2019版中考数学专题复习第二章函数第6课时二次函数的图像和性质练习

2019年全国中考数学真题分类二次函数概念、性质和图象一、选择题9．（2019·温州）已知二次函数y=x2-4x+2，关于该函数在-1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值-1，有最小值-2 B．有最大值0，有最小值-1C．有最大值7，有最小值-1 D．有最大值7，有最小值-2【答案】D【解析】∵二次函数y=x2-4x+2=(x-2)2-2，∴该函数在-1≤x≤3的取值范围内，当x=2时，y有最小值-2；当x=-1时，y有最大值7．故选D.7．（2019·绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(y经过变换后得到抛物线=xx+5(-+=xy，则这个变换可以是 ( )x(-)5)(3A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位【答案】B【解析】y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），故选B．10．（2019·嘉兴）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）,①∵顶点坐标为（m，﹣m+1）且当x＝m时，y＝﹣m+1,∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上,故结论①正确；②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1，解得：x＝m﹣，x＝m+，∵顶点坐标为（m，﹣m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣）|,解得：m＝0或1,∴存在m＝0或1，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结论②正确；③∵x1+x2＞2m,∴,∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为直线x＝m,∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离,∵x1＜x2，且﹣1＜0,∴y1＞y2,故结论③错误；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且﹣1＜0,∴m的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选C．10．（2019·杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M 个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M=N-1或M=N+1 B．M=n-1或M=N+2 C．M=N或M=N+1 D．M=N或M=N-1【答案】A【解析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．∵y=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+1，∴（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，∴函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M=2，∵函数y=（ax+1）（bx+1）=abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N=2，此时M=N；当ab=0时，不妨令a=0，∵a≠b，∴b≠0，函数y=（ax+1）（bx+1）=bx+1为一次函数，与x 轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1；综上可知，M=N 或M=N+1．故选C ．11．（2019·烟台）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：04x <<时，0y >；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；⑤若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，则12x x <． 其中正确的个数是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解题过程】先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确，由图象（或表格）可以看出抛物线与x 轴的两个交点分别为（0,0），（4,0），所以抛物线的对称轴为直线2x =且抛物线与x 轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确，有抛物线的图象可以看出当04x <<时，0y <，所以结论③错误，由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对于的点均有两个，若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，既有可能12x x <，也有可能12x x >，所以结论⑤错误．7．（2019·绍兴 ）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(-+=x x y 经过变换后得到抛物线)5)(3(-+=x x y ，则这个变换可以是 ( )A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位 【答案】B【解析】y ＝（x +5）（x ﹣3）＝（x +1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y ＝（x +3）（x ﹣5）＝（x ﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y ＝（x +5）（x ﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝（x +3）（x ﹣5），故选B ．10．（2019·益阳）已知二次函数c bx ax y ++=2如图所示，下列结论:①ae ＜0，②b-2a ＜0，③ac b 42-＜0，④a-b+c ＜0，正确的是（ ）A. ①②B.①④C.②③D.②④第10题图【答案】A【解析】∵抛物线开口向下，且与y 的正半轴相交，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，故①正确； ∵对称轴在-1至-2之间，∴122---＜＜ab，∴4a ＜b ＜2a ，∴b-2a ＜0，故②正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△=ac b 42-＞0，∴③错误； ∵当x=-1时，y=a-b+c ＞0，∴④错误. ∴正确的说法是①②.故选A.11．（2019·娄底） 二次函数2y ax bx c =++的图象如图（5）所示，下列结论中正确的有（ ）① abc<0 ② 240b ac -<③ 2a b > ④ ()22a c b +<A ． 1个B ． 2个C ．3个D ． 4个【答案】A【解析】解：①由抛物线的开口方向向下知a<0，对称轴在y 轴的左侧得a 、b 同号，抛物线与y 轴交于正半轴得c>0,所以abc>0；故结论①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点得240b ac ->，故结论②错误； ③由图象知对称轴12b x a =->-得12ba<；由a<0，结合不等式的性质三可得 b>2a,即2a<b ；故结论③错误； ④由图象知：当x ＝1时，y<0即a+b+c<0；当x ＝－1时，y>0即a －b+c>0； ∴()()0a b c a b c ++-+<，即()220a c b +-<；∴()22a c b +<．故结论④正确．故答案A 正确．1. （2019·济宁）将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A ．y ＝(x －4)2－6B ．y ＝(x －1)2－3C ．y ＝(x －2)2－2D ．y ＝(x －4)2－2 【答案】D【解析】y ＝x 2－6x ＋5＝ (x －3) 2－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后， 得y ＝ (x －3－1) 2－4＋2，即y ＝(x －4)2－2．2. (2019·巴中)二次函数y ＝ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,下列结论①b2>4ac,②abc<0,③2a+b －c>0,3. ④a+b+c<0,其中正确的是( ) A.①④B.②④C.②③D.①②③④第10题图 【答案】A【解析】①:因为图象与x 轴有两个不同的交点,所以b 2－4ac>0,即b 2>4ac,故①正确;②:图象开口向下,故a<0,图象与y 轴交于正半轴,故c>0,因为对称轴为x ＝－1,所以12ba-=-,所以2a ＝b,故b<0,所以abc>0,②错误;③:a<0,b<0,c>0,所以2a+b －c<0,③错误;④当x ＝1时,y ＝a+b+c,由图可得,x ＝－3时,y<0,由对称性可知,当x ＝1时,y<0,即a+b+c<0,故④正确.综上所述,①④正确,故选A.3. （2019·达州）如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG 如图放置， AB 与EF 在一条直线上，点A 与点F 重合.现将△EFG 沿AB 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F 与点B 重合时停止，在这个运动过程中正方形ABCD 和△EFG 重叠部分的面积S 与运动时t 的函数图像大致是( )【答案】C【思路分析】可分两种情况，第一种情况重合部分为三角形，第二种情况重合部分为四边形，分别求出对应的函数关系式即可.【解题过程】运动过程中，当顶点G 在正方形外部时，重合部分为三角形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为232t y =，函数图像为开口向上的二次函数，当顶点G 在正方形内部时，重合部分为四边形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为343423-2-+=t t y ，函数图像为开口向下的二次函数，故选C.4. （2019·凉山）二次函数y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，有以下结论：①3a –b=0；②b2-4ac ＞0；③5a-2b+c ＞0； ④4b+3c ＞0,其中错误结论的个数是（ ▲ ） A. 1B. 2C. 3D. 4第12题图【答案】A【解析】根据对称轴232-=-a b 得b =3a ，故可得3a –b =0，所以结论①正确；由于抛物线与x 轴xxx有两个不同的交点，所以b 2-4ac ＞0，结论②正确；根据结论①可知b =3a ，∴5a -2b +c =5a -6a +c =-a +c ，观察图像可知a ＜0,c ＞0，∴5a -2b +c =-a +c ＞0，结论③正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的右交点在原点与（1，0）之间（不含这两点），所以当x =1时，y =a +b +c ＜0，∵a =b 31，∴b 34+c ＜0，∴4b +3c ＜0，所以结论④错误.故选 A.5. （2019·攀枝花）在同一坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与一次函数y ＝bx －a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】据参数符号可排除A 、D 选项，联立两函数解析式所得方程无解，则两函数图象无交点，故选C ．【知识点】二次函数的图象；一次函数的图象6.（2019·天津）二次函数y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：（1）abc>0；(2)-2和3是关于x 的方程ax 2+bx+c=t 的两个根；（3）0<m+n<203，其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】(1)因为当12x =-时，与其对应的函数值y>0，由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可以判断对称轴左侧y 随x 的增大而减小，图像开口向上，a>0;由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可得对称轴为直线21=x ，所以b<0;x=0时，y=-2,所以c=-2<0,故abc>0（1）正确；（2）由于对称轴是直线21=x ，-2和3是关于对称轴对称的，所以（2）正确；（3）由对称轴是直线21=x 可得a+b=0,因为x=0时，y=-2，可知c=-2，当21-=x 时，与其对应的函数值y>0可得38>a ，当x=-1时，m=a-b-2=2a-2>310,因为-1和2关于对称轴对称，可得m=n ，所以m+n>320，故（3）错误，故选C.【知识点】二次函数图像的性质.7. （2019·衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（A ） A. （1.3） B.（1，-3） C.（-1.3） D.（-1.-3）【答案】A【解析】本题考查二次函数顶点坐标的确定，二次函数y=a （x-h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），所以y=（x-1）2+3的顶点坐标是（1.3），故选A.8. （2019·重庆B 卷）物线y ＝的对称轴是（ ）A.直线B.直线C.直线D.直线 【答案】Ｃ【解析】设二次函数的解析式是y=， 则二次函数的对称轴为直线y ＝的对称轴是直线 .故选Ｃ．263-2++x x 2=x 2-=x 1=x 1-=x c bx ax ++2263-2++x x 1=x9.（2019·自贡）一次函数y=ax+b与反比例函数y=c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的x大致图象是（）【答案】A.【解析】∵双曲线y=c经过一、三象限，x∴c＞0.∴抛物线与y轴交于正半轴.∵直线y=ax+b经过第一、二和四象限，∴a＜0，b＞0，即−b＜0.2a∴抛物线y=ax2+bx+c开口向下，对称轴在y轴的右侧.故选A.9.（2019·遂宁）二次函数y=x2-ax+b的图像如图所示，对称轴为直线x=2，下列结论不正确的是( )A. a=4B.当b= -4时，顶点的坐标为（2，-8）C.当x= -1 时，b> -5D.当x>3时，y随x的增大而增大【答案】C【解析】选项A,由对称轴为直线x=2可得22a--=，∴a=4，正确；选项B,∵a=4,b= -4 ∴代入解析式可得，y=x 2-4x-4，当x=2时，y=-8,∴顶点的坐标为（2，-8），正确；选项C ，由图像可知，x=-1时，y=0，代入解析式得B=-5，∴错误；选项D 由图像可以看出当x>3时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，正确，故选C.二、填空题14. （2019·遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 落在坐标原点，点A,点C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，G 为线段OA 上一点，将△OCG 沿CG 翻折，O 点恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数xy 12=经过点B ，二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像经过C （0,3），G 、A 三点，则该二次函数的解析式为（填一般式）【答案】3411212+-=x x y 【解析】∵矩形OABC ，C （0,3）∴B 点的纵坐标为3，∵反比例函数x y 12=经过点B ，∴B(4,3），A （4,0），∴OA=4，∵C （0,3），∴OC=3，∴Rt △ACO 中，AC=5.设G （m,0)则OG=m ∵翻折∴GP=OG=m,CP=CO=3,∴AP=2，AG=4-m,∴Rt △AGP 中，m 2+22=(4-m)2,∴m=23,∴G(23,0），∵A （4,0）C （0,3）G(23,0）∴解析式为3411212+-=x x y15．(2019·广元)如图,抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)过点(－1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M ＝4a+2b+c,则M 的取值范围是________.第15题图 【答案】－6<M<6【解析】∵y ＝ax 2+bx+c 过点(－1,0),(0,2),∴c ＝2,a －b ＝－2,∴b ＝a+2,∵顶点在第一象限,∴2ba>0,∴a<0,b>0,a+2>0,a>－2,∴－2<a<0,M ＝4a+2b+c ＝4a+2(a+2)+2＝6a+6,∴－6<M<6.18．（2019·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知点A 坐标为（1，1），过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4…，依次进行下去，则点A 2019的坐标为 ．【答案】（－1010，10102）【解析】A （1，1），A 1（－1，1），A 2（2，4），A 3（－2，4），A 4（3，9），A 5（－3，9），…，A 2019（－1000，1000 2）．11．（2019·株洲）若二次函数2y ax bx =+的图像开口向下，则a 0（填“＝”或“＞”或“＜”）． 【答案】＜【解析】二次函数开口向下，则a<0。

2019中考数学专题复习二次函数与线段最值问题含解析二次函数与线段最值问题一．填空题1．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．二．解答题2．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．（1）若此函数为一次函数；①m，k，n的取值范围；②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．3．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标；（2）当a≤x≤b时，函数y的最小值为，最大值为4，求a，b应满足的条件；（3）在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得三角形PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．4．已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．（1）求t；（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；（3）若1≤a≤2，设当x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．5．已知y关于x的函数y＝nx2﹣2（m+1）x+m+3（1）若m＝n＝﹣1时，当﹣1≤x≤3时，求函数的最大值和最小值；（2）若n＝1，当m取何值时，抛物线顶点最高？（3）若n＝2m＞0，对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，求k的最大整数；（4）若m＝2n≠0，求抛物线与x轴两个交点之间的最短距离．6．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x，y轴交于A，B，C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标．（2）连接AD，CD，CA，求△ACD外接圆圆心E的坐标和半径；（3）当x≤n时，函数y所取得的最大值为4，最小值为1，求n的取值范围．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线．点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）若，求PC的长；（3）过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，若点P在Q左侧，矩形PMNQ的周长记为d，求d的最大值．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1.5，点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）M位于线段AB的什么位置时，PC最长，并求出此时P点的坐标；（3）若在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点Q，使，求点Q的坐标．9．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F 作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A，B重合），过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点P，过点P作PC∥AB交抛物线于点C，过点C作CD⊥x轴于点D．若点P在点C的左边，当矩形PCDM的周长最大时，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，当矩形PCDM的周长最大时，连接AC，我们把一条抛物线与直线AC的交点称为该抛物线的“恒定点”，将（1）中的抛物线平移，使其平移后的顶点为（n，2n），若平移后的抛物线总有“恒定点”，请直接写出n的取值范围．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2x+2与x轴交于B、C两点（点B 在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．（1）填空：点A的坐标为（ ， ），点B的坐标为（ ， ），点C的坐标为（ ， ），点D的坐标为（ ， ）；（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE＝PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．12．如图，抛物线与直线相交于A，B两点，若点A在x轴上，点B的坐标是（2，4），抛物线与x轴另一交点为D，并且△ABD的面积为6，直线AB与y轴的交点的坐标为（0，2）．点P是线段AB（不与A，B重合）上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线与点Q．（1）分别求出抛物线与直线的解析式；（2）求线段PQ长度的最大值；（3）当PQ取得最大值时，在抛物线上是否存在M、N两点（点M的横坐标小于N的横坐标），使得P、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出MN的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y x2x﹣4与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A，B，C的坐标．（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD于点M，求线段MQ长度的最大值．（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（4）当点P在线段EB上运动时，直线l与菱形BDEC的某一边交于点S，是否存在m 值，使得点C、Q、S、D为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出m值，不存在，说明理由．14．如图，已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象交x轴于A、B两点（A在B左边），交y 轴于C点．（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A，C重合），过点P作x轴平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值．15．（1）如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），直线y＝x+1过点A，与抛物线交于点C，点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A，C重合），过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值．（2）在（1）条件下，过点P作y轴垂线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值．16．如图1，抛物线y＝﹣x2﹣4x+5与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及顶点D的坐标；（2）连接CD，点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与点A、C重合），过P作PE∥x轴交直线AC于点E，作PF∥CD交直线AC于点F，当线段PE+PF取最大值时，在抛物线对称轴上找一点L，在y轴上找一点K，连接OL，LK，PK，求线段OL+LK+PK的最小值，并求出此时点L的坐标．（3）如图2，点M（﹣2，﹣1）为抛物线对称轴上一点，点N（2，7）为直线AC上一点，点G为直线AC与抛物线对称轴的交点，连接MN，AM．点H是线段MN上的一个动点，连接GH，将△MGH沿GH翻折得到△M′GH（点M的对称点为M′），问是否存在点H，使得△M′GH与△NGH重合部分的图形为直角三角形，若存在，请求出NH的长，若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）当D在线段AC上运动时，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y x交x轴于点A，交y轴于点B，经过点A的抛物线y x2+bx+c交直线AB另一点D，且点D到y轴的距离为8．（1）求抛物线解析式；（2）点P是直线AD上方的抛物线上一动点，（不与点A、D重合），过点P作PE⊥AD于E，过点P作PF∥y轴交AD于F，设△PEF的周长为L，点P的横坐标为m，求L与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；（3）在图（2）的条件下，当L最大时，连接PD．将△PED沿射线PE方向平移，点P、E、F的对应点分别为Q、M、N，当△QMN的顶点M在抛物线上时，求M点的横坐标，并判断此时点N是否在直线PF上．（参考公式：二次函数y＝ax2+bx+c（c≠0）．当x时，y最大（小）值）19．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（3，0），B（1，0），且与y轴交于点C（0，﹣3），点P是抛物线AC间上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P 与A、C不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP是直角三角形时，直接写出点P的坐标；（3）求线段PD的最大值，并求最大值时P点的坐标；（4）在问题（3）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c与x轴只有一个交点，且系数a、b满足条件：．（1）求y＝ax2+bx+c解析式；（2）将y＝ax2+bx+c向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到函数y＝mx2+nx+k，该函数交y轴于点C，交x轴于A、B（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P 作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．22．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，0），B（0，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为D，E，求四边形ODPE的周长的最大值；（3）如图2，点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，交AB于M，连接PB，PA．设点P的横坐标为t，当△ABP的面积等于△ABC面积的时，求t的值．23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；（3）若点P是抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为 时，四边形PQAC是平行四边形；（直接写出结果，不写求解过程）．24．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线1与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，设P点的横坐标为m．①求线段PE长度的最大值；②点P将线段AC分割成长、短两条线段PA、PC，如果较长线段与AC之比等于，则称P为线段AC的“黄金分割点”，请直接写出使得P为线段AC黄金分割点的m的值．25．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．26．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE 长度的最大值．27．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，（不与A、C重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值，并直接写出△ACE面积的最大值；（3）点G为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．28．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，当点P运动到什么位置时，△ACE的面积最大？求出此时P点的坐标和S△ACE的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．29．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点．求线段PE 长度的最大值；（3）若点G是抛物线上的动点，点F是x轴上的动点，判断有几个位置能使以点A、C、F、G为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点F的坐标．30．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交A、B两点（A点在B点右侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为﹣2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）若点P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求当点P坐标为多少时，线段PE长度有最大值，最大值是多少？（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．二次函数与线段最值问题参考答案与试题解析一．填空题1．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为　6　．【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．【分析】设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣1）2+6．根据二次函数的性质来求最值即可．【解答】解：∵y＝﹣x2+x+2，∴当y＝0时，﹣x2+x+2＝0即﹣（x﹣2）（x+1）＝0，解得x＝2或x＝﹣1故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），∴C＝2（x+y）＝2（x﹣x2+x+2）＝﹣2（x﹣1）2+6．∴当x＝1时，C最大值＝6，．即四边形OAPB周长的最大值为6．故答案是：6．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．二．解答题2．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．（1）若此函数为一次函数；①m，k，n的取值范围；②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．【考点】F5：一次函数的性质；H7：二次函数的最值．【分析】（1）①根据二次项系数为0，一次项系数不为0，常数项为任意实数解答即可；②根据k＞0，k＜0时x、y的对应关系确定直线经过的点的坐标，求出解析式；③根据一次函数的性质即增减性解答即可；（2）把m＝﹣1，n＝2代入关系式，得到二次函数解析式，确定对称轴，顶点坐标，分情况讨论求出k的值．【解答】解：（1）①m＝﹣2，k≠0，n为任意实数；②当k＞0时，直线经过（﹣2，0）（1，3），函数关系式为：y＝x+2当k＜0时，直线经过（﹣2，3）（1，0），函数关系式为：y＝﹣x+1③当k＞0时，x＝﹣2，y有最小值为﹣2k+nx＝3时，y有最大值为3k+n当k＜0时，x＝﹣2，y有最大值为﹣2k+nx＝3时，y有最小值为3k+n（2）若m＝﹣1，n＝2时，二次函数为y＝x2+kx+2对称轴为x，当2，即k≥4时，把x＝﹣2，y＝﹣4代入关系式得：k＝5当﹣22，即﹣4＜k＜4时，把x，y＝﹣4代入关系式得：k＝±2（不合题意）当2，即k≤﹣4时，把x＝2，y＝﹣4代入关系式得：k＝﹣5．所以实数k的值为±5．【点评】本题考查了一次函数的概念、一次函数的性质、一次函数最值的应用以及二次函数的性质，综合性较强，需要学生灵活运用性质，把握一次函数的增减性和二次函数的增减性，解答题目．3．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标；（2）当a≤x≤b时，函数y的最小值为，最大值为4，求a，b应满足的条件；（3）在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得三角形PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）先把A（3，0）代入y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3，得到关于m的方程，解方程求出m的值，再利用配方法将二次函数写成顶点式，即可求出顶点D的坐标；（2）先把y＝1代入y＝﹣x2+2x+3，得到方程1x2+2x+3，解方程求出x1，x2，再利用二次函数的性质结合图象即可得出a，b应满足的条件；（3）先求出二次函数与y轴交点C的坐标，当三角形PDC是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①当DC＝DP时，易求点P坐标为（2，3）；②当PC＝PD时，过点D 作x轴的平行线，交y轴于点H，过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥DH于点N．由HD＝HC，PC＝PD，根据线段垂直平分线的判定与等腰三角形的性质得出HP平分∠MHN，再由线段垂直平分线的性质得出PM＝PN．设P（m，﹣m2+2m+3），则m＝4﹣（﹣m2+2m+3），解方程求出m的值，得出点P的坐标为或；③当CD＝CP时，不符合题意．【解答】解：（1）把A（3，0）代入y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3，得﹣9+6（m﹣2）+3＝0，解得m＝3．则二次函数为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）把y＝1代入y＝﹣x2+2x+3，得1x2+2x+3，解得x1，x2，结合图象知a≤1．当a时，1≤b，当a≤1时，b；（3）x＝0时，y＝3，所以点C坐标为（0，3）．当三角形PDC是等腰三角形时，分三种情况：①如图1，当DC＝DP时，∵点P与点C关于抛物线的对称轴x＝1对称，∴点P坐标为（2，3）；②如图2，当PC＝PD时，过点D作x轴的平行线，交y轴于点H，过点P作PM⊥y 轴于点M，PN⊥DH于点N．∵HD＝HC＝1，PC＝PD，∴HP是线段CD的垂直平分线．∵HD＝HC，HP⊥CD，∴HP平分∠MHN，∵PM⊥y轴于点M，PN⊥DH于点N，∴PM＝PN．设P（m，﹣m2+2m+3），则m＝4﹣（﹣m2+2m+3），解得m，∴P的坐标为或；③如图3，当CD＝CP时，点P在y轴左侧，不符合题意．综上所述，所求点P的坐标为（2，3）或或．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线顶点坐标的求法，二次函数的性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．4．已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．（1）求t；（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；（3）若1≤a≤2，设当x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．【考点】H7：二次函数的最值；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】（1）把A（t，1）代入y＝x即可得到结论；（2）根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，得到y＝ax2﹣（a+3）x+4的对称轴为直线x，根据1≤a≤2，得到对称轴的取值范围x≤2，当x时，得到m，当x＝2时，得到n，即可得到结论．【解答】解：（1）把A（t，1）代入y＝x得t＝1；（2）∵y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，∴，∴或；（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，∴y＝ax2﹣（a+3）x+4＝a（x）2，∴对称轴为直线x，∵1≤a≤2，∴x2，∵x≤2，∴当x时，y＝ax2+bx+4的最大值为m，当x＝2时，n，∴m﹣n，∵1≤a≤2，∴当a＝2时，m﹣n的值最小，即m﹣n的最小值．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，正确的理解题意是解题的关键．5．已知y关于x的函数y＝nx2﹣2（m+1）x+m+3（1）若m＝n＝﹣1时，当﹣1≤x≤3时，求函数的最大值和最小值；（2）若n＝1，当m取何值时，抛物线顶点最高？（3）若n＝2m＞0，对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，求k的最大整数；（4）若m＝2n≠0，求抛物线与x轴两个交点之间的最短距离．【考点】H3：二次函数的性质；H7：二次函数的最值；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）抛物线的解析式为y＝2mx2﹣2（m+1）x+m+3，对称轴x，因为对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，所以k，由此即可解决问题；（4）构建二次函数，利用二次函数的性质，解决最值问题；【解答】解：（1）当m＝n＝﹣1时，函数解析式为y＝﹣x2+2，顶点坐标为（0，2），函数最大值为2，∵﹣1≤x≤3，x＝﹣1时，y＝1，x＝3时，y＝﹣7．∴函数的最大值为2和最小值为﹣7．（2）n＝1时，函数解析式为y＝x2﹣2（m+1）x+m+3，∵顶点的纵坐标m2﹣m+2，∵﹣1＜0，∴m时，抛物线顶点的纵坐标最大，顶点最高．（3）∵n＝2m，∴抛物线的解析式为y＝2mx2﹣2（m+1）x+m+3，对称轴x，∵对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，∴k，∴k的最大整数为0．（4）∵m＝2n，∴抛物线的解析式为y＝nx2﹣2（2n+1）x+2n+3，设抛物线与x轴的交点为（x1，0）和（x2，0），则|x1﹣x2|，∴当时，抛物线与x轴两个交点之间的距离最短，最小值为．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，所以中考常考题型．6．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x，y轴交于A，B，C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标．（2）连接AD，CD，CA，求△ACD外接圆圆心E的坐标和半径；（3）当x≤n时，函数y所取得的最大值为4，最小值为1，求n的取值范围．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把A点坐标代入可求得m的值，可求得二次函数解析式，化为顶点式可求得D的坐标；（2）利用两点间的距离公式可求得AC、CD、AD，可知△ACD为直角三角形，AD为斜边，可知E为AC的中点，可求得E的坐标及半径；（3）当x时，可求得y＝1，且当x＝1时y＝4，根据二次函数的对称性可求得n的范围．【解答】解：（1）∵抛物线过A点，∴代入二次函数解析式可得﹣9+6（m﹣2）+3＝0，解得m＝3，∴二次函数为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D为（1，4）；（2）由（1）可求得C坐标为（0，3），∴AC3，CD，AD2，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，∴E为AD的中点，∴E点坐标为（2，2），外接圆的半径r AD；（3）当x时，y＝1，当x＝1时，y＝4，∴当x≤1时，1y≤4，根据二次函数的对称性可知当1≤x时，1y≤4，∴1≤n．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的顶点坐标、增减性、及直角三角形的判定等知识的综合应用．在（1）中掌握点的坐标满足函数的解析式是解题的关键，在（2）中判定出△ACD为直角三角形是解题的关键，在（3）中利用二次函数的对称性，结合二次函数在对称轴两侧的增减性可确定出n的范围．本题难度不大，注重基础知识的综合，较易得分．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线．点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）若，求PC的长；（3）过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，若点P在Q左侧，矩形PMNQ的周长记为d，求d的最大值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）将A（﹣1，0）代入y＝﹣x+n，运用待定系数法求出直线AC的解析式；根据抛物线的对称轴为x，把点A的坐标代入y＝ax2+bx+2，组成关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到抛物线的解析式；（2）设M点横坐标为m，则P（m，m2m+2），C（m，﹣m﹣1），得出PMm2m+2，PC m2m+3．由PM，得到m2m+2，即m2＝3m+1，m，进而求出PC；（3）设M点横坐标为m，则PM m2m+2，MN＝2（m）＝3﹣2m，矩形PMNQ的周长d＝﹣m2﹣m+10，将﹣m2﹣m+10配方，根据二次函数的性质，即可得出矩形PMNQ的周长的最大值．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+n过点A（﹣1，0），∴0＝1+n，解得n＝﹣1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1；∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x，经过点A（﹣1，0），∴，解得．∴抛物线的解析式是：y x2x+2；（2）如图，设M点横坐标为m，则P点坐标为（m，m2m+2），C点坐标为（m，﹣m﹣1）．∵点M为线段AB上一点，∴﹣1＜m＜4．∴PM m2m+2，PC＝（m2m+2）﹣（﹣m﹣1）m2m+3．∵PM，∴m2m+2，整理，得m2﹣3m﹣1＝0，∴m2＝3m+1，m，∴PC m2m+3（3m+1）m+3＝m，∴当m时，PC；（3）设M点横坐标为m，则PM m2m+2，MN＝2（m）＝3﹣2m，∴矩形PMNQ的周长d＝2（PM+MN）＝2（m2m+2+3﹣2m）＝﹣m2﹣m+10．∵﹣m2﹣m+10＝﹣（m）2，∴当m时，d有最大值．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行于坐标轴上的两点之间的距离，矩形的性质，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1.5，点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）M位于线段AB的什么位置时，PC最长，并求出此时P点的坐标；（3）若在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点Q，使，求点Q的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）将A（﹣1，0）代入y＝﹣x+n，运用待定系数法求出直线AC的解析式；根据抛物线的对称轴为x，把点A的坐标代入y＝ax2+bx+2，组成关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到抛物线的解析式；（2）设M点横坐标为m，则P（m，m2m+2），C（m，﹣m﹣1），得出PMm2m+2，化成顶点式即可；（3）根据抛物线的对称轴和A的坐标，求得B的坐标，求得AB，从而求得三角形APB的面积，进而求得三角形ABQ的面积，得出Q的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得横坐标，从而求得Q的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+n过点A（﹣1，0），∴0＝1+n，解得n＝﹣1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1；∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x，经过点A（﹣1，0），∴，解得．∴抛物线的解析式是：y x2x+2；（2）如图，设M点横坐标为m，则P点坐标为（m，m2m+2），C点坐标为（m，﹣m﹣1）．∵点M为线段AB上一点，∴﹣1＜m＜4．∴PC＝（m2m+2）﹣（﹣m﹣1）m2m+3．∵PC m2m+3（m）2，所以，当m时，PC最长，此时P（，），AM；（3）存在；∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x，经过点A（﹣1，0），∴B（4，0）∴AB＝5，∵S△APB AB•PM5，∵，∴S△ABQ，设Q点纵坐标为n，∵S△ABQ AB•n，∴n，（或n这样计算比较方便），∴x2x+2，解得：x或x，∴Q（，）或（，）【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行于坐标轴上的两点之间的距离，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．9．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F 作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】153：代数几何综合题；16：压轴题．。

中考数学专题复习二次函数试题（无答案）二次函数专题考点一：二次函数的解析式及其求解一般的，形如),0(2是常数、、c b a a c bx ax y ≠++=的函数叫做二次函数，其中，x 是自变量，c b a 、、分别为二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）一般式：c bx ax y ++=2。

已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2。

已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.（4）对称点式：已知图像上有两个关于y 轴对称的点()()k x k x ,,,21，那么函数的方程可以选用对称点式()()k x x x x a y +--=21，代入已知的另外的点就可以求出函数的方程来了。

例题1：根据题意，求解二次函数的解析式。

（1）求过点A(1,0)，B(2,3)，C(3,1)的抛物线的方程（2）已知抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式．（3）已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x 轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。

（4）已知二次方程32=++c bx ax 的两个根是-1和2，而且函数c bx ax y ++=2过点（3,4），求函数c bx ax y ++=2的解析式。

（5）已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式.（6）已知二次函数当x ＝2时有最大值3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。

变式1：（1）、已知二次函数的图像经过点A(2,1),B(3,4),且与y 轴交点为（0，7），则求函数的解析式（2）已知过点（2，0），（3，5）的抛物线c bx ax y ++=2与直线33+=x y 相交与x 轴上，求二次函数的解析式（3）已知二次函数c bx ax y ++=2，其顶点为（2,2)，图象在x 轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

中考数学专题复习函数及其图像考点3.1 位置与坐标序号考查内容考查方式学习目标考点位置与坐标坐标与象限1、坐标值的几何意义2、特殊点的坐标特征3、两点之间距离的求法4、能根据图形建立适当坐标系并写出关键点的坐标5、能根据点的坐标值确定其余各点的坐标6、用极坐标表示点的位置考点3.2 函数的表示序号考查内容考查方式学习目标考点一函数的取值范围分式或根式何时有意义考点二函数及其图像实际问题与函数图像1、能根据具体情况识别函数图象2、能从函数图象中读出关键信息考点3.3 一次函数序号考查内容考查方式学习目标考点一一次函数图像和性质一次函数图像和性质综合应用1、能熟练判断出图像中的k b取值范围2、能根据k,b的取值范围熟练画出函数图象的草图3、能判断出函数图的共存4、能用待定系数法熟练求出函数解析式过程完整考点二一次函数的应用结合一次函数图像解决实际问题1、能正确解释交点坐标在实际问题中的意义2、能正确分割三角形和多边形的面积进而求出其面积3、能正确理解和应用简单的分段函数图象及其代表的意义考点3.4 反比例函数序号考查内容考查方式学习目标考点一反比例函数解析式的确定确定比例系数1、能从不同的表达式中分离出比例系数2、能根据比例系数画出函数草图待定系数法求解析式利用比例系数的几何意义确定反比例函数解析式k值的几何意义反映到函数中要结合具体的象限来确定值k考点二反比例函数的应用一次函数与反比例函数的综合应用考点3.5 二次函数序号考查内容考查方式学习目标考点一二次函数图像和性质确定二次函数图像的对称轴和顶点、与x轴的交点的坐标1、能准确化为一般形式，并指出其系数2、能熟练进行配方写出其顶点坐标式3、能熟练从三种解析式几个方面值的确定考点二二次函数的应用画二次函数图像及应用能熟练画出草图并进行分析应用考点三二次函数与实际问题（二次函数的应用题）确定解析式、求极值（解答题）能根据已知条件熟练写出解析式，并进行五个方面的相关计算考点3.6 用函数观点看方程（组）和不等式序号考查内容考查方式学习目标考点一函数与方程二次函数与一元二次方程理解二次函数与一元二次方程的联系，并能正确地将二次函数问题转化为一元二次方程，能用一元二次方程的根解释图象中的交点坐标考点二函数与不等式一次函数与一元一次不等式1、能根据图象正确判断不等式的解集2、理解交点坐标的意义3、能根据交点坐标正确写出方程或方程组反比例函数与不等式一次函数、反比例函数与不等式同上。

2019年中考数学专题复习第十四讲 二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、 二次函数的定义：一般地如果y= （a 、b 、c 是常数a≠0）那么y 叫做x 的二次函数。

【名师提醒：1、二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的结构特征是：等号左边是函数，右边是 关于 自 变 量x 的 二 次 式，x 的 最 高 次 数 是 ， 按 项、 项、 项依次排列 2、强调二次项系数a 0】 二、二次函数的图象和性质：1、二次函数y=kx 2+bx+c （a≠0)的图象是一条 ,其定点坐标为 对称轴是 。

2、在抛物y=ax 2+bx+c(a≠0）中:①、当a 〉0时，开口向 ，当x 〈—2b a时，y 随x 的增大而 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，②、当a 〈0时，开口向 ，当x〈-2b a时,y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x 增大而减小 【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax 2 ，对称轴 顶点坐标2、y= ax 2 +k ，对称轴 顶点坐标3、y=a （x —h ） 2对称轴 顶点坐标4、y=a （x-h ） 2 +k 对称轴 顶点坐标 】 三、二次函数图象的平移【名师提醒:二次函数的平移本质可看作是顶点间的平移,因此要掌握整条抛物线的平移，只需抓住关键的顶点平移即可】四、二次函数y= ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系：a：开口方向向上则a 0，向下则a 0 ｜a|越大，开口越b：对称轴位置，与a联系一起，用左右判断，当b=0时，对称轴是c：与y轴的交点：交点在y轴正半轴上,则c 0，在y轴负半轴上则c 0，当c=0时,抛物线过点【名师提醒：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ，经常根据对应的函数值判断a+b+c和a—b+c的符号】【重点考点例析】考点一:二次函数图象上点的坐标特点例1 (2018•湖州)已知抛物线y=ax2+bx—3（a≠0）经过点（-1，0），（3，0），求a,b的值．【思路分析】根据抛物线y=ax2+bx-3(a≠0）经过点（—1，0），（3,0），可以求得a、b的值，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx—3（a≠0）经过点(-1,0），（3,0），∴30 9330a ba b--+-⎧⎨⎩＝＝，解得，12ab-⎧⎨⎩＝＝,即a的值是1,b的值是-2．【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h 平移|k|个单位【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．考点二：二次函数的图象和性质例2 （2018•德州)如图，函数y=ax2—2x+1和y=ax-a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．【思路分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误即可．【解答】解：A、由一次函数y=ax-a的图象可得:a＜0,此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=ax—a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2—2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=—22a-＞0,故选项正确；C、由一次函数y=ax—a的图象可得:a＞0，此时二次函数y=ax2—2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=-22a-＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；D、由一次函数y=ax—a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2—2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象,解题的关键是熟记一次函数y=ax-a 在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．例3 （2018•新疆）如图，已知抛物线y 1=-x 2+4x 和直线y 2=2x ．我们规定:当x 取任意一个值时,x 对应的函数值分别为y 1和y 2，若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M;若y 1=y 2,记M=y 1=y 2．①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时,M 随x 的增大而增大；③使得M 大于4的x 的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是 （填写所有正确结论的序号)．【思路分析】①观察函数图象，可知：当x ＞2时,抛物线y 1=-x 2+4x 在直线y 2=2x 的下方,进而可得出当x ＞2时，M=y 1，结论①错误；②观察函数图象，可知：当x ＜0时，抛物线y 1=—x 2+4x 在直线y 2=2x 的下方，进而可得出当x ＜0时，M=y 1，再利用二次函数的性质可得出M 随x 的增大而增大，结论②正确；③利用配方法可找出抛物线y 1=-x 2+4x 的最大值，由此可得出：使得M 大于4的x 的值不存在，结论③正确；④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当M=2时的x 值,由此可得出:若M=2，则x=1或2+2，结论④错误． 此题得解．【解答】解：①当x ＞2时,抛物线y 1=-x 2+4x 在直线y 2=2x 的下方， ∴当x ＞2时，M=y 1，结论①错误；②当x ＜0时，抛物线y 1=-x 2+4x 在直线y 2=2x 的下方, ∴当x ＜0时，M=y 1，∴M随x的增大而增大，结论②正确；③∵y1=—x2+4x=—（x—2）2+4，∴M的最大值为4，∴使得M大于4的x的值不存在,结论③正确；④当M=y1=2时，有—x2+4x=2，解得:x1=2-2（舍去)，x2=2+2；当M=y2=2时，有2x=2，解得：x=1．∴若M=2，则x=1或2+2，结论④错误．综上所述：正确的结论有②③．故答案为：②③．【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征,逐一分析四条结论的正误是解题的关键．考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系例4 (2018•滨州）如图，若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B（—1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a—b+c＜0；③b2-4ac＜0；④当y＞0时,-1＜x＜3,其中正确的个数是（)A．1 B．2C．3 D．4【思路分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点,进而分别分析得出答案．【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)图象的对称轴为x=1，且开口向下，∴x=1时，y=a+b+c,即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②当x=—1时，a-b+c=0，故②错误；③图象与x轴有2个交点，故b2-4ac＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（-1，0),∴A（3，0)，故当y＞0时，—1＜x＜3，故④正确．故选:B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．考点四：抛物线的平移例5 （2018•广安）抛物线y=（x-2）2—1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【思路分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．【解答】解：抛物线y=x2顶点为（0，0）,抛物线y=(x—2）2—1的顶点为（2，—1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x-2）2-1的图象．故选：D．【点评】本题考查二次函数图象平移问题,解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．考点五：二次函数的应用例6（2018•衢州)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高,高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．【思路分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式,代入点（8,0），求出a值，此题得解；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征,求出当y=1。

2019 年全国中考试题解析版分类汇编- 二次函数图像及其性质注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！【一】选择题1. 〔2017?江苏宿迁，8，3〕二次函数y=ax 2+bx+c〔a≠0〕的图象如图，那么以下结论中正确的选项是〔〕A、a＞0B、当x＞1 时，y 随x 的增大而增大 C 、c＜0 D 、 3 是方程ax2+bx+c=0 的一个根考点：抛物线与x 轴的交点；二次函数图象与系数的关系。

专题：计算题。

分析：根据图象可得出a＜0，c＞0，对称轴x=1，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小；根据抛物线的对称性另一个交点到x=1 的距离与﹣ 1 到x=1 的距离相等，得出另一个根、解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，故A 选项错误；∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴c＞0，故B 选项错误；∵对称轴x=1，∴当x＞1 时，y 随x 的增大而减小；故C选项错误；∵对称轴x=1，∴另一个根为1+2=3，故D选项正确、应选D、点评：此题考查了抛物线与x 轴的交点问题以及二次函数的图象与系数的关系，是基础知识要熟练掌握、2. 〔2017 江苏无锡，9，3 分〕以下二次函数中，图象以直线x=2 为对称轴、且经过点〔0，1〕的是〔〕A、y=〔x﹣2〕2+1 B 、y=〔x+2〕2+1C 、y=〔x﹣2〕 2 2﹣3 D 、y=〔x+2〕﹣3考点：二次函数的性质。

专题：计算题。

分析：采用逐一排除的方法、先根据对称轴为直线x=2 排除B、D，再将点〔0，1〕代入A、C两个抛物线解析式检验即可、解答：解：∵抛物线对称轴为直线x=2，∴可排除B、D，将点〔0，1〕代入A中，得〔x﹣2〕2+1=〔0﹣2〕2+1=5，错误，代入C中，得〔x﹣2〕2﹣3=〔0﹣2〕2﹣3=1，正确、应选C、点评：此题考查了二次函数的性质、关键是根据对称轴，点的坐标与抛物线解析式的关系，逐一排除、3. 〔2017 江苏无锡，10，3 分〕如图，抛物线y=x 2+1 与双曲线y= k 的交点A的横坐标是1，x那么关于x 的不等式k +x2+1＜0 的解集是〔〕2+1＜0 的解集是〔〕xA、x＞1B、x＜﹣1 C 、0＜x＜1 D、﹣1＜x＜0考点：二次函数与不等式〔组〕。

类型二 二次函数性质综合题1. 如图，已知经过原点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1.下列结论中：①ab ＞0；②a ＋b ＋c ＞0；③当－2＜x ＜0时，y ＜0.正确的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个第1题图2. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①ac >0；②a －b ＋c <0；③当x <0时，y <0；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个大于－1的实数根．其中，错误的结论是( )A. ②③B. ②④C. ①③D. ①④第2题图3. 如图，垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C 1：y ＝x 2(x ≥0)和抛物线C 2：y ＝x 24(x ≥0)交于A ，B 两点，过点A 作CD ∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 2交于点C ，D ，过点B 作EF ∥x轴分别与y 轴和抛物线C 1交于点E ，F ，则S △OFBS △EAD的值为( ) A.26 B. 24 C. 14 D. 16第3题图答案1. D 【解析】逐个结论分析如下：综上所述，正确的结论有3个，故选D. 2. C 【解析】逐个结论分析如下： 综上所述，错误的结论为①③，故选C.3. D 【解析】设点A 的横坐标为a ，则A(a ，a 2)，B (a ，a 24)，C (0，a 2)，D (2a ，a 2)，∴OC ＝a 2，AD ＝CD －AC ＝2a －a ＝a ，∵点E ，F ，B 的纵坐标相同，∴E (0，a 24)，F(a 2，a 24)，∴OE ＝ a 24，BE ＝a ，EF ＝a 2，∴BF ＝BE －EF ＝a －a 2＝a 2，∴EC ＝OC －OE ＝a 2－a 24＝3a 24，∴S △OFB S △EAD ＝。

课时作业(九)[第二章 2 第1课时 二次函数y ＝±x 2的图象与性质]一、选择题1．下列关于二次函数y ＝x 2的图象的说法：①是一条抛物线；②开口向上；③是轴对称图形；④过点(0，0)；⑤它的顶点是原点，且是抛物线的最高点；⑥y 的值随x 值的增大而增大．其中正确的有()A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．下列函数中，当x >0时，y 的值随x 值的增大而减小的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝x －1C ．y ＝34xD ．y ＝1x3．下列关于抛物线y ＝x 2和y ＝－x 2的异同点说法错误的是( )A ．抛物线y ＝x 2和y ＝－x 2有共同的顶点和对称轴B ．在同一直角坐标系中，抛物线y ＝x 2和y ＝－x 2既关于x 轴对称，又关于原点对称C ．抛物线y ＝x 2和y ＝－x 2的开口方向相反D ．点A (－3，9)既在抛物线y ＝x 2上，也在抛物线y ＝－x 2上4．二次函数y ＝x 2与一次函数y ＝－x －1在同一直角坐标系中的图象大致为( )图K －9－15．已知a ＜－1，点(a －1，y 1)，(a ，y 2)，(a ＋1，y 3)都在函数y ＝x 2的图象上，则( ) 链接听课例2归纳总结A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 1＜y 3 二、填空题6．函数y ＝x 2的图象的顶点坐标为________，若点(a ，4)在该函数图象上，则a 的值是________．7．如图K －9－2，A ，B 分别为抛物线y ＝x 2上的两点，且线段AB ⊥y 轴，若AB ＝6，则直线AB 的表达式为________．图K －9－28．如图K －9－3，边长为2的正方形ABCD 的中心在直角坐标系的原点O 处，AD ∥x 轴，以O 为顶点且过A ，D 两点的抛物线与以O 为顶点且过B ，C 两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是________．图K－9－3三、解答题9．已知抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m都经过点(2，n)．(1)画出y＝－x2的图象，并求出m，n的值；(2)抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m是否存在另一个交点？若存在，请求出这个点的坐标．规律探究如图K－9－4，点A1，A2，A3，…，A n在抛物线y＝x2上，点B0，B1，B2，B3，…，B n在y轴上，若△A1B0B1，△A2B1B2，…，△A n B n－1B n都为等腰直角三角形(点B0在坐标原点处)，则△A2018B2017B2018的腰长等于________．图K－9－4详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] B ①②③④正确． 2．[答案] D3．[解析] D 点A (－3，9)在抛物线y ＝x 2上，但不在抛物线y ＝－x 2上．故选D.4．[解析] D y ＝x 2中a ＝1＞0，图象开口向上，在第一、二象限；y ＝－x －1中，k ＝－1＜0，图象经过第二、四象限，b ＝－1＜0，图象与y 轴交于负半轴，所以直线经过第二、三、四象限．故选D.5．[答案] C6．[答案] (0，0) ±2[解析] 若点(a ，4)在函数y ＝x 2的图象上，则a 2＝4，a ＝±2. 7．[答案] y ＝9[解析] ∵线段AB ⊥y 轴，且AB ＝6，∴由抛物线的对称性可知，点B 的横坐标为3.当x ＝3时，y ＝x 2＝32＝9，∴直线AB 的表达式为y ＝9.8．[答案] 2[解析] 根据图示及抛物线、正方形的性质，得S 阴影＝12S 正方形＝12×2×2＝2.9．解：(1)图略．把点(2，n )代入y ＝－x 2中，得n ＝－22，∴n ＝－4.把点(2，－4)代入y ＝3x ＋m 中，得－4＝3×2＋m ，∴m ＝－10.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －10，y ＝－x 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－25.∴抛物线y ＝－x 2与直线y ＝3x ＋m 存在另一个交点，其坐标为(－5，－25)．[点评] 判断两个函数图象的交点个数就是看这两个函数表达式所组成的方程组的解的个数．[素养提升][答案] 2018 2[解析] 作A 1C ⊥y 轴，A 2E ⊥y 轴，A 1D ⊥x 轴，A 2F ⊥x 轴，垂足分别为C ，E ，D ，F .∵△A 1B 0B 1，△A 2B 1B 2都是等腰直角三角形，∴B 1C ＝B 0C ＝DB 0＝A 1D ，B 2E ＝B 1E ，设A 1(a ，a )．将点A 1的坐标代入表达式y ＝x 2，得a ＝a 2，解得a ＝0(不符合题意，舍去)或a ＝1.由勾股定理，得A1B0＝ 2.则B1B0＝2.过点B1作B1N⊥A2F于点N，设点A2(x2，y2)，可得A2N＝y2－2，B1N＝x2＝y2－2，又点A2在抛物线上，∴y2＝x22，即x2＋2＝x22，解得x2＝2或x2＝－1(不合题意，舍去)，则A2B1＝2 2，同理可得：A3B2＝3 2，A4B3＝4 2，…，∴A2018B2017＝2018 2，∴△A2018B2017B2018的腰长为2018 2.。

2019版中考数学专题复习 第二章 函数（第6课时）二次函数的图像和性质练习一、选择题1．抛物线y ＝－3x 2－x ＋4与坐标轴的交点的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．02．[xx·宿迁]将抛物线y ＝x 2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是( )A ．y ＝(x ＋2)2＋1 B ．y ＝(x ＋2)2－1 C ．y ＝(x －2)2＋1 D ．y ＝(x －2)2－13．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图K14－1所示，则下列结论中正确的是( )图K14－1A ．a>0B ．当－1<x<3时，y>0C ．c<0D ．当x≥1时，y 随x 的增大而增大4．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＜0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x ＝－1，则使函数值y ＞0成立的x 的取值范围是( )A ．x ＜－4或x ＞2B ．－4≤x≤2C ．x≤－4或x≥2 D．－4＜x ＜25．已知抛物线y ＝－16x 2＋32x ＋6与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C.若D 为AB 的中点，则CD 的长为( )A.154B.92C.132D.1526．[xx·苏州]若二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a(x －2)2＋1＝0的实数根为( )A ．x 1＝0，x 2＝4B ．x 1＝－2，x 2＝6C ．x 1＝32，x 2＝52D ．x 1＝－4，x 2＝07．[xx·鄂州]如图K14－2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交x 轴于A(－2，0)和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝OC.下列结论：①2b－c ＝2；②a＝12；③ac＝b －1；④a ＋bc ＞0，其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个图K14－28．如图K14－3，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图象相交于P ，Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象可能为( )图K14－3图K14－4二、填空题9．如图K14－5，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为直线________．图K 14－510．[xx·青岛]若抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是________． 11．[xx·凉山]州将抛物线y ＝－x 2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为__________．12．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图K14－6所示，下列结论：①2a ＋b ＝0；②a＋c>b ；③抛物线与x 轴的另一个交点为(3，0)；④abc>0.其中正确的结论是________(填写序号)．图K14－6三、解答题13．已知抛物线y ＝(x －m)2－(x －m)，其中m 是常数． (1)求证：不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点； (2)若该抛物线的对称轴为直线x ＝52.①求该抛物线的解析式；②把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点？14．[xx·北京]在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴交于点A 、B(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C.(1)求直线BC 的表达式；(2)垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，与直线BC 交于点N(x 3，y 3)，若x 1＜x 2＜x 3，结合函数的图象，求x 1＋x 2＋x 3的取值范围．15．[xx·岳阳]改编如图K14－7，抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点B(3，0)，C(0，－2)，直线l ：y ＝－23x －23交y 轴于点E ，且与抛物线交于A ，D 两点．P 为抛物线上一动点(不与A ，D 重合)．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线l 下方时，过点P 作PM ∥x 轴交l 于点M ，PN∥y 轴交l 于点N.求PM ＋PN 的最大值．图K14－7欢迎您的下载，资料仅供参考！。

专题12 二次函数1．二次函数的概念：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax 2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。

抛物线)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与性质（1）对称轴：2b x a=-（2）顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- （3）与y 轴交点坐标（0，c ） （4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大； 当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小。

3.二次函数的解析式三种形式。

（1）一般式 y=ax 2+bx+c(a ≠0).已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式 2()y a x h k =-+224()24b ac b y a x a a-=-+ 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

（3）交点式 12()()y a x x x x =--专题知识回顾已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式。

4．根据图像判断a,b,c 的符号（1）a 确定开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。

（2）b ——对称轴与a 左同右异。

（3）抛物线与y 轴交点坐标（0，c ） 5．二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根。

抛物线y=ax 2+bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2+bx+c=024b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点； 24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点； 24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点。

课时作业(十一)[第二章 2 第3课时二次函数y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的图象与性质]一、选择题1．2018·临安区抛物线y＝3(x－1)2＋1的顶点坐标是( )A．(1，1) B．(－1，1)C．(－1，－1) D．(1，－1)2．如图K－11－1，在平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是( )图K－11－1A．h>0，k>0B．h<0，k>0C．h<0，k<0D．h>0，k<03．2018·虹口区一模如果将抛物线y＝－x2－2向右平移3个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是链接听课例3归纳总结( )A．y＝－x2－5 B．y＝－x2＋1C．y＝－(x－3)2－2 D．y＝－(x＋3)2－24．2018·徐汇区一模对于二次函数y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的个数为( ) 链接听课例2归纳总结①其图象开口向下；②其图象的对称轴是直线x＝－2；③其图象不经过第一象限；④当x ＞2时，y随x的增大而减小．A．4 B．3 C．2 D．15．2018·枣庄如图K－11－2是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，且过点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x＝1，则下列结论正确的是( )图K－11－2A．b2＜4ac B．ac＞0C．2a－b＝0 D．a－b＋c＝06．下列抛物线中，以直线x＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－37．2017·宜宾如图K －11－3，抛物线y 1＝12(x ＋1)2＋1与y 2＝a(x －4)2－3交于点A(1，3)，过点A 作x 轴的平行线，与两条抛物线分别交于B ，C 两点，且D ，E 分别为顶点．则下列结论：①a ＝23；②AC ＝AE ；③△ABD 是等腰直角三角形；④当x ＞1时，y 1＞y 2.其中正确结论的个数是( )图K －11－3A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题8．已知二次函数y ＝(x －2)2＋3，当x________时，y 随x 的增大而减小．9．如果二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的对称轴为直线x ＝－1，那么h ＝________；如果它的顶点坐标为(－1，－3)，那么k ＝________．10．2018·江西模拟把抛物线y ＝3x 2先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得抛物线的表达式是________.链接听课例3归纳总结11．如图K －11－4是二次函数y ＝a(x ＋1)2＋2的图象的一部分，该图象在y 轴右侧与x 轴的交点坐标是________．图K －11－412．二次函数y ＝a(x ＋m)2＋n 的图象的顶点在第四象限，则一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过第________象限．13．如图K －11－5，将函数y ＝12(x －2)2＋1的图象沿y 轴向上平移得到一个新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B ′.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是________．图K －11－5三、解答题14．二次函数y ＝a(x －3)2＋4的图象是由二次函数y ＝－12x 2的图象经过平移得到的．(1)请指出a 的值，并说明平移的方法；(2)说出二次函数y ＝a(x －3)2＋4的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．链接听课例3归纳总结15．已知抛物线y ＝a(x ＋2)2过点(1，－3)． (1)求抛物线的函数表达式；(2)指出抛物线的对称轴、顶点坐标； (3)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？16．如图K －11－6，已知二次函数y ＝a(x －h)2＋3的图象经过原点O(0，0)，A(2，0)． (1)写出该函数图象的对称轴；(2)若将线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是不是该函数图象的顶点．图K －11－617．2017·金华甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图K －11－7，甲在O 点正上方1 m 的点P 处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m )与水平距离x(m )之间满足函数表达式y ＝a(x －4)2＋h.已知点O 与球网的水平距离为5 m ，球网的高度为1.55 m .(1)当a ＝－124时，①求h 的值；②通过计算判断此球能否过网．(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7 m ，离地面的高度为125 m 的点Q处，在此处乙扣球成功，求a 的值．图K －11－7分类讨论已知二次函数y ＝－(x －1)2＋5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，求m ＋n 的值．详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] A ∵y ＝3(x －1)2＋1是顶点式，∴抛物线的顶点坐标是(1，1)．故选A. 2．[解析] A 根据题意可得抛物线的顶点坐标为(h ，k )，而从图象中可看出顶点在第一象限，根据第一象限内点的坐标特征，可得h >0，k >0.故选A.3．[解析] C y ＝－x 2－2的顶点坐标为(0，－2)，∵向右平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的顶点坐标为(3，－2)，∴所得到的新抛物线的表达式是y ＝－(x －3)2－2.故选C.4．[解析] A ∵y ＝－(x ＋2)2＋3，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝－2，顶点坐标为(－2，3)，故①②都正确；在y ＝－(x ＋2)2＋3中，令y ＝0可求得x ＝－2＋3＜0，或x ＝－2－3＜0，∴抛物线不经过第一象限，故③正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x ＝－2，∴当x ＞－2时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，故④正确．综上可知正确的结论有4个，故选A.5．[解析] D ∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac ，∴A 选项错误； ∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0， ∴ac ＜0，∴B 选项错误；∵二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，∴－b2a＝1，∴2a ＋b ＝0，∴C 选项错误；∵抛物线过点A (3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(－1，0)， ∴a －b ＋c ＝0，∴D 选项正确．故选D. 6．[答案] C7．[解析] B 把点A 的坐标代入y 2，求出a 的值，即可得到函数的表达式；令y ＝3，求出B ，C 两点的横坐标，然后求出BD ，AD 的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案．∵抛物线y 1＝12(x ＋1)2＋1与y 2＝a (x －4)2－3交于点A (1，3)，∴3＝a (1－4)2－3，解得a ＝23，故①正确；∵E 是抛物线y 2的顶点，∴E (4，－3)． 当y 2＝3时，即23(x －4)2－3＝3，解得x 1＝1，x 2＝7.故C (7，3)．则AC ＝6，AE ＝（3＋3）2＋（1－4）2＝3 5， ∴AC ≠AE .故②错误；当y 1＝3时，即3＝12(x ＋1)2＋1，解得x 1＝1，x 2＝－3，故B (－3，3)，D (－1，1)，则AB ＝4，AD ＝BD ＝22，∴AD 2＋BD 2＝AB 2，∴△ABD 是等腰直角三角形，故③正确； 令12(x ＋1)2＋1＝23(x －4)2－3， 解得x 1＝1，x 2＝37，∴当1<x <37时，y 1＞y 2，故④错误．故选B. 8．[答案] ＜2[解析] 对于二次函数y ＝(x －2)2＋3，其中二次项系数a ＝1＞0，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，即当x ＜2时满足要求．9．[答案] －1 －310．[答案] y ＝3(x －3)2＋2[解析] 把y ＝3x 2先向上平移2个单位长度，得到y ＝3x 2＋2，再向右平移3个单位长度，得到y ＝3(x －3)2＋2.故所得抛物线的表达式为y ＝3(x －3)2＋2.11．[答案] (1，0) 12．[答案] 二、三、四[解析] 二次函数y ＝a (x ＋m )2＋n 的图象的顶点坐标为(－m ，n )，因为该点在第四象限，所以－m >0，n <0，即m <0，n <0，所以一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过第二、三、四象限．故填二、三、四．13．[答案] y ＝12(x －2)2＋4[解析] 连接AB ，A ′B ′，则S 阴影＝S 四边形ABB ′A ′.由平移可知，AA ′＝BB ′，AA ′∥BB ′，所以四边形ABB ′A ′是平行四边形．分别延长A ′A ，B ′B 交x 轴于点M ，N .因为A (1，m )，B (4，n )，所以MN ＝4－1＝3.因为S ▱ABB ′A ′＝AA ′·MN ，所以9＝3AA ′，解得AA ′＝3，即原抛物线沿y 轴向上平移了3个单位长度，所以新图象的函数表达式为y ＝12(x －2)2＋4.14．解：(1)a ＝－12，将二次函数y ＝－12x 2的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到二次函数y ＝－12(x －3)2＋4的图象(平移方法不唯一)．(2)开口向下，对称轴为直线x ＝3，顶点坐标为(3，4)． 15．解：(1)∵抛物线经过点(1，－3)， ∴－3＝9a ，a ＝－13，∴抛物线的函数表达式为y ＝－13(x ＋2)2.(2)对称轴是直线x ＝－2，顶点坐标为(－2，0)． (3)∵a ＝－13<0，∴当x <－2时，y 随x 的增大而增大．16．解：(1)∵二次函数y ＝a (x －h )2＋3的图象经过原点O (0，0)，A (2，0)，∴该函数图象的对称轴是直线x ＝0＋22＝1.(2)点A ′是该函数图象的顶点．理由如下： 如图，作A ′B ⊥x 轴于点B .∵线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA ′， ∴OA ′＝OA ＝2， ∠A ′OA ＝60°，∴在Rt △A ′OB 中，∠OA ′B ＝30°， ∴OB ＝12OA ′＝1，A ′B ＝3OB ＝3，∴点A ′的坐标为(1，3)，由(1)知函数的表达式为y ＝a (x －1)2＋3， ∴点A ′为该函数图象的顶点．17．[解析] (1)①把(0，1)，a ＝－124代入y ＝a (x －4)2＋h 即可求得h 的值；②把x ＝5代入y ＝a (x －4)2＋h 可求得网球的高度，与1.55 m 比较大小，做出正确的判断．(2)由题意，把点(0，1)，(7，125)代入y ＝a (x －4)2＋h 即可求得a 的值．解：(1)①把(0，1)，a ＝－124代入y ＝a (x －4)2＋h ，得1＝－124×16＋h ，解得h ＝53. ②把x ＝5代入y ＝－124(x －4)2＋53，得y ＝－124×(5－4)2＋53＝1.625.∵1.625>1.55，∴此球能过网．(2)把点(0，1)，(7，125)代入y ＝a (x －4)2＋h ，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋h ＝1，9a ＋h ＝125，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，h ＝215.∴a 的值为－15.[素养提升]解：二次函数y ＝－(x －1)2＋5的大致图象如图． ①若m ＜0＜n ＜1， ∵m ≤x ≤n ，∴当x ＝m 时y 取得最小值，即2m ＝－(m －1)2＋5， 解得m ＝－2或m ＝2(不合题意，舍去)；当x ＝n 时y 取得最大值，即2n ＝－(n －1)2＋5，解得n ＝2或n ＝－2(均不合题意，舍去)． ②若m ＜0＜1≤n ， ∵m ≤x ≤n ，∴当x ＝1时y 取得最大值，即2n ＝－(1－1)2＋5，解得n ＝52.此时，若函数在x ＝m 时取得最小值，则由①可知m ＝－2；若函数在x ＝n 时取得最小值，则2m ＝－(n －1)2＋5，由n ＝52解得m ＝118(不合题意，舍去)．综上，m ＋n ＝－2＋52＝12.。

第六章二次函数课标要求1. 理解二次函数与抛物线的数形关系．2. 会用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式．3. 会用待定系数法确定二次函数的解析式．4. 了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，会用图象法解一元二次方程和一元二次不等式．5. 熟悉抛物线的性质，并能利用抛物线的性质解决实际问题．1. 二次函数的图象和性质一、选择题1. (2019·衢州)二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是()A. (1，3)B. (1，－3)C. (－1，3)D. (－1，－3)2. (2019·重庆)抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是()A. 直线x＝2B. 直线x＝－2C. 直线x＝1D. 直线x＝－13. (2019·河南)已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n 的值为()A. －2B. －4C. 2D. 44. (2019·兰州)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是()A. 2>y1>y2B. 2>y2>y1C. y1>y2>2D. y2>y1>25. (2019·哈尔滨)将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线对应的函数解析式为()A. y＝2(x＋2)2＋3B. y＝2(x－2)2＋3C. y＝2(x－2)2－3D. y＝2(x＋2)2－36. (2019·西藏)要得到函数y＝－12(x－1)2＋1的图象，可以把函数y＝－12x2的图象()A. 向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度B. 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度C. 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D. 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度7. (2019·百色)要得到抛物线y＝x2＋6x＋7，可把抛物线y＝x2()A. 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度B. 先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度C. 先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度D. 先回右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度8. (2019·雅安)在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法错误的是()A. y的最小值为1B. 图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2C. 当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D. 它的图象可以由y＝x2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到9. (2019·淄博)将二次函数y＝x2－4x＋a的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是()A. a>3B. a<3C. a>5D. a<510. (2019·河池)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误的是()第10题A. ac<0B. b2－4ac>0C. 2a－b＝0D. a－b＋c＝011. (2019·成都)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(1，0)，B(5，0)，下列说法正确的是()第11题A. c<0B. b2－4ac<0C. a－b＋c<0D. 图象的对称轴是直线x＝312. (2019·沈阳)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是()第12题A. abc<0B. b2－4ac<0C. a－b＋c<0D. 2a＋b＝013. (2019·娄底)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc<0；②b2－4ac<0；③2a>b；④(a＋c)2<b2.其中正确的有()第13题A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个14. (2019·鄂州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x ＝1. 下列结论：①abc<0；②3a＋c>0；③(a＋c)2－b2<0；④a＋b≤m(am ＋b)(m为实数)．其中结论正确的个数为()第14题A. 1B. 2C. 3D. 415. (2019·通辽)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示．有下列结论：①abc<0；②c＋2a<0；③9a－3b＋c＝0；④a －b≥m(am＋b)(m为实数)；⑤4ac－b2<0.其中错误结论的个数是()第15题A. 1B. 2C. 3D. 416. (2019·葫芦岛)二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象大致是()第16题A BC D17. (2019·呼和浩特)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是()A BC D18. (2019·湖州)已知a，b是非零实数，|a|>|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是()A BC D19. (2019·陕西)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋2m －4与y＝x2－(3m＋n)x＋n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为()A. 57，－187 B. 5，－6C. －1，6D. 1，－220. (2019·贵阳)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，点B(1，1)都在直线y＝12x＋12上，若抛物线y＝ax2－x＋1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是()第20题A. a≤－2B. a<9 8C. 1≤a<98或a≤－2 D. －2≤a<9821. (2019·玉林)如图，抛物线C：y＝12(x－1)2－1，顶点为D，将C沿水平方向向右(或向左)平移m个单位长度，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若∠DQD1＝60°，则m的值为()第21题A. ±4 3B. ±2 3C. －2或2 3D. －4或4 322. (2019·宜宾)已知抛物线y＝x2－1与y轴交于点A，与直线y＝kx(k为任意实数)相交于B，C两点，则下列结论不正确的是()A. 存在实数k，使得△ABC为等腰三角形B. 存在实数k，使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°C. 任意实数k，使得△ABC都为直角三角形D. 存在实数k，使得△ABC为等边三角形23. (2019·福建)若二次函数y＝|a|x2＋bx＋c的图象经过不同的五点A(m，n)，B(0，y1)，C(3－m，n)，D(2，y2)，E(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1<y2<y3B. y1<y3<y2C. y3<y2<y1D. y2<y3<y124. (2019·资阳)如图是函数y＝x2－2x－3(0≤x≤4)的图象，直线l∥x轴且过点(0，m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是()第24题A. m≥1B. m≤0C. 0≤m≤1D. m≥1或m≤025. (2019·岳阳)对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2＋2x＋c有两个相异的不动点x1，x2，且x1<1<x2，那么c的取值范围是()A. c<－3B. c<－2C. c<14 D. c<1二、填空题26. (2019·哈尔滨)二次函数y＝－(x－6)2＋8的最大值是________．27. (2019·荆州)二次函数y＝－2x2－4x＋5的最大值是________．28. (2019·白银)将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式为____________．29. (2019·凉山州)将抛物线y＝(x－3)2－2向左平移________个单位长度后经过点A(2，2)．30. (2019·宜宾)将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式为______________．31. (2019·广元)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)，(0，2)，且顶点在第一象限，设M＝4a＋2b＋c，则M的取值范围是__________．第31题32. (2019·天水)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若M＝4a＋2b，N＝a－b.则M，N的大小关系为M________N(填“>”“<”或“＝”)．第32题33. (2019·荆门)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的顶点为P，且抛物线经过点A(－1，0)，B(m，0)，C(－2，n)(1<m<3，n<0)．下列结论：①abc>0；② 3a ＋c<0；③ a(m －1)＋2b>0；④ 当a ＝－1时，存在点P 使△PAB 为直角三角形．其中正确的为________(填序号)．34. (2019·镇江)已知抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋4a ＋1(a ≠0)过点A(m ，3)，B(n ，3)两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式a 2＋a ＋1的最小值是________．35. (2019·内江)若x ，y ，z 为实数，且⎩⎨⎧x ＋2y －z ＝4，x －y ＋2z ＝1，则代数式x 2－3y 2＋z 2的最大值是________．36. (2019·雅安)函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x>0），－x （x ≤0）的图象如图所示．若直线y ＝x ＋m 与该图象恰有三个不同的交点，则m 的取值范围为__________．第36题37. (2019·大庆)如图，抛物线y ＝14p x 2(p>0)，点F(0，p)，直线l ：y ＝－p ，已知抛物线上的点到点F 的距离与到直线l 的距离相等，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，垂足分别为A 1，B 1，连接A 1F ，B 1F ，A 1O ，B 1O.若A 1F ＝a ，B 1F ＝b ，则△A 1OB 1的面积为________(只用a ，b 表示)．第37题38. (2019·衡阳)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知点A 的坐标为(1，1)，过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4，…，依次进行下去，则点A 2 019的坐标为____________．第38题三、 解答题39. (2019·宁波)如图，二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3)．(1) 求a的值和图象的顶点坐标．(2) 点Q(m，n)在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．第39题40.(2019·永州)如图，抛物线经过两点A(－3，0)，B(0，3)，且其对称轴为直线x＝－1.(1) 求此抛物线对应的函数解析式；(2) 若P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，B)，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．第40题41. (2019·安徽)一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．(1) 求k，a，c的值；(2) 过点A(0，m)(0<m<4)且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2＋c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．42.(2019·台州)已知函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(－2，4)．(1) 求b，c满足的关系式；(2) 设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；(3) 若该函数的图象不经过第三象限，当－5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．43.(2019·南通)已知二次函数y＝x2－4x＋3a＋2(a为常数)．(1) 请写出该二次函数的三条性质；(2) 在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x ≤4的部分与一次函数y ＝2x －1的图象有两个交点，求a 的取值范围．44.(2019·北京)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx －1a 与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．(1) 求点B 的坐标(用含a 的式子表示)；(2) 求抛物线的对称轴；(3) 已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1a ，Q(2，2)．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合图象，求a 的取值范围．45.(2019·天门)在平面直角坐标系中，已知抛物线C ：y ＝ax 2＋2x －1(a ≠0)和直线l ：y ＝kx ＋b ，点A(－3，－3)，B(1，－1)均在直线l 上．(1) 若抛物线C 与直线l 有交点，求a 的取值范围；(2) 当a ＝－1，二次函数y ＝ax 2＋2x －1的自变量x 满足m ≤x ≤m ＋2时，函数y 的最大值为－4，求m 的值；(3) 若抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点，请直接写出a 的取值范围．46.(2019·上海)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2－2x ，其顶点为A.(1) 写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况；(2) 我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．① 试求抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”的坐标；② 平移抛物线y ＝x 2－2x ，使所得新抛物线的顶点B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线对应的函数解析式．第46题47.(2019·河北)如图，若b 是正数，直线l ：y ＝b 与y 轴交于点A ；直线a ：y ＝x －b 与y 轴交于点B ；抛物线L ：y ＝－x 2＋bx 的顶点为C ，且L 与x 轴的右交点为D.(1) 若AB ＝8，求b 的值，并求此时抛物线L 的对称轴与直线a 的交点坐标；(2) 当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3) 设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4) 在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2 019和b＝2 019.5时“美点”的个数．第47题1. 二次函数的图象和性质一、 1. A 2. C 3. B 4. A 5. B 6. C 7. A 8. C 9. D10. C 11. D 12. D 13. A 14. C 15. A 16. D 17. D 18. D 19. D 20. C 21. A 22. D 23. D 24. C 25. B二、 26. 8 27. 7 28. y ＝(x －2)2＋1 29. 3 30. y ＝2(x ＋1)2－231. －6<M<6 32. < 33. ②③ 34. 74 35. 26 36. 0<m<1437. ab 438. (－1 010，1 0102) 三、 39. (1) 把点P(－2，3)代入y ＝x 2＋ax ＋3中，得3＝4－2a ＋3，解得a ＝2.∴ 二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2.∴ 顶点坐标为(－1，2) (2) ① 当m ＝2时，n ＝(2＋1)2＋2＝11 ② ∵ 点Q 到y 轴的距离小于2，∴ |m|<2.∴ －2<m<2.∴ 结合图象可知，n 的取值范围为2≤n<1140. (1) ∵ 抛物线的对称轴是直线x ＝－1，且经过点A(－3，0)，∴ 由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点(1，0)．设抛物线对应的函数解析式为y ＝a(x －1)(x ＋3)，把B(0，3)代入，得3＝－3a ，解得a ＝－1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2－2x ＋3 (2) 设直线AB 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ，∵点A(－3，0)，B(0，3)在直线y ＝kx ＋b 上，∴ ⎩⎨⎧－3k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝3.∴ 直线AB 对应的函数解析式为y ＝x ＋3.过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，交直线AB 于点M ，设P(x ，－x 2－2x ＋3)，则M(x ，x ＋3)，∴ PM ＝－x 2－2x ＋3－(x ＋3)＝－x 2－3x.∴ S △PAB ＝12(－x 2－3x)×3＝－32(x ＋32)2＋278.当x ＝－32时，S △PAB 有最大值，为278，此时点P 的纵坐标为－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋3＝154，∴ △PAB 面积的最大值为278，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，154 41. (1) 根据题意，得二次函数y ＝ax 2＋c 的图象的顶点坐标为(0，c)．将点(0，c)，(1，2)代入一次函数的解析式，得⎩⎨⎧c ＝4，2＝k ＋4，解得⎩⎨⎧c ＝4，k ＝－2.将点(1，2)代入y ＝ax 2＋4，得2＝a ＋4，解得a ＝－2.∴ k 的值为－2，a 的值为－2，c 的值为4 (2) 由(1)可知，二次函数的解析式为y ＝－2x 2＋4.令y ＝m ，得2x 2＋m －4＝0，解得x ＝±4－m2.设B ，C 两点的坐标分别为(x 1，m)，(x 2，m)，则BC＝|x 1－x 2|＝24－m 2.∴ W ＝OA 2＋BC 2＝m 2＋4×4－m 2＝m 2－2m ＋8＝(m －1)2＋7.∵ 0<m<4，∴ 当m ＝1时，W 有最小值，为742. (1) 将点(－2，4)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得4＝4－2b ＋c ，即－2b ＋c ＝0，∴ c ＝2b (2) 根据题意，得m ＝－b 2，n ＝4c －b 24.∴ b ＝－2m.又由(1)知，c＝2b ，∴ c ＝－4m.∴ n ＝4c －b 24＝－16m －4m 24＝－m 2－4m (3) 如图，由(2)的结论，画出函数y ＝x 2＋bx ＋c 和函数y ＝－x 2－4x 的图象．∵ 函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象不经过第三象限，∴ －4≤－b 2≤0.① 当－4≤－b 2≤－2，即4≤b ≤8时，如图①.当x ＝1时，函数取到最大值，为1＋3b ；当x ＝－b 2时，函数取到最小值，为8b －b 24.∴ 1＋3b －8b －b 24＝16，即b 2＋4b －60＝0，解得b 1＝6，b 2＝－10(不合题意，舍去)．② 当－2<－b 2≤0，即0≤b<4时，如图②.当x ＝－5时，函数取到最大值，为25－3b ；当x ＝－b 2时，函数取到最小值，为8b －b 24，∴ 25－3b －8b －b 24＝16，即b 2－20b ＋36＝0，解得b 1＝2，b 2＝18(不合题意，舍去)．综上所述，b 的值为2或6第42题43. (1) 答案不唯一，如① 图象开口向上；② 图象的对称轴为直线x ＝2；③ 当x ＞2时，y 随x 的增大而增大 (2) ∵ 二次函数的图象与一次函数y ＝2x －1的图象有两个交点，∴ x 2－4x ＋3a ＋2＝2x －1，即x 2－6x ＋3a ＋3＝0.∴ Δ＝36－4(3a ＋3)＝－12a ＋24＞0，解得a ＜2.∵ 二次函数的图象在x ≤4的部分与一次函数y ＝2x －1的图象有两个交点，∴ 二次函数y ＝x 2－6x ＋3a ＋3的图象与x 轴x ≤4的部分有两个交点．结合图象(图略)可知，当x ＝4时，x 2－6x ＋3a ＋3≥0.∴ 当x ＝4时，x 2－6x ＋3a ＋3＝3a －5≥0，解得a ≥53.∴ 当二次函数的图象在x ≤4的部分与一次函数y ＝2x －1的图象有两个交点时，a 的取值范围为53≤a ＜244. (1) 由题意，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，又∵ 将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，∴ B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－1a (2) ∵ 点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－1a 关于直线x ＝1对称，点A ，B 均在抛物线上，∴ 抛物线的对称轴为直线x ＝1 (3) ① 当a>0时，则－1a <0.结合图象(图略)可知，此时线段PQ 与抛物线没有交点．② 当a<0时，则－1a >0.结合图象(图略)可知，此时－1a ≤2，解得a ≤－12.综上所述，当a ≤－12时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点45. (1) 将点A(－3，－3)，B(1，－1)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧k ＋b ＝－1，－3k ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝－32.∴ 直线l 对应的函数解析式为y ＝12x －32.联立y ＝ax 2＋2x －1与y ＝12x －32，得2ax 2＋3x ＋1＝0.∵ 抛物线C 与直线l 有交点，∴ Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤98.又∵ a ≠0，∴ a 的取值范围为a ≤98且a ≠0 (2) 根据题意，得二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2.∵ －1<0，∴ 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x ＝1.∵ 当m ≤x ≤m ＋2时，y 有最大值－4，∴ 当y ＝－4时，有－(x －1)2＝－4，解得x ＝－1或x ＝3.① 当x<1时，y 随x 的增大而增大，∴ 当x ＝m ＋2＝－1时，y 有最大值－4，此时m ＝－3；② 当x>1时，y 随x 的增大而减小，∴ 当x ＝m ＝3时，y 有最大值－4.综上所述，m 的值为－3或3(3) 49≤a<98或a ≤－246. (1) 对于抛物线y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，其开口向上，顶点A 的坐标为(1，－1)；当x>1时，y 随x 的增大而增大；当x<1时，y 随x 的增大而减小(2) ① 设抛物线“不动点”坐标为(t ，t)，则t ＝t 2－2t.解得t ＝0或3.∴ “不动点”的坐标为(0，0)或(3，3) ② ∵ 新抛物线顶点B 为“不动点”，则设点B(m ，m)，∴ 新抛物线的对称轴为直线x ＝m ，与x 轴的交点C 的坐标为(m ，0)．∵ 四边形OABC 是梯形，∴ 直线x ＝m 在y 轴左侧．∵ BC 与OA 不平行，∴ OC ∥AB.又∵ 点A 的坐标为(1，－1)，点B 的坐标为(m ，m)，∴ m ＝－1.∴ 新抛物线是由抛物线y ＝x 2－2x 向左平移2个单位长度得到的．∴ 新抛物线对应的函数表达式为y ＝(x ＋1)2－147. (1) 当x ＝0时，y ＝x －b ＝－b ，∴ 点B 的坐标为(0，－b)．∵ AB ＝8，而点A 的坐标为(0，b)，∴ b －(－b)＝8.解得b ＝4.∴ 抛物线L 对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x.∴ 抛物线L 的对称轴为直线x ＝2.当x ＝2时，y ＝x －4＝－2.∴ 抛物线L 的对称轴与直线a 的交点坐标为(2，－2 ) (2) ∵ y ＝－x 2＋bx ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 22＋b 24，∴ 抛物线L 的顶点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，b 24.∵ 点C 在l 下方，∴ C 与l 的距离为b －b 24＝－14(b －2)2＋1≤1.∴ 点C 与l 距离的最大值为1 (3)由题意，得y 3＝y 1＋y 22，即y 1＋y 2＝2y 3，得b ＋x 0－b ＝2(－x 20＋bx 0)．解得x 0＝0或x 0＝b －12.但x 0≠0，取x 0＝b －12.对于L ，当y ＝0时，得0＝－x 2＋bx ，即0＝－x(x －b)．解得x 1＝0，x 2＝b.∵ b ＞0，∴ 右交点D 的坐标为(b ，0)．∴ 点(x 0，0)与点D 间的距离为b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12＝12 (4) ① 当b ＝2 019时，抛物线L 对应的函数解析式为y ＝－x 2＋2 019x ，直线a 对应的函数解析式为y ＝x －2 019.联立上述两个解析式，可得x 1＝－1，x 2＝2 019.∴ 可知每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，且－1和2 019之间(包括－1和－2 019)共有2 021个整数．∵ 另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴ 线段和抛物线上各有2 021个整数点．∴ 总计4 042个整数点．∵ 这两段图象交点有2个点重复，∴ 美点”的个数为4 042－2＝4 040；② 当b ＝2 019.5时，抛物线L 对应的函数解析式为y ＝－x 2＋2 019.5x ，直线a 对应的函数解析式为y ＝x －2 019.5.联立上述两个解析式，可得x 1＝－1，x 2＝2 019.5，∴ 当x 取整数时，在一次函数y ＝x －2 019.5上，y 取不到整数值．∴ 在该图象上“美点”的个数为0.∵ 在二次函数y ＝x 2＋2 019.5x 的图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，可知－1到2 019.5之间有1 010个偶数，∴ “美点”共有1 010个．综上所述，当b ＝2 019时，“美点”的个数为4 040；当b ＝2 019.5时，“美点”的个数为1 010。

2018-2019学年九年级数学下册第二章二次函数2.2 二次函数的图像与性质2.2.1 二次函数y＝±x2的图象与性质同步练习（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学下册第二章二次函数2.2 二次函数的图像与性质2.2.1 二次函数y＝±x2的图象与性质同步练习（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时作业（九)[第二章 2 第1课时二次函数y＝±x2的图象与性质］一、选择题1．下列关于二次函数y＝x2的图象的说法:①是一条抛物线；②开口向上；③是轴对称图形；④过点(0,0)；⑤它的顶点是原点,且是抛物线的最高点；⑥y的值随x值的增大而增大．其中正确的有(）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．下列函数中，当x>0时,y的值随x值的增大而减小的是( )A．y＝x2 B．y＝x－1C．y＝错误!x D．y＝错误!3．下列关于抛物线y＝x2和y＝－x2的异同点说法错误的是( )A．抛物线y＝x2和y＝－x2有共同的顶点和对称轴B．在同一直角坐标系中，抛物线y＝x2和y＝－x2既关于x轴对称，又关于原点对称C．抛物线y＝x2和y＝－x2的开口方向相反D．点A(－3，9）既在抛物线y＝x2上，也在抛物线y＝－x2上4．二次函数y＝x2与一次函数y＝－x－1在同一直角坐标系中的图象大致为（）图K－9－15．已知a＜－1，点(a－1，y1）,(a，y2），(a＋1，y3）都在函数y＝x2的图象上,则（）错误!A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3二、填空题6．函数y＝x2的图象的顶点坐标为________,若点（a，4）在该函数图象上，则a的值是________．7．如图K－9－2，A，B分别为抛物线y＝x2上的两点，且线段AB⊥y轴，若AB＝6，则直线AB的表达式为________．图K－9－28．如图K－9－3，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O处,AD∥x轴,以O 为顶点且过A,D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是________．图K－9－3三、解答题9．已知抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m都经过点（2，n）．(1）画出y＝－x2的图象,并求出m,n的值；(2）抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m是否存在另一个交点？若存在,请求出这个点的坐标．规律探究如图K－9－4，点A1，A2，A3,…，A n在抛物线y＝x2上,点B0，B1，B2,B3，…，B n 在y轴上，若△A1B0B1,△A2B1B2，…，△A n B n－1B n都为等腰直角三角形(点B0在坐标原点处)，则△A2018B2017B2018的腰长等于________．图K－9－4详解详析【课时作业】[课堂达标］1．［解析] B ①②③④正确．2．[答案］ D3．[解析］ D 点A（－3，9）在抛物线y＝x2上，但不在抛物线y＝－x2上．故选D。

2019年中考数学真题分类汇编二次函数图像性质选择题20题一、选择题：1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=1，下列结论：①abc＜0②b＜c③3a+c=0④当y＞0时，﹣1＜x＜3。

其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2、如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A.①②③B.①②④C.②③④D.③④⑤3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c ＜0，正确的是（）A.①②B.①④C.②③D.②④4、已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④ax2+bx+c=﹣2的根为x1=x2=﹣1；⑤若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2.其中正确的个数是（）A.2B.3C.4D.55、二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b=0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（）A.1B.2C.3D.46、从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h=30m时，t=1.5s.其中正确的是（）A.①④B.①②C.②③④D.②③7、在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示：现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c=0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0. 其中错误结论的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个8、如图所示，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，OA=OC ，对称轴为直线x=1.则下列结论：①abc ＜0；②a+21b+41c=0；③ac+b+1=0；④2+c 是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根.其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个9、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，直线x=1是它的对称轴。

图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）（0a ≠），则： 开口方向 00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下，a 越大，开口越小． 对称轴 2bx a=-（或x h =）． 顶点坐标(2ba-，24)4ac b a -或(h ，)k ． 单调性当0a >时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大（如图1）；知识互联网思路导航题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系二次函数图象综合应用当0a <时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小（如图2）与坐标轴的交点① 与y 轴的交点：()0c ，； ② 与x 轴的交点：()()1200x x ，，，，其中12x x ，是方程()200ax bx c a ++=≠的两根．图象与x 轴的交点个数① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点． ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点． ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点．Ⅰ当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； Ⅱ当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．【引例】 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号【解析】 由图知：图象开口向上，所以0a >；函数的对称轴02bx a=->，所以0b <；函数图象与y 轴的交点小于0，所以0c <；函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以240b ac ->；同时12bx a=-<，所以20a b +>；1x =所对应的函数值小于0，所以0a b c ++<； 1x =-所对应的函数值大于0，所以0a b c -+>【例1】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点()a c ，在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数b ax y +=与反比例函数xcy =在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ） 例题精讲典题精练A ．B ．C ．D ．⑶ 一次函数()0≠+=a b ax y 、二次函数bx ax y +=2和反比例函数()0≠=k xky 在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为()02，-，则下列结论中，正确的是（ ）A ．k a b +=2B ．k b a +=C ．0＞＞b aD ．0＞＞k a【解析】 ⑴ B. ⑵ B ．⑶D.【例2】 ⑴ 如图，抛物线2y ax bx c =++，OA OC =，下列关系中正确的是（）A ．1ac b +=B ．1ab c +=C ．1bc a +=D ．1ac b+= ）⑵ 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，若12OB OC OA ==，则b 的值为 ．【解析】 ⑴ A ．提示：把()0c -，代入2y ax bx c =++即可．⑵ 12-．提示：先把B ()0c ，代入2y ax bx c =++，得1ac b =--，再把()0c ，代入()()2y a x c x c =+-即可．【例3】 ⑴ 函数2y ax bx c =++与x y =的图象如图所示，有以下结论：①ac b 42-＞0；②01=++c b ；③063=++c b ；④当1＜x＜3时，()012＜c x b x +-+．其中正确的为．⑵ 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列8 个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数）；⑥20a b += ；⑦240b ac -<，⑧22()a c b +>，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】 ⑴ ③④⑵ C ．对称轴在y 轴的右边得0ab <（由开口向下得0a <，故0b >），抛物线与y 轴交于正半轴得0c >，∴0abc <，①不正确；当1x =-时，函数值为0a b c -+<，②不正确； 当2x =时，函数值420a b c ++>，③正确；其实0x =和2x =到对称轴1x =的距离相等，函数值相等得42a b c c ++=，∴2b a =-代入0a b c -+<，32bc <，即23c b <，④正确；当1x =，∵1m ≠，2max y a b c am bm c =++>++，可知⑤正确；由对称轴12ba-=得20a b +=，故⑥正确；抛物线与x 轴有两个交点，故240b ac ->，故⑦不正确；0a b c ++>，0a b c -+<，故()220a c b +-<，故⑧不正确．对于二次函数()20y ax bx c a =++>（max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） ⑴ 若自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处2bx a=-时，取到最值． ⑵ 若2bm x n a<-≤≤，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． ⑶ 若2bm x n a-<≤≤，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． ⑷ 若m x n ≤≤，且2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--,如图④，当2bx a=-，min y y =； 当x n =，max y y =．【引例】 ⑴ 若x 为任意实数，求函数221y x x =-+的最小值；⑵ 若12x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑶ 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；b 思路导航例题精讲题型二：二次函数的最值⑷ 若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑸ 若x 为整数，求函数221y x x =-+的最小值．【解析】 ⑴ 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：当112224b x a -=-=-=⨯时，y 的最小值是24748ac b a -=． ⑵ 由图象可知：当12x ≤≤时，函数221y x x =-+单调递增，当1x =时，y 最小，且21112y =⨯-+=，当2x =时，y 最大，且222217y =⨯-+=．⑶ 由图象可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =．∵当0x =时，20011y =⨯-+=；当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．⑷ 由函数图象开口向上，且120<4x -≤≤，故当2x =-时，y 取最大值为11，当0x =时，y 取最小值为1．⑸ ∵112224b x a -=-=-=⨯，当0x =时，y 取最小值为1．【点评】 由此题我们可以得到：求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标2bx a=-是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．【例4】 ⑴ 已知m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，则代数式6822+-k k 的最小值 为 ．⑵ 已知实数x y ，满足2330x x y ++-=，则x y +的最大值为 ．⑶当12x ≤时，二次函数223y x x =--的最小值为（ ） A ．4- B ．154- C ．12- D ．12【解析】 ⑴∵m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，∴m 、n 、k 最小为0，当n =0时，k 最大为：21；∴210≤≤k ，故最小值为2.5．⑵ 4．提示：233y x x =--+，令()222314q x y x x x =+=--+=-++，当1x =-，q的最大值为4．本题属于x 为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．⑶ B ．提示：二次函数的对称轴为1122b x a =-=>，且抛物线的开口向上，故12x =时，y 的最小值为154-．【例5】 如图，抛物线211y ax ax =--+经过点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且与抛物线221y ax ax =--相交于典题精练A B ，两点．⑴ 求a 值； ⑵ 设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F ，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；⑶ 设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点()0Q x ，，且A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C D ，两点，试问当x 为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？【解析】 ⑴ ∵点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线211y ax ax =--+上，∴1191428a a -++=，解得12a =．⑵ 由⑴知12a =，∴抛物线2111122y x x =--+，2211122y x x =--．当2111022x x --+=时，解得12x =-，21x =．∵点M 在点N 的左边，∴2M x =-，1N x =． 当2111022x x --=时，解得31x =-，42x =． ∵点E 在点F 的左边，∴1E x =-，2F x =．∵0M F x x +=，0N E x x +=，∴点M 与点F 关于y 轴对称，点N 与点E 关于y 轴对称． ⑶ ∵102a =>．∴抛物线1y 开口向下，抛物线2y 开口向上． 根据题意，得12CD y y =-22211111122222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又21221112211122y x x y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消y可解得12x x ==，则当0x =时，CD 的最大值为2．【例6】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，试求a b c ++的取值范围．【解析】 ⑴ 根据二次函数图象可知0a <，又此二次函数图象经过(10)，，(01)， 则有0a b c ++=，1c =，得(1)b a =-+，∵0a <，据图象得对称轴在y 轴左侧，∴0b <∴()10a -+<，∴1a >-于是有10a -<<． ⑵ 由图象可知0a >．又顶点在y 轴的右侧，在x 轴的下方，则：02ba->，2404ac b a -<，∴0b <． 又∵当0x =时，1y c =-=当0y =时，1x =-，∴0a b c -+= ∴10a b =+> ∴10b -<<．∴202a b c a b c b b ++=-++=+ ∴220b -<<，即20a b c -<++<．精讲：数形结合思想在二次函数中的应用探究【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用 【探究过程】【探究1】数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围的应用；二次函数的图像信息：⑴ 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性．⑵ 根据抛物线的对称轴的位置判断a 与b 之间的关系． ⑶ 根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．⑷ 根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性．⑸ 根据抛物线所经过的特殊点的坐标，可得到关于a b c ，，的等式． ⑹ 根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小．例. 2y ax bx c =++的图象如图所示．设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--， 则（ ）A ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为0分析：依题意得0a >，012ba<-<，∴0b <，20a b +>，20a b ->， 又当1x =时，0y a b c =++<，当1x =-时，0y a b c =-+>，故()()(2)(2)2()0M a b c a b c a b a b a b c =-++--+++--=--+<，故选C ．☆【探究2】数形结合思想在求解二次函数的区间最值中的应用；(区间最值问题为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲) 区间最值分三种类型: “轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”；1、轴定区间定：2、轴动区间定：例．求2()22f x x ax =-+在[24]，上的最大值和最小值． 分析： 先求最小值．因为()f x 的对称轴是x a =，可分以下三种情况：⑴ 当2a <时，()f x 在[24]，上为增函数，所以min ()(2)64f x f a ==-； ⑵ 当24a ≤≤时，()f a 为最小值，2min ()2f x a =-；⑶ 当4a >时，()f x 在[24]，上为减函数，所以min ()(4)188f x f a ==-．综上所述：2min 64, (2)()2, (24)188, (4)a a f x a a a a -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤最大值为(2)f 与(4)f 中较大者：(2)(4)(64)(188)124f f a a a -=---=-+，（1）当3a ≥时，(2)(4)f f ≥，则max ()(2)64f x f a ==-； （2）当3a <时，(2)(4)f f <，则max ()(4)188f x f a ==-．故max 64, (3)()88, (3)a a f x a a -⎧=⎨-<⎩≥ 点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x a = 与区间[24]，的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较(2)f 与 (4)f 的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两 种情况． 3、轴定区间动：例．若函数2()22f x x x =-+当1t x t +≤≤时的最小值为()g t ，求函数()g t 当[32]t ∈-，时的最值． 分析：2()(1)1f x x =-+，按直线1x =与区间[1]t t +，的不同位置关系分类讨论：若1t >，则2min ()()(1)1f x f t t ==-+；若11t t +≤≤，即01t ≤≤，则min ()(1)1f x f ==； 若11t +<，即0t <，则2min ()(1)1f x f t t =+=+．∴22(1)1(1)()1(0)1(0)t t g t t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩≤≤1 函数()g t 在(0)-∞，内是减函数，在[01]，内是常值函数，在(1)+∞，内是增函数，又(3)(2)g g ->，故在区间[32]-，内，min ()1g t =（当01t ≤≤时取得），max ()(3)10g t g =-=．小结：（i ）解此类问题时，心中要有图象；（ii ）含参数问题有两种：一种是“轴变区间定”，另一种是“轴定区间变”．讨论时，要紧紧抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，这是进行正确划分的关键．☆【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用；(区间根问题同样为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲）二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标．因此， 可以借助于二次函数及其图像，利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分布问题．设二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个实根1x 、2x ()21x x ＜，ac b 42-=∆，方程对应的二次函数为()()02≠++=a c bx ax x f ．1．当方程有一根大于m ，另一根小于m 时，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ；2．当方程两根均大于m 时，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， m ab2-，()0＞m af ； 3．当方程两根均在区间()n m ，内，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， n abm ＜＜2-，()0＞m af ，()0＞n af ； 4．当两根中仅有一根在区间()n m ，内，对应函数()x f 的图像有下列四种情形：方程系数所满足的充要条件： ()()0＜n f m f ⋅；5．当两根在区间[]n m ，之外时：对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ，()0＜n af ；6．当两根分别在区间()n m ，、()t s ，内，且s n ≤，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＞m af ，()0＜n af ，()0＜s af ， ()0＞t af ．小结： 由函数图像与x 轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑三个方面：①判别式ac b 42-=∆的符号；②对称轴abx 2-=的位置分布；③二次函数在实根分布界点处 函数值的符号．例．若方程01222=+-+m mx x 的两个根均大于2，求实数m 的取值范围． 分析：令()1222+-+=m mx x x f ，如图得充要条件：()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=≥+-⋅-=∆20124220124422＞＞m m m f m m ，解得4316-≤-m ．训练1. 已知：a b c >>，且0a b c ++=，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是下列图象中的（ ）A B C D【解析】 B ．由a b c >>，且0a b c ++=，可得0a >， 0c <，且过()10，点，由a b c >>，且a b c ++=0，利用不等式性质，可以进一步推出下列不等关系：a b a b >>--，∴112ba -<<， ∴11224b a -<-<．另一方法：∵a b >，∴330a b ->，330a b a b c -+++>，从而得到420a b c -+>．训练2.已知二次函数()2211y kx k x =+--与x 轴交点的横坐标为1x 、2x ()12x x <，则对于下列结论：⑴ 当2x =-时，1y =；⑵ 当2x x >时，0y >；⑶ 方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根1x 、2x ；⑷11x <-，21x >-；⑸21x x -=确的结论是______.（只需填写序号）【解析】 ⑴⑶⑷．当2x =-时，代入得1y =，故⑴正确；因为k 的符号不确定，故开口不确定，因此无法确定当2x x >时，0y >，故⑵不正确；联立方程()22110y kx k x y ⎧=+--⎪⎨=⎪⎩可得()22110kx k x +--=，抛物线与x 轴有两个交点，即方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根．当1x =-时，y k =-，若0k >，0y k =-<，若0k <，0y k =->，故⑷正确．21x x -=.训练3. 如图所示，二次函数2(2)5y x a x a =--+-的图象交x 轴于A 和B ，交y 轴于C ，当线段AB 最短时，求线段OC 的长．【解析】 设1(A x ，0)，2(B x ，0)，思维拓展训练(选讲)则1x ，2x 是方程2(2)50x a x a --+-=的两根，则12AB x x =-=== 当4a =时，AB 取最小值，即最短，此时，抛物线为221y x x =--， 可求得C 的纵坐标为1-，即线段OC 的长是1．训练4. 小明为了通过描点法作出函数21y x x =-+的图象，先取自变量x 的7个值满足：213276x x x x x x d -=-==-= ，再分别算出对应的y 值，列出表1：表1：x1x 2x3x4x 5x 6x7xy1 3 7 13 21 31 43记121m y y =-，232m y y =-，343m y y =-，454m y y =-，…； 121s m m =-，232s m m =-，343s m m =-，… ⑴ 判断1s 、2s 、3s 之间关系；⑵ 若将函数“21y x x =-+”改为“2(0)y ax bx c a =++≠”，列出表2：表2：x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x y1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y其他条件不变，判断1s 、2s 、3s 之间关系，并说明理由；⑶ 小明为了通过描点法作出函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，列出表3： 表3： x 1x 2x 3x4x 5x 6x7x y 10 50 110 190 290 420 550由于小明的粗心，表3中有一个y 值算错了，请指出算错的y 值（直接写答案）．【解析】 ⑴ 123s s s ==；⑵ 123s s s ==．证明：()()222121111112m y y a x d b x d c ax bx c adx ad bd ⎡⎤⎡⎤=-=++++-++=++⎣⎦⎣⎦()222322122m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2234331222m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2245441223m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()22212111222s m m ad x d ad bd adx ad bd ad ⎡⎤⎡⎤=-=+++-++=⎣⎦⎣⎦ 同理22322s m m ad =-=，23432s m m ad =-=． ∴123s s s ==．⑶ 表中的420改为410．题型一 二次函数图象与其解析式系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴ 函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（ ）⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）【解析】 ⑴ A ．⑵ D ．【练习2】 如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经点()12-，和()10，且与y 轴交于负半轴．⑴ 下列四个结论：①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++=， 其中正确的结论的序号是 ． ⑵给出下列四个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=；④1a >．其中正确的结论的序号是 ．【解析】 ⑴图象开口向上得0a >；对称轴02ba->可得0b <；当0x =时，0y <，即0c <；由1x =时，0y =，即0a b c ++=．故①④．⑵由⑴可知0abc >；对称轴12ba-<，∴20a b +>；∵点()12-，和()10，在抛物线上，代入解析式得20a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩两式相加得1a c +=，得1a c =-，∵0c <，∴11c ->，即1a >．A BCD复习巩固故②③④．【练习3】 如图，表示抛物线2y ax bx c =++的一部分图象，它与x轴的一个交点为A ，与y 轴交于点B ．则b 的取值范围是（ ）A ．20b -<<B ．10b -<<C ．102b -<< D ．01b <<【解析】 B ．【练习4】 二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象大致如图所示，⑴判别a ，b ，c 和24b ac -的符号，并说明理由； ⑵如果OA OC =，求证：10ac b ++=【解析】 ⑴ 解：因为抛物线开口向上，0a >．因为抛物线与y 轴交于负半轴，0c <．又因为抛物线对称轴在y 轴的右侧，02ba->，即a ，b 异号，由0a >，得0b <． 因为抛物线与x 轴有两个交点，所以方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，所以其判别式240b ac ->．⑵ 证明：由于C 点坐标为()0c ，，而OA OC =，所以A 点坐标为()0c ，，把()0A c ，代入2y ax bx c =++，得20ac bc c =++． 因为0c ≠，所以10ac b ++=．题型二 二次函数的最值 巩固练习【练习5】 已知：关于x 的一元二次方程22(2)0x n m x m mn +-+-=①.⑴ 求证：方程①有两个实数根；⑵ 若10m n --=，求证方程①有一个实数根为1；⑶ 在⑵的条件下，设方程①的另一个根为a . 当2x =时，关于m 的函数1y nx am =+与()2222y x a n m x m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线l 与1y 、2y 的图象分别交于点C 、D . 当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，求CD 的最大值.【解析】 ⑴ 证明：()()22224n m m mn n ∆=---=.∵20n ≥， ∴0∆≥. ∴方程①有两个实数根.⑵ 解：由10m n --=，得1m n -=当x =1时，等号左边212n m m mn =+-+-()121210n m m m n n m m n m =+-+-=+-+=+-=. 等号右边=0. ∴左边=右边.∴ 1x =是方程①的一个实数根.⑶ 解：由求根公式，得22m n nx -±=.x =m 或x m n =-∵ 1m n -=， ∴ a m =.当2x =时，222122(1)22y n m m m m m =+=-+=+-，22222()()42(1)24y m n m m m m n m m m m m =+--+-=+--+=--+如图，当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，22211273363(24CD y y m m m =-=--+=-++由12y y =，得222224m m m m +-=--+解得m =-2或m =1.∴ m A =-2，m B =1.∵-2<12-<1，∴当m =12-时，CD 取得最大值274.【测试1】 设二次函数()20y ax bx c a =++≠图像如图所示，试判断：24a b c a b c a b c b ac ++-+-、、、、、的符号．【解析】由图像可知0a >，102ba-<<，2404ac b a -<，2000a b c ⋅+⋅+<，0a b c -+=，0a b c ++>，于是20000040a b c a b c a b c b ac >><++>-+=->，，，，，．【测试2】 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；【解析】由图像可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =． ∵当0x =时，20011y =⨯-+=当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．课后测。