21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

21.2.4 一元二次方程根与系数关系一、内容和内容解析1．内容一元二次方程根与系数的关系．2．内容解析一元二次方程的根与系数关系反映了一元二次方程的根与它的系数之间的一种确定关系．利用这一关系可以解决许多问题，同时它在高中数学的学习中有着更加广泛的应用．实际上，一元n 次方程的根与系数之间也有确定的数量关系，我们把它称之为韦达定理，一元二次方程的根与系数关系是韦达定理在n =2时的特例．一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式x =，反映了方程的根的值是由系数a 、b 、c 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的12b x x a +=-，12c x x a⋅=是从另一方面更简洁地反映了一元二次方程的根与系数之间的联系．本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时的根与系数的关系．本节课为选学内容．基于以上分析，确定本课的教学重点：一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用．二、目标和目标解析1．目标（1）了解一元二次方程的根与系数关系，能进行简单应用．（2）在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般的认识方法．2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能说出一元二次方程的根与系数关系，并能利用根与系数关系求出两根之和、两根之积．达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程根与系数的关系．三、教学问题诊断分析一元二次方程的根与系数关系是在学生已经学习了一元二次方程的解法的基础上，对一元二次方程根与系数之间的关系进行再探究．如果让学生思考一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个根与系数之间有怎样的关系，学生会回答出求根公式x =，而不会想到两根之和、两根之积与系数之间的关系。

因此，先引导学生从特殊的一元二次方程得到两根之和、两根之积与系数之间关系的猜想，再推广到一般，探索一元二次方程根与系数关系．另外，在计算两根之积时，能否观察出式子中具有平方差公式的结构，并运用平方差公式正确进行计算，也是一部分学生的难点．本节课的教学难点是：发现一元二次方程根与系数关系的过程．四、教学过程设计1．复习一元二次方程一般形式及求根公式问题1 一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系？师生活动：学生回顾一元二次方程的一般形式及求根公式．设计意图：复习一元二次方程的一般形式及求根公式，使学生进一步明确求根公式是方程的根与系数之间的一种关系，为推导根与系数之间的关系作好准备．2．猜想二次项系数为1时的根与系数关系问题 2 方程()()120x x x x --=（1x ，2x 为已知数）的两根是什么？将方程化为20x px q ++=的形式，你能看出1x ，2x 与p ，q 之间的关系吗？师生活动：学生独立思考，得出方程两根为1x ，2x ，通过将()()120x x x x --=的左边展开，化为一般形式，得到方程()212120x x x x x x -++=．发现这个方程的二次项系数为1，一次项系数()12p x x =-+，常数项12q x x =．学生独立观察并讨论后，发现这两个方程的两根之和是12x x p +=-，两根之积是12x x q =．设计意图：通过教师引导和点拨，让学生在二次项系数为１的方程中发现一元二次方程根与系数关系．3．猜想、验证一元二次方程根与系数关系问题3 一元二次方程20ax bx c ++=中，二次项系数a 未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？师生活动：学生独立思考后，教师追问：如何探究这两者之间的关系呢？（利用一元二次方程的一般形式和求根公式）学生独立完成证明过程，然后再全班交流。

问 题： 试 计 算 x1 x2 ,
x1 x2
方程 x 4x 1 0 的两个根分别是 x1 4 ，x2 1 方程 x 4x 1 0 化成一般形式是
计算：x1
x2 3
， x1 x2
4
x 2 3x 4 0
。
关于x的方程 x x1 x x2 0 的两个根分别是
x 13x 3 0 的两根，求斜边长。
2
新知拓展： 5、若方程x2+px+18=0的一根是另一根的2倍， 则p= 。 6、已知x1、x2是方程x2+mx+m-1=0的两个实
2 2 数根，且 x1 x2 17 ，求m的值；
课堂小结：
1、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠ 0）根的情况由系数a、b、 c决定，有三种情形：
4 x1 1x2 1
新知拓展：
2、已知关于x的方程 x (m 1) x 2m 1 0
2
当m= 当m=
1 -1
时,此方程的两根互为倒数. 时,此方程的两根互为相反数.
新知拓展：
3、 已知一元二次方程3x2+kx-2=0的一个根是2， 求另一个根及k值。 4、如果直角三角形的两直角边是方程
2 2 2 b b 4 ac b b 4ac b b 4 ac b b 4 ac x1 . x1 , x2 , x2 . 2a 2a 2a 2a 2
计算： x1 x2
？ x1 x2 ？
b b 4ac b b 4ac x1 x2 2a 2a
通过刚才研究发现，若方程x2+px+q=0有实数根， 则它的两根x1，x2与p，q之间有如下关系：

在ax2+bx+c=0(a≠0)中,当b2-4ac≥0时,由求根公式可得x1= b
b2 4ac 2a
b b2 4ac
,x2= 2a
,
所以x1+x2=b
b2
2a
4ac
&(b2 4ac) 4a 2
=
c a
=-
b a
,x1·x2=
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4.(2016山东德州中考)方程2x2-3x-1=0的两根为x1,x2,则 x12 + x22 =
.
13
答案 4
解析 由根与系数的关系可得x1+x2=- ba = 32 ,x1·x2= ac =- 12 ,∴ x12 + x22 =(x1+x2)2-
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5.(2018上海静安期末)已知关于x的方程x2+(3-2k)x+k2+1=0的两个实数
根分别是x1、x2,当|x1|+|x2|=7时,k的值是
.
答案 -2
解析 由题意得Δ=(3-2k)2-4×1×(k2+1)≥0,9-12k+4k2-4k2-4≥0,∴k≤ 5 ,
12
∵x1·x2=k2+1>0,∴x1、x2同号.分两种情况:①当x1、x2同为正数时,x1+x2=7,
把x1+x2、x1·x2的值整体代入,即可求出所求代数式的值.
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题型三 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
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例3 (2018湖北仙桃中考)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值; (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.

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例2
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解： 设方程的另一个根为x1. x1 ＋2= k+1 由韦达定理，得 x1 ●2= 3k
解这方程组，得
x1 =－3 k =－ 2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
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例2
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
1 2
3
5
3 2
2
4
6
1 2
b x1 x2 a
3
5
4
6
1 2
2 x 3x 1 0
2
1
2
猜想： 如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根 分别是 x1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？
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已知：如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、x 2 。
b 求证： x1 x 2 a
2
c x1 x2 a
b b 4ac b b 4ac 证明：x1 x2 2a 2a
2

b
b 2 4ac b b 2 4ac 2a
2b 2a
b . a
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b b 2 4ac b b 2 4ac x1 x2 2a 2a
解法二： 设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由韦达定理，得x1●2＝3k 即2 x1 ＝－6 ∴ x1 ＝－3 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。