将化简成的形式；设函数，求函数在上的值域.17.本小题15分已知，我们定义函数表示不小于x的最小整数，例如：，若，求实数x的取值范围；求函数的值域，并求满足的实数x的取值范围.18.19.本小题17分在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且求A；点D在边BC上，且，，求面积的最大值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为，所以，解得，或，，当时，不满足集合元素的互异性，故，，故选：根据集合相等的定义求出m，n，即可得解．本题主要考查了集合相等条件的应用，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：命题p为真时，恒成立，即，，，则；命题q为真时，，即，解得：或命题“p且q”是真命题时，可得或，所以命题“p且q”是假命题时，可得且，即故选：首先分别求两个命题为真命题时a的取值范围，取其补集即可得答案．本题考查复合命题的真假判断与应用，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：因为正实数x，y，z满足，则，当且仅当时取等号．故选：先把代入到所求式子，然后进行分离变形，结合基本不等式即可求解．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：函数，对称轴为，当，在上单调递增，所以；当，即时，在上单调递减，；当，即时，此时，，无最小值；当，即时，，综上知，的最小值为故选：根据对称轴和区间的位置关系对t的值进行讨论，从而求出，继而求出其最小值即可．本题考查二次函数在动区间上的最值，考查了分类讨论思想，属于难题．5.【答案】C【解析】解：，①当时，，对称轴为，在上单调递增，所以，则，所以②当时，，对称轴为，在上递增，在上递减，所以，则，所以③当时，若，，；若，，当时，，，，；当时，，，，综上所述：的最小值为故选：先按a的不同取值区间分类讨论在上的最大值，得到a与b的关系，结合a的范围，求得的最小值，再取不同情况下最小值中的最小者即可．本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，体现了分类讨论及转化思想的应用，属于中档题．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、模的计算公式，属于基础题．如图所示，建立直角坐标系．利用，可得，再利用向量模的计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．则，设，，，，，解得故选：7.【答案】D【解析】解：由题意可知，当时，有，即，令，则当时，，则函数在上单调递减，由，可得，即，所以，解得，即实数a 的取值范围是故选：根据题意，构造函数，即可得到函数在上单调递增，结合函数的单调性求解不等式，即可得到结果．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．8.【答案】C 【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象．若的图象关于直线对称，则，，求得，故，故A 、B 错误．在上，，函数单调递增，故C 正确．由于，故D 错误．故选：由题意，利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：根据已知函数的部分图象可得：，因为，，所以，所以，即，所以，将代入解析式中得：，所以，即，因为，所以，所以，故A正确；令，得，故B不正确；因为，所以的图象不关于点对称，故C不正确；因为，所以的图象关于直线对称，故D正确．故选：根据已知函数的部分图象可得，再结合函数的周期可得，然后将代入求得，即可求得函数的解析式，进而判断选项A的正误；利用三角函数的图象与性质求出函数的单调区间，即可判断选项B的正误；利用代入验证法判断函数的对称中心和对称轴即可判断选项C、D的正误．本题考查由三角函数的部分图象求函数的解析式、三角函数的图象与性质，考查学生的逻辑思维能力和直观想象能力，属中档题．10.【答案】BD【解析】解：由题意，表示不大于x的最大整数，则，所以，则函数是以3为周期的函数，当时，；当时，，又是以3为周期的函数，则的值域为，B和D均正确；，，所以，故不是奇函数，A错误；当时，，故在上无单调性，C错误．故选：结合已知定义，结合函数的奇偶性，单调性及周期性检验各选项即可判断．本题以新定义为载体，主要考查了函数的周期性，奇偶性及单调性的判断，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：A：，故A正确．B：由A知，，又恒成立，，即恒成立，不正确．C：由恒成立，是点D与直线AB上各点距离的最小值，，，正确．D：取AB的中点为O，，为OB中点，，，为等腰三角形，，正确．故选：由题意画出图形，利用平面向量的加减运算及数量积运算逐一分析4个命题得答案．本题考查平面向量的数量积运算，考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．12.【答案】【解析】解：取AC的中点D，由，得，即，即，可知点M为BD的中点，所以故答案为：根据题意，取AC的中点D，利用平面向量的线性运算法则判断出点M的位置，进而利用三角形面积公式算出的面积．本题主要考查平面向量的线性运算法则、三角形的面积公式及其性质等知识，属于基础题．13.【答案】【解析】解：，当且仅当，即，时取等号．故答案为：先对已知函数进行变形，然后结合乘1法及基本不等式即可求解．本题主要考查了乘1法及基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．14.【答案】【解析】解：根据，可得，所以，由，得，结合且，可得，所以当且仅当，即时，等号成立．因此，的最小值为，可得的最小值为，的最小值为故答案为：根据题意，取对数得，然后利用基本不等式与“1的代换”，算出的最小值为，由此得出的最小值，进而可得的最小值．本题主要考查对数的运算法则、利用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．15.【答案】解：Ⅰ为的内角，且，，，，由正弦定理得：；Ⅱ，，【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．Ⅰ先求出，再利用正弦定理求的值；Ⅱ由的面积求c的值，利用余弦定理求b的值．16.【答案】解：，根据题意可得，解得，故；由知，则，所以当或时，取得最小值，最小值为，当时，取得最大值，最大值为，故在上的值域为【解析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，利用周期性求解，即可解答；利用诱导公式求得，然后根据正弦函数性质求解值域即可．本题主要考查了三角函数恒等变换，以及正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：由表示不小于x的最小整数，，得，所以实数x的取值范围是；函数定义域为而函数在上单调递增，值域为因此，即，所以函数的值域为显然由，得，则有，而时，不等式不成立，则，必有，即，因此，，解得，所以实数x的取值范围【解析】由已知定义即可得x的范围；由已知结合基本初等函数的性质先求出的值域，再由已知建立不等式关系即可得关于x的不等式，即可求．本题以新定义为载体，主要考查了函数值域的求解，属于中档题．18.【答案】【解析】19.【答案】解：，，即，，；由题意得，两边平方得，整理得，，当且仅当，时，等号成立，，故面积的最大值为【解析】由正弦定理角化边，再结合余弦定理，即可得出答案；由向量建立等量关系，结合基本不等式，即可得出答案．本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。

衡阳市五校2015届高三11月第二次联考（衡南一中、衡阳县一中、祁东二中、岳云中学、衡阳市一中）理科数学试题卷时量：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共50分) ：1．复数21ii =- 【 】 A . 1i - B. 1i -+ C. 1i + D. 1i -- 2．已知,A B 是非空集合，命题甲：AB B =，命题乙：A B ⊂≠，那么 【 】A.甲是乙的充分不必要条件B. 甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 3．已知3cos(),(,2)5x x πππ+=∈,则sin x =【 】A ．35-B ． 45-C ．35 D ． 454. 等差数列{a n }中，已知35a =，2512a a +=，29n a =，则n 为 【 】 A. 13 B. 14 C. 15 D. 165．在△ABC 中，M 是AB 边所在直线上任意一点，若λ+-=2，则λ＝【 】 A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知函数)(x f 是定义在R 上的增函数，则函数1|)1(|--=x f y 的图象可能是【 】7. 在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高为【 】A ．3400m B ．33200m C ．33400m D ．3200m 8．已知'()f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且5()(5),()'()02f x f x x f x =--< 若1212,5x x x x <+<，则下列结论中正确的是 【 】A ．12()()f x f x <B ．12()()0f x f x +>C ．12()()0f x f x +<D ． 12()()f x f x >9．设2(),0,()1,0x a x f x x a x x -≤⎧⎪=⎨++>⎪⎩,若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为【 】 A. [-1,2]B. [-1,0]C. [1,2]D. [0,2]10．在△ABC 中，已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ∆⋅==⋅=，P 为线段AB 上的点，且,||||CA CBCP x y xy CA CB =⋅+⋅则的最大值为 【 】A ．3B ．4C ．5D ．6二．填空题 (每小题5分，共25分) ：11．1()x e x dx +⎰等于 ．12． 函数3()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是 ．13. 数列{}n a 中，已知12121,2,()n n n a a a a a n N *++===+∈，则7a =________.14．方程x a x+=-2)2(log 21有解，则a 的最小值为_________15. 下列命题中，真命题有_______________(写出所有真命题的序号) ⑴在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件； ⑵点(,0)8π为函数()tan(2)4f x x π=+的一个对称中心； ⑶若||1,||2a b ==，向量a 与向量b 的夹角为120°，则b 在向量a 上的投影为1； ⑷有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02.三．解答题：共6个大题，共75分。

一、选择题1．(0分)[ID ：12425]设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ）A ．-4B ．14-C ．14D ．42．(0分)[ID ：12421]设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥3．(0分)[ID ：12416]水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A ．2B ．217C ．2D ．84．(0分)[ID ：12398]已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f 2b (log 5),c (2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 5．(0分)[ID ：12377]<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π6．(0分)[ID ：12356]在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C 3D ．3 7．(0分)[ID ：12344]用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形 8．(0分)[ID ：12396]若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b9．(0分)[ID ：12395]正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ）A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+25 10．(0分)[ID ：12387]α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）①若α//β，m ⊂α，则m//β； ②若m//α，n ⊂α，则m//n ；③若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥β ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β. A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 11．(0分)[ID ：12371]若方程21424x kx k +-=-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．53,124 12．(0分)[ID ：12369]某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13 B ．12 C ．16 D ．113．(0分)[ID ：12410]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A 2 B 3C 2 D 2 14．(0分)[ID ：12397]若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3 15．(0分)[ID ：12360]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题16．(0分)[ID ：12478]在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．17．(0分)[ID ：12463]已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．18．(0分)[ID ：12462]若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .19．(0分)[ID ：12522]在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，5PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________20．(0分)[ID ：12508]已知P 是抛物线24y x =上的动点，点Q 是圆22:(3)(3)1C x y ++-=上的动点，点R 是点P 在y 轴上的射影，则PQ PR +的最小值是____________．21．(0分)[ID ：12443]已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______．22．(0分)[ID ：12431]已知棱长等于23的正方体1111ABCD A B C D -，它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________.23．(0分)[ID ：12430]若直线:20l kx y --=与曲线()2:111C y x --=-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围________.24．(0分)[ID ：12432]如图所示，二面角l αβ--为60,,A B 是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平面内,αβ，且AC l ⊥，，4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长______．25．(0分)[ID ：12450]已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，22BC =，则球心到平面ABC 的距离为__________．三、解答题26．(0分)[ID ：12628]已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=.（1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.27．(0分)[ID ：12597]已知点(3,3)M ，圆22:(1)(2)4C x y -+-=.（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）若直线40()ax y a -+=∈R 与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求实数a 的值.28．(0分)[ID ：12545]如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60,,ABC E F ∠=分别是,BC PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PAD ；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为3，求二面角B AF C --的正切值．29．(0分)[ID ：12622]已知圆22C (4)4x y +-=：，直线:(31)(1)40l m x m y ++--=.（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时直线l 的方程及最短弦长；（3）已知点M (-3,4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在定点N (异于点M )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有||||PM PN 为一常数， 试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数.30．(0分)[ID ：12542]如图，将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11A CB D -．（Ⅰ）求该四面体的体积；（Ⅱ）求该四面体外接球的表面积．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案 **科目模拟测试一、选择题1．D2．B3．B4．B5．C6．A7．A8．B9．A10．B11．D12．A13．A14．B15．D二、填空题16．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为17．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h底面积为S体积为V则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积19．【解析】【分析】以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球由此能求出三棱锥的外接球的表面积【详解】由题意在三棱锥中平面以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球所以三棱锥的外接球20．【解析】根据抛物线的定义可知而的最小值是所以的最小值就是的最小值当三点共线时此时最小最小值是所以的最小值是3【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题考查了转化与化归能力圆外的21．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题22．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【23．【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则24．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程25．【解析】设球的半径为表面积解得∵在中∴从圆心作平面的垂线垂足在斜边的中点处∴球心到平面的距离故答案为点睛：本题考查的知识点是空间点线面之间的距离计算其中根据球心距球半径解三角形我们可以求出所在平面截三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值．【详解】 解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-，又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =．故选D ．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．2．B解析：B【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内.【考点定位】点线面的位置关系3．B解析：B【解析】【分析】依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ．【详解】依题意，因为111A B C △的面积为所以11111sin 452AC B C ︒=⨯⋅=11122B C ⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选B ．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半. 4．B解析：B【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.5．C解析：C【解析】【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.6．A解析：A【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）．又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =又112,222MN BD NP AC ====, ∴PNM ∆为等边三角形，∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ． 点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值． 7．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A 正三角形C 正方形：D 正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A ．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A ．8．B解析：B【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 9．A解析：A【解析】【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可.【详解】作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点,所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B ,所以//EF 平面11BCC B ，由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF ,结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC ,因为正方体的棱长AB ＝4,所以11EF BE C F BC ====所以所求截面的周长为+故选:A【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.10．B解析：B【解析】【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β．【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确；在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．11．D解析：D【解析】【分析】由题意可得，曲线22(1)4(1)x y y +-=与直线4(2)y k x -=-有2个交点，数形结合求得k 的范围.【详解】如图所示，化简曲线得到22(1)4(1)x y y +-=，表示以(0,1)为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为4(2)y k x -=-，过定点(2,4)A ，设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为(2,1)B -，当AD AB k k k <，直线与半圆有两个交点，AD 与半圆相切时，2|124|21k k --+=+，解得512AD k =， 4132(2)4AB k -==--，所以53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.12．A解析：A【解析】【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积．【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．13．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=233323⨯=， ∴116133OO =-=， ∴高SD=2OO 1=263，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =34， ∴132623436S ABC V -=⨯⨯=三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．14．B解析：B【解析】【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增，()301373a a a a ⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤< 所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 15．D 解析：D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D.二、填空题16．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为6【解析】连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D 是等边三角形，则当N 为11B D 中点时，NA 6 17．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>，则圆心为(0,)a ，半径R a =，圆心到直线0x y +=的距离d =，圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是∴即24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，则MN =3R r +=，1R r -=，R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r 高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积解析：2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，则有2πr =2⇒r =1π，故底面面积S =πr 2=π×(1π)2=1π，故圆柱的体积V =Sh =1π×2=2π. 考点：圆柱的体积 19．【解析】【分析】以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球由此能求出三棱锥的外接球的表面积【详解】由题意在三棱锥中平面以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球所以三棱锥的外接球 解析：50π【解析】以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球，由此能求出三棱锥P ABC -的外接球的表面积.【详解】由题意，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,3,4,5ABC AB BC AB BC PA ⊥===， 以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球， 所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为22215234522R =++=， 所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为225244()502S R πππ==⨯=. 【点睛】 本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的结构特征，以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，得到长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.20．【解析】根据抛物线的定义可知而的最小值是所以的最小值就是的最小值当三点共线时此时最小最小值是所以的最小值是3【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题考查了转化与化归能力圆外的 解析：【解析】根据抛物线的定义，可知1PR PF =-，而PQ 的最小值是1PC -，所以PQ PR +的最小值就是2PF PC +-的最小值，当,,C P F 三点共线时，此时PF FC +最小，最小值是()()2231305CF =--+-= ，所以PQ PR +的最小值是3.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题，考查了转化与化归能力，圆外的点和圆上的点最小值是点与圆心的距离减半径，最大值是距离加半径，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，这样转化后为抛物线上的点到两个定点的距离和的最小值，即三点共线时距离最小.21．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题解析：()1,4,1--【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果.【详解】设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z +++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--．【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 22．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【 解析：3π.【解析】【分析】当过球内一点E 的截面与OE 垂直时，截面面积最小可求截面半径，即可求出过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值．【详解】解：棱长等于1111ABCD A B C D -，它的外接球的半径为3，||OE =当过点E 的平面与OE 垂直时，截面面积最小，r 33S ππ=⨯=， 故答案为：3π．【点睛】本题考查过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值及接体问题，找准量化关系是关键，属于中档题．23．【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k 的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则 解析：4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可知，曲线C 为圆()()22111x y -+-=的右半圆，作出直线l 与曲线C 的图象，可知直线l 是过点()0,2-且斜率为k 的直线，求出当直线l 与曲线C 相切时k 的值，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有两个公共点时实数k 的取值范围.【详解】对于直线:2l y kx =-，则直线l 是过点()0,2P -且斜率为k 的直线，对于曲线()2:111C y x --=-，则101x x -≥⇒≥，曲线C 的方程两边平方并整理得()()22111x y -+-=，则曲线C 为圆()()22111x y -+-=的右半圆，如下图所示：当直线l 与曲线C 相切时，0k >()222123111k k k k ---==++-，解得43k =， 当直线l 过点()1,0A 时，则有20k -=，解得2k =.结合图象可知，当4,23k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，直线l 与曲线C 有两个交点. 故答案为：4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用直线与曲线的交点个数求参数，解题的关键就是将曲线C 化为半圆，利用数形结合思想求解，同时要找出直线与曲线相切时的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于中等题.24．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程 解析：217【解析】【分析】推导出CD CA AB BD =++，两边平方可得CD 的长．【详解】二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内， 且AC l ⊥，BD l ⊥，4AB =，6AC =，8BD =，∴CD CA AB BD =++，∴22()CD CA AB BD =++2222CA AB BD CA BD =+++361664268cos12068=+++⨯⨯⨯︒=，CD ∴的长||68217CD ==．故答案为：217．【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．25．【解析】设球的半径为表面积解得∵在中∴从圆心作平面的垂线垂足在斜边的中点处∴球心到平面的距离故答案为点睛：本题考查的知识点是空间点线面之间的距离计算其中根据球心距球半径解三角形我们可以求出所在平面截 3【解析】设球的半径为r ，表面积24π20πS r ==，解得5r =ABC 中，2AB AC ==，22BC =222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，从圆心作平面ABC 的垂线，垂足在斜边BC 的中点处，∴球心到平面ABC 的距离22132d r BC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭3 点睛：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，其中根据球心距d ，球半径R ，解三角形我们可以求出ABC 所在平面截球所得圆（即ABC 的外接圆半径），构造直角三角形，满足勾股定理，我们即可求出球心到平面ABC 的距离是与球相关的距离问题常用方法.三、解答题26．（1）1x =或0y =；（2）()()22134x y -++=.【解析】【分析】（1）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线l 的距离等于2可求得直线l 的方程；（2）先通过点到直线的距离及勾股定理可解得直线m 的斜率，然后将直线m 的方程与圆的方程联立，求出线段AB 的中点，作为圆心，并求出所求圆的半径，进而可得出所求圆的方程.【详解】（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()22329x y -++=，∴圆心()3,2C -，半径3r =，①当直线l 的斜率k 存在时，设直线的方程为()01y k x -=-，即kx y k 0--=， 则圆心到直线l的距离为2d ==，0k ∴=.∴直线l 的方程为0y =；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时圆心C 到直线l 的距离为2，符合题意.综上所述，直线l 的方程为1x =或0y =；（2）依题意可设直线m 的方程为1y kx =-，即()100kx y k --=<，则圆心()3,2C -到直线m的距离d === 22320k k ∴+-=，解得12k =或2k =-， 又0k <，2k ∴=-，∴直线m 的方程为210x y ---=即210x y ++=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线m 与圆C 的方程得()()22210329x y x y ++=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 消去y 得251010x x -+=，122x x ∴+=，则线段AB 的中点的横坐标为1212x x +=，把1x =代入直线m 中得3y =-， 所以，线段AB 的中点的坐标为()1,3-， 由题意知，所求圆的半径为：122AB =， ∴以线段AB 为直径的圆的方程为：()()22134x y -++=.【点睛】本题考查利用圆心到直线的距离求直线方程，同时也考查了圆的方程的求解，涉及利用直线截圆所得弦长求参数，考查计算能力，属于中等题.27．（1）3x =或34210x y +-=；（2）34-. 【解析】【分析】（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r ，直接求解圆的切线方程即可．（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a 即可．【详解】（1）由圆的方程得到圆心(1,2)，半径2r .当直线斜率不存在时，直线3x =与圆C 显然相切；当直线斜率存在时，设所求直线方程为3(3)y k x -=-，即330kx y k -+-=，2=，解得34k =-， ∴ 方程为33(3)4y x -=--，即34210x y +-=. 故过点M 且与圆C 相切的直线方程为3x =或34210x y +-=. （2）∵ 弦长AB为 2.圆心到直线40ax y -+=的距离d =∴2242⎛⎛⎫+= ⎝⎭， 解得34a =-. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力． 28．(1)见证明；(2) 【解析】【分析】(1)由PA ⊥面ABCD 可知PA AE ⊥，又可证AE BC ⊥，根据线面垂直的判定即可证明(2) 取AB 中点M ，作MN AF ⊥于N ，连CN ，可证MNC ∠是二面角B AF C --的平面角，解三角形即可求解.【详解】（1）PA ⊥面ABCD ，AE ⊂面ABCD ，PA AE ∴⊥； 又底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=，E 为BC 中点，,//,,AE BC AD BC AE AD ∴⊥∴⊥AE ∴⊥面PAD ；（2）AE 面PAD ，AHE ∴∠是EH 与面PAD 所成角，tan ,AE AHE AH PO AH∠=⊥时，AH 最小，tan AHE ∠最大，AHE ∠最大， 令2AB =，则3,1AE AH ==，在Rt AHD ∆中，2,30AD ADH =∠=， 在Rt PAD ∆中，233PA = PA ⊥面ABCD ，∴面PAB ⊥面ABCD ，且交线为AB ，取AB 中点M ，正ABC ∆中，,CM AB CM ⊥∴⊥面PAB ，作MN AF ⊥于N ，连CN ，由三垂线定理得CN AF ⊥，MNC ∠是二面角B AF C --的平面角.3CM =.在PAB ∆中，23,2,3BF AF AB ===边AF 上的高11,2BG MN ==， tan 23CM MNC MN∠==【点睛】 本题主要考查了线面垂直的判定，线面垂直的性质，二面角的求法，属于难题. 29．（1）A （1，3）；（2）直线l 方程为20x y -+=，最短弦长为223）在直线MC 上存在定点4,43N ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得||||PM PN 为常数32． 【解析】【分析】（1）利用直线系方程的特征，直接求解直线l 过定点A 的坐标；（2）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知C （0，4），2r，求出AC 的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可；（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点N （t ，4）满足题意，则设。

湖南省衡阳市衡阳县第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知条件q ：“不等式()()224210a x a x -++-≥的解集是空集”，则条件p ： “21a -≤<”是条件q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知z 满足i 1z +=，则z 的最大值为（ ）A ．1BC D ．23．已知函数()()lg 122x xf x x -=-++，则满足不等式()()12f x f x +<的x 的取值范围为（ ）A ．()2,1--B ．()1,2C ．()()1,1,3-∞-⋃+∞ D ．()(),21,-∞-+∞U4．已知0.50.3sin0.5,3,log 0.5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<5．已知幂函数()()223mm f x x m +-=∈Z 是偶函数，且()f x 在(),0∞-上是增函数，则m =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．36．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为R 的扇形，它的周长是 4R ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）A ．212RB ．21sin1cos12RC ．2(1sin1cos1)R -D ．2(2sin1cos1)R -7．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b A B =，则角B 的大小是（ ）A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π68．已知函数()()*2sin 6f x x πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 有一条对称轴为23x π=，当ω取最小值时，关于x 的方程()f x a =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,1)--B ．[1,1)-C ．[1,2)-D ．[1,2)二、多选题9．已知函数()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象的一条对称轴为直线π8x =，函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．将()f x 的图象向左平移π2个单位长度得到()g x 的图象B ．方程()()f x g x =的相邻两个实数根之差的绝对值为π2C ．函数()12log y f x =在区间79,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在区间()π,4t t t ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦R上的最大值与最小值之差的取值范围为1⎡⎢⎣ 10．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，下列命题正确的是（ ）A ．若0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ，则ABC V 为等腰三角形 B ．若3,4,45b a B ===︒，则此三角形有两解 C ．若cos cos a A b B ⋅=⋅，则ABC V 为等腰三角形D ．若()cos cos a b c A B +=+，且1c =11．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列各组条件中使得ABC V 有两个解的是（ ）A．a = 4b =，π6A = B．a =4b =，3cos 5A = C．a =4b =，π6C =D．a =4b =，π6B =三、填空题12．设函数()()()120102x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，()()12g x f x x =-，[]2,2x ∈-，若()()212log log 21g a g a g ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是 .13．已知2a =r ，且a r 与b r 的夹角为60︒，e r 为与b r 方向相同的单位向量，则向量a r 在向量b r上的投影向量为 .14．,A B 两地之间隔着一个山冈，如图，现选择另一点C ，测得7km,5km CA CB ==，60C =︒，则,A B 两点之间的距离为 km .四、解答题15．已知向量()(),,sin ,cos p a b q x x ==r r；定义函数()f x p q =⋅r r ，称向量(),p a b =u r 为()f x 的特征向量，()f x 为p r的特征函数．(1)设()()32sin πsin π2g x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，求()g x 的特征向量；(2)设向量)p =r 的特征函数为()f x ，求当()65f x =且ππ,63x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin x 的值；(3)设向量12p ⎛=- ⎝⎭r 的特征函数为()f x ，记()()214h x fx =-，若()h x 在区间[],a b 上至少有40个零点，求b a -的最小值．16．已知函数()2cos 2cos f x x x x =-. (1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC V 中，02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2AB =，求ABC V 周长的取值范围.17．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O 为圆心，直径AB 的长为2km ，C ，D 两点在半圆弧上，且BC CD =，设COB θ∠=．(1)当π6θ=时，求四边形ABCD 的面积； (2)若要在景区内铺设一条由线段AB ，BC ，CD 和DA 组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求出l 的最大值．18．在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin sin 2A Ca b A +=． （1）求角B ；（2）证明a c +不可能等于3．19．在直角梯形ABCD 中，已知2AB DC =u u u r u u u r，AD AB ⊥，1AD CD ==u u u r u u u r ，动点E 、F 分别在线段DC 和BC 上，且BF BC λ=u u u r u u u r ，()1DE DC λ=-u u ur u u u r ．(1)当23λ=时，求AC EF ⋅u u u r u u u r 的值； (2)求向量AE EF u u u r u u u r，的夹角；(3)求12AE AF +u u u r u u u r的取值范围．。