人教版高中数学选修2-1第三章单元测试(二)- Word版含答案

高二数学选修2-1第三章章末测试卷考试时间：60分钟 命题人：杨波 备课组长：姓名：___________班级：___________一、选择题（本题共7道小题，每小题7分，共49分）1.一束光线自点P （1，1，1）发出，遇到平面xoy 被反射，到达点Q （3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（）A ．B ．C ．D ．2.已知平面α的法向量为(2,2,4),(3,1,2)n AB =-=-，点A 不在α内，则直线AB 与平面的位置关系为A ．AB α⊥ B ． AB α⊂C ．AB 与α相交不垂直D ．//AB α 3.已知平面α内有一点)2,1,1(-M ，平面α的一个法向量为)6,3,6(-=n ，则下列点P 中，在平面α内的是（ ）A. )3,3,2(PB. )1,0,2(-PC.)0,4,4(-PD.)4,3,3(-P4.已知O （0，0，0），()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为（ ） A. 66± B. 66 C. 66- D. 6± 5.若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则( )A B 1:1:1 C －:1:1 D 3:2:46.已知斜三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）A ．34B ．54C ．74D ．347.三棱锥错误！未找到引用源。

三条侧棱两两垂直，PA=a ，PB=b ，PC=c ，三角形ABC 的面积为S ，则顶点P 到底面的距离是（ ）A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

二、填空题（本题共3道小题，每小题7分，共21分）8.在xOy 平面内的直线x+y=1上确定一点M ，则M 到空间直角坐标系Oxyz 的点N （2，3，1）的最小距离为 ．9.已知空间四点(0,3,5),(2,3,1),(4,1,5),(,5,9)A B C D x 共面，则x = ．10.在四面体ABCD 中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD 与BC 成角60°，且AD=，则BC 等于 ． 三、解答题（本题共2道小题，每小题15分，共30分）11.如图，几何体EF ﹣ABCD 中，CDEF 为边长为1的正方形，ABCD 为直角梯形，AB∥CD，CD⊥BC，BC=1，AB=2，∠BCF=90°（Ⅰ）求成：BD⊥AE（Ⅱ）求二面角B ﹣AE ﹣D 的大小．12.已知长方体1AC 中，棱1AB BC ==，棱12BB =，连接1B C ，过B 点作1B C 的垂线交1CC 于E ，交1B C 于F 。

2018-2019学年选修1-1第三章训练卷导数及其应用（二）注意事项：1 •答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3 •非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4 •考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

、选择题（本大题共12个小题, 选项中，只有一项是符合题目要求的）1 .一个物体的运动方程是S =1 -1那么物体在3s时的瞬时速度是（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个t2，其中S的单位是m , t的单位是号证考准名姓级班C.C. 5m/s 函数f（x）= sinx+ cosx在点（0, f（0））处的切线方程为（B. 6 m/sx—y+1=0x+y—1 = 03 .已知函数sx+ sinx,贝UA. 2B. 2—14.函数f（x）= x2—In2x的单调递减区间是（0鳥C.5 .函数6 .函数x—y—1 = 0x+y+1=03f(x)= 3x—4x (x€ [0,1])的最大值是(f（x）= x3+ ax2+ 3x—9，已知f（x）在x= —3处取得极值，则a=(A. 2 B . 3 C. 4 D . 57.设函数f(x) = g(x) + X2,曲线y= g(x)在点(1 , g(1))处的切线方程为y= 2x+ 1, 则曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率为( )1 1A. 4 B . — - C. 2 D .—?&等比数列｛a n｝中，a1 = 2, a8= 4,函数f(x) = x(x—a“(x—a2)…(一a8), 则f (0=()6 9 12 15A. 2 B . 2 C . 2 D . 249已知点P在曲线y=H 上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范e + 1围是（)n n n n 3 n 3 nA .[0,4)B.Q ?)C.(》N] D . 才10 .设n € N + ,曲线ny= x(1 —x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n,则a4= ( )A . 80B.32C. 192 D . 2562 、，、11 .某产品的销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数：y1 = 17x,生产成本y2（万元）是产量x（千台）的函数：y2= 2x3—x2（x>0），为使利润最大，应生产（）A.6千台B. 7千台C. 8千台D. 9千台12已知定义在R上的函数f（x）, f(x) + x fk(<0,若a<b，则一定有( )A.af(a)<bf(b)B.af(b)<bf(a)C.af(a)>bf(b)D.af(b)>bf(a)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）113. ------------------------ 已知y = ln ______ 2,贝V y = .\1 + x14. 电动自行车的耗电量y与速度x之间有如下关系：y=fx3—"^x2—40x（x>0）,为使耗电量最小，则速度应定为__________ .15. 已知函数f（x）= x3—4ax2+ 5x（a € R）.若函数f（x）在区间（0,2］上无极值，则a的取值范围是_________ .16•若函数f(x)=舟在区间(m,2m+ 1)上单调递增，则实数m的取值范围是18-(12分)设函数f(x)= x-3ax+ 3bx的图象与直线12x+ y- 1= 0相切于点x (1,- 11).------------ . (1)求a, b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性. 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (10分)已知函数y= x3- 3x,过点A(0,佝作曲线y = f(x)的切线，求切线方程.19 . (12分)设函数f(x) =旦x3+ bx2+ cx+ d(a>0),且方程f 'x) —9x= 0的两个根分别3理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m，如果池外周壁建造单价为每米400为1, 4.若f(x)在(—8,+^内无极值点，求a的取值范围.20. (12分)如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).(1)写出总造价y (元)与污水处理池长x (m)的函数关系式，并指出其定义域；(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.21. (12分)函数f(x)= x3+ ax2+ b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3x+ y = 0平行.(1)求a, b;(2)求函数f(x)在[0, t](t>0)内的最大值和最小值.22 . (12分)已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且f(x)在区间[—1,4]上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式；37m,使得方程f(x) + 一 = 0在区间(m, m+ 1)内有且只有两个x求出所有m的值；若不存在，请说明理由.(2)是否存在自然数不等的实数根？若存在,2018-2019学年选修1-1第三章训练卷导数及其应用(二)答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 【答案】C【解析】记St =1 -1 ，则S' t =-1 • 2t .&【答案】C【解析】f'x(= x' x—a“(x—a2)…(x—a8)] + [(x—a1)(x—a2)…(一a8)] x -=(x—a1)(x —a2)…(一a8)+ [(x—a1)(x—a2)…(一a g)] x,-所以f' (0) (0—a”(0 —a2)…(0- a g) + [(0 —a”(0 —a2)]…(0- a8)] '=0a2…a&.因为数列｛ a n｝为等比数列，所以a2a7= a3a6= a4a5= 3^8= 8, f' (0= 84 5 6 7 8 9 10= 212,故选C.9. ［答案】D【解析】考查导数的几何意义、均值不等式及三角不等式.4 •【答案】A1 2x — 1【解析】T f'x(= 2x—-= ----------- ，当0<xWr时，f'x) <0 故选 A .x x 25 •【答案】A【解析】f'x) = 3 —12x2,令f'x)= 0，则x =—勿舍去)或x =-2 ,f(0) = 0, f(1) = —1, f 1= 3-2 = 1, • f(x)在[0,1]上的最大值为1,故选 A .6.【答案】D【解析】f'x) = 3x2+ 2ax+ 3,T f'—3) = 0, • 3* —3)2+ 2a凡—3) + 3= 0,二a = 5, 故选D .7 .【答案】A【解析】因为曲线y= g(x)在点(1, g(1))处的切线方程为y= 2x+1，所以g' (1=2,又f'x) = g'刈+ 2x,所以f' (1=g'附2= 4,即曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率为4，故选A .、填空题(本大题共 4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横 切线方程为 9x — y + 16= 0. 物体在3s 时的瞬时速度是 S'3]=「1 • 6 =5m/s ，故选C .2. 【答案】A【解析】f' x) = cosx — sinx , f '(時 cos0— sin0 = 1,••• f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为 y — 1 = 1 X(x — 0)即x — y + 1 = 0，故选A .4e x4…tan 2—(e x )+2e x +1e x +丄+ 2(e x +1)exx 1X 1T e>0, • e + g 》2当且仅当 x = 0 时取等号)，• e +g+ 2 >4 • 0<3.【答案】 C 3•• — 1 < ta a <0 ,T a [0, n) • a [- n n)故选 D .10. [答案】A[解析】当 x = 2 时，y = 2n (1 — 2) = — 2n ,因为 y 丄 nx n」(1 - x) x n(-1) = nx n- (n - 1)x n，所以曲线 y = x n (1 — x)在 x = 2 处的切线斜率k = n 2n」-(n • 1) <2n，所以切线方程为y+2n=[n ”2n~-(n+1) ”2n] ”(x—2)①，令 x = 0,则①式可化为 y = (n + 1)2n , 所以 a n = (n + 1)2n ,故 a 4= 80,故选 A . 11. [答案】A[解析】设利润为 y ,则y = y 1 — y 2= 17x 2— (2x 3 — x 2)= 18x 2— 2x 3, y'= 36x — 6x 2,令y'= 0得x = 6或x = 0(舍),f(x)在(0,6)上是增函数，在(6, + ^上是减函数， • x = 6时y 取得最大值.故选 A . 12. [答案】C[解析】[x f (x)] = x'f(x)+ x f'(= f(x) + xf'x)<0,「.函数 x f (x )是 R 上的减函数， T a<b ,「. af(a)>bf(b).故选 C .x 4e2 4—厂<1e x +—x + 2e线上)x13. 【答案】—币2【解析】先将函数式化简后再求导数. 14. 【答案】40【解析】 由y '= x 2— 39x 一40= 0得x =— 1(舍去)或x = 40. 当0<x<40时，y ' <；当x>40时，y ' >0所以当x = 40时，y 有最小值. 15. 【答案】a —54【解析】 函数f(x)在区间(0,2］上无极值，即f 'x) = 3x 2— 8ax + 5 = 0在(0,2］上无解或 18 .【答案】(1) a = 1, b =— 3; (2)见解析. 【解析】(1)求导得f'x) = 3x 2— 6ax + 3b .由于f(x)的图象与直线12x + y — 1 = 0相切于点(1, — 11), 1 — 3a + 3b = — 11,所以 f(1) = — 11, f ' (1= — 12,即*解得 a = 1, b =— 3.3 — 6a + 3b =— 12,(2)由 a = 1, b =— 3 得 f'x)= 3x 2— 6ax + 3b = 3(x 2— 2x — 3) = 3(x + 1)(x — 3). 令 f'x)> 0 ,解得 x< — 1 或 x>3;又令 f' x)< 0,解得—1<x<3. 故当x € (—a, — 1)和x € (3,+ a 时，f(x)是增函数， 当x € (—1,3)时，f(x)是减函数.有两个相同的解，当f'(x) = 0在(0,2］上无解,20 .【答案】(1) y = 800x + 259；00+ 16000 25W x w 16； ( 2)见解析.三、解答题(本大题共 6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演由 8a =€ [2 ,^,+-x),则 8a<2 15 即当f'x) = 0在(0,2］上有两个相同的解，得 a =一154综上，所求a 的取值范围是a 导. 4【解析】 由 f(x)=^x 3+ bx 2 + cx + d ,得 f'x)= ax 2 + 2bx + c .3 因为f'x) — 9x = 0，即ax 2 + 2bx + c — 9x = 0的两个根分别为 1,4,所以a + 2b +c — 9= 0, 16a + 8b + c — 36= 0.16.【答案】(—1,0］ 【解析】f'x)=4 -4x 2，令f'x)> 0,得一1<x<1，即函数f(x)的增区间为(一1,1).m >— 1,又 f(x)在(m,2m + 1)上单调递增，所以m<2m + 1，gm + 1 w 1.由于a>0，所以“(x) = £x 3+ bx 2 + cx + d 在(—a, + a 内无极值点"等价于3 “'x) = ax 2 + 2bx + 00 在(—a,+a 内恒成立” 由①式得 2b = 9— 5a , c = 4a .又△= (2b)2— 4ac = 9(a — 1)(a — 9).解得—1<m W0，得1W a W9,即a 的取值范围是［1,9］.算步骤)17.【答案】9x — y + 16 = 0.【解析】曲线方程为y = x 3— 3x ,点A(0,佝不在曲线上. 设切点为M(x °, y °)，则点M 的坐标满足y 0=好―3心 因为 f'x 0)= 3(x 0? — 1),故切线的方程为 y — y °= 3(x^2 — 1)(x — x °). 点 A(0,16)在切线上，则有 16—(X 。

空间向量与立体几何 （A ）、选择题:1 •在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的 直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、 c 三向量一定也共面；④已知三向量 a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯 一表示为 p 二xa yb zc .其中正确命题的个数为 （）A. 0B. 1C. 2D. 32. 在平行六面体 ABCD- ABGD 中，向量DA 、DC 、AG 是（）A.有相同起点的向量 B •等长向量 C •共面向量 D •不共面向量3. 已知 a =（ 2，— 1， 3）， b =（一 1， 4，一 2）， c =（ 7， 5，入），若 a 、b 、c 三向量共面，则实数入等于（）A. 62B. 63C. 64D. -65777|7 -4. 直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，若 CA 二a,CB 二b’C 。

=c ，则 AB =（）A. a +b — cB. a — b +cC.— a + b +cD.— a +b — c5.已知 a + b + c = 0,| a | = 2,| b | = 3,| c | =、、19，则向量 a 与 b 之间的夹角：::a,b . 为()A. 30°B. 45°C. 60°D.以上都不对6. 已知△ ABC 的三个顶点为 A (3，3, 2)，B(4，— 3, 7)，C (0，5，1)，则BC 边上中线长()A . 2 B. 3C. 4D. 57.已知a = 3i •2j‘ -k,b = i - j • 2k,则5a 与3b 的数量积等于()A.^—15一 5C. 一 3D. 一 18. 已知 OA =(1,2,3) , OB =(2,1,2) , OP =(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，则当 QA QB二、填空题：9.若向量 a =（4,2,-4）,b =（6,-3,2），则（2a 10 .已知向量 a 」（2,-1,3）,b =（-4,2,x ），若：一 b ，则 X 二 X = _____ O11.已知向量 a =(3,5,1)，b= (2,2,3)，c=(4,-1,-3)， 则向量2a -3b - 4c 的坐标为 ___________ .12 .在空间四边形ABCC 中，AC 和BD 为对角线,G 为^BC 的重丿心，E 是BD 上一点，BE = 3ED _取得最小值时， 点Q 的坐标为（ )A. (1,3,1)2 43 B. (1,-,3)2 3 4C (4,4,8)3 3 34 4 7 D (4,-,Z )3 3 3O以｛AB，AC，AD ｝为基底，则GE = __________13. _____________________________________________________________ 在空间直角坐标系O-xyz中，点P（2,3,4）在平面xOy内的射影的坐标为_______ 一点P（2,3,4）关于平面xOy的对称点的坐标为——三、解答题：14. 如图正方体ABCDABQD,中，E、F、G分别是B,B、AB BC的中点.(1)证明：D,F丄平面AEG(2)求cos ：：AE，D,B ■15. 如图，已知矩形ABC靳在平面外一点P, PAL平面ABCDAB=1,BC=2,PA=2E、F 分别是AB PC的中点.(1) 求证：EF//平面PAD(2) 求证：CD L EF(2)求EF与平面ABCD所成的角的大小.16. 如图4,在长方体ABCD-ABCD中，AD=A1=1, AB = 2，点E在棱AB上移动, 问AE等于何值时，二面角D-EC-D的大小为」.419.如图5所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEGF所截而得到的，其中AB =4, BC =2, CC1 =3, BE =1 .(2)求点C到平面AEGF的距离.(1)求//题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案A C D D CB AC 参考答案 、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50 分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 9. -212 10 . 1°,_6 11 . （16,0, -19） 12 . 一丄 AB_】AC ^AD 13.3 12 3 4（2,3,0）;（2,3,-4） 三、解答题（本大题共6题，共80分） 14 .解：以D 为原点，DA DC DA 所在的直线分别为x 、y 、z 轴, 建立空间直角坐标系，设正方体 AG 棱长为a ,则D （0，0，0）， a A （a ，0, 0），B （a ，a ，0），0 （0, 0, a ），E （a ，a ,—）, 2 F （a ，a ，0）， (1) AE =(0, G ( —， a ， 0). 2 — —)，二 D 1F A E =ax0+—xa —ax —=0 • 2 2 2 _ AE T EG AE =E ，二 0F _ 平面 AEG （2）由 AE*，a ，f ），D 1B =（ a ，a ，-a） AE D i B cos AE , D 1B = - A D 1B2 12 a a 2 0 +a 2 十亍 J a 2 +a 2 十(一a)215.证：如图，建立空间直角坐标系 ，则:A(0, 0, 0) ，B(1,0, 0) D ；0,2, 0) ，P(0, 0, 2) l 1 l 1 ••• E (2,0, 0) ，F (2,1, 1) A - xyz ， ，C(1,2, 0)， ••• E 为AB 的中点, DF 为PC 的中点T 1 T T(1) ••• EF 二(0, , 1) ， AP 二(0, 0, 2) ， AD = (0, 2, 0) 1••• TEF = - (^AP + *D) ••• 飞F 与*P 、*D 共面 又••• E 平面PAD ••• EF//平面 PAD ⑵T CD = (- 1, 0, 0)二 CD • TEF = (- 1, 1) = 0 二 CD! EF.⑶ T 飞F 二(0, 1, 1) , "A P 二(0, 0, 1)/. cos "E F , _A P \=—(^E F ,27 22T "A P 丄平面AC, ••• T AP 是平面AC 的法向量••• 90 —飞F , TAP = 45 .TAP = 45BD0, 0) • (0, EF 与平面AC 所成的角为:1116.解：设AE 二x ，以D 为原点，直线DA , DC , 所在直线分别为x , y z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(1,0,1 ), D(0,0,1 ), E(1，x,0) A(1,0,0), C(0，2,0).III• CE =(1 , x -2, 0, DiC =(0 , 2, -1), DD 1 =(0,0,1).设平面D i EC 的法向量为n = (a , b, c),• x=2-..3 ( x=2「3 不合题意，舍去).B • AE=2-・.3 .17.解：(1)以D 为原点,DAF , DC , DF 所在直线为x 轴,y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D —xyz ,D(0,0, 0, B(2,4,0), A(2 ,0, 0) C(0, 4, 0) E(2,4,1), G(0,4,3),设 F(0,0, z).由 AF =EC ,得(-2,0 , z) =(-2, 0,2),F(0,0,2, BF =( -2 , -4, 2).得 4y 1=0, . x"， 得-2x 2 =0.…y -.L 4(2)设口为平面AEGF 的法向量,由"DC "二. n *CE 二 02b 一 c =0, a b(x -2) =0,令b =1依题意••• n 二(2_x , ,12)• BF =276..(x-2)2 5贝 q二4.3333I又=(0,0, 3),设CG与n的夹角为:,4 33 • C到平面AEGF的距离d二CG cosot =11。

第三章 单元质量评估(二)时限：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知空间四边形ABCD ，G 是CD 的中点，连接AG ，则AB →＋12(BD →＋BC →)＝( )A.AG →B.CG →C.BC→ D.12BC →解析：在△BCD 中，因为G 是CD 的中点，所以BG →＝12(BD →＋BC →)，从而AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB→＋BG →＝AG →，故选A. 答案：A2．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．2 C.12D ．3解析：∵l 1⊥l 2，∴a ·b ＝0，代入可解得m ＝2. 答案：B3．已知i ，j ，k 为单位正交基底，a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a 与3b 的数量积等于( )A ．－15B ．－5C ．－3D ．－1解析：∵i ，j ，k 两两垂直且|i |＝|j |＝k |＝1，∴5a ·3b ＝(15i ＋10j －5k )·(3i －3j ＋6k )＝45－30－30＝－15.答案：A4．已知二面角α—l —β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：设m ，n 的方向向量分别为m ，n .由m ⊥α，n ⊥β知m ，n 分别是平面α，β的法向量． ∵|cos 〈m ，n 〉|＝cos60°＝12，∴〈m ，n 〉＝60°或120°. 但由于两异面直线所成的角的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2， 故异面直线m ，n 所成的角为60°. 答案：B5．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：设向量a ＋b 与c 的夹角为α，因为a ＋b ＝(－1，－2，－3，)，|a ＋b |＝14，cos α＝(a ＋b )·c |a ＋b ||c |＝12，所以α＝60°.因为向量a ＋b 与a 的方向相反，所以a 与c 的夹角为120°.故选C.答案：C6．如图，空间四边形OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN .设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为( )A.13，13，13B.13，13，16C.13，16，13D.16，13，13解析：∵MG ＝2GN ，∴MG →＝23MN →. 故OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23(ON →－OM →) ＝13OM →＋23ON →＝13×12OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(OB →＋OC →)＝16OA →＋13OB →＋13OC →.答案：D7．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35解析：不妨设CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.由题图知，A 点的坐标为(2,0,0)，B 点的坐标为(0,0,1)，B 1点的坐标为(0,2,1)，C 1点的坐标为(0,2,0)．所以BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)． 所以cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝0×(－2)＋2×2＋(－1)×135＝55. 答案：A8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设该正方体的棱长为2，则A 1(2,0,2)，M (0,1,0)，N (0,2,1)．∴A 1M →＝(－2,1，－2)，DN →＝(0,2,1)，∴cos 〈A 1M →，DN →〉＝A 1M →·DN →|A 1M →|·|DN →|＝0.∴异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是90°.答案：D9．如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， ∵|A 1B |＝|AC |＝2a ， ∴A 1M →＝13A 1B →，AN →＝13AC →，MN →＝MA 1→＋A 1A →＋AN →＝－13A 1B →＋A 1A →＋AN → ＝－13A 1A →－13A 1B 1→＋A 1A →＋13AD →＋13A 1B 1→ ＝23A 1A →＋13AD →＝23B 1B →＋13B 1C 1→. 因此MN →，B 1B →，B 1C 1→共面． 又∵MN ⊄平面BB 1C 1C ， ∴MN ∥平面BB 1C 1C . 答案：B10．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，则AC 1和平面BB 1C 1C 所成角的余弦值为( )A.104B.66C.62D.102解析：设正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为1，以B 为原点，建立空间直角坐标系(如图)，则C 1(0,1,1)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，AC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－32，12，1，又平面BB 1C 1C 的一个法向量n ＝(1,0,0)，所以AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角θ的正弦值sin θ＝|AC 1→·n ||AC 1→|·|n |＝322×1＝64，得cos θ＝1－sin 2θ＝104.答案：A11．如图，在四面体P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B —AP —C 的余弦值为( )A.22B.33 C ．－77D.57解析：如图，作BD ⊥AP 于D ，作CE ⊥AP 于E . 设AB ＝1，则易得CE ＝22，EP ＝22， P A ＝PB ＝2，可以求得BD ＝144， ED ＝24.∵BC →＝BD →＋DE →＋EC →，∴BC →2＝BD →2＋DE →2＋EC →2＋2BD →·DE →＋2DE →·EC →＋2EC →·BD →，∴EC →·BD →＝－14，∴cos 〈BD →，EC →〉＝－77，故选C.12．如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3，点E 在棱P A 上，且PE ＝2EA ，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为( )A.23 B.66 C.33D.63解析：以B 为原点，BC ，BA ，BP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Bxyz ，则B (0,0,0)，A (0,3,0)，P (0,0,3)，D (3,3,0)，E (0,2,1)，∴BE→＝(0,2,1)，BD →＝(3,3,0)． 设平面BED 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·BE→＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧2y ＋z ＝0，3x ＋3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12z ，y ＝－12z .令z ＝1，则n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1.又平面ABE 的一个法向量为m ＝(1,0,0)，∴cos 〈n ，m 〉＝66，即平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为66.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE→＝________.解析：GE →＝GA →＋AD →＋DE →＝－13(AB →＋AC →)＋AD →＋14(AB →－AD →)＝－112AB →－13AC →＋34AD →.答案：－112AB →－13AC →＋34AD →14．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为________．解析：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，B 1(4,4,3)，C (0,4,0)，得A 1B →＝(0,4，－3)，B 1C →＝(－4,0，－3)．故cos 〈A 1B →，B 1C →〉＝A 1B →·B 1C →|A 1B →||B 1C →|＝925. 答案：92515．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋6AA 1→＋7BA →＋4A 1D 1→，那么M 点一定在平面________内．解析：∵B 1M →＝PM →－PB 1→＝BA →＋6BA →＋6AA 1→＋4A 1D 1→＝BA →＋6BA 1→＋4A 1D 1→＝B 1A 1→＋2BA 1→＋4BD 1→，∴B 1M →－B 1A 1→＝2BA 1→＋4BD 1→，即A 1M →＝2BA 1→＋4BD 1→.故A 1M →，BA 1→，BD 1→共面，即M 点在平面A 1BCD 1内．答案：A 1BCD 116．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C —AB —D 的余弦值为33，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则EM ，AN 所成角的余弦值等于________．解析：设AB ＝2，作CO ⊥平面ABDE ，OH ⊥AB ，连接CH ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C —AB —D 的平面角，CH ＝3，OH ＝CH ·cos ∠CHO ＝1.结合等边△ABC 与正方形ABDE 可知四棱锥C —ABDE 为正四棱锥，则AN ＝EM ＝CH ＝3，AN →＝12(AC →＋AB →)，EM→＝12AC →－AE →，AN →·EM →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AE →＝12，故EM ，AN 所成角的余弦值为AN →·EM →|AN →|·|EM →|＝16. 答案：16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(10分)如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求实数x ，y ，z 的值． 解：(1)A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1A →.(2)∵EO →＝AO →－AE →＝12(AB →＋AD →)－AD →－23AA 1→＝12AB →－12AD →－23AA 1→，∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.18．(12分)在长方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，E 是BC 的中点．(1)求直线AO 1与B 1E 所成角的余弦值；(2)作O 1D ⊥AC 于点D ，求点O 1到点D 的距离．解：(1)建立如图的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,3,0)，C (0,3,0)，E (1,3,0)，O 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B 1(2,3,2)，C 1(0,3,2)，∴AO 1→＝(－2,0,2)，B 1E →＝(－1,0，－2)，∴cos 〈AO 1→，B 1E →〉＝AO 1→·B 1E →|AO 1→||B 1E →|＝－2210＝－1010. 故直线AO 1与B 1E 所成角的余弦值为1010.(2)设D (x 0，y 0,0)，O 1D →＝(x 0，y 0，－2)，AC →＝(－2,3,0)，AD →＝(x 0－2，y 0,0)．∵O 1D →⊥AC →且AD →∥AC →，∴⎩⎨⎧ －2x 0＋3y 0＝0，3(x 0－2)＋2y 0＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1813，y 0＝1213，∴O 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1813，1213，－2，∴|O 1D →|＝228613， ∴点O 1到点D 的距离为228613.19．(12分)如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F.(1)求证：A1C⊥平面BED；(2)求A1B与平面BDE所成的角的正弦值．解：(1)证明：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D—xyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，C1(0,2,4)，D1(0,0,4)．设E(0,2，t)，则BE→＝(－2,0，t)，B1C→＝(－2,0，－4)．∵BE ⊥B 1C ，∴BE →·B 1C →＝4＋0－4t ＝0，即t ＝1.故E (0,2,1)，BE→＝(－2,0,1)． 又∵A 1C →＝(－2,2，－4)，DB →＝(2,2,0)，∴A 1C →·BE →＝4＋0－4＝0，且A 1C →·DB →＝－4＋4＋0＝0. 因此A 1C →⊥DB →且A 1C →⊥BE →，即A 1C ⊥BD 且A 1C ⊥BE .故A 1C ⊥平面BDE .(2)由(1)知A 1C →＝(－2,2，－4)是平面BDE 的一个法向量，又∵A 1B →＝(0,2，－4)，∴cos 〈A 1C →，A 1B →〉＝A 1C →·A 1B →|A 1C →||A 1B →|＝306. 故A 1B 与平面BDE 所成角的正弦值为306.20．(12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，P A ⊥平面ABCD ，PD 与平面ABCD 成30°角．(1)若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；(2)求平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．解：(1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥P A .又∵AB ⊥AD ，AD ∩AP ＝A ，∴AB ⊥平面P AD .∴PD ⊥AB .又∵PD ⊥AE ，AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE ，∴BE ⊥PD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD ，P A ⊥AB .又AB ⊥AD ，∴AP ，AB ，AD 两两垂直．如图，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，C (a ，a,0)，D (0,2a,0)，AD→＝(0,2a,0)．∵P A ⊥平面ABCD ，∴∠ADP 是PD 与平面ABCD 所成的角．∴∠ADP ＝30°.∵AD ＝2a ，∴P A ＝2a tan30°＝233a ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，233a .∴PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，－233a ，，PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，－233a . 设n ＝(x ，y ，z )为平面PCD 的一个法向量，则⎩⎨⎧ n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧ ax ＋ay －233az ＝0，2ay －233az ＝0.取x ＝1，则n ＝(1,1，3)是平面PCD 的一个法向量．易知AD→＝(0,2a,0)为平面P AB 的一个法向量， ∴cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|AD →|·|n |＝55. ∴平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为55.21．(12分)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，C 1C ＝CB ＝CA ＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别为棱C 1C ，B 1C 1的中点．(1)求点B 到平面A 1C 1CA 的距离；(2)求二面角B —A 1D —A 的余弦值；(3)在线段AC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由．解：(1)∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴CC 1⊥底面ABC ，∴CC 1⊥BC .∵AC ⊥CB ，∴BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴BC 的长即为点B 到平面A 1C 1CA 的距离． ∵BC ＝2，∴点B 到平面A 1C 1CA 的距离为2.(2)∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，C 1C ＝CB ＝CA ＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别为C 1C ，B 1C 1的中点，建立如图的空间直角坐标系，得C (0,0,0)，B (0,2,0)，A (2,0,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)，A 1(2,0,2)，D (0,0,1)，E (0,1,2)，∴BD →＝(0，－2,1)，BA 1→＝(2，－2,2)． 设平面A 1BD 的法向量为n ＝(λ，1，μ)，则⎩⎨⎧ n ·BD →＝0，n ·BA 1→＝0，即⎩⎨⎧ －2＋μ＝02λ－2＋2μ＝0，解得⎩⎨⎧ μ＝2λ＝－1，∴n ＝(－1,1,2)由(1)知平面ACC 1A 1的法向量为CB →＝(0,1,0)，cos 〈n ，CB →〉＝16＝66，即二面角B －A 1D －A 的余弦值为66.(3)设在线段AC 上存在一点F (x,0,0)，使得EF ⊥平面A 1BD .欲使EF ⊥平面A 1BD ，由(2)知当且仅当n ∥FE→. ∵FE→＝(－x,1,2)，∴x ＝1，故存在唯一一点F (1,0,0)满足条件，F 为AC 的中点．22．(12分)如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1＝22，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且C 1H ＝ 5.(1)求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值；(2)求二面角A —A 1C 1—B 1的正弦值；(3)设N 为棱B 1C 1的中点，点M 在平面AA 1B 1B 内，且MN ⊥平面A 1B 1C 1，求线段BM 的长．解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点． 依题意得A (22，0,0)，B (0,0,0)，C (2，－2，5)，A 1(22，22，0)，B 1(0,22，0)，C 1(2，2，5)．(1)易得AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0,0)，于是cos〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →·A 1B 1→|AC →||A 1B 1→|＝43×22＝23， 所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23. (2)易知AA 1→＝(0,22，0)，A 1C 1→＝(－2，－2，5)．设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ m ·A 1C 1→＝0，m ·AA 1→＝0，即⎩⎨⎧ －2x －2y ＋5z ＝0，22y ＝0. 不妨令x ＝5，可得m ＝(5，0，2)．同样地，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，。

这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则当|AB →|取最小值时，x 的值等于________．解析：AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，则 |AB →|＝1－x2＋2x －32＋－3x ＋32＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎪⎫x －872＋57，故当x ＝87时，|AB →|取最小值．答案：8714．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________． 解析：如图，以DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)， 易证AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．AC 1→＝(－1,1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)． cos 〈AC 1→，BC 1→〉＝1＋13×2＝63. 所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63.答案：63设AC ∩BD ＝N ，连结NE ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)， ∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. 又A (2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∴NE →＝AM →，且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM .又NE ⊂平面BED ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE .(2)设P (t ，t,0)(0≤t ≤2)，则PF →＝(2－t ，2－t,1)，CD →＝(2，0,0)．又∵PF →与CD →所成的角为60°，|2－t ·2|2－t2＋2－t 2＋1·2＝12， 解之得t ＝22，或t ＝322(舍去)． 故点P 为AC 的中点．22．(本小题满分12分)如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．。

章末综合测评(二) 随机变量及其分布(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法不正确的是( )A ．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B ．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C ．公式E (X )＝np 可以用来计算离散型随机变量的均值D ．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布 【解析】 公式E (X )＝np 并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算．故选C.【答案】 C2．(2016·吉安高二检测)若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球，现从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 15＋C 14C 16C 112C 111的是( ) A ．P (X ＝0) B ．P (X ≤2) C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)【解析】 由已知易知P (X ＝1)＝C 18C 15＋C 14C 16C 112C 111.【答案】 C3．(2016·长沙高二检测)若X 的分布列为则E (X )＝( ) A.45B.12C.25D.15【解析】由15＋a＝1，得a＝45，所以E(X)＝0×15＋1×45＝45.【答案】 A4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( )A．0.16 B．0.24C．0.96 D．0.04【解析】三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.【答案】 C5．如果随机变量X～N(4,1)，则P(X≤2)等于( )(注：P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4)A．0.210 B．0.022 8C．0.045 6 D．0.021 5【解析】P(X≤2)＝(1－P(2<X≤6))×12＝[1－P(4－2<X≤4＋2)]×12＝(1－0.954 4)×12＝0.022 8.【答案】 B6．某同学通过计算机测试的概率为13，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )【导学号：97270056】A.49B.29C.427D.227【解析】连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P＝C13×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－132＝49.【答案】 A7．校园内移栽4棵桂花树，已知每棵树成活的概率为45，那么成活棵数X 的方差是( )A.165B.6425C.1625D.645【解析】 由题意知成活棵数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，45，所以成活棵数X 的方差为4×45×⎝⎛⎭⎪⎫1－45＝1625.故选C.【答案】 C8．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )A.35B.25C.110D.59【解析】 记“第一次摸到正品”为事件A ，“第二次摸到正品”为事件B ，则P (A )＝C 16C 19C 110C 19＝35，P (AB )＝C 16C 15C 110C 19＝13.故P (B |A )＝P AB P A ＝59.【答案】 D9．(2016·长沙高二检测)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f (x )＝1102πe －x －802200，则下列命题中不正确的是( )A ．该市在这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10【解析】 利用正态密度函数的表达式知μ＝80，σ＝10.故A ，D 正确，利用正态曲线关于直线x＝80对称，知P(ξ>110)＝P(ξ<50)，即分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故C正确，故选 B.【答案】 B10．设随机变量ξ等可能地取1,2,3,4，…，10，又设随机变量η＝2ξ－1，则P(η<6)＝( )A．0.3 B．0.5C．0.1 D．0.2【解析】因为P(ξ＝k)＝110，k＝1,2，…，10，又由η＝2ξ－1<6，得ξ<72，即ξ＝1,2,3，所以P(η<6)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝310＝0.3.【答案】 A11．甲、乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所示，则有结论( )A.B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些C．两人的产品质量一样好D．无法判断谁的产品质量好一些【解析】∵E(X甲)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(X乙)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9.∵E(X甲)>E(X乙)，∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些．【答案】 B12．(2016·深圳高二检测)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位数中a1＝1，a k(k＝2,3,4,5)出现0的概率为1 3，出现1的概率为23，记ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，ξ的数学期望为( )A.827B.113C.1681D.6581【解析】 记a 2，a 3，a 4，a 5位上出现1的次数为随机变量η，则η～B ⎝⎛⎭⎪⎫4，23，E (η)＝4×23＝83.因为ξ＝1＋η， E (ξ)＝1＋E (η)＝113.故选B. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P (X ≤6)＝________.【解析】 P (X ≤6)＝P (X ＝4)＋P (X ＝6)＝C 44＋C 34C 13C 47＝1335. 【答案】133514．一只蚂蚁位于数轴x ＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x ＝1处的概率为________．【解析】 由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x ＝1处的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫131＝49.【答案】4915．(2016·福州检测)一个正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝________.【解析】如图，n (Ω)＝9，n (A )＝3，n (B )＝4，所以n (AB )＝1，P (A |B )＝n AB n B ＝14.【答案】1416．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627. 其中所有正确结论的序号是________. 【导学号：97270057】【解析】 ①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫6，23，其方差为6×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝43，故②正确；③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}． 则P (A )＝23，P (AB )＝4×36×5＝25，∴P (B |A )＝P AB P A ＝35，故③错；④每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝2627，故④正确．【答案】①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．P(B)＝42＋4＝23.P(B)＝1－P(B)＝1 3 .(1)P(A|B)＝3＋18＋1＝49.(2)∵P(A|B)＝38＋1＝13，∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩B) ＝P(A|B)P(B)＋P(A|B)P(B)＝49×23＋13×13＝1127.18．(本小题满分12分)在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)的考生大约有多少人？【解】因为ξ～N(90,100)，所以μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.一共有2 000名学生，所以考试成绩在(80,100)的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．19．(本小题满分12分)甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较.【解】E(X)＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D(X)＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81.工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为E(Y)＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D(Y)＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.由E(X)＝E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)>D(Y)，可见乙的技术比较稳定．20．(本小题满分12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数) 【解】(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p＝C34＋C33C39＝584.(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝C24C15＋C34C39＝1742，P(X＝2)＝C13C14C12＋C23C16＋C33C39＝4384，P(X＝3)＝C22C17C39＝112.故X的分布列为从而E(X)＝1×1742＋2×84＋3×12＝28.21．(本小题满分12分)某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，14；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．(1)如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的分布列及E(ξ)；(2)要使10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．【解】(1)依题意，ξ可能的取值为1,0，－1.ξ的分布列为E(ξ)＝12－14＝14.(2)设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的分布列为E(η)＝2α－2β＝4α－依题意得4α－2≥1 4，故916≤α≤1.22．(本小题满分12分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比．分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．【解】(1)X可能的取值为10,20,100，－200.根据题意，有P(X＝10)＝C13×⎝⎛⎭⎪⎫121×⎝⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P(X＝20)＝C23×⎝⎛⎭⎪⎫122×⎝⎛⎭⎪⎫1－121＝38，P(X＝100)＝C33×⎝⎛⎭⎪⎫123×⎝⎛⎭⎪⎫1－120＝18，P(X＝－200)＝C03×⎝⎛⎭⎪⎫120×⎝⎛⎭⎪⎫1－123＝18.所以X的分布列为(2)设“第i i ，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512. (3)X 的数学期望为 EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54. 这表明，获得的分数X 的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．。

2018-2019学年选修2-1第三章训练卷空间向量与立体几何（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知三棱锥OABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OAuu va ，OBuu u v b ，OC uuu v c ，用a ，b ，c 表示MN uuu v ，则MN uuu v等于（）A ．12b c aB ．12abc C ．12ab c D ．12c ab2．已知cos ,1,sin a 、sin ,1,cosb，且∥a b ，则向量ab 与ab 的夹角是（）A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°3．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为4,1,3A 、2,5,1B 、3,7,C ，若ABu u u v AC uuu v ，则等于（）A ．28B ．28C ．14D ．144．若向量,,a b c 是空间的一个基底，则一定可以与向量2pab ，2qab 构成空间的另一个基底的向量是（）A ．aB ．bC ．cD ．ab5．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知2,0,0A 、2,2,0B 、0,2,0C 、1,12D ，，若1S 、2S 、3S 分别表示三棱锥DABC 在xOy 、yOz 、zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A ．123S S SB ．231S S SC ．132S S S D ．123S S S 6．已知a 、b 是两异面直线，A 、B a ，C 、Db ，AC b ，BDb 且2AB，1CD，则直线a 、b 所成的角为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°7．如图所示，在平行六面体1111ABCDA B C D 中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若1BEAA xABy AD uu u vuuu v uu u v uuu v，则（）A ．12x，12y B ．12x ，12y C ．12x，12yD ．12x，12y8．已知1,1,2A 、1,0,1B ，设D 在直线AB 上，且2AD DB uuu vu uu v ，设C 1,,13，若CD AB ，则的值为（）A ．116B ．116C ．12D ．13此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号9．如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，2AB BC，12AA ，E 、F 分别是面1111A B C D 、面11BCC B 的中心，则E 、F 两点间的距离为（）A ．1B ．52C ．62D ．3210．如图，在空间直角坐标系中有长方体1111ABCD A B C D ，1AB ，2BC，13AA ，则点B 到直线1A C 的距离为（）A ．27B ．2357C ．357D ．111．如图所示，在长方体1111ABCDA B C D 中，11ADAA ，2AB，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面1ACD 的距离为（）A ．12B ．22C ．13D ．1612．如图所示，正方体1111ABCDA B C D 中，E 、F 分别是正方形11ADD A 和ABCD的中心，G 是1CC 的中点，设GF 、1C E 与AB 所成的角分别为，，则等于（）A ．120°B ．60°C ．75°D ．90°二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知1,2,0A 、0,1,1B ，P 是x 轴上的动点，当AP BP uu u v uu v取最小值时，点P的坐标为_____________．14．已知正四棱台1111ABCDA B C D 中，上底面1111A B C D 边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线1AD 与1B C 所成角的余弦值为___________．15．三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线P A 与底面ABC 所成角的大小为________________．16．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，3BC，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__________________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA uu va ，PBuu vb ，PCuu u v c ，试用基底,,a b c 表示向量PG uu u v ．18．（12分）如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，2ABC，D 是棱AC 的中点，且12ABBCBB ．（1）求证：1AB ∥平面1BC D ；（2）求异面直线1AB 与1BC 所成的角．19．（12分）如图所示，在四面体ABCD 中，AB 、BC 、CD 两两互相垂直，且1BCCD．（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）求二面角C －AB －D 的大小；（3）若直线BD 与平面ACD 所成的角为30°，求线段AB 的长度．20．（12分）如图，在正四棱柱1111ABCDA B C D 中，已知AB ＝2，15AA ，E 、F分别为1D D 、1B B 上的点，且11DE B F．（1）求证：BE ⊥平面ACF ；（2）求点E 到平面ACF 的距离．21．（12分）如图所示，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，PD＝DC，E 是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）求二面角B－DE－C的余弦值．22．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D中，侧棱1A A底面ABCD，AB⊥AC，1AB，12AC AA，5AD CD，且点M和N分别为1B C和1D D的中点．（1）求证：MN∥平面ABCD；（2）求二面角11D AC B的正弦值；（3）设E为棱11A B上的点．若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为13，求线段1A E的长．2018-2019学年选修2-1第三章训练卷空间向量与立体几何（二）答案一、选择题1．【答案】D 【解析】111111222222MN ONOMOC OA OBuu u v uu u vuuu v u uu v u uv uu u v cabc ab ，故选D ．2．【答案】A 【解析】∵22a ，22b，220a b a b ab，∴abab ．故选A ．3．【答案】D 【解析】2,6,2AB uu u v ，1,6,3ACuuu v，∵ABAC uu u v uuu v ，∴2166230AB ACuu u v uuu v ，解得14，故选D ．4．【答案】C 【解析】∵1144apq ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；∵1122bpq ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；∵3144a bpq ，所以ab 、p 、q 共面，故ab 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D ；故选C ．5．【答案】B【解析】由题意可得112222S ，212222S ，312222S ，故231S S S ．故选B ．6．【答案】B【解析】由于AB AC CD DB u u u vuu u v u uu v u uu v ，∴21AB CD AC CD DB CD CDuu u v uu u v uuu v uu u v uu u v uu u v uu u v ．1cos ,,602AB CD AB CDAB CDABCDuu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v ，故选B ．7．【答案】A【解析】11111111111222BEBAAA A E ABAA A B A D ABAA AB AD u u u v uu v u uu v uuu vuu u v u uu v uu uuv uuuu v u u u v uuu v uu u v uuu v 11122AB AA AD uu u v uuu v uuuv ，∴12x ，12y．故选A ．8．【答案】B【解析】设,,D x y z ，则1,1,2ADxy zuuu v ，2,1,3ABuu u v ，1,,1DBx y z uu u v，∵2ADDB u uu v uu u v，∴12112222x x y y zz ，∴13130xy z．∴11033D ，，，113CDuu u v ，，，∵CDAB uu u v uu u v ，∴1231=03CD ABuu u v uu u v ，∴116．故选B ．9．【答案】C【解析】以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1,1,2E 、22,1,2F ，所以222261211222EF，故选C ．10．【答案】 B【解析】过点B 作BE 垂直1A C ，垂足为E ，设点E 的坐标为,,x y z ，则10,0,3A ，1,0,0B ，1,2,0C ，11,2,3A C uuu v ，1,,3A Ex y z uuu v，1,,BEx y z uu u v ．因为1110A E A CBE A Cuuu v uuu v uu u v uuu v∥，所以31231230xyzx y z，解得5710767xyz，所以2106,,777BEuu u v，所以点B 到直线1A C 的距离2357BE uu u v，故选B ．11．【答案】C【解析】如图，以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则10,0,1D 、1,1,0E 、1,0,0A 、0,2,0C ．从而11,1,1D E uuu v 、1,2,0AC uuu v、11,0,1AD uuuv，设平面1ACD 的法向量为,,a b c n ，则100AC AD uuu vuuuvn n ，即200a b ac，得2a b ac．令2a，则2,1,2n．所以点E 到平面1ACD 的距离为1212133D E h uuu vn n．故选C ．12．【答案】D【解析】建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则2,0,0B 、2,2,0A 、0,0,1G 、1,1,0F 、10,0,2C 、1,2,1E ．则0,2,0BAuu v 、1,1,1GFuuu v、11,2,1C Euuu v，∴1cos ,3BA GF BA GFBA GF uu v uuu v uu v uuu vuu v uuu v ，1112cos ,3BA C E BA C EBA C Euu v uuu v uu v uuu vuu v uuu v ，∴1cos 3，2sin 3，2cos3，1sin 3，cos 0，∴90．故选D ．二、填空题13．【答案】1,0,02【解析】设,0,0P x ，则1,2,0AP xuu u v ，,1,1BP x uu v，2171224AP BPx x xuu u v uu v ，∴当12x时，AP BPuu u v uu v 取最小值74，此时点P 的坐标为1,0,02．14．【答案】14【解析】设上、下底面中心分别为1O 、O ，则1OO 平面ABCD ，以O 为原点，直线BD 、AC 、1OO 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵2AB ，111A B ，∴22ACBD，11112A C B D ，∵平面11BDD B ⊥平面ABCD ，∴1B BO 为侧棱与底面所成的角，∴160B BO，设棱台高为h ，则tan60222h，∴62h，∴0,2,0A ，126,0,22D ，126,0,22B ，0,2,0C ，∴126,2,22AD uuuv ，126,2,22B C uuu v ，∴1111111cos ,4AD B C AD B CAD B Cuuu v uuu v uuu v uuu vuuu v uuu v ，故异面直线1AD 与1B C 所成角的余弦值为14．15．【答案】45°【解析】由条件知，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，∴2BC ，∵PB ＝PC ＝1，∴∠BPC ＝90°，取BC 边中点E ，则22PE，22AE，又PA ＝1，∴∠PEA ＝90°，故∠PAE ＝45°，∵E 为BC 中点，∴PE ⊥BC ，AE ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAE ，∴平面PAE ⊥平面ABC ，∴∠PAE 为直线PA 与平面ABC 所成角．16．【答案】102【解析】如图，过B 、D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M 、N ．则可求得12AM 、32BM、12CN、32DN、1MN ．由于BDBM MN ND uu u v uuu v uuu v uuu v ，∴22BDBM MNNDuu u v uuu v uuu v uuu v 2222BMMNNDBM MNMN ND BM ND uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v 22233512000222，∴102BDuu u v ．三、解答题17．【答案】212333PGuu u vabc ．【解析】∵BG ＝2GD ，∴23BGBD uu u vuuu v ．又2BD BA BC PA PB PC PB u uu v u u v uu u v uu v uu v u u u v u u v a c b ，∴221223333PGPBBGu uu v u uv uu u v bacb abc ．18．【答案】（1）见解析；（2）3．【解析】（1）如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．∵O 为1B C 的中点，D 为AC 的中点，∴1OD AB ∥．∵1AB 平面1BC D ，OD 平面1BC D ，∴1AB ∥平面1BC D ．（2）建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ．则0,0,0B 、0,2,0A 、12,0,2C 、10,0,2B ．∴10,2,2AB uuu v 、12,0,2BC uuu v．1111110041cos ,22222AB BC AB BC AB BC uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v ，设异面直线1AB 与1BC 所成的角为，则1cos2，∵0,2，∴3．19．【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）1．【解析】解法一：（1）∵CD ⊥AB ，CD ⊥BC ，∴CD ⊥平面ABC ．又∵CD ?平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABC ．（2）∵AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∴AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BD ．∴∠CBD 是二面角C －AB －D 的平面角．∵在Rt △BCD 中，BC ＝CD ，∴∠CBD ＝45°．∴二面角C －AB －D 的大小为45°．（3）过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ，连接DH ．∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴BH ⊥平面ACD ，∴∠BDH 为BD 与平面ACD 所成的角．∴∠BDH ＝30°．在Rt △BHD 中，2BD，∴22BH．又∵在Rt △BHC 中，BC ＝1，∴∠BCH ＝45°，∴在Rt △ABC 中，AB ＝1．解法二：（1）同解法一．（2）设ABa ，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，则0,0,0B 、0,0,A a 、0,1,0C 、1,1,0D ，1,1,0BDuu u v、0,0,BAa uu v．平面ABC 的法向量1,0,0CDuu u v，设平面ABD 的一个法向量为,,x y z n，则有0BD xyuu u v n ，0BA azuu v n，∴0z，取1y ，则1x ，∴1,1,0n ．∴2cos ,2CD CD CD uu u v uu u vuu u v n nn，由图可知二面角C －AB －D 为锐角，∴二面角C －AB －D 的大小为45°．（3）0,1,ACa uuu v 、1,0,0CDuu u v、1,1,0BD uu u v．设平面ACD 的一个法向量是,,x y z m，则0AC yazuuu v m，0CD xuu u v m，令1z ，∴ya ，则0,,1a m ．∵直线BD 与平面ACD 所成角为30°，∴2cos cos6012BD a BD BD auu u v uu u v uu u v m mm，解得1a ，∴AB ＝1．20．【答案】（1）见解析；（2）53．【解析】（1）证明：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则0,0,0D 、2,0,0A 、2,2,0B 、0,2,0C 、10,0,5D 、0,0,1E 、2,2,4F ．∴2,2,0ACuuu v 、0,2,4AF uuu v、2,2,1BE uu u v、2,0,1AEuu u v．∵0BE AC uu u v uuu v ，0BE AFuu u v uu u v ，∴BEAC ，BE AF ，且AC AFA I ．∴BE ⊥平面ACF ．（2）解：由（1）知，BE uu u v为平面ACF 的一个法向量，∴点E 到平面ACF 的距离53AE BE dBE uu u v ．故点E 到平面ACF 的距离为53．21．【答案】（1）见解析；（2）33．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ．设PDDCa ，则0,0,0D 、,0,0A a 、0,0,P a 、,,0B a a 、0,,22a aE 、0,,0C a ，∴,0,APa a uu u v 、,,0DBa a uu u v、0,,22a aDEuuu v、0,,0DC a uuu v ．（1）设平面BDE 的一个法向量为1111,,x y z n ，则有110DB DE uu u v uuu vn n ，即11110022ax ay a a y z ，∴111111x y z ．∴11,1,1n ．100AP aauu u vn ，∴1APuu u vn ，又∵AP平面BDE ，∴AP ∥平面BDE ．（2）设平面CDE 的一个法向量为21,0,0n ．1213cos ,331n n ，∴二面角B －DE －C 的余弦值为33．22．【答案】（1）见解析；（2）31010；（3）72．【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得0,0,0A 、0,1,0B 、2,0,0C 、1,2,0D 、10,0,2A 、10,1,2B 、12,0,2C 、11,2,2D ，又因为M 、N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,12M 、1,2,1N ．（1）依题意，可得0,0,1n 为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MNuuu v ，由此可得，0MN uuu vn，又因为直线MN平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD ．（2）11,2,2AD uuuv、2,0,0ACuuu v，设1111,,x y z n 为平面1ACD 的法向量，则11100AD AC uuu v uuu vn n ，即111122020x y z x ，不妨设11z ，可得10,1,1n ．设2222,,x y z n 为平面1ACB 的一个法向量，则2120AB AC uuu v uuu vn n ，又10,1,2AB uuu v ，得22222020y z x ，不妨设21z ，可得20,2,1n ．因此有12121210cos ,10n n n n n n ，于是12310sin ,10n n ，所以二面角11D AC B 的正弦值为31010．（3）依题意，可设111A E A B uuu v uuu u v，其中0,1，则0,,2E ，从而1,2,1NE uu u v，又0,0,1n为平面ABCD 的一个法向量，由已知得22211cos 3121NE NE NE uu u v uu u vuu u v n ,nn，整理得2430，又因为0,1，解得72，所以线段1A E 的长为72．。

第三章单元综合检测(二)(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．在长方体－中，＋＋－等于( )解析：∵＋＋－＝＋＝.答案：．若向量，是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则·＝且·＝是⊥α的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：用向量的数量积考查线线垂直与线面垂直．当∥时，由·＝且·＝得不出⊥α；反之，由⊥α一定有·＝且·＝，故选.答案：．[·山东省济宁市质检]已知向量＝(，－)与＝(，，)平行，则，的值分别为( ). 和－. －和. －和－. 和解析：本题主要考查空间两向量平行的坐标表示．因为向量＝(，－)与＝(，，)平行，所以＝＝，解得＝－，＝，故选.答案：．[·四川省成都七中期末考试]已知直线过点(，－)，平行于向量＝()，平面α过直线与点()，则平面α的法向量不可能．．．是( ). (，－) . (，－，). (－，，－) . (，－)解析：本题主要考查平面的法向量．因为＝()，直线平行于向量，若是平面α的法向量，则必须满足(\\(·＝·(,\(→))＝))，把选项代入验证，只有选项不满足，故选.答案：．已知＝(α，，α)，＝(α，，α)，则向量＋与－的夹角是( )．°．°．°．°解析：因为＝，所以(＋)·(－)＝－＝－＝，则(＋)⊥(－)．答案：．如右图所示，在四棱锥－中，底面是边长为的正方形，到、、、的距离都等于.给出以下结论：①＋＋＋＝；②＋－－＝；③－＋－＝；④·＝·；⑤·＝，其中正确结论的个数是( )．．．．解析：因为－＋－＝＋＝，所以③正确；又因为底面是边长为的正方形，＝＝＝＝，所以·＝××∠，·＝××∠，而∠＝∠，于是·＝·，因此④正确，其余三个都不正确．答案：．空间四边形的各边及对角线长均为，是的中点，则( )·<··＝··>··与·不能比较大小解析：如右图，易证⊥，故·＝，取中点，连接，，则∥.在△中，＝＝，＝，得∠是锐角，所以〈，〉是钝角，即〈，〉是钝角，所以·<，故选.答案：．在长方体－中，、分别是棱、的中点，若∠＝°，则异面直线与所成的角为( )．°．°．°．°解析：建立如图所示坐标系．设＝，＝，＝，则()，(，)，(，)，(，，)，(，)，(，)，，.。

第三章 章末检测试题一．选择题1、已知(2,1,3),(1,2,9)a x b y ==-，如果a 与b 为共线向量，则（ ）A. B.C. D.2、已知，，且，则x 的值是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 33、如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（ ）A.B.C. D. 4、若A，B，C，则的形状是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形5、如图，在三棱锥D ﹣ABC 中，∠ABC=90°，平面DAB ⊥平面ABC ，DA=AB=DB=BC ，E 是DC 的中点，则AC 与BE 所成角的余弦值为（ ）A. B. C.D.6、．(2014·石家庄调研)设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是( ) A.32 B.22C.223D.2337、已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（ ） A ．627 B ．637 C ．647 D ．6578、O 为空间任意一点，若311488OP OA OB OC =++，则,,,A B C P 四点 ( ) A. 一定不共面 B. 一定共面 C. 不一定共面 D. 无法判断9、在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,7,6)，则点M 关于y 轴的对称点坐标为（ ） A ．(4,0,6) B ．(4,7,6)-- C ．(4,0,6)-- D ．(4,7,0)- 10、已知分别是平面，的法向量则平面α， β的位置关系式（ ）A. 平行B. 垂直C. 所成的二面角为锐角D. 所成的二面角为钝角11、如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF .当A 1、E 、F 、C 1共面时，平面A 1DE 与平面C 1DF 所成锐二面角的余弦值为( ) A.32 B. 12C. 15D. 26512、已知111ABC A B C -是各棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点，则平面ABC与平面1AB D 所成的锐二面角为( ) A ．45 B ．60 C ．75 D ．30二．填空题 13、已知向量，，且，则实数的值等于__________．14、已知向量,,a b c 是空间的一个单位正交基底，向量,,a b a b c +-是空间的另一个基底．若向量m 在基底,,a b c 下的坐标为()1,2,3，则m 在基底,,a b a b c +-下的坐标为 _________15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面ABD 1与面B 1BD 1所夹角的大小为________． 16．已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG ＝2，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则点C 到平面GEF 的距离为________． 三．解答题17、已知空间中三点A （－2,0,2），B （－1,1,2），C （－3,0,4），设a ＝,b ＝． （1）求向量a 与向量b 的夹角的余弦值； （2）若ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求实数k 的值18、已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。