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图像法—高中物理实验方法（解析版）物理是一门以实验为基础的学科。
物理学所得出的定律，绝大多数是用实验探索得出来的，也就是通过大量实验来进行观察，实验是学生接受物理知识最符合认识规律的方法，由于物理现象研究是非常复杂的，各种因素交织在一起，这就需要我们来简化实验。
在做物理实验时，仅仅记下一些物理量的大小和实验现象是不够的，还需要将测得的数据进行归纳整理，由表及里，去粗取精，运用数学工具，总结出物理规律，因此，学生经常被一些繁难的运算和大大小小的实验误差所难倒，得不出正确的结论，还有些数据在实验中无法直接测得，而图像法能够很好的解决这些方面的问题。
1．图像法简介物理规律可以用文字来描述，也可以函数式来表示，还可以用图像来描述。
利用图像描述物理规律，解决物理问题的方法就称之为图像法。
图像法通过图像来确定物理量之间的关系，是一种科学探究的基本方法。
用图像法来描述物理过程具有形象直观的特点，可以清晰地描述出其变化的动态特征，把物理量之间的相互依赖关系和线性关系、周期性等清晰地呈现出来，通过图像的比较，学生能够较容易的理解物理过程发现物理规律，这种直观印象有时能透过事物的本质，诱使人们做更深入的探讨，利用图像法思路清晰可以使得物理问题简化明了，还能起到一般计算法所不能起到的作用，可以使物理概念得到进一步拓展，而且图像法能将物理学科和其它学科有机地结合起来，启迪学生的创新意识，培养创造能力，提高学生的综合能力。
在物理实验中应用图像法应注意以下几个方面：①搞清楚纵轴和横轴所代表的物理量，明确要描述的是哪两个物理量之间的关系。
比如加速度与力的关系，加速度与质量的关系。
②图线并不是表示物体实际运动的轨迹。
如匀速直线运动的S－T图像是一条斜向上的直线或曲线，但物体实际运动的轨迹可能是水平的直线，并不是向上爬坡的或曲线运动。
③在利用图像法的过程中，要根据实际问题灵活地建立坐标系，确定两个合适的物理量来作出图像。
如果坐标轴所代表的物理量选择的不合理，反而不能够简化实验。
图像处理和分析教程图像处理和分析是计算机视觉领域中非常重要的一个研究方向。
图像处理是指对图像进行各种操作和转换，从而改变图像的外观和特征。
图像分析则是指对图像进行各种算法和技术的分析，以提取出图像中携带的有用信息。
图像处理和分析在各个领域中有非常广泛的应用。
在医学领域中，图像处理和分析可以用于医学图像的诊断和分析。
比如，利用图像处理技术可以检测出医学图像中的病变和异常区域，帮助医生做出更准确的诊断。
在工业领域中，图像处理和分析可以用于生产线上的检测和质量控制。
比如，利用图像处理技术可以检测出产品表面的缺陷和瑕疵，提高产品的质量和可靠性。
图像处理和分析的基本流程包括图像获取、图像预处理、图像特征提取和图像分类。
首先是图像获取，即通过摄像机或者其他设备获取到需要处理和分析的图像。
然后是图像预处理，即对图像进行一系列的处理和滤波操作，以去除图像中的噪声和干扰。
接下来是图像特征提取，即针对特定的应用，提取图像中携带的有用信息。
最后是图像分类，即根据提取到的特征，将图像划分到不同的类别中。
在图像处理和分析中，常用的技术和算法包括图像滤波、边缘检测、图像分割、特征提取和分类器设计等。
图像滤波是对图像进行空间域或频域的滤波操作，以去除图像中的噪声和干扰。
边缘检测是对图像中的边缘进行检测和提取，以辅助图像的分割和特征提取。
图像分割是将图像划分为不同的区域或对象，以便进行后续的处理和分析。
特征提取是从图像中提取出具有辨识度的特征，以便进行图像的分类和识别。
分类器设计是设计和训练一个能够将不同类别的图像正确分类的分类器。
图像处理和分析的技术和算法在计算机视觉领域中得到了广泛的应用。
随着深度学习的兴起，深度卷积神经网络等技术也被广泛应用于图像处理和分析中。
这些技术和算法在图像分类、目标检测、图像生成等方面取得了非常好的效果。
总之，图像处理和分析是计算机视觉领域中非常重要的一个研究方向，有着广泛的应用前景。
通过对图像进行各种操作和转换，可以改变图像的外观和特征。
如何应用图像处理技术进行图像分析图像处理技术已经成为许多领域中重要的工具，尤其在图像分析方面。
通过应用图像处理技术，可以对图像进行识别、分类、检测等操作，从而获取有价值的信息。
本文将探讨如何应用图像处理技术进行图像分析，并介绍其在不同领域中的应用。
图像分析是指对图像进行定量分析和解释的过程。
图像处理技术包括了多种方法，如滤波、边缘检测、特征提取等，这些方法可以帮助我们从图像中提取出所需的信息。
在进行图像分析时，首先需要对图像进行预处理，包括去噪、增强等操作，以提高后续分析的准确性。
一种常见的图像分析任务是目标检测与识别。
通过应用图像处理技术，可以对图像中的目标进行自动检测和识别。
例如，在自动驾驶领域中，图像分析可以帮助车辆识别道路上的交通标志、行人等目标，并采取相应的控制策略。
在医学图像分析中，图像处理技术可以帮助医生检测和识别病变区域，辅助诊断和治疗。
除了目标检测与识别，图像分析还可以应用于图像分类与标注。
通过应用机器学习算法，可以对图像进行分类，并为其打上相应的标签。
例如，在电子商务领域中，图像分析可以帮助识别和分类商品图像，以提供更精准的搜索和推荐结果。
在环境监测中，图像处理技术可以帮助识别和分类环境中存在的物体和场景，以实现智能化的监控和预警。
图像分析还可以应用于图像内容分析。
通过对图像的特征提取和分析，可以获取更深层次的信息。
例如，在艺术领域中，图像处理技术可以帮助分析绘画作品的风格、色彩等特征，从而帮助鉴定和重建古代艺术品。
在娱乐领域中，图像分析可以帮助提取视频中的特定场景、人物等信息，以实现智能化的视频剪辑和生成。
图像处理技术在图像分析中的应用还包括图像检索与相似性计算。
通过对图像的特征提取和相似度计算，可以实现对大规模图像库的快速检索。
例如，在图像搜索引擎中，图像分析可以帮助用户通过上传一张图像来搜索与之相似的图片。
在安全领域中，图像处理技术可以帮助识别和比对人脸图像，以实现身份验证和犯罪侦查。
图像法分析问题所谓图像法，就是利用图像本身数学特征所反映的物理意义解决物理问题（已知图像找出物理量间的函数关系）；和明确物理量之间的函数关系，作出物理图像来解决问题。
a用图像法解题，往往比其它数学方法更简捷、形象和直观。
概括起来，高考对图像题的要求是：会看，会画，会比较，会推导判定。
1．会看（1）看坐标轴。
坐标轴代表的物理量不同，图像表示的物理意义不同。
通过看坐标轴确定图像研究的是哪两各物理量之间的关系。
（2）看图线特征。
根据图线特征，可初步掌握所反映的物理过程，以及两个相关量的变化趋势，才能进一步分析图像的物理内容。
（3）看截距。
截距一般表示初态物理量的大小（有的还表示方向），要能分析出其隐含的物理内容。
（4）看斜率。
斜率反映了一个物理量随另一个物理量变化的快慢程度，斜率还可以表示某些隐含的物理量的大小和方向。
（5）看交点。
交点有丰富的物理内容。
两条图线相交表示两个过程具有相同的物理量和对应的条件；图线（也包括延长线）与坐标轴相交可表示某些特殊的物理状态。
（6）看峰值。
峰值表示物理量变化的最大值。
从峰值可以找出取得峰值的隐含条件。
（7）看图线围成的面积。
有些物理图线的面积表示另一个物理量的大小和方向，如tv-图中的面积代表位移s，sF-图中面积代表功W，tF 图中面积代表冲量I，U—I图中面积可代表电源输出功率等。
2．会画“会画”就是依据所给条件正确画出物理函数图像，或将物理过程的变化规律用图像表示出来。
处理此类问题时，首先必须分析物理过程所给的条件或表达式的物理意义，再由此构建与物理图像的联系，从而画出图像。
图像的建立常有两种方法：一是描点法，二是函数分析法。
3．会比较“会比较”就是根据所给的物理图像，读懂其中的含义，由图线的差别找出问题，进行判定。
1 两只完全相同的光滑的直角弯管abc和a´b´c´，按图示位置放置，现将两个质量完全相同的小球分别沿两管由静止滑下（设在直角转弯处均无机械能损失）。
图像法分析问题所谓图像法，就是利用图像本身数学特征所反映的物理意义解决物理问题（已知图像找出物理量间的函数关系）；和明确物理量之间的函数关系，作出物理图像来解决问题。
a用图像法解题，往往比其它数学方法更简捷、形象和直观。
概括起来，高考对图像题的要求是：会看，会画，会比较，会推导判定。
1．会看（1）看坐标轴。
坐标轴代表的物理量不同，图像表示的物理意义不同。
通过看坐标轴确定图像研究的是哪两各物理量之间的关系。
（2）看图线特征。
根据图线特征，可初步掌握所反映的物理过程，以及两个相关量的变化趋势，才能进一步分析图像的物理内容。
（3）看截距。
截距一般表示初态物理量的大小（有的还表示方向），要能分析出其隐含的物理内容。
（4）看斜率。
斜率反映了一个物理量随另一个物理量变化的快慢程度，斜率还可以表示某些隐含的物理量的大小和方向。
（5）看交点。
交点有丰富的物理内容。
两条图线相交表示两个过程具有相同的物理量和对应的条件；图线（也包括延长线）与坐标轴相交可表示某些特殊的物理状态。
（6）看峰值。
峰值表示物理量变化的最大值。
从峰值可以找出取得峰值的隐含条件。
（7）看图线围成的面积。
有些物理图线的面积表示另一个物理量的大小和方向，如tv-图中的面积代表位移s，sF-图中面积代表功W，tF 图中面积代表冲量I，U—I图中面积可代表电源输出功率等。
2．会画“会画”就是依据所给条件正确画出物理函数图像，或将物理过程的变化规律用图像表示出来。
处理此类问题时，首先必须分析物理过程所给的条件或表达式的物理意义，再由此构建与物理图像的联系，从而画出图像。
图像的建立常有两种方法：一是描点法，二是函数分析法。
3．会比较“会比较”就是根据所给的物理图像，读懂其中的含义，由图线的差别找出问题，进行判定。
1 两只完全相同的光滑的直角弯管abc和a´b´c´，按图示位置放置，现将两个质量完全相同的小球分别沿两管由静止滑下（设在直角转弯处均无机械能损失）。
图像的数据分析图像数据分析是计算机视觉领域中的一个重要分支，它通过提取和分析图像中的数据，从而获取图像中蕴含的信息。
在图像数据分析中，常用的方法包括图像预处理、特征提取、特征选择、分类和聚类等。
图像预处理是图像数据分析的第一步，它包括图像去噪、图像增强、图像分割等。
图像去噪是为了消除图像中的噪声，提高图像质量；图像增强是为了增强图像中的某些特征，使得图像更容易被分析；图像分割是将图像分割成若干个部分，以便于分析每个部分的特征。
特征提取是图像数据分析的关键步骤，它通过提取图像中的特征，将图像转化为可分析的数字形式。
常用的特征提取方法包括边缘检测、纹理分析、形状分析等。
边缘检测是通过检测图像中的边缘，从而提取图像中的轮廓信息；纹理分析是通过分析图像中的纹理，从而提取图像中的纹理信息；形状分析是通过分析图像中的形状，从而提取图像中的形状信息。
特征选择是在特征提取的基础上，选择最有效的特征，以便于进行分类和聚类。
常用的特征选择方法包括主成分分析、线性判别分析等。
主成分分析是一种常用的特征选择方法，它通过寻找数据中的主成分，从而提取数据中的主要特征；线性判别分析是一种基于统计学的特征选择方法，它通过寻找数据中的线性判别函数，从而提取数据中的判别特征。
分类和聚类是图像数据分析的最终目的，它们通过分析图像中的特征，从而对图像进行分类和聚类。
常用的分类方法包括支持向量机、决策树、神经网络等；常用的聚类方法包括Kmeans聚类、层次聚类等。
支持向量机是一种基于统计学的分类方法，它通过寻找数据中的最优分类超平面，从而对数据进行分类；决策树是一种基于树形结构的分类方法，它通过建立树形结构，从而对数据进行分类；神经网络是一种基于人工神经网络的分类方法，它通过模拟人脑的神经元，从而对数据进行分类。
图像数据分析是一个复杂的过程，需要经过多个步骤才能完成。
通过图像数据分析，我们可以从图像中提取出有价值的信息，为图像识别、图像检索、图像等领域提供有力支持。
一．通用部分1．1 标定标尺（只做一次就可以，目录为软件下的scale文件夹）打开软件—打开标尺图象点击工具栏上的测量—标定标尺显示标定标尺窗口如下：选择任意向线段在图象上用鼠标画出一段标尺的长度通常选择公制视长度：电脑自动计算（鼠标所画出的线经过的像素点的个数）；物理长度：鼠标所画出的线的实际长度（一般情况，一小格为10um）放大倍数：当前标尺图象的倍数点保存标尺，输入当前的倍数并保存。
同样的方法标出其他的倍数。
（有几组放大倍数就要标定几次）1．2 加载系统标尺（默认路径为软件下的SCALE文件夹）在进行测量分析之前，必须选定正确的系统标尺，如果没有选定正确的标尺，不能得出实际物理长度。
方法一（推荐）：打开图象后，点（自动打开SCALE文件夹下的标尺列表），从列表中选取当前图象的标尺，点“加载”即可（或者双击）方法二：测量—选定标尺调入标尺：可以从硬盘中其他位置调入标尺单位制式将选中的标尺加载到系统中卸载当前的标尺加载特殊倍数的标尺，如80X选定后，在软件的状态栏中有显示，。
软件会自动记录上一次的系统标尺，所以分析相同倍数的照片时，不必每次都加载系统标尺，只要核对一下当前的系统标尺是否与图象倍数一致即可。
若图象命名时，结尾的标号与标尺名称相同时，软件会自动加载正确的系统标尺（只适合新打开的图象）。
例如：图象的名称为：轴承钢—心部001—200X ，打开此图象时，软件会自动加载200X的系统标尺文件。
1．3 图象亮度对比度的调整如果对采集的图象的亮度不满意，可以用此功能进行调节。
点工具栏上的。
处理前处理前处理后这三个调钮分辨调整图象的亮度、对比度和r值。
应用：执行当前操作恢复：恢复到图象的原始形态保存：保存当前的对比度参数（默认路径为软件下LUT文件夹）调入：调用已保存的对比度参数1．4 图象标注（默认路径为MARK文件夹）使用该功能对图像作标注。
在图像上加文本、时间、日期和标尺等。
以加标尺为例：打开图象，加载相应的系统标尺，点击工具栏上的，在图象标注的窗口中选择插入-标尺，在合适的位置用鼠标画出即可，默认长度为10um，可根据需要，双击后即可修改，点击图象上的其他任意位置可确定。
图像处理理论是关于图像处理的基本原理和方法的研究。
它包括了图像获取、图像增强、图像压缩、图像复原以及图像分析等内容。
图像获取是指通过图像设备（如摄像机、扫描仪）获取到的原始图像数据。
图
像获取涉及到硬件设备的选择、参数设置等问题。
图像增强是指通过各种方法对原始图像进行改善，使得图像更加适合于后续处
理或观察。
图像增强可以通过增加图像的对比度、提高图像的清晰度等方式来实现。
图像压缩是指通过各种方法对图像数据进行压缩，以减少存储空间或传输带宽。
图像压缩方法可以分为有损压缩和无损压缩两种。
图像复原是指通过对损坏或退化的图像进行恢复，使其尽可能接近或恢复到原
始图像的状态。
图像复原涉及到图像的模型建立、退化模型的估计以及复原算法的设计等问题。
图像分析是指通过对图像进行特征提取、目标检测或目标识别等方式来获取图
像中包含的信息。
图像分析涉及到特征提取的方法、目标检测的算法以及目标识别的模型等内容。
总之，图像处理理论与图像分析是关于图像处理的基本原理和方法的研究，可
以应用于各种图像处理领域，如计算机视觉、医学影像处理、遥感图像分析等。
图像分析图像分析是指通过计算机技术将图像数据转化为数字信号，对图像中特定对象、结构或特征进行分析的过程。
随着数字摄影技术和计算机图形处理技术的不断发展，图像分析在医学诊断、物体检测、视频监控等领域得到广泛应用。
一、图像分析方法1. 数字图像处理数字图像处理是一种利用计算机对数字图像进行处理的技术，其目的是自动从数字图像中提取信息、充分表达原始信息、改善噪声、增强图像等。
通常包括以下步骤：(1) 采集实验数据：使用数字相机、扫描仪等设备获取目标图像。
(2) 预处理：去噪、平滑、增强等操作，以便后续处理。
(3) 特征提取：寻找感兴趣区域，如轮廓、边缘、纹理、颜色等特征。
(4) 分类与识别：将图像分类为不同目标或执行某些任务，如目标跟踪、行人检测等。
2. 计算机视觉计算机视觉是指让计算机具备看和理解图像的能力，即将数字图像中的信息进一步转化为可理解和使用的形式。
计算机视觉的经典问题包括目标检测、目标追踪、视频分析等。
它通常包括以下步骤：(1) 特征提取：将数字图像中有用的特征表示出来，如边缘、纹理等。
(2) 特征匹配：通过比较不同图像的特征点，找到最优匹配的位置。
(3) 三维重建：在特定视角下，根据得到的多幅抓拍图像，恢复原始场景的三维结构。
(4) 目标跟踪：对动态图像进行处理，实现目标的自动追踪。
二、图像分析应用案例1. 医疗诊断医学图像分析是指对医学影像数据（如X光、CT、MRI等）的处理与分析，以提高临床诊断的准确性和效率。
其中，肿物检测和分类、脑部图像分析、视网膜图像分析等是医学图像分析中的主要研究方向之一。
例如，在MRI（磁共振成像）中进行大脑皮层表面重建，能够帮助诊断脑部疾病。
在眼科医学中，采用分析视网膜图像进行青光眼和糖尿病性视网膜病变的早期筛查，为患者提供更加高效和准确的治疗服务。
2. 智能交通智能交通系统是一种利用计算机技术对建筑、车辆、行人等交通资源进行管理和控制的系统。
其中，交通流量统计、车辆追踪和安全监控是智能交通系统中的主要应用场景。
物体运动的图像分析一、引言物体的运动是物理学中重要的研究内容之一。
随着科技的发展，人们可以通过图像分析的方法更加直观地观察和研究物体的运动规律。
本文将通过图像分析的角度来探讨物体运动的特点和相关应用。
二、图像分析基础图像分析是对图像中的像素进行处理和解读的过程，通过对像素点的颜色、亮度等信息进行处理，得到物体的轮廓、运动轨迹等重要数据。
图像分析基础包括图像采集、图像处理和运动轨迹分析等方面。
1. 图像采集图像采集是指利用相机、摄像机等设备，将物体的运动过程转化为数字图像。
根据实际需求，可以选择合适的采集设备，并调整参数以确保图像的质量。
2. 图像处理图像处理是对采集到的图像进行数字化处理的过程。
主要包括灰度化、滤波、边缘检测等步骤，以提取出物体的特征信息。
3. 运动轨迹分析运动轨迹分析是对物体在图像中的位置变化进行研究的过程。
通过对连续帧图像的比较和计算，可以得到物体运动的速度、加速度等相关参数。
三、物体运动的图像分析方法物体运动的图像分析方法多种多样，根据具体的应用需求和实验条件选择合适的方法进行研究和分析。
1. 帧差法帧差法是一种基于相邻图像帧的差异来分析物体运动的方法。
通过对相邻帧图像中像素值的差异进行计算，可以得到物体的运动轨迹。
该方法简单易懂，适用于运动速度较慢的物体。
2. 光流法光流法是利用物体在连续帧图像中的像素变化来分析物体运动的方法。
通过对图像中像素点的移动方向和速度进行计算，可以得到物体的运动轨迹和速度信息。
该方法适用于物体速度较快、图像帧数较高的情况。
3. 形态学分析法形态学分析法是一种利用数学形态学原理对物体形状进行分析的方法。
通过对物体的形状、轮廓等特征进行提取和分析，可以得到物体运动的轨迹和形变等信息。
该方法适用于研究物体形状变化的情况。
四、物体运动图像分析的应用场景运动图像分析在很多领域都有广泛的应用，下面将介绍其中几个典型的应用场景。
1. 运动目标跟踪运动目标跟踪是指通过分析图像中的物体运动轨迹，实时追踪和定位物体的位置。
图像分析图像分析是一门应用广泛的科学领域，它涉及对图像进行处理和解释的技术和方法。
图像分析的研究和应用可以帮助我们更好地理解和利用图像信息。
本文将从图像分析的基本原理、方法和应用等方面进行探讨。
图像分析的基本原理是通过对图像进行数字化处理，从而获取图像中的特定信息。
首先，需要将图像转换为数字信号，这可以通过使用图像采集设备（如相机）来实现。
然后，对图像进行预处理，包括去噪、增强、归一化等操作，以提高图像的质量和准确性。
接下来，图像分析涉及到对图像进行特征提取和描述。
特征是图像中最有区别性的部分，可以用来表示图像的某些属性或特性。
常见的图像特征包括边缘、纹理、颜色等。
特征提取的目的是将图像信息转换为可计算的形式，从而便于后续的分析和处理。
图像分析的方法包括基于规则的方法和基于学习的方法。
基于规则的方法是通过定义一些规则和模型来对图像进行分析和解释。
这种方法的优点是理解和解释性强，但需要人工定义规则和模型，适用范围有限。
基于学习的方法则是通过机器学习算法自动学习图像的特征和模式，从而实现对图像的分析和解释。
这种方法的优点是能够处理较大规模的数据，但需要足够的训练样本和计算资源。
图像分析的应用非常广泛。
在医学领域，图像分析可以帮助医生进行疾病诊断和治疗，如医学影像分析、病态图像检测等。
在工业领域，图像分析可以用于产品质量检测、自动化控制等。
在交通领域，图像分析可以用于车辆识别、交通流量监测等。
在安全领域，图像分析可以用于人脸识别、物体跟踪等。
在农业领域，图像分析可以用于作物生长监测、病虫害检测等。
总的来说，图像分析是一门重要的科学领域，它涉及到对图像进行处理和解释的技术和方法。
通过对图像进行数字化处理、特征提取和描述，可以获取图像中的有用信息，并应用于各种领域。
图像分析的研究和应用为我们提供了更多的机会和挑战，同时也为我们带来了许多便利和创新。
第三讲 图像分析法“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化；而图像分析法正是在这一学科特点的基础上发展而来，使用数形结合与数形分离的思想进行解题，题干中图像意义比较明显，丰富的问题，一般可用图像分析法求解.【调研1】符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]2e =，[]2.273-=-，新定义一个函数[]()f x x x =-，对于下列命题：①.函数()y f x =的定义域为R ，值域为[]1,0； ②.函数()y f x =为偶函数；③.函数()y f x =在R 上是增函数； ④.函数()y f x =是周期函数；⑤.方程12y =有无数解，其中命题的正确个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4答案：Ｂ分析：求解本例的关键是绘制新定义函数[]()f x x x =-的图像.解析：∵ 符号[]x 表示不超过x 的最大整数，新定义一个函数[]()f x x x =-∴ 对于函数[]()f x x x =-当[0,1)x ∈时，有[]0x =，∴()f x x =当[1,2)x ∈时，有[]1x =，∴()1f x x =-当[2,3)x ∈时，有[]2x =，∴()2f x x =- ………故函数[]()f x x x =-的图像为：由图可知：函数的值域为[0,1)，且非奇非偶函数，()y f x =在区间(,1)n n +（n k ∈）上是单调增函数，所以命题①、②、③都是错误的命题，只有命题④、⑤是正确命题，即本题的答案为Ｂ.【技巧点拨】函数图像与函数性质是函数的双翼，二者结合，使函数在数学天空任意驰骋.这包括两个基本方面：（1）研究函数图像的性质，再绘制函数图像，在本书的《解答题专题》的第四讲的例１属于这一问题，这要求对数学有比较深刻的认识与理解；（2）绘制函数图象，再由函数图像观察函数性质，属于“看图说话”问题，在本例运用到这一技巧.【调研2】已知向量(2,0)OB =,(2,2)OC =，(2,)CA αα=，则向量OA 与OB 的夹角范围为 ( ) A.[0,]4π B. 5[,]412ππ C. 5[,]122ππ D.15[,]1212ππ 答案：Ｄ解析：∵(2,2)OC =，(2,0)OB = ∴(2,0)B =，(2,2)C =∵(2,)CA αα= ∴点A 的轨迹是以(2,2)C 为圆心,2为半径的圆.过原点O 作此圆的切线,切点分别为,M N ，连CM 、CN ，如图所示，则向量OA 与OB 的夹角范围是,MOB OA OB NOB ∠≤<>≤∠∵||22OC = ∴1||||||2CM CN OC ==知6COM CON π∠=∠=，但4COB π∠= ∴12MOB π∠=,512NOB π∠= 故5,1212OA OB ππ≤<>≤，即本题的答案为D. 【方法探究】数形结合大致有以下两条途径：（1）以数解形 通过对数量关系的讨论，去研究曲线的几何性质，这种思想在解析几何中最常见；（2）以形助数 一些具有几何背景的数学关系或数学结构，如能构造与之相应的图形分析，则能获得更直观的解法，这种解题思想在函数、不等式、向量以及数列中都有体现，特别是方程解的个数，解不等式，求最值等问题中的应用更常见.【调研3】（1）已知椭圆191622=+y x ，则其内接三角形面积的最大值为（ ） A.63 B.93 C.123 D.12（2）M 是抛物线2y x =上一点，N 是圆22(3)1x y -+=上的动点，则MN 的最小值是（ ） A.1211- B.1210- C. 2＋5 D.23- 答案：（1）Ｂ （2）Ａ分析：本例两个小题都是解析几何的最值问题：对于第（1）小题，因椭圆内接三角形没有直接的面积计算公式，无法先列函数式求最值；但对于圆而言，这却是轻而易举的事.那将椭圆的内接三角形向圆转化是求解本例的关键；对于第（2）小题，求解的关键是将两动点距离MN 转化为抛物线上动点Ｍ到定点（圆心Ｃ）的距离问题. 解析：（1）如图椭圆191622=+y x 的长、短轴之比为4∶3 将椭圆按113cos 4A B ABα==投影到平面M ，得到半径为3R =的圆1O ，圆内接正△111F E C 的面积最大，此时最大面积为=24S '==∴椭圆内接三角形最大面积为43cos 3S α===（2）如图设M 是2y x =上一点，MN ＋NC ≥MC，所以MN 的最小值即为点Ｍ到圆心C 的距离减第（1）问去半径Ｒ.设M 2(,)y y 是抛物线2y x =上一点，则22224222511(3)59()24MC y y y y y =-+=-+=-+∴y =±时，min 2MC =∴min 12MN =- 【技巧点拨】解析几何最值问题是解析几何板块的最基本题型之一，这类问题大致有四条求解途径：（1）利用圆锥曲线的定义，特别是圆锥曲线的第二定义求解；（2）构造函数表达式后，再求最值，如本例第（2）小题建立二次函数求MN 的最值；（3）转化为对称问题求解，这类问题比较常规；（4）构造特殊结构求解，如本例第（1）小题，将椭圆倾斜，保证其投影为圆，将“椭圆内接三角形问题”转化为“圆内接三角形问题”求解，颇有参考意义.1.（湖南04理－12）设f x g x ()()、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f xg x f x g x '()()()'()+>0且(3)0g -=，则不等式f x g x ()()<0的解集是（ ）A.(3,0)(3,)-+∞B.(3,0)(03)-,C.(,3)(3)-∞-+∞，D.(,3)(03)-∞-， 2.不等式413a x ≤+的解集是[4,0]-,则a 的取值范围是（ ） A.（-5,-∞] B.[+∞,35) C.(-5,-∞)),35[+∞⋃ D.(-)0,∞ 3.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=, 且(1,1]x ∈-时()||f x x =,则函数()y f x =的图象与函数lg ||y x =的图象的交点个数为 ( )A.16 B.18 C.20 D.无数个【参考答案】1.答案：Ｄ解析：设F x f x g x ()()()=，则∵当x <0时，()()()()f x g x f x g x ''+[()()]()0f x g x F x ''==> ∴()F x 在(0)-∞，上是增函数∵f x g x ()()、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数 ∴F x ()为奇函数又∵g ()-=30 ∴F f g ()()()-=--=3330又∵f x ()是奇函数 ∴f ()00=，F ()00=故根据以上特点，不妨构造如图1所示的符合题意的函数()F x 的图象，由图直接观察出所求解集是(,3)(03)-∞-，，所以本题的答案为Ｄ.第1题 第2题2.答案：Ａ解析：设1y =2413y x a =+-，在同一坐标系内作1y 及2y 的图象，1y 的图象是半圆22(2)4x y ++=(0y ≥)，2y 的图象是斜率为34的直线系. 依题意得，2y 的图象必须在如图的切线上方，而圆心（－2，0）到直线43x y -+(33)0a -=的距离83325a d -+-=≥必须成立，解得5a ≤-. 3. 答案：B 解析: 由(2)()f x f x +=知()y f x =是以周期2T =的周期函数.又∵(1,1]x ∈-时()||f x x = ∴可作出函数()y f x =、lg ||y x =的图像如下图所示.∴由图象可得函数()y f x =、函数lg ||y x =的交点的个数左右边有9个，共计18个.第四讲 特例检验法特例检验法（也称特例法或特殊值法）是用特殊值（特殊图形、特殊位置）代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而作出正确的选择.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.特例检验法是解答选择题的最佳策略之一，适于解答“对某一集合的所有元素，某种关系恒成立”这样类以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，从而达到肯定一支或否定三支（去谬）的目的，完成“小题小做”或“小题巧做”的解题策略.【调研1】定义在区间R 的奇函数()f x 为增函数，偶函数()g x 在区间[0,)+∞的图象与()f x 的图象重合，设0a b >>，给出下列不等式，其中成立的是（ ）①()()()()f b f a g a g b -->--； ②()()()()f b f a g a g b --<--③()()()()f a f b g b g a -->--； ④()()()()f a f b g b g a --<--A.①与④B.②与③C.①与③D.②与④答案：C解法一：图像分析法任作奇函数()f x 的图像如图，偶函数()g x 在第1象限与函数()f x 重合，所以偶函数()g x 也相应确定. ∴()()()()()()()()f b f a f b f a f a f b g a g b --=+>-=--()()()()()()()()f a f b f a f b f b f a g b g a --=+>-=--∴ 本题的答案为Ｃ.解法二：直接对照法 由函数奇偶性概念知()()()()()0f b f a g a g b f b -->--⇔>；()()()()()0f b f a g a g b f b --<--⇔<()()()()()0f a f b g b g a f a -->--⇔>；()()()()()0f a f b g b g a f a <----⇔<∵()(,)y f x x =∈-∞+∞是奇函数 ∴(0)0f =∵()y f x =在(0,)+∞上是增函数0a b >> ∴()()0f a f b >>故本题的正确答案为Ｃ.解法三：特例检验法（取特殊函数）令奇函数()f x x =，偶函数()||g x x =，同时令2a =，1b =，则给出的4个不等式分别是①31>；②31<；③31>-；④31<-由②不成立，排除B 、D ，又④不成立，排除A .【方法探究】本例是一道经典题，至今仍散发活力，综合考查函数奇偶性、单调性；试题比较长，数学符号多，兼考查阅读、理解能力，对综合应用数学知识，解决数学问题的能力要求较高.在本例所给的三种解法中，显然第三种取特殊函数比较简洁，出错概率相对小些，求解速度相对快些.【调研2】设函数3()f x x =，若02πθ≤≤时，(cos )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．（0，1） Ｂ．（－∞，0） Ｃ．（－∞，1） Ｄ．（－∞，21） 答案：Ｃ解法一：直接对照法∵函数3()f x x =是奇函数，又是R 上的增函数又∵(cos )(1)0f m f m θ+-> ∴(cos )(1)f m f m θ>-，即有cos 1m m θ>-令cos μθ=，由02πθ≤≤知01μ≤≤，则(cos )(1)0f m f m θ+->恒成立问题转化为函数()(1)f mu m μ=+-（01μ≤≤）恒成立问题 ∴(0)0(1)0f f >⎧⎨>⎩，即1m < 故本题的答案为Ｃ解法二：特例检验法令0m =时，有(0)(1)10f f +=>成立，从而排除A 、B 又12m =时，f （3111(cos )()(cos 1)0228f f θθ+=+>成立，从而排除D. 【方法探究】本例综合考查函数单调性、奇偶性、恒成立问题的处理方法，具有一定的综合性，这种“小题综合化”是现代数学新高考的一个重要趋势.求解这类题目常常有两条求解策略：（1）常规解法 在扎实的数学基本功和较好的耐心下，每步稳扎稳打，讲究思维严密，环环相扣，但常常有“小题大做”的嫌疑，费劲又费时；（2）非常规解法 分析这类小题的特点，采用特值验证、数形结合、构造模型等技巧，快速求解，不追求思维严谨，讲究策略，力争“小题小做”，甚至“小题巧做”.一般地说，求解这类小题，首先思考第二条策略，看看是否可以巧解，不到万不迫已不采用第一条求解策略，正所谓“磨刀不误砍柴功”！！1.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）Ａ.１个 Ｂ.3个 Ｃ.3个 Ｄ.4个2.已知,,a b c 为等比数列，b ，m ，a 和b ，n ，c 是两个等差数列，则a c m n+＝（ ） Ａ.4 Ｂ.3 Ｃ.2 Ｄ.13.过)0(2>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线与Q 、P 两点，若PF 与FQ 的长分别是q 、p ，则=+q p 11（ ） A.a 2 B.a 21 C.a 4 D.a4 4.已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，1-≠λ，λλα++=121x x ， λλβ++=112x x ，若12|()()||()()|f x f x f f αβ-<-，则（ ） A .0<λ B .0=λ C .10<<λ D .1≥λ【参考答案】 1.答案：Ｄ 解析：构造特殊模型在正方体中，四棱锥M ABCD -的四个侧面中，直角三角形最多可有4个，故本题的答案为Ｄ.2.答案：Ｃ 解析：构造特殊数列令等比数列,,a b c 为常数列，显然m n a b c ==== ∴2a c m n += 取等比数列,,a b c 为2，4，8，则3m =，6n = ∴2a c m n+= 3.答案：Ｃ解析：取特殊位置令PQ ⊥OP 时，则1||||2PF FQ a ==∴11224a a a p q +=+=. 4.答案：Ａ解析：取特殊数值令0=λ，1x =α，2x =β，则|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-不成立，从而排除B ；令10<<λ或1≥λ时，βα,是以x 轴上以数1x ，2x 为端点的线段的内分点．作图可知|)()(||)()(|21βαf f x f x f ->-，从而排除C 、D.第五讲 逆向思维法逆向思维是指由果索因，追溯推理，经中间状态回到初始状态，从而最终解决中心问题的思维方法.凡选择题的题干提供信息较少或结论是一些具体的数字时，我们可以考虑用逆向思维进行推理，从选择肢入手，逐一验证是否与题干相容而作出选择.ＡＢ Ｃ ＤＭ【调研1】（1）若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 （ ）Ａ.三棱锥 Ｂ.四棱锥 Ｃ.五棱锥 Ｄ.六棱锥（2）某地对空导弹击中目标的概率是90％，至少以（ ）枚这样的导弹同时发射一次，才能使击中目标的概率超过99％. Ａ.2 Ｂ.3 Ｃ.4 Ｄ.5答案：（1）Ｄ （2）Ｂ分析：对于第（1）小问，正向思考难以着手，可以借助反证法，逆向进行探讨；对于第（2）小问，设同时发射n 枚导弹，由题意知有1枚导弹击中、或2枚导弹击中，……，都是符合要求的，分类情况比较多，采取“正难则反”策略，逆向思考.分析：（1）假如是六棱锥，则这个六棱锥的底面外接圆半径、底面边长、侧棱长都相等，这是不可能的.故答案为Ｄ.（2）∵n 枚导弹都未击中目标的概率为0.1n ∴至少有一枚导弹击中目标的概率为10.1n -∵击中目标的概率超过99％ ∴10.199%n -≥，即有答案Ｂ.【技巧点拨】本例两小问分别利用反证法、补集思想进行逆向思考，做题的效率大大提高.在中学数学中，逆向思维主要有以下四种方式：（1）利用反证法进行逆向思维； （2）利用补集思想进行逆向思维；（3）利用可逆原理进行逆向思维； （4）利用选择题特征，进行逆向检验.【调研2】过点(1,1)A -、(1,1)B -，且圆心在直线20x y +-=上的圆方程是（ ）Ａ.22(1)(1)4x y -++= Ｂ．22(3)(1)4x y ++-=Ｃ.22(1)(1)4x y -+-= Ｄ. 22(1)(1)4x y ++-=答案：Ｃ解法一：直接对照法1（设圆的标准方程） 设圆的方程为()()x a y b r -+-=222，则222222(1)(1)(1)(1)20a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+-=⎨⎪+-=⎩解之得a b r ===12，，故本题的答案为Ｃ．解法二：直接对照法2（设圆的一般方程）设圆的方程为22x y Dx Ey F ++++＝0，则20202022D E F D E F D E ⎧⎪+-+=⎪-++=⎨⎪⎪---=⎩解之得2D E F ===-，故本题的答案为Ｃ.解法三：直接对照法3 (利用圆的定义)∵圆心在直线20x y +-=上 ∴设圆心为(,2)a a -又∵A 、Ｂ在圆上 1a =∴该圆的圆心为(1，1)，排除Ａ、Ｂ、Ｃ．解法四：直接对照法4（分析圆心位置）所求圆的圆心应在线段ＡＢ的垂直平分线（即一、三象限的角平分线）上，又在直线20x y +-=上，显然交点（即圆心）在第一象限内，故本题的答案为Ｃ.解法五：逆向思维法由选项Ｂ、Ｄ的圆心坐标不在直线20x y +-=上，故排除Ｂ、Ｄ；又由选项Ａ的圆不过点B ()-11，，从而排除Ａ．【方法探究】本例所给的五种解法中，解法一与解法二分别利用圆的标准方程和一般方程求解，计算量大，这与一道解答题没有任何区别，属于“小题大做”； 解法三与解法四从圆心着手，充分抓住题目隐性特征，计算量小，属于“小题小做”； 解法五逆向入手，检验选项是否符合要求，充分把握选择题的特征，属于“小题巧做”.1.设集合{}22A x x x R =-≤∈，{}2|12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B 等于（ ） A.R B.{},0x x R x ∈≠ C.{}0 D.∅2.某校按淘汰赛制举办了第21届校篮球运动会，全校共有48个教学班，则本届篮球运动会需安排（ ）场比赛.Ａ.48 Ｂ.248C Ｃ.248A Ｄ.473.命题p ：不等式关于x 的表达式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集相同命题q ：212121c c b b a a ==，则命题q 是命题p 的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【参考答案】 1.答案：Ｂ解法一：回归定义{}{}2202A x x x R x =-≤∈=≤≤ {}{}2|1240B y y x x y ==--≤≤=-≤≤ ∴ (){0}R R C A B C =.解法二：特值检验0x =时 0A ∈ 0B ∈ 即0()A B ∈，则()0R C A B ∉ 排除A 、C10x =时 10A ∉ 10B ∉ 即10()A B ∉，则 ()10R C A B ∈ 排除D.点拨：求解集合问题有两条途径：①直接求解；②特值排除；其中以选择题形态出现的集合问题常常用特值检验，效率更高.2.答案：Ｄ 解法一：常规解法第一轮要举行24场，留下24个班；第二轮要举行12场，留下12个班；第三轮要举行6场，留下6个班；第四轮要举行3场，留下3个班；第五轮要举行1场，留下1个班，一个班轮空；最后进行冠亚军决赛，共进行24＋12＋6＋3＋1＋1＝47.解法二：逆向思考 每场比赛淘汰一个班级，需淘汰47个班才能产生冠军，所以共进行47场比赛.3.答案：Ｄ解析：设不等式210x x ++>和210x x -+>，表明必要条件不成立，又设不等式210x x ++>和210x x --->，则充分条件也不成立，所以本题的答案为Ｄ. 第六讲 综合运用法解任何一道选择题目，解法都不是单一的.由选择题的特性决定了其解法的多样性，所以求解选择题，选对就行，常常“不择手段”，无论用什么“策略”，“手段”都是无关紧要.在求解选择题过程中，常常同时采用几种方法进行分析、推理，联合作战，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确．．和快速．．. 【调研1】已知)0,0(A ，),(b a B 两点，其中0≠ab ，1P 是AB 的中点，2P 是1BP 的中点，3P 是21P P 的中点，…，2n P +是1+n n P P 的中点，则点n P 的极限位置是（ ） A.)2,2(ba B.)53,53(b a C.)32,32(b a D.)43,43(b a 答案：Ｃ解法一：直接求解 设),(n n n b a P ，则由2+n P 是1+n n P P 的中点得212n n n a a a +=++，212n n n b b b +=++ 由特征方程0122=--x x 得211-=x ，12=x ∴t p a n n +-=)21(，a t p =+-0)21(，2)21(1a t p =+- ∴3a p =，32a t = ∴]2)21[(3+-=n n a a 故32lim a a n n =∞→，同理32lim b b n n =∞→ 解法二：寻找规律数列{}n a 的前几项依次是： 0，a ，2221a a a a a =-==，412a a a +=，823a a a -=，…， 于是a a a n n n )21(1-+=-，即a a a n n n )21(1-=-- ∴])21(84[2)()()(123121a a a a a a a a a a a a n n n n -++-+=-++-+-+=- ∴3221142lim a aa a n n =++=∞→ 解法三：数形结合作为选择题，可以先画一条如图的线段，再进行观察：∵)0,0(A ，),(b a B ，1P 是AB 的中点 ∴1P 的坐标为1(,)22a bP ，可排除选项A. Ａ Ｂ1P 2P 3P 4P又∵2P 是1BP 的中点 ∴1P 的坐标为233(,)44a b P ，可排除选项B.∵2n P +是1+n n P P 的中点 ∴3P 是12P P 的中点，即355(,)88P a b ；4P 是23P P 的中点，即41111(,)1616P a b ∵2n P +是1+n n P P 的中点 ∴极限点n P 应在3P 与4P 之间，从而排除Ｄ.【方法探究】本例所给的三种解法中：解法一是作为解答题求解，推理严密，环环相扣，但比较费时；解法二相对简洁，罗列各点，寻找规律，逻辑性差些，但速度快；解法三紧扣选择题特点，运用排除法，准确、快速求解.本例作为选择题，更推荐第三种解法，又快有准！！【调研2】设0x π<<，则函数xx y sin cos 2-=的最小值是( ) A .3 B .2 C .3 D .2-3答案：Ｃ分析：本例属于分式型三角函数最值问题，有多条求解途径：或转化为正弦型函数sin()y A wx B φ=++最值问题求解，或平方后再利用判别式求解，或利用万能代换转化为一般函数的最值问题求解，当然也可以采用数形结合.具体求解过程如下：解法一：直接对照法1（利用三角函数的有界性求最值）∵xx y sin cos 2-= ∴sin cos 2y x x +=，即2)sin(12=ϕ++x y 又∵1)sin(≤ϕ+x ∴212≥+y ，即32≥y ∵0x π<< ∴y ≥min y =解法二：直接对照法2（平方后，再利用判别式求解）∵xx y sin cos 2-= ∴22(sin )(2cos )y x x =-将上式整理得222(1)cos 4cos (4)0y x x y +-+-= △＝22164(1)(4)y y -+-＝224(3)y y -0≥∵0x π<< ∴y ≥，即min y =解法三：直接对照法3（利用万能代换转化为常规函数求最值问题） 设tan 2x t =，则22212121t t t y t --+=+13t 2t 2=+≥= 故y m in =3 （当且仅当13t 2t 2=，即t =332tan =x ，即x =3π时，取等号） 解法四：数形结合法如图的单位圆中，MOP x ∠=（其中),0(π∈x ），P (cos ,sin )M x x ，)0,[cos 2sin 0PA PM k x x k ∈--= ∵1OA =，2OP =，且OA AP ⊥故3AOP π∠=，56APt π∠= ∴33tan -=∠=APt k PA ，即 3PM k ≥-∵x x y sin cos 2-=PM k 1-= ∴min min 1()PM y k =-=【技巧点拨】求解三角函数的最值问题是历届高考的热点题型之一，此类问题大致有以下五条求解途径：（1）利用三角函数的值域或有界性求最值；（2）利用配方法转化为二次函数的最值问题；（3）利用换元法转化为某种常规的函数最值问题（4）合理匹配，利用均值不等式求解；（5）合理构造模型，利用数形结合求解.【调研3】已知函数f x ax bx cx d ()=+++32的图像如下图所示，则（ ）A.b ∈-∞()，0B.b ∈()01，C.b ∈()12，D.b ∈+∞()2，答案：Ａ分析：由图像过特殊点等特征有：（1）由过坐标原点有(0)0f =，即d =0；由过点（1，0）有f ()10=，即a b c ++=0；由过点（2，0）有f ()20=，即8420a b c ++=；（2）函数()y f x =与x 轴的交点的横坐标为0，1，2，所以可设函数为()(1)(2)f x ax x x =--；（3）当(0)(12)x ∈-∞，，时，f x ()<0 ∴f ()-<10得-+-<a b c 0；当(01)(2)x ∈+∞，，时，f x ()>0 ∴f ()30>得a >0.巧妙合理地运用以上信息，有以下三种简洁解法：解法一：直接对照法1∵a b c ++=0 -+-<a b c 0 ∴0b < 故本例的答案为Ａ. 解法二：直接对照法2由上分析知a b c ++=0，8420a b c ++= ∴b a =-3∵a >0 ∴0b < 故本例的答案为Ａ.解法三：特例验证法取特殊函数f x x x x ()()()=--12得b =-<30 故本例的答案为Ａ.【技巧点拨】求解与函数图像相关联问题，注意分析图形特征，抓图形过特殊点、特殊位置或特殊范围等，往往能优化解题过程，提高解题速度与准确程度.1.若sin cos θθ+=1，则对任意实数n n n ，sin cos θθ+的取值为（ ）A. 1B. 区间（0，1）C. 121n - D. 不能确定2.不等式|1||2|x x a -++≤的解集非空, 则实数a 的取值范围是（ ）A.3a ≥B.3a >C.4a ≤D.4a ≥3.函数2log (1)1x y x x =>-的反函数是（ ） A.2(0)21x x y x =>- B.2(0)21x x y x =<- C.21(0)2x x y x -=> D.21(0)2x x y x -=< 4.在AOB ∠的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共1m n ++个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )A.121211m n n m C C C C ++⋅+⋅B.1212m n n m C C C C ⋅+⋅C.121211m n n m m n C C C C C C ⋅+⋅+⋅D.122112m n m n C C C C ++⋅+⋅ 5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A.(1,2]B.(1,2)C.[2,)+∞D.(2,)+∞【参考答案】1.答案：A 解法一 设点(sin cos )P θθ，，注意隐含条件sin cos 221θθ+=∴此点满足22sin cos 1sin cos 1θθθθ+=⎧⎨+=⎩ ∴sin cos sin cos θθθθ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩0110或∴sin cos 1n n θθ+= 解法二 用赋值法，令sin cos θθ==01， 同样有sin cos n n θθ+=12.答案：Ａ解法一：数形结合 运用零点分段法作出函数图像求解，比较麻烦.解法二：特值检验 令3a =时，0x =满足条件，答案中应包含3a =，排除B 、D ，再令5a =时，0x =也满足条件，故排除C.解法三：运用结论 |1||2||12|3x x x x -++≥-++= ∴本题的答案为Ａ.3.答案 A 解法一 回归定义∵ 1x > ∴11111x x x =+>-- 即2log 01x y x =>-∵ 2log 1x y x =-∴221y y x =-对换x y 、得221x x y =-∴ 函数2log (1)1x y x x =>-的反函数为2(0)21x x y x =>-. 解法二 特值排除∵ 函数2log (1)1x y x x =>-过点(2,1)P ∴函数2log (1)1x y x x =>-反函数过点P (1,2)'，排除B 、C 、D.4.答案：Ｃ解法一 直接求解“任取其中三个点为顶点作三角形”可分三类：（1）从OA 边上(不包括顶点O )中任取一点与从OB 边上(不包括顶点O )中任取两点，可构造一个三角形，有12m n C C ⋅个；（2）从OA 边上(不包括顶点O )中任取两点与OB 边上(不包括顶点O )中任取一点，可构造一个三角形，有21m n C C ⋅个；（3）从OA 边上(不包括顶点O )任取一点与OB 边上(不包括顶点O )中任取一点，与顶点O 点可构造一个三角形，有11m n C C ⋅个.解法二 间接求解从1m n ++中任取三点共有31m n C ++个，其中三点均在射线OA (包括顶点O 点)，有31m C +个，三点均在射线OB (包括顶点O 点)，有31n C +个.∴可作的三角形有333111m n m n N C C C ++++=--个.可以检验与答案C 是一致的，但过程比较繁琐，所以本题不宜用此法求解.解法三 逐项排除在选择支A 中有不合要求的三点，如121m n C C +⋅中包括有O 、i B 、j B （i B 、j B 表示直线OB 边上不同于O 点）三点不能构成三角形，应排除；在选择支B 中漏掉△j OB i A ，应排除；在选择支D 中有重复的三角形.如121m n C C +⋅中有△j OB i A ，而212m n C C +⋅中也有△j OB i A ，重复计算，应排除.5.答案 C 解法一：特值排除过焦点F 且倾斜角为060的直线l为y =令2e =时，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线是y =，此时与直线l 平行 ∴ 直线l 与双曲线的右支交于一个点，从而排除B 、D ；令4e =时，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>即为22221616115x x c c-=∴22221616115)x x c c y x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩∴ 2219296630x c x c +⋅-= ∴两根之积212630192c x x ⋅=-< ∴直线l 与双曲线的右支交于一个点.从而排除A. 解法二：数形结合∵要满足“直线l 与双曲线的右支交于一个点”有两种可能 （1）渐近线b y x a=； （2）过焦点的直线l 平行或从该位置绕原点按逆时针旋转时∴b a ≥不难算出 2e ≥。
所谓图像分析法，就是利用图像本身数学特征所反映的物理意义解决物理问题（已知图像找出物理量间的函数关系）和确定物理量间的函数关系，作出物理图像来解决物理问题。
常用的有矢量图、坐标图和光路图等。
根据中学物理中所研究的物理规律，常用的数学函数图像有以下类型：1. 正比例函数：如F=kΔx，匀速直线运动中的s=v·t 等；2. 反比例函数：如物体受恒力作用时加速度与质量的关系a=F／m等；3. 一次函数：如U=ε－Ir等；4. 二次函数：如s=vt+等；在分析物理图像时首先要看清图像名称，搞清图像研究的是什么，再根据图线的一些特殊规律，并对照两个坐标轴上的物理量和单位，同时联想它们的物理过程，就容易搞清图像的物理意义，这样利用图像解题也就变得容易了。
对于已知题设条件来确定物理图像是一个比较复杂的过程，这里包括依据物理量间的函数关系作出物理图像，物理图像的变换；利用求出的物理图像解决物理问题等几个方面，这类问题中，关键是正确地寻找出物理量之间的联系，后找出这一联系的关键在于分析物理过程。
针对不同题型，图像的不同作用，可把图像法分类概括如下：1. 利用图像揭示物理规律。
（1）分析图像直接反映出来的问题；（2）定性地给出一些复杂物理过程的物理量之间的函数关系。
2. 利用图像分析物理过程和变化关系。
3. 利用图像简化繁琐的公式推算。
4. 利用图像分析实验误差，揭示物理规律。
5. 利用图像挖掘隐含条件，解综合题。
[例] 在2004年雅典奥运会上，我国运动员黄珊汕第一次参加蹦床项目的比赛即取得了第三名的优异成绩。
假设表演时运动员仅在竖直方向运动，通过传感器将弹簧床面与运动员间的弹力随时间变化的规律在计算机上绘制出如图所示的曲线，当地重力加速度为g=10m/s2，依据图象给出的信息，回答下列物理量能否求出，如能求出写出必要的运算过程和最后结果。
（1）蹦床运动稳定后的运动周期；（2）运动员的质量；（3）运动过程中，运动员离开弹簧床上升的最大高度；（4）运动过程中运动员的最大加速度。
第三讲 图像分析法“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化；而图像分析法正是在这一学科特点的基础上发展而来，使用数形结合与数形分离的思想进行解题，题干中图像意义比较明显，丰富的问题，一般可用图像分析法求解.【调研】符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]2e =，[]2.273-=-，新定义一个函数[]()f x x x =-，对于下列命题：①.函数()y f x =的定义域为，值域为[]1,0； ②.函数()y f x =为偶函数；③.函数()y f x =在上是增函数； ④.函数()y f x =是周期函数； ⑤.方程12y =有无数解，其中命题的正确个数为（ ） .答案：Ｂ分析：求解本例的关键是绘制新定义函数[]()f x x x =-的图像. 解读：∵ 符号[]x 表示不超过x 的最大整数，新定义一个函数[]()f x x x =- ∴ 对于函数[]()f x x x =-当[0,1)x ∈时，有[]0x =，∴()f x x = 当[1,2)x ∈时，有[]1x =，∴()1f x x =-当[2,3)x ∈时，有[]2x =，∴()2f x x =- ……… 故函数[]()f x x x =-的图像为：由图可知：函数的值域为[0,1)，且非奇非偶函数，()y f x =在区间(,1)n n +（n k ∈）上是单调增函数，所以命题①、②、③都是错误的命题，只有命题④、⑤是正确命题，即本题的答案为Ｂ. 【技巧点拨】函数图像与函数性质是函数的双翼，二者结合，使函数在数学天空任意驰骋.这包括两个基本方面：（）研究函数图像的性质，再绘制函数图像，在本书的《解答题专题》的第四讲的例１属于这一问题，这要求对数学有比较深刻的认识与理解；（）绘制函数图象，再由函数图像观察函数性质，属于“看图说话”问题，在本例运用到这一技巧. 【调研】已知向量(2,0)OB =,(2,2)OC =，(2,)CA αα=，则向量OA 与OB 的夹角范围为 ( ) .[0,]4π. 5[,]412ππ . 5[,]122ππ .15[,]1212ππ 答案：Ｄ解读：∵(2,2)OC =，(2,0)OB = ∴(2,0)B =，(2,2)C = ∵(2,)CA αα= ∴点A 的轨迹是以(2,2)C 为圆心,2为半径的圆.过原点O 作此圆的切线,切点分别为,M N ，连CM 、CN ，如图所示，则向量OA 与OB 的夹角范围是,MOB OA OB NOB ∠≤<>≤∠∵||22OC = ∴1||||||2CM CN OC == 知6COM CON π∠=∠=，但4COB π∠=∴12MOB π∠=,512NOB π∠=故5,1212OA OB ππ≤<>≤，即本题的答案为. 【方法探究】数形结合大致有以下两条途径：（）以数解形 通过对数量关系的讨论，去研究曲线的几何性质，这种思想在解读几何中最常见； （）以形助数 一些具有几何背景的数学关系或数学结构，如能构造与之相应的图形分析，则能获得更直观的解法，这种解题思想在函数、不等式、向量以及数列中都有体现，特别是方程解的个数，解不等式，求最值等问题中的应用更常见.【调研】（）已知椭圆191622=+y x ，则其内接三角形面积的最大值为（ ） 3 .93 3（）是抛物线2y x =上一点，N 是圆22(3)1x y -+=上的动点，则MN 的最小值是（ ） .1211- .1210- . ＋5 .23- 答案：（）Ｂ （）Ａ分析：本例两个小题都是解读几何的最值问题：对于第（）小题，因椭圆内接三角形没有直接的面积计算公式，无法先列函数式求最值；但对于圆而言，这却是轻而易举的事.那将椭圆的内接三角形向圆转化是求解本例的关键；对于第（）小题，求解的关键是将两动点距离MN 转化为抛物线上动点Ｍ到定点（圆心Ｃ）的距离问题.解读：（）如图椭圆191622=+y x 的长、短轴之比为∶ 将椭圆按113cos 4A B ABα==投影到平面M ，得到半径为3R =的圆1O ，圆内接正△111F E C 的面积最大，此时最大面积为24S '==∴椭圆内接三角形最大面积为43cos 3S α===（）如图设M 是2y x =上一点，MN ＋NC ≥MC，所以MN 的最小值即为点Ｍ到圆心的距离减去半第（）问径Ｒ.设2(,)y y 是抛物线2y x =上一点，则22224222511(3)59()24MC y y y y y =-+=-+=-+∴y =±时，min 2MC =∴min 12MN =- 【技巧点拨】解读几何最值问题是解读几何板块的最基本题型之一，这类问题大致有四条求解途径： （）利用圆锥曲线的定义，特别是圆锥曲线的第二定义求解； （）构造函数表达式后，再求最值，如本例第（）小题建立二次函数求MN 的最值；（）转化为对称问题求解，这类问题比较常规；（）构造特殊结构求解，如本例第（）小题，将椭圆倾斜，保证其投影为圆，将“椭圆内接三角形问题”转化为“圆内接三角形问题”求解，颇有参考意义..（湖南理－）设f x g x ()()、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当x <0时，f xg x f x g x '()()()'()+>0且(3)0g -=，则不等式f x g x ()()<0的解集是（ ）.(3,0)(3,)-+∞ .(3,0)(03)-,.(,3)(3)-∞-+∞， .(,3)(03)-∞-，.不等式413a x +≤+的解集是[4,0]-,则a 的取值范围是（ ） .（5,-∞] .[+∞,35) .(5,-∞)),35[+∞⋃ .()0,∞.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=, 且(1,1]x ∈-时()||f x x =,则函数()y f x =的图象与函数lg ||y x =的图象的交点个数为 ( ) .18 C .无数个【参考答案】.答案：Ｄ解读：设F x f x g x ()()()=，则∵当x <0时，()()()()f x g x f x g x ''+[()()]()0f x g x F x ''==> ∴()F x 在(0)-∞，上是增函数∵f x g x ()()、分别是定义在上的奇函数和偶函数 ∴F x ()为奇函数又∵g ()-=30 ∴F f g ()()()-=--=3330又∵f x ()是奇函数 ∴f ()00=，F ()00= 故根据以上特点，不妨构造如图所示的符合题意的函数()F x 的图象，由图直接观察出所求解集是(,3)(03)-∞-，，所以本题的答案为Ｄ..答案：Ａ解读：设1y =2413y x a =+-，在同一坐标系内作1y 及2y 的图象，1y 的图象是半圆22(2)4x y ++=(0y ≥)，2y 的图象是斜率为34的直线系.依题意得，2y 的图象必须在如图的切线上方，而圆心（－，）到直线43x y -+(33)0a -=的距离83325ad -+-=≥必须成立，解得5a ≤-. . 答案： 解读: 由(2)()f x f x +=知()y f x =是以周期2T =的周期函数.又∵(1,1]x ∈-时()||f x x = ∴可作出函数()y f x =、lg ||y x =的图像如下图所示. ∴由图象可得函数()y f x =、函数lg ||y x =的交点的个数左右边有个，共计个.第四讲 特例检验法特例检验法（也称特例法或特殊值法）是用特殊值（特殊图形、特殊位置）代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而作出正确的选择.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.特例检验法是解答选择题的最佳策略之一，适于解答“对某一集合的所有元素，某种关系恒成立”这样类以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，从而达到肯定一支或否定三支（去谬）的目的，完成“小题小做”或“小题巧做”的解题策略. 【调研】定义在区间R 的奇函数()f x 为增函数，偶函数()g x 在区间[0,)+∞的图象与()f x 的图象重合，设0a b >>，给出下列不等式，其中成立的是（ ）①()()()()f b f a g a g b -->--； ②()()()()f b f a g a g b --<-- ③()()()()f a f b g b g a -->--； ④()()()()f a f b g b g a --<-- .①与④ .②与③ .①与③ .②与④答案：解法一：图像分析法任作奇函数()f x 的图像如图，偶函数()g x 在第象限与函数()f x 重合，所以偶函数()g x 也相应确定. ∴()()()()()()()()f b f a f b f a f a f b g a g b --=+>-=--()()()()()()()()f a f b f a f b f b f a g b g a --=+>-=--∴ 本题的答案为Ｃ.解法二：直接对照法 由函数奇偶性概念知()()()()()0f b f a g a g b f b -->--⇔>；()()()()()0f b f a g a g b f b --<--⇔< ()()()()()0f a f b g b g a f a -->--⇔>；()()()()()0f a f b g b g a f a <----⇔<∵()(,)y f x x =∈-∞+∞是奇函数 ∴(0)0f =∵()y f x =在(0,)+∞上是增函数0a b >> ∴()()0f a f b >>故本题的正确答案为Ｃ. 解法三：特例检验法（取特殊函数）令奇函数()f x x =，偶函数()||g x x =，同时令2a =，1b =，则给出的个不等式分别是①31>；②31<；③31>-；④31<-由②不成立，排除、，又④不成立，排除.【方法探究】本例是一道经典题，至今仍散发活力，综合考查函数奇偶性、单调性；试卷比较长，数学符号多，兼考查阅读、理解能力，对综合应用数学知识，解决数学问题的能力要求较高.在本例所给的三种解法中，显然第三种取特殊函数比较简洁，出错概率相对小些，求解速度相对快些. 【调研】设函数3()f x x =，若02πθ≤≤时，(cos )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．（，） Ｂ．（－∞，） Ｃ．（－∞，） Ｄ．（－∞，21） 答案：Ｃ解法一：直接对照法∵函数3()f x x =是奇函数，又是上的增函数又∵(cos )(1)0f m f m θ+-> ∴(cos )(1)f m f m θ>-，即有cos 1m m θ>- 令cos μθ=，由02πθ≤≤知01μ≤≤，则(cos )(1)0f m f m θ+->恒成立问题转化为函数()(1)f mu m μ=+-（01μ≤≤）恒成立问题∴(0)0(1)0f f >⎧⎨>⎩，即1m < 故本题的答案为Ｃ解法二：特例检验法令0m =时，有(0)(1)10f f +=>成立，从而排除、 又12m =时，（3111(cos )()(cos 1)0228f f θθ+=+>成立，从而排除. 【方法探究】本例综合考查函数单调性、奇偶性、恒成立问题的处理方法，具有一定的综合性，这种“小题综合化”是现代数学新高考的一个重要趋势.求解这类题目常常有两条求解策略：（）常规解法 在扎实的数学基本功和较好的耐心下，每步稳扎稳打，讲究思维严密，环环相扣，但常常有“小题大做”的嫌疑，费劲又费时；（）非常规解法 分析这类小题的特点，采用特值验证、数形结合、构造模型等技巧，快速求解，不追求思维严谨，讲究策略，力争“小题小做”，甚至“小题巧做”.一般地说，求解这类小题，首先思考第二条策略，看看是否可以巧解，不到万不迫已不采用第一条求解策略，正所谓“磨刀不误砍柴功”！！.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ） Ａ.１个 Ｂ个 Ｃ个 Ｄ个.已知,,a b c 为等比数列，b ，m ，a 和b ，n ，c 是两个等差数列，则a cm n+＝（ ） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ.过)0(2>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线与Q 、P 两点，若PF 与FQ 的长分别是q 、p ，则=+qp 11（ ） .a 2 .a 21 .a 4 .a4 .已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，1-≠λ，λλα++=121x x ，λλβ++=112x x ，若12|()()||()()|f x f x f f αβ-<-，则（ ）.0<λ .0=λ .10<<λ .1≥λ 【参考答案】 .答案：Ｄ 解读：构造特殊模型在正方体中，四棱锥M ABCD -的四个侧面中，直角三角形最多可有个，故本题的答案为Ｄ..答案：Ｃ 解读：构造特殊数列令等比数列,,a b c 为常数列，显然m n a b c ==== ∴2a cm n+= 取等比数列,,a b c 为，，，则3m =，6n = ∴2a cm n+= .答案：Ｃ解读：取特殊位置令⊥时，则1||||2PF FQ a== ∴11224a a a p q +=+=..答案：Ａ解读：取特殊数值令0=λ，1x =α，2x =β，则|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-不成立，从而排除； 令10<<λ或1≥λ时，βα,是以x 轴上以数1x ，2x 为端点的线段的内分点． 作图可知|)()(||)()(|21βαf f x f x f ->-，从而排除、.第五讲 逆向思维法逆向思维是指由果索因，追溯推理，经中间状态回到初始状态，从而最终解决中心问题的思维方法.凡选择题的题干提供信息较少或结论是一些具体的数字时，我们可以考虑用逆向Ａ ＢＣ Ｄ Ｍ思维进行推理，从选择肢入手，逐一验证是否与题干相容而作出选择. 【调研】（）若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 （ ） Ａ.三棱锥 Ｂ.四棱锥 Ｃ.五棱锥 Ｄ.六棱锥（）某地对空导弹击中目标的概率是％，至少以（ ）枚这样的导弹同时发射一次，才能使击中目标的概率超过％. Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 答案：（）Ｄ （）Ｂ分析：对于第（）小问，正向思考难以着手，可以借助反证法，逆向进行探讨；对于第（）小问，设同时发射n 枚导弹，由题意知有枚导弹击中、或枚导弹击中，……，都是符合要求的，分类情况比较多，采取“正难则反”策略，逆向思考.分析：（）假如是六棱锥，则这个六棱锥的底面外接圆半径、底面边长、侧棱长都相等，这是不可能的.故答案为Ｄ.（）∵n 枚导弹都未击中目标的概率为0.1n ∴至少有一枚导弹击中目标的概率为10.1n -∵击中目标的概率超过％ ∴10.199%n-≥，即有答案Ｂ.【技巧点拨】本例两小问分别利用反证法、补集思想进行逆向思考，做题的效率大大提高.在中学数学中，逆向思维主要有以下四种方式：（）利用反证法进行逆向思维； （）利用补集思想进行逆向思维； （）利用可逆原理进行逆向思维； （）利用选择题特征，进行逆向检验.【调研】过点(1,1)A -、(1,1)B -，且圆心在直线20x y +-=上的圆方程是（ ）Ａ.22(1)(1)4x y -++= Ｂ．22(3)(1)4x y ++-= Ｃ.22(1)(1)4x y -+-= Ｄ. 22(1)(1)4x y ++-= 答案：Ｃ解法一：直接对照法（设圆的标准方程）设圆的方程为()()x a y b r -+-=222，则222222(1)(1)(1)(1)20a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+-=⎨⎪+-=⎩解之得a b r ===12，，故本题的答案为Ｃ． 解法二：直接对照法（设圆的一般方程）设圆的方程为22x y Dx Ey F ++++＝，则20202022D E F D E F D E⎧⎪+-+=⎪-++=⎨⎪⎪---=⎩解之得2D E F ===-，故本题的答案为Ｃ.解法三：直接对照法 (利用圆的定义)∵圆心在直线20x y +-=上 ∴设圆心为(,2)a a -又∵A 、Ｂ在圆上 1a =∴该圆的圆心为(，)，排除Ａ、Ｂ、Ｃ． 解法四：直接对照法（分析圆心位置）所求圆的圆心应在线段ＡＢ的垂直平分线（即一、三象限的角平分线）上，又在直线20x y +-=上，显然交点（即圆心）在第一象限内，故本题的答案为Ｃ. 解法五：逆向思维法由选项Ｂ、Ｄ的圆心坐标不在直线20x y +-=上，故排除Ｂ、Ｄ；又由选项Ａ的圆不过点B ()-11，，从而排除Ａ． 【方法探究】本例所给的五种解法中，解法一与解法二分别利用圆的标准方程和一般方程求解，计算量大，这与一道解答题没有任何区别，属于“小题大做”； 解法三与解法四从圆心着手，充分抓住题目隐性特征，计算量小，属于“小题小做”； 解法五逆向入手，检验选项是否符合要求，充分把握选择题的特征，属于“小题巧做”..设集合{}22A x x x R =-≤∈，{}2|12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B 等于（ ）.R .{},0x x R x ∈≠ .{}0 .∅.某校按淘汰赛制举办了第届校篮球运动会，全校共有个教案班，则本届篮球运动会需安排（ ）场比赛.Ａ Ｂ.248C Ｃ.248A Ｄ.命题p ：不等式关于x 的表达式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集相同命题q ：212121c c b b a a ==，则命题q 是命题p 的（ ）.充分非必要条件 .必要非充分条件 .充要条件 .既非充分又非必要条件 【参考答案】.答案：Ｂ解法一：回归定义{}{}2202A x x x R x =-≤∈=≤≤{}{}2|1240B y y xx y ==--≤≤=-≤≤ ∴ (){0}R R C A B C =.解法二：特值检验0x =时 0A ∈ 0B ∈ 即0()A B ∈，则()0R C A B ∉ 排除、10x =时 10A ∉ 10B ∉ 即10()A B ∉，则 ()10R C A B ∈ 排除.点拨：求解集合问题有两条途径：①直接求解；②特值排除；其中以选择题形态出现的集合问题常常用特值检验，效率更高. .答案：Ｄ 解法一：常规解法第一轮要举行场，留下个班；第二轮要举行场，留下个班；第三轮要举行场，留下个班；第四轮要举行场，留下个班；第五轮要举行场，留下个班，一个班轮空；最后进行冠亚军决赛，共进行＋＋＋＋＋＝.解法二：逆向思考 每场比赛淘汰一个班级，需淘汰个班才能产生冠军，所以共进行场比赛..答案：Ｄ解读：设不等式210x x ++>和210x x -+>，表明必要条件不成立，又设不等式210x x ++>和210x x --->，则充分条件也不成立，所以本题的答案为Ｄ.第六讲 综合运用法解任何一道选择题目，解法都不是单一的.由选择题的特性决定了其解法的多样性，所以求解选择题，选对就行，常常“不择手段”，无论用什么“策略”，“手段”都是无关紧要.在求解选择题过程中，常常同时采用几种方法进行分析、推理，联合作战，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确．．和快速．．. 【调研】已知)0,0(A ，),(b a B 两点，其中0≠ab ，1P 是AB 的中点，2P 是1BP 的中点，3P 是21P P 的中点，…，2n P +是1+n n P P 的中点，则点n P 的极限位置是（ ）.)2,2(ba .)53,53(b a .)32,32(b a .)43,43(b a 答案：Ｃ解法一：直接求解设),(n n n b a P ，则由2+n P 是1+n n P P 的中点得212n n n a a a +=++，212nn n b b b +=++ 由特征方程0122=--x x 得211-=x ，12=x ∴t p a n n +-=)21(，a t p =+-0)21(，2)21(1a t p =+- ∴3a p =，32at =∴]2)21[(3+-=n n a a 故32lim a a n n =∞→，同理32lim bb n n =∞→解法二：寻找规律数列{}n a 的前几项依次是： 0，a ，2221a a a a a =-==，412a a a +=，823aa a -=，…， 于是a a a n n n )21(1-+=-，即a a a nn n )21(1-=--∴])21(84[2)()()(123121a a a a a a a a a a a a nn n n -++-+=-++-+-+=-∴3221142lim aa a a n n =++=∞→ 解法三：数形结合作为选择题，可以先画一条如图的线段，再进行观察：∵)0,0(A ，),(b a B ，1P 是AB 的中点 ∴1P 的坐标为1(,)22a b P ，可排除选项.ＡＢ1P2P3P 4P又∵2P 是1BP 的中点 ∴1P 的坐标为233(,)44a bP ，可排除选项.∵2n P +是1+n n P P 的中点 ∴3P 是12P P 的中点，即355(,)88P a b ；4P 是23P P 的中点，即41111(,)1616P a b ∵2n P +是1+n n P P 的中点 ∴极限点n P 应在3P 与4P 之间，从而排除Ｄ. 【方法探究】本例所给的三种解法中：解法一是作为解答题求解，推理严密，环环相扣，但比较费时； 解法二相对简洁，罗列各点，寻找规律，逻辑性差些，但速度快； 解法三紧扣选择题特点，运用排除法，准确、快速求解. 本例作为选择题，更推荐第三种解法，又快有准！！ 【调研】设0x π<<，则函数xxy sin cos 2-=的最小值是( )C .3 3答案：Ｃ分析：本例属于分式型三角函数最值问题，有多条求解途径：或转化为正弦型函数sin()y A wx B φ=++最值问题求解，或平方后再利用判别式求解，或利用万能代换转化为一般函数的最值问题求解，当然也可以采用数形结合.具体求解过程如下： 解法一：直接对照法（利用三角函数的有界性求最值） ∵xx y sin cos 2-=∴sin cos 2y x x +=，即2)sin(12=ϕ++x y又∵1)sin(≤ϕ+x ∴212≥+y ，即32≥y∵0x π<<∴y ≥min y =解法二：直接对照法（平方后，再利用判别式求解） ∵xx y sin cos 2-=∴22(sin )(2cos )y x x =-将上式整理得222(1)cos 4cos (4)0y x x y +-+-=△＝22164(1)(4)y y -+-＝224(3)y y -0≥∵0x π<<∴y ≥，即min y =解法三：直接对照法（利用万能代换转化为常规函数求最值问题）设tan 2x t =，则22212121t t t y t --+=+13t 2t 2=+≥= 故3 （当且仅当13t 2t 2=，即t =332tan =x ，即3π时，取等号） 解法四：数形结合法如图的单位圆中，MOP x ∠=（其中),0(π∈x ），P (cos ,sin )M x x ，)0,[cos 2sin 0PA PMk xxk ∈--= ∵1OA =，2OP =，且OA AP ⊥ 故3AOP π∠=，56APt π∠=∴33tan -=∠=APt k PA ，即 3PM k ≥-∵xxy sin cos 2-=PM k 1-= ∴min min 1()PM y k =-=【技巧点拨】求解三角函数的最值问题是历届高考的热点题型之一，此类问题大致有以下五条求解途径： （）利用三角函数的值域或有界性求最值；（）利用配方法转化为二次函数的最值问题；（）利用换元法转化为某种常规的函数最值问题（）合理匹配，利用均值不等式求解；（）合理构造模型，利用数形结合求解.【调研】已知函数f x ax bx cx d ()=+++32的图像如下图所示，则（ ）.b ∈-∞()，0 .b ∈()01，.b ∈()12， .b ∈+∞()2，答案：Ａ分析：由图像过特殊点等特征有：（）由过坐标原点有(0)0f =，即d =0；由过点（，）有f ()10=，即a b c ++=0；由过点（，）有f ()20=，即8420a b c ++=；（）函数()y f x =与x 轴的交点的横坐标为，，，所以可设函数为()(1)(2)f x ax x x =--；（）当(0)(12)x ∈-∞，，时，f x ()<0 ∴f ()-<10得-+-<a b c 0；当(01)(2)x ∈+∞，，时，f x ()>0 ∴f ()30>得a >0.巧妙合理地运用以上信息，有以下三种简洁解法：解法一：直接对照法∵a b c ++=0 -+-<a b c 0 ∴0b < 故本例的答案为Ａ. 解法二：直接对照法由上分析知a b c ++=0，8420a b c ++= ∴b a =-3∵a >0 ∴0b < 故本例的答案为Ａ.解法三：特例验证法取特殊函数f x x x x ()()()=--12得b =-<30 故本例的答案为Ａ.【技巧点拨】求解与函数图像相关联问题，注意分析图形特征，抓图形过特殊点、特殊位置或特殊范围等，往往能优化解题过程，提高解题速度与准确程度..若sin cos θθ+=1，则对任意实数n n n ，sin cos θθ+的取值为（ ）. . 区间（，） . 121n - . 不能确定.不等式|1||2|x x a -++≤的解集非空, 则实数a 的取值范围是（ ）.3a ≥ .3a > .4a ≤ .4a ≥.函数2log (1)1x y x x =>-的反函数是（ ） .2(0)21x x y x =>- .2(0)21x x y x =<- .21(0)2x x y x -=> .21(0)2x x y x -=< .在AOB ∠的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共1m n ++个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( ).121211m n n m C C C C ++⋅+⋅ .1212m n n m C C C C ⋅+⋅.121211m n n m m n C C C C C C ⋅+⋅+⋅ .122112m n m n C C C C ++⋅+⋅ .已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为，若过点且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）.(1,2] .(1,2) .[2,)+∞ .(2,)+∞【参考答案】.答案：解法一 设点(sin cos )P θθ，，注意隐含条件sin cos 221θθ+=∴此点满足22sin cos 1sin cos 1θθθθ+=⎧⎨+=⎩ ∴sin cos sin cos θθθθ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩0110或∴sin cos 1n n θθ+= 解法二 用赋值法，令sin cos θθ==01， 同样有sin cos n n θθ+=1.答案：Ａ解法一：数形结合 运用零点分段法作出函数图像求解，比较麻烦.解法二：特值检验 令3a =时，0x =满足条件，答案中应包含3a =，排除、，再令5a =时，0x =也满足条件，故排除.解法三：运用结论 |1||2||12|3x x x x -++≥-++= ∴本题的答案为Ａ..答案 解法一 回归定义∵ 1x > ∴11111x x x =+>-- 即2log 01x y x =>-∵ 2log 1x y x =-∴221y y x =-对换x y 、得221x x y =-∴ 函数2log (1)1x y x x =>-的反函数为2(0)21x x y x =>-. 解法二 特值排除∵ 函数2log (1)1x y x x =>-过点(2,1)P ∴函数2log (1)1x y x x =>-反函数过点P (1,2)'，排除、、..答案：Ｃ解法一 直接求解“任取其中三个点为顶点作三角形”可分三类：（）从OA 边上(不包括顶点O )中任取一点与从OB 边上(不包括顶点O )中任取两点，可构造一个三角形，有12m n C C ⋅个；（）从OA 边上(不包括顶点O )中任取两点与OB 边上(不包括顶点O )中任取一点，可构造一个三角形，有21m n C C ⋅个；（）从OA 边上(不包括顶点O )任取一点与OB 边上(不包括顶点O )中任取一点，与顶点O 点可构造一个三角形，有11m n C C ⋅个.解法二 间接求解从1m n ++中任取三点共有31m n C ++个，其中三点均在射线OA (包括顶点O 点)，有31m C +个，三点均在射线OB (包括顶点O 点)，有31n C +个.∴可作的三角形有333111m n m n N C C C ++++=--个.可以检验与答案是一致的，但过程比较繁琐，所以本题不宜用此法求解.解法三 逐项排除在选择支A 中有不合要求的三点，如121m n C C +⋅中包括有O 、i B 、j B （i B 、j B 表示直线OB 边上不同于O 点）三点不能构成三角形，应排除；在选择支B 中漏掉△j OB i A ，应排除；在选择支D 中有重复的三角形.如121m n C C +⋅中有△j OB i A ，而212m n C C +⋅中也有△j OB i A ，重复计算，应排除..答案 解法一：特值排除过焦点且倾斜角为060的直线l为y =-令2e =时，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线是y =，此时与直线l 平行 ∴ 直线l 与双曲线的右支交于一个点，从而排除、；令4e =时，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>即为22221616115x x c c-=∴22221616115)x x c c y x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩∴ 2219296630x c x c +⋅-= ∴两根之积212630192c x x ⋅=-< ∴直线l 与双曲线的右支交于一个点.从而排除. 解法二：数形结合∵要满足“直线l 与双曲线的右支交于一个点”有两种可能 （）渐近线b y x a=； （）过焦点的直线l 平行或从该位置绕原点按逆时针旋转时∴b a ≥不难算出 2e ≥。
