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中国科学院大学硕士研究生入学考试《信号与系统》考试大纲一、考试科目基本要求及适用范围本《信号与系统》考试大纲适用于中国科学院大学信号与信息处理等专业的硕士研究生入学考试。
信号与系统是电子通信、控制科学与工程等许多学科专业的基础理论课程，它主要研究信号与系统理论的基本概念和基本分析方法。
认识如何建立信号与系统的数学模型，通过时间域与变换域的数学分析对系统本身和系统输出信号进行求解与分析，对所得结果给以物理解释、赋予物理意义。
要求考生熟练掌握《信号与系统》课程的基本概念与基本运算，并能加以灵活应用。
二、考试形式和试卷结构考试采取闭卷笔试形式，考试时间180分钟，总分150分。
试卷分为填空、选择及计算题几个部分。
三、考试内容（一）概论1.信号的定义及其分类；2.信号的运算；3.系统的定义与分类；4.线性时不变系统的定义及特征；5.系统分析方法。
（二）连续时间系统的时域分析1.微分方程的建立与求解；2.零输入响应与零状态响应的定义和求解；3.冲激响应与阶跃响应；4.卷积的定义，性质，计算等。
（三）傅里叶变换1.周期信号的傅里叶级数和典型周期信号频谱；2.傅里叶变换及典型非周期信号的频谱密度函数；3.傅里叶变换的性质与运算；4.周期信号的傅里叶变换；5.抽样定理；抽样信号的傅里叶变换；6.能量信号，功率信号，相关等基本概念；以及能量谱，功率谱，维纳－欣钦公式。
（四）拉普拉斯变换1.拉普拉斯变换及逆变换；2.拉普拉斯变换的性质与运算；3.线性系统拉普拉斯变换求解；4.系统函数与冲激响应；5.周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换。
（五）S域分析、极点与零点1.系统零、极点分布与其时域特征的关系；2.自由响应与强迫响应，暂态响应与稳态响应和零、极点的关系；3.系统零、极点分布与系统的频率响应；4.系统稳定性的定义与判断。
（六）连续时间系统的傅里叶分析1.周期、非周期信号激励下的系统响应；2.无失真传输；3.理想低通滤波器；4.佩利－维纳准则；5.希尔伯特变换；6.调制与解调。
中科院2005年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题试题名称：信号与系统 一、已知当输入信号为)(t x 时，某连续时间LTI 因果系统的输出信号为)(t y ，)(t x 和)(t y 的波形如图A-1所示。
试用时域方法求：（共26分）1. 该系统的单位阶跃响应)(t s ，并概画出)(t s 的波形；（12分）2. 在系统输入为图A-2所示的)(1t x 时的输出信号)(1t y ，并概画出)(1t y 的波形。
（14分）1t1)(1t x图A-1 图A-2二、由差分方程∑=----=--4])1[2][(]1[5.0][k k n x k n x n y n y 和非零起始条件1]1[=-y 表示的离散时间因果系统，当系统输入][][n n x δ=时，试用递推算法求：（共16分）1. 该系统的零状态响应][n y ZS （至少计算出前6个序列值）；（10分）2. 该系统的零输入响应][n y Zi （至少计算出前4个序列值）；（6分）三、已知连续时间信号)102cos()10(2)]110(2sin[)(633t t t t x ⨯--=-πππ毫安，若它是能量信号，试求其能谱密度和它在单位电阻上消耗的能量；若它是功率信号，则求其功率谱密度函数和它在单位电阻上消耗的平均功率。
（共14分）四、已知][~n x 是周期为4的周期序列，且已知8点序列][~][n x n x =，70≤≤n ，的8点DFT 系数为： ,0)(,1)6()4()2()0(=====k X X X X X 其他k 。
试求：（共24分） 1. 周期序列][~n x ，并概画出它的序列图形；（12分）2. 该周期序列][~n x 通过单位冲激响应为2222)2/(sin )1(][n n n h ππ-=的数字滤波器后的输出][n y ，并概画出它的序列图形；（12分）五、已知)(t x 是最高频率为4KHz 的连续时间带限信号，（共24分） 1. 若对)(t x 进行平顶抽样获得的已抽样信号)(t x p 如图A-3所示，试由)(t x p 恢复出)(t x 的重构滤波器的频率响应)(ωL H ，并概画出其幅频响应和相频响应；（16分）图A-32. 你在1小题求得的重构滤波器为什么不可实现？为实现无失真恢复原信号，需对抽样频率和重构滤波器频率响应)(ωL H 作怎样的修改？（8分） 六、如图A-4的信号流图所示的数字滤波器，试求：（共22分）1. 它的系统函数)(z H 及其收敛域，并画出它用一个一阶全通滤波器和一个4阶FIR 滤波器的级联实现的方框图或信号流图；（12分）2. 概画出该数字滤波器的幅频响应)(~ΩH （或)(Ωj e H ）。
中国科学技术大学2020年信号与系统考研真题及参考答案
（一）
本公众号进行数字信号处理系列课程（信号与系统——数字信号处理——随机信号分析——现代数字信号处理）辅导，巩固基础与进一步提高相结合。
提倡“我为人人，人人为我”，欢迎广大朋友提供好的资料、文章、题解和学习经验，共同学习，共同进步。
考研专业课真题必练——数字信号处理王仕奎编著，北京邮电大学出版社，2020
本书是数字信号处理硕士研究生入学考试的解题指导, 对博士生入学考试也有一定的参考价值. 同时, 作为数字信号处理这门课程学习的参考书, 对于学习该课程的学生, 对讲授该课程的教师的备课、习题讲解和测试, 也有很高的参考价值.本书最初的一章对五套近年的数字信号处理考研真题进行了详细解答, 接着的八章分别介绍了数字信号处理的重要内容: 离散时间信号与系统、z变换与离散时间傅里叶变换、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换、数字滤波器的基本结构、IIR滤波器的设计、FIR滤波器的设计、信号的抽取与插值——多抽样率数字信号处理基础. 每一章在提纲挈领地介绍基础知识点后, 辅之以大量的考研真题和著名教材习题的解答, 向学习者演示基础知识的灵活运用和答题技巧. 最后一章包含大量的各类高校考研(博)真题, 以给读者提供丰富的自我测试材料, 所有真题都包含参考解答, 解答有详有略, 以便学习者对照答案之用.
中科大2020年信号与系统考研真题我准备分四次解答完，这是第一次。
请继续关注后续解答。
——王仕奎。
中国科学研究生院859信号与系统 2015年研究生入学考试试题答案1.选择题：（1）强迫响应与下列哪一个相应是相同的（d ）久零输入响应b.零状态是响应c.齐次解d.特解（2）关于p=d/dt 说法正确的是：（b ）a.不可因式分解b.不可任意向消c.可置换d.都错（3）信号 /d ►/、包含以下何种分量:7\V(a)a.正弦分量b.余弦分量c.直流分量d.以上都包括（4）信号流图如下图所示则系统函数为：（c ）（5） X[n]绝对可和X[Z]为有理函数，X[Z]在Z=0・4处有极值点X[n]： （a ）a 不为有限长序列 b.可能为左边序列c.不可能为右边序列d.不可能为双边序列（6） 下列复频域变换表达式中错误的是：（d ）a^R （S ） = ~^R （S ） b./L （5）= —-V L （5）+ -f L （0）RsL sc 」c G) = sCV c G) 一 Cv c (o)d.人($)=* v R (s)+v R (o) K(7) DTFT 正变换表达式为：(a)abbe 1 +3填空题a. f 血)厂 H=YCb.丄 fx(z)z”-込 2吹c. f H 必 f" ”=YCd.—L加 dw（8）加）与人（”的自相关表达式为：（a ）b./?12(r)=/1(r)*/2(0I * t . -v 的终值2) 1 + 0.32 - 1.5z - a.0.4 b.0.8 c.ld.无(10)r(0=cos(4r>(r)T 列描述中正确的是：(a)a.时变，因果b.是不变，非因果c.时变，非因果d.时不变，因果 判断题 （1） 因果系统的差分方程的零状态响应为y （0） =v （l ）=y （2）=0.（^） （2） 从z 域到s 域的映射不是单值映射（对）（3） 因果信号傅里叶变换实部已经包含信号所有信息。
（错） （4） sin —/z--l 是能量信号（错）I 7 8丿（5） H （s ）有位于虚轴的一阶极点则系统EIBO 稳定（错） （6） 系统满足佩利维纳条件则为物理可实现系统（错） （7） 离散系统的DTFT 变换为周期变换（对） （8）r （t ） =系统是可逆（对）M（9）FIR 的表达式为H （Z ）= 中a k = 0 （对）1+£ **=1（10） 状态变量一般选择积分器的输入（错）（11） 冲击响应就是当输入函数为单位冲击响应式的输出（对）(1) "(/)*宀(f)丄(1一严)cRa(f)=1(9) X[Z]=4.-32X与可观性入(f )不可控，可观,入C)町控且可观入C)可控不可观.(5) 系统的微分方程表示如下虫理+ 2纠+旳)=生)且厂(0)=厂'(0)=1的零输入响at~ at应(2r + l>-/.(6) 若/(J 的傅里叶变换为坊(w)截止频率为1000"且托(f)的傅里叶变换为笃(w)截止 频率为2000龙，/3(r)=/；(r)*AW 则，厶(J 的最大抽样周期为侖.—s(7)H(s)= -7—；——的逆变换为［1 一cos(/-l)］n(/-1)+1丿(8) 的自相关函数为fTd(9)0"(〃 + 1)A(5)= —, F(5)=5-/7,当0为何值时系统稳定0 V —1・5-1 -------(2)、一(1+2, 2 \_1 n 一">3 +-Z ・〔4 丿 1 48丿9|sm(vvz)|的直流分量为万_10_⑷若2(/)=12(0+ -11-1(/)r(r)=(l 1 o”(f)填写状态变量的可控性2丫 3>(⑹血］+|肛1］=0』［0］丄则浙］为冷1* 4(3)系统零极点如图所示1 •求系统函数H （s ） 2•求系统的幅频特性，并指明滤波器类型 3•系统是否为最小项移系统，若不是用全通系统和最小项移系统表示函数。
中科院2005年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题试题名称：信号与系统 一、已知当输入信号为)(t x 时，某连续时间LTI 因果系统的输出信号为)(t y ，)(t x 和)(t y 的波形如图A-1所示。
试用时域方法求：（共26分）1. 该系统的单位阶跃响应)(t s ，并概画出)(t s 的波形；（12分）2. 在系统输入为图A-2所示的)(1t x 时的输出信号)(1t y ，并概画出)(1t y 的波形。
（14分）图A-1 图A-2 二、由差分方程∑=----=--4])1[2][(]1[5.0][k k n x k n x n y n y 和非零起始条件1]1[=-y 表示的离散时间因果系统，当系统输入][][n n x δ=时，试用递推算法求：（共16分）1. 该系统的零状态响应][n y ZS （至少计算出前6个序列值）；（10分）2. 该系统的零输入响应][n y Zi （至少计算出前4个序列值）；（6分）三、已知连续时间信号)102cos()10(2)]110(2sin[)(633t t t t x ⨯--=-πππ毫安，若它是能量信号，试求其能谱密度和它在单位电阻上消耗的能量；若它是功率信号，则求其功率谱密度函数和它在单位电阻上消耗的平均功率。
（共14分）四、已知][~n x 是周期为4的周期序列，且已知8点序列][~][n x n x =，70≤≤n ，的8点DFT 系数为： ,0)(,1)6()4()2()0(=====k X X X X X 其他k 。
试求：（共24分） 1. 周期序列][~n x ，并概画出它的序列图形；（12分）2. 该周期序列][~n x 通过单位冲激响应为2222)2/(sin )1(][n n n h ππ-=的数字滤波器后的输出][n y ，并概画出它的序列图形；（12分）五、已知)(t x 是最高频率为4KHz 的连续时间带限信号，（共24分） 1. 若对)(t x 进行平顶抽样获得的已抽样信号)(t x p 如图A-3所示，试由)(t x p 恢复出)(t x 的重构滤波器的频率响应)(ωL H ，并概画出其幅频响应和相频响应；（16分）图A-32. 你在1小题求得的重构滤波器为什么不可实现？为实现无失真恢复原信号，需对抽样频率和重构滤波器频率响应)(ωL H 作怎样的修改？（8分） 六、如图A-4的信号流图所示的数字滤波器，试求：（共22分）1. 它的系统函数)(z H 及其收敛域，并画出它用一个一阶全通滤波器和一个4阶FIR 滤波器的级联实现的方框图或信号流图；（12分）2. 概画出该数字滤波器的幅频响应)(~ΩH （或)(Ωj e H ）。
中国科学院大学2020年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：信号与系统考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、单项选择（每题2分，共20分） 1、系统的微分方程为)()(2)(t f t y dtt dy =+，若)2sin()()(,1)0(t t u t f y ==+，解得全响应为0,)452sin(4245)(2≥︒-+=-t t e t y t 。
则全响应中)452sin(42︒-t 为： (a) 零输入响应分量 (b) 零状态响应分量(c) 自由响应分量 (d) 稳态响应分量 2、若⎰--=td t f 0)()3)(ττδτ（，则)(t f 等于：(a) )(3t δ- (b) )(3t u - (c) )3(-t u (d) )3(3-t δ 3、已知信号)(t f 的傅里叶变换为)(ωj F ，则信号)52(-t f 的傅里叶变换为：(a) ωω5221j e j F -⎪⎭⎫ ⎝⎛ (b) ωω52j e j F -⎪⎭⎫ ⎝⎛ (c) ωω252j e j F -⎪⎭⎫ ⎝⎛ (d) ωω25221j e j F -⎪⎭⎫ ⎝⎛ 4、已知信号)(t f 的傅里叶变换),()()(00ωωωωω--+=u u j F 则)(t f 为：(a))(00t Sa ωπω (b) ⎪⎭⎫ ⎝⎛200t Sa ωπω (c) )(200t Sa ωω (d) ⎪⎭⎫⎝⎛2200t Sa ωω5、已知一因果LTI 系统，其频率响应为21)(+=ωωj j H ，对于输入)(t x 所得输出信号的傅里叶变换为)3)(2(1)(++=ωωωj j j Y ，则该输入)(t x 为：科目名称：信号与系统 第1页 共4页(a) )(3t u e t -- (b) )(3t u e t - (c) )(3t u e t - (d) )(3t u e t 6、已知某系统的系统函数为H (s )，唯一决定该系统单位冲激响应h (t )模态的是：(a) H (s )的零点 (b) H (s )的极点 (c) 系统的输入信号 (d) 系统的输入信号与H (s )的极点 7、信号)()(2t u e t f t -=的拉普拉斯变换及收敛域为：(a)2}Re{,21>-s s(b) 2}Re{,21-<+s s (c) 2}Re{,21<-s s (d)2}Re{,21->+s s 8、2}Re{,652)(2->+++=s s s s s F 的拉普拉斯逆变换为：(a) )(]2[23t u e e t t --+ (b) )(]2[23t u e e t t --- (c) )()(3t u e t t -+δ (d) )(3t u e t - 9、某离散线性时不变系统的单位样值响应)(2)(n u n h n =，则该系统是：(a) 因果系统、稳定系统 (b) 因果系统、不稳定系统 (c) 非因果系统、稳定系统 (d) 非因果系统、不稳定系统10、序列⎪⎭⎫⎝⎛---=2cos )]5()2([)(n n u n u n f π的正确图形是：二、判断对错（每题2分，共20分，标明 或对错）1、若系统在不同的激励信号作用下产生不同的响应，则此系统为可逆系统。
信号考研真题一、综合选择题1.下面关于信号的描述中，正确的是：A.信号可以通过有线或无线传输方式进行传递。
B.信号只能通过有线传输方式进行传递。
C.信号只能通过无线传输方式进行传递。
D.信号只能通过光纤传输方式进行传递。
2.以下哪种信号不属于模拟信号？A.语音信号B.温度信号C.电流信号D.数字信号3.在通信系统中，傅里叶变换的作用是什么？A.将时域信号转换为频域信号B.将频域信号转换为时域信号C.将模拟信号转换为数字信号D.将数字信号转换为模拟信号4.数字信号与模拟信号的区别是什么？A.数字信号是连续的，模拟信号是离散的。
B.数字信号是离散的，模拟信号是连续的。
C.数字信号可以通过有线或无线传输方式进行传递，模拟信号只能通过有线传输方式进行传递。
D.数字信号只能通过无线传输方式进行传递，模拟信号可以通过有线或无线传输方式进行传递。
5.下面哪个选项中的频谱呈现离散形态？A.模拟信号的频谱B.数字信号的频谱C.正弦信号的频谱D.傅里叶变换的频谱二、分析题1.请简述模拟信号与数字信号的区别，并举例说明。
2.信号的传输方式有哪些？请分别介绍有线传输和无线传输的特点。
3.简述傅里叶变换在通信系统中的作用。
4.解释信号的采样和量化过程，并分析其对信号质量的影响。
5.什么是信号的频谱？说明频谱呈现连续形态和离散形态的原因。
三、综合应用题1.某音乐频谱为连续形态，频率范围为0Hz~20kHz。
如果需要将该音乐信号数字化，要求采样频率为40kHz，请计算需要的量化位数，并解释为什么需要这么多位数。
2.某城市中有线传输通信网络主要使用光纤作为传输介质，无线传输通信网络主要使用微波进行传输。
请分别说明两种传输方式的优缺点。
3.请设计一个通信系统，可以同时传输语音信号和视频信号，要求信号传输稳定，且在传输过程中不受干扰影响。
给出你的设计方案，并解释为什么你选择了这样的方案。
4.有一个模拟信号的频谱呈现离散形态，频谱范围为0Hz~10kHz。
中科院2005年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题试题名称：信号与系统 一、已知当输入信号为)(t x 时，某连续时间LTI 因果系统的输出信号为)(t y ，)(t x 和)(t y 的波形如图A-1所示。
试用时域方法求：（共26分）1. 该系统的单位阶跃响应)(t s ，并概画出)(t s 的波形；（12分）2. 在系统输入为图A-2所示的)(1t x 时的输出信号)(1t y ，并概画出)(1t y 的波形。
（14分）1t1)(1t x图A-1 图A-2二、由差分方程∑=----=--4])1[2][(]1[5.0][k k n x k n x n y n y 和非零起始条件1]1[=-y 表示的离散时间因果系统，当系统输入][][n n x δ=时，试用递推算法求：（共16分）1. 该系统的零状态响应][n y ZS （至少计算出前6个序列值）；（10分）2. 该系统的零输入响应][n y Zi （至少计算出前4个序列值）；（6分）三、已知连续时间信号)102cos()10(2)]110(2sin[)(633t t t t x ⨯--=-πππ毫安，若它是能量信号，试求其能谱密度和它在单位电阻上消耗的能量；若它是功率信号，则求其功率谱密度函数和它在单位电阻上消耗的平均功率。
（共14分）四、已知][~n x 是周期为4的周期序列，且已知8点序列][~][n x n x =，70≤≤n ，的8点DFT 系数为： ,0)(,1)6()4()2()0(=====k X X X X X 其他k 。
试求：（共24分） 1. 周期序列][~n x ，并概画出它的序列图形；（12分）2. 该周期序列][~n x 通过单位冲激响应为2222)2/(sin )1(][n n n h ππ-=的数字滤波器后的输出][n y ，并概画出它的序列图形；（12分）五、已知)(t x 是最高频率为4KHz 的连续时间带限信号，（共24分） 1. 若对)(t x 进行平顶抽样获得的已抽样信号)(t x p 如图A-3所示，试由)(t x p 恢复出)(t x 的重构滤波器的频率响应)(ωL H ，并概画出其幅频响应和相频响应；（16分）图A-32. 你在1小题求得的重构滤波器为什么不可实现？为实现无失真恢复原信号，需对抽样频率和重构滤波器频率响应)(ωL H 作怎样的修改？（8分） 六、如图A-4的信号流图所示的数字滤波器，试求：（共22分）1. 它的系统函数)(z H 及其收敛域，并画出它用一个一阶全通滤波器和一个4阶FIR 滤波器的级联实现的方框图或信号流图；（12分）2. 概画出该数字滤波器的幅频响应)(~ΩH （或)(Ωj e H ）。
（10分）图A-4七、某连续时间实的因果LTI 系统的零、极点见图A-5，并已知⎰∞=_05.1)(dt t h ，其中)(t h 为该系统的单位冲激响应。
试求：（共24分）1. 它是什么类型的系统（全通或最小相移系统），并求)(t h （应为实函数）；（14分）2. 写出它的线性实系数微分方程表示；（2分）3. 它的逆系统的单位冲激响应)(1t h ，该逆系统是可以实现的（即既因果又稳定）的吗？（8分）图A-5参考答案一、解1．按照卷积积分的微分性质，有：)()()(''t h t x t y *=显然，)2()()('--=t t t x δδ，并由)(t y 波形微分得到)('t y 波形如图A-6所示，即)]2()([*)]2()([)3()2()1()()('----=-+----=t t t t t t t t t y δδδδεεεε即：)1()()(--=t t t h εε因此，单位阶跃响应为：)1()1()()()]1()([)()()(---=*--=*=t t t t t t t t t h t s εεεεεε)(t s 的波形如图A-7所示。
图A-6 图A-7 图A-82．由1.小题已求得：)1()()(--=t t t h εε，则有，)1()()(--=t t t h dt dδδ该LTI 系统当输入)(1t x 时的输出信号)(1t y 为：)1()()]1()([)()()()()()(001111--=--*⎥⎦⎤⎢⎣⎡=*=*=⎰⎰∞-∞-t y t y t t d x d x dtt dh t x t h t y t t δδττττ其中⎰∞-=td x t y ττ)()(10由图1.2可得到：)1()1(sin )(sin )]1()()[(sin )(1--+=--=t t t t t t t t x επεπεεπ)}1()]1(cos 1[)()cos 1{(1)1(sin )(sin )1(sin )(sin )(100---+-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--=⎰⎰⎰⎰∞-∞-t t t t d d d d t y tt ttεπεππτετπττετπτττπτεττπτε将)(0t y 代入得所求系统输出为：)]2()()[cos 1(1)}2()]2(cos 1[)()cos 1{(1)(1---=-----=t t t t t t t t y εεππεπεππ)(1t y 的波形如图A-8所示。
二、解：1．零状态响应][n y ZS 的方程可以化为：]5[2]4[]3[]2[]1[][]1[5.0][----------=--n x n x n x n x n x n x n y n y zs zs ，即]5[2]4[]3[]2[]1[][]1[5.0][----------+-=n x n x n x n x n x n x n y n y zs zs且有0,0][<=n n y zi 。
当输入][][n n x δ=时，递推计算出零状态响应][n y zs 的前6个序列值分别为：1]0[=zs y ；2/1]1[-=zs y ；4/5]2[-=zs y ；8/13]3[-=zs y ；16/29]4[-=zs y ；32/93]5[-=zs y 。
2．零输入响应][n y zi 的递推方程可以化为：]1[5.0][-=n y n y zi zi ，且有1]1[]1[-=-=-y y zi 。
递推计算出的零状态响应][n y zi 的前4个序列值分别为：2/1]0[-=zi y ；4/1]1[-=zi y ；8/1]2[-=zi y ；16/1]3[-=zi y 。
三、解：设：)102(102]102sin[)(3331t Sa t t t x ⨯=⨯=πππ，则有：)10()(312--=t x t x ；)102cos()()(62t t x t x ⨯⨯=π。
由于)(2t x 仅仅是对)(1t x 的时延；)(t x 是对)(2t x 的调制；)(1t x 是能量信号，整个)(t x 是能量信号。
利用帕什瓦尔定理求连续时间信号)(t x 在单位电阻上消耗的能量： 因为：)2()(ωτττSa t g ⇔，根据傅立叶变换的对称性，有)(2)(2)2(ωπωπττττg g t Sa =-⇔。
令3104⨯=πτ，则有)(2)102(104310433ωππππ⨯⇔⨯⨯g t Sa ，即：)(21)102(10310433ωππ⨯⇔⨯g t Sa因此，)(21)(31041ωωπ⨯=g j X 。
由傅立叶变换的时移性质，得ωπωω33101042)(21)(--⨯=j e g j X再根据傅立叶变换的调制性质，有)]102()102([)(21)(662⨯-+⨯+*=πωδπωδπωπωj X j X )]102()102([)(21662⨯-+⨯+*=πωδπωδωj X)]}102([)]102([{216262⨯-+⨯+=πωπωj X j X 因此，)(ωj X 的幅度频谱为 })]102([)]102([{21)(6262⨯-+⨯+=πωπωωj X j X j X又因为：⎩⎨⎧⨯>⨯<===⨯3310412102,0102,5.0)(21)()(3πωπωωωωπg j X j X)(t x 的幅度频谱)(ωj X 如图A-9所示。
图A-9)(t x 在单位电阻上消耗的能量x E 为：)(1041)(2132J d j X E x ⨯==⎰∞∞-ωωπ四、解：1. 先利用IDFT 求70],[≤≤n n x ：即]2cos 2)1(1[81])()()1(1[81)(81][7082nj j e k X n x n n n n k kn j ππ+-+=-++-+⨯==∑=计算得到： ⎩⎨⎧≤≤≠==70,4,0,04,0,5.0][n n n n x][~n x 是][n x 以周期为8的周期延拓，它的序列图形如图A-10所示。
图A-10即∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=l l l n l n x n x ]4[21]8[][~δ 或者，由于][~n x 是周期为4的周期序列，8点序列70],[~][≤≤=n n x n x ，包含了][~n x 的两个完整的周期。
根据DFT 的性质，4点序列30],[~][0≤≤=n n x n x ，的4点DFT 系数为：30,5.0)2(5.0)(0≤≤==k k X k X ，其中70),(≤≤k k X ，就是已知的8点DFT 系数，再利用4点序列的序列值：31,0][,5.0]0[00≤≤==n n x x 。
][~n x 是][0n x 以4的周期延拓，其序列图形如图A-10所示。
2. 解：先求离散时间LTI 系统的频率响应)(~Ωj e H令：)(~)2/sin(][11Ω−−→←=j DTFT e H n n n h ππ和)(~][)1(][21Ω−−→←-=j DTFT n e H n h n h ，则有⎪⎩⎪⎨⎧>Ω<Ω=Ω2/,02/,1)(~1ππj e H ，在主值区间),(ππ-内。
)(~1Ωj e H 图形如图A-11所示。
图A-11图A-12根据频域卷积性质和频移π的频移性质，则有)()(~)(~)2/1()(~11πδπ-Ω**=ΩΩΩj j j e H e H e H 。
)(~Ωj e H 的图形如图A-12所示。
因此，][~n x 的DFS 系数为：,3,2,1,0,8/1~±±±==k X k 谱线间隔为2/π=Ω][~n x 通过)(~Ωj e H 后的输出][n y 也是周期为4 的周期序列，它的DFS 系数为⎩⎨⎧±±±=±±±== ,10,6,2,16/1,5,3,1,32/1~k k Y k ，谱线间隔为2/π=Ω 由DFS 的合成公式或DTFT 反变换，输出序列][n y 为)]2cos()1[(161][321161][)2/()2/(n e e e n y n n j n j n j ππππ+-=++=-它的序列图形如图A-13所示。
