人教版高中数学选修2-1第三章单元测试(二)- Word版含答案

高二数学选修2-1第三章章末测试卷考试时间：60分钟 命题人：杨波 备课组长：姓名：___________班级：___________一、选择题（本题共7道小题，每小题7分，共49分）1.一束光线自点P （1，1，1）发出，遇到平面xoy 被反射，到达点Q （3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（）A ．B ．C ．D ．2.已知平面α的法向量为(2,2,4),(3,1,2)n AB =-=-，点A 不在α内，则直线AB 与平面的位置关系为A ．AB α⊥ B ． AB α⊂C ．AB 与α相交不垂直D ．//AB α 3.已知平面α内有一点)2,1,1(-M ，平面α的一个法向量为)6,3,6(-=n ，则下列点P 中，在平面α内的是（ ）A. )3,3,2(PB. )1,0,2(-PC.)0,4,4(-PD.)4,3,3(-P4.已知O （0，0，0），()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为（ ） A. 66± B. 66 C. 66- D. 6± 5.若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则( )A B 1:1:1 C －:1:1 D 3:2:46.已知斜三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）A ．34B ．54C ．74D ．347.三棱锥错误！未找到引用源。

三条侧棱两两垂直，PA=a ，PB=b ，PC=c ，三角形ABC 的面积为S ，则顶点P 到底面的距离是（ ）A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

二、填空题（本题共3道小题，每小题7分，共21分）8.在xOy 平面内的直线x+y=1上确定一点M ，则M 到空间直角坐标系Oxyz 的点N （2，3，1）的最小距离为 ．9.已知空间四点(0,3,5),(2,3,1),(4,1,5),(,5,9)A B C D x 共面，则x = ．10.在四面体ABCD 中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD 与BC 成角60°，且AD=，则BC 等于 ． 三、解答题（本题共2道小题，每小题15分，共30分）11.如图，几何体EF ﹣ABCD 中，CDEF 为边长为1的正方形，ABCD 为直角梯形，AB∥CD，CD⊥BC，BC=1，AB=2，∠BCF=90°（Ⅰ）求成：BD⊥AE（Ⅱ）求二面角B ﹣AE ﹣D 的大小．12.已知长方体1AC 中，棱1AB BC ==，棱12BB =，连接1B C ，过B 点作1B C 的垂线交1CC 于E ，交1B C 于F 。

2018-2019学年选修1-1第三章训练卷导数及其应用（二）注意事项：1 •答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3 •非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4 •考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

、选择题（本大题共12个小题, 选项中，只有一项是符合题目要求的）1 .一个物体的运动方程是S =1 -1那么物体在3s时的瞬时速度是（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个t2，其中S的单位是m , t的单位是号证考准名姓级班C.C. 5m/s 函数f（x）= sinx+ cosx在点（0, f（0））处的切线方程为（B. 6 m/sx—y+1=0x+y—1 = 03 .已知函数sx+ sinx,贝UA. 2B. 2—14.函数f（x）= x2—In2x的单调递减区间是（0鳥C.5 .函数6 .函数x—y—1 = 0x+y+1=03f(x)= 3x—4x (x€ [0,1])的最大值是(f（x）= x3+ ax2+ 3x—9，已知f（x）在x= —3处取得极值，则a=(A. 2 B . 3 C. 4 D . 57.设函数f(x) = g(x) + X2,曲线y= g(x)在点(1 , g(1))处的切线方程为y= 2x+ 1, 则曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率为( )1 1A. 4 B . — - C. 2 D .—?&等比数列｛a n｝中，a1 = 2, a8= 4,函数f(x) = x(x—a“(x—a2)…(一a8), 则f (0=()6 9 12 15A. 2 B . 2 C . 2 D . 249已知点P在曲线y=H 上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范e + 1围是（)n n n n 3 n 3 nA .[0,4)B.Q ?)C.(》N] D . 才10 .设n € N + ,曲线ny= x(1 —x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n,则a4= ( )A . 80B.32C. 192 D . 2562 、，、11 .某产品的销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数：y1 = 17x,生产成本y2（万元）是产量x（千台）的函数：y2= 2x3—x2（x>0），为使利润最大，应生产（）A.6千台B. 7千台C. 8千台D. 9千台12已知定义在R上的函数f（x）, f(x) + x fk(<0,若a<b，则一定有( )A.af(a)<bf(b)B.af(b)<bf(a)C.af(a)>bf(b)D.af(b)>bf(a)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）113. ------------------------ 已知y = ln ______ 2,贝V y = .\1 + x14. 电动自行车的耗电量y与速度x之间有如下关系：y=fx3—"^x2—40x（x>0）,为使耗电量最小，则速度应定为__________ .15. 已知函数f（x）= x3—4ax2+ 5x（a € R）.若函数f（x）在区间（0,2］上无极值，则a的取值范围是_________ .16•若函数f(x)=舟在区间(m,2m+ 1)上单调递增，则实数m的取值范围是18-(12分)设函数f(x)= x-3ax+ 3bx的图象与直线12x+ y- 1= 0相切于点x (1,- 11).------------ . (1)求a, b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性. 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (10分)已知函数y= x3- 3x,过点A(0,佝作曲线y = f(x)的切线，求切线方程.19 . (12分)设函数f(x) =旦x3+ bx2+ cx+ d(a>0),且方程f 'x) —9x= 0的两个根分别3理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m，如果池外周壁建造单价为每米400为1, 4.若f(x)在(—8,+^内无极值点，求a的取值范围.20. (12分)如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).(1)写出总造价y (元)与污水处理池长x (m)的函数关系式，并指出其定义域；(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.21. (12分)函数f(x)= x3+ ax2+ b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3x+ y = 0平行.(1)求a, b;(2)求函数f(x)在[0, t](t>0)内的最大值和最小值.22 . (12分)已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且f(x)在区间[—1,4]上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式；37m,使得方程f(x) + 一 = 0在区间(m, m+ 1)内有且只有两个x求出所有m的值；若不存在，请说明理由.(2)是否存在自然数不等的实数根？若存在,2018-2019学年选修1-1第三章训练卷导数及其应用(二)答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 【答案】C【解析】记St =1 -1 ，则S' t =-1 • 2t .&【答案】C【解析】f'x(= x' x—a“(x—a2)…(x—a8)] + [(x—a1)(x—a2)…(一a8)] x -=(x—a1)(x —a2)…(一a8)+ [(x—a1)(x—a2)…(一a g)] x,-所以f' (0) (0—a”(0 —a2)…(0- a g) + [(0 —a”(0 —a2)]…(0- a8)] '=0a2…a&.因为数列｛ a n｝为等比数列，所以a2a7= a3a6= a4a5= 3^8= 8, f' (0= 84 5 6 7 8 9 10= 212,故选C.9. ［答案】D【解析】考查导数的几何意义、均值不等式及三角不等式.4 •【答案】A1 2x — 1【解析】T f'x(= 2x—-= ----------- ，当0<xWr时，f'x) <0 故选 A .x x 25 •【答案】A【解析】f'x) = 3 —12x2,令f'x)= 0，则x =—勿舍去)或x =-2 ,f(0) = 0, f(1) = —1, f 1= 3-2 = 1, • f(x)在[0,1]上的最大值为1,故选 A .6.【答案】D【解析】f'x) = 3x2+ 2ax+ 3,T f'—3) = 0, • 3* —3)2+ 2a凡—3) + 3= 0,二a = 5, 故选D .7 .【答案】A【解析】因为曲线y= g(x)在点(1, g(1))处的切线方程为y= 2x+1，所以g' (1=2,又f'x) = g'刈+ 2x,所以f' (1=g'附2= 4,即曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率为4，故选A .、填空题(本大题共 4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横 切线方程为 9x — y + 16= 0. 物体在3s 时的瞬时速度是 S'3]=「1 • 6 =5m/s ，故选C .2. 【答案】A【解析】f' x) = cosx — sinx , f '(時 cos0— sin0 = 1,••• f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为 y — 1 = 1 X(x — 0)即x — y + 1 = 0，故选A .4e x4…tan 2—(e x )+2e x +1e x +丄+ 2(e x +1)exx 1X 1T e>0, • e + g 》2当且仅当 x = 0 时取等号)，• e +g+ 2 >4 • 0<3.【答案】 C 3•• — 1 < ta a <0 ,T a [0, n) • a [- n n)故选 D .10. [答案】A[解析】当 x = 2 时，y = 2n (1 — 2) = — 2n ,因为 y 丄 nx n」(1 - x) x n(-1) = nx n- (n - 1)x n，所以曲线 y = x n (1 — x)在 x = 2 处的切线斜率k = n 2n」-(n • 1) <2n，所以切线方程为y+2n=[n ”2n~-(n+1) ”2n] ”(x—2)①，令 x = 0,则①式可化为 y = (n + 1)2n , 所以 a n = (n + 1)2n ,故 a 4= 80,故选 A . 11. [答案】A[解析】设利润为 y ,则y = y 1 — y 2= 17x 2— (2x 3 — x 2)= 18x 2— 2x 3, y'= 36x — 6x 2,令y'= 0得x = 6或x = 0(舍),f(x)在(0,6)上是增函数，在(6, + ^上是减函数， • x = 6时y 取得最大值.故选 A . 12. [答案】C[解析】[x f (x)] = x'f(x)+ x f'(= f(x) + xf'x)<0,「.函数 x f (x )是 R 上的减函数， T a<b ,「. af(a)>bf(b).故选 C .x 4e2 4—厂<1e x +—x + 2e线上)x13. 【答案】—币2【解析】先将函数式化简后再求导数. 14. 【答案】40【解析】 由y '= x 2— 39x 一40= 0得x =— 1(舍去)或x = 40. 当0<x<40时，y ' <；当x>40时，y ' >0所以当x = 40时，y 有最小值. 15. 【答案】a —54【解析】 函数f(x)在区间(0,2］上无极值，即f 'x) = 3x 2— 8ax + 5 = 0在(0,2］上无解或 18 .【答案】(1) a = 1, b =— 3; (2)见解析. 【解析】(1)求导得f'x) = 3x 2— 6ax + 3b .由于f(x)的图象与直线12x + y — 1 = 0相切于点(1, — 11), 1 — 3a + 3b = — 11,所以 f(1) = — 11, f ' (1= — 12,即*解得 a = 1, b =— 3.3 — 6a + 3b =— 12,(2)由 a = 1, b =— 3 得 f'x)= 3x 2— 6ax + 3b = 3(x 2— 2x — 3) = 3(x + 1)(x — 3). 令 f'x)> 0 ,解得 x< — 1 或 x>3;又令 f' x)< 0,解得—1<x<3. 故当x € (—a, — 1)和x € (3,+ a 时，f(x)是增函数， 当x € (—1,3)时，f(x)是减函数.有两个相同的解，当f'(x) = 0在(0,2］上无解,20 .【答案】(1) y = 800x + 259；00+ 16000 25W x w 16； ( 2)见解析.三、解答题(本大题共 6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演由 8a =€ [2 ,^,+-x),则 8a<2 15 即当f'x) = 0在(0,2］上有两个相同的解，得 a =一154综上，所求a 的取值范围是a 导. 4【解析】 由 f(x)=^x 3+ bx 2 + cx + d ,得 f'x)= ax 2 + 2bx + c .3 因为f'x) — 9x = 0，即ax 2 + 2bx + c — 9x = 0的两个根分别为 1,4,所以a + 2b +c — 9= 0, 16a + 8b + c — 36= 0.16.【答案】(—1,0］ 【解析】f'x)=4 -4x 2，令f'x)> 0,得一1<x<1，即函数f(x)的增区间为(一1,1).m >— 1,又 f(x)在(m,2m + 1)上单调递增，所以m<2m + 1，gm + 1 w 1.由于a>0，所以“(x) = £x 3+ bx 2 + cx + d 在(—a, + a 内无极值点"等价于3 “'x) = ax 2 + 2bx + 00 在(—a,+a 内恒成立” 由①式得 2b = 9— 5a , c = 4a .又△= (2b)2— 4ac = 9(a — 1)(a — 9).解得—1<m W0，得1W a W9,即a 的取值范围是［1,9］.算步骤)17.【答案】9x — y + 16 = 0.【解析】曲线方程为y = x 3— 3x ,点A(0,佝不在曲线上. 设切点为M(x °, y °)，则点M 的坐标满足y 0=好―3心 因为 f'x 0)= 3(x 0? — 1),故切线的方程为 y — y °= 3(x^2 — 1)(x — x °). 点 A(0,16)在切线上，则有 16—(X 。

空间向量与立体几何 （A ）、选择题:1 •在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的 直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、 c 三向量一定也共面；④已知三向量 a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯 一表示为 p 二xa yb zc .其中正确命题的个数为 （）A. 0B. 1C. 2D. 32. 在平行六面体 ABCD- ABGD 中，向量DA 、DC 、AG 是（）A.有相同起点的向量 B •等长向量 C •共面向量 D •不共面向量3. 已知 a =（ 2，— 1， 3）， b =（一 1， 4，一 2）， c =（ 7， 5，入），若 a 、b 、c 三向量共面，则实数入等于（）A. 62B. 63C. 64D. -65777|7 -4. 直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，若 CA 二a,CB 二b’C 。

=c ，则 AB =（）A. a +b — cB. a — b +cC.— a + b +cD.— a +b — c5.已知 a + b + c = 0,| a | = 2,| b | = 3,| c | =、、19，则向量 a 与 b 之间的夹角：::a,b . 为()A. 30°B. 45°C. 60°D.以上都不对6. 已知△ ABC 的三个顶点为 A (3，3, 2)，B(4，— 3, 7)，C (0，5，1)，则BC 边上中线长()A . 2 B. 3C. 4D. 57.已知a = 3i •2j‘ -k,b = i - j • 2k,则5a 与3b 的数量积等于()A.^—15一 5C. 一 3D. 一 18. 已知 OA =(1,2,3) , OB =(2,1,2) , OP =(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，则当 QA QB二、填空题：9.若向量 a =（4,2,-4）,b =（6,-3,2），则（2a 10 .已知向量 a 」（2,-1,3）,b =（-4,2,x ），若：一 b ，则 X 二 X = _____ O11.已知向量 a =(3,5,1)，b= (2,2,3)，c=(4,-1,-3)， 则向量2a -3b - 4c 的坐标为 ___________ .12 .在空间四边形ABCC 中，AC 和BD 为对角线,G 为^BC 的重丿心，E 是BD 上一点，BE = 3ED _取得最小值时， 点Q 的坐标为（ )A. (1,3,1)2 43 B. (1,-,3)2 3 4C (4,4,8)3 3 34 4 7 D (4,-,Z )3 3 3O以｛AB，AC，AD ｝为基底，则GE = __________13. _____________________________________________________________ 在空间直角坐标系O-xyz中，点P（2,3,4）在平面xOy内的射影的坐标为_______ 一点P（2,3,4）关于平面xOy的对称点的坐标为——三、解答题：14. 如图正方体ABCDABQD,中，E、F、G分别是B,B、AB BC的中点.(1)证明：D,F丄平面AEG(2)求cos ：：AE，D,B ■15. 如图，已知矩形ABC靳在平面外一点P, PAL平面ABCDAB=1,BC=2,PA=2E、F 分别是AB PC的中点.(1) 求证：EF//平面PAD(2) 求证：CD L EF(2)求EF与平面ABCD所成的角的大小.16. 如图4,在长方体ABCD-ABCD中，AD=A1=1, AB = 2，点E在棱AB上移动, 问AE等于何值时，二面角D-EC-D的大小为」.419.如图5所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEGF所截而得到的，其中AB =4, BC =2, CC1 =3, BE =1 .(2)求点C到平面AEGF的距离.(1)求//题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案A C D D CB AC 参考答案 、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50 分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 9. -212 10 . 1°,_6 11 . （16,0, -19） 12 . 一丄 AB_】AC ^AD 13.3 12 3 4（2,3,0）;（2,3,-4） 三、解答题（本大题共6题，共80分） 14 .解：以D 为原点，DA DC DA 所在的直线分别为x 、y 、z 轴, 建立空间直角坐标系，设正方体 AG 棱长为a ,则D （0，0，0）， a A （a ，0, 0），B （a ，a ，0），0 （0, 0, a ），E （a ，a ,—）, 2 F （a ，a ，0）， (1) AE =(0, G ( —， a ， 0). 2 — —)，二 D 1F A E =ax0+—xa —ax —=0 • 2 2 2 _ AE T EG AE =E ，二 0F _ 平面 AEG （2）由 AE*，a ，f ），D 1B =（ a ，a ，-a） AE D i B cos AE , D 1B = - A D 1B2 12 a a 2 0 +a 2 十亍 J a 2 +a 2 十(一a)215.证：如图，建立空间直角坐标系 ，则:A(0, 0, 0) ，B(1,0, 0) D ；0,2, 0) ，P(0, 0, 2) l 1 l 1 ••• E (2,0, 0) ，F (2,1, 1) A - xyz ， ，C(1,2, 0)， ••• E 为AB 的中点, DF 为PC 的中点T 1 T T(1) ••• EF 二(0, , 1) ， AP 二(0, 0, 2) ， AD = (0, 2, 0) 1••• TEF = - (^AP + *D) ••• 飞F 与*P 、*D 共面 又••• E 平面PAD ••• EF//平面 PAD ⑵T CD = (- 1, 0, 0)二 CD • TEF = (- 1, 1) = 0 二 CD! EF.⑶ T 飞F 二(0, 1, 1) , "A P 二(0, 0, 1)/. cos "E F , _A P \=—(^E F ,27 22T "A P 丄平面AC, ••• T AP 是平面AC 的法向量••• 90 —飞F , TAP = 45 .TAP = 45BD0, 0) • (0, EF 与平面AC 所成的角为:1116.解：设AE 二x ，以D 为原点，直线DA , DC , 所在直线分别为x , y z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(1,0,1 ), D(0,0,1 ), E(1，x,0) A(1,0,0), C(0，2,0).III• CE =(1 , x -2, 0, DiC =(0 , 2, -1), DD 1 =(0,0,1).设平面D i EC 的法向量为n = (a , b, c),• x=2-..3 ( x=2「3 不合题意，舍去).B • AE=2-・.3 .17.解：(1)以D 为原点,DAF , DC , DF 所在直线为x 轴,y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D —xyz ,D(0,0, 0, B(2,4,0), A(2 ,0, 0) C(0, 4, 0) E(2,4,1), G(0,4,3),设 F(0,0, z).由 AF =EC ,得(-2,0 , z) =(-2, 0,2),F(0,0,2, BF =( -2 , -4, 2).得 4y 1=0, . x"， 得-2x 2 =0.…y -.L 4(2)设口为平面AEGF 的法向量,由"DC "二. n *CE 二 02b 一 c =0, a b(x -2) =0,令b =1依题意••• n 二(2_x , ,12)• BF =276..(x-2)2 5贝 q二4.3333I又=(0,0, 3),设CG与n的夹角为:,4 33 • C到平面AEGF的距离d二CG cosot =11。

第三章 单元质量评估(二)时限：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知空间四边形ABCD ，G 是CD 的中点，连接AG ，则AB →＋12(BD →＋BC →)＝( )A.AG →B.CG →C.BC→ D.12BC →解析：在△BCD 中，因为G 是CD 的中点，所以BG →＝12(BD →＋BC →)，从而AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB→＋BG →＝AG →，故选A. 答案：A2．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．2 C.12D ．3解析：∵l 1⊥l 2，∴a ·b ＝0，代入可解得m ＝2. 答案：B3．已知i ，j ，k 为单位正交基底，a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a 与3b 的数量积等于( )A ．－15B ．－5C ．－3D ．－1解析：∵i ，j ，k 两两垂直且|i |＝|j |＝k |＝1，∴5a ·3b ＝(15i ＋10j －5k )·(3i －3j ＋6k )＝45－30－30＝－15.答案：A4．已知二面角α—l —β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：设m ，n 的方向向量分别为m ，n .由m ⊥α，n ⊥β知m ，n 分别是平面α，β的法向量． ∵|cos 〈m ，n 〉|＝cos60°＝12，∴〈m ，n 〉＝60°或120°. 但由于两异面直线所成的角的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2， 故异面直线m ，n 所成的角为60°. 答案：B5．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：设向量a ＋b 与c 的夹角为α，因为a ＋b ＝(－1，－2，－3，)，|a ＋b |＝14，cos α＝(a ＋b )·c |a ＋b ||c |＝12，所以α＝60°.因为向量a ＋b 与a 的方向相反，所以a 与c 的夹角为120°.故选C.答案：C6．如图，空间四边形OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN .设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为( )A.13，13，13B.13，13，16C.13，16，13D.16，13，13解析：∵MG ＝2GN ，∴MG →＝23MN →. 故OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23(ON →－OM →) ＝13OM →＋23ON →＝13×12OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(OB →＋OC →)＝16OA →＋13OB →＋13OC →.答案：D7．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35解析：不妨设CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.由题图知，A 点的坐标为(2,0,0)，B 点的坐标为(0,0,1)，B 1点的坐标为(0,2,1)，C 1点的坐标为(0,2,0)．所以BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)． 所以cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝0×(－2)＋2×2＋(－1)×135＝55. 答案：A8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设该正方体的棱长为2，则A 1(2,0,2)，M (0,1,0)，N (0,2,1)．∴A 1M →＝(－2,1，－2)，DN →＝(0,2,1)，∴cos 〈A 1M →，DN →〉＝A 1M →·DN →|A 1M →|·|DN →|＝0.∴异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是90°.答案：D9．如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， ∵|A 1B |＝|AC |＝2a ， ∴A 1M →＝13A 1B →，AN →＝13AC →，MN →＝MA 1→＋A 1A →＋AN →＝－13A 1B →＋A 1A →＋AN → ＝－13A 1A →－13A 1B 1→＋A 1A →＋13AD →＋13A 1B 1→ ＝23A 1A →＋13AD →＝23B 1B →＋13B 1C 1→. 因此MN →，B 1B →，B 1C 1→共面． 又∵MN ⊄平面BB 1C 1C ， ∴MN ∥平面BB 1C 1C . 答案：B10．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，则AC 1和平面BB 1C 1C 所成角的余弦值为( )A.104B.66C.62D.102解析：设正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为1，以B 为原点，建立空间直角坐标系(如图)，则C 1(0,1,1)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，AC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－32，12，1，又平面BB 1C 1C 的一个法向量n ＝(1,0,0)，所以AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角θ的正弦值sin θ＝|AC 1→·n ||AC 1→|·|n |＝322×1＝64，得cos θ＝1－sin 2θ＝104.答案：A11．如图，在四面体P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B —AP —C 的余弦值为( )A.22B.33 C ．－77D.57解析：如图，作BD ⊥AP 于D ，作CE ⊥AP 于E . 设AB ＝1，则易得CE ＝22，EP ＝22， P A ＝PB ＝2，可以求得BD ＝144， ED ＝24.∵BC →＝BD →＋DE →＋EC →，∴BC →2＝BD →2＋DE →2＋EC →2＋2BD →·DE →＋2DE →·EC →＋2EC →·BD →，∴EC →·BD →＝－14，∴cos 〈BD →，EC →〉＝－77，故选C.12．如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3，点E 在棱P A 上，且PE ＝2EA ，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为( )A.23 B.66 C.33D.63解析：以B 为原点，BC ，BA ，BP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Bxyz ，则B (0,0,0)，A (0,3,0)，P (0,0,3)，D (3,3,0)，E (0,2,1)，∴BE→＝(0,2,1)，BD →＝(3,3,0)． 设平面BED 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·BE→＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧2y ＋z ＝0，3x ＋3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12z ，y ＝－12z .令z ＝1，则n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1.又平面ABE 的一个法向量为m ＝(1,0,0)，∴cos 〈n ，m 〉＝66，即平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为66.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE→＝________.解析：GE →＝GA →＋AD →＋DE →＝－13(AB →＋AC →)＋AD →＋14(AB →－AD →)＝－112AB →－13AC →＋34AD →.答案：－112AB →－13AC →＋34AD →14．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为________．解析：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，B 1(4,4,3)，C (0,4,0)，得A 1B →＝(0,4，－3)，B 1C →＝(－4,0，－3)．故cos 〈A 1B →，B 1C →〉＝A 1B →·B 1C →|A 1B →||B 1C →|＝925. 答案：92515．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋6AA 1→＋7BA →＋4A 1D 1→，那么M 点一定在平面________内．解析：∵B 1M →＝PM →－PB 1→＝BA →＋6BA →＋6AA 1→＋4A 1D 1→＝BA →＋6BA 1→＋4A 1D 1→＝B 1A 1→＋2BA 1→＋4BD 1→，∴B 1M →－B 1A 1→＝2BA 1→＋4BD 1→，即A 1M →＝2BA 1→＋4BD 1→.故A 1M →，BA 1→，BD 1→共面，即M 点在平面A 1BCD 1内．答案：A 1BCD 116．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C —AB —D 的余弦值为33，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则EM ，AN 所成角的余弦值等于________．解析：设AB ＝2，作CO ⊥平面ABDE ，OH ⊥AB ，连接CH ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C —AB —D 的平面角，CH ＝3，OH ＝CH ·cos ∠CHO ＝1.结合等边△ABC 与正方形ABDE 可知四棱锥C —ABDE 为正四棱锥，则AN ＝EM ＝CH ＝3，AN →＝12(AC →＋AB →)，EM→＝12AC →－AE →，AN →·EM →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AE →＝12，故EM ，AN 所成角的余弦值为AN →·EM →|AN →|·|EM →|＝16. 答案：16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(10分)如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求实数x ，y ，z 的值． 解：(1)A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1A →.(2)∵EO →＝AO →－AE →＝12(AB →＋AD →)－AD →－23AA 1→＝12AB →－12AD →－23AA 1→，∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.18．(12分)在长方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，E 是BC 的中点．(1)求直线AO 1与B 1E 所成角的余弦值；(2)作O 1D ⊥AC 于点D ，求点O 1到点D 的距离．解：(1)建立如图的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,3,0)，C (0,3,0)，E (1,3,0)，O 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B 1(2,3,2)，C 1(0,3,2)，∴AO 1→＝(－2,0,2)，B 1E →＝(－1,0，－2)，∴cos 〈AO 1→，B 1E →〉＝AO 1→·B 1E →|AO 1→||B 1E →|＝－2210＝－1010. 故直线AO 1与B 1E 所成角的余弦值为1010.(2)设D (x 0，y 0,0)，O 1D →＝(x 0，y 0，－2)，AC →＝(－2,3,0)，AD →＝(x 0－2，y 0,0)．∵O 1D →⊥AC →且AD →∥AC →，∴⎩⎨⎧ －2x 0＋3y 0＝0，3(x 0－2)＋2y 0＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1813，y 0＝1213，∴O 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1813，1213，－2，∴|O 1D →|＝228613， ∴点O 1到点D 的距离为228613.19．(12分)如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F.(1)求证：A1C⊥平面BED；(2)求A1B与平面BDE所成的角的正弦值．解：(1)证明：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D—xyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，C1(0,2,4)，D1(0,0,4)．设E(0,2，t)，则BE→＝(－2,0，t)，B1C→＝(－2,0，－4)．∵BE ⊥B 1C ，∴BE →·B 1C →＝4＋0－4t ＝0，即t ＝1.故E (0,2,1)，BE→＝(－2,0,1)． 又∵A 1C →＝(－2,2，－4)，DB →＝(2,2,0)，∴A 1C →·BE →＝4＋0－4＝0，且A 1C →·DB →＝－4＋4＋0＝0. 因此A 1C →⊥DB →且A 1C →⊥BE →，即A 1C ⊥BD 且A 1C ⊥BE .故A 1C ⊥平面BDE .(2)由(1)知A 1C →＝(－2,2，－4)是平面BDE 的一个法向量，又∵A 1B →＝(0,2，－4)，∴cos 〈A 1C →，A 1B →〉＝A 1C →·A 1B →|A 1C →||A 1B →|＝306. 故A 1B 与平面BDE 所成角的正弦值为306.20．(12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，P A ⊥平面ABCD ，PD 与平面ABCD 成30°角．(1)若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；(2)求平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．解：(1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥P A .又∵AB ⊥AD ，AD ∩AP ＝A ，∴AB ⊥平面P AD .∴PD ⊥AB .又∵PD ⊥AE ，AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE ，∴BE ⊥PD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD ，P A ⊥AB .又AB ⊥AD ，∴AP ，AB ，AD 两两垂直．如图，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，C (a ，a,0)，D (0,2a,0)，AD→＝(0,2a,0)．∵P A ⊥平面ABCD ，∴∠ADP 是PD 与平面ABCD 所成的角．∴∠ADP ＝30°.∵AD ＝2a ，∴P A ＝2a tan30°＝233a ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，233a .∴PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，－233a ，，PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，－233a . 设n ＝(x ，y ，z )为平面PCD 的一个法向量，则⎩⎨⎧ n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧ ax ＋ay －233az ＝0，2ay －233az ＝0.取x ＝1，则n ＝(1,1，3)是平面PCD 的一个法向量．易知AD→＝(0,2a,0)为平面P AB 的一个法向量， ∴cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|AD →|·|n |＝55. ∴平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为55.21．(12分)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，C 1C ＝CB ＝CA ＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别为棱C 1C ，B 1C 1的中点．(1)求点B 到平面A 1C 1CA 的距离；(2)求二面角B —A 1D —A 的余弦值；(3)在线段AC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由．解：(1)∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴CC 1⊥底面ABC ，∴CC 1⊥BC .∵AC ⊥CB ，∴BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴BC 的长即为点B 到平面A 1C 1CA 的距离． ∵BC ＝2，∴点B 到平面A 1C 1CA 的距离为2.(2)∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，C 1C ＝CB ＝CA ＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别为C 1C ，B 1C 1的中点，建立如图的空间直角坐标系，得C (0,0,0)，B (0,2,0)，A (2,0,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)，A 1(2,0,2)，D (0,0,1)，E (0,1,2)，∴BD →＝(0，－2,1)，BA 1→＝(2，－2,2)． 设平面A 1BD 的法向量为n ＝(λ，1，μ)，则⎩⎨⎧ n ·BD →＝0，n ·BA 1→＝0，即⎩⎨⎧ －2＋μ＝02λ－2＋2μ＝0，解得⎩⎨⎧ μ＝2λ＝－1，∴n ＝(－1,1,2)由(1)知平面ACC 1A 1的法向量为CB →＝(0,1,0)，cos 〈n ，CB →〉＝16＝66，即二面角B －A 1D －A 的余弦值为66.(3)设在线段AC 上存在一点F (x,0,0)，使得EF ⊥平面A 1BD .欲使EF ⊥平面A 1BD ，由(2)知当且仅当n ∥FE→. ∵FE→＝(－x,1,2)，∴x ＝1，故存在唯一一点F (1,0,0)满足条件，F 为AC 的中点．22．(12分)如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1＝22，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且C 1H ＝ 5.(1)求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值；(2)求二面角A —A 1C 1—B 1的正弦值；(3)设N 为棱B 1C 1的中点，点M 在平面AA 1B 1B 内，且MN ⊥平面A 1B 1C 1，求线段BM 的长．解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点． 依题意得A (22，0,0)，B (0,0,0)，C (2，－2，5)，A 1(22，22，0)，B 1(0,22，0)，C 1(2，2，5)．(1)易得AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0,0)，于是cos〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →·A 1B 1→|AC →||A 1B 1→|＝43×22＝23， 所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23. (2)易知AA 1→＝(0,22，0)，A 1C 1→＝(－2，－2，5)．设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ m ·A 1C 1→＝0，m ·AA 1→＝0，即⎩⎨⎧ －2x －2y ＋5z ＝0，22y ＝0. 不妨令x ＝5，可得m ＝(5，0，2)．同样地，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，。

评卷人 得分
三、解答题
17 ． 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ,ABCD 为 平 行 四 边 形 ,AC 与 BD 交 于 O,G 为 BD 上 一 点,BG=2GD, = , = , = ,试用基底{ , , }表示向量 . 18．已知向量 =(1,-3,2), =(-2,1,1),点 A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2 + |; (2)在直线 AB 上,是否存在一点 E,使得 ⊥ ?(O 为原点)
【详解】
设平面 ABC 的单位法向量是
，则
解得
，所以平面 ABC 的单位法向量是±
【点睛】
本题主要考查向量数量积及模的坐标运算，关键要掌握运算法则，属于基础题。
15． 【解析】 【分析】 先设上、下底面中心分别为 O1、O，则 OO1⊥平面 ABCD，以 O 为原点，直线 BD、AC、OO1 分别 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设棱台高为 h，根据侧棱与底面所成的角为 60°
求得 h= ，再求得 ＝(－ ， ， )， ＝(－ ， ，－ )，再求 cos〈 ， 〉 的值，即得异面直线 AD1 与 B1C 所成角的余弦值. 【详解】
11
设上、下底面中心分别为 O1、O，则 OO1⊥平面 ABCD，以 O 为原点，直线 BD、AC、OO1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． ∵AB＝2，A1B1＝1，∴AC＝BD＝2 ，A1C1＝B1D1＝ ， ∵平面 BDD1B1⊥平面 ABCD，∴∠B1BO 为侧棱与底面所成的角，∴∠B1BO＝60°，
因为
，
，所以有
，即 与 共线（平行），可知平面α和
7
平面β相互平行。答案选 B。 【点睛】 本题主要考查向量语言表达线面位置关系，关键是向量共线运算，把握公式，精确计算，问 题较容易解决。 6．A 【解析】 【分析】

这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则当|AB →|取最小值时，x 的值等于________．解析：AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，则 |AB →|＝1－x2＋2x －32＋－3x ＋32＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎪⎫x －872＋57，故当x ＝87时，|AB →|取最小值．答案：8714．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________． 解析：如图，以DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)， 易证AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．AC 1→＝(－1,1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)． cos 〈AC 1→，BC 1→〉＝1＋13×2＝63. 所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63.答案：63设AC ∩BD ＝N ，连结NE ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)， ∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. 又A (2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∴NE →＝AM →，且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM .又NE ⊂平面BED ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE .(2)设P (t ，t,0)(0≤t ≤2)，则PF →＝(2－t ，2－t,1)，CD →＝(2，0,0)．又∵PF →与CD →所成的角为60°，|2－t ·2|2－t2＋2－t 2＋1·2＝12， 解之得t ＝22，或t ＝322(舍去)． 故点P 为AC 的中点．22．(本小题满分12分)如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．。

章末综合测评(二) 随机变量及其分布(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法不正确的是( )A ．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B ．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C ．公式E (X )＝np 可以用来计算离散型随机变量的均值D ．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布 【解析】 公式E (X )＝np 并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算．故选C.【答案】 C2．(2016·吉安高二检测)若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球，现从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 15＋C 14C 16C 112C 111的是( ) A ．P (X ＝0) B ．P (X ≤2) C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)【解析】 由已知易知P (X ＝1)＝C 18C 15＋C 14C 16C 112C 111.【答案】 C3．(2016·长沙高二检测)若X 的分布列为则E (X )＝( ) A.45B.12C.25D.15【解析】由15＋a＝1，得a＝45，所以E(X)＝0×15＋1×45＝45.【答案】 A4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( )A．0.16 B．0.24C．0.96 D．0.04【解析】三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.【答案】 C5．如果随机变量X～N(4,1)，则P(X≤2)等于( )(注：P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4)A．0.210 B．0.022 8C．0.045 6 D．0.021 5【解析】P(X≤2)＝(1－P(2<X≤6))×12＝[1－P(4－2<X≤4＋2)]×12＝(1－0.954 4)×12＝0.022 8.【答案】 B6．某同学通过计算机测试的概率为13，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )【导学号：97270056】A.49B.29C.427D.227【解析】连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P＝C13×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－132＝49.【答案】 A7．校园内移栽4棵桂花树，已知每棵树成活的概率为45，那么成活棵数X 的方差是( )A.165B.6425C.1625D.645【解析】 由题意知成活棵数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，45，所以成活棵数X 的方差为4×45×⎝⎛⎭⎪⎫1－45＝1625.故选C.【答案】 C8．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )A.35B.25C.110D.59【解析】 记“第一次摸到正品”为事件A ，“第二次摸到正品”为事件B ，则P (A )＝C 16C 19C 110C 19＝35，P (AB )＝C 16C 15C 110C 19＝13.故P (B |A )＝P AB P A ＝59.【答案】 D9．(2016·长沙高二检测)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f (x )＝1102πe －x －802200，则下列命题中不正确的是( )A ．该市在这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10【解析】 利用正态密度函数的表达式知μ＝80，σ＝10.故A ，D 正确，利用正态曲线关于直线x＝80对称，知P(ξ>110)＝P(ξ<50)，即分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故C正确，故选 B.【答案】 B10．设随机变量ξ等可能地取1,2,3,4，…，10，又设随机变量η＝2ξ－1，则P(η<6)＝( )A．0.3 B．0.5C．0.1 D．0.2【解析】因为P(ξ＝k)＝110，k＝1,2，…，10，又由η＝2ξ－1<6，得ξ<72，即ξ＝1,2,3，所以P(η<6)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝310＝0.3.【答案】 A11．甲、乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所示，则有结论( )A.B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些C．两人的产品质量一样好D．无法判断谁的产品质量好一些【解析】∵E(X甲)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(X乙)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9.∵E(X甲)>E(X乙)，∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些．【答案】 B12．(2016·深圳高二检测)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位数中a1＝1，a k(k＝2,3,4,5)出现0的概率为1 3，出现1的概率为23，记ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，ξ的数学期望为( )A.827B.113C.1681D.6581【解析】 记a 2，a 3，a 4，a 5位上出现1的次数为随机变量η，则η～B ⎝⎛⎭⎪⎫4，23，E (η)＝4×23＝83.因为ξ＝1＋η， E (ξ)＝1＋E (η)＝113.故选B. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P (X ≤6)＝________.【解析】 P (X ≤6)＝P (X ＝4)＋P (X ＝6)＝C 44＋C 34C 13C 47＝1335. 【答案】133514．一只蚂蚁位于数轴x ＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x ＝1处的概率为________．【解析】 由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x ＝1处的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫131＝49.【答案】4915．(2016·福州检测)一个正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝________.【解析】如图，n (Ω)＝9，n (A )＝3，n (B )＝4，所以n (AB )＝1，P (A |B )＝n AB n B ＝14.【答案】1416．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627. 其中所有正确结论的序号是________. 【导学号：97270057】【解析】 ①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫6，23，其方差为6×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝43，故②正确；③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}． 则P (A )＝23，P (AB )＝4×36×5＝25，∴P (B |A )＝P AB P A ＝35，故③错；④每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝2627，故④正确．【答案】①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．P(B)＝42＋4＝23.P(B)＝1－P(B)＝1 3 .(1)P(A|B)＝3＋18＋1＝49.(2)∵P(A|B)＝38＋1＝13，∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩B) ＝P(A|B)P(B)＋P(A|B)P(B)＝49×23＋13×13＝1127.18．(本小题满分12分)在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)的考生大约有多少人？【解】因为ξ～N(90,100)，所以μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.一共有2 000名学生，所以考试成绩在(80,100)的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．19．(本小题满分12分)甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较.【解】E(X)＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D(X)＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81.工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为E(Y)＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D(Y)＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.由E(X)＝E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)>D(Y)，可见乙的技术比较稳定．20．(本小题满分12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数) 【解】(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p＝C34＋C33C39＝584.(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝C24C15＋C34C39＝1742，P(X＝2)＝C13C14C12＋C23C16＋C33C39＝4384，P(X＝3)＝C22C17C39＝112.故X的分布列为从而E(X)＝1×1742＋2×84＋3×12＝28.21．(本小题满分12分)某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，14；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．(1)如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的分布列及E(ξ)；(2)要使10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．【解】(1)依题意，ξ可能的取值为1,0，－1.ξ的分布列为E(ξ)＝12－14＝14.(2)设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的分布列为E(η)＝2α－2β＝4α－依题意得4α－2≥1 4，故916≤α≤1.22．(本小题满分12分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比．分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．【解】(1)X可能的取值为10,20,100，－200.根据题意，有P(X＝10)＝C13×⎝⎛⎭⎪⎫121×⎝⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P(X＝20)＝C23×⎝⎛⎭⎪⎫122×⎝⎛⎭⎪⎫1－121＝38，P(X＝100)＝C33×⎝⎛⎭⎪⎫123×⎝⎛⎭⎪⎫1－120＝18，P(X＝－200)＝C03×⎝⎛⎭⎪⎫120×⎝⎛⎭⎪⎫1－123＝18.所以X的分布列为(2)设“第i i ，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512. (3)X 的数学期望为 EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54. 这表明，获得的分数X 的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．。

2018-2019学年选修2-1第三章训练卷空间向量与立体几何（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知三棱锥OABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OAuu va ，OBuu u v b ，OC uuu v c ，用a ，b ，c 表示MN uuu v ，则MN uuu v等于（）A ．12b c aB ．12abc C ．12ab c D ．12c ab2．已知cos ,1,sin a 、sin ,1,cosb，且∥a b ，则向量ab 与ab 的夹角是（）A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°3．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为4,1,3A 、2,5,1B 、3,7,C ，若ABu u u v AC uuu v ，则等于（）A ．28B ．28C ．14D ．144．若向量,,a b c 是空间的一个基底，则一定可以与向量2pab ，2qab 构成空间的另一个基底的向量是（）A ．aB ．bC ．cD ．ab5．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知2,0,0A 、2,2,0B 、0,2,0C 、1,12D ，，若1S 、2S 、3S 分别表示三棱锥DABC 在xOy 、yOz 、zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A ．123S S SB ．231S S SC ．132S S S D ．123S S S 6．已知a 、b 是两异面直线，A 、B a ，C 、Db ，AC b ，BDb 且2AB，1CD，则直线a 、b 所成的角为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°7．如图所示，在平行六面体1111ABCDA B C D 中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若1BEAA xABy AD uu u vuuu v uu u v uuu v，则（）A ．12x，12y B ．12x ，12y C ．12x，12yD ．12x，12y8．已知1,1,2A 、1,0,1B ，设D 在直线AB 上，且2AD DB uuu vu uu v ，设C 1,,13，若CD AB ，则的值为（）A ．116B ．116C ．12D ．13此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号9．如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，2AB BC，12AA ，E 、F 分别是面1111A B C D 、面11BCC B 的中心，则E 、F 两点间的距离为（）A ．1B ．52C ．62D ．3210．如图，在空间直角坐标系中有长方体1111ABCD A B C D ，1AB ，2BC，13AA ，则点B 到直线1A C 的距离为（）A ．27B ．2357C ．357D ．111．如图所示，在长方体1111ABCDA B C D 中，11ADAA ，2AB，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面1ACD 的距离为（）A ．12B ．22C ．13D ．1612．如图所示，正方体1111ABCDA B C D 中，E 、F 分别是正方形11ADD A 和ABCD的中心，G 是1CC 的中点，设GF 、1C E 与AB 所成的角分别为，，则等于（）A ．120°B ．60°C ．75°D ．90°二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知1,2,0A 、0,1,1B ，P 是x 轴上的动点，当AP BP uu u v uu v取最小值时，点P的坐标为_____________．14．已知正四棱台1111ABCDA B C D 中，上底面1111A B C D 边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线1AD 与1B C 所成角的余弦值为___________．15．三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线P A 与底面ABC 所成角的大小为________________．16．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，3BC，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__________________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA uu va ，PBuu vb ，PCuu u v c ，试用基底,,a b c 表示向量PG uu u v ．18．（12分）如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，2ABC，D 是棱AC 的中点，且12ABBCBB ．（1）求证：1AB ∥平面1BC D ；（2）求异面直线1AB 与1BC 所成的角．19．（12分）如图所示，在四面体ABCD 中，AB 、BC 、CD 两两互相垂直，且1BCCD．（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）求二面角C －AB －D 的大小；（3）若直线BD 与平面ACD 所成的角为30°，求线段AB 的长度．20．（12分）如图，在正四棱柱1111ABCDA B C D 中，已知AB ＝2，15AA ，E 、F分别为1D D 、1B B 上的点，且11DE B F．（1）求证：BE ⊥平面ACF ；（2）求点E 到平面ACF 的距离．21．（12分）如图所示，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，PD＝DC，E 是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）求二面角B－DE－C的余弦值．22．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D中，侧棱1A A底面ABCD，AB⊥AC，1AB，12AC AA，5AD CD，且点M和N分别为1B C和1D D的中点．（1）求证：MN∥平面ABCD；（2）求二面角11D AC B的正弦值；（3）设E为棱11A B上的点．若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为13，求线段1A E的长．2018-2019学年选修2-1第三章训练卷空间向量与立体几何（二）答案一、选择题1．【答案】D 【解析】111111222222MN ONOMOC OA OBuu u v uu u vuuu v u uu v u uv uu u v cabc ab ，故选D ．2．【答案】A 【解析】∵22a ，22b，220a b a b ab，∴abab ．故选A ．3．【答案】D 【解析】2,6,2AB uu u v ，1,6,3ACuuu v，∵ABAC uu u v uuu v ，∴2166230AB ACuu u v uuu v ，解得14，故选D ．4．【答案】C 【解析】∵1144apq ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；∵1122bpq ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；∵3144a bpq ，所以ab 、p 、q 共面，故ab 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D ；故选C ．5．【答案】B【解析】由题意可得112222S ，212222S ，312222S ，故231S S S ．故选B ．6．【答案】B【解析】由于AB AC CD DB u u u vuu u v u uu v u uu v ，∴21AB CD AC CD DB CD CDuu u v uu u v uuu v uu u v uu u v uu u v uu u v ．1cos ,,602AB CD AB CDAB CDABCDuu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v ，故选B ．7．【答案】A【解析】11111111111222BEBAAA A E ABAA A B A D ABAA AB AD u u u v uu v u uu v uuu vuu u v u uu v uu uuv uuuu v u u u v uuu v uu u v uuu v 11122AB AA AD uu u v uuu v uuuv ，∴12x ，12y．故选A ．8．【答案】B【解析】设,,D x y z ，则1,1,2ADxy zuuu v ，2,1,3ABuu u v ，1,,1DBx y z uu u v，∵2ADDB u uu v uu u v，∴12112222x x y y zz ，∴13130xy z．∴11033D ，，，113CDuu u v ，，，∵CDAB uu u v uu u v ，∴1231=03CD ABuu u v uu u v ，∴116．故选B ．9．【答案】C【解析】以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1,1,2E 、22,1,2F ，所以222261211222EF，故选C ．10．【答案】 B【解析】过点B 作BE 垂直1A C ，垂足为E ，设点E 的坐标为,,x y z ，则10,0,3A ，1,0,0B ，1,2,0C ，11,2,3A C uuu v ，1,,3A Ex y z uuu v，1,,BEx y z uu u v ．因为1110A E A CBE A Cuuu v uuu v uu u v uuu v∥，所以31231230xyzx y z，解得5710767xyz，所以2106,,777BEuu u v，所以点B 到直线1A C 的距离2357BE uu u v，故选B ．11．【答案】C【解析】如图，以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则10,0,1D 、1,1,0E 、1,0,0A 、0,2,0C ．从而11,1,1D E uuu v 、1,2,0AC uuu v、11,0,1AD uuuv，设平面1ACD 的法向量为,,a b c n ，则100AC AD uuu vuuuvn n ，即200a b ac，得2a b ac．令2a，则2,1,2n．所以点E 到平面1ACD 的距离为1212133D E h uuu vn n．故选C ．12．【答案】D【解析】建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则2,0,0B 、2,2,0A 、0,0,1G 、1,1,0F 、10,0,2C 、1,2,1E ．则0,2,0BAuu v 、1,1,1GFuuu v、11,2,1C Euuu v，∴1cos ,3BA GF BA GFBA GF uu v uuu v uu v uuu vuu v uuu v ，1112cos ,3BA C E BA C EBA C Euu v uuu v uu v uuu vuu v uuu v ，∴1cos 3，2sin 3，2cos3，1sin 3，cos 0，∴90．故选D ．二、填空题13．【答案】1,0,02【解析】设,0,0P x ，则1,2,0AP xuu u v ，,1,1BP x uu v，2171224AP BPx x xuu u v uu v ，∴当12x时，AP BPuu u v uu v 取最小值74，此时点P 的坐标为1,0,02．14．【答案】14【解析】设上、下底面中心分别为1O 、O ，则1OO 平面ABCD ，以O 为原点，直线BD 、AC 、1OO 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵2AB ，111A B ，∴22ACBD，11112A C B D ，∵平面11BDD B ⊥平面ABCD ，∴1B BO 为侧棱与底面所成的角，∴160B BO，设棱台高为h ，则tan60222h，∴62h，∴0,2,0A ，126,0,22D ，126,0,22B ，0,2,0C ，∴126,2,22AD uuuv ，126,2,22B C uuu v ，∴1111111cos ,4AD B C AD B CAD B Cuuu v uuu v uuu v uuu vuuu v uuu v ，故异面直线1AD 与1B C 所成角的余弦值为14．15．【答案】45°【解析】由条件知，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，∴2BC ，∵PB ＝PC ＝1，∴∠BPC ＝90°，取BC 边中点E ，则22PE，22AE，又PA ＝1，∴∠PEA ＝90°，故∠PAE ＝45°，∵E 为BC 中点，∴PE ⊥BC ，AE ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAE ，∴平面PAE ⊥平面ABC ，∴∠PAE 为直线PA 与平面ABC 所成角．16．【答案】102【解析】如图，过B 、D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M 、N ．则可求得12AM 、32BM、12CN、32DN、1MN ．由于BDBM MN ND uu u v uuu v uuu v uuu v ，∴22BDBM MNNDuu u v uuu v uuu v uuu v 2222BMMNNDBM MNMN ND BM ND uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v 22233512000222，∴102BDuu u v ．三、解答题17．【答案】212333PGuu u vabc ．【解析】∵BG ＝2GD ，∴23BGBD uu u vuuu v ．又2BD BA BC PA PB PC PB u uu v u u v uu u v uu v uu v u u u v u u v a c b ，∴221223333PGPBBGu uu v u uv uu u v bacb abc ．18．【答案】（1）见解析；（2）3．【解析】（1）如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．∵O 为1B C 的中点，D 为AC 的中点，∴1OD AB ∥．∵1AB 平面1BC D ，OD 平面1BC D ，∴1AB ∥平面1BC D ．（2）建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ．则0,0,0B 、0,2,0A 、12,0,2C 、10,0,2B ．∴10,2,2AB uuu v 、12,0,2BC uuu v．1111110041cos ,22222AB BC AB BC AB BC uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v ，设异面直线1AB 与1BC 所成的角为，则1cos2，∵0,2，∴3．19．【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）1．【解析】解法一：（1）∵CD ⊥AB ，CD ⊥BC ，∴CD ⊥平面ABC ．又∵CD ?平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABC ．（2）∵AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∴AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BD ．∴∠CBD 是二面角C －AB －D 的平面角．∵在Rt △BCD 中，BC ＝CD ，∴∠CBD ＝45°．∴二面角C －AB －D 的大小为45°．（3）过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ，连接DH ．∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴BH ⊥平面ACD ，∴∠BDH 为BD 与平面ACD 所成的角．∴∠BDH ＝30°．在Rt △BHD 中，2BD，∴22BH．又∵在Rt △BHC 中，BC ＝1，∴∠BCH ＝45°，∴在Rt △ABC 中，AB ＝1．解法二：（1）同解法一．（2）设ABa ，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，则0,0,0B 、0,0,A a 、0,1,0C 、1,1,0D ，1,1,0BDuu u v、0,0,BAa uu v．平面ABC 的法向量1,0,0CDuu u v，设平面ABD 的一个法向量为,,x y z n，则有0BD xyuu u v n ，0BA azuu v n，∴0z，取1y ，则1x ，∴1,1,0n ．∴2cos ,2CD CD CD uu u v uu u vuu u v n nn，由图可知二面角C －AB －D 为锐角，∴二面角C －AB －D 的大小为45°．（3）0,1,ACa uuu v 、1,0,0CDuu u v、1,1,0BD uu u v．设平面ACD 的一个法向量是,,x y z m，则0AC yazuuu v m，0CD xuu u v m，令1z ，∴ya ，则0,,1a m ．∵直线BD 与平面ACD 所成角为30°，∴2cos cos6012BD a BD BD auu u v uu u v uu u v m mm，解得1a ，∴AB ＝1．20．【答案】（1）见解析；（2）53．【解析】（1）证明：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则0,0,0D 、2,0,0A 、2,2,0B 、0,2,0C 、10,0,5D 、0,0,1E 、2,2,4F ．∴2,2,0ACuuu v 、0,2,4AF uuu v、2,2,1BE uu u v、2,0,1AEuu u v．∵0BE AC uu u v uuu v ，0BE AFuu u v uu u v ，∴BEAC ，BE AF ，且AC AFA I ．∴BE ⊥平面ACF ．（2）解：由（1）知，BE uu u v为平面ACF 的一个法向量，∴点E 到平面ACF 的距离53AE BE dBE uu u v ．故点E 到平面ACF 的距离为53．21．【答案】（1）见解析；（2）33．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ．设PDDCa ，则0,0,0D 、,0,0A a 、0,0,P a 、,,0B a a 、0,,22a aE 、0,,0C a ，∴,0,APa a uu u v 、,,0DBa a uu u v、0,,22a aDEuuu v、0,,0DC a uuu v ．（1）设平面BDE 的一个法向量为1111,,x y z n ，则有110DB DE uu u v uuu vn n ，即11110022ax ay a a y z ，∴111111x y z ．∴11,1,1n ．100AP aauu u vn ，∴1APuu u vn ，又∵AP平面BDE ，∴AP ∥平面BDE ．（2）设平面CDE 的一个法向量为21,0,0n ．1213cos ,331n n ，∴二面角B －DE －C 的余弦值为33．22．【答案】（1）见解析；（2）31010；（3）72．【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得0,0,0A 、0,1,0B 、2,0,0C 、1,2,0D 、10,0,2A 、10,1,2B 、12,0,2C 、11,2,2D ，又因为M 、N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,12M 、1,2,1N ．（1）依题意，可得0,0,1n 为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MNuuu v ，由此可得，0MN uuu vn，又因为直线MN平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD ．（2）11,2,2AD uuuv、2,0,0ACuuu v，设1111,,x y z n 为平面1ACD 的法向量，则11100AD AC uuu v uuu vn n ，即111122020x y z x ，不妨设11z ，可得10,1,1n ．设2222,,x y z n 为平面1ACB 的一个法向量，则2120AB AC uuu v uuu vn n ，又10,1,2AB uuu v ，得22222020y z x ，不妨设21z ，可得20,2,1n ．因此有12121210cos ,10n n n n n n ，于是12310sin ,10n n ，所以二面角11D AC B 的正弦值为31010．（3）依题意，可设111A E A B uuu v uuu u v，其中0,1，则0,,2E ，从而1,2,1NE uu u v，又0,0,1n为平面ABCD 的一个法向量，由已知得22211cos 3121NE NE NE uu u v uu u vuu u v n ,nn，整理得2430，又因为0,1，解得72，所以线段1A E 的长为72．。

第三章单元综合检测(二)(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．在长方体－中，＋＋－等于( )解析：∵＋＋－＝＋＝.答案：．若向量，是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则·＝且·＝是⊥α的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：用向量的数量积考查线线垂直与线面垂直．当∥时，由·＝且·＝得不出⊥α；反之，由⊥α一定有·＝且·＝，故选.答案：．[·山东省济宁市质检]已知向量＝(，－)与＝(，，)平行，则，的值分别为( ). 和－. －和. －和－. 和解析：本题主要考查空间两向量平行的坐标表示．因为向量＝(，－)与＝(，，)平行，所以＝＝，解得＝－，＝，故选.答案：．[·四川省成都七中期末考试]已知直线过点(，－)，平行于向量＝()，平面α过直线与点()，则平面α的法向量不可能．．．是( ). (，－) . (，－，). (－，，－) . (，－)解析：本题主要考查平面的法向量．因为＝()，直线平行于向量，若是平面α的法向量，则必须满足(\\(·＝·(,\(→))＝))，把选项代入验证，只有选项不满足，故选.答案：．已知＝(α，，α)，＝(α，，α)，则向量＋与－的夹角是( )．°．°．°．°解析：因为＝，所以(＋)·(－)＝－＝－＝，则(＋)⊥(－)．答案：．如右图所示，在四棱锥－中，底面是边长为的正方形，到、、、的距离都等于.给出以下结论：①＋＋＋＝；②＋－－＝；③－＋－＝；④·＝·；⑤·＝，其中正确结论的个数是( )．．．．解析：因为－＋－＝＋＝，所以③正确；又因为底面是边长为的正方形，＝＝＝＝，所以·＝××∠，·＝××∠，而∠＝∠，于是·＝·，因此④正确，其余三个都不正确．答案：．空间四边形的各边及对角线长均为，是的中点，则( )·<··＝··>··与·不能比较大小解析：如右图，易证⊥，故·＝，取中点，连接，，则∥.在△中，＝＝，＝，得∠是锐角，所以〈，〉是钝角，即〈，〉是钝角，所以·<，故选.答案：．在长方体－中，、分别是棱、的中点，若∠＝°，则异面直线与所成的角为( )．°．°．°．°解析：建立如图所示坐标系．设＝，＝，＝，则()，(，)，(，)，(，，)，(，)，(，)，，.。

第三章 章末检测试题一．选择题1、已知(2,1,3),(1,2,9)a x b y ==-，如果a 与b 为共线向量，则（ ）A. B.C. D.2、已知，，且，则x 的值是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 33、如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（ ）A.B.C. D. 4、若A，B，C，则的形状是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形5、如图，在三棱锥D ﹣ABC 中，∠ABC=90°，平面DAB ⊥平面ABC ，DA=AB=DB=BC ，E 是DC 的中点，则AC 与BE 所成角的余弦值为（ ）A. B. C.D.6、．(2014·石家庄调研)设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是( ) A.32 B.22C.223D.2337、已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（ ） A ．627 B ．637 C ．647 D ．6578、O 为空间任意一点，若311488OP OA OB OC =++，则,,,A B C P 四点 ( ) A. 一定不共面 B. 一定共面 C. 不一定共面 D. 无法判断9、在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,7,6)，则点M 关于y 轴的对称点坐标为（ ） A ．(4,0,6) B ．(4,7,6)-- C ．(4,0,6)-- D ．(4,7,0)- 10、已知分别是平面，的法向量则平面α， β的位置关系式（ ）A. 平行B. 垂直C. 所成的二面角为锐角D. 所成的二面角为钝角11、如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF .当A 1、E 、F 、C 1共面时，平面A 1DE 与平面C 1DF 所成锐二面角的余弦值为( ) A.32 B. 12C. 15D. 26512、已知111ABC A B C -是各棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点，则平面ABC与平面1AB D 所成的锐二面角为( ) A ．45 B ．60 C ．75 D ．30二．填空题 13、已知向量，，且，则实数的值等于__________．14、已知向量,,a b c 是空间的一个单位正交基底，向量,,a b a b c +-是空间的另一个基底．若向量m 在基底,,a b c 下的坐标为()1,2,3，则m 在基底,,a b a b c +-下的坐标为 _________15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面ABD 1与面B 1BD 1所夹角的大小为________． 16．已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG ＝2，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则点C 到平面GEF 的距离为________． 三．解答题17、已知空间中三点A （－2,0,2），B （－1,1,2），C （－3,0,4），设a ＝,b ＝． （1）求向量a 与向量b 的夹角的余弦值； （2）若ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求实数k 的值18、已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。

章末综合测评(三) 空间向量与立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与向量a ＝(1，－3，2)平行的一个向量的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D.()2，－3，－22【解析】 a ＝(1，－3，2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1. 【答案】 C2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD→)，则( ) A ．x ＝1，y ＝12 B ．x ＝1，y ＝13 C ．x ＝12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝14【解析】 AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→ ＝AA 1→＋14AC →＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)， ∴x ＝1，y ＝14.应选D. 【答案】 D3．已知A (2，－4，－1)，B (－1，5，1)，C (3，－4，1)，D (0，0，0)，令a ＝CA→，b ＝CB →，则a ＋b 为( )A ．(5，－9，2)B ．(－5，9，－2)C ．(5，9，－2)D ．(5，－9，－2)【解析】 a ＝CA →＝(－1，0，－2)，b ＝CB →＝(－4，9，0)， ∴a ＋b ＝(－5，9，－2)． 【答案】 B4．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝aAB →＋2bAD →＋3cA 1A →，则abc 的值等于( ) 【导学号：18490123】A.16 B.56 C.76D ．－16【解析】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →－AA 1→＝aAB →＋2bAD →＋3cA 1A →，∴a ＝1，b ＝12，c ＝－13.∴abc ＝－16.【答案】 D5．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( )A.AB →＝－C 1D 1→B.AB→·BC →＝0 C.AA 1→·B 1D 1→＝0D.AC 1→·A 1C →＝0【解析】 如图，AB →∥C 1D 1→，AB →⊥BC →，AA 1→⊥B 1D 1，故A ，B ，C 选项均正确．【答案】 D6．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“c·a＝0，且c·b＝0”是l⊥α的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若l⊥α，则l垂直于α内的所有直线，从而有c·a＝0，c·b＝0.反之，由于a，b是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．【答案】 B7．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为()A．2B．3C．4D．5【解析】设BC的中点为D，则D(2，1，4)，∴AD→＝(－1，－2，2)，∴|AD→|＝（－1）2＋（－2）2＋22＝3，即BC边上的中线长为3.【答案】 B8．若向量a＝(x，4，5)，b＝(1，－2，2)，且a与b的夹角的余弦值为26，则x＝()A．3 B．－3C．－11 D．3或－11【解析】因为a·b＝(x，4，5)·(1，－2，2)＝x－8＋10＝x＋2，且a与b的夹角的余弦值为26，所以26＝x＋2x2＋42＋52×1＋4＋4，解得x＝3或－11(舍去)，故选A.【答案】 A9.如图1，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( )图1A.63B.255C.155D.105【解析】 以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，∴BC 1→＝(－2，0，1)，AC →＝(－2，2，0)，且AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量．∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝45·8＝105.∴sin 〈BC →1，AC →〉＝|cos 〈BC →1，AC →〉|＝105， ∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为105. 【答案】 D10．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13【解析】 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D (0，0，0)，C (0，1，0)，B (1，1，0)，C 1(0，1，2)，则DC →＝(0，1，0)，DB →＝(1，1，0)，DC 1→＝(0，1，2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2，1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC →|n ||DC →|＝23.【答案】 A11．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－nAA 1→，则m ，n 的值分别为( ) A.12，－12 B ．－12，－12 C ．－12，12D.12，12【解析】 由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1→，所以m ＝12，n ＝－12，故选A.【答案】 A12．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝435，那么二面角A -BD -P 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，则PB →＝⎝⎛⎭⎪⎫3，0，－453， BD→＝(－3，4，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的一个法向量，则 ⎩⎨⎧n ·PB →＝0，n ·BD →＝0，得⎩⎨⎧（x ，y ，z ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，－453＝0，（x ，y ，z ）·（－3，4，0）＝0.即⎩⎨⎧3x －453z ＝0，－3x ＋4y ＝0.令x ＝1，则n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，34，543.又n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，453为平面ABCD 的一个法向量， ∴cos 〈n 1，n 〉＝n 1·n |n 1||n |＝32.∴所求二面角为30°.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．若a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________. 【导学号：18490124】【解析】 由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.【答案】 16 －3214．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0，0，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，2，C (－1，0, 2)，则角A 的大小为________．【解析】 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，AC →＝(－1，0，0)，则cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝321×1＝32，故角A 的大小为30°. 【答案】 30°15．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2，3)，B (2，1，－1)，若直线AB 交平面xOz 于点C ，则点C 的坐标为________．【解析】 设点C 的坐标为(x ，0，z )，则AC→＝(x －1，2，z －3)，AB →＝(1，3，－4)，因为AC →与AB →共线，所以x －11＝23＝z －3－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，z ＝13，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，13.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，1316.如图2，在四棱锥S -ABCD中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A ，B ，C ，D 的距离都等于2.图2给出以下结论：①SA→＋SB →＋SC →＋SD →＝0；②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0；③SA→－SB →＋SC →－SD →＝0；④SA →·SB →＝SC →·SD →；⑤SA →·SC →＝0，其中正确结论的序号是________．【解析】 容易推出：SA→－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA→·SB →＝2×2cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2×2cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确；其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.【答案】 ③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如图3，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .图3(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)证明：PC ∥平面BAQ .【证明】 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .(1)依题意有Q (1，1，0)，C (0，0，1)，P (0，2，0)，则DQ →＝(1，1，0)，DC→＝(0，0，1)，PQ →＝(1，－1，0)，所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC 且DQ ∩DC ＝D . 故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)根据题意，DA→＝(1，0，0)，AB →＝(0，0，1)，AQ →＝(0，1，0)，故有DA→·AB →＝0，DA →·AQ →＝0，所以DA →为平面BAQ 的一个法向量． 又因为PC→＝(0，－2，1)，且DA →·PC →＝0，即DA ⊥PC ，且PC ⊄平面BAQ ，故有PC ∥平面BAQ .18. (本题满分12分)如图4，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．图4【解】 因为BA 1→＝BA →＋AA 1→ ＝BA →＋BB 1→，AC →＝BC →－BA →， 且BA →·BC →＝BB 1→·BA → ＝BB 1→·BC →＝0， 所以BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(BC →－BA →) ＝BA →·BC →－BA →2＋BB 1→·BC →－BB 1→·BA → ＝－1.又|AC →|＝2，|BA 1→|＝1＋2＝3，所以cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC →|BA 1→||AC →| ＝－16＝－66，则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66.19. (本小题满分12分)如图5，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．图5(1)求证：平面PBC ⊥平面P AC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求二面角C -PB -A 的余弦值． 【解】 (1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ， 由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ， 所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面PBC . 所以平面PBC ⊥平面P AC .(2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3.又因为P A ＝1，所以A (0，1，0)，B (3，0，0)，P (0，1，1)． 故CB→＝(3，0，0)，CP →＝(0，1，1)． 设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎨⎧CB →·n 1＝0，CP →·n 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0，1，－1)． 因为AP→＝(0，0，1)，AB →＝(3，－1，0)， 设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧AP →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧z 2＝0，3x 2－y 2＝0，不妨令x 2＝1，则n 2＝(1, 3，0)． 于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64.由图知二面角C -PB -A 为锐角，故二面角C -PB -A 的余弦值为64. 20. (本小题满分12分)如图6，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ⊥P A ，BC ＝2AB ＝2AD ＝4BE ，平面P AB ⊥平面ABCD .图6(1)求证：平面PED ⊥平面P AC; 【导学号：18490125】(2)若直线PE 与平面P AC 所成的角的正弦值为55，求二面角A -PC ­D 的余弦值．【解】 (1)∵平面P AB ⊥平面ABCD ， 平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，AB ⊥P A ， ∴P A ⊥平面ABCD ，又∵AB ⊥AD ，故可建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示， 不妨设BC ＝4，AP ＝λ(λ>0)，则有D (0，2，0)，E (2，1，0)，C (2，4，0)，P (0，0，λ)， ∴AC→＝(2，4，0)，AP →＝(0，0，λ)，DE →＝(2，－1，0)， ∴DE→·AC →＝4－4＋0＝0，DE →·AP →＝0，∴DE ⊥AC ，DE ⊥AP 且AC ∩AP ＝A ， ∴DE ⊥平面P AC . 又DE ⊂平面PED ， ∴平面PED ⊥平面P AC .(2)由(1)知，平面P AC 的一个法向量是DE →＝(2，－1，0)，PE →＝(2，1，－λ)，设直线PE 与平面P AC 所成的角为θ，∴sin θ＝|cos 〈PE →，DE →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－155＋λ2＝55，解得λ＝±2.∵λ>0，∴λ＝2，即P (0，0，2)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，DC →＝(2，2，0)，DP →＝(0，－2，2)，由n ⊥DC→，n ⊥DP →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，－2y ＋2z ＝0，不妨令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)． ∴cos 〈n ，DE →〉＝2＋13 5＝155， 显然二面角A -PC -D 的平面角是锐角， ∴二面角A -PC -D 的余弦值为155.21. (本小题满分12分)如图7，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为一直角梯形，其中BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD ＝AD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．图7(1)求证：BE ∥平面P AD ； (2)若BE ⊥平面PCD ，①求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值； ②求二面角E -BD -C 的余弦值．【解】 设AB ＝a ，P A ＝b ，建立如图的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (a ，0，0)，P (0，0，b )，C (2a ，2a ，0)，D (0，2a ，0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ，b 2.(1)BE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，a ，b 2，AD →＝(0，2a ，0)，AP →＝(0，0，b )，所以BE →＝12AD →＋12AP →，因为BE ⊄平面P AD ，所以BE ∥平面P AD . (2)因为BE ⊥平面PCD ，所以BE ⊥PC ， 即BE→·PC →＝0，PC →＝(2a ，2a ，－b )， 所以BE →·PC →＝2a 2－b 22＝0，则b ＝2a . ①PD →＝(0，2a ，－2a )，BC →＝(a ，2a ，0)，cos 〈PD →，BC →〉＝4a 222a ·5a＝105，所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为105.②在平面BDE 和平面BDC 中，BE→＝(0，a ，a )，BD →＝(－a ，2a ，0)，BC →＝(a ，2a ，0)，所以平面BDE 的一个法向量为n 1＝(2，1，－1)；平面BDC 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)；cos 〈n 1，n 2〉＝－16，所以二面角E -BD -C 的余弦值为66.22．(本小题满分12分)如图8，在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．图8(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解】 以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)，BC 1→＝(－2，0，2)，FP →＝(－1，0，λ)，FE→＝(1，1，0)．(1)当λ＝1时，FP →＝(－1，0，1)， 因为BC 1→＝(－2，0，2)． 所以BC 1→＝2FP →，可知BC 1∥FP ， 而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ . (2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎨⎧FE →·n ＝0，FP→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0，于是可取n ＝(λ，－λ，1)，同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)，若存在λ，使得平面EFPQ与平面PQMN所在的二面角为直二面角，则m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±2 2，故存在λ＝1±22，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角．。

数学选修2—1第三章测试题考试时间：120分钟 总分：150分第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、在下列命题中：①若向量a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若向量a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面； ③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ． 其中正确命题的个数为 （ ）A .0 B. 1 C. 2 D. 3 2、空间四边形ABCD 中，,,,c AD b BC a AB ===则=CD ( )A ．c b a -+B.c b a --C ．c b a +--D ．c b a ++-3、已知平行四边形ABCD 中，A (4，1，3)、B (2，－5，1)、C (3，7，－5)，则顶点D 的坐标为( )A ．)1,4,27(-B ．(2，3，1)C ．(－3，1，5)D ．(5，13，－3)4、a ＝(－1，－5，－2)，b ＝(2,2,+x x )，若b a ⊥，则x ＝( )A ．0B ．314-C ．－6D ．±65、设a ＝(2,1,-m )，b ＝(n ,4,3-)，若b a //，则m ，n 的值分别为( )A ．43，8 B ．43-，—8 C ．43-，8 D ．43，－8 6、已知向量a (0，2，1)，b (－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°7、若斜线段AB 是它在平面α 内的射影长的2倍，则AB 与α 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°8、已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ）A ．627 B. 637 C. 647 D. 6579、在正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，AB BC 21=，这时二面角B －AD －C 的大小为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．120°10、矩形ABCD 中，AB ＝1，2=BC ，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD 所成的角是( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11、设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB则△BCD 是 （ ） A ．钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定12、P A 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线，每两条的夹角为60°，则直线PC 与平面APB所成角的余弦值为( )A ．21B ．36C ．33D ．23二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13、已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |=2，|b |=5，则（2a －b ）²a =____________．14、已知)1,1,2(),2,0,1(==AC AB ，则平面ABC 的一个法向量为____________． 15、平面α的一个法向量为(1,0,-1),平面β的一个法向量为(0,-1,1),则平面α与平面β所成二面角的大小为____________．16、下列命题中：(1)0=⋅b a 则a ＝0或b ＝0；(2)==⋅⋅⋅⋅⋅22||||)3();()(q p c b a c b a2)(q p ⋅；(4)若a 与b c a c b a ⋅⋅⋅⋅-)()(均不为0，则它们必垂直．其中真命题的序号是____________．数学选修2—1第三章测试题第II 卷班级： 姓名： 总分：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 123456789101112二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13. 14.15. 16.三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤） 17、（满分14分）如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1,,AA b AD a AB ==,2,MC AM c ==ND N A 21=，试用基底},,{c b a 表示.MN18、（满分14分）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.（1）求MN的长；（2）求异面直线AN与CM夹角的余弦值.19、（满分14分）在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别为AA1, AB的中点,求EF和平面ACC1A1的夹角大小.20、（满分14分）已知棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DD1的中点.求证:(1) FC1∥平面ADE(2)平面ADE∥平面B1C1F21、（满分14分）如图,长方体ABCD－A1B1C1D1中, AB= AA1=1,BC=错误！未找到引用源。

2018-2019学年选修2-3第一章训练卷计数原理（二）注意事项：1 •答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3 •非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4 •考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）A 15A•—匸c 15B •匸6 •甲、乙、丙3位同学选修课程，从门，则不同的选修方案共有（8.36种 B • 48种4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3C • 96种D• 192种若(2x+、J3)4= a°+ a1x + a2x2+ a3x3+ a4x4,则(a°+ a2 + a。

2—仙+ a3)2的值用0, 1 , , 9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为243 B •252C •261279 在x2-〕的展开式中，常数项为\ x丿15,则n的一个值可以是（10 •将5列车停在不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上, b列车不停在号证考准名姓级班1 •有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或者不亮灯，则共可以发出「的不同信号有（）种A • 25B • 52C • 35D • 532 •高三某班6名同学站成一排，同学甲、乙不能相邻，并且甲在乙的右边，则不同的排法种数共有（）A• 120 B• 240 C• 360 D• 4803 •在x（1 + x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A• 30 B• 20 C• 15 D • 104 •将1, 2, 3填入3 X3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种I的二项展开式中，x2的系数为（D • 48种第二轨道上，那么不同的停放方法有（A • 120 种B• 96种11 •在(1 + x)6(1 + y)4的展开式中，记+ f(1, 2)+ f(0, 3)=( )A • 45B •60C • 78种D • 72种x m y n项的系数为f（m, n）,则12 •某次联欢会要安排3个歌舞类节目,顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（A •72B •120、填空题（本大题共4个小题，每小题线上）13 •若的展开式中x4的系数为C •120f(3 , 0) + f(2, 1)D •2102个小品类节目和1个相声类节目的演出C •144D •1685分，共20分，把正确答案填在题中横7,则实数a=14 •客厅里4个座位上依次坐有4人，现作如下调整：一人位置不变，其余三人位置均相互调换，则不同的调整方案的种数为 ___________ •15 •设（x—1）= a°+ a1x+ a2x + + a?1x，贝V ag+ an = _________ •16 •甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 ___________ （用数字作答）•三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤)17. (10分)某班有男生 28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会. (1)求展开式中含X 4项的系数;(1)若学校分配给该班 1名代表，则有多少种不同的选法? (2)如果第3r 项和第r + 2项的二项式系数相等，试求r 的值.(2)若学校分配给该班 2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？18 . (12分)已知二项式/ x10X — 2 的展开式中.X19 . （12分）4个相同的红球和6个相同的白球放入袋中，现从袋中取出4个球, 若取出的数大于A中最大的数的不同选择方法有多少种？的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？20. （12分）设集合I = {1 , 2, 3, 4, 5}.选择I的两个非空子集A和B，求使B 中最小21. （12分）10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求出现如下结果时，各有多少种情况？（1）4只鞋子没有成双的；（2）4只鞋子恰成两双；（3）4只鞋中有2只成双，另两只不成双.22 .（12分）已知（坏+x2『的展开式的二项式系数和比（3x—1）n的展开式的二项f1 ""\n式系数和大992，求在2x_」的展开式中，I x丿（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项.2018-2019学年选修2-3第一章训练卷9.【答案】D计数原理（二）答 案一、选择题. 1. 【答案】C 2. 【答案】B【解析】先将其他4名同学排好有A ：种方法，然后将甲、乙两同学插空， 又甲、乙两人顺序一定且不相邻，有 C5种方法，所以共有 A ：C 2=240种方法. 3. 【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理等基础知识，考查考生运用公式的能力.只需求（1 + x ）6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 2=15 ,故选C . 且C n-15，验证n = 6时，r = 4符合题意.10. 【答案】C【解析】先安排a 列车，并按其分类讨论，若 a 列车在第二轨道上，则剩下四列车 可自由安排，有 A 4种，若a 列车在三、四、五轨道上，则有 A ；种，再停b 车, b 在除二轨道和a 的位置外的位置选一个有 A ；种，其余车有A 3种. 因此不同的停放共有 A ：+A 1A ；A 3 = 78 （种）.11. 【答案】C【解析】本题主要考查二项展开式的系数问题，需要考生结合二项式定理进行求4 •【答案】B【解析】假设第一行为1, 2, 3,则第二行第一列可为 2或3，此时，其他剩余的 空格都只有一种填法，又第一行有3 2 1=6 （种）填法.故不同填写方法共有6 2=12 (种).5 •【答案】C 解.由题意知 f(3,0)=c 6c 0 , f(2,1)=c 2c 4 , f(1,2)=c ；c 2 , f(0,3)=c 6c 3 , 因此 f(3,0) + f(2, 1) + f(1, 2) + f(0, 3) = 120,故选 C . 12. 【答案】B【解析】本题主要考查排列组合的知识， 意在考查考生应用排列组合知识解决实际 问题的能力.依题意，先仅考虑 3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为 A 3A 4=144，其中 3 个 歌舞类节目互不相邻但 2个小品类节目相邻的排法种数为 A 2A 2A 3 = 24 ,因此满足题意的排法种数为144 — 24= 120,故选B .6.【答案】C 【解析】甲、乙、丙3位同学选修课程，从 4门课程中，甲选修 2门, 、填空题.乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有 C 4 C 4 C 4^96种. 113【答案】27 .【答案】A 【解析】(a °+ a ?+ a 4)2 — (a 1 + a 3)2 = (a °+ a r + a ?+ a 3+ a 4)(a °— a r + a ? — a 3 + 印)=(2 + ,3)4人—2+ . 3)4= 1,故选 A . 【解析】通项公式4由 8-- r = 4，得 r = 3.3&【答案】B 【解析】由分步乘法计数原理知：用 0, 1, • , 9十个数字组成三位数（可有重复 数字）的个数为9X10X 10 = 900,组成没有重复数字的三位数的个数为 9X9X8 = 648, 故 C 3 a^7，解得 a=~ . 214.【答案】8【解析】由题意得不同的调整方案有 C 4C ；C 1C 1=8种. 则组成有重复数字的三位数的个数为900 — 648 = 252，故选 B .15.【答案】0n —r【解析】通-=-1r c ；1x 2^3r ，常数项是 x15,则 2n= 3r ,【解析】由二项展开式知T r ^C 21x 21j -1 r ,11 / 11 <10 / 10 J1 —10 <10 —10 c …ai 0 亠an = C 21 i. • -1 + C 21 -1 -…C21 亠 C 21 - -C 21 亠C 21 = 0 . 16.【答案】336 【解析】3个人各站一级台阶有 A y ^210种站法；3个人中有2个人站在一级, 另一人站在另一级， 有c f A ? =126种站法，共有210+ 126 = 336种站法.故填336. 三、解答题. 17.【答案】（1） 48种；（2） 560种. 【解析】（1）选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成选1名代表”这件事分2类: 第1类，从男生中选出 1名代表，有28种不同方法; 第2类，从女生中选出 1名代表，有20种不同方法. 根据分类加法计数原理, 共有 28 + 20= 48种不同的选法. （2）完成 选出男、女生代表各 1名”这件事，可以分2步完成: 第1步，选1名男生代表，有 28种不同方法; 第2步，选1名女生代表，有 20种不同方法. 根据分步乘法计数原理，共有 28X20= 560种不同的选法. 18 .【答案】(1) 3360 ; (2) r =1. ③取出的4个球中有2个红球的取法有 C 4C2种，由分类加法计数原理，共有 c ：+c 4 c 6 - c 4 C 2 =115 （种）. 20 .【答案】49种.【解析】当A 中最大的数为1时，B 可以是{2 , 3, 4, 5}的非空子集，有24- 1 = 15种选择方法；当A 中最大的数为2时，A 可以是{2}或{1 , 2}, B 可以是{3 , 4, 5}的非空子集， 有2X 23- 1）= 14种选择方法；当A 中最大的数为 3时，A 可以是{3} , {1 , 3} , {2 , 3}或{1 , 2, 3} , B 可以是{4 , 5}的非空子集，有 4 X 22- 1） = 12种选择方法；当 A 中最大的数为 4 时，A 可以是{4} , {1 , 4} , {2 , 4}, {3 , 4} , {1 , 2 , 4}, {1 , 3 , 4} , {2 , 3 , 4}或{1 , 2 , 3 , 4}, B 可以是{5},有8X = 8种选择方法.所以满 足条件的集合共有 15+ 14+ 12 + 8= 49种不同的选择方法. 21 .【答案】（1） 3360 种；（2） 45 种；（3） 1140 种.【解析】（1）从10双鞋子中选取4双，有C 0种不同的选法，每双鞋子各取一只， 分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为 N 二C 4o ・24二3360 （种）. （2）从10双鞋子中选取2双有C o 种取法，即45种不同取法.（3） 先选取一双有C ；o 种选法，再从9双鞋中选取2双鞋有C 9种选法，每双鞋只 取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为 N =C1°C 2亡彳二也厶。

第三章空间向量与立体几何(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．若，，，为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )①＋＋＋；②＋＋＋＋；③＋＋；④－＋＋.．②③．①②．①④．②④解析：①中，原式＝＋＋＝＋＋＋＝＋，不符合题意；②中，原式＝(＋＋＋)＋(＋＋)＝；③中，原式＝，不符合题意；④中，原式＝(－)＋(－)＝.故选.答案：．已知向量＝()，＝(，，)分别是直线，的方向向量，若∥，则( )．＝，＝．＝，＝．＝，＝．＝，＝解析：∵∥，∴∥，则＝＝，∴＝，＝.答案：．在下列四个命题中，真命题为( )．已知三向量，，，则空间任意一个向量总可以唯一地写成＝＋＋．若，，三向量两两不共线，则空间任意一个向量总可以写成＝＋＋．若，，不共面，则空间任意一个向量总可以唯一地写成＝＋＋．若，，三向量两两不共线，则＋＋＝的充要条件是＝＝＝解析：对于空间作为基底的三向量，，必须要有限制，即不共面，故正确．答案：．若两点(－－)，(，＋－)，当取最小值时，的值等于( )．－．解析：＝(－－，－＋)，则＝＝＝.故当＝时，取最小值．答案：．已知(，－)，(，－)，(，－)，则与的夹角为( )．°．°．°．°解析：＝()，＝(－)，＝，＝，·＝，∴〈，〉＝＝，∴〈，〉＝°.答案：．已知向量＝，＝，则平面的一个法向量是( )．(，－)．(－，－)．(－，－，－)．(－，－)解析：设平面的法向量＝(，，)，则(\\(·(,\(→))＝，·(,\(→))＝，))即(\\(＝－()，＝()，))令＝，则＝(，－)，由于(－，－)＝－(，－)，可知选项符合．答案：．已知空间三点()，(－)，(，－)．若＝，且分别与，垂直，则向量为( )．()．(－，－，－)或()．(，－)或(－，－)．(－，－，－)解析：设＝(，，)，＝(－，－)，＝(，－)，则(\\(＋＋＝，,－－＋＝，－＋＝，))解得＝()或(－，－，－)．答案：．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点，分别是，的中点，则·的值为( )．解析：如下图，＝(＋)，＝，·＝(·＋·)。

第三章综合素质检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列说法中不正确的是( )A ．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果a 、b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量 [答案] D[解析] 只有当a 、b 不共线且a ∥α，b ∥α时，D 才正确．2．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )A ．1B ．15 C.35D ．75[答案] D[解析] 因为k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，所以(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －4＝0⇒k ＝75.3．若a ＝(2,2,0)，b ＝(1,3，z )，〈a ，b 〉＝π3，则z 等于( )A.22 B ．－22 C ．±22 D ．±42 [答案] C[解析] cos 〈a ，b 〉＝cos π3＝a·b|a||b|＝2×1＋2×3＋0×z22＋22＋02×12＋32＋z 2＝12，∴z ＝±22.4．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152[答案] D[解析] 由题意可知a ∥b ，所以23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152.5．已知A (2，－5,1)，B (2，－4，2)，C (1，－4,1)，则AB →与AC →的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．45°D ．90°[答案] B[解析] 由题意得AB →＝(0,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，cos 〈A B →，A C →〉＝A B →·A C →|A B →||A C →|＝12×2＝12，所以A B →与A C →的夹角为60°. 6．已知平面α的法向量为n ＝(2，－2,4)，AB →＝(－3,1,2)，点A 不在α内，则直线AB 与平面α的位置关系为( )A ．AB ⊥α B ．AB ⊂αC ．AB 与α相交不垂直D ．AB ∥α [答案] D[解析] ∵n ·AB →＝(2，－2,4)·(－3,1,2)＝－6－2＋8＝0，∴n ⊥AB →，而点A 不在α内，故AB ∥α.7．已知四面体ABCD 的所有棱长都是2，点E 、F 分别是AD 、DC 的中点，则EF →·BA →＝( )A ．1B ．－1 C. 3 D ．－ 3[答案] B[解析] 如图所示，EF →＝12AC →，所以EF →·B A →＝12A C →·(－AB →)＝－12×2×2cos60°＝－1，故选B.8．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] C[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)， 则EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)．所以E F →·BC 1→＝2， 所以cos 〈E F →，BC 1→〉＝22×22＝12.所以EF 和BC 1所成的角为60°.9．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若BE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则( )A ．x ＝－12，y ＝12B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝－12，y ＝－12D ．x ＝12，y ＝12[答案] A[解析] BE →＝BA →＋AA 1→＋A 1E →＝－AB →＋AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝－AB →＋AA 1→＋12AB →＋12AD →＝－12AB →＋AA 1→＋12AD →，∴x ＝－12，y ＝12. 10．已知A (－1,1,2)、B (1,0，－1)，设D 在直线AB 上，且AD →＝2DB →，设C (λ，13＋λ，1＋λ)，若CD ⊥AB ，则λ的值为( )A.116 B ．－116 C.12 D ．13[答案] B[解析] 设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x ＋1，y －1，z －2)，AB →＝(2，－1，－3)，DB →＝(1－x ，－y ，－1－z )，∵AD →＝2DB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2(1－x )y －1＝－2yz －2＝－2－2z，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13y ＝13z ＝0.∴D (13，13，0)，CD →＝(13－λ，－λ，－1－λ)，∵CD →⊥AB →，∴CD →·AB →＝2(13－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－116.11．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E 、F 两点间的距离为( )A ．1B ．52C.62D ．32[答案] C[解析] 以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (1,1，2)、F (2,1，22)，所以|EF |＝(1－2)2＋(1－1)2＋(2－22)2＝62，故选C.12．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A.12 B ．22C.13 D ．16[答案] C[解析] 如图，以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则D 1(0,0,1)、E (1,1,0)、A (1,0,0)、C (0,2,0)．从而D 1E →＝(1,1，－1)、AC →＝(－1,2,0)、AD 1→＝(－1,0,1)， 设平面ACD 1的法向量为n ＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝0－a ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b a ＝c.令a ＝2，则n ＝(2,1,2)． 所以点E 到平面ACD 1的距离为 h ＝|D 1E →·n ||n |＝2＋1－23＝13.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知A (1,2,0)、B (0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当AP →·BP →取最小值时，点P 的坐标为________.[答案] (12，0,0)[解析] 设P (x,0,0)，则AP →＝(x －1，－2,0)，BP →＝(x ，－1,1)， AP →·BP →＝x (x －1)＋2＝(x －12)2＋74，∴当x ＝12时，AP →·BP →取最小值74，此时点P 的坐标为(12，0,0)．14．已知正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上底面A 1B 1C 1D 1边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为________.[答案] 14[解析] 设上、下底面中心分别为O 1、O ，则OO 1⊥平面ABCD ，以O 为原点，直线BD 、AC 、OO 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵AB ＝2，A 1B 1＝1，∴AC ＝BD ＝22，A 1C 1＝B 1D 1＝2，∵平面BDD 1B 1⊥平面ABCD ，∴∠B 1BO 为侧棱与底面所成的角，∴∠B 1BO ＝60°， 设棱台高为h ，则tan60°＝h 2－22，∴h ＝62， ∴A (0，－2，0)，D 1(－22，0，62)，B 1(22，0，62)，C (0，2，0)， ∴AD 1→＝(－22，2，62)，B 1C →＝(－22，2，－62)，∴cos 〈AD 1→，B 1C →〉＝AD 1→·B 1C →|AD 1→|·|B 1C →|＝14，故异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为14.15．三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线P A 与底面ABC 所成角的大小为______.[答案] 45°[解析] 由条件知，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，∴BC ＝2， ∵PB ＝PC ＝1，∴∠BPC ＝90°， 取BC 边中点E ，则 PE ＝22，AE ＝22， 又P A ＝1，∴∠PEA ＝90°，故∠P AE ＝45°， ∵E 为BC 中点，∴PE ⊥BC ，AE ⊥BC ， ∴BC ⊥平面P AE ， ∴平面P AE ⊥平面ABC ，∴∠P AE 为直线P A 与平面ABC 所成角．16．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为________.[答案]102[解析] 如图，过B 、D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M 、N .则可求得AM ＝12、BM ＝32、CN ＝12、DN ＝32、MN ＝1.由于BD →＝BM →＋MN →＋ND →，∴|BD →|2＝(BM →＋MN →＋ND →)2＝|BM →|2＋|MN →|2＋|ND →|2＋2(BM →·MN →＋MN →·ND →＋BM →·ND →)＝(32)2＋12＋(32)2＋2(0＋0＋0)＝52，∴|BD →|＝102. 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →.[解析] ∵BG ＝2GD ， ∴BG →＝23BD →.又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ， ∴PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b )＝23a －13b ＋23c . 18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝π2，D 是棱AC 的中点，且AB ＝BC ＝BB 1＝2(1)求证：AB 1∥平面BC 1D ； (2)求异面直线AB 1与BC 1所成的角．[解析] (1)如图，连接B 1C 交BC 1于点O ，连接OD . ∵O 为B 1C 的中点，D 为AC 的中点，∴OD ∥AB 1. ∵AB 1⊄平面BC 1D ，OD ⊂平面BC 1D ， ∴AB 1∥平面BC 1D .(2)建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz .则B (0,0,0)、A (0,2,0)、C 1(2,0,2)、B 1(0,0,2)． ∴AB 1→＝(0，－2,2)、BC 1→＝(2,0,2)．cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→|·|BC 1→|＝0＋0＋422×22＝12，设异面直线AB 1与BC 1所成的角为θ，则cos θ＝12，∵θ∈(0，π2)，∴θ＝π3.19．(本小题满分12分)如图所示，在四面体ABCD 中，AB 、BC 、CD 两两互相垂直，且BC ＝CD ＝1.(1)求证：平面ACD ⊥平面ABC ； (2)求二面角C －AB －D 的大小；(3)若直线BD 与平面ACD 所成的角为30°，求线段AB 的长度． [解析] 解法一：(1)∵CD ⊥AB ，CD ⊥BC ， ∴CD ⊥平面ABC . 又∵CD ⊂平面ACD ， ∴平面ACD ⊥平面ABC .(2)∵AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∴AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥BD .∴∠CBD 是二面角C －AB －D 的平面角． ∵在Rt △BCD 中，BC ＝CD ，∴∠CBD ＝45°. ∴二面角C －AB －D 的大小为45°.(3)过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ，连接DH . ∵平面ACD ⊥平面ABC ， ∴BH ⊥平面ACD ，∴∠BDH 为BD 与平面ACD 所成的角．∴∠BDH ＝30°. 在Rt △BHD 中，BD ＝2， ∴BH ＝22. 又∵在Rt △BHC 中，BC ＝1， ∴∠BCH ＝45°， ∴在Rt △ABC 中，AB ＝1. 解法二：(1)同解法一．(2)设AB ＝a ，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ，则B (0,0,0)、A (0,0，a )、C (0,1,0)、D (1,1,0)，BD →＝(1,1,0)、BA →＝(0,0，a )．平面ABC 的法向量CD →＝(1,0,0)，设平面ABD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有BD →·n ＝x ＋y ＝0，BA →·n ＝az ＝0，∴z ＝0，取y ＝1，则x ＝－1， ∴n ＝(－1,1,0)．∴cos 〈CD →，n 〉＝CD →·n |CD →||n |＝－22，由图可知二面角C －AB －D 为锐角，∴二面角C －AB －D 的大小为45°.(3)AC →＝(0,1，－a )、CD →＝(1,0,0)、BD →＝(1,1,0)．设平面ACD 的一个法向量是m ＝(x ′，y ′，z ′)，则AC →·m ＝y ′－az ′＝0，CD →·m ＝x ′＝0，令z ′＝1，∴y ′＝a ，则m ＝(0，a,1)． ∵直线BD 与平面ACD 所成角为30°，∴cos 〈BD →，m 〉＝BD →·m |BD →||m |＝a a 2＋1·2＝cos60°，解得a ＝1，∴AB ＝1.20．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝2，AA 1＝5，E 、F 分别为D 1D 、B 1B 上的点，且DE ＝B 1F ＝1.(1)求证：BE ⊥平面ACF ； (2)求点E 到平面ACF 的距离．[解析] (1)证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则D (0,0,0)、A (2,0,0)、B (2,2,0)、C (0,2,0)、D 1(0,0,5)、E (0,0,1)、F (2,2,4)．∴AC →＝(－2,2,0)、AF →＝(0,2,4)、BE →＝(－2，－2,1)、AE →＝(－2，0,1)． ∵BE →·AC →＝0，BE →·AF →＝0，∴BE ⊥AC ，BE ⊥AF ，且AC ∩AF ＝A . ∴BE ⊥平面ACF .(2)解：由(1)知，BE →为平面ACF 的一个法向量， ∴点E 到平面ACF 的距离d ＝|AE →·BE →||BE →|＝53.故点E 到平面ACF 的距离为53.21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC＝CD ＝12AD ，E 为棱AD 的中点，异面直线P A 与CD 所成的角为90°(1)在平面P AB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(2)若二面角P －CD －A 的大小为45°，求直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值．[解析] (1)在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行．延长AB ，DC ，相交于点M (M ∈平面P AB )，点M 为所求的一个点．理由如下：由已知，BC ∥ED ，且BC ＝ED . 所以四边形BCDE 是平行四边形． 从而CM ∥EB .又EB ⊂平面PBE ，CM ⊄平面PBE ， 所以CM ∥平面PBE .(说明：延长AP 至点N ，使得AP ＝PN ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)方法一 由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD . 从而CD ⊥PD .所以∠PDA 是二面角P －CD －A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH . 易知P A ⊥平面ABCD ，从而P A ⊥CE . 于是CE ⊥平面P AH . 所以平面PCE ⊥平面P AH .过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE . 所以∠APH 是P A 与平面PCE 所成的角． 在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1， 所以AH ＝22. 在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝322，所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.方法二 由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P －CD －A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.由P A ⊥AB ，可得P A ⊥平面ABCD . 设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD →，AP →的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)，所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)， 设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0，设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)．设直线P A 与平面PCE 所成角为α，则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋(－2)2＋12＝13.所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13.22．(本小题满分14分如图，在四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点.(1)求证：MN ∥平面ABCD ； (2)求二面角D 1－AC －B 1的正弦值；(3)设E 为棱A 1B 1上的点．若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段A 1E 的长．[解析] 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A (0,0,0)、B (0,1,0)、C (2,0,0)、D (1，－2,0)、A 1(0,0,2)、B 1(0,1,2)、C 1(2,0,2)、D 1(1，－2,2)，又因为M 、N 分别为B 1C 和D 1D 的中点，得 M ⎝⎛⎭⎫1，12，1、N (1，－2,1)．(1)依题意，可得n ＝(0,0,1)为平面ABCD 的一个法向量，MN ―→＝⎝⎛⎭⎫0，－52，0， 由此可得，MN ―→·n ＝0，又因为直线MN ⊄平面ABCD ， 所以MN ∥平面ABCD .(2)AD 1―→＝(1，－2,2)、AC ―→＝(2,0,0)，设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面ACD 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AD ―→＝0n 1·AC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2y 1＋2z 1＝02x 1＝0，不妨设z 1＝1， 可得 n 1＝(0,1,1)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面ACB 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·AB 1―→＝0n 2·AC ―→＝0，又AB 1―→＝(0,1,2)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2z 2＝02x 2＝0，不妨设z 2＝1，可得n 2＝(0，－2,1). 因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－1010， 于是sin 〈n 1，n 2〉＝31010， 所以二面角D 1－AC －B 1的正弦值为31010. (3)依题意，可设A 1E ―→＝λA 1B 1―→，其中λ∈[0,1]，则E (0，λ，2)，从而NE ―→＝(－1，λ＋2,1)，又n ＝(0,0,1)为平面ABCD 的一个法向量，由已知得cos 〈NE ―→，n 〉＝NE ―→·n |NE ―→||n |＝1(－1)2＋(λ＋2)2＋12＝13， 整理得λ2＋4λ－3＝0，又因为λ∈[0,1]，解得λ＝7－2，所以线段A 1E 的长为7－2.。

第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a 与b 共线，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12 C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝23解析 由a ∥b 知，a ＝λb ，∴2x ＝λ，1＝－2λy,3＝9λ，∴λ＝13，x ＝16，y ＝－32.答案 C2．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析 a ·b ＝－3＋2x －5＝2，∴x ＝5. 答案 B3．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．1D.12解析 ∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴－2＋6－2m ＝0，∴m ＝2.答案 B4．若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，而a ·b ＝|a ||b |. ∴cos 〈a ，b 〉＝1，∴〈a ，b 〉＝0.∴a 与b 共线．反之，若a 与b 共线，也可能a ·b ＝－|a |·|b |，因此应选B.答案 B5．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c解析 如图，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC → ＝AB →＋23(AC →－AB →) ＝13AB →＋23AC → ＝13c ＋23b . 答案 A6．已知a ，b ，c 是空间的一个基底，设p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，则下列向量中可以与p ，q 一起构成空间的另一个基底的是( )A ．aB ．bC ．cD ．以上都不对解析 ∵a ，b ，c 不共面，∴a ＋b ，a －b ，c 不共面，∴p ，q ，c 可构成空间的一个基底． 答案 C7．已知△ABC 的三个顶点A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3 C.647D.657 解析 BC 的中点D 的坐标为(2,1,4)， ∴AD →＝(－1，－2,2)．∴|AD →|＝1＋4＋4＝3.答案 B8．与向量a ＝(2,3,6)共线的单位向量是( ) A ．(27，37，67) B ．(－27，－37，－67)C ．(27，－37，－67)和(－27，37，67)D ．(27，37，67)和(－27，－37，－67) 解析 |a |＝22＋32＋62＝7，∴与a 共线的单位向量是±17(2,3,6)，故应选D.答案 D9．已知向量a ＝(2,4，x )，b ＝(2，y,2)，若|a |＝6且a ⊥b ，则x ＋y 为( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1解析 由|a |＝6，a ⊥b ，得⎩⎨⎧4＋16＋x 2＝36，4＋4y ＋2x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－3，或⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝1.∴x ＋y ＝1，或－3. 答案 A10．已知a ＝(x,2,0)，b ＝(3,2－x ，x 2)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是( )A ．x >4B ．x <－4C ．0<x <4D ．－4<x <0.解析 ∵〈a ，b 〉为钝角，∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉<0，即3x ＋2(2－x )<0，∴x <－4.答案 B11．已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1，0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵AB →＝(－5，－1,1)，AC →＝(－4，－2，－1)， 由n ·AB →＝0及n ·AC →＝0，得⎩⎨⎧－5x －y ＋z ＝0，－4x －2y －z ＝0，令z ＝1，得x ＝12，y ＝－32，∴n ＝(12，－32，1)．又AD →＝(－2，－1,3)，设AD 与平面ABC 所成的角为θ，则 sin θ＝|AD →·n ||AD →||n |＝－1＋32＋314×142＝12，∴θ＝30°.答案 A12．已知二面角α－l －β的大小为50°，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 过点P 分别作平面α，β的垂线l 1和l 2，则l 1与l 2所成的角为130°或50°，问题转化为过点P 与直线l 1，l 2成65°角的直线有几条，与l 1，l 2共面的有一条，不共面的有2条．因此，共有3条．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．已知{i ，j ，k }为单位正交基底，且a ＝－i ＋j ＋3k ，b ＝2i －3j －2k ，则向量a ＋b 与向量a －2b 的坐标分别是________；________.解析 依题意知，a ＝(－1,1,3)，b ＝(2，－3，－2)，则a ＋b ＝(1，－2,1)，a －2b ＝(－1,1,3)－2(2，－3，－2)＝(－5,7,7)． 答案 (1，－2,1) (－5,7,7)14．在△ABC 中，已知AB →＝(2,4,0)，BC →＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________.解析 cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝10102＝22，∴〈AB →，BC →〉＝π4，∴∠ABC ＝π－π4＝3π4. 答案 3π415．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面ABD 1与面B 1BD 1所夹角的大小为________．解析建立空间直角坐标系D －xyz ，如图．设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)． ∴D 1A →＝(1,0，－1)，D 1B →＝(1,1，－1)，D 1B 1→＝(1,1,0)．设平面ABD 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1BD 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则由m ·D 1A →＝0，m ·D 1B →＝0，可得m ＝(1,0,1)，由n ·D 1B →＝0，n ·D 1B 1＝0，得n ＝(1，－1,0)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12.∴所求二平面的大小为60°.答案60°16．在下列命题中：①若a，b共线，则a，b所在的直线平行；②若a，b所在的直线是异面直线，则a，b一定不共面；③若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面；④已知三向量a，b，c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝x a＋y b＋z c，其中不正确的命题为________．解析①a，b共线，包括a与b重合，所以①错．②空间任意两个向量均共面，所以②错．③以空间向量的一组基底{a，b，c}为例，知它们两两共面，但它们三个不共面，所以③错．④当与a，b，c共面时，不成立，所以④错．答案①②③④三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，空间四边形OABC 中，E ，F 分别为OA ，BC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示EF →.解 EF →＝EO →＋OF →＝－12OA →＋12(OB →＋OC →)＝－12a ＋12b ＋12c . 18．(12分)设a 1＝2i －j ＋k ，a 2＝i ＋3j －2k ，a 3＝－2i ＋j －3k ，a 4＝3i ＋2j ＋5k ，试问是否存在实数a ，b ，c 使a 4＝a a 1＋b a 2＋c a 3成立？如果存在，求出a ，b ，c 的值；如果不存在，请说明理由．解 假设a 4＝a a 1＋b a 2＋c a 3成立． 由已知a 1＝(2，－1,1)，a 2＝(1,3，－2)， a 3＝(－2,1，－3)，a 4＝(3,2,5)，可得(2a ＋b －2c ，－a ＋3b ＋c ，a －2b －3c )＝(3,2,5)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b －2c ＝3，－a ＋3b ＋c ＝2，a －2b －3c ＝5，解得：a ＝－2，b ＝1，c ＝－3. 故有a 4＝－2a 1＋a 2－3a 3. 综上知，满足题意的实数存在， 且a ＝－2，b ＝1，c ＝－3.19．(12分)四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝5，AD ＝3，AA ′＝7，∠BAD ＝60°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝45°，求AC ′的长．解 AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→，∴(AC ′→)2＝(AB →＋AD →＋AA ′→)2＝AB →2＋AD →2＋AA ′→2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA ′→＋AD →·AA ′→) ＝25＋9＋49＋2(5×3cos60°＋5×7cos45°＋3×7cos45°) ＝98＋56 2. ∴|AC ′→|＝98＋562，即AC ′的长为98＋56 2.20．(12分)如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，AB ＝2，PC 与平面ABCD 所成角是45°，F 是AD 的中点，M 是PC 的中点．求证：DM ∥平面PFB .证明 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由PC 与平面ABCD 所成的角为45°，即∠PCD ＝45°，得PD ＝2，则P (0,0,2)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，F (1,0,0)，D (0,0,0)，M (0,1,1)，∴FB →＝(1,2,0)，FP →＝(－1,0,2)，DM →＝(0,1,1)．设平面PFB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则∴⎩⎨⎧FB →·n ＝0，FP →·n ＝0，即⎩⎨⎧ x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0.令y ＝1，则x ＝－2，z ＝－1.故平面PFB 的一个法向量为n ＝(－2,1，－1)．∵DM →·n ＝0，∴DM →⊥n .又DM ⊄平面PFB ，则DM ∥平面PFB .21．(12分)如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在C 1C 上，且C 1E ＝3EC .(1)证明A 1C ⊥平面BED ；(2)求二面角A1－DE－B的余弦值．解以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.依题设B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,4)．DE →＝(0,2,1)，DB →＝(2,2,0)，A 1C →＝(－2,2，－4)，DA 1→＝(2,0,4)．(1)∵A 1C →·DB →＝0，A 1C →·DE →＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE .又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE .(2)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则n ⊥DE →、n ⊥DA 1→. ∴2y ＋z ＝0,2x ＋4z ＝0.令y ＝1，则z ＝－2，x ＝4，∴n ＝(4,1，－2)．∴cos 〈n ，A 1C →〉＝n ·A 1C →|n ||A 1C →|＝1442. ∵〈n ，A 1C →〉等于二面角A 1－DE －B 的平面角，∴二面角A 1－DE －B 的余弦值为1442.22．(12分)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．(1)证明：平面AED ⊥平面A 1FD 1；(2)在AE 上求一点M ，使得A 1M ⊥平面DAE .解 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，不妨设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，E (2,2,1)，F (0,1,0)，A 1(2,0,2)，D1(0,0,2)．设平面AED 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧ n 1·DA →＝(x 1，y 1，z 1)·(2，0，0)＝0，n 1·DE →＝(x 1，y 1，z 1)·(2，2，1)＝0.∴⎩⎨⎧ 2x 1＝0，2x 1＋2y 1＋z 1＝0.令y 1＝1，得n 1＝(0,1，－2)． 同理可得平面A 1FD 1的法向量n 2＝(0,2,1)． ∵n 1·n 2＝0，∴平面AED ⊥平面A 1FD 1.(2)由于点M 在AE 上，∴可设AM →＝λAE →＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，可得M (2,2λ，λ)，于是A 1M →＝(0,2λ，λ－2)． 要使A 1M ⊥平面DAE ，需A 1M ⊥AE ， ∴A 1M →·AE →＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0，得λ＝25.故当AM ＝25AE 时，即点M 坐标为(2，45，25)时，A 1M ⊥平面DAE .。

选修2-1第三单元命题人：秦天武（90分钟完卷，总分150分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题6分，共60分）1.对于椭圆C 1：12222=+by a x ( a >b >0)焦点为顶点，以椭圆C 1的顶点为焦点的双曲线C 2，下列结论中错误的是（ ）A. C 2的方程为122222=--by b a x B. C 1、C 2的离心率的和是1C. C 1、C 2的离心率的积是1D.短轴长等于虚轴长2、双曲线14322=-x y 的渐近线方程是( ) A. x y 23±= B. x y 332±= C. x y 43±= D. x y 34±=3、抛物线281x y -=的准线方程是( ).A. 321=xB. 2=yC. 321=yD. 2-=y4、已知4||=AB ，点P 在A 、B 所在的平面内运动且保持6||||=+PB PA ，则||PA 的最大值和最小值分别是 ( )A ．5、3B ．10、2C ．5、1D ．6、4 5、抛物线x y 122=上与焦点的距离等于8的点的横坐标是（ ）A 、2B 、3C 、4D 、5 6、若双曲线与64422=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线方程是03=+y x ，则双曲线的方程是( )A.1123622=-y x B. 1123622=-x y C. 1123622±=-y x D. 1123622±=-x y 7.若双曲线的两条渐进线的夹角为060，则该双曲线的离心率为 A.2 B.36 C.2或36 D.2或332 8、与圆x 2+y 2-4y=0外切, 又与x 轴相切的圆的圆心轨迹方程是( ).A. y 2=8xB. y 2=8x (x>0) 和 y=0C. x 2=8y (y>0)D. x 2=8y (y>0) 和 x=0 (y<0)9、若椭圆)1(122>=+m y m x 与双曲线)0(122>=-n y nx 有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则21PF F ∆的面积是（ ）A.4B.2C.1D.1210、已知椭圆222(0)2y x a a +=>与A （2，1），B （4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（ ）A.02a << B.02a <<或2a > C. 103a <<D.2a <<二、填空题：（5分×4=20分）11. 与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，椭圆的标准方程是 。