江苏省仪征中学2020年高二第一学期期中模拟数学试卷及答案

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：考点：不等式性质2. 若命题，使，则该命题的否定为（）A. ，使B.C. ，使D.【答案】D【解析】试题分析：特称命题的否定为：存在改为任意，结论变否定；所以命题，使的否定为：，故答案为D．考点：1、特称命题；2、命题的否定．3. 在等比数列中，是方程的两根，则等于（）A. B. C. D. 以上都不对【答案】A【解析】试题分析：由题意得考点：1．二次方程根与系数的关系；2．等比数列4. 已知，则函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由于，则，所以，当且仅当，由于，即当时，上式取等号，因此函数的最小值为，故选C.考点：基本不等式5. 在中，，则的面积等于（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】试题分析：由余弦定理知，整理得，解得或，有三角形面积公式得或．考点：余弦定理及三角形面积的求法．6. 已知变量满足约束条件则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型，，可知截距越大值越大，根据图象得出最优解为，则的最大值为2，选B.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．7. 设等比数列，是数列的前项和，，且依次成等差数列，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设等比数列的首项为，公比为，…….①，又依次成等差数列，则，即……②，①②两式相加得：，代入①得：，两式相比：，解得：或，则或，当时，，当时，，选C .8. 设，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】且，则，，选A.9. 已知等差数列前项和为，若，则在数列中绝对值最小的项为（）A. 第项B. 第项C. 第项D. 第项【答案】C10. 已知不等式对一切正整数恒成立，则实数的范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,不等式对一切正整数恒成立，化为，只需，化为，选B.【点睛】裂项相消法是数列求和最常用的一种方法，本题为不等式恒成立问题，要注意到不等式要求对一切正整数n恒成立，首先把不等式化简后得出，何时恒成立，只需小于左边式子的最小值，其最小值为，其次得出的不等式如何解？可先换元，后利用图象法.11. 在中，是的中点，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则选B.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.12. 已知等差数列的公差，且成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，成等比数列，，得或（舍去），，，，时原式取得最小值为，故选A．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在中，，则__________．【答案】【解析】 ,.14. 当实数满足约束条件（其中为小于零的常数）时，的最小值为，则实数的值是__________．【答案】【解析】略15. 已知数列为等比数列，其前项和为，且公比；数列为等差数列，，则__________．（填写“”“”或者“”）【答案】<【解析】比较与的大小，可以用比较法：，数列为等差数列，则 ,因为，即,因此只需研究的正负.由于数列为等比数列，其前项和为，且公比；则=，所以.【点睛】研究不等式的主要方法有比较法、分析法、综合法等，比较两个数的大小常用比较法，比较法又包括差值比较法与商值比较法，差值比较法主要研究差值的正负以说明两个数的大小，本题利用已知条件中等差数列和等比数列的通项公式外，还灵活的运用了等差数列的性质，借助等量代换巧妙的作差解决问题.16. 对于，当非零实数满足且使最大时，的最小值为__________．【答案】【解析】试题分析：设，则，代入到中，得，即……①因为关于的二次方程①有实根，所以，可得，取最大值时，或，当时，，当时，，综上可知当时，的最小值为．考点：1、一元二次方程根的判别式；2、二次函数求值域．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 给定两个命题：对任意实数都有恒成立；.如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围.【答案】或【解析】试题分析：根据已知求出两个简单命题中参数的取值范围，命题，命题；再根据复合命题的真假，判断简单命题的真假，分两种情况进行讨论，（1）当真假时；（2）当假真时，从而得到实数的取值范围.试题解析：解：命题：ax2+ax+1＞0恒成立当a=0时，不等式恒成立，满足题意）当a≠0时，，解得0＜a＜4∴0≤a＜4命题：a2+8a﹣20＜0解得﹣10＜a＜2∵为真命题，为假命题∴有且只有一个为真，当真假时得当假真时得所以﹣10＜a＜0或2≤a＜4考点：复合命题的真假判断.18. 已知在中，内角的对边分别为.且.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）已知条件是边角关系，且左边是角的余弦，要求的是，因此可用正弦定理“化边为角”，即，只要交叉相乘，再由两角和与差的正弦公式可得，而在三角形中此式即为，结论有了；（2）由（1）可得，结合余弦定理可求得，由面积公式可得．试题解析：（1）由正弦定理得整理得又∴，即（2）由余弦定理可知①由（1）可知，即②再由③，由①②③联立求得又∴考点：正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形的面积．19. 已知正项数列的前项和为是与的等比中项.（1）求证：数列是等差数列；（2）若，数列的前项和为，求.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：已知数列的递推关系中含有前n项和与第n项的关系，求数列的通项公式，一般分两步，第一步n=1时，第二步，常用前n项和减去前n-1项和（两式相减）去处理，化为与的关系后，再求通项公式；错位相减法是数列求和的常用方法，使用错位相减法求和时，要注意末项的符号及等比数列求和的项数，避免失误.试题解析：（1）证明：由是与的等比中项，得 .当时，.当时，，，即.，即.数列是等差数列.（2）数列首项，公差，通项公式为.则，则.①两边同时乘以，得②①-②，得.解得.【点睛】数列的递推关系中为与的关系，求数列的通项公式，一般分两步，第一步n=1时，得出所表达的含义；第二步当时，常用两式相减去处理，化为与的关系后，再求通项公式；数列求和常用方法有错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、分组求和法等；要根据数列的特征采用相应的方法准确求和，特别是使用错位相减法要注意运算的准确性.20. 已知函数，其中是自然对数的底数.（1）证明：是上的偶函数.（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可证明是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式m≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，进行转化对任意恒成立,求最值问题即可求实数m的取值范围．试题解析：（1），，∴是上的偶函数（2）由题意，，即∵，∴，即对恒成立令，则对任意恒成立∵，当且仅当时等号成立∴21. 如图，一辆汽车从市出发沿海岸一条笔直公路以每小时的速度向东均速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市且与海岸距离为的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交给这汽车的司机.（1）快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？（2）在（1）的条件下，求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角.【答案】（1）快艇至少以的速度行驶才能把稿件送到司机手中. （2）快艇应向垂直于的方向向北偏东方向行驶.【解析】试题分析：解决三角函数应用问题，首先要审题读懂题意，设出快艇的速度和需要的时间，根据题意利用余弦定理列出关系式，建立函数模型，利用数学知识解决实际问题，本题采用配方法求最值，求出快艇行驶的最小速度后，利用余弦定理求角，得出快艇行驶的方向，给出行驶的方向角.试题解析：（1）如图，设快艇以的速度从处出发，沿方向，后与汽车在处相遇，在中，为边上的高，.设，则.由余弦定理，得，所以.整理，得当，即时，，即快艇至少以的速度行驶才能把稿件送到司机手中.（2）当时，在中，，由余弦定理，得，所以，故快艇应向垂直于的方向向北偏东方向行驶...................22. 在等比数列中，，且的等比中项为.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对任意恒成立？若存在，求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在满足条件的正整数，正整数的最小值为.【解析】试题分析：根据等比数列的性质，第1项与第5项的等比中项是第3项，利用公差和第三项的值求出首项，从而写出数列的通项公式；根据题意计算，可知为等差数列，利用等差数列前n项和公式写出前n项和，从而得出，而数列求和可以使用裂项相消法，最后根据不等式恒成立条件得出正整数的最小值.试题解析：（1）由的等比中项为，可知，又，则，公比且，.（2），易知数列是首项为，公差为的等差数列，，，则存在满足条件的正整数，且正整数的最小值为.【点睛】根据等比数列的性质，利用已知条件列方程，求出等差数列的公差和首项，从而写出数列的通项公式；根据题意计算，根据通项公式可以判断为等差数列，利用等差数列前n项和公式写出前n项和，从而得出，而数列求和可以使用裂项相消法，最后根据不等式恒成立条件得出正整数的最小值.。

2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷含答案注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上..2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷将答案写在答题卡上，在试题卷上作答，答案无效.4.考试结束，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线x－y＝0的倾斜角为( )A．45°B．60°C．90°D．135°2．若三点A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)共线，则实数m的值是( )A．6 B．－2 C．－6 D．2 3．圆ｘ2＋ｙ2＝4与圆ｘ2＋ｙ2－6x＋8y－24＝0的位置关系是（)A．相交B．相离C．内切D．外切4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱锥A1-ABCD的体积与长方体AC1的体积的比值为( )A.12B．16C.13D．155．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别为AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是( ) 6．已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是（)A.π3B.π4C.2π3D.3π47．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A．2π＋12 B．π＋12 C．2π＋24 D．π＋24 8．若坐标原点在圆x2＋y2－2mx＋2my＋2m2－4＝0的内部，则实数m的取值范围是( )A．(－1，1) B．－22，22C．(－3，3) D．(－2，2)9．点P(7，－4)关于直线l：6x－5y－1＝0的对称点Q的坐标是（)A．(5,6) B．(2,3) C．(－5,6)D．(－2,3)10.过(2，0)点作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，所得切线方程为( )A．y＝0 B．x＝1和y＝0 C．x＝2和y＝0 D．不存在11．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0与x2＋y2＋2x－12＝0的公共弦长等于( ) A．4 B．2 3 C．3 2 D．4 212．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝12x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( )A．－6＜k＜2 B．－16＜k＜0C．－16＜k＜12D．k＞12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省仪征中学2020—2021学年度第一学期高二数学期中模拟（2）2020.11.4一、单项选择题1、等差数列中，若，为方程的两根，则等于A. 10B. 15C. 20D. 402、对抛物线，下列描述正确的是A. 开口向上，焦点为B. 开口向上，焦点为C. 开口向右，焦点为D. 开口向右，焦点为3、已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，若的周长为，则C 的方程为A. B. C. D.4、九章算术中一文：蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，则天后，蒲、莞长度相等？参考数据：，，结果精确到注：蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．A. B. C. D.5、已知点，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D.6、一元二次方程两个根均大于1的充分必要条件是A. B. C. D. 7、已知正数满足，则的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 58、北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板称为天心石，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板不含天心石A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块二、多项选择题9、给出以下四个命题，其中正确的是A. “”的否定是；B. 设是公差为的无穷等差数列的前n项和，若数列有最大项，则；C. 已知曲线C：，则“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件；D. 已知数列的前n项和，若为等比数列，则实数．10、已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是．A. 6B. 7C. 8D. 911、公差为d的等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有A. B. C. 中最大 D.12、将个数排成n行n列的一个数阵，如下图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列其中己知，，记这个数的和为下列结论正确的有A. B.C. D.三、填空题13、已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且经过点，则C的方程为__ ____．14、已知，，，则的最小值为______．15、椭圆左右焦点分别为，，P为椭圆M上任一点且最大值的取值范围是，其中，则椭圆离心率e取值范围是_________________．16、已知，且，则________．四、解答题17、已知焦点在x轴上的双曲线C的实轴长为，焦距为．求双曲线C的标准方程；若直线与双曲线C交于两点，求弦长18、已知命题p：不等式对一切实数x恒成立，命题q：．若是假命题，求实数a的取值范围；若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．19、解不等式；已知a，b，，求证：．20、某科技创新公司在第一年年初购买了一台价值昂贵的设备，该设备的第1年的维护费支出为20万元，从第2年到第6年，每年的维修费增加4万元，从第7年开始，每年维修费为上一年的．求第n年该设备的维修费的表达式；设，若万元，则该设备继续使用，否则须在第n年对设备更新，求在第几年必须对该设备进行更新？21、已知O为坐标原点，椭圆C：上顶点为A，右顶点为B，离心率，圆O：与直线AB相切．求椭圆C的标准方程；若D，E，F为椭圆C上的三个动点，直线EF，DE，DF的斜率分别为．若EF的中点为，求直线EF的方程；若，证明：直线EF过定点．22、已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为d，为其前n项和，且满足，数列满足，为数列的前n项和．求数列的通项公式和数列的前n项和；若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．江苏省仪征中学2020—2021学年度第一学期高二数学期中模拟（2）一、单项选择题：BAAC DAAC二、多项选择题: 9、ABD 10、ABC11、AD 12、ACD三、填空题: 13、 14、215、 16、四、解答题17、解：联立18、解：解：当命题p是真命题时：当时，可化为，成立；当时，解得，综上所述，实数a的取值范围是，当命题p是假命题时，实数a的取值范围是，p是q的必要不充分条件，则是的真子集，即或，解得或，实数m的取值范围是．19、解：由，可得且，解得，所以不等式的解集为；证明：因为a，b，，所以，当且仅当时等号成立．故证．20、解：当时，数列是首项为20，公差为4的等差数列，；当时，数列是首项为，公比为的等比数列，又，所以．因此第n年该设备的维修费的表达式为．设数列的前n项和为，由等差及等比的求和公式得，当时，，此时恒成立，即该设备继续使用；当时，，此时，因为，即所以是递增数列，又，，故在第9年必须对该设备进行更新．21、由题意，直线AB的方程为：，即为，因为圆O与直线AB相切，所以，设椭圆的半焦距为c，因为，，所以由得：，，所以椭圆C的标准方程为：．设，，，由题知：，，两式作差得：，，整理得：，所以此时直线EF的方程为：；设直线DE：，设直线DF：，将代入，得：，所以，，因此．又因为，且同理可得：，可得，设直线EF的方程为：，将代入，得：，得，所以，所以直线EF过定点．22、法一在中，令，，得即解得，，又时，满足，．，法二是等差数列，由，得，又，，则求法同法一．当n为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．，等号在时取得．此时需满足当n为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．是随n的增大而增大，时取得最小值．此时需满足综合、可得的取值范围是．，若成等比数列，则，即由，可得，即，又，且，所以，此时．因此，当且仅当，时，数列中的成等比数列．。

2022-2023学年江苏省扬州市仪征中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分） 1．直线kx ﹣y +2﹣k ＝0恒过定点（ ） A ．（﹣1，2）B ．（1，2）C ．（2，﹣1）D ．（2，1）2．若平面内两条直线l 1：x +（a ﹣1）y +2＝0，l 2：ax +2y +1＝0平行，则实数a ＝（ ） A ．﹣2B ．﹣2或1C ．﹣1D ．﹣1或23．直线l ：3x +4y ﹣1＝0被圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝9所截得的弦长为（ ） A ．2√5B ．4C ．2√3D ．2√24．在数列{a n }中，a 1＝2，a n =2a n−1+1(n ≥2)，则a 4＝（ ）A ．23B ．65C ．1011D ．22215．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点，点M 是过原点O 且倾斜角为120°的直线l与椭圆C 的一个交点，且MF 1→⋅MF 2→=0，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12B ．2−√3C ．√32D ．√3−16．已知点M （1，﹣2）、N （m ，2），若M 、N 关于直线x +2y ﹣2＝0对称，则实数m 的值是（ ） A ．3B ．1C ．﹣2D ．﹣77．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 的中心为原点，焦点F 1、F 2在y 轴上，椭圆C 的面积为2√3π，且离心率为12，则C 的标准方程为（ ）A ．x 24+y 23=1B ．x 212+y 2=1C ．x 23+y 24=1D ．x 216+y 23=18．已知点P 在曲线C 1：x 216−y 29=1上，点Q 在曲线C 2：（x ﹣5）2+y 2＝1上，点R 在曲线C 3：（x +5）2+y 2＝1上，则|PQ |﹣|PR |的最大值是（ ） A ．6B ．8C ．10D ．12二、多选题（每小题5分，错选得0分，少选得2分，共20分）9．已知点A （2，3），B （4，﹣5）到直线l ：（m +3）x ﹣（m +1）y +m ﹣1＝0的距离相等，则实数m 的值可以是（ ） A ．−75B ．75C ．−95D ．9510．已知三条直线2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0，mx ﹣y ﹣1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值可以是（ ） A ．−43B ．−23C ．23D ．211．已知双曲线M ：x 2a 2−y 2b 2=1的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则下列说法正确的是（ ） A ．M 的离心率为2√33 B ．M 的标准方程为x 23−y 2=1C ．M 的渐近线方程为y =±√3xD ．直线x +y ﹣2＝0经过M 的一个焦点 12．以下四个命题表述正确的是（ ）A ．圆C ：x 2﹣2ax +y 2+a 2﹣1＝0与圆D ：x 2+y 2＝4有且仅有两条公共切线，则实数a 的取值可以是3B ．圆x 2+y 2＝4上有且仅有3个点到直线l ：x −y +√2=0的距离都等于1C ．具有公共焦点F 1，F 2的椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限的交点为P ，若∠F 1PF 2=π2，椭圆C 1与双曲线C 2的离心率分别记作e 1，e 2，则1e 12+1e 22=2D ．已知圆C ：x 2+y 2＝1，点P 为直线x4+y 2=1上一动点，过点P 向圆C 引两条切线P A ，PB ，A ，B为切点，则直线AB 经过定点(12，14) 三、填空题（每小题5分，共20分）13．直线y ＝kx +2（k ＞0）被圆x 2+y 2＝4截得的弦长为2√3，则直线的倾斜角为 ． 14．在等差数列{a n }中，a 1+a 9＝2，则a 4+4a 5+a 6＝ ．15．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，如图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为 ．16．已知x ，y 为实数，代数式√1+(y −2)2+√9+(3−x)2+√x 2+y 2的最小值是 ．四、解答题（第17题10分，其他每题12分，共70分） 17．（10分）设直线l 的方程为（a +1）x +y ﹣3+a ＝0（a ∈R ）． （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； （2）若l 不经过第三象限，求a 的取值范围． 18．（12分）已知数列{a n }的通项公式为a n =9n 2−9n+29n 2−1．（1）求这个数列的第10项． （2）98101是不是该数列中的项？为什么？（3）在区间（13，23）内是否有数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由． 19．（12分）已知抛物线G ：y 2＝4x 的焦点与椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F 重合，椭圆E 的短轴长为2√3． （1）求椭圆E 的方程；（2）过点F 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，交抛物线G 于M ，N 两点，请问是否存在实常数t ，使t |AB|−1|MN|为定值？若存在，求出t 的值及定值；若不存在，说明理由．20．（12分）已知双曲线：C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)与x 24+y 2=1有相同的焦点，且经过点M(√2，−√2)．（1）求双曲线C 的方程；（2）是否存在以P （1，2）为中点作双曲线C 的一条弦AB ，如果存在，求弦AB 所在直线的方程． 21．（12分）已知抛物线的顶点为原点，焦点F 在x 轴的正半轴，F 到直线x −√3y +2=0的距离为54．点N （2，2），不过点N 的直线l 与抛物线交于两点A ，B ，且k NA +k NB ＝﹣2． （1）求抛物线方程及抛物线的准线方程； （2）求证：直线AB 过定点，并求该定点坐标．22．（12分）已知圆心C 在第一象限，半径为54的圆与y 轴相切，且与x 轴正半轴交于A ，B 两点（A 在B左侧），|OA |•|OB |＝1（O 为坐标原点）． （1）求圆C 的标准方程；（2）过点A 任作一条直线与圆O ：x 2+y 2＝1相交于P ，Q 两点． ①证明：|PA||PB|为定值；②求|PB |+2|PC |的最小值．2022-2023学年江苏省扬州市仪征中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分，共40分） 1．直线kx ﹣y +2﹣k ＝0恒过定点（ ） A ．（﹣1，2）B ．（1，2）C ．（2，﹣1）D ．（2，1）解：kx ﹣y +2﹣k ＝0化为y ﹣2＝k （x ﹣1），故恒过点（1，2）． 故选：B ．2．若平面内两条直线l 1：x +（a ﹣1）y +2＝0，l 2：ax +2y +1＝0平行，则实数a ＝（ ） A ．﹣2B ．﹣2或1C ．﹣1D ．﹣1或2解：∵平面内两条直线l 1：x +（a ﹣1）y +2＝0，l 2：ax +2y +1＝0平行， ∴a （a ﹣1）﹣2＝0， 解得a ＝﹣1，或2．经过验证可得：a ＝﹣1，或2都满足两条直线平行． 因此a ＝﹣1，或2． 故选：D ．3．直线l ：3x +4y ﹣1＝0被圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝9所截得的弦长为（ ） A ．2√5B ．4C ．2√3D ．2√2解：由已知，圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝9，圆心坐标为C （1，2），半径为3， 所以点C （1，2）到直线l ：3x +4y ﹣1＝0的距离为√32+42=2，所以直线被圆截得的弦长为2√32−22=2√5． 故选：A ．4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n =2a n−1+1(n ≥2)，则a 4＝（ ）A ．23B ．65C ．1011D ．2221解：由已知可得a 2=2a 1+1=22+1=23，∴a 3=2a 2+1=65，∴a 4=2a 3+1=1011，故选：C ．5．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点，点M 是过原点O 且倾斜角为120°的直线l与椭圆C 的一个交点，且MF 1→⋅MF 2→=0，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12B ．2−√3C ．√32D ．√3−1解：不妨设M 在第二象限，因为MF 1→⋅MF 2→=0，即MF 1⊥MF 2，|OM|=12|F 1F 2|=c ，又∠MOF 2＝120°，所以∠MOF 1＝60°，即△MOF 1为等边三角形， ∴|MF 1|＝c ，|MF 2|=√3c ， ∴2a =√3c +c ， ∴e =ca =√3−1． 故选：D ．6．已知点M （1，﹣2）、N （m ，2），若M 、N 关于直线x +2y ﹣2＝0对称，则实数m 的值是（ ） A ．3B ．1C ．﹣2D ．﹣7解：由题意得MN 的中点在直线x +2y ﹣2＝0上，且直线x +2y ﹣2＝0与直线MN 垂直，即{1+m 2+2×−2+22−2=02+2m−1⋅(−12)=−1，解得：m ＝3， 故选：A ．7．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 的中心为原点，焦点F 1、F 2在y 轴上，椭圆C 的面积为2√3π，且离心率为12，则C 的标准方程为（ ）A ．x 24+y 23=1B ．x 212+y 2=1C ．x 23+y 24=1D ．x 216+y 23=1解：由题意可得ca=12，ab ＝2√3，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆的方程为：x 23+y 24=1，故选：C ．8．已知点P 在曲线C 1：x 216−y 29=1上，点Q 在曲线C 2：（x ﹣5）2+y 2＝1上，点R 在曲线C 3：（x +5）2+y 2＝1上，则|PQ |﹣|PR |的最大值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12解：由双曲线的知识可知：C 1x 216−y 29=1的两个焦点分别是F 1（﹣5，0）与F 2（5，0），且|PF 1|﹣|PF 2|＝8而这两点正好是两圆（x +5）2+y 2＝1和（x ﹣5）2+y 2＝1的圆心， 两圆（x +5）2+y 2＝1和（x ﹣5）2+y 2＝1的半径分别是r 1＝1，r 2＝1， ∴|PQ |max ＝|PF 1|+1，|PR |min ＝|PF 2|﹣1，∴|PQ |﹣|PR |的最大值为：（|PF 1|+1）﹣（|PF 2|﹣1） ＝|PF 1|﹣|PF 2|+2＝8+2＝10， 故选：C ．二、多选题（每小题5分，错选得0分，少选得2分，共20分）9．已知点A （2，3），B （4，﹣5）到直线l ：（m +3）x ﹣（m +1）y +m ﹣1＝0的距离相等，则实数m 的值可以是（ ） A ．−75B ．75C ．−95D ．95解：∵两点A （2，3），B （4，﹣5）到直线l ：（m +3）x ﹣（m +1）y +m ﹣1＝0的距离相等， ∴22=22，化简得|5m +8|＝1， 解得m =−75，或m =−95， 故选：AC ．10．已知三条直线2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0，mx ﹣y ﹣1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值可以是（ ） A ．−43B ．−23C ．23D ．2解：由已知，设l 1：2x ﹣3y +1＝0，l 2：4x +3y +5＝0，l 3：mx ﹣y ﹣1＝0， 由{2x −3y +1=04x +3y +5=0可知，直线l 1，l 2相交于点A(−1，−13)， 直线l 3：mx ﹣y ﹣1＝0恒过定点B （0，﹣1），因为三条直线不能构成三角形，所以l 1∥l 3；l 2∥l 3；l 3经过点A(−1，−13)；①当l 1∥l 3时，l 1：2x ﹣3y +1＝0，l 3：mx ﹣y ﹣1＝0，所以2×（﹣1）＝﹣3m ，解得m =23； ②当l 2∥l 3时，l 2：4x +3y +5＝0，l 3：mx ﹣y ﹣1＝0，所以4×（﹣1）＝3m ，解得m =−43； ③当l 3经过点A(−1，−13)时，m =−23， 所以实数m 的取值集合为{−23，23，−43}． 故选：ABC ．11．已知双曲线M ：x 2a 2−y 2b2=1的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则下列说法正确的是（ ）A ．M 的离心率为2√33 B ．M 的标准方程为x 23−y 2=1C ．M 的渐近线方程为y =±√3xD ．直线x +y ﹣2＝0经过M 的一个焦点 解：由题意可得：2c ＝4，∴c ＝2，又焦点到渐近线的距离为b ＝1， ∴a 2＝c 2﹣b 2＝4﹣1＝3，∴a =√3， ∴M 的离心率为ca =√3=2√33，∴A 正确； ∴M 的标准方程为x 23−y 2=1，∴B 正确；∴M 的渐近线方程为y =13=±√33x ，∴C 错误； 又（2，0）在直线x +y ﹣2＝0上，故x +y ﹣2＝0经过M 的一个焦点，∴D 正确． 故选：ABD ．12．以下四个命题表述正确的是（ ）A ．圆C ：x 2﹣2ax +y 2+a 2﹣1＝0与圆D ：x 2+y 2＝4有且仅有两条公共切线，则实数a 的取值可以是3B ．圆x 2+y 2＝4上有且仅有3个点到直线l ：x −y +√2=0的距离都等于1C ．具有公共焦点F 1，F 2的椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限的交点为P ，若∠F 1PF 2=π2，椭圆C 1与双曲线C 2的离心率分别记作e 1，e 2，则1e 12+1e 22=2D ．已知圆C ：x 2+y 2＝1，点P 为直线x4+y 2=1上一动点，过点P 向圆C 引两条切线P A ，PB ，A ，B为切点，则直线AB 经过定点(12，14)解：圆C ：x 2﹣2ax +y 2+a 2﹣1＝0变形为（x ﹣a ）2+y 2＝1，故圆心为C （a ，0），半径为r 1＝1，圆D ：x 2+y 2＝4圆心为D （0，0），半径为r 2＝2， 当a ＝3时，故圆心距|CD |＝3＝1+2＝r 1+r 2， 此时两圆外切，故两圆有3条公共切线，A 错误；圆x 2+y 2＝4的圆心（0，0）到直线l ：x −y +√2=0的距离为√2|√1+1=1，而圆x 2+y 2＝4的半径为2，故有且仅有3个点到直线l ：x −y +√2=0的距离都等于1，B 正确； 设椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1，双曲线C 2：x 2m 2+y 2n 2=1，F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），因为∠F 1PF 2=π2，所以|PF 1|+|PF 2|＝2a ，|PF 1|﹣|PF 2|＝2m ， 解得：|PF 1|＝a +m ，|PF 2|＝a ﹣m ，由勾股定理：|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，即（a +m ）2+（a ﹣m ）2＝4c 2， 化简得：a 2+m 2＝2c 2，则椭圆C 1的离心率e 1=c a ，双曲线C 2的离心率e 2=cm ， 则1e 12+1e 22=a 2c 2+m 2c 2=2，C 正确；设P （m ，n ），则m 4+n 2=1，由题意得：P ，A ，B ，O 四点共圆，且OP 为直径，则此圆圆心为(m2，n 2)，半径为12√m 2+n 2， 故圆的方程为，(x −m 2)2+(y −n 2)2=14(m 2+n 2)与C ：x 2+y 2＝1相减得：mx +ny ＝1， 因为m 4+n 2=1，所以mx +ny ＝1过定点(14，12)，即直线AB 经过定点(14，12)，D 错误． 故选：BC ．三、填空题（每小题5分，共20分）13．直线y ＝kx +2（k ＞0）被圆x 2+y 2＝4截得的弦长为2√3，则直线的倾斜角为 60° ． 解：∵直线y ＝kx +2（k ＞0）被圆x 2+y 2＝4截得的弦长为2√3， ∴圆心O （0，0）到直线kx ﹣y +2＝0的距离d =√22−(√3)2=1， 即√k 2+1=1，解得k =√3（k ＞0）．设直线的倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则tan θ=√3，则θ＝60°． ∴直线的倾斜角为60°． 故答案为：60°．14．在等差数列{a n }中，a 1+a 9＝2，则a 4+4a 5+a 6＝ 6 ．解：根据等差数列的性质可得：a 1+a 9＝2a 5＝2， 所以a 5＝1， 又a 4+a 6＝2a 5，所以a 4+4a 5+a 6＝6a 5＝6， 故答案为：6．15．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，如图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为 2.5cm ．解：由题意可建立以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：又三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ， 则A(12，4)，B(−32，2)， ∴k AB =4−212−(−32)=1， 直线AB 的方程为y −2=x +32，即2x ﹣2y +7＝0， 故原点O 到直线AB 距离为d =|7|4+4=7√24≈2.5(cm)， 故答案为：2.5cm ．16．已知x ，y 为实数，代数式√1+(y −2)2+√9+(3−x)2+√x 2+y 2的最小值是 √41 ． 解：如图所示，由代数式的结构构造点P （0，y ），A （1，2），Q （x ，0），B （3，3）则√1+(y −2)2+√9+(3−x)2+√x 2+y 2=|P A |+|BQ |+|PQ |，分别作点A 关于y 轴的对称点A '（﹣1，2），点B 关于x 轴的对称点B '（3，﹣3），则√1+(y −2)2+√9+(3−x)2+√x 2+y 2≥|A 'B '|＝sqrt 41，当且仅当P ，Q 为A 'B '与坐标轴的交点时等号成立，所以最小值为√41故答案为：√41．四、解答题（第17题10分，其他每题12分，共70分）17．（10分）设直线l 的方程为（a +1）x +y ﹣3+a ＝0（a ∈R ）．（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；（2）若l 不经过第三象限，求a 的取值范围．解：（1）当直线l 过原点时，该直线l 在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝3，方程即为4x +y ＝0；若a ≠3，则3−a a+1=3﹣a ，即a +1＝1，∴a ＝0，方程即为x +y ﹣3＝0，∴a 的值为0或3．（2）若l 不经过第三象限，直线l 的方程化为y ＝﹣（a +1）x +3﹣a ，则{−(a +1)≤03−a ≥0，解得﹣1≤a ≤3， ∴a 的取值范围是[﹣1，3]．18．（12分）已知数列{a n }的通项公式为a n =9n 2−9n+29n 2−1． （1）求这个数列的第10项．（2）98101是不是该数列中的项？为什么？（3）在区间（13，23）内是否有数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由．解：a n =9n 2−9n+29n 2−1=(3n−1)(3n−2)(3n−1)(3n+1)=3n−23n+1． （1）令n ＝10，则a 10=3×10−23×10+1=2831．（2）令3n−23n+1=98101，解得n =1003不是正整数， 因此98101不是该数列中的项．（3）令13＜3n−23n+1＜23，解得：76＜n ＜83， 由n ∈N *，∴n ＝2．∴在区间（13，23）内有数列中的项，只有一项． 19．（12分）已知抛物线G ：y 2＝4x 的焦点与椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F 重合，椭圆E 的短轴长为2√3．（1）求椭圆E 的方程； （2）过点F 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，交抛物线G 于M ，N 两点，请问是否存在实常数t ，使t |AB|−1|MN|为定值？若存在，求出t 的值及定值；若不存在，说明理由．解：（1）抛物线G ：y 2＝4x 的焦点坐标为（1，0），故F （1，0），且2b =2√3，解得：b =√3，从而a 2＝b 2+c 2＝3+1＝4，所以椭圆E 的方程为E ：x 24+y 23=1；（2）当直线斜率为0时，直线l 与抛物线只有一个交点，不合要求，故直线l 的斜率不为0，设方程为x ＝1+my ，联立x ＝1+my 与G ：y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣4＝0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），故y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，则x 1+x 2=1+my 1+1+my 2=2+m(y 1+y 2)=4m 2+2，故|MN|=x 1+x 2+2=4m 2+4，联立x ＝1+my 与E ：x 24+y 23=1，可得：（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0， 设A （x 3，y 3），B （x 4，y 4），则y 3+y 4=−6m 3m 2+4，y 3y 4=−93m 2+4， 则|AB|=√1+m 2⋅√(y 3+y 4)2−4y 3y 4=√1+m 2⋅√(−6m 3m 2+4)2+363m 2+4=12(m 2+1)3m 2+4， 所以t |AB|−1|MN|=t(3m 2+4)12(m 2+1)−14m 2+4=3tm 2+4t−312m 2+12， 令3t 12=4t−312，解得：t ＝3， 此时t |AB|−1|MN|为定值9m 2+912m 2+12=34． 20．（12分）已知双曲线：C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与x 24+y 2=1有相同的焦点，且经过点M(√2，−√2)．（1）求双曲线C 的方程；（2）是否存在以P （1，2）为中点作双曲线C 的一条弦AB ，如果存在，求弦AB 所在直线的方程． 解：（1）因为椭圆x 24+y 2=1的焦点坐标为(±√3，0)，所以双曲线的焦点坐标为(±√3，0)，又因为M(√2，−√2)在双曲线上，所以{2a 2−2b 2=1c 2=3c 2=a 2+b 2， 所以a 2＝1，b 2＝2，所以双曲线的方程为：x 2−y 22=1；（2）假设存在，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以{2x 12−y 12=22x 22−y 22=2， 两式相减可得2x 12−2x 22=y 12−y 22，所以2x 1+x 2y 1+y 2=y 1−y 2x 1−x 2， 又因为x 1+x 2＝2x P ＝2，y 1+y 2＝2y P ＝4，所以y 1−y 2x 1−x 2=k AB =1，所以弦AB 所在直线的方程为：y ﹣2＝x ﹣1，即x ﹣y +1＝0，由{2x 2−y 2=2x −y +1=0，得x 2﹣2x ﹣3＝0， 则Δ＝4+12＝16＞0，所求直线与双曲线有2个交点，故存在，且弦AB 所在直线的方程为x ﹣y +1＝0．21．（12分）已知抛物线的顶点为原点，焦点F 在x 轴的正半轴，F 到直线x −√3y +2=0的距离为54．点N （2，2），不过点N 的直线l 与抛物线交于两点A ，B ，且k NA +k NB ＝﹣2．（1）求抛物线方程及抛物线的准线方程；（2）求证：直线AB 过定点，并求该定点坐标．解：（1）设抛物线方程为y 2＝2px ，p ＞0，则F(p 2，0)，故F 到直线x −√3y +2=0的距离为|p 2+2|√1+3=54， 因为p ＞0，解得：p ＝1，故抛物线方程为y 2＝2x ，准线方程为x =−12；（2）证明：当直线AB 的斜率为0时，直线AB 与抛物线方程y 2＝2x 无交点，舍去； 故直线AB 的斜率不为0，设直线AB ：x ＝ny +b ，因为直线AB 不过点N ，故2n +b ≠2，联立x ＝ny +b 与y 2＝2x 联立，可得y 2﹣2ny ﹣2b ＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2＝2n ，y 1y 2＝﹣2b ，则k NA +k NB =y 1−2x 1−2+y 2−2x 2−2=y 1−2ny 1+b−2+y 2−2ny 2+b−2=(y 1−2)(ny 2+b−2)+(y 2−2)(ny 1+b−2)(ny 1+b−2)(ny 2+b−2)=2ny 1y 2+(b−2−2n)(y 1+y 2)−4b+8n 2y 1y 2+(nb−2n)(y 1+y 2)+(b−2)2=−4nb+2n(b−2−2n)−4b+8−2n 2b+2n(nb−2n)+(b−2)2=−2，整理得：6n 2﹣b 2+6b ﹣8+nb +2n ＝0，即（2n +b ﹣2）（3n ﹣b +4）＝0，因为2n +b ≠2，所以3n ﹣b +4＝0，故b ＝3n +4，直线方程为x ＝ny +3n +4，变形为x ﹣4＝n （y +3），过定点（4，﹣3）．22．（12分）已知圆心C 在第一象限，半径为54的圆与y 轴相切，且与x 轴正半轴交于A ，B 两点（A 在B 左侧），|OA |•|OB |＝1（O 为坐标原点）．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点A 任作一条直线与圆O ：x 2+y 2＝1相交于P ，Q 两点． ①证明：|PA||PB|为定值；②求|PB |+2|PC |的最小值．解：（1）由已知，圆心C 在第一象限，半径为54的圆与y 轴相切， 所以设圆心C(54，b)(b ＞0)，因为圆C 与x 轴正半轴交于A ，B 两点（A 在B 左侧），|OA |⋅|OB |＝1， 所以|AB|=2√(54)2−b 2，所以|OA|=54−12|AB|，|OB|=54+12|AB|， 所以|OA|⋅|OB|=2516−14|AB|2=b 2=1，解得b ＝1， 所以圆C 的方程为：(x −54)2+(y −1)2=2516．（2）①证明：由（1）可知，圆C 的方程为：(x −54)2+(y −1)2=2516， 当y ＝0时，x ＝2或x =12，所以A(12，0)，B （2，0），设P （x 0，y 0），则x 02+y 02=1，所以|PA||PB|=√(x 0−1)2+y 020202=√54−x 05−4x 0=12； ②由|PA||PB|=12可知，|PB |＝2|P A |，所以|PB|+2|PC|=2(|PA|+|PC|)≥2|AC|=2√(54−12)2+1=52，当A ，P ，C 三点共线时等号成立，所以|PB |+2|PC |的最小值为52．。

2020—2021学年度第一学期期中联考试题高二数学考试范围：不等式,数列,常用逻辑用语,圆锥曲线一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分． 1.已知,0,a b a b >+=则下列选项必定正确的是( ▲ ) A ．0a > B ．0a ≤ C ．0b = D ．0b >2.在数列{}n a 中，11(1)1,2(2)nn n a a n a --==+≥，则3a =( ▲ ) A ．0 B ．53 C ．73D ．33.已知命题:p n N ∀∈，2n n >，则p ⌝是( ▲ )A ．n ∀∈N ，2n n ≤ B.n ∀∈N ，2n n < C.n N ∃∈，2n n ≤D.n N ∃∈，2n n >4.已知等比数列{}n a 满足11353,21,a a a a =++=则357a a a ++=( ▲ ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．845.若不等式08322<-+kx kx 对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( ▲ ) A .()0,3- B ．[)0,3-C .[]0,3- D ．(]0,3-6.设命题1:0,2x p x -≥+命题:(1)(2)0,q x x -+≥则命题p 是命题q 的( ▲ ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.一百个高矮互不相同的士兵，排成一个十行十列的方阵。

现在从每行中选出一个最高的，再从这些最高的中选出一个最矮的，其高度记为h(高中矮)；然后从每列中选出一个最矮的，再从这个最矮的中间选出一个最高的，其高度记为h(矮中高),则( ▲ )A ．h(高中矮)>h(矮中高)B ．h(高中矮)h (矮中高)C ．h(高中矮)<h(矮中高)D ．h(高中矮)h(矮中高)8.已知A 、B 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点，(0,)C b ，直线:2l x a =与x 轴交于点D ，与直线AC 交于点P ，且BP 平分APD ∠，则此椭圆的离心率为( ▲ )A ．13B ．23C ．23D 6二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．已知曲线22:1C mx ny +=，则下列结论正确的是( ▲ ) A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若0m n =>，则C 是圆，其半径为nC ．若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为m y x n=±-⋅ D ．若0,0m n =>，则C 是两条直线10．下列不等式成立的是( ▲ )A ．若a ＜b ＜0，则a 2＞b 2B ．若ab ＝4，则a ＋b ≥4C ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2D ．若a ＞b ＞0，m ＞0，则b b m a a m+<+11．设{}()n a n N *∈是等差数列，d 是其公差，n S 是其前n 项和．若，则下列结论正确的是 A ．d<0B ．70a =C ．95S S >D ．67n S S S 与均为的最大值12. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C :x 2＋y 2＝1＋|xy |就是其中之一， 给出下列四个结论，其中正确的选项是( ▲ )． A. 曲线C 关于坐标原点对称B. 曲线C 上任意一点到原点的距离的最小值为1C. 曲线C 上任意一点到原点的距离的最大值为 2D. 曲线C 所围成的区域的面积大于4三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.准线方程为的抛物线的标准方程是▲.14.设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为▲.15.在等差数列中，满足，且，则的最小值为▲.16.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何? 即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数． 设这个整数为时，符合条件的a 共有▲个．四、解答题（本大题共6小题，计70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知}034|{:2≤+-=x x x A p ，()(){}01|:2≤---=a x a x x B q（1）若1-=a ,求集合；B（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．（12分）在①2n S n n =+，②3516a a +=且3542S S +=，③11n n a n a n++=且756S =， 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，_________，11b a =，1222a ab =． 求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）19.（12分）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，点),(b a P 满足212F F PF =.（1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线2PF 与椭圆相交于B A 、两点，若椭圆的长轴长为24，求1ABF ∆的面积.20.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1n n S a n +=-，*n ∈N . （1）求证：数列{}1n a +是等比数列； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知1n n n b a =+，若不等式922n nT m a ≥-+对于*n ∈N 恒成立， 求实数m 的最大值.21.（12分）已知O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，双曲线2214x y -=的渐近线与椭圆C 的交点到原点的距离均为102. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点,,D M N 为椭圆C 上的动点，,,M O N 三点共线，直线,DM DN 的斜率分别为12,k k .（i ）证明：1214k k =-；（ii ）若120k k +=，设直线DM 过点()0,m ，直线DN 过点()0,n ，证明：22m n +为定值.22.（12分）某商家销售某种商品,已知该商品进货单价由两部分构成：一部分为每件产品的进货固定价为3百元,另一部分为进货浮动价,据市场调查,销售单价x （单位：百元） 4 5 6 7 8 日销售量y （单位：件）110100908070（1）分别建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映该商品日销售量y 与销售单价x 的关系()f x 、进货浮动价d 与日销售量y 的关系()d y ；【注：可选的函数模型有一次函数、二次函数、反比例函数】 （2）运用第一问中的函数模型判断,该产品销售单价确定为多少元时,每件产品的利润最大？【注：单件产品的利润单件售价进货浮动价进货固定价】日销售量y （单位：件）120100906045进货浮动价d （单位：百元） 0.75 0.9 1 1.5 22020—2021学年度第一学期期中联考试题高二数学参考答案 2020.111.A 2、B3、C 4、B 5、D 6、A7、B8、D9.ACD 10.AD 11.ABD 12.ABCD 13、14、 15、16.13517.解：（1）当1=a 时，{}{}210)2)(1(≤≤-=≤-+=x x x x x B ………………3分（2）{}{}310)3)(1(≤≤=≤--=x x x x x A…………………4分043)21(122>+-=-+a a a ∴{}12+≤≤=a x a x B …………………5分p 是q 的充分不必要条件，∴A B …………………………6分⎩⎨⎧≥+≤∴3112a a 等号不能同时成立…………………………8分 解之得2-≤a …………………………10分18.选①当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=，又1n =满足2n a n =，所以2n a n =．设数列{}n b 的公比为q ，又因为12a =，24a =，由11b a =，1222a ab =，得2b =，2q =，所以2nn b =，…………………………5分 数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--， 211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋅⋅⋅+-=-++， 故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++．…………………………10分选②设数列{}n a 的公差为d ，由3516a a +=，3542S S +=，得11261681342a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，所以2n a n =，2n S n n =+．…………………………5分设数列{}n b 的公比为q ，又因为12a =，24a =，由11b a =，1222a ab =， 数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋅⋅⋅+-=-++， 故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++．…………………………10分选③由11n n a n a n ++=，得11n n a a n n +=+，所以11n a a n =，即1n a a n =，74172856S a a ===，所以12a =，所以2n a n =，2n S n n =+．设数列{}n b 的公比为q ，又因为12a =，24a =，由11b a =，1222a ab =， 得12b =，2q =，所以2nn b =．…………………………5分数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--， 211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋅⋅⋅+-=-++， 故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++．…………………………10分19.解：（1） 212F F PF =()0122222=-+∴=+-∴e e c b c a 又()211,0=∴∈e e …………………………5分（2）22122242=∴==∴=c e a a 又6222=-=c a b16822=+∴y x 椭圆的方程为…………………………7分63-=∴x y AB 方程为：设()()2211,,,y x B y x A 联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=24436322y x x y 得： 086252=++y y 518,5622121-=-=+∴y y y y …………………………9分 ()531642212122121211=-+=-⋅=∴∆y y y y y y F F S ABF ………………………12分20.解：（1）由1231n n a a a a n a ++++++=，得12311n n a a a a n a -+++++-=（2n ≥），两式相减得121n n a a +=+，所以()1121n n a a ++=+（2n ≥）， 因为10a =，所以111a +=，2111a a =+=，()21121a a +=+.所以{}1n a +是以1为首项，2为公比的等比数列. …………………………4分（2）由1n n n b a =+，又由（1）可知121n n a -=-，得12n n n b -=，从而922n n T m a ≥-+， 即2123912222n n n m -++++≥-，因为21231222n n n T -=++++，则23112322222n n nT =++++，两式相减得2311111121122222222n n n n n n T -+⎛⎫-=+++++-=- ⎪⎝⎭，所以1242n n n T -+=-.…………………………8分由92n n T m ≥-恒成立，即2542nn m --≥恒成立， 又1123252744222n nn n n n ++---⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故当3n ≤时，2542n n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭单调递减；当3n =时，323531428⨯--=； 当4n ≥时，2542n n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭单调递增；当4n =时，4245614216⨯--=；则2542n n --的最小值为6116，所以实数m 的最大值是6116..…………………………12分21.（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意知：2c e a ====，2a b ∴=…①， 双曲线2214x y -=的渐近线方程为12y x =±，∴可设双曲线的渐近线与椭圆C 在第一象限的交点为()2,P t t ，2=，解得：212t =.()2,P t t 在椭圆上，222241t t a b∴+=，即：222112a b +=…②，由①②解得：2a =，1b =，∴椭圆C标准方程为：2214x y +=.……3分（2）由题意知：,M N 关于原点对称，则可设()11,D x y ，()22,M x y ，()22,N x y --.（i ）点,D M 在椭圆C 上，221114x y ∴+=，222214x y +=，221114x y ∴=-，222214x y =-，22122212121212222212121212114414x x y y y y y y k k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭∴=⋅===--+--.……6分（ii ）不妨设10k >，20k <，1214k k =-，112k ∴=，212k =-，直线DM 过点()0,m ，直线DN 过点()0,n ，∴直线1:2DM y x m =+，1:2DN y x n =-+，由221214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：22 2220x mx m ++-=，21222x x m ∴=-， 由221214y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：222220x nx n -+-=，21222x x n ∴-=-， ()2212122240x x x x m n ∴+-=+-=，即222m n +=，22m n ∴+为定值2.……12分22.（1）根据表中数据,销售单价每增加1百元,日销量减少10件,所以销售单价与销售量为一次函数的关系,故可设(),f x kx b =+由41105100,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得10,150,k b =-=即()10150,f x x =-+……2分 又根据表中数据,日销售量和进货浮动价的积为一个固定常数90,考虑其为一个反比例函数关系,设(),m d y y =由题意可得90,m =于是90(),d y y =……4分 （2）由150100,0x x ->⎧⎨>⎩可得015x <<,设单件产品的利润为P 百元, 则90909(()3)333,()1501015P x d y x x x f x x x=-+=--=--=---- 因为015x <<,所以150x ->,所以9(15)12,15P x x =--++-……8分又9156,15x x -+≥=-当且仅当915=15x x--即12x =时等号成立,所以max 6126,P =-+=……11分答：单件产品售价定为1200元时,单件产品的利润最大,为600元．……12分。

江苏省仪征中学2020—2021学年度第一学期高二数学期中模拟（1）一、单项选择题1. 若0a b <<，则下列结论不正确的是（ ） A. a b ->-B.>C. 22a b >D.11a b> 2．已知3x >，13y x x =+-，则y 的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．53．等比数列{}n a 中，12a =,2q =,126n S =, 则n =（ ） A ．9 B ．8 C ． 7 D ． 64．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( ) A ．94B ．95C ．96D ．985．已知双曲线C ：2222=1x ya b-(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x6． 设双曲线2211612x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点，、则22||||AF BF +的最小值为（ ） A ．20B ．21C ．22D ．237．已知点()2,1A 在直线10ax by +-=()0,0a b >>上，若存在满足该条件的a ，b 使得不等式2122m m a b+≤+成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,4][2,)-∞-+∞B ．(,2][4,)-∞-+∞C ．(,6][4,)-∞-+∞D ．(,4][6,)-∞-+∞8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S，且132n n tS ++=，若对任意的n ∈N *，(2S n +3)λ≥27(n -5)恒成立， 则实数λ的取值范围是（ .） A. [,)181+∞ B. [,)127+∞ C. [,)164+∞ D. [,)116+∞ 二、多项选择题9．下面命题正确的是（ ）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“x R ∀∈,则210++<x x ”的否定是“x R ∃∈,则210++≥x x ”. C ．设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件 D ．设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件 10．下列有关说法正确的是（ ）A.当0x >时，1lg 2lg x x +≥； B. 当0a >，0b >时，114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立;C.当0x >2≥； D.当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2sin sin θθ+的最小值为 11．设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线y =m （0<m <√3）与椭圆交于A ，B 两点，则（ ） A.AF +BF 为定值 B.∆ABF 周长的取值范围是[6，12] C.当m =时，∆ABF 为直角三角形 D.当m =1时，∆ABF 的面积为√6 12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，……，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A.S 7=33 B.S n+2=S n+1+S nC. a 1+a 3+a 5+⋯+a 2019=a 2020D.a 12+a 22+⋯+a 20192a 2019=a 2020三、填空题13.抛物线的准线方程是12y =，则其标准方程是______ 14. 若[]21,2,10x ax ∃∈+≤为真命题，则实数a 的取值范围为______ 15．在数列{}n a 中，112a =，12n n a a n +=+，n *∈N ，则5a 的值为______，数列1112n a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭（n *∈N ）的前n 项和为______.16．已知椭圆C 的焦点为1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点.若112AF F B =，2AB BF =，则椭圆C 的离心率为______.四、解答题17．已知命题p ：实数m 满足的方程221(0)34x y a m a m a+=>--表示双曲线，命题q ：实数m 满足的方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆. （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围． .18. 已知双曲线的焦点为12(4,0),(4,0)F F -，且该双曲线过点(6,P ． （1）求双曲线的标准方程及其离心率、渐近线方程；（2）若双曲线上的点M 满足12MF MF ⊥，求12MF F ∆的面积．19. 已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1，其前n 项和为S n ，数列{b n }前n 项和为T n ，从 ①a 1，a 2，a 5成等比数列，T n =2−b n ，②S 55−S 33=2，T n =2−(12)n−1，③数列{b n }为等比数列，101111021n n n a a =+=∑，a 1=b 1，a 3b 4=58，这三个条件中任选一个作为已知条件并解答下列问题． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{an b n}的前n 项和M n ．20.为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为米．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价． （2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元， 若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．21. 已知数列{}n a 各项均为正数，S n 是数列{}n a 的前n 项的和，对任意的*n ∈N ，都有2232n n n S a a =+-.数列{}n b 各项都是正整数，121,4b b ==，且数列123,,,,n b b b b a a a a ⋯是等比数列．(1) 证明：数列{}n a 是等差数列； (2) 求数列{}n b 的通项公式n b ；(3)求满足124n n S b <+的最小正整数n .22．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率是2，1A ，2A 分别为椭圆E 的左右顶点，B 为上顶点，12A BA ∆的面积为2.直线l 过点()1,0D 且与椭圆E 交于P ，Q 两点（P ，Q 异于1A ，2A ） （1）求椭圆E 的标准方程； （2）求OPQ ∆的面积最大值；（3）设直线1A P 与直线2A Q 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为常数，并求出这个常数.江苏省仪征中学2020—2021学年度第一学期高二数学期中模拟（1）一、单项选择题： BDDB CCAA二、多项选择题: 9.ABD 10.BC 11.AD 12.ACD三、填空题: 13. x 2=−2y 14. 14a ≤- 15．32; 1nn + 16．四、解答题17．解：（1）若命题p 为真，即方程221(0)34x y a m a m a+=>--表示双曲线，所以()()340m a m a --<，解得34a m a <<，即()3,4m a a ∈.（2）若命题q 为真，即x 2m －1＋y 22－m ＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆成立，解得312m <<，记B=3(1,)2. 由(1)知，记A=()3,4a a因为p 是q 的充分不必要条件，所以AB ，故33421a a ⎧≥⎪⎨<⎪⎩或33421a a ⎧>⎪⎨≤⎪⎩，解得1338a ≤≤. 所以实数a 的取值范围为1338a ≤≤.18（1）设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，由1(4,0)F -，2(4,0)F，且该双曲线过点(6,P ，可得2a ==∴2212a ==，又4c =，∴22244b =-=，∴双曲线的标准方程为221124x y -=；离心率3c e a ==，渐近线方程为3y x =±（2）由221212|||||||||64MF MF MF MF -=+=，得12||||8MF MF ⋅=， ∴12121||||42MF F SMF MF =⋅=．19. 解：选择条件①a 1，a 2，a 5成等比数列，T n =2−b n ，设数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 2，a 5成等比数列，即a 22=a 1a 5， 所以(1+d )2=1+4d ，解得d =0(舍)或d =2，所以a n =2n −1， 因为T n =2−b n ，则T n+1=2−b n+1， 所以b n+1=T n+1−T n =2−b n+1−2+b n ，则b n+1b n=12， 又b 1=T 1=2−b 1，解得b 1=1，所以b n =(12)n−1，选择条件②，设数列{a n }的公差为d ，所以S55−S 33=5a 1+10d5−3a 1+3d3=d =2，所以a n =2n −1，因为T n =2−(12)n−1，当n ≥2时，b n =T n −T n−1=(12)n−1，且n =1时，b 1=1适合上式，所以b n =(12)n−1，选择条件③，设数列{a n }的公差为d ，所以1a n a n+1=1d (1a n−1an+1)，所以∑1a n a n+110n=1=1d[(1a 1−1a 2)+(1a 2−1a 3)+⋯+(1a 10−1a 11)]=1d (1a 1−1a 11)=10a1a 11=1021，又a 1=1，则a 11=21， 所以d =2，所以a n =2n −1，设数列{b n }的公比为q ，因为a 3=5，a 3b 4=58，可得b 4=18，又a 1=b 1=1，可得q =12，所以b n =(12)n−1，(2)a nb n=2n−1(12)n−1=(2n −1)·2n−1，所以M n =1×20+3×21+5×22+⋯+(2n −3)·2n−2+(2n −1)·2n−1，2M n =1×21+3×22+5×23+⋯+(2n −3)·2n−1+(2n −1)·2n ， 以上两式相减，并化简可得 M n =(2n −3)·2n +3．20.解：（1）设甲工程队的总造价为元，则．............3分当且仅当，即时，等号取到，，即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低，最低报价28800元；..5分（2）由题意无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功可得： 对恒成立，整理得：对恒成立，................................7分令，，当且仅当，即，等号取到，........................................10分，在上递增，，所以，综上的取值范围为.....................................................................12分21 (1)当1n =时，2111232a a a =+-，即211320a a --=，()()113210a a +-=，由10a >得11a =. 当2n ≥时，由2232n n n S a a =+-得2111232n n n S a a ---=+-，所以两式相减得2211233n n n n n a a a a a --=+--，所以()()1113n n n n n n a a a a a a ----+=+.由0n a >知10n n a a ->+，所以113n n a a --=， 所以数列{}n a 是首项11a =，公差13d =的等差数列.(2)由(1)得121(1)333n n a n =+-=+， 由12141,2b b a a a a ====,所以数列{}n b a 的公比221q ==， 所以数列{}n b a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n b a -=.又233n n b b a =+，所以12233n n n b b a -=+=，即1322n n b -=⋅-.(3)由()()121526n n n a a S n n +==+，得22155623292n n nn n nS n n b -++==+⨯⨯. 设25()292n n n S n nf n b +==+⨯， 则221222(1)5(1)(1)761269215()2102592n nn n f n n n n n n f n n n n n ++++++++⎛⎫⋅===+ ⎪+++⎝⎭⋅. 令(1)1()f n f n +>得22761210n n n n++>+，即2360n n +-<.由*n N ∈得1n =. 令(1)1()f n f n +<得2360n n +->，知*2,n n ≥∈N ，所以(1)(2),(2)(3)(4)()f f f f f f n <>>>⋯>， 又因为1414611361(1),(4)2183214444S S f f b b ===>===++，故当5n ≥时，1()4f n <， 所以满足124n n S b <+的最小正整数n 为5.22解：（1）设椭圆的焦距为2c （0c >），因为2222c e a ab a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，所以2a =，1b =，c =所以椭圆的标准方程为2214x y +=（2）设直线l ：+1x my =交椭圆于()11,P x y ，()22,Q x y ， 联立22144x my x y =+⎧⎨+=⎩，化简得()224230m y my ++-=， 由根与系数关系得12212202434m y y m y y m ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩所以1212OPQ S OD y y ∆=⨯⨯-==令23t m =+，3t ≥，故 OPQ S ∆== 当[)3,t ∈+∞，12t t ++单调递增，故3t =时，POQS ∆（3）证：因为111121212212122221332y k x y my my y y y k my y my y y x +--==⋅=++-， 由第（2）问知121223y y my y +=，即()121232my y y y =+ 将其代入上式得1212121312239322y y k k y y +==+为常数，即证 解法2：设直线1A P ：()12y k x =+， 联立()()222211112221416164044y k x k x k x k x y ⎧=+⇒+++-=⎨+=⎩，因为2-，1x 是该方程的根， 所以22111122111642821414k k x x k k ---⋅=⇒=++，故2112211284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭； 设直线1A Q ：()22y k x =-， 联立()()222222222221416164044y k x k x k x k x y ⎧=-⇒+-+-=⎨+=⎩，因为2-，1x 是该方程的根， 所以22222222221648221414k k x x k k ---⋅=⇒=++，故2222222824,1414k k Q k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭； 因为P ，D ，Q 三点共线，12212221222124414142882111414PD PQk k k k k k k k k k -++=⇒=----++化简得()()12124130k k k k +-=，因为12410k k +>，所以1230k k -=，即1213k k =。

2020学年高二（上）期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）数列{n+2n}中的第4项是．2．（5分）抛物线x2=4y的准线方程为．3．（5分）若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是．4．（5分）已知等差数列{a n}，其中a1=，a2+a5=4，a n=33，则n的值为．5．（5分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为．6．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若27a3﹣a6=0，则=．7．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是．8．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．9．（5分）已知数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求S5．10．（5分）已知椭圆：的焦距为4，则m为．11．（5分）若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是．12．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．13．（5分）将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第100项，即a100=．14．（5分）若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是．二.解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）求适合下列条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，﹣6）；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．16．（14分）已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+4（1）若k=﹣5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，a n有最小值．并求出最小值，（2）对于n∈N*，都有a n＞a n，求实数k的取值范围．+117．（14分）某厂家计划在2016年举行商品促销活动，经调查测算，该商品的年销售量m万件与年促销费用x万元满足：m=3﹣，已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家的产量等于销售量，而销售收入为生产成本的1.5倍（生产成本由固定投入和再投入两部分资金组成）．（1）将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（2）该厂2016年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？18．（16分）（1）解关于x的不等式：（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2（a∈R）；（2）如果x=a2﹣4在上述不等式的解集中，求实数a的取值范围．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2．（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足=，求椭圆C的离心率的取值范围．20．（16分）已知递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，4S n﹣4n+1=a n2．设b n=，n∈N*，且数列{b n}的前n项和为T n．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）试求所有的正整数m，使得为整数；（3）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+18（﹣1）n+1恒成立，求实数λ的取值范围．二.高二数学试题（第二卷）21．（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60）内的汽车有辆．22．（5分）若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为．23．（5分）已知命题甲是“{x|≥0}”，命题乙是“{x|log3（2x+1）≤0}”，则甲是乙的条件．（从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选填）24．（5分）下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）25．（10分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．26．（10分）将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．（1）甲从中任意抽取2张，求抽出的2张都为A的概率；（2）若甲已抽到了2张K后未放回，求乙抽到2张A的概率．参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）数列{n+2n}中的第4项是20．【分析】根据题意，可得数列的通项a n=n+2n，将n=4代入通项计算可得答案．【解答】解：根据题意，数列{n+2n}的通项a n=n+2n，则其第4项a4=4+24=20；故答案为：20．【点评】本题考查数列的通项公式，涉及数列的表示方法，关键是理解数列通项公式的定义．2．（5分）抛物线x2=4y的准线方程为y=﹣1．【分析】由抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣即可求得抛物线x2=4y的准线方程．【解答】解：∵抛物线方程为x2=4y，∴其准线方程为：y=﹣1．故答案为：y=﹣1．【点评】本题考查抛物线的简单性质，掌握其几何性质是关键，属于基础题．3．（5分）若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（0，2）．【分析】因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，由此能求出a的取值范围．【解答】解：因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，解得0＜a＜2，故答案为：（0，2）．【点评】本题考查二元一次不等式的几何意义，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．4．（5分）已知等差数列{a n}，其中a1=，a2+a5=4，a n=33，则n的值为50．【分析】由已知求得等差数列的公差，代入a n=33可求n的值．【解答】解：在等差数列{a n}，由a1=，a2+a5=4，得2a1+5d=4，即，．∴，由a n=33，得，解得：n=50．故答案为：50．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．5．（5分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为3．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．6．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若27a3﹣a6=0，则=28．【分析】设出等比数列的首项和公比，由已知求出公比，代入等比数列的前n 项和得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，由27a3﹣a6=0，得27a3﹣a3q3=0，即q=3，∴=．故答案为：28．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．7．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是5．【分析】将方程变形，代入可得3x+4y=（3x+4y）（）=×3，然后利用基本不等式即可求解．【解答】解：∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0∴∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3=5当且仅当即x=2y=1时取等号故答案为：5【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑8．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．【分析】运用双曲线的渐近线方程为y=±，结合条件可得=，即可得到a 的值．【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±，由题意可得=，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．9．（5分）已知数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求S5．【分析】由a2•a3=2a1=a1•a4，可得a4=2，再由a4与2a7的等差中项为，得a4 +2a7 =，故有a7 =．求出首项和公比，再利用等比数列的前n项和公式求出s5．【解答】解：数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1=a1•a4，可得a4=2．再由a4与2a7的等差中项为，可得a4 +2a7 =，故有a7 =．∴q3==，∴q=，∴a1=16．∴s5==31．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于中档题．10．（5分）已知椭圆：的焦距为4，则m为4或8．【分析】分焦点在x，y轴上讨论，结合焦距为4，可求m的值．【解答】解：由题意，焦点在x轴上，10﹣m﹣m+2=4，所以m=4；焦点在y轴上，m﹣2﹣10+m=4，所以m=8，综上，m=4或8．故答案为：m=4或8．【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生对椭圆方程的理解，属于基础题．11．（5分）若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是[4，+∞）或（﹣∞，0] ．【分析】由题意可知===++2．由此可知的取值范围．【解答】解：在等差数列中，a1+a2=x+y；在等比数列中，xy=b1•b2．∴===++2．当x•y＞0时，+≥2，故≥4；当x•y＜0时，+≤﹣2，故≤0．答案：[4，+∞）或（﹣∞，0]【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考．12．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．【分析】设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．【解答】解：设Q（m，n），由题意可得，由①②可得：m=，n=，代入③可得：，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．13．（5分）将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第100项，即a100=5252．【分析】根据题意，分析所给的图形可得a n﹣a n﹣1=n+2（n≥2），结合a1的值，可得a100=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a100﹣a99），代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，分析相邻两个图形的点数之间的关系：a2﹣a1=4，a3﹣a2=5，…由此我们可以推断：a n﹣a n﹣1=n+2（n≥2），又由a1=5，所以a100=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a100﹣a99）=5+4+5+…+102=5+=5252；即a100=5252；故答案为：5252．【点评】本题考查数列的表示方法，涉及归纳推理的运用，关键是依据图形，发现变化的规律．14．（5分）若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是20．【分析】用换元法，设=x，=y，则x≥0，y≥0；求出b与a的解析式，由a=+2得出y与x的关系式，再根据其几何意义求出a的最大值．【解答】解：设=x，=y，且x≥0，y≥0；∴b=x2，4a﹣b=y2，即a==；∴a=+2可化为=y+2x，即（x﹣4）2+（y﹣2）2=20，其中x≥0，y≥0；又（x﹣4）2+（y﹣2）2=20表示以（4，2）为圆心，以2为半径的圆的一部分；∴a==表示圆上点到原点距离平方的，如图所示；∴a的最大值是×（2r）2=r2=20故答案为：20．【点评】本题考查了给出条件求最值的应用问题，主要考查了换元法和圆的方程的运用问题，考查了数形结合和运算能力，属于中档题．二.解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）求适合下列条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，﹣6）；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．【分析】（1）设椭圆的标准方程为=1，或，a＞b＞0，由已知得a=2b，且椭圆过点（2，﹣6），由此能求出椭圆的标准的方程．（2）设椭圆的标准方程为=1，a＞b＞0，由已知条件推导出c=b=3，由此能求出椭圆的标准方程．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为=1，或，a＞b＞0，∵长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b，①∵椭圆过点（2，﹣6），∴=1，或=1，②由①②，得a2=148，b2=37或a2=52，b2=13，故所求的方程为或．（2）设椭圆的标准方程为=1，a＞b＞0，∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，∴△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且OF=c，A1A2=2b，∴c=b=3．∴a2=b2+c2=18．故所求椭圆的方程为．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．16．（14分）已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+4（1）若k=﹣5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，a n有最小值．并求出最小值，＞a n，求实数k的取值范围．（2）对于n∈N*，都有a n+1【分析】（1）将k=﹣5代入可知a n=（n﹣1）（n﹣4），进而令a n＜0可得负数项，通过配方可得最小值；＞a n化简得k＞﹣2n﹣1，进而可知k＞﹣2﹣1=﹣3．（2）通过a n+1【解答】解：（1）若k=﹣5，则a n=n2﹣5n+4=（n﹣1）（n﹣4），令a n＜0，则1＜n＜4，∴数列中第2、3项共2项为负数，∵f（x）=x2﹣5x+4是开口向上，对称轴x=的抛物线，∴当n=2或3时，a n有最小值22﹣5×2+4=﹣2；（2）依题意，a n＞a n，即（n+1）2+k（n+1）+4＞n2+kn+4，+1整理得：k＞﹣2n﹣1，＞a n，又∵对于n∈N*，都有a n+1∴k大于﹣2n﹣1的最大值，∴k＞﹣2﹣1=﹣3．【点评】本题考查数列的递推式，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．17．（14分）某厂家计划在2016年举行商品促销活动，经调查测算，该商品的年销售量m万件与年促销费用x万元满足：m=3﹣，已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家的产量等于销售量，而销售收入为生产成本的1.5倍（生产成本由固定投入和再投入两部分资金组成）．（1）将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（2）该厂2016年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【分析】（1）由题目中，每件产品的销售价格为 1.5×（万元），则利润y=m[1.5×]﹣（8+16m+x），整理即可．（2）对（1）利润函数y=﹣[+（x+1）]+29（x≥0），利用基本不等式求最大值即可．【解答】解：（1）由题意知，每件产品的销售价格为1.5×（万元），∴利润函数y=m[1.5×]﹣（8+16m+x）=4+8m﹣x=﹣[+（x+1）]+29（x≥0）．（2）因为利润函数y=﹣[+（x+1）]+29（x≥0），所以，当x≥0时，+（x+1）≥8，∴y≤﹣8+29=21，当且仅当=x+1，即x=3（万元）时，y max=21（万元）．所以，该厂家2016年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．【点评】本题考查了商品利润函数模型的应用，也考查了基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）的灵活运用，是中档题．目．18．（16分）（1）解关于x的不等式：（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2（a∈R）；（2）如果x=a2﹣4在上述不等式的解集中，求实数a的取值范围．【分析】（1）把原不等式右边的未知项移项到左边进行合并，同时右边的式子分解因式，然后根据a﹣1大于0，a﹣1等于0及a﹣1小于0三种情况，根据不等式的基本性质把x的系数化为1，分别求出原不等式相应的解集即可；（2）解法一：分两种情况：a大于1时，根据相应的解集列出关于a的不等式组；同理a小于1时列出相应的不等式组，求出两不等式组解集的并集即可得到a的范围；解法二：把x=a2﹣4代入原不等式中化简，得到关于a的不等式，画出相应的图形，根据图形即可得到满足题意的a的取值范围．【解答】解：（1）（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2，（a2+a﹣1）x﹣a2x＞a2+a﹣2，（a﹣1）x＞a2+a﹣2，（a﹣1）x＞（a﹣1）（a+2），当a＞1时，解集为{x|x＞a+2}；当a=1时，解集为∅；当a＜1时，解集为{x|x＜a+2}；（2）解法一：由题意，或，分别化为：或，解得：a＞3或﹣2＜a＜1，则实数a的取值范围为（﹣2，1）∪（3，+∞）；解法二：将x=a2﹣4代入原不等式，并整理得：（a+2）（a﹣1）（a﹣3）＞0，根据题意画出图形，如图所示：根据图形得：实数a的取值范围为（﹣2，1）∪（3，+∞）．【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了分类讨论及数形结合的思想，第二小题有两种解法：一种是利用转化的思想，讨论a大于1和a小于1，根据第一问求出的解集列出相应的不等式组；另一种是直接把x的值代入原不等式，借助图形来求解．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2．（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足=，求椭圆C的离心率的取值范围．【分析】（1）由题意可得a2﹣b2=1，代入已知点，可得a，b的方程，解方程即可得到所求椭圆方程；（2）设P（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到P的轨迹方程，由题意和圆相交的条件，结合离心率公式，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，又代入点（，1），可得+=1，解方程可得a=，b=，即有椭圆的方程为+=1；（2）由题意方程可得F（﹣1，0），设P（x，y），由PA=PF，可得=•，化简可得x2+y2=2，由c=1，即a2﹣b2=1，由椭圆+=1和圆x2+y2=2有交点，可得b2≤2≤a2，又b=，可得≤a≤，即有离心率e=∈[，]．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用方程的思想，考查轨迹方程的求法，以及椭圆和圆相交的关系，考查运算能力，属于中档题．20．（16分）已知递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，4S n﹣4n+1=a n2．设b n=，n∈N*，且数列{b n}的前n项和为T n．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）试求所有的正整数m，使得为整数；（3）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+18（﹣1）n+1恒成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）由已知条件推导出a n﹣2=a n﹣1（n≥2）或a n﹣2=﹣a n﹣1（n≥2），由此能证明数列{a n}为等差数列．（2）由a n=2n﹣1，知=1﹣，由此能求出所有的正整数m，使得为整数．（3）由a n=2n﹣1，知，由此利用裂项求和法结合已知条件能求出实数λ的取值范围．【解答】（1）证明：由，得，…（2分）所以，即，即（n≥2），所以a n﹣2=a n﹣1（n≥2）或a n﹣2=﹣a n﹣1（n≥2），即a n﹣a n﹣1=2（n≥2）或a n+a n﹣1=2（n≥2），…（4分）若a n+a n﹣1=2（n≥2），则有a2+a1=2，又a1=1，所以a2=1，则a1=a2，这与数列{a n}递增矛盾，所以a n﹣a n﹣1=2（n≥2），故数列{a n}为等差数列．…（6分）（2）解：由（1）知a n=2n﹣1，所以==，…（8分）因为，所以，又2m﹣1≥1且2m﹣1为奇数，所以2m﹣1=1或2m﹣1=3，故m的值为1或2．…（10分）（3）解：由（1）知a n=2n﹣1，则，所以T n=b1+b2+…+b n==，…（12分）从而对任意n∈N*恒成立等价于：当n为奇数时，恒成立，记，则≥49，当n=3时取等号，所以λ＜49，当n为偶数时，恒成立．记，因为递增，所以g（n）min=g（2）=﹣40，所以λ＜﹣40．综上，实数λ的取值范围为λ＜﹣40．…（16分）【点评】本题考查等差数列的证明，考查满足条件的所有的正整数的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要注意裂项求和法的合理运用．二.高二数学试题（第二卷）21．（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60）内的汽车有80辆．【分析】由频率分布直方图先求出时速在区间[40，60）内的汽车的频率，由此能求出时速在区间[40，60）内的汽车数量．【解答】解：由频率分布直方图得：时速在区间[40，60）内的汽车的频率为（0.01+0.03）×10=0.4．∴时速在区间[40，60）内的汽车有0.4×200=80（辆）．故答案为：80．【点评】本题考查频数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．22．（5分）若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为．【分析】由甲与丙都不在第一天值班，得乙在第一天值班，由此能求出甲与丙都不在第一天值班的概率．【解答】解：随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，∵甲与丙都不在第一天值班，∴乙在第一天值班，∵第一天值班一共有3种不同安排，∴甲与丙都不在第一天值班的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．23．（5分）已知命题甲是“{x|≥0}”，命题乙是“{x|log3（2x+1）≤0}”，则甲是乙的必要不充分条件．（从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选填）【分析】利用不等式的解法分别化简甲乙命题，进而判断出结论．【解答】解：命题甲：≥0，化为x（x﹣1）（x+1）≥0，且x≠1，解得：﹣1≤x≤0，或x＞1．命题乙：log3（2x+1）≤0，化为0＜2x+1≤1，解得：0．则甲是乙的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．24．（5分）下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是②、③．（把所有正确命题序号都填上）【分析】利用命题的否定的形式判断出①错；利用含量词的命题的否定形式判断出②对；利用复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系判断出③对；利用对数函数的单调性判断出④错．【解答】解：对于①，由于否命题是对命题的条件、结论同时否定，①只否定了结论，条件没否定，故①错；对于②，由于含量词的命题有否定公式是：量词交换，结论否定，故②对；对于③，因为”￢p“为真，故p假；因为“p或q”为真，所以p，q有真，所以q 一定为真，故③对；对于④，因为0＜a＜1，y=log a x是减函数，∵∴，故④错．故答案为：②③【点评】本题考查命题的否定与命题的否命题的区别：命题的否定是将命题全盘否定，一般只将结论否定即可；二否命题是条件、结论同时否定．注意对数函数的单调性与底数的范围有关．25．（10分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k ﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．【分析】分别求出p，q为真时的k的范围，根据p，q一真一假，得到关于k 的不等式组，解出即可．【解答】解：∵y=kx+1在R递增，∴k＞0，由∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，得方程x2+（2k﹣3）x+1=0有根，∴△=（2k﹣3）2﹣4≥0，解得：k≤或k≥，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q假，则，∴＜k＜；②若p假q真，则，∴k≤0；综上k的范围是（﹣∞，0]∪（，）．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查一次函数以及二次函数的性质，是一道中档题．26．（10分）将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．（1）甲从中任意抽取2张，求抽出的2张都为A的概率；（2）若甲已抽到了2张K后未放回，求乙抽到2张A的概率．【分析】（1）甲从中任意抽取2张，基本事件总数n==66，抽出的2张都为A包含的基本事件个数m=，由此能求出抽出的2张都为A的概率．（2）甲已抽到了2张K后未放回，余下10张中抽出2张的方法有=45，抽出的两张都是A的方法有，由此能求出乙抽到2张A的概率．【解答】解：（1）将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．甲从中任意抽取2张，基本事件总数n==66，抽出的2张都为A包含的基本事件个数m=，∴抽出的2张都为A的概率p==．（2）甲已抽到了2张K后未放回，余下10张中抽出2张的方法有=45，抽出的两长都是A的方法有，∴乙抽到2张A的概率p==．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．。

江苏省仪征中学201X-201X 学年度高二上学期数学期中试卷注意事项:1．本试题由填空题和解答题两部分组成,满分160分，考试时间为120分钟.2. 答题前，请您务必将自己的学校、班级、姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.3. 作题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.一 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.已知命题p ：“有的实数没有平方根。

”，则非p 是 。

2. 已知椭圆两个焦点坐标分别是（5,0），（－5，0），椭圆上一点P 到两个焦点的距离之和为26，则椭圆的方程为 ▲ 。

3.“若a ＞b ，则ba 22>”的逆否命题为 ▲ 。

4.若点（a ，b ）在直线x ＋3y ＝1上，则ba 82+的最小值为 ▲ 。

5. 方程1)1(22+=-+k y k x 表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围是 ▲ 。

6.双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为6，虚轴长为8，则双曲线的标准方程是 ▲ 。

7. 椭圆16422=+y x 的焦点坐标是 ▲ 。

8.若抛物线顶点为（0，0），对称轴为x 轴，焦点在3x-4y-12=0上，那么抛物线的方程为 ▲ 。

9.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F （1,0），直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，线段AB 的中点坐标为（2,2），则直线l 的方程为 ▲ 。

10.命题甲：“双曲线C 的方程为x a y b22221-=（a ＞0，b ＞0）”，命题乙：“双曲线C 的渐近线方程为y bax =±”，那么甲是乙的 ▲ 。

（下列答案中选填一个： 充分不必要条件； 必要不充分条件 ； 充要条件 ；既不充分也不必要条件.）.11. 在等差数列｛a n ｝中，已知a 14＋a 15＋a 17＋a 18＝82，则S 31＝ ▲ . 12. 在等比数列{}n a 中，若2,48,93===q a S n n ，则n= ▲ .13.已知双曲线C ：10x 2－62y ＝1，抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点为双曲线的左焦点，则抛物线的标准方程是 ▲ .14. 设P 是椭圆1162522=+y x 上的一点，F 1、F 2是焦点，若∠F 1PF 2=60º，则ΔPF 1F 2的面积为▲ .二、 解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（14分）已知双曲线的方程为369422=-y x ，求双曲线的顶点坐标，焦点坐标，离心率，准线方程，渐近线方程.16．（14分）已知a 、b 、c A 、B 、C 的对边，△ABC 的外接圆半222c ab b a +=+.（1）求角C 与边c.（2.17.（15分）已知p ：关于x 的方程012=++mx x 有两个不相等的负数根q ：关于x 的方程01)2(442=+-+x m x 无实根；如果复合命题“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围.18. （15分）已知等差数列}{n a 中，82=a ，前10项的和18510=S .（1）求数列}{n a 的通项公式n a ；（2）求从数列}{n a 中依次取出第2，4，8，…，n2，…项按原来的顺序排成一个新的数列}{n b ，试求新数列}{n b 的前n 项的和n T .19.（16分）如图在直角梯形ABCD 中，AD=3，AB=4，BC=，曲线DE 上任一点到A 、B 两点距离之和为常数. （1）建立适当的坐标系，求曲线DE 的方程；（2）过C 点作一条与曲线DE 相交且以C 为中点的弦，求出弦所在直线的方程.20.（16分）如图，椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的焦点F 1、F 2和短轴的一个端点A 构成等边三角形，点（3，23）在椭圆C 上，直线l 为椭圆C 的左准线， ⑴求椭圆C 的方程；⑵设P 是椭圆C 上的点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，以Q 为圆心，PQ 为半径作圆Q ，当点F 1在该圆上时，求圆的方程.理科数学答案1. 所有实数都有平方根。

2020年江苏省扬州市仪征市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）一个数的相反数是﹣2020，则这个数是（）A．2020B．﹣2020C．D．2．（3分）下列计算中，正确的是（）A．（2a）3＝2a3B．a3+a2＝a5C．a8÷a4＝a2D．（a2）3＝a6 3．（3分）下列四个腾讯软件图标中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列几何体，它的主视图、左视图、俯视图都相同的是（）A．B．C．D．5．（3分）方程组的解为，则点P（a，b）在第（）象限．A．一B．二C．三D．四6．（3分）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．不能确定7．（3分）已知P（a，m）、Q（b，n）是反比例函数y＝﹣（其中k为常数）图象上两点，且b＜0＜a，则下列结论一定正确的是（）A．m＞n B．m+n＞0C．m＜n D．m+n＜08．（3分）如图，2×5的正方形网格中，用5张1×2的矩形纸片将网格完全覆盖，则不同的覆盖方法有（）A．3种B．5种C．8种D．13种二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）9．（3分）据数据显示，截至北京时间2020年3月30日7时14分，全球新冠肺炎确诊病例达72万例，将“72万”这个数字用科学记数法表示为．10．（3分）若2a﹣b＝5，则多项式6a﹣3b的值是．11．（3分）若式子有意义，则实数x的取值范围是．12．（3分）分解因式：4a2﹣16＝．13．（3分）宁宁同学设计了一个计算程序，如下表输入数据12345…输出数据a…根据表格中的数据的对应关系，可得a的值是．14．（3分）在如图所示的正方形网格中，∠1∠2．（填“＞”，“＝”，“＜”）15．（3分）如图所示，DE∥BF，∠D＝53°，∠B＝30°，DC平分∠BCE，则∠DCE的度数为．16．（3分）在同一直角坐标系中，P、Q分别是y＝﹣x+3与y＝3x﹣5的图象上的点，且P、Q关于x轴对称，则点P的坐标是．17．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E为对角线AC上一点，EF⊥DE交AB于F，若四边形AFED的面积为4，则四边形AFED的周长为．18．（3分）已知实数a、b、c，满足a2﹣a+b＝0，c＝4a2﹣4a+b2﹣，则实数c的取值范围是．三．解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤）19．（8分）（1）计算：（﹣2）0﹣（﹣1）2020+﹣sin45°；（2）化简：÷（）．20．（8分）解不等式组：，并写出它的非负整数解．21．（8分）“低碳环保，你我同行”．仪征市区的公共自行车给市民出行带来不少方便．我校数学社团小学员走进小区随机选取了市民进行调查，调查的问题是“您大概多久使用一次公共自行车？”，将本次调查结果归为四种情况：A．每天都用；B．经常使用；C．偶尔使用；D．从未使用．将这次调查情况整理并绘制如下两幅统计图：根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次活动共有位市民参与调查；（2）补全条形统计图；（3）根据统计结果，若市区有26万市民，请估算每天都用公共自行车的市民约有多少人？22．（8分）小聪、小明是某中学九年级的同班同学，在2020年的普通高中招生考试中，他俩都想被同一所高中录取，这所高中有A、B、C三个实验班，他俩希望能再次成为同班同学．（1）小聪如愿以偿的被这所高中录取，并被编入实验班，则他被编入A班的概率是；（2）若两人都被这所高中录取，并都被编入实验班，求两人再次成为同班同学的概率．23．（10分）扬州市某土特产商店购进960盒绿叶牌牛皮糖，由于进入旅游旺季，实际每天销售的盒数比原计划每天多20%，结果提前2天卖完．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．24．（10分）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定T（a，b，c）＝为该“全整方程”的“全整数”．（1）判断方程x2﹣x﹣1＝0是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m为整数，且满足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整数”．25．（10分）如图，在▱ABCD中，DE⊥BC于点E，过点A作AF∥DE，交CB的延长线于点F，连接DF，交AB于点P．（1）若AD＝4，tan C＝3，BF＝1，求DF的长；（2）若∠APD＝2∠ADP，求证：DF＝2AP．26．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）按要求尺规作图，保留作图痕迹①作∠ABC平分线交AC于F点，②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆⊙M；（2）在（1）所作图形中，证明⊙M与边AC相切；（3）在（1）所作图形中，若∠CFB＝∠CBA，BC＝3，求⊙M的半径．27．（12分）已知如图，抛物线y＝x2+mx+n的顶点为（1，﹣），其图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）m＝，n＝；（2）点P在抛物线的对称轴上，当∠APC＝∠BAC时，求点P的坐标；（3）点M为线段AC的中点，点N是线段AB上的动点，在△ABC绕点C按逆时针方向旋转的过程中，点N的对应点是点N′，直接写出线段MN′长度的最大值和最小值．28．（12分）已知：矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是线段AD上一点，连接CP，点E在对角线AC上（不与点A，C重合），∠CPE＝∠ACB，PE的延长线与BC交于点F．（1）如图1，当AP＝2时，求CF的长；（2）如图2，当PF⊥BC时，求AP的长；（3）当△PFC是等腰三角形时，求AP的长．2020年江苏省扬州市仪征市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）一个数的相反数是﹣2020，则这个数是（）A．2020B．﹣2020C．D．【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：∵一个数的相反数是﹣2020，∴这个数是：2020．故选：A．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（3分）下列计算中，正确的是（）A．（2a）3＝2a3B．a3+a2＝a5C．a8÷a4＝a2D．（a2）3＝a6【分析】根据积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方进行计算即可．【解答】解：A、（2a）3＝8a3，故本选项错误；B、a3+a2不能合并，故本选项错误；C、a8÷a4＝a4，故本选项错误；D、（a2）3＝a6，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．3．（3分）下列四个腾讯软件图标中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4．（3分）下列几何体，它的主视图、左视图、俯视图都相同的是（）A．B．C．D．【分析】根据几何体的三视图，可得答案．【解答】解：A、主视图俯视图都是矩形，左视图是正方形，故A不符合题意；B、主视图、左视图是三角形，俯视图是圆，故B不符合题意；C、主视图、左视图、俯视图都是圆，故C符合题意；D、主视图、左视图都是矩形，俯视图是三角形，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．5．（3分）方程组的解为，则点P（a，b）在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【分析】把x，y的值代入所给方程组可得a，b的值，可得a，b的符号，进而可得所在象限．【解答】解：把方程的解代入所给方程组得，解得，∴点P（a，b）在第一象限，故选：A．【点评】考查二元一次方程组的解及象限的相关知识．能够正确得到a，b的具体值是解决本题的关键．6．（3分）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．不能确定【分析】根据圆周角定理得到∠D＝∠AOC，根据平行四边形的性质，得到∠B＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质，得到∠B+∠D＝180°，得到答案．【解答】解：∠D＝∠AOC，∵四边形OABC是平行四边形，∴∠B＝∠AOC，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，3∠D＝180°，∴∠D＝60°，故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．7．（3分）已知P（a，m）、Q（b，n）是反比例函数y＝﹣（其中k为常数）图象上两点，且b＜0＜a，则下列结论一定正确的是（）A．m＞n B．m+n＞0C．m＜n D．m+n＜0【分析】根据反比例函数y＝﹣中的﹣（1+k2）＜0知，该函数图象位于第二、四象限，且y随x的增大而增大，由此进行分析判断．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中的﹣（1+k2）＜0，∴该函数图象位于第二、四象限．∵b＜0＜a，∴点P（a，m）位于第四象限，点Q（b，n）位于第二象限，∴m＜0＜n．无法判断（m+n）的符号．观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意，得到点P（a，m）位于第四象限，点Q（b，n）位于第二象限是解题的关键所在．8．（3分）如图，2×5的正方形网格中，用5张1×2的矩形纸片将网格完全覆盖，则不同的覆盖方法有（）A．3种B．5种C．8种D．13种【分析】全部竖排1种；3个竖排，2个横排，把2个横排的看作一个整体，4选1，有4种；一个竖排，4个横排，每两个横排看作一个整体，3选1，有3种；+0 加在一起，即可得解．【解答】解：如图所示，直线代表一个1×2的小矩形纸片：1+4+3＝8（种）．答：不同的覆盖方法有8种．故选：C．【点评】此题考查了计数方法，关键是将覆盖方法分为3种情况：全部竖排1种；3个竖排，2个横排，把2个横排的看作一个整体；一个竖排，4个横排，每两个横排看作一个整体．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）9．（3分）据数据显示，截至北京时间2020年3月30日7时14分，全球新冠肺炎确诊病例达72万例，将“72万”这个数字用科学记数法表示为7.2×105．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，10的指数n比原来的整数位数少1．【解答】解：72万＝720000＝7.2×105，故答案为：7.2×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．（3分）若2a﹣b＝5，则多项式6a﹣3b的值是15．【分析】将多项式提公因式，得到3（2a﹣b），然后将2a﹣b＝5直接代入即可．【解答】解：∵2a﹣b＝5，∴6a﹣3b＝3（2a﹣b）＝3×5＝15．故答案为15．【点评】本题考查了代数式求值，应用整体思想是解题的关键．11．（3分）若式子有意义，则实数x的取值范围是x≥1．【分析】根据二次根式的性质可以得到x﹣1是非负数，由此即可求解．【解答】解：依题意得x﹣1≥0，∴x≥1．故答案为：x≥1．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题．12．（3分）分解因式：4a2﹣16＝4（a+2）（a﹣2）．【分析】首先提取公因式4，进而利用平方差公式进行分解即可．【解答】解：4a2﹣16＝4（a2﹣4）＝4（a+2）（a﹣2）．故答案为：4（a+2）（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式形式是解题关键．13．（3分）宁宁同学设计了一个计算程序，如下表输入数据12345…输出数据a…根据表格中的数据的对应关系，可得a的值是．【分析】分析输入、输出的数据可得：输出数据是，依此可得a的值．【解答】解：根据题意有，a的值是＝．故答案为：．【点评】本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．本题的关键规律为：输出数据是．14．（3分）在如图所示的正方形网格中，∠1＞∠2．（填“＞”，“＝”，“＜”）【分析】由正切的定义可得出tan∠1＝，tan∠2＝，由＞且∠1，∠2均为锐角可得出∠1＞∠2，此题得解．【解答】解：在Rt△ABE中，tan∠1＝＝；在Rt△BCD中，tan∠2＝＝．∵＞，且∠1，∠2均为锐角，∴tan∠1＞tan∠2，∴∠1＞∠2．故答案为：＞．【点评】本题考查了解直角三角形，由正切的定义找出tan∠1＞tan∠2是解题的关键．15．（3分）如图所示，DE∥BF，∠D＝53°，∠B＝30°，DC平分∠BCE，则∠DCE的度数为23°．【分析】根据平行线的性质求出∠F AC＝∠D，根据三角形外角的性质可得∠ACB，再根据角平分线定义即可求解．【解答】解：∵DE∥BF，∠D＝53°，∴∠F AC＝∠D＝53°，∵∠B＝30°，∴∠ACB＝23°，∵DC平分∠BCE，∴∠DCE＝23°．故答案为：23°．【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线定义的应用，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．16．（3分）在同一直角坐标系中，P、Q分别是y＝﹣x+3与y＝3x﹣5的图象上的点，且P、Q关于x轴对称，则点P的坐标是（1，2）．【分析】设点P的坐标为（m，﹣m+3），由点P，Q关于x轴对称可得出点Q的坐标为（m，m﹣3），结合点Q在一次函数y＝3x﹣5的图象上，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再将其代入点P的坐标中即可得出结论．【解答】解：设点P的坐标为（m，﹣m+3），则点Q的坐标为（m，m﹣3），∵点Q在一次函数y＝3x﹣5的图象上，∴m﹣3＝3m﹣5，∴m＝1，∴点P的坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标以及解一元一次方程，利用一次函数图象上点的坐标特征结合点P，Q关于x轴对称，找出关于m的一元一次方程．17．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E为对角线AC上一点，EF⊥DE交AB于F，若四边形AFED的面积为4，则四边形AFED的周长为4+2．【分析】连接BE，DF，过E作EN⊥BF于点N，证明△DCE≌△BCE和△BEF为等腰三角形，设AF＝x，用x表示DE与EF，由根据四边形ADEF的面积为4，列出x的方程求得x，进而求得四边形ADEF的周长．【解答】解：如图，连接BE，DF，过E作EN⊥BF于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴CB＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°，在△BEC和△DEC中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴DE＝BE，∠CDE＝∠CBE，∴∠ADE＝∠ABE，∵∠DAB＝90°，∠DEF＝90°，∴∠ADE+∠AFE＝180°，∵∠AFE+∠EFB＝180°，∴∠ADE＝∠EFB，∴∠ABE＝∠EFB，∴EF＝BE，∴DE＝EF，设AF＝x，则BF＝3﹣x，∴FN＝BN＝BF＝，∴AN＝AF+FN＝，∵∠BAC＝∠DAC＝45°，∠ANF＝90°，∴EN＝AN＝，∴DE＝EF＝，∵四边形AFED的面积为4，∴S△ADF+S△DEF＝4，∴，解得，x＝﹣7（舍去），或x＝1，∴AF＝1，DE＝EF＝，∴四边形AFED的周长为：3+1++＝4+2．故答案为：4+2．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是由面积列出x的方程，属于中考选择题中的压轴题．18．（3分）已知实数a、b、c，满足a2﹣a+b＝0，c＝4a2﹣4a+b2﹣，则实数c的取值范围是c≥﹣1．【分析】根据已知条件得到：a2﹣a＝﹣b，将其整体代入c＝4a2﹣4a+b2﹣，然后利用配方法进行变形处理，利用非负数的性质求得答案．【解答】解：∵a2﹣a+b＝0，∴a2﹣a＝﹣b．∵﹣b＝a2﹣a＝（a﹣）2﹣≥﹣，∴b≤，∴c＝4a2﹣4a+b2﹣＝4（a2﹣a）+b2﹣＝﹣2b+b2﹣＝（b﹣1）2﹣∴当b＝时，c最小值＝﹣1，即c≥﹣1．故答案是：c≥﹣1．【点评】本题主要考查了配方法的应用和非负数的性质，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．三．解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤）19．（8分）（1）计算：（﹣2）0﹣（﹣1）2020+﹣sin45°；（2）化简：÷（）．【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和分母有理化进行计算；（2）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解后约分即可．【解答】解：（1）原式＝1﹣1+﹣＝0；（2）原式＝÷＝•x（x﹣1）＝x+1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了分式的混合运算．20．（8分）解不等式组：，并写出它的非负整数解．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，找出符合条件的x的非负整数解即可．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣，解不等式②，得x＜3．∴不等式组的解集为﹣＜x＜3．∴不等式组的非负整数解为0，1，2．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．21．（8分）“低碳环保，你我同行”．仪征市区的公共自行车给市民出行带来不少方便．我校数学社团小学员走进小区随机选取了市民进行调查，调查的问题是“您大概多久使用一次公共自行车？”，将本次调查结果归为四种情况：A．每天都用；B．经常使用；C．偶尔使用；D．从未使用．将这次调查情况整理并绘制如下两幅统计图：根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次活动共有200位市民参与调查；（2）补全条形统计图；（3）根据统计结果，若市区有26万市民，请估算每天都用公共自行车的市民约有多少人？【分析】（1）根据D类人数除以D所占的百分比，可得答案；（2）根据抽测人数乘以B类所占的百分比，C类所占的百分比，可得各类的人数，根据各类的人数，可得答案；（3）根据样本估计总体，可得答案．【解答】解：（1）本次活动共参与的市民30÷15%＝200人，故答案为：200；（2）B的人数有200×28%＝56人，C的人数有200×52%＝104人，A的人数有200﹣56﹣104﹣30＝10人，补全条形统计图如图：；（3）26×（1﹣28%﹣52%﹣15%）＝1.3（万人），答：每天都用公共自行车的市民约有1.3万人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）小聪、小明是某中学九年级的同班同学，在2020年的普通高中招生考试中，他俩都想被同一所高中录取，这所高中有A、B、C三个实验班，他俩希望能再次成为同班同学．（1）小聪如愿以偿的被这所高中录取，并被编入实验班，则他被编入A班的概率是；（2）若两人都被这所高中录取，并都被编入实验班，求两人再次成为同班同学的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和两人再次成为同班同学的情况数，根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）∵高中有A、B、C三个实验班，∴他被编入A班的概率是；故答案为：；（2）画树状图如下：由树形图可知共有9种等可能的结果数，分别为AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC，则两人再次成为同班同学的概率＝＝．【点评】本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（10分）扬州市某土特产商店购进960盒绿叶牌牛皮糖，由于进入旅游旺季，实际每天销售的盒数比原计划每天多20%，结果提前2天卖完．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．【分析】问题：求原计划每天销售多少盒绿叶牌牛皮糖？设原计划每天销售x盒绿叶牌牛皮糖，则实际每天销售1.2x盒绿叶牌牛皮糖，根据销售时间＝销售总量÷每天的销量结合提前2天卖完，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】问题：求原计划每天销售多少盒绿叶牌牛皮糖？解：设原计划每天销售x盒绿叶牌牛皮糖，则实际每天销售1.2x盒绿叶牌牛皮糖，根据题意，得：﹣＝2，解得：x＝80，经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意．答：原计划每天销售80盒绿叶牌牛皮糖．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．24．（10分）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定T（a，b，c）＝为该“全整方程”的“全整数”．（1）判断方程x2﹣x﹣1＝0是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m为整数，且满足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整数”．【分析】（1）解出方程x2﹣x﹣1＝0，即可得出结论；（2）先求出b2﹣4ac＝4m+29，再利用“全整方程”判断出4m+29是完全平方数，即可得出结论．【解答】解（1）是，理由：∵解方程x2﹣x﹣1＝0得x1＝﹣1，x2＝3，∴两个根均为整数，满足定义，∴方程为“全整方程”，∴T（a，b，c）＝＝﹣；（2）∵一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0，∴b2﹣4ac＝4m+29，∵5＜m＜22，即：49＜4m+29＜117，∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0是“全整方程”，∴b2﹣4ac是完全平方数，即4m+29是完全平方数，∴4m+29＝64或81或100，∵m为整数，∴m＝（舍去），m＝13，m＝（舍去），即原方程为x2﹣23x+112＝0，∴T（a，b，c）＝＝﹣．【点评】此题主要考查了解一元二次方程的方法，完全平方数的特征，判断出49＜4m+29＜117是解本题的关键．25．（10分）如图，在▱ABCD中，DE⊥BC于点E，过点A作AF∥DE，交CB的延长线于点F，连接DF，交AB于点P．（1）若AD＝4，tan C＝3，BF＝1，求DF的长；（2）若∠APD＝2∠ADP，求证：DF＝2AP．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥EF，进而利用矩形的判定和勾股定理解答即可；（2）连接AE交DF于点O，进而利用角边关系解答即可．【解答】证明：（1）在▱ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF．∵AF∥DE，∴四边形ADEF是平行四边形，∵DE⊥BC，∴∠DEF＝90°，∴四边形ADEF是矩形；∵在▱ABCD中，AB∥CD，tan C＝3，∴tan∠ABF＝tan C＝3，∵BF＝1，∴AF＝3，在Rt△ADF中，∴DF＝．（2）连接AE交DF于点O，∴OA＝OD，∴∠AOF＝2∠ADP，∵∠APD＝2∠ADP，∴AP＝AO，∵DF＝2OD，∴DF＝2AP．【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和解析的判定和性质解答．26．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）按要求尺规作图，保留作图痕迹①作∠ABC平分线交AC于F点，②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆⊙M；（2）在（1）所作图形中，证明⊙M与边AC相切；（3）在（1）所作图形中，若∠CFB＝∠CBA，BC＝3，求⊙M的半径．【分析】（1）①根据尺规作图过程作∠ABC平分线交AC于F点即可；②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆⊙M即可；（2）在（1）所作图形中，根据切线的判定即可证明⊙M与边AC相切；（3）在（1）所作图形中，根据∠CFB＝∠CBA，BC＝3，即可求⊙M的半径．【解答】解：（1）如图所示①BF即为所求；②如图所示⊙M为所求；（2）证明：∵M在BF的垂直平分线上，∴MF＝MB，又∵BF平分∠ABC，∴∠MBF＝∠CBF，∴∠CBF＝∠MFB，∴MF∥BC，∵∠C＝90°，∴FM⊥AC，∴⊙M与边AC相切；（3）∵∠CFB＝∠CBA，∴∠A＝∠CBF，∴∠A＝∠CBF＝∠ABF，∴∠A＝30°，∵BC＝3，∴AB＝6，设⊙M的半径为x，∴MF＝MB＝x，则AM＝2x，∵MB+AM＝AB，∴3x＝6，∴x＝2，∴⊙M的半径为2．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、切线的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．27．（12分）已知如图，抛物线y＝x2+mx+n的顶点为（1，﹣），其图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）m＝﹣，n＝﹣2；（2）点P在抛物线的对称轴上，当∠APC＝∠BAC时，求点P的坐标；（3）点M为线段AC的中点，点N是线段AB上的动点，在△ABC绕点C按逆时针方向旋转的过程中，点N的对应点是点N′，直接写出线段MN′长度的最大值和最小值．【分析】（1）由抛物线的对称轴方程可求出m，将点（1，﹣）代入解析式可得出答案；（2）以O为圆心，OC为半径作圆O，⊙O与x轴交于点D，与抛物线的对称轴交于点P1，P2，则∠BAC＝∠AP1C，由勾股定理求出P1E，则可求出点P1的坐标，则对称性可得出P2的坐标．（3）当点N在O处时CN最小，则BG最小，MN'最小；当点N在点B处时，CN最大，则BH最大，MN'最大，代入计算即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝+mx+n的顶点为，∴x＝﹣＝1，∴m＝﹣，∴，解得n＝﹣2，故答案为：﹣，﹣2；（2）以O为圆心，OC为半径作圆O，⊙O与x轴交于点D，与抛物线的对称轴交于点P1，P2，∵抛物线的解析式为y＝x﹣2，∴y＝0时，x＝﹣2或4，x＝0时，y＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣2），∴OA＝OC＝2，∴⊙O经过点A，∵OC⊥AB，∴∠BAC＝∠ADC，∵∠AP1C＝∠ADC，∴∠BAC＝∠AP1C，∵抛物线y＝x﹣2与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1，∴C（0，﹣2），∵OC＝2，OE＝1，∴OP1＝2，∴P1E＝＝＝，∴P1（1，）．∵P1与P2关于x轴对称，∴P2（1，﹣）．综合以上可得，满足条件的点P的坐标为（1，）或（1，﹣）；（3）∵AO＝OC＝2，∴AC＝2，∵M为AC的中点，∴CM＝AC＝，以C为圆心，OC为半径画圆交AC于点G，∴MN'的最小值为MG＝GC﹣MC＝2﹣，∵OC＝2，OB＝4，∴BC＝＝＝2，以C为圆心，CB为半径画圆交AC的延长线于点H，∴MN'的最大值＝MH＝MC+CH＝+2．即MN'的最小值为2﹣，最大值为+2．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．28．（12分）已知：矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是线段AD上一点，连接CP，点E在对角线AC上（不与点A，C重合），∠CPE＝∠ACB，PE的延长线与BC交于点F．（1）如图1，当AP＝2时，求CF的长；（2）如图2，当PF⊥BC时，求AP的长；（3）当△PFC是等腰三角形时，求AP的长．【分析】（1）如图1，先根据勾股定理计算AC＝10，PC＝6，证明△CEP∽△CP A，得，则CE＝7.2，计算AE＝10﹣7.2＝2.8，由平行线分线段成比例定理列比例式可得CF的长；（2）如图2，由（1）知：CE•CA＝CP2＝CD2+DP2，即可求解；（3）分PF＝PC、FC＝PC、FC＝FP三种情况，继续利用CE•CA＝CP2＝CD2+DP2，求解即可．【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，Rt△PDC中，∵AP＝2，∴PD＝CD＝6，∴PC＝＝6，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠CPE＝∠ACB，∴∠DAC＝∠CPE，∵∠PCE＝∠PCA，∴△CEP∽△CP A，∴，即，∴CE＝7.2，∴AE＝10﹣7.2＝2.8，∵AP∥CF，∴，即，∴CF＝；（2）如图2，∵AD∥BC，PF⊥BC，∴AD⊥PF，∴∠APE＝90°，tan∠DAC＝＝，设EP＝3x，AP＝4x，则AE＝5x，BF＝AP＝4x，∴CE＝10﹣5x，PD＝8﹣4x，由（1）知：CP2＝CE•AC，Rt△PCD中，PC2＝PD2+CD2，∴PD2+CD2＝CE•AC，∴62+（8﹣4x）2＝10（10﹣5x），解得：x＝0（舍）或x＝，∴AP＝4x＝；（3）分三种情况：①当PF＝PC时，如图3，设AP＝x，则PD＝8﹣x，CF＝2PD＝16﹣2x，∵AP∥CF，∴，∴CE＝，由（2）知：用CE•CA＝CP2＝CD2+DP2，∴＝62+（8﹣x）2，∵x≠0，∴x2﹣32x+156＝0，（x﹣6）（x﹣26）＝0，x＝6或26（舍），∴AP＝6；②当FC＝PC，如图4，连接AF，∴∠CPE＝∠CFP＝∠APE＝∠ACB＝∠P AC，∴AE＝EP，EF＝CE，∵∠AEF＝∠PEC，∴△AEF≌△PEC（SAS），∴AF＝PC＝CF，设CF＝AF＝a，则BF＝8﹣a，Rt△ABF中，由勾股定理得：62+（8﹣a）2＝a2，解得：a＝，∴CF＝CP＝，设AP＝x，则PD＝8﹣x，∵CP2＝CD2+DP2，解得：x＝（舍）或；当x＝时，AP＝CP＝CF＝AF，且AC＝PF∴四边形AFCP是正方形，此种情况不存在；③当FC＝FP，如图5，P与A重合，该情况不符合题意；综上：AP的长为6．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会构建方程计算边的长，属于中考压轴题．。

2020年江苏省扬州市仪征工业职业高级中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线参考答案：A【考点】空间向量的基本定理及其意义．【分析】利用空间P，A，B，C四点共面的充要条件即可判断出结论．【解答】解：A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=x+y+z，则P，A，B，C四点共面的充要条件是x+y+z=1，而=++，因此P，A，B，C四点不共面．故选：A．【点评】本题考查了空间四点共面的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 在下列各数中，最大的数是（）A． B．C、D．参考答案：B3. 椭圆的焦距为（）A．10 B．5 C．D．参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆标准方程得a2=16，b2=9．再根据椭圆基本量的关系得c==，由此即可得到该椭圆的焦距．【解答】解：∵椭圆方程为∴a2=16，b2=9，得c==由此，可得椭圆的焦距等于2c=2故选：D4. 若为虚数单位，复数等于（）A．B．C．D．参考答案：B5. 集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|2﹣x＞0}则A∩B＝（）A. [﹣3，2）B. （2，3]C. [﹣1，2）D. （﹣1，2）参考答案：C【分析】求得集合，根据集合的交集运算，即可求解．【详解】由题意，集合，所以．故选：C．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6. 命题p：，，命题q：，，则下列命题中为真命题的是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】写出命题，命题，命题，命题，并判断命题的真假性，即可得到答案【详解】命题：，为真命题命题：，为假命题命题：，为假命题命题：，为真命题明显地，答案选A【点睛】本题考查命题的概念并判断命题的真假，属于基础题7. 曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=﹣1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选A．8. 已知，,=3，则与的夹角是( )A．150 B．120 C．60 D．30参考答案：B9. 已知不等式的解集为（-∞，-1）（0，3），则实数a的值为（）A．-3 B. 3 C. –1 D.1参考答案：解析：从不等式的等价转化切入: x(x2-2x-a) ≤0(x≠0)∴由已知不等式的解集知x1=-1，x2=3为方程x2-2x-a=0的根∴由x1·x2=-a得a=3本题应选B10. 若函数在区间(0,+∞)上有两个极值点,则实数a的取值范围是A. B. C. D.参考答案：D【分析】求出,要使恰有2个正极值点，则方程有2个不相等的正实数根，即有两个不同的正根，的图象在轴右边有两个不同的交点，利用导数研究函数的单调性，由数形结合可得结果.【详解】，可得,要使恰有2个正极值点，则方程有2个不相等的正实数根，即有两个不同的正根，的图象在轴右边有两个不同的交点，求得，由可得在上递减，由可得在上递增，，当时，；当时，所以，当，即时，的图象在轴右边有两个不同的交点，所以使函数在区间上有两个极值点，实数a的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值、单调性与最值，考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将极值问题转化为方程问题，再转化为函数图象交点问题是解题的关键.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正项等比数列中，，则其前3项的和的取值范围是．参考答案：12.2log 32﹣log 3+log38﹣3log55= ．参考答案：﹣1【考点】4H：对数的运算性质．【分析】利用对数的性质及运算法则直接求解．【解答】解：2log32﹣log3+log38﹣3log55=log34﹣+log38﹣3=﹣3=log39﹣3=2﹣3=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质及运算法则的合理运用．13. 在棱长为a的正方体ABC D－A1B1C1D1中，D1到B1C的距离为．参考答案：略14. 设O是原点，向量对应的复数分别为那么，向量对应的复数是．参考答案：15. 若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a= ．参考答案：3考点：基本不等式．专题：计算题．分析：将f（x）=x+化成x﹣2++2，使x﹣2＞0，然后利用基本不等式可求出最小值，注意等号成立的条件，可求出a的值．解答：解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．∵x=a处取最小值，∴a=3故答案为：3点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，注意“一正、二定、三相等”，属于基础题．16. 某工厂去年产值为a，计划在今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5 年，这个厂的总产值为________．参考答案：17. 已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，利用组中值计算200辆汽车的平均时速为▲km/h．参考答案：67略三、解答题：本大题共5小题，共72分。