上海市延安中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题 PDF版含答案

陕西省延安市第一中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列集合表示同一集合的是（ ） A ．(){}3,2M =，(){}2,3N =B ．(){},1M x y x y =+=，{}1N y x y =+=C ．{}4,5M =，{}5,4N =D ．{}1,2M =，(){}1,2N =2．若集合{}6M x x =≤，a = ）A ．{}a M ⊂B ．a M ⊂C ．{}a M ∈D ．a M ∉3．设全集U ＝{1，3，5，7}，集合M ＝{1，a }，U M ＝{5，7}，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．3C ．5D ．74．下列各图中,可表示函数图像的是( )A ．B ．C ．D ．5．记全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3,4A =，{}2,4,6B =，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{}1,3,6B ．{}2,4C ．{}5D ．{}1,2,3,4,5,66．集合M 满足{}{}1,21,2,3,4,5,6M ⊆⊆，则集合M 的个数为（ ） A ．14B ．15C ．16D ．177．已知集合{}0,1A =，{}10B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 的值为( ) A ．1-B ．1C ．0或1-D ．0或18．已知集合()201x M x x ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，{}231,R N y y x x ==+∈，则M N =（ ）A ．∅B ．{}1x x ≥C ．{}1x x >D ．{}0x x ≥9．下列函数中，与函数y x =相等的是（ ） A．yB．2y =C．y =D ．22x y =10．已知点(),x y 在映射:f A B →作用下的象是(),x y x y +-，x ∈R ，y R ∈，则点()8,2的原象．．是（ ） A ．()10,6B ．()10,6-C ．()3,5D ．()5,311．已知数集{}1,2,3,4A =，设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应关系如下表（从上到下）：则与()1f g ⎡⎤⎣⎦相同的是（ ）表1映射f 的对应关系表2映射g 的对应关系A ．()1g f ⎡⎤⎣⎦ B ．()2g f ⎡⎤⎣⎦C ．()3g f ⎡⎤⎣⎦D ．()4g f ⎡⎤⎣⎦12．若函数[)0,+∞，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(B ．⎡⎣C ．)⎡+∞⎣D ．[()-，∞⋃+∞二、填空题13．()22,01,0x x f x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦__________.14．已知集合{}21,A a=，若a A ∈，求a 的值为__________.15．已知函数(1)f x -的定义域为[23]-，，则函数(21)f x +的定义域为___________ 16．下图是函数()f x 的图象，则函数()f x 的解析式为__________.三、解答题17．求下列函数的定义域.（1）()15f x x =-（2）()f x =. 18．已知全集U =R ，集合A={}2320x x x -+>，集合B={}31x x x <-≥或,求A ∪B ，U C A ，()U C AB .19．设{}2320A x x x =-+=，{}220B x x ax =-+=，B A ⊆. （1）写出集合A 的所有子集； （2）若B 为非空集合，求a 的值.20．已知集合{}13A x x =-<<，集合{}21B x m x m =<<-. （1）当1m =-时，求A B ；（2）若AB B =，求实数m 的取值范围.21．（1）已知函数)12fx =+，求()f x ；（2）若函数()f x 为一次函数，且()()41ff x x =-，求函数()f x 的解析式.22．在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点(起点)向A 点(终点)移动，设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ＝f(x)．(1)求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；(2)作出函数的图象，并根据图象求y的最大值．参考答案1．C 【分析】根据同一集合的概念，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 A 选项，(){}3,2M =与(){}2,3N =中元素不同，不是同一集合，排除A ；B 选项，集合(){},1M x y x y =++是点集，而{}1N y x y =+=是数集，不是同一集合，排除B ；C 选项，集合{}4,5M =与{}5,4N =中元素完全相同，是同一集合，C 正确；D 选项，集合{}1,2M =是数集，而(){}1,2N =是点集，不是同一函数，排除D. 故选：C. 【点睛】本题主要考查同一集合的判定，属于基础题型. 2．A 【分析】易得a M ∈，然后再利用集合的基本关系判断. 【详解】集合{}6M x x =≤，a =，因为a M ∈， 所以{}a M ⊂， 故选：A 【点睛】本题主要考查元素与集合，集合与集合的关系判断，属于基础题. 3．B 【分析】根据补集的定义求解． 【详解】∵U ＝{1，3，5，7}，UM ＝{5，7}，∴{1,3}M =，∴3a =．故选：B ． 【点睛】本题考查补集的定义，属于简单题． 4．C 【分析】根据函数的定义，判断出正确选项. 【详解】由于函数是一一对应或者多对一对应，而A,B,D 三个选项都存在一对多对应，不符合函数的定义. 故选C. 【点睛】本小题主要考查函数的定义，考查函数图像正确与否的识别，属于基础题. 5．A 【分析】 先求得,A B A B ，然后求得阴影部分所表示的集合.【详解】依题意{}{}2,4,1,2,3,4,6A B A B ⋂=⋃=，所以阴影部分表示的集合为{}1,3,6. 故选：A 【点睛】本小题主要考查集合交集、并集的概念和运算，属于基础题. 6．C 【分析】根据集合M 满足{}{}1,21,2,3,4,5,6M ⊆⊆，由集合的子集定义求解. 【详解】因为集合M 满足{}{}1,21,2,3,4,5,6M ⊆⊆，所以集合M 的个数为集合{}3,4,5,6子集的个数，有4216=个， 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的基本关系以及子集的个数问题，属于基础题. 7．C 【分析】根据子集的定义，分类讨论进行求解即可. 【详解】因为B A ⊆，所以{}{}{},0,1,0,1B =∅.当B =∅时，说明方程10ax +=没有实数根，所以有0a =；当{}0B =时，说明0是方程10ax +=有唯一实数根，010a ⋅+=显然不成立，0一定不是方程10ax +=的实数根；当{}1B =时，说明1是方程10ax +=有唯一实数根，所以110a ⋅+=，解得1a =-； 当{}0,1B =时，因为方程10ax +=最多有一个实数根，所以不存在{}0,1B =这种情况. 综上所述：实数a 的值为0或1-. 故选：C 【点睛】本题考查了根据子集关系求参数的取值问题，属于基础题. 8．C 【分析】先化简集合,M N ,再求M N ⋂得解. 【详解】由题得()20{|01x M x x x x ⎧⎫⎪⎪=≥=≥⎨⎬-⎪⎪⎩⎭且1}x ≠， {}231,R [1,)N y y x x ==+∈=+∞.所以M N ={}1x x >.故选：C 【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．A 【分析】本题先求函数2y =的定义域为[0,)+∞，函数y =的值域为[0,)+∞，函数22x y =的值域为[0,)+∞，并判断与函数y x =不同，排除BCD ，再判断3y =与y x =的定义域、值域、对应关系都相同，最后得到答案. 【详解】因为函数2y =的定义域为[0,)+∞，而函数y x =的定义域为R ，故B 选项错误；因为函数y [0,)+∞，而函数y x =的值域为R ，故C 选项错误；因为函数22x y =的值域为[0,)+∞，而函数y x =的值域为R ，故D 选项错误；因为y x ==与y x =的定义域、值域、对应关系都相同，故A 选项正确.故选：A 【点睛】本题主要考查函数的定义，判断函数是否为同一函数要看两个函数的定义域、值域与解析式是否完全相同，是基础题. 10．D 【分析】根据题中条件，列出方程组82x y x y +=⎧⎨-=⎩，求解，即可得出原象.【详解】由题意可得，82x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得53x y =⎧⎨=⎩，即点()8,2的原象是()5,3. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求原象，熟记概念即可，属于基础题型. 11．A【分析】由题意知，g （1）4=，从而[f g （1）]f =（4）1=，对四个选项一一进行计算，从而得出正确结论即可． 【详解】由题意知，g （1）4=，[f g （1）]f =（4）1=， 对于:[A g f （1）][3]1g ==，故A 正确； 对于:[B g f （2）][4]2g ==，故B 不正确； 对于:[C g f （3）][2]3g ==，故C 不正确； 对于:[D g f （4）][1]4g ==，故D 不正确； 故选：A ． 【点睛】本题考查映射的概念、性质和应用，解题时，注意概念的准确把握．属于基础题. 12．D 【分析】函数y =[0，+∞）⇔当x ∈R 时，223x mx -+（）min ＝0．⇔方程223x mx -+＝0在实数集范围内有解，解出即可．【详解】∵函数y =[0，+∞），∴当x ∈R 时，223x mx -+（）min ＝0⇔方程223x mx -+＝0在实数集范围内有解．⇔△=m 2﹣423⨯⨯＝m 2﹣24≥0，解得m ∈（﹣∞，∪[，+∞）． 故选D ． 【点睛】本题考查了根式与二次函数的复合函数的值域问题，考查了判别式的应用，对已知问题等价转化是解题的关键，属于中档题． 13．6 【分析】根据函数解析式，由内而外逐步计算，即可得出结果. 【详解】因为()22,01,0x x f x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，所以()()1112f -=--+=， 则()()12426f f f -==+=⎡⎤⎣⎦. 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查求分段函数值，属于基础题. 14．0 【分析】 由集合{}21,A a =，根据a A ∈，由1a =或 2a a=求解.【详解】 已知集合{}21,A a =，因为a A ∈，所以1a =或 2a a =，即1a =或 0a =， 当1a =时，{},11A =，不成立； 当0a =时，{}1,0A =，成立； 所以a 的值为0 故答案为：0 【点睛】本题主要考查元素与集合的关系的应用以及集合元素互异性的应用，属于基础题. 15．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】先由题意求出函数()f x 的定义域为3,2，再由3212x -≤+≤求解，即可得出结果.【详解】因为函数()1f x -的定义域为[23]-，，所以312x -≤-≤；即函数()f x 的定义域为3,2；由3212x -≤+≤，解得122x -≤≤， 因此()21f x +的定义域为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查求抽象函数定义域，熟记抽象函数定义域的求法即可，属于常考题型.16．3,01233,122x x y x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩ 【分析】根据图像，分别求出01x ≤≤，12x <≤两部分的解析式，即可得出结果.【详解】由图像可得，当01x ≤≤时，函数为过原点的一次函数，设y kx =，因为图像过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以32k ，即32y x =； 当12x <≤时，函数为一次函数，设y mx n =+，因为图像过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,0， 所以3202m n m n ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，解得323m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即332y x =-+， 综上，3,01233,122x x y x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩. 故答案为：3,01233,122x x y x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩ 【点睛】本题主要考查由图像求函数解析式，考查待定系数法求函数解析式，考查分段函数的解析式，属于基础题型.17．（1）[)()1,55,⋃+∞；（2）[)(]2,00,1-⋃.【分析】（1）根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量范围即可；（2）根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量范围即可.【详解】（1）由题意，可得5010x x -≠⎧⎨-≥⎩，解得1≥x 且5x ≠，即函数()15f x x =-[)()1,55,⋃+∞； （2）由题意，可得2200x x x ⎧--+≥⎨≠⎩，解得21x -≤≤且0x ≠，即函数()f x x=的定义域为[)(]2,00,1-⋃. 【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型. 18．A ∪B =R ，U C A ={}12x x ≤≤， ()U C A B ={}|32x x -≤≤ 【分析】根据二次不等式解出集合A ，可得求出A 的补集，再由集合B ，求A 与B 的并集及交集，进而求()U C A B 即可． 【详解】 A={}{}2320|12x x x x x x -+>=或， ∴A ∪B =R ，U C A ={}12x x ≤≤，A B ={}|32x x x <->或()U C A B ={}|32x x -≤≤【点睛】本题考查简单的一元二次不等式，以及集合的运算：交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．19．（1）∅，{}1，{}2，{}1,2（2）a 的值为3.【分析】（1）解一元二次方程求得集合A 的元素，由此求得集合A 的所有子集.（2）根据集合B 有一个元素或有两个元素进行分类讨论，结合一元二次方程的知识，求得a 的值.【详解】解析：（1）{}{}23201,2A x x x =-+== ∴集合A 的所有子集为∅，{}1，{}2，{}1,2（2）B ≠∅，B A ⊆∴当集合B 只有一个元素时，由0∆=得280a -=，即a=±此时{B =或B =，不满足B A ⊆.当集合B 只有两个元素时，由A B =得：3a =.综上可知，a 的值为3.【点睛】本小题主要考查集合子集的求法，考查根据集合的包含关系求参数，考查一元二次方程根、判别式等知识，属于基础题.20．（1）()2,3-；（2）1[2-，)+∞. 【分析】（1）当1m =-时，求出集合B ，再由并集的定义可得答案．（2）推导出B A ⊆，当B =∅时，21m m -，当B ≠∅时，212113m m m m <-⎧⎪-⎨⎪-⎩，由此能求出实数m 的取值范围．【详解】（1）当1m =-时，集合{|13}A x x =-<<，集合{|22}B x x ．(){|2233},A B x x ∴⋃=-<-<=．（2）集合{|13}A x x =-<<，集合{|21}B x m x m =<<-． 因为A B B =，B A ∴⊆，∴当B =∅时，21m m -，解得13m ， 当B ≠∅时，212113m m m m <-⎧⎪-⎨⎪-⎩，解得1123m -<． ∴实数m 的取值范围是1[2-，)+∞．【点睛】本题考查交集、并集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力以及分类讨论思想的应用，是基础题．21．（1）()()2231f x x x x =-+≥；（2）()21f x x =-+或()123f x x =-. 【分析】（1）令11t =≥，则()21x t =-利用换元法求解. （2）根据函数()f x 为一次函数，设()()0f x ax b a =+≠，由()()41ff x x =-求解. 【详解】（1）令11t =≥，则()21x t =-， 所以()()221223f t t t t =-+=-+，即()()2231f x x x x =-+≥ （2）因为函数()f x 为一次函数，设()()0f x ax b a =+≠ ，因为()()41f f x x =-，所以2()41a ax b b a x ab b x ++=++=-，则241a ab b ⎧=⎨+=-⎩，解得213a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或21a b =-⎧⎨=⎩，所以函数()f x 的解析式.为： ()21f x x =-+或()123f x x =-. 【点睛】 本题主要考查函数解析式的求法，还考查了运算求解的能力，所以基础题.22．（1）2,048,48242,812x x y x x x <≤⎧⎪=<≤⎨⎪-<<⎩；（2）8.【分析】（1）根据点P 的移动方向可分04x <≤，48x <≤，812x <<三种情况讨论函数关系式；（2）根据图像可分析函数的最大值.【详解】(1)这个函数的定义域为(0,12)，当0＜x≤4时，S ＝f(x)＝142x ⋅=2x ； 当4＜x≤8时，S ＝f(x)＝8；当8＜x ＜12时，S ＝f(x)＝·4·(12－x)＝24－2x. ∴这个函数的解析式为2,048,48242,812x x y x x x <≤⎧⎪=<≤⎨⎪-<<⎩(2)其图形如下，由图知，[f(x)]max ＝8.【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法，属于基础题型.。

2020-2021学年上海市某校高一（上）月考数学试卷（12月份）一、填空题1. 已知集合A={2, 3}，B={1, 2, a}，若A⊆B，则实数a=________．【答案】3【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】利用子集的定义和性质直接求解．【解答】∵集合A={2, 3}，B={1, 2, a}，A⊆B，∴a=3．2. 函数y＝的定义域为________．【答案】[1, 2)∪(2, +∞)【考点】函数的定义域及其求法【解析】由函数的解析式列不等式组求出函数的定义域．【解答】由函数y＝，得，解得x≥1且x≠2；所以该函数的定义域为[6, 2)∪(2．3. 已知函数，则＝________．【答案】【考点】分段函数的应用函数的求值求函数的值根据题意，由函数的解析式可得f（）＝，则有f[f（）]＝f（），进而计算可得答案．【解答】根据题意，函数，则f（）＝＝，则f[f（）]＝f（2＝，4. 已知函数y＝x2−4ax在[2, 3]上是严格增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】(−∞, 1]【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】根据题意，将函数y＝x2−4ax的解析式变形，可得该函数是对称轴为x＝2a，开口向上的二次函数，结合二次函数的性质可得a的取值范围．【解答】函数y＝x2−4ax＝(x−8a)2−4a4，则对称轴为x＝2a，开口向上，若该函数在[2, 6]上是严格增函数，即a≤1，则a的取值范围为(−∞, 1]，5. 函数y=a x−1+2(a>0且a≠1)的图象过一个定点，该定点的坐标为________．【答案】(1, 3)【考点】指数函数的性质【解析】函数恒过定点即与a无关，由题意令x−1=0，解得x=1，再代入函数解析式求出f(x)的值，从而可求出定点坐标．【解答】解：令x−1=0，解得x=1，则x=1时，函数f(1)=a0+2=3，即函数图象恒过一个定点(1, 3)．故答案为：(1, 3)．2【答案】k>0或k<−4【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】根据一元二次方程与二次函数之间的关系，分别讨论k的正负得到满足已知的等价条件，从而求得k的范围．【解答】解：由题意k≠0，当k>0时，要使关于x的一元二次方程2kx2−2x−3k−2=0的两个实根x1、x2满足x1<1<x2，只要2k×12−2×1−3k−2<0解得k>−4；所以k>0；当k<0时，要使关于x的一元二次方程2kx2−2x−3k−2=0的两个实根x1、x2满足x1<1<x2，只要2k×12−2×1−3k−2>0解得k<−4，由前提得到k<−4；综上，实数k的取值范围是k>0或k<−4．故答案为：k>0或k<−4．7. 若(m+1)12<(3−2m)12，则实数m的取值范围________．【答案】−1≤m<2 3【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】根据题中不等式的结构，考察幂函数y=x 12，它在[0, +∞)上是增函数，从而建立关于m的不等关系，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：考察幂函数y=x 12，它在[0, +∞)上是增函数，∵(m+1)12<(3−2m)12，∴0≤m+1<3−2m，解得：−1≤m<23，则实数m的取值范围−1≤m<23．故答案为：−1≤m<23．8. 已知函数f(x)=√2−axa−1(a≠1)在区间(0, 1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．【答案】函数单调性的性质【解析】函数的解析式若有意义，则被开方数2−ax≥0，进而根据x∈(0, 1]恒有意义，故a≤2，分1<a≤2，0<a<1，a=0和a<0，分类讨论函数的单调性，最后综合讨论结果，可得实数a的取值范围．【解答】解：若使函数的解析式有意义须满足2−ax≥0当x∈(0, 1]时，须：2−a×0≥0，且2−a≥0得：a≤21<a≤2时，y=2−ax为减函数，a−1>0，故f(x)为减函数，符合条件0<a<1时，y=2−ax为减函数，a−1<0，故f(x)为增函数，不符合条件a=0时，f(x)为常数，不符合条件a<0时，y=2−ax为增函数，a−1<0，故f(x)为减函数，符合条件故a的取值范围是(−∞, 0)∪(1, 2]故答案为：(−∞, 0)∪(1, 2]9. 方程|a x−1|＝2a(a>0, a≠1)有且仅有两个不同的实数解，则a的取值范围是________．【答案】(0，）【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】方程|a x−1|＝2a(a>0且a≠1)有且仅有两个不同的实数解，等价于函数f(x)＝|a x−1|的图象和直线y＝2a有2个交点，分类画出图形，由图象可得a的范围．【解答】方程|a x−1|＝2a(a>2且a≠1)有且仅有两个不同的实数解，等价于函数f(x)＝|a x−1|的图象和直线y＝6a有2个交点．如图所示：当0<a<8和a>1时对应的图象为：由图象可得，当0<a<2时，解得0<a<，当a>1时，不合题意．故答案为：(0，）．10. 已知a、b均为正实数，且，则的最小值为________．【答案】．【考点】基本不等式及其应用【解析】由＝（）(a+）＝，展开后结合基本不等式可求．【解答】因为a、b均为正实数，且，则＝（）(a+＝，当且仅当ab＝且，即a＝时取等号，所以的最小值．11. 已知+2，则关于x 的不等式f(3x+1)+f(x)>4的解集为________．【答案】（-，+∞)【考点】奇偶性与单调性的综合【解答】设g(x)＝f(x)−2＝2020x+log2020（+x)−2020−x，∴g(−x)＝2020−x+log（−x)−2020x＝2020−x−log20202020（+x)−2020x＝−g(x)，所以g(x)为奇函数且单调递增，由f(3x+4)+f(x)>4，可得g(3x+3)+g(x)>0，所以3x+8>−x，解得x>−，即不等式的解集为（-，+∞)．12. 已知函数f(x)＝lg(x+1)的图象关于y轴对称后，再向右平移4个单位，可得到函数g(x)的图象．若对任意的x1，x2∈[0, m]，当x1>x2时，恒有f(x1)−f(x2)>g(x2)−g(x1)，则实数m的最大值是________．【答案】2【考点】函数的图象与图象的变换对数函数的图象与性质【解析】易知g(x)＝lg(5−x)，构造函数ℎ(x)＝f(x)+g(x)，可将原问题可转化为ℎ(x)在[0, m]上单调递增，再根据二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数单调性的判断原则，即可得解．【解答】由题意知，g(x)＝lg[−(x−4)+1]＝lg(8−x)，令ℎ(x)＝f(x)+g(x)＝lg(x+1)+lg(5−x)＝lg[(x+6)(5−x)]，定义域为(−1，原问题可转化为ℎ(x)在[7, m]上单调递增，因为y＝(x+1)(5−x)在(−8, 2]上单调递增，5)上单调递减，所以ℎ(x)在(−2, 2]上单调递增，5)上单调递减，所以m≤6，即m的最大值为2．二、选择题已知a、b为实数，且a>b，则下列结论正确的是（）A. B.a2>b2 C.ac2>bc2 D.−a<−b【答案】D不等式的基本性质不等式的概念【解析】由不等式的基本性质逐一判断即可．【解答】若a>0>b，则，故A错误；若0>a>b时，a2<b6，故B错误；若c＝0时，ac2＝bc2，故C错误；a>b，则−a<−b．“−2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0无实根”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】求出一元二次方程x2+ax+1=0无实根的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若实系数一元二次方程x2+ax+1=0无实根，则△=a2−4<0，∴−2<a<2，∵−2≤a≤2，∴ “−2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0无实根的必要不充分条件．故应选A．十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数n>2时，关于x、y、z的方程x n+y n＝z n没有正整数解．”历经三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁•怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理．则有（）A.存在至少一组正整数组(x、y、z)使方程x3+y3＝z3有解B.关于x、y的方程x3+y3＝1有正有理数解C.关于x与y的方程x3+y3＝1没有正有理数解D.当整数n>3时，关于x、y、z的方程x n+y n＝z n没有正实数解．【答案】C【考点】归纳推理根据已知中费马大定理可得：故p 3+q 3＝z 3，无正整数解，即(p z )3+(q z )3=1无正整数解，进而利用整体代换思想，得到答案．【解答】：“当整数n >2时，关于x 、y 、z 的方程x n +y n ＝z n 没有正整数解．”3>2，故p 3+q 3＝z 3，无正整数解，即(p z )3+(q z )3=1无正整数解，即关于x 与y 的方程 x 3+y 3＝1没有正有理数解，已知函数f(x)={|ln |x||(x ≠0)0(x =0)，则方程f 2(x)−f(x)=0的不相等的实根个数（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法根的存在性及根的个数判断【解析】方程f 2(x)−f(x)=0可解出f(x)=0或f(x)=1，方程f 2(x)−f(x)=0的不相等的实根个数即两个函数f(x)=0或f(x)=1的所有不相等的根的个数的和，根据函数f(x)的形式，求方程的根的个数的问题可以转化为求两个函数y =0，y =1的图象与函数f(x)的图象的交点个数的问题．【解答】解：方程f 2(x)−f(x)=0可解出f(x)=0或f(x)=1，方程f 2(x)−f(x)=0的不相等的实根个数即两个函数f(x)=0或f(x)=1的所有不相等的根的个数的和，方程的根的个数与两个函数y =0，y =1的图象与函数 f(x)的图象的交点个数相同，如图，由图象，y =1的图象与函数f(x)的图象的交点个数有四个，y =0的图象与函数f(x)的图象的交点个数有三个，故方程f 2(x)−f(x)=0有七个解，应选C．三、解答题已知集合A＝{x|y＝lg(2−x−x2)}，集合B＝{y|y＝2x−1, x∈R}．（1）求A∩B；（2）若集合C＝{x|2m<x<m+1}，且A∩C＝⌀，求实数m的取值范围．【答案】∵A＝{x|2−x−x2>3}＝{x|−2<x<1}，B＝{y|y>−5}，∴A∩B＝(−1, 1)；∵C＝{x|3m<x<m+1}，且A∩C＝⌀，∴ ①C＝⌀时，2m≥m+2；②C≠⌀时，，解得m≤−8或，∴m的取值范围为：．【考点】交集及其运算【解析】（1）可求出A＝{x|−2<x<1}，B＝{y|y>−1}，然后进行交集的运算即可；（2）根据A∩C＝⌀，可讨论C是否为空集：C＝⌀时，2m≥m+1；C≠⌀时，，然后解出m的范围即可．【解答】∵A＝{x|2−x−x2>3}＝{x|−2<x<1}，B＝{y|y>−5}，∵C＝{x|3m<x<m+1}，且A∩C＝⌀，∴ ①C＝⌀时，2m≥m+2；②C≠⌀时，，解得m≤−8或，∴m的取值范围为：．已知函数f(x)＝(a∈R)．（1）当a＝1时，证明：函数f(x)在(2, +∞)上是严格减函数；（2）求不等式f(x)>1．【答案】a＝1，f(x)＝，设2<x1<x3，则f(x1)−f(x2)＝＝>3，所以f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(3, +∞)上是严格减函数；f(x)＝>1，化简得，，当a>8时，2<x<a+2，当a＝7时，x不存在，当a<0时，2+a<x<3，综上，a>0时，当a＝0时，x不存在，当a<3时，{x|2+a<x<2}．【考点】函数单调性的性质与判断【解析】（2）已知不等式化简得，，然后讨论a+2与2的大小，进行求解．【解答】a＝1，f(x)＝，设2<x1<x3，则f(x1)−f(x2)＝＝>3，所以f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(3, +∞)上是严格减函数；f(x)＝>1，化简得，，当a>8时，2<x<a+2，当a＝7时，x不存在，当a<0时，2+a<x<3，综上，a>0时，当a＝0时，x不存在，当a<3时，{x|2+a<x<2}．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100(5x+1−3x)元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【答案】解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100(5x+1−3x )×2＝200(5x+1−3x)根据题意，200(5x+1−3x)≥3000，即5x2−14x−3≥0∴x≥3或x≤−15∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；（2）设利润为y元，则生产900千克该产品获得的利润为y＝100(5x+1−3x )×900x＝90000(−3x2+1x+5)＝9×104[−3(1x−16)2+6112]∵1≤x≤10，∴x＝6时，取得最大利润为9×104×6112=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值．【解答】解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100(5x+1−3x )×2＝200(5x+1−3x)根据题意，200(5x+1−3x)≥3000，即5x2−14x−3≥0∴x≥3或x≤−15∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；（2）设利润为y元，则生产900千克该产品获得的利润为y＝100(5x+1−3x )×900x＝90000(−3x2+1x+5)＝9×104[−3(1x−16)2+6112]∵1≤x≤10，∴x＝6时，取得最大利润为9×104×6112=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．已知函数f(x)＝+kx为偶函数，g(x)＝(x+a)．（1）求实数k的值；（2）若x∈[−2, 0]时，函数f(x)的图象恒在g(x)图象的上方，求实数a的取值范围；（3）求函数y＝−4f（x）−kx+g(2x+2)在x∈[−1, 2]上的最大值与最小值之和为2020，求实数a的值．【答案】∵f(x)是偶函数，∴f(−x)＝f(x)，则log4(4−x+5)−kx＝log4(4x+6)+kx，得2kx＝log4（）−log6(4x+1)＝log74−x＝−x，得2k＝−6，得k＝-．若x∈[−2, 0]时，则f(x)>g(x)恒成立，即log4(2x+1)−x>，∴a<3log4(4x+4)−2x，设F(x)＝2log4(4x+1)−8x＝log2(4x+5)−2x＝log2(6x+1)−log22x＝log2(1+），由复合函数的单调性可知F(x)在[−2, 6]上为减函数，∴F(x)≤F(0)＝1，∴a<1，即实数a的取值范围是(−∞．函数y＝−3f（x）−kx+g(2x+2)＝-+(6x+2+a)＝−4x−4+2×2x+a＝−(2x)5+2×2x+a−1，设t＝8x，∵x∈[−1, 2]，∴，则设ℎ(t)＝−t2+8t+a−2，对称轴为t＝1，图象开口向下，∴最大值为ℎ(1)＝a，最小值为ℎ(4)＝，∴a+，解得a＝2029．【考点】函数的最值及其几何意义函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）利用函数是偶函数，建立方程进行求解即可（2）由函数f(x)的图象恒在g(x)图象的上方，可得f(x)>g(x)恒成立，利用参数分离法进行求解即可；（3）利用换元法结合指数的性质，转化为一元二次函数，结合二次函数的性质求得最大值和最小值，进而可求得a的值．【解答】∵f(x)是偶函数，∴f(−x)＝f(x)，则log4(4−x+5)−kx＝log4(4x+6)+kx，得2kx＝log4（）−log6(4x+1)＝log74−x＝−x，得2k＝−6，得k＝-．若x∈[−2, 0]时，则f(x)>g(x)恒成立，即log4(2x+1)−x>，∴a<3log4(4x+4)−2x，设F(x)＝2log4(4x+1)−8x＝log2(4x+5)−2x＝log2(6x+1)−log22x＝log2(1+），由复合函数的单调性可知F(x)在[−2, 6]上为减函数，∴F(x)≤F(0)＝1，∴a<1，即实数a的取值范围是(−∞．函数y＝−3f（x）−kx+g(2x+2)＝-+(6x+2+a)＝−4x−4+2×2x+a＝−(2x)5+2×2x+a−1，设t＝8x，∵x∈[−1, 2]，∴，则设ℎ(t)＝−t2+8t+a−2，对称轴为t＝1，图象开口向下，∴最大值为ℎ(1)＝a，最小值为ℎ(4)＝，∴a+，解得a＝2029．若函数y＝f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)⋅f(x2)＝1成立，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断函数g(x)＝2x是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域[m, n](m，n∈N，且m>1)上为“依赖函数”，求m+n的取值范围．（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”．若存在实数，使得对任意的t∈R，有不等式f(x)≥−t2+(s−t)x+8都成立，求实数s的取值范围．【答案】对于函数g(x)＝2x的定义域R内任意的x1，取x5＝−x1，则g(x1)g(x4)＝1，且由g(x)＝2x在R上单调递增，可知x5的取值唯一，故g(x)＝2x是“依赖函数”；因为m>1，f(x)＝2在[m, n]递增，即(m−1)8•(n−8)2＝1，由n>m>7，得(m−1)(n−1)＝4，故m+n＝m+＝m−1++2＝4（，（当且仅当m＝1+时“＝”成立），故m+n的取值范围是[2（+8)；因a<，故f(x)＝(x−a)5在[，2]上单调递增，从而f（）⋅f(4)＝2−a)8(4−a)2＝6，进而（，解得a＝6或a＝（舍），从而存在x∈[，4]，有不等式(x−1)5≥−t2+(s−t)x+8都成立，即t7+xt+x2−(2+s)x−6≥0恒成立，由△＝x2−5(x2−(2+s)x−5)≤0恒成立，故2+s≤（x−）max，x∈[，4]x−，4]递增，故x＝6时，y取最大值，故8+s≤，故s≤−，-]．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）利用新定义，对于函数g(x)＝2x的定义域R内任意的x1，取x2＝−x1，则g(x1)g(x2)＝1，判断g(x)＝2x是“依赖函数”；（2）因为m>1，f(x)＝(x−1)2在[m, n]递增，故f(m)f(n)＝1，推出n＝，求出m+n的范围即可；（3）根据a的范围，求出a的值，求出f(x)的解析式，问题转化为t2+xt+x2−(2+s)x−7≥0恒成立，根据根的判别式得到2+s≤（x−）max，x∈[，4]，从而求出s的范围即可．【解答】对于函数g(x)＝2x的定义域R内任意的x1，取x5＝−x1，则g(x1)g(x4)＝1，且由g(x)＝2x在R上单调递增，可知x5的取值唯一，故g(x)＝2x是“依赖函数”；因为m>1，f(x)＝2在[m, n]递增，即(m−1)8•(n−8)2＝1，由n>m>7，得(m−1)(n−1)＝4，故m+n＝m+＝m−1++2＝4（，（当且仅当m＝1+时“＝”成立），故m+n的取值范围是[2（+8)；因a<，故f(x)＝(x−a)5在[，2]上单调递增，从而f（）⋅f(4)＝2−a)8(4−a)2＝6，进而（，解得a＝6或a＝（舍），从而存在x∈[，4]，有不等式(x−1)5≥−t2+(s−t)x+8都成立，即t7+xt+x2−(2+s)x−6≥0恒成立，由△＝x2−5(x2−(2+s)x−5)≤0恒成立，故2+s≤（x−）max，x∈[，4]x−，4]递增，故x＝6时，y取最大值，故8+s≤，故s≤−，-]．。

2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题 (I)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}1,2,3,4,0,1,2,3,M N ==则（ ）.A M N ⊆ .B N M ⊆ {}.1,2,3C MN = {}.1,2,3D M N =2.函数的定义域是 （ ）A.B.C.D.3．下列函数中，在R 上单调递增的是（ ）.3x A y = 13.log B y x = 1.C y x =- 2.(1)D y x =+4．函数的零点所在的区间是 （ ）A.B.C.D.5．在同一直角坐标系中，当1a >时，函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭和log a y x =的大致图像（ ）y xyxyxyxDCBA1O1O1O1O11116．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 ( )A.圆柱B. 圆台C.圆锥D. 棱台俯视图侧视图正视图7. 直线320x y -+=的倾斜角的大小为 （ ）A.B.C.D.8. 已知球的直径是4cm ，则它的表面积是（ ）（单位：2cm ）16.3A π 32.3B π.8C π .16D π9.圆心在轴上，并且过点和的圆的方程为 ( )A. B. C.D.10．已知直线b a ,与平面γβα,,，下列条件中能推出βα//的是（ ） A ．ββαα//,//,,b a b a ⊂⊂ B ．γβγα⊥⊥且C ．b a b a //,,βα⊂⊂D ．βα⊥⊥a a 且11. 若直线x+2y+1=0与直线ax+y ﹣2=0互相垂直，那么a 的值等于（ ） A ．﹣2 B ．﹣． C.﹣D ．112．圆221:4C x y +=和222:(3)(4)49C x y -++=的位置关系是（ ）.A 相交 .B 相离 .C 内切 .D 外切二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知幂函数αx y =的图象过点)2,2(，这个函数的表达式为______.14. 已知函数，则（ ）15．直线:0l x y k ++=与圆：2)1()2(22=++-y x 相切，则k 的值为_____________. 16. 直线02=--y mx 与直线012=-+y x 平行，则m 的值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知全集U=R ，集合A={x | x+1≥1且x ﹣3≤0}，B={x| a≤ x ≤ a+2，a ∈R}． （1）当a = 1时，求A∩B；（2）当集合A ，B 满足A B ⊆时，求实数a 取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数)1(log )1(log )(x x x f a a --+=其中(01)a a >≠且． （1）求函数)(x f 的定义域； （2）判断)(x f 的奇偶性，并说明理由；19. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （5，﹣1）， B （7，3），C （2，8）． （1）求直线AB 的方程；（2）求AB 边上高所在的直线l 的方程；20. （本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，,AB AD =点P 为的1DD 中点. (1) 若12,6,AB DD ==求三棱锥的体P ACD V -; (2) 求证：1//BD PAC 直线面; (3) 求证：1PAC BDD ⊥平面平面.P DAA 1BCC 1D 1B 121. （本小题满分12分）有一个几何体的三视图如下图所示，主视图（正视图）和左视图（侧视图）均为边长为3的等边三角形，俯视图是边长为3的正方形，求这个几何体的表面积和体积.22．（本小题满分12分）已知圆C经过点A（2，﹣1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=﹣2x上．（1）求圆C的方程；（2）已知斜率为k的直线m过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线m的方程．高一年级数学试题答案1-12:CDACDB BDADAC13:x y = 14:8 15:-3或1 16：-2三、解答题：本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知全集U=R ，集合A={x | x+1≥1且x ﹣3≤0}，B={x| a≤ x ≤ a+2，a ∈R}． （1）当a = 1时，求A∩B；（2）当集合A ，B 满足A B ⊆时，求实数a 取值范围． 解：（1）当a=1时，由题可解得A=[0，3]，B=[1，3]，… A∩B=[1，3]…（2）当集合A ，B 满足A B ⊆时，由得实数a 的取值范围是[0，1] 18．（本小题满分12分）已知函数)1(log )1(log )(x x x f a a --+=其中(01)a a >≠且． （1）求函数)(x f 的定义域； （2）判断)(x f 的奇偶性，并说明理由； 解（1）所以所求定义域为{}11x x -<<. （2）是奇函数.19. （本小题满分12分） 【解答】解：（1）∵K AB ==2，∴直线AB 的方程是：y+1=2（x ﹣5），即2x ﹣y ﹣11=0； （2）∵AB⊥l，∴K AB •K l =﹣1，解得：K l =﹣，∴过C （2，8），斜率是﹣的直线方程是：y ﹣8=﹣（x ﹣2）， 即x+2y ﹣18=0；20. （本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，,AB AD =点P 为的1DD 中点. (1) 若12,6,AB DD ==求三棱锥的体积P ACD V -; (2) 求证：1//BD PAC 直线面; (3) 求证：1PAC BDD ⊥平面平面.P DAA 1C 1D 1B 1证明：（1）若12,6,AB DD ==则3,PD PD ACD =⊥平面，∴11232P ACD V PD AD DC -=⨯⨯⨯⨯=，……3分 （2）设AC 和BD 交于点O ，连接PO ，……4分 ∵,P O 分别是1,DD BD 的中点，∴1//PO BD ，……………………6分又PO AC ⊂平面P ，1BD AC ⊄平面P ，……7分 ∴1//BD PAC 直线面；……………8分（3）在长方体1111ABCD A B C D -中，AB AD =， ∴底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，…………………………………9分 又1DD ABCD AC ABCD ⊥⊂面，面， ∴1DD AC ⊥，又1DD BD D =，…………………………………11分∴1AC BDD ⊥面，又AC AC ⊂面P ，…………………………………13分 ∴1PAC BDD ⊥平面平面.…………………………………14分21.解：该几何体为底边为3、侧面斜高为3的正四棱锥. 故这个几何体的表面积4S S S =+表侧三角形底143333272=⨯⨯⨯+⨯=正四棱锥高为22333322h =-=四棱锥（）故这个几何体的体积为1393333322V =⨯⨯⨯=四棱锥22．已知圆C 经过点A （2，﹣1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=﹣2x 上． （1）求圆C 的方程；（2）已知斜率为k 的直线m 过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线m 的方程． 解：（1）由题意设圆心的坐标为C （a ，﹣2a ），…（1分） ∵圆C 经过点A （2，﹣1），直线x+y=1相切， ∴=，…（3分）化简得a 2﹣2a+1=0，解得a=1，…（4分） ∴圆心C （1，﹣2），半径r=|AC|==∴圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y+2）2=2 （2）设直线m 的方程为y=kx ，俯视图左视图主视图OPDAA 1BCC 1D 1B 1由题意得解得k=，…（11分）∴直线m的方程为．【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我每天更新】。

2020-2021上海延安初级中学高三数学上期中模拟试卷(及答案)一、选择题1．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S2．下列命题正确的是A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b3．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值314．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．215．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．403720207．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．28．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( )A ．－16B ．－6C ．-83D ．69．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．8110．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++11．已知正项数列{}n a 中，*12(1)()2n n n a a a n N ++++=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =12．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ）A ．49B ．378C ．7914D ．14924二、填空题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=.其中*m N ∈且2m ≥，则m =______.14．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则44a b =_____． 15．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．16．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．17．若数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=______. 18．设等差数列{}na 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =____．19．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________.20．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．三、解答题21．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且sin 1cos a CA=-.（1）求角A 的大小；（2）若10b c +=，ABC ∆的面积ABC S ∆=a 的值.22．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 23．等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =,前n 项和为n S ．等比数列{}n b 中，11b =，且226b S =,238b S +=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求12111nS S S ++⋯+． 24．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===． （1）求BC 的长；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ．25．已知数列{}n a 满足：1=1a ，()*11,2,n n n a n a n N a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数设21n n b a -=． （1）证明：数列{}2n b +为等比数列；（2）求数列3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．26．已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算，求得n S ，由此解不等式5n S <-，求得n 的最小值. 【详解】 ∵()*21log N 2n n a n n +=∈+，∴12322223log log log 3142n n S a a a a n n =++++⋯+=++⋯++222312log log 3422n n n +⎛⎫=⨯⨯⋯⨯= ⎪++⎝⎭， 又因为21215log 6232232n S n n <-=⇒<⇒>+， 故使5n S <-成立的正整数n 有最小值：63. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题.4．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r （，，即14)P （，，所以114)PB t=--u u u r （，，14)PC t =--u u u r （，，因此PB PC ⋅u u u r u u u r11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．5．A解析：A 【解析】 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解 即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．6．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010．故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．7．D解析：D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.8．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3z，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得21114a q 3a a q =+，即2q 4q 30-+=，解得q 1=或3；又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，则n 1n a 3-=，则有34a 327==；故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．10．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 11．B 解析：B 【解析】 【分析】()()1122n n n n +-=-的表达式，可得出数列{}n a 的通项公式. 【详解】(1)(1),(2)22n n n n n n +-=-=≥1=，所以2,(1),n n n a n =≥= ，选B.【点睛】给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.12．D解析：D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以2201111715111122a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =,故令21n =有2121721214921324S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以111114924a b = 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的等和性质：若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*21(21),()n n S n a n N -=-∈二、填空题13．5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项解析：5 【解析】 【分析】设等差数列的()n An n m S =-，再由12m S -=-，13m S +=，列出关于m 的方程组，从而得到m . 【详解】因为0m S =，所以设()n An n m S =-， 因为12m S -=-，13m S +=， 所以(1)(1)2,125(1)13,13A m m m A m m -⋅-=-⎧-⇒=⇒=⎨+⋅=+⎩.故答案为：5. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前n 项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减少.14．【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题 解析：238【解析】 【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的174417a a ab b b +=+，再由等差数列的求和公式，转化为77S T ，从而得到答案.【详解】因为数列{}n a 、{}n b 均为等差数列所以7474141422a a b b a a b b ==++ ()()1771777272a a S b b T +==+37223718⨯+==+ 【点睛】本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.15．【解析】【分析】利用余弦定理得到进而得到结合正弦定理得到结果【详解】由正弦定理得【点睛】本题考查解三角形的有关知识涉及到余弦定理正弦定理及同角基本关系式考查恒等变形能力属于基础题解析：3【解析】 【分析】 利用余弦定理得到cos C ，进而得到sin C ，结合正弦定理得到结果. 【详解】925491cos ,sin 302C C +-==-=，由正弦定理得2sin c R R C ===. 【点睛】本题考查解三角形的有关知识，涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本关系式，考查恒等变形能力，属于 基础题.16．【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC 构成其中作出直线显然点A 到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A 到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区【解析】作出不等式组所表示的可行域1Ω ，如图阴影部分，由三角形ABC 构成，其中(11),(30),(12)A B C -，，， ，作出直线20x y += ，显然点A 到直线20x y +=的距离最近，由其几何意义知，区域12,ΩΩ 内的点最短距离为点A 到直线20x y +=的距离的2倍，由点到直线的距离公式有：22215521d -==+ ，所以区域1Ω 内的点与区域2Ω 内的点之间的最近距离为25，即255CD = .点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题. 巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键.17．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出结论【详解】数列通项公式是前项和为当时数列是等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查的是数列极限求出数列的和是关键考查等比数列前项和公式的应用是基础题解析：5518. 【解析】 【分析】利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论. 【详解】Q 数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，当3n ≥时，数列{}n a 是等比数列，331112731115531123118183182313n n n n S --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，5531lim 5518218l m 3i n n n n S →∞→∞⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=. 故答案为：5518. 【点睛】本题主要考查的是数列极限，求出数列的和是关键，考查等比数列前n 项和公式的应用，是基础题.18．【解析】设等差数列的公差为d ∵且成等差数列∴解得 ∴ 解析：21n -【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列， ∴111125,7211020a d a a d a d +=⎧⎨++=+⎩解得11,2a d =⎧⎨=⎩ ∴21n a n =-19．【解析】【分析】先利用累加法求出an ＝33+n2﹣n 所以设f （n ）由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an ＝2n ∴当n≥2时an ＝（an ﹣an ﹣1）+（a 解析：212【解析】 【分析】先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以331n a n n n =+-，设f （n ）331n n=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到na n的最小值． 【详解】解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33 且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33． 从而331n a n n n=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）23310n-=+＞， 则f （n）在)+∞上是单调递增，在(0上是递减的，因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值．又因为55355a =，66321662a ==， 所以n a n 的最小值为62162a = 故答案为 212【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．20．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为解析：-10 【解析】作出可行域如图所示：由3z x y =-得33x z y =-，平移直线33x zy =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33x zy =-的截距最大，此时z 最小由1{2x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=-故答案为10-三、解答题21．（1）3A π=；（2）13【解析】 【分析】 （1）把sin 31cos a C c A =-中的边化为角的正弦的形式，再经过变形可得3sin()32A π+=进而可求得3A π=．（2）由ABC S ∆=16bc =，再由余弦定理可求得a =．【详解】 （1）由正弦定理及sin 1cos a C A =-得sin sin 1cos A CC A=-，∵sin 0C ≠，∴)sin 1cos A A =-，∴sin 2sin 3A A A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∴sin 3A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又0A π<<， ∴4333A πππ<+<， ∴233A p p +=， ∴3A π=．（2）∵1sin 2ABC S bc A ∆==， ∴16bc =．由余弦定理得()()222222cos 233a b c bc b c bc bc b c bc π=+-=+--=+-，又10b c +=，∴221031652a =-⨯=，a ∴=【点睛】解三角形经常与三角变换结合在一起考查，解题时注意三角形三个内角的关系．另外，使用余弦定理解三角形时，注意公式的变形及整体思想的运用，如()2222b c b c bc +=+-等，可简化运算提高解题的速度．22．（1）n a n =，2nn b =；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差中项的性质可得出3434a a =⎧⎨=⎩，可计算出1a 和d的值，利用等差数列的通项公式可求出n a ，根据题意得出1b 与q 的方程组，结合条件1q >，求出1b 和q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n b ；（2）利用分组求和法结合等比数列的求和公式得出()()1122213n n nB++--=，可得出131122121n n n n b B +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，然后利用裂项法可求出n T ，即可证明出32n T <. 【详解】（1）1359a a a ++=Q ，由等差中项的性质得339a =，33a ∴=，同理可得44a =， 设等差数列{}n a 的公差为d ，43431d a a ∴=-=-=，1323211a a d =-=-⨯=，()1111n a a n d n n ∴=+-=+-=.由题意得()22412311208b b b q q b b q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩，两个等式相除得2152q q +=，整理得22520q q -+=.1q >Q ，解得2q =，12b ∴=，因此，111222n n n n b b q --==⨯=；（2）442n n nn n c b =-=-Q ，()()()1122424242n n n B =-+-++-Q L ()()()()()112121414212444442222214123n n n nnn ++---=+++-+++=-=----L L ()()11112221432233n n n n ++++---⋅+==，()()()()()()111112323222221222121213n n nn n n n n n n n b B +++++⋅∴===⋅------()()()()111212133112221212121n nn n n n +++---⎛⎫=⋅=- ⎪----⎝⎭，22311313113113131122122121221212212n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解，数列不等式的证明，涉及了裂项求和法与分组求和法，考查计算能力，属于中等题.23．（1）n a n =，12n n b -=；（2）21nn + 【解析】 【分析】（1）由题意,要求数列{}n a 与{}n b 的通项公式,只需求公差，公比,因此可将公差,公比分别设为d ，q ,然后根据等差数列的前项和公式,代入226b S =,238b S +=,求出d ，q 即可写出数列{}n a 与{}n b 的通项公式． （2）由（1）可得()11212n S n n n =++⋯+=+,即()121ns n n =+,而要求12111n S S S ++⋯+,故结合1n s 的特征可变形为11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,代入化简即可． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，d ＞0，{}n b 的等比为q则1(1)n a n d =+- ,1n n b q -=,依题意有()26338q d q d ⎧+=⎨++=⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩或439d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩（舍去）故1,2n n n a n b -==,（2）由（1）可得()11212n S n n n =++⋯+=+ ∴11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭∴1211111111212231n S S S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭． 【点睛】本题第一问主要考查了求数列的通项公式,较简单,只要能写出n S 的表达式,然后代入题中的条件正确计算即可得解,但要注意d ＞0．第二问考查了求数列的前n 项和，关键是要分析数列通项的特征,将()121n s n n =+等价变形为11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,然后代入计算，这也是求数列前n 项和的一种常用方法--裂项相消法！ 24．（1）=BC 2【解析】 【分析】（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==，在ADB △与ADC V 中，由余弦定理即可解得m 的值．（2）在ACE △与BCE V 中，由正弦定理，角平分线的性质可得AE AC BE BC ==．可求BE =，215AE =（）．利用余弦定理可求cos BAC ∠的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin BAC ∠的值，利用三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】解：（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==．在ADB V 与ADC V 中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．即：212cos 4m m ADB +-∠=，①212cos 1m m ADB ++∠=．②由①+②，得：232m =，所以m =BC = （2）在ACE V 与BCE V 中，由正弦定理得：,sin sin sin sin AE EC BE ECACE EAC BCE CBE==∠∠∠∠，由于ACE BCE ∠=∠，且sin sin BC ACBAC CBA=∠∠，所以6AE AC BE BC ==．所以BE =，所以215AE =（）．又222222121cos 22214AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯，所以sin BAC ∠=，所以11211225420ACE S AC AE sin BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=V （）． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，角平分线的性质，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 25．（1）见解析（2）1242n n n S -+=- 【解析】 【分析】（1）根据数列{}n a 的递推公式及21n n b a -=，可表示出1n b +与n b 的等量关系，再将等式变形即可证明数列{}2n b +为等比数列；（2）由（1）可求得数列{}n b 的通项公式，代入后可得3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，结合错位相减法即可求得前n 项和n S ． 【详解】（1）()121221212212222n n n n n n b a a a a b ++--===+=+=+，所以()1222n n b b ++=+，即1222n n b b ++=+， 又因为112230b a +=+=≠，所以数列{}2n b +是以3为首项以2为公比的等比数列．（2）由（1）得，1232n n b -+=⋅，11332322n n n n n nb --==+⋅， 所以02111222n n n n n S ---=+++L 0222222n n n S -=+++L 则1021122222n n n n n n S S S --⎛⎫=-=-+++ ⎪⎝⎭L 11111221212n n n --⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=-+- 1242n n -+=-． 【点睛】 本题考查了由递推公式证明数列为等比数列，错位相减法的求和应用，属于中档题. 26．（1）72（2）3a >- 【解析】 【分析】（1）由题得()122f x x x=++，再利用对勾函数的性质得到函数()f x 的最小值；（2）等价于22y x x a =++＞0,再利用函数的单调性求函数的最小值即得解. 【详解】 （1）当12a =时，()122f x x x =++， ∵()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，∴由对勾函数的性质知函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为()712f =. （2）在区间[)1,+∞上，()220x x af x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立．设22y x x a =++，[)1,x ∈+∞，因为()222+a=11y x x x a =+++-在[)1,+∞上递增， ∴当1x =时，min 3y a =+，于是，当且仅当min 30y a =+>时，函数()0f x >恒成立， 故3a >-. 【点睛】本题主要考查对勾函数的性质，考查不等式的恒成立问题和二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

2020-2021学年上海市某校高一（上）月考数学试卷（10月份）一.填空题（本大题共12题，1-6每题3分，7-12每题4分，共42分）1. 已知集合M＝{x|x(4−x)<0}，N＝{x|(x−1)(x−6)<0, x∈Z}，则M∩N＝________．2. 不等式1x <12的解集是________．3. 不等式5−xx+4≥1的解集为________．4. 不等式(x+2)(x+1)2(x−1)3(x−2)≤0的解集为________．5. 若不等式ax2−bx+c<0的解集是(−2, 3)，则不等式bx2+ax+c<0的解集是________．6. 已知A＝{x||2x−3|<a}，B＝{x||x|≤10}，且A⫋B，则实数a的取值范围是________．7. 关于x的方程m(x−3)+3=m2x的解为不大于2的实数，则m的取值范围为________．8. 若已知不等式2x−1>m(x2−1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为________．9. 已知集合A={x|x2−5x+4≤0}，集合B={x|x2−2ax+a+2≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．10. 已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1, 2]，y∈[2, 3]恒成立，则实数a的取值范围是________．二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）不等式|a+b||a|+|b|≤1成立的充要条件是（）A.ab≠0B.a2+b2≠0C.ab>0D.ab<0x为实数，且|x−5|+|x−3|<m有解，则m的取值范围是（）A.m>1B.m≥1C.m>2D.m≥2已知关于x的不等式ax+b>0的解集是(1, +∞)，则关于x的不等式ax−bx−2>0的解集是（）A.{x|x<−1或x>2}B.{x|−1<x<2}C.{x|1<x<2}D.{x|x>2}不等式组{x>03−x 3+x >|2−x2+x|的解集是（）A.{x|0<x<2}B.{x|0<x<2.5}C.{x|0<x<√6}D.{x|0<x<3}三.解答题（本大题共4题，共14+14+14+20=62分）已知f(x)=−3x2+a(6−a)x+6．(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b的解集为(−1, 3)，求实数a，b的值．a∈R，解关于x的不等式x−1x≥a(x−1)．已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x−3−a，如果函数y=f(x)在区间[−1, 1]上有零点，求a的取值范围．（附加题）已知S1、S2、S3为非空整数集合，对于1、2、3的任意一个排列i、j、k，若x∈S i，y∈S j，则x−y∈S k．（1）证明：三个集合中至少有两个相等；（2）三个集合中是否可能有两个集合无公共元素？说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年上海市某校高一（上）月考数学试卷（10月份）一.填空题（本大题共12题，1-6每题3分，7-12每题4分，共42分）1.【答案】{5}【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．【解答】∵M＝{x|x<0或x>4}，N＝{x|1<x<6, x∈Z}＝{2, 3, 4, 5}，∴M∩N＝{5}．2.【答案】(−∞, 0)∪(2, +∞)【考点】其他不等式的解法【解析】根据x大于0和x小于0分两种情况考虑，当x大于0时，去分母得到不等式的解集，与x大于0求出交集即为原不等式的解集；当x小于0时，去分母得到不等式的解集，与x小于0求出交集即为原不等式的解集，综上，得到所有满足题意的x的范围即为原不等式的解集．【解答】解：当x>0时，去分母得：x>2，所以原不等式的解集为：(2, +∞)；当x<0时，去分母得：x<2，所以原不等式的解集为：(−∞, 0)，综上，原不等式的解集为：(−∞, 0)∪(2, +∞)．故答案为：(−∞, 0)∪(2, +∞)3.【答案】(−4, 1 2 ]【考点】其他不等式的解法【解析】把要解的不等式转化为与之等价的一元二次不等式，从而求得它的解集．【解答】不等式5−xx+4≥1，即2x−1x+4≤0，即(2x−1)⋅(x+4)≤0且x+4≠0，求得−4<x≤12，4.【答案】(−∞, −2]∪{−1}∪[1, 2]【考点】其他不等式的解法【解析】根据“数轴穿根法”求解即可．【解答】根据题意，作出如下的图形，由图可知，不等式的解集为(−∞, −2]∪{−1}∪[1, 2]．5.【答案】(−3, 2)【考点】根与系数的关系一元二次不等式的解法【解析】根据不等式ax2−bx+c<0的解集得出a>0，ca 与ba的值，把不等式bx2+ax+c<0化为x2+x−6<0，从而得出不等式的解集．【解答】解：∵不等式ax2−bx+c<0的解集是(−2, 3)，∴a>0，且对应方程ax2−bx+c=0的实数根是−2和3，由根与系数的关系，得：{ca=−2×3，ba=−2+3，即ca =−6，ba=1，∴b>0，且ab =1，cb=−6，∴不等式bx2+ax+c<0可化为：x2+x−6<0，解得−3<x<2，∴该不等式的解集为(−3, 2)．故答案为：(−3, 2)．6.【答案】(−∞, 17]【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】根据题意，可得B，分两种情况讨论A包含于B时a的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，易得B ＝{x|−10≤x ≤10}， 若A 是B 的真子集，分两种情况讨论： 当a ≤0时，A ＝⌀，此时A 包含于B ； 当a >0时，|2x −3|<a ⇒3−a 2<x <3+a 2，若A 包含于B ，则有{3−a 2≥−103+a 2≤10⇒a ≤17，a 的取值范围为(0, 17]； 7. 【答案】(−∞,−32]∪(0,1)∪(1,+∞)【考点】一元二次不等式的解法 【解析】把原方程化为未知项移到左边，常数项移动右边，然后当m =0和m =1时，分别代入即可得到方程不成立；当m 不等于0且m 不等于1时，求出方程的解，让方程的解小于等于2，列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可得到m 的取值范围，综上，得到符合题意的m 的取值范围． 【解答】解：由m(x −3)+3=m 2x 得： (m 2−m)x =−3m +3，若m =0，不成立；m =1，解得x 为R ，不成立， 若m ≠0且m ≠1时，则x =−3(m−1)m(m−1)=−3m ≤2，即2m+3m≥0，可化为：m(2m +3)≥0，解得：m ≥0或m ≤−32， 综上，得到m 的取值范围为：(−∞,−32]∪(0,1)∪(1,+∞)． 故答案为：(−∞,−32]∪(0,1)∪(1,+∞)8. 【答案】(√7−12，√3+12) 【考点】一元二次不等式与二次函数 【解析】构造变量m 的函数，对x 2−1>0，x 2−1<0，x 2−1=0，进行分类讨论，利用|m|≤2时函数的取值，分别求出x 的范围，然后求并集即可． 【解答】解：构造变量m 的函数求解：2x −1>m(x 2−1)， 即：(x 2−1)m −(2x −1)<0，构造关于m 的函数f(m)=(x 2−1)m −(2x −1)， |m|≤2即−2≤m ≤2．1)当x 2−1>0时，则f(2)<0 ，从而 2x 2−2x −1<0，解得：1−√32<x <1+√32又x 2−1>0，即x <−1 或 x >1， 所以 1<x <1+√32；2)当x 2−1<0时，则f(−2)<0 可得−2x 2−2x +3<0 ， 从而 2x 2+2x −3>0 解得 x <−1−√72或x >√7−12， 又−1<x <1， 从而√7−12<x <13)当x 2−1=0时，则f(m)=1−2x <0 ， 从而x >12，故x =1；综上有：√7−12<x <1+√32.故答案为：(√7−12，√3+12). 9. 【答案】 −1<a ≤187【考点】集合关系中的参数取值问题 【解析】分别解出集合A 、B ，对于集合B ，我们需要讨论它是不是空集，再根据子集的定义进行求解； 【解答】解：集合A ={x|x 2−5x +4≤0}，集合B ={x|x 2−2ax +a +2≤0}， B ⊆A ，解得A ={x|1≤x ≤4}，若B ≠⌀，△=(−2a)2−4(a +2)=4a 2−4a −8>0， 可得a ≥2或a ≤−1；B ={x|a −√a 2−a −2≤x ≤a +√a 2−a −2}， ∵ B ⊆A ，∴ {a +√a 2−a −2≤4①a −√a 2−a −2≥1②，解不等式①得，a ≤187，解不等式②得，1≤a ≤3，取交集得，1≤a ≤187，又∵ △≥0，可得a ≥2或a ≤−1； 可得2≤a ≤187当a =187符合题意；当a =2符合题意；∴ 2≤a ≤187若B =⌀，可得△=(−2a)2−4(a +2)=4a 2−4a −8<0， −1<a <2；综上可取并集得：−1<a ≤187故答案为：−1<a ≤187；10.【答案】 [−1, +∞) 【考点】 不等式的综合 【解析】本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在解答时，首先可以分离参数将问题转化为：a ≥yx −2(yx )2对于x ∈[1, 2]，y ∈[2, 3]恒成立，然后解答此恒成立问题即可获得问题的解答． 【解答】由题意可知：不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1, 2]，y ∈[2, 3]恒成立， 即：a ≥yx −2(y x )2，对于x ∈[1, 2]，y ∈[2, 3]恒成立， 令t =yx ，则1≤t ≤3，∴ a ≥t −2t 2在[1, 3]上恒成立， ∵ y =−2t 2+t =−2(t −14)2+18∴ y max ＝−1， ∴ a ≥−1二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】由于题中分式，故要保证分母不为0，即a 2+b 2≠0，故得不等式成立的充要条件是a 2+b 2≠0． 【解答】 解： ∵ |a+b||a|+|b|≤1∴ a ，b 不能同时为0，即a 2+b 2≠0 ∴ |a +b|≤|a|+|b| 两边平方得2ab ≤2|a||b| 不等式恒成立 故选B ．【答案】C【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】求出|x−5|+|x−3|的最小值，只需m大于最小值即可满足题意．【解答】解：|x−5|+|x−3|<m有解，只需m大于|x−5|+|x−3|的最小值，|x−5|+|x−3|≥2，所以m>2，|x−5|+|x−3|<m有解．故选C．【答案】A【考点】其他不等式的解法【解析】由题意知，a>0，且−ba =1，故不等式ax−bx−2>0可等价于a(x+1)(x−2)>0，解之即可．【解答】∵不等式ax+b>0的解集是(1, +∞)，∴a>0，且−ba=1，即b＝−a，不等式ax−bx−2>0等价于(ax−b)(x−2)>0，即a(x+1)(x−2)>0，∴x<−1或x>2．【答案】C【考点】其他不等式的解法【解析】把不等式化为{x>0(3−x)(2+x)>|2−x|(3+x)，讨论0<x≤2和x>2时，去掉绝对值，解不等式即可．【解答】解：不等式组{x>03−x3+x>|2−x2+x|等价于{x>0(3−x)(2+x)>|2−x|(3+x)，当0<x≤2时，有(3−x)(2+x)>(2−x)(3+x)，解得x>0，应取0<x≤2；当x>2时，有(3−x)(2+x)>(x−2)(3+x)，解得−√6<x<√6，应取2<x<√6；综上，原不等式的解集为{x|0<x<√6}．故选：C．三.解答题（本大题共4题，共14+14+14+20=62分）【答案】解：(1)∵f(x)=−3x2+a(6−a)x+6，f(1)>0，∴−3+a(6−a)+6>0，∴a2−6a−3<0，∴3−2√3<a<3+2√3，∴不等式的解集为{a|3−2√3<a<3+2√3}.(2)∵不等式f(x)>b的解集为(−1, 3)，∴−3x2+a(6−a)x+6>b的解集为(−1, 3)，∴−1，3是方程3x2−a(6−a)x−6+b=0的两个根，∴{−1+3=a(6−a)3，(−1)×3=−6+b3，∴a=3±√3，b=−3.【考点】根与系数的关系一元二次不等式的应用一元二次不等式的解法【解析】（1）f(1)>0，即−3+a(6−a)+6>0，即a2−6a−3<0，由此可得不等式的解集；（2）不等式f(x)>b的解集为(−1, 3)，等价于−3x2+a(6−a)x+6>b的解集为(−1, 3)，即−1，3是方程3x2−a(6−a)x−6+b=0的两个根，利用韦达定理可求实数a，b的值．【解答】解：(1)∵f(x)=−3x2+a(6−a)x+6，f(1)>0，∴−3+a(6−a)+6>0，∴a2−6a−3<0，∴3−2√3<a<3+2√3，∴不等式的解集为{a|3−2√3<a<3+2√3}.(2)∵不等式f(x)>b的解集为(−1, 3)，∴−3x2+a(6−a)x+6>b的解集为(−1, 3)，∴−1，3是方程3x2−a(6−a)x−6+b=0的两个根，∴{−1+3=a(6−a)3，(−1)×3=−6+b3，∴a=3±√3，b=−3.【答案】解：原不等式可转化为(x−1)[(1−a)x+1]x≥0(∗)．(1)当a=1时，(∗)式为x−1x≥0，解得x<0或x≥1．(2)当a≠1时，(∗)可式为(1−a)(x−1)(x+11−a)x≥0①若a<1，则a−1<0，1a−1<0，解得1a−1≤x<0，或x≥1；②若1<a≤2，则1−a<0，1a−1≥1，解得x<0，或1≤x≤1a−1；③若a>2，则a−1>1，0<1a−1<1，1−a<0，解得x<0，或1a−1≤x≤1；综上，当a=1时，不等式解集为{x|x<0或x≥1}当a<1时，不等式解集为{x|1a−1≤x<0, 或x≥1}当1<a≤2时，不等式解集为{x|x<0, 或1≤x≤1a−1}当a>2时，不等式解集为{x|x<0, 或1a−1≤x≤1}．【考点】其他不等式的解法【解析】通过方程的根的大小对a的讨论，然后求出表达式的解集．【解答】解：原不等式可转化为(x−1)[(1−a)x+1]x≥0(∗)．(1)当a=1时，(∗)式为x−1x≥0，解得x<0或x≥1．(2)当a≠1时，(∗)可式为(1−a)(x−1)(x+11−a)x≥0①若a<1，则a−1<0，1a−1<0，解得1a−1≤x<0，或x≥1；②若1<a≤2，则1−a<0，1a−1≥1，解得x<0，或1≤x≤1a−1；③若a>2，则a−1>1，0<1a−1<1，1−a<0，解得x<0，或1a−1≤x≤1；综上，当a=1时，不等式解集为{x|x<0或x≥1}当a<1时，不等式解集为{x|1a−1≤x<0, 或x≥1}当1<a≤2时，不等式解集为{x|x<0, 或1≤x≤1a−1}当a>2时，不等式解集为{x|x<0, 或1a−1≤x≤1}．【答案】解：a=0时，不符合题意，所以a≠0，又∴f(x)=2ax2+2x−3−a=0在[−1, 1]上有解，⇔(2x2−1)a=3−2x在[−1, 1]上有解⇔1a =2x2−13−2x在[−1, 1]上有解，问题转化为求函数y=2x 2−13−2x[−1, 1]上的值域；设t=3−2x，x∈[−1, 1]，则2x=3−t，t∈[1, 5]，y=12⋅(t−3)2−2t=12(t+7t−6)，设g(t)=t+7t ．g′(t)=t2−7t2，t∈[1,√7)时，g′(t)<0，此函数g(t)单调递减，t∈(√7，5]时，g′(t)>0，此函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是[√7−3，1]，∴f(x)=2ax2+2x−3−a=0在[−1, 1]上有解⇔1a∈[√7−3，1]⇔a≥1或a≤−3+√72．故a≥1或a≤−3+√72．【考点】函数零点的判定定理【解析】y=f(x)在区间[−1, 1]上有零点转化为(2x2−1)a=3−2x在[−1, 1]上有解，把a用x表示出来，转化为求函数y=2x 2−13−2x在[−1, 1]上的值域，再用分离常数法求函数y=2x2−13−2x在[−1, 1]的值域即可．【解答】解：a=0时，不符合题意，所以a≠0，又∴f(x)=2ax2+2x−3−a=0在[−1, 1]上有解，⇔(2x2−1)a=3−2x在[−1, 1]上有解⇔1a =2x2−13−2x在[−1, 1]上有解，问题转化为求函数y=2x 2−13−2x[−1, 1]上的值域；设t=3−2x，x∈[−1, 1]，则2x=3−t，t∈[1, 5]，y=12⋅(t−3)2−2t=12(t+7t−6)，设g(t)=t+7t ．g′(t)=t2−7t2，t∈[1,√7)时，g′(t)<0，此函数g(t)单调递减，t∈(√7，5]时，g′(t)>0，此函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是[√7−3，1]，∴f(x)=2ax2+2x−3−a=0在[−1, 1]上有解⇔1a∈[√7−3，1]⇔a≥1或a≤−3+√72．故a≥1或a≤−3+√72．（附加题）【答案】若x∈S i，y∈S j，则y−x∈S k，从而(y−x)−y＝−x∈S i，所以S i中有非负元素，由i，j，k的任意性可知三个集合中都有非负元素，若三个集合都没有0，则取S1∪S2∪S3中最小的正整数a（由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a存在），不妨设a∈S1，取S2∪S3中的最小正整数b，并不妨设b∈S2，这时b>a（否则b不可能大于a，只能等于a，所以b−a＝0∈S3，矛盾），但是，这样就导致了0<b−a<b，且b−a∈S3，这时与b为S2∪S3中的最小正整数矛盾，∴三个集合中必有一个集合含有0．∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设0∈S1，则对任意x∈S2，有x−0＝x∈S3，∴S2包含于S3，对于任意y∈S3，有y−0＝y∈S2，∴S3包含于S2，则S2＝S3，综上所述，这三个集合中必有两个集合相等；可能，比如S1＝{奇数}，S2＝{奇数}，S3＝{偶数}，这时S1∩S3＝⌀．【考点】子集与交集、并集运算的转换【解析】（1）根据条件，若x∈S i，y∈S j，则y−x∈S k，从而(y−x)−y＝−x∈S i，这便说明S i中有非负元素，从而三个集合中都有非负元素．可以看出若0∈S i，任意x∈S j，都有x−0＝x∈S k，从而说明S j⊆S k，而同理可得到S k⊆S j，从而便可得出S j＝S k，这便得出3个集合中至少有两个相等，从而来证明在三个集合中有一个集合含有0即可，可用反证法，即假设三个集合都不含0，然后推出矛盾即可；（2）3个集合中可能有两个集合无公共元素，只需举一个这样的例子即可．【解答】若x∈S i，y∈S j，则y−x∈S k，从而(y−x)−y＝−x∈S i，所以S i中有非负元素，由i，j，k的任意性可知三个集合中都有非负元素，若三个集合都没有0，则取S1∪S2∪S3中最小的正整数a（由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a存在），不妨设a∈S1，取S2∪S3中的最小正整数b，并不妨设b∈S2，这时b>a（否则b不可能大于a，只能等于a，所以b−a＝0∈S3，矛盾），但是，这样就导致了0<b−a<b，且b−a∈S3，这时与b为S2∪S3中的最小正整数矛盾，∴三个集合中必有一个集合含有0．∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设0∈S1，则对任意x∈S2，有x−0＝x∈S3，∴S2包含于S3，对于任意y∈S3，有y−0＝y∈S2，∴S3包含于S2，则S2＝S3，综上所述，这三个集合中必有两个集合相等；可能，比如S1＝{奇数}，S2＝{奇数}，S3＝{偶数}，这时S1∩S3＝⌀．。

2020-2021上海延安实验初级中学高一数学上期末第一次模拟试题(带答案)一、选择题1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =I （ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,22．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称3．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>4．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12B ．2C ．2 D ．25．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．6．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．10938．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ）A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<9．已知01a <<，则方程log xa a x =根的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3根10．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．13B ．14C ．3D ．412．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值二、填空题13．已知函数()()22,03,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()()()200,3f af x a x -=∈的所有实数根的和为_______.14．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．15．已知关于x 的方程()224log 3log +-=x x a 的解在区间()3,8内，则a 的取值范围是__________.16．已知()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，其中a 是方程lg 4x x +=的解，b 是方程104x x +=的解，如果关于x 的方程()f x x =的所有解分别为1x ，2x ，…，n x ，记121==+++∑nin i xx x x L ，则1ni i x ==∑__________．17．函数()()4log 5f x x =-+________.18．已知函数1,0()ln 1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解()a b c a b c <<、、，则()a b c +的取值范围为______；19．若函数()22xxe a x ef x -=++-有且只有一个零点，则实数a =______.20．已知函数()232,11,1x x f x x ax x ⎧+<=⎨-+≥⎩，若()()02f f a =，则实数a =________________. 三、解答题21．计算221(1).log 24lglog lg 2log 32+--32601(8)9⎛⎫--- ⎪⎝⎭－　22．对于函数()()()2110f x ax b x b a =+++-≠，总存在实数0x ，使()00f x mx =成立，则称0x 为()f x 关于参数m 的不动点．（1）当1a =，3b =-时，求()f x 关于参数1的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有关于参数1两个不动点，求a 的取值范围； （3）当1a =，5b =时，函数()f x 在(]0,4x ∈上存在两个关于参数m 的不动点，试求参数m 的取值范围．23．已知定义域为R 的函数211()22x x f x a +=-+是奇函数.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性，并用定义加以证明.24．已知()()122x x f x a a R +-=+∈n .（1）若()f x 是奇函数，求a 的值，并判断()f x 的单调性（不用证明）； （2）若函数()5y f x =-在区间(0,1)上有两个不同的零点，求a 的取值范围.25．已知2()12xf x =+，()()1g x f x =-. （1）判断函数()g x 的奇偶性；（2）求101011()()i i f i f i ==-+∑∑的值.26．已知()log a f x x =，()()()2log 2201,1,a g x x a a a =+>+≠∈R ，()1h x x x=+. （1）当[)1,x ∈+∞时，证明：()1h x x x=+为单调递增函数； （2）当[]1,2x ∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．2．C解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 3．A解析：A 【解析】 【分析】构造函数()log 2x xf x =，利用单调性比较大小即可. 【详解】构造函数()21log 1log 212log xx x f x x==-=-，则()f x 在()1,+∞上是增函数， 又()6a f =，()10b f =，()14c f =，故a b c <<. 故选A 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.4．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.5．B解析：B 【解析】因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．6．B解析：B 【解析】 【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <n 所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．7．D解析：D【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log n a a M n M =.8．C解析：C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数 ()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．9．B解析：B 【解析】 【分析】在同一平面直角坐标系中作出()xf x a =与()log a g x x =的图象，图象的交点数目即为方程log xa a x =根的个数. 【详解】作出()xf x a =，()log a g x x =图象如下图：由图象可知：()(),f x g x 有两个交点，所以方程log xa a x =根的个数为2.故选：B . 【点睛】本题考查函数与方程的应用，着重考查了数形结合的思想，难度一般.(1)函数()()()h x f x g x =-的零点数⇔方程()()f x g x =根的个数⇔()f x 与()g x 图象的交点数；(2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围等问题.10．B解析：B 【解析】 【分析】根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】 因为()2ln f x x x=-在定义域内递增， 且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =->， 由零点存在性定理可得023x <<，根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =， 故选：B. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.11．C解析：C【解析】【分析】根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果.【详解】f(log43)＝log434=3,选C.【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题.12．D解析：D【解析】【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解【详解】画出()f x的图像，如图（实线部分），由()1152y xy x=+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A．故()f x有最大值2，无最小值故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．二、填空题13．【解析】【分析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的所有根之和进而可求出原方程所有实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象解析：3【解析】【分析】由()()20fx af x -=可得出()0f x =和()()()0,3f x a a =∈，作出函数()y f x =的图象，由图象可得出方程()0f x =的根，将方程()()()0,3f x a a =∈的根视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程()()()0,3f x a a =∈的所有根之和，进而可求出原方程所有实根之和. 【详解】()()()2003f x af x a -=<<Q ，()0f x ∴=或()()03f x a a =<<.方程()()03f x a a =<<的根可视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标， 作出函数()y f x =和直线y a =的图象如下图：由图象可知，关于x 的方程()0f x =的实数根为2-、3.由于函数()22y x =+的图象关于直线2x =-对称，函数3y x =-的图象关于直线3x =对称，关于x 的方程()()03f x a a =<<存在四个实数根1x 、2x 、3x 、4x 如图所示， 且1222+=-x x ，3432x x +=，1234462x x x x ∴+++=-+=， 因此，所求方程的实数根的和为2323-++=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查方程的根之和，本质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14．【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有 解析：(1,2)【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，当4x ≥时，4()1f x x =+单调递减，且4112x<+≤，当04x <<时，2()log f x x =单调递增，且2()log 2f x x =<，所以函数()f x 的图象与直线y k =有两个交点时，有12k <<．15．【解析】【分析】根据方程的解在区间内将问题转化为解在区间内即可求解【详解】由题：关于的方程的解在区间内所以可以转化为：所以故答案为：【点睛】此题考查根据方程的根的范围求参数的取值范围关键在于利用对数 解析：()23log 11,1-+【解析】 【分析】根据方程的解在区间()3,8内，将问题转化为23log x a x+=解在区间()3,8内，即可求解. 【详解】由题：关于x 的方程()224log 3log +-=x x a 的解在区间()3,8内， 所以()224log 3log +-=x x a 可以转化为：23log x a x+=， ()3,8x ∈，33111,28x x x +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 所以()23log 11,1a ∈-+ 故答案为：()23log 11,1-+ 【点睛】此题考查根据方程的根的范围求参数的取值范围，关键在于利用对数运算法则等价转化求解值域.16．【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质可求得的等量关系代入解析式可得分段函数分别解方程求得方程的解即可得解【详解】是方程的解是方程的解则分别为函数与函数和图像交点的横坐标因为和互为反函数所以 解析：1-【解析】 【分析】根据互为反函数的两个图像与性质,可求得a ,b 的等量关系,代入解析式可得分段函数()f x .分别解方程()f x x =,求得方程的解,即可得解.【详解】a 是方程lg 4x x +=的解,b 是方程104x x +=的解,则a ,b 分别为函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像交点的横坐标 因为lg y x =和10x y =互为反函数,所以函数lg y x =和10x y =图像关于y x =对称所以函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像的两个交点也关于y x =对称 所以函数4y x =-+与y x =的交点满足4y x y x =-+⎧⎨=⎩,解得22x y =⎧⎨=⎩根据中点坐标公式可得4a b += 所以函数()242,02,0x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩ 当0x ≤时,()242f x x x =++,关于x 的方程()f x x =,即242x x x ++= 解得2,1x x =-=-当0x >时,()2f x =,关于x 的方程()f x x =,即2x =所以()()12121ni i x ==-+-+=-∑故答案为:1-【点睛】本题考查了函数与方程的关系,互为反函数的两个函数的图像与性质,分段函数求自变量,属于中档题.17．【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题；常见的形式有：1分式函数分母不能为0；2偶次 解析：[)0,5【解析】【分析】根据题意，列出不等式组50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解出即可. 【详解】要使函数()()4log 5f x x =-+有意义，需满足50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解得05x <≤，即函数的定义域为[)0,5， 故答案为[)0,5.【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集. 18．【解析】【分析】画出的图像根据图像求出以及的取值范围由此求得的取值范围【详解】函数的图像如下图所示由图可知令令所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质考查数形结合的数学思想方法属解析：)22,2e e ⎡--⎣【解析】【分析】画出()f x 的图像，根据图像求出+a b 以及c 的取值范围，由此求得()a b c +的取值范围.【详解】函数()f x 的图像如下图所示，由图可知1,22a b a b +=-+=-.令2ln 11,x x e -==，令ln 10,x x e -==，所以2e c e <≤，所以)2()22,2a b c c e e ⎡+=-∈--⎣. 故答案为：)22,2e e ⎡--⎣【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 19．2【解析】【分析】利用复合函数单调性得的单调性得最小值由最小值为0可求出【详解】由题意是偶函数由勾形函数的性质知时单调递增∴时递减∴因为只有一个零点所以故答案为：2【点睛】本题考查函数的零点考查复合 解析：2【解析】【分析】利用复合函数单调性得()f x 的单调性，得最小值，由最小值为0可求出a ．【详解】由题意()22122x x x x e e x a e x a ef x -=++-=++-是偶函数， 由勾形函数的性质知0x ≥时，()f x 单调递增，∴0x ≤时，()f x 递减．∴min ()(0)f x f =，因为()f x 只有一个零点，所以(0)20f a =-=，2a =．故答案为：2.【点睛】本题考查函数的零点，考查复合函数的单调性与最值．掌握复合函数单调性的性质是解题关键．20．2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式直接代入即可求出实数的值【详解】由题意得：所以由解得故答案为：2【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题属于一般难度的题解析：2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式，直接代入即可求出实数a 的值.【详解】由题意得：()00323f =+=，()23331103f a a =-+=-， 所以由()()01032f f a a =-=， 解得2a =.故答案为：2.【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题，属于一般难度的题.三、解答题21．（1）32.（2）44. 【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）底数相同的对数先加减运算，根号化为分数指数.（2）根号化为分数指数，再用积的乘方运算.试题解析：223222321(1).log 24lg log lg 2log 321(log 24log 3)(lg lg 2)log 32333log 8lg13222+--=-++-=+-=-=32601(-8)9⎛⎫-- ⎪⎝⎭－　11362322(32()3)1--=⨯--9827144=⨯--=考点：1.对数运算，指数运算.2.分数指数，零指数等运算.22．（1）4或1-；（2）()0,1；（3）(]10,11．【解析】【分析】（1）当1a =，3b =-时，结合已知可得2()24f x x x x =--=，解方程可求；（2）由题意可得，2(1)1ax b x b x +++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠，结合二次方程的根的存在条件可求；（3）当1a =，5b =时，转化为问题2()64f x x x mx =++=在(0,4]上有两个不同实数解，进行分离m ，结合对勾函数的性质可求．【详解】解：（1）当1a =，3b =-时，2()24f x x x =--，由题意可得，224x x x --=即2340x x --=，解可得4x =或1x =-，故()f x 关于参数1的不动点为4或1-；（2）由题意可得，2(1)1ax b x b x +++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠，则210ax bx b ++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠，所以△24(1)0b a b =-->恒成立，即2440b ab a -+>恒成立，∴216160a a ∆=-<，则01a <<，∴a 的取值范围是()0,1；（3）1a =，5b =时，2()64f x x x mx =++=在(0,4]上有两个不同实数解， 即46m x x-=+在(0，4]上有两个不同实数解， 令4()h x x x=+，04x <≤， 结合对勾函数的性质可知，465m <-≤，解可得，1011m <≤．故m 的范围为(]10,11．本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的灵活应用，属于中档题．23．（Ⅰ）1α= （Ⅱ）在R 上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）函数的定义域为R ，利用奇函数的必要条件，(0)0f =，求出a ，再用奇函数的定义证明；（2）判断()f x 在R 上单调递增，用单调性的定义证明，任取12x x <，求出函数值，用作差法，证明()()12f x f x <即可.【详解】 解：（Ⅰ）∵函数21()22x x f x a =-+是奇函数，定义域为R ， ∴(0)0f =，即11012a -=+， 解之得1α=，此时2121()2122(21)x x x x f x -=-=++ ()()2112()()221212x xx x f x f x -----===-++， ()f x ∴为奇函数，1a \=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()2121()212221x x x x f x -=-=++， 设12,x x R ∈，且12x x <，()()212121212122121x x x x f x f x ⎛⎫---=- ⎪++⎝⎭()()2211222121x x x x =++-∵12x x <，∴1222x x <，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <故()f x 在R 上单调递增.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，注意奇偶性必要条件的运用，减少计算量但要加以证明，考查函数单调性的证明，属于中档题.24．(1)答案见解析；(2)253,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】(1)函数为奇函数，则()()0f x f x -+=，据此可得2a =-，且函数()f x 在R 上单调递增；(2)原问题等价于22252x x a =-⋅+⋅在区间(0,1)上有两个不同的根，换元令2x t =，结合二次函数的性质可得a 的取值范围是253,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. 试题解析：（1）因为是奇函数，所以()()()()1122222220x x x x x x f x f x a a a -++---+=+⋅++⋅=++=， 所以； 在上是单调递增函数; (2)在区间(0,1)上有两个不同的零点， 等价于方程在区间(0,1)上有两个不同的根， 即方程在区间(0,1)上有两个不同的根， 所以方程在区间上有两个不同的根， 画出函数在(1,2)上的图象,如下图,由图知,当直线y =a 与函数的图象有2个交点时,所以的取值范围为. 点睛：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．25．（1）()g x 为奇函数；（2）20【解析】【分析】（1）先求得函数()g x 的定义域，然后由()()g x g x -=-证得()g x 为奇函数.（2）根据()g x 为奇函数，求得()()0g i g i -+=，从而得到()()2f i f i -+=，由此求得所求表达式的值.（1）12()12xx g x -=+，定义域为x ∈R ，当x ∈R 时，x R -∈. 因为11112212()()112212x x x x x x g x g x --+----====-++，所以()g x 为奇函数. （2）由（1）得()()0g i g i -+=，于是()()2f i f i -+=. 所以101010101111[()()()10()]2220i i i i f i f f i i i f ====-+====⨯+=-∑∑∑∑【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用函数的奇偶性进行计算，属于基础题.26．（1）证明见解析（2）4a =【解析】【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）首先表示出()()()F x g x f x =-，再根据复合函数的单调性分类讨论可得。

2020-2021学年上海市长宁区延安中学高一（上）第一次月考数学试卷一、填空题（每题3分，共42分）.1．设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝．2．不等式x（x﹣2）＜0的解集是．3．已知集合A＝{x|（x﹣1）2≤0}，B＝（1，2]，则A∪B＝．4．设集合A＝{，2}，B＝{3，﹣5，y}，若A⊆B，则xy＝．5．用描述法表示被3除余2的所有自然数组成的集合．6．满足{a，b}⊊A⊆{a，b，c，d，e}的集合A有个．7．已知α：x2﹣3x+2≤0，β：x＜a，若α是β的充分条件，则满足条件的最小的整数a为．8．已知集合P＝{x|2x2+x﹣3＝0}，Q＝{x|mx＝1}，若Q⊂P，则实数m的取值集合为．9．若关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则bx2+ax＜0的解集为．10．已知关于x的方程x2+ax+3a＝0的两个实根为x1，x2，x12x2+x1x22＝﹣9，则实数a ＝．11．有四个命题：①a＞b⇒c﹣a＜c﹣b；②a＞b，c＞0⇒＜；③ac2＞bc2⇒a＞b；④a3＞b3⇒＝a＞|b|．其中正确的命题是．（填序号）12．若关于x的不等式组的解集非空，则实数a的取值范围是．13．若关于x的不等式（a﹣1）x2+（a﹣1）x+2＞0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是．14．设a∈R，若x＞0时，均有（ax﹣1）（x2﹣3ax﹣1）≥0，则a＝．二、选择题（每题3分，共12分）15．若α：（x﹣1）（x+3）≥0，β：x﹣1≥0，则α是β的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．已知集合A＝{（x，y）||x+1|+（y﹣2）2＝0，x∈R，y∈R}，B＝{（x，y）|xy≤0，x∈R，y∈R}，则（）A．A∈B B．A⊆B C．A⊇B D．A∩B＝∅17．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜018．设U为全集，S1、S2、S3是U的三个非空子集，且S1∪S2∪S3＝U，则下列论断正确的是（）A．∩（S2∪S3）＝∅B．S1⊆∩C．∩∩＝∅D．S1⊆∪三、解答题（本大题共46分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤，）19．设集合A＝{x2，2x﹣1，﹣4}，B＝{x﹣5，1﹣x，9}，若A∩B＝{9}，求x的值及A∪B．20．设全集U＝R，P＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，Q＝{x|﹣3≤x﹣a≤3}．（1）若集合P∪Q＝Q，求实数a的取值范围；（2）若＝U，求实数a的取值范围．21．已知卡车从踩刹车到停车所滑行的距离s（米）与速度v（千米/小时）的平方和卡车总质量m（吨）的乘积成正比，设某辆卡车不装货物以60千米/小时的速度行驶时，从刹车到停车滑行了20米．（1）当这辆卡车不装货物以36千米/小时的速度行驶，从刹车到停车所滑行的距离为多少米？（2）如果这辆卡车装着等同于车重的货物行驶时，发现前面20米处有障碍物，卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过1秒，这时为了能在离障碍物5米以外处停车，最大限制时速应是多少千米/小时？（结果精确到0.1）22．设集合S＝{a|a＝m2﹣n2，m，n，∈Z}．（1）判断元素3是否属于集合S，并说明理由；（2）设集合P＝{b|b＝2t+1，t∈Z}，证明：P⊂S；（3）设c＝4k﹣2（k∈Z），证明：c∉S．23．符号[x]表示不大于x的最大整数（x∈R），例如[1.3]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．（1）解方程[x]＝2；（2）设A＝{x|[x2]≤8}，B＝{x|x2﹣7kx+10k2≥0}，A∪B＝R，求实数k的取值范围；（3）求方程4x2﹣40[x]+51＝0的实数解．参考答案一、填空题（每题3分，共42分）1．设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝{1}．解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x＞0}，∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1}∩{x|x＞0}＝{1}．故答案为：{1}．2．不等式x（x﹣2）＜0的解集是（0，2）．解：方程x（x﹣2）＝0的两根为0、2，又函数y＝x（x﹣2）的图象开口向上，∴x（x﹣2）＜0的解集是（0，2），故答案为：（0，2）．3．已知集合A＝{x|（x﹣1）2≤0}，B＝（1，2]，则A∪B＝[1，2]．【分析】先求出集合A，由此能求出A∪B．解：∵集合A＝{x|（x﹣1）2≤0}＝{1}，B＝（1，2]，∴A∪B＝[1，2]．故答案为：[1，2]．4．设集合A＝{，2}，B＝{3，﹣5，y}，若A⊆B，则xy＝18．【分析】由已知中A⊆B，可得∈B，即＝3或＝﹣5（舍去），y＝2，解方程后进而求出xy．解：∵A＝{，2}，B＝{3，﹣5，y}，又∵A⊆B，∴＝3或＝﹣5（舍去），y＝2，解得x＝9，y＝2，即xy＝18．故答案为：18．5．用描述法表示被3除余2的所有自然数组成的集合{x|x＝3k+2，k∈N}．【分析】根据集合描述法的定义即可求出结果．解：用描述法表示被3除余2的所有自然数组成的集合为{x|x＝3k+2，k∈N}，故答案为：{x|x＝3k+2，k∈N}．6．满足{a，b}⊊A⊆{a，b，c，d，e}的集合A有7个．【分析】集合A一定要含有a、b两个元素，且至少要多一个，多的元素只能从c、d、e 中选，推出集合A可以是下面7个集合．解：A可以为{c，a，b}，{a，b，d}，{a，b，e}，{c，a，b，d}，{c，a，b，e}，{a，b，d，e}，{c，a，b，d，e}个数为7．故答案为：7．7．已知α：x2﹣3x+2≤0，β：x＜a，若α是β的充分条件，则满足条件的最小的整数a为3．【分析】先解一元二次不等式求出α：1≤x≤2，再利用充要条件的定义得到答案．解：∵α：x2﹣3x+2≤0，∴1≤x≤2，∵α是β的充分条件，∴{x|1≤x≤2}⊆{x|x＜a}，∴a＞2，∴满足条件的最小的整数a为3，故答案为：3．8．已知集合P＝{x|2x2+x﹣3＝0}，Q＝{x|mx＝1}，若Q⊂P，则实数m的取值集合为{0，1，}．【分析】求出集合P，由Q⊂P，分情况讨论①m＝0时，Q＝∅，②m≠0时，Q⊊P，可得﹣m＝1或m＝1，即可求实数m的取值集合．解：∵集合集P＝{x|2x2+x﹣3＝0}＝{﹣，1}，Q＝{x|mx﹣1＝0}，①m＝0时，Q＝∅，满足Q⊊P．②m≠0时，Q⊊P，可得﹣m＝1或m＝1，∴m＝﹣或1综上所述，实数m的取值范围：{0，﹣，1}．故答案为：{0，﹣，1}．9．若关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则bx2+ax＜0的解集为（﹣∞，﹣6）∪（0，+∞）．【分析】根据题意可得﹣和是方程ax2+bx+2＝0的两个根，所以﹣+＝﹣，（﹣）×＝，从而解出a与b的值即可求出bx2+ax＜0的解集．解：根据题意，﹣和是方程ax2+bx+2＝0的两个根，则﹣+＝﹣；（﹣）×＝，解得a＝﹣12，b＝﹣2，则bx2+ax＜0等价于﹣2x2﹣12x＜0，即x2+6x＞0，解得x＜﹣6或x＞0，所以该不等式的解集为（﹣∞，﹣6）∪（0，+∞）．10．已知关于x的方程x2+ax+3a＝0的两个实根为x1，x2，x12x2+x1x22＝﹣9，则实数a＝．【分析】首先求得实数a的取值范围，然后利用韦达定理得到关于a的方程，解方程即可确定实数a的值．解：方程存在实数根，则Δ＝a2−12a≥0，∴a∈（−∞，0]∪[12，+∞），由题意结合韦达定理可得：x1+x2＝−a，x1x2＝3a，则：，解得：，其中时方程没有实数根，故．故答案为：．11．有四个命题：①a＞b⇒c﹣a＜c﹣b；②a＞b，c＞0⇒＜；③ac2＞bc2⇒a＞b；④a3＞b3⇒＝a＞|b|．其中正确的命题是①③．（填序号）【分析】直接利用不等式的性质，作差法，配凑法的应用判断①②③④的结论．解：对于①a＞b，根据不等式的性质，c﹣a＜c﹣b，故①正确；对于②a＞b，c＞0，由于a和b的符号不确定，故＜不一定成立，故②错误；对于③ac2＞bc2⇒a，根据不等式的性质，a＞b成立，故③正确；对于④a3＞b3⇒，整理得a＞b，故④错误．故答案为：①③．12．若关于x的不等式组的解集非空，则实数a的取值范围是（﹣1，3）．【分析】先解不等式组，再由其解集非空，可得a2﹣2a﹣3＜0，解之即可．解：不等式组可化为，∵该不等式组的解集非空，∴a2+1＜2a+4，即a2﹣2a﹣3＜0，解得﹣1＜a＜3，∴实数a的取值范围是（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．13．若关于x的不等式（a﹣1）x2+（a﹣1）x+2＞0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是[1，9）．【分析】根据已知，x的最高次幂的系数是否为0，利用二次函数的性质解决．解：∵（a﹣1）x2+（a﹣1）x+2＞0对一切实数x都成立，①当a﹣1＝0，即a＝1时，2＞0，对于一切实数x都成立；②当a﹣1≠0时，必有，解得：1＜a＜9，综合①②，得实数a的取值范围为[1，9）．故答案为：[1，9）．14．设a∈R，若x＞0时，均有（ax﹣1）（x2﹣3ax﹣1）≥0，则a＝．【分析】构造函数y1＝ax﹣1，y2＝x2﹣2ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1），确定a＞0，利用函数y2＝x2﹣2ax﹣1过点M（，0）解方程求出a的值．解：构造函数y1＝ax﹣1，y2＝x2﹣3ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1＝ax﹣1，令y＝0，得M（，0），所以a＞0；考查函数y2＝x2﹣3ax﹣1，显然过点M（，0），代入得：﹣3﹣1＝0，解得：a＝，或a＝﹣（舍去）．所以a＝．故答案为：．二、选择题（每题3分，共12分）15．若α：（x﹣1）（x+3）≥0，β：x﹣1≥0，则α是β的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接根据充分条件和必要条件的定义即可判断．解：由（x﹣1）（x+3）≥0，解得x≤﹣3或x≥1，由x﹣1≥0，解得x≥1，则由α不能推出β，但由β能推出α，故α是β的必要不充分条件，故选：A．16．已知集合A＝{（x，y）||x+1|+（y﹣2）2＝0，x∈R，y∈R}，B＝{（x，y）|xy≤0，x∈R，y∈R}，则（）A．A∈B B．A⊆B C．A⊇B D．A∩B＝∅【分析】先由题意求出集合A，B，再根据集合的包含关系求解即可得到答案．解：由题意可得A＝{（﹣1，2）}，B＝{（x，y）|xy≤0，x∈R，y∈R}，又有﹣1×2＝﹣2≤0，所以A⊆B，故选：B．17．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选：D．18．设U为全集，S1、S2、S3是U的三个非空子集，且S1∪S2∪S3＝U，则下列论断正确的是（）A．∩（S2∪S3）＝∅B．S1⊆∩C．∩∩＝∅D．S1⊆∪【分析】根据公式∁U（A∩B）＝（∁U A）∪（∁U B），∁U（A∪B）＝（∁U A）∩（∁U B），即可推出正确的结论．【解答】解法一：∵S1∪S2∪S3＝U，∴∁U S1∩∁U S2∩∁U S3＝∁U（S1∪S2∪S3）＝∁U U＝∅．解法二：由S1∪S2∪S3＝U，所以∁U S2＝S1∪S3，∁U S1∩∁U S2＝S3，∁U S3＝S1∪S2，所以∁U S1∩∁U S2∩∁U S3＝∅．故选：C．三、解答题（本大题共46分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤，）19．设集合A＝{x2，2x﹣1，﹣4}，B＝{x﹣5，1﹣x，9}，若A∩B＝{9}，求x的值及A∪B．【分析】根据A与B的交集为9，得到x2＝9或2x﹣1＝9，代入检验求出x的值，确定出A与B，求出两集合的并集即可．解：∵集合A＝{x2，2x﹣1，﹣4}，B＝{x﹣5，1﹣x，9}，且A∩B＝{9}，∴x2＝9或2x﹣1＝9，解得：x＝3或﹣3或5，当x＝3时，A＝{﹣4，9，5}，B＝{9，﹣2}，不合题意；当x＝﹣3时，A＝{﹣4，9，﹣7}，B＝{9，4，﹣8}，符合题意；当x＝5时，A＝{﹣4，9，25}，B＝{9，0，﹣4}，不合题意，∴x的值为﹣3，即A＝{﹣4，9，﹣7}，B＝{9，4，﹣8}，则A∪B＝{﹣4，﹣8，﹣7，4，9}．20．设全集U＝R，P＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，Q＝{x|﹣3≤x﹣a≤3}．（1）若集合P∪Q＝Q，求实数a的取值范围；（2）若＝U，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出集合P，由集合P∪Q＝Q，得P⊆Q，列不等式组能求出实数a的取值范围；（2）由＝U，得P∩Q＝∅，从而a+3≤﹣2或a﹣3≥3，由此能求出实数a的取值范围．解：（1）全集U＝R，P＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，Q＝{x|﹣3≤x﹣a≤3}＝{x|a﹣3≤x≤a+3}，∵集合P∪Q＝Q，∴P⊆Q，∴，解得0≤a≤1，∴实数a的取值范围是[0，1]；（2）∵＝U，∴P∩Q＝∅，∴a+3≤﹣2或a﹣3≥3，解得a≤﹣5或a≥6，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[6，+∞）．21．已知卡车从踩刹车到停车所滑行的距离s（米）与速度v（千米/小时）的平方和卡车总质量m（吨）的乘积成正比，设某辆卡车不装货物以60千米/小时的速度行驶时，从刹车到停车滑行了20米．（1）当这辆卡车不装货物以36千米/小时的速度行驶，从刹车到停车所滑行的距离为多少米？（2）如果这辆卡车装着等同于车重的货物行驶时，发现前面20米处有障碍物，卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过1秒，这时为了能在离障碍物5米以外处停车，最大限制时速应是多少千米/小时？（结果精确到0.1）【分析】（1）由题意，s＝kv2m，设卡车不装货物的重量为m0，得k＝，进一步求得v＝36千米/小时的s值即可；（2）求出刹车后滑行的距离，由题意可得＜15，求解不等式得答案．解：（1）由题意，s＝kv2m，设卡车不装货物的重量为m0，则20＝3600km0，得k＝，当v＝36千米/小时，s＝＝7.2（米）．∴当这辆卡车不装货物以36千米/小时的速度行驶，从刹车到停车所滑行的距离为7.2米；（2）卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过1秒，行驶的路程为（米）．刹车会滑行的距离为（米）．故需满足＜15，整理得：v2+25v﹣1350＜0，又v＞0，解得：0＜v＜≈26.31．∴最大限制时速应是26.3千米/小时．22．设集合S＝{a|a＝m2﹣n2，m，n，∈Z}．（1）判断元素3是否属于集合S，并说明理由；（2）设集合P＝{b|b＝2t+1，t∈Z}，证明：P⊂S；（3）设c＝4k﹣2（k∈Z），证明：c∉S．【分析】（1）可知当m＝2，n＝1时，m2﹣n2＝3；（2）令m＝t+1，n＝t，可证明P⊆S，且0∈S，0∉P，从而证明P⊂S；（3）利用反证法证明c∉S．解：（1）当m＝2，n＝1时，m2﹣n2＝3，故3∈S；（2）证明：对任意b＝2t+1，t∈Z，令m＝t+1，n＝t，则2t+1＝m2﹣n2∈S，故P⊆S，又∵当m＝2，n＝2时，m2﹣n2＝0∈S，0∉P，∴P⊂S；（3）证明：假设c∈S，则存在m，n∈Z，使得c＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），①若m、n一个为奇数，一个为偶数，则m+n、m﹣n都为奇数，则c为奇数，与c＝4k﹣2（k∈Z）是偶数矛盾，②若m，n两个数都是奇数或两个数都是偶数，则m+n．m﹣n都为偶数，则c为4的倍数，与c＝4k﹣2＝2（2k﹣1）（k∈Z）矛盾，故c∉S．23．符号[x]表示不大于x的最大整数（x∈R），例如[1.3]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．（1）解方程[x]＝2；（2）设A＝{x|[x2]≤8}，B＝{x|x2﹣7kx+10k2≥0}，A∪B＝R，求实数k的取值范围；（3）求方程4x2﹣40[x]+51＝0的实数解．【分析】（1）由[x]表示不大于x的最大整数，即可求解．（2）由题意可知x2＜9，求出集合A，再对k分情况讨论，根据A∪B＝R，即可求出k 的取值范围．（3）当x≤0时，[x]≤0，显然不满足方程，当x＞0时[x]2≤x2＜（[x]+1）2，所以，令t＝[x]，整理可得，，求出t 的值，从而得到方程的解．解：（1）∵[x]表示不大于x的最大整数，∴若[x]＝2，则2≤x＜3，即解方程[x]＝2的解集为{x|2≤x＜3}．（2）∵[x2]≤8，∴x2＜9，∴﹣3＜x＜3，∴A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x|（x﹣2k）（x﹣5k）≥0}，①当k＝0时，B＝R，满足题意，②当k＞0时，B＝（∞，2k]∪]5k，+∞），∵A∪B＝R，∴5k≤3，∴0，③当k＜0时，B＝（∞，5k]∪]2k，+∞），∵A∪B＝R，∴5k≥﹣3，∴，综上所述，k．（3）当x≤0时，[x]≤0，显然不满足方程，当x＞0时，[x]≥0，由[x]≤x＜[x]+1，可得[x]2≤x2＜（[x]+1）2，∴，令t＝[x]，整理可得，，求解得：，即t∈，又t∈N，∴t＝2，6，7，8，当[x]＝2时，4x2﹣29＝0，解得x＝；当[x]＝6时，4x2﹣189＝0，解得x＝；当[x]＝7时，4x2﹣229＝0，解得x＝；当[x]＝8时，4x2﹣269＝0，解得x＝，经检验，以上四个解都是方程的解．。

上海市延安中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}{}1012|03A B x x =-=，，，，＜＜，则AB =_______. 2．若tan 2θ=-，则sin 2θ=______.3．函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________. 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若127S π=，则()67cos a a +=________. 5．幂函数()f x的图像过点2⎛⎝⎭，则()14f -=______. 6．已知：()1sin 2αβ+=，()1sin 3αβ-=，则:tan tan αβ=________. 7．设△ABC 中,a b c 、、分别为内角、AB 、C 的对边,sin sin ab B C ==，△ABC的面积为则边b 的长为__________.8．已知数列{}n a 中,12512n n n n a n -⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩，为奇数，，为偶数则()122lim n n a a a →∞++⋯+=______. 9．已知数列{}n a 中,132a =，前n 项和为n S ，且满足()*123n n a S n N ++=∈，则满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和是___________. 10．如图,扇环ABCD 的两条弧长分别为1l 和()212l l l ＞，扇环的两条边AD 和BC 的长都是d ,则此扇环的面积为________(用12l l 、和d 表示).11．已知数列{}n a 的通项公式为2n a an n =+，若满足1234a a a a ＜＜＜，且当8n ≥时,1n n a a +≥恒成立,则实数a 的取值范围是_________.12．已如函数())20182018log 20182x x f x x -=--+，则关于x 的不等式()()264f x f x -+＞的解集为____________.二、单选题 13．下列函数中,在区间()0+∞，上为增函数的是（ ） A ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．1y x x =+ C ．()ln 2y x =+ D ．12y x -= 14．在△ABC 中,“cos cos sin sin A B A B ＞”是“△ABC 是钝角三角形”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列命题正确的是（ ）A ．若30a ＞，则20180a ＞B ．若40a ＞，则20190a ＞C ．若30a ＞，则20190S ＞D ．若40a ＞，则20200S ＞16．若函数()f x 满足：对于任意的,,a b c ∈R ，()()(),,f a f b f c 都可成为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数2()21+=+x x t f x 是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[)0,+∞B ．[]0,1C ．[]1,2D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题 17．已知()15cos cos 2313αβααβ+=-=-，，、均为锐角. (1)求sin α的值；(2)求()cos αβ-的值. 18．已知函数()211221log log 28.2f x x a x x ⎛⎫⎡⎤=-+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，， (1)若1a =,求函数()f x 的值域；(2)若关于x 的方程()0f x a +=有解,求实数a 的取值范围.19．如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，C 3A =千米，C 4B =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是C A B ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地.（1）求1t 与()1f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求f t 的表达式，并判断f t 在[]1,1t 上得最大值是否超过3？说明理由.20．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足:()()2*1141.n n a S a n N ==+∈，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()*11n n n n n a a b n N a a ++=+∈，求()12lim 2n n b b b n →∞++⋯+-的值； (3)是否存在大于2的正整数m k 、，使得12300m m m m k a a a a ++++++⋯+=?若存在,求出所有符合条件的m k 、；若不存在,请说明理由.21．定义区间()[)(][]c d c d c d c d ，、，、，、，的长度均为d c -,其中.d c ＞ (1)若函数21x y =-的定义域为[]a b ，，值域为102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，写出区间长度[]a b ，的最大值； (2)若关于x 的不等式组()22711log log 32x x tx t ⎧⎪+⎨⎪++⎩＞＜的解集构成的各区间长度和为6,求实数t 的取值范围；(3)已知m n R ∈，，求证:关于x 的不等式223x m x n+--＞的解集构成的各区间的长度和为定值.参考答案1．{}1,2【解析】【分析】根据交集的知识，求得两个集合的交集.【详解】交集是两个集合的公共元素，故{}1,2AB =. 故答案为：{}1,2.【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题.2．45- 【分析】根据二倍角公式和平方关系，即可求出．【详解】()()2222222sin cos 2tan 4sin 2sin cos 1tan 512θθθθθθθ⨯-====-+++-． 故答案为：45-． 【点睛】本题主要考查二倍角公式和平方关系的应用，属于基础题．3．()()3,44,⋃+∞【分析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域.【详解】依题意有3031x x ->⎧⎨-≠⎩，解得()()3,44,x ∈⋃+∞. 故答案为：()()3,44,⋃+∞【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题.4． 【分析】根据等差数列前n 项和公式，求得67a a +的值，进而求得()67cos a a +的值.【详解】 依题意()11212671267π2a a S a a +=⨯=+=，所以677π6a a +=，所以()67cos a a +=ππcos πcos 66⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭.故答案为 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查诱导公式求值，属于基础题.5．116【分析】求得幂函数()f x 的表达式，令()4f x =求得()14f-的值.【详解】设幂函数()f x x α=，将2⎛ ⎝⎭代入得22α=，所以12α=-，即()12f x x -=.()4f x =，所以124x -=，解得116x =，根据反函数的性质知()11416f -=. 故答案为116. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查反函数的性质，属于基础题.6．5【详解】因为()1sin 2αβ+=，()1sin 3αβ-=， 所以11sin cos cos sin ,sin cos cos sin ,23αβαβαβαβ+=-= 因此51sin cos ,cos sin ,1212αβαβ==即tan sin cos 5.tan cos sin ααββαβ==7．【分析】由正弦定理得到b c =，利用三角形面积公式求得sin C ，由此求得,,C B A 的大小，利用余弦定理解方程，解方程求得a 的值.【详解】由正弦定理得b c =，由三角形面积公式得1sin 2ab C =，而ab =1sin sin 2C B ==，所以π6B C ==，2π3A =.由余弦定理得，222cos 2b c a A bc+-=，即22222221211,3222b a a a b b b--==-⋅=，223a b ，3a b ，代入ab =2260,b b ===故答案为【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题. 8．14- 【分析】利用分组求和法求得122n a a a ++⋯+的表达式，进而求得其极限值.【详解】依题意1321,,,n a a a -是首项为25，公比为125的等比数列；242,,,n a a a 是首项为12-，公比为14的等比数列.故122n a a a ++⋯+()()1321242n n a a a a a a -=+++++++211111525241111254n n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--，所以()122lim n n a a a →∞++⋯+=21521111254=---14=- 故答案为：14-. 【点睛】本小题主要考查分组求和法，考查等比数列前n 项和，考查数列极限的求法，属于基础题. 9．12【分析】利用递推关系式求得{}n S 的通项公式，有2348337n n S S ＜＜，化简后求得所有n 的可能取值，进而求得满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和. 【详解】由()*123n n a S n N ++=∈得()123n n n S S S +-+=，即()11332n n S S +-=-，所以数列{}3n S -是首项为113332S a -=-=-，公比为12的等比数列，故31322n n S -=-⋅，所以332n n S =-，所以22332n n S =-.由2348337n n S S <<得2332334833732n n -<-<，化简得1113327n <<，故3,4,5n =.满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和为34512++=. 故答案为：12【点睛】本小题主要考查根据递推数列求通项公式，考查数列不等式的解法，属于中档题. 10．()122l l d +⋅ 【分析】根据扇环的面积公式，求得扇环的面积.根据扇环的面积公式可知，扇环的面积为()122l l d +⋅.下面证明扇环公式： 设,OA OB x AOB α==∠=，则21l l x x d α==+，所以()12,l x d l x αα=+=，12l l d α-=.扇环的面积等于AOB DOC S S -扇形扇形()121122l x d l x =+-12121122l l l l αα=⋅-⋅()()1212121122l l l l l l d α-=⋅+⋅=⋅+⋅. 故答案为：()122l l d +⋅ 【点睛】本小题主要考查利用扇形面积公式推导扇环面积公式，属于基础题.扇环面积公式记忆时，可类比梯形面积公式来记忆.11．11717a -<<- 【分析】根据二次函数的性质结合数列{}n a 的单调性列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】依题意可知2n a an n =+是二次函数类型，且开口向下，即0a <，对称轴12x a=-.由于{}n a 满足1234a a a a ＜＜＜,且当8n ≥时,1n n a a +≥恒成立，所以7117222a <-<，解得11717a -<<-. 故答案为：11717a -<<-. 【点睛】本小题主要考查数列的单调性，考查二次函数的性质，考查分析与思考问题的能力，属于基础题.12．{|3x x <-或}2x >【分析】首先证得()()4f x f x +-=，判断出()f x 单调性后化简不等式()()264f x f x -+>，解一元二次不等式求得原不等式的解集.0x x x >-≥0x ->恒成立，所以函数()f x 的定义域为R .由于())20182018log 20182x x f x x --=--+20182018log 20182xx -=--+ )20182018log 20182x xx -=+-+ 所以()()4f x f x +-=.由于())20182018log 220181x x f x x =-++为增函数，所以有()()264f x f x -+>得()()()264f x f x f x ->-=-，则26x x ->-，即()()26320x x x x +-=+->，解得3x <-或2x >.故答案为：{|3x x <-或}2x >【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查函数运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查函数不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.13．C【分析】对四个选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，不符合题意.对于B 选项，1y x x=+在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，不符合题意. 对于C 选项，()ln 2y x =+在()2,-+∞上递增，故在区间()0+∞，上为增函数，符合题意. 对于D 选项，12y x -=在区间()0+∞，上为减函数，不符合题意. 故选：C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性的判断，属于基础题.14．B 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况确定充分、必要条件. 【详解】当“cos cos sin sin A B A B ＞”时，()cos cos sin sin cos 0A B A B A B -=+>，所以()cos cos 0C A B =-+<，所以ABC ∆是钝角三角形.当“ABC ∆是钝角三角形”时，有若C 为钝角时，则()()cos cos cos cos sin sin 0C A B A B A B =-+=--<，所以cos cos sin sin A B A B >.当B 为钝角时，cos 0,cos 0,sin 0,sin 0B A A B <>>>，所以cos cos sin sin A B A B <. 当A 为钝角时，cos 0,cos 0,sin 0,sin 0A B A B <>>>，所以cos cos sin sin A B A B <. 所以当“ABC ∆是钝角三角形”时，不能推出“cos cos sin sin A B A B >”. 故“cos cos sin sin A B A B ＞”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件. 故选B. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查两角和的余弦公式，考查三角形形状的判断，属于基础题. 15．C 【分析】根据等比数列通项公式、前n 项和公式，对选项逐一分析，由此判断出正确选项. 【详解】对于A 和C 选项， 2310a a q =>，则10a >，0q ≠.201520183a a q =⋅，由于q 的符号无法确定，故2018a 无法确定符号，A 选项错误.20192019111q S a q -=⋅-，由于2019110,01q a q->>-，所以20190S >，C 选项正确. 对于B 和D 选项，3410a a q =>，则1a 和q 同号（可能同时为正，或者同时为负）201520194a a q =⋅，其中40a >，而q 的符号无法确定，故B 选项错误.20192020111q S a q -=⋅-，其中2019101q q->-，而1a 的符号无法确定，故D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式和前n 项和和公式的运用，属于基础题. 16．D 【分析】先由题意得到()()()+>f a f b f c 对任意的,,a b c ∈R ，都恒成立，将函数()f x 解析式变形，得到1()121-=++x t f x ，分别讨论1t =，1t >，1t <三种情况，根据函数单调性求出函数值域，进而可求出结果. 【详解】由题意可得：()()()+>f a f b f c 对任意的,,a b c ∈R ，都恒成立，因为21()12121+-==+++x x x t t f x ， 当1t =时，()1f x =，此时()()(),,f a f b f c 都为1，能构成一个等边三角形，满足题意； 当1t >时，1()121-=++xt f x 在R 上是减函数，所以11()11121-<=+<+-=+x t f x t t ， 即()()()(),,1,∈f a f b f c t ，由()()()+>f a f b f c 恒成立，得2t ≤，所以12t <≤； 当1t <时，1()121-=++x t f x 在R上是增函数，所以1()1121-<=+<+x t t f x ， 即()()()(),,,1∈f a f b f c t ，由()()()+>f a f b f c 恒成立，得21≥t ，解得12t ≥；所以112t ≤<； 综上，122t ≤≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的应用，熟记函数单调性，以及三角形的性质即可，属于常考题型.17．（1）sin 13α=；（2）539+. 【分析】首先根据,αβ的大小，求得()sin ,sin 2αβα+的值.（1）利用cos2α的二倍角公式，求得sin α的值.（2）利用()()cos cos 2αβααβ⎡⎤-=-+⎣⎦，求得()cos αβ-的值. 【详解】由于,αβ为锐角，所以0π,02παβα<+<<<，所以()sin αβ+==，12sin 213α==.（1）由二倍角公式得25cos 212sin 13αα=-=-，29sin 13α=，由于sin 0α>，所以sin 13α=. （2）由()()cos cos 2αβααβ⎡⎤-=-+⎣⎦()()cos2cos sin 2sin ααβααβ=+++5112513331339+⎛⎫⎛⎫=-⨯-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的余弦公式，考查二倍角公式，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.18．（1）7,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）(,2⎤-∞-⎦ 【分析】（1）利用配方法，结合二次函数的性质，求得()f x 的值域.（2）化简方程()0f x a +=，分离常数a ，根据方程()0f x a +=有解，求得a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()()2222217log log 2log 24f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，由于182x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以[]2log 1,3x ∈-，所以当21log ,2x x =-=时，()f x 有最小值为74；当2log 3,8x x ==时，()f x 有最大值为14.故()f x 的值域为7,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）原函数可化为()()2221log log 28.2f x x a x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，，所以[]2log 1,3x ∈-.依题意关于x 的方程()0f x a +=有解，即()222log log 20x a x a +++=①，在182x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时有实数根. 当21log 1,2x x =-=时，①化为1230a a -++=≠，所以12x =不是①的根. 当1,82x ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，(](]22log 1,3,log 10,4x x ∈-+∈，①可化为()()222log 1log 2a x x +=--，()()()2222222log 2log 12log 13log 1log 1x x x a x x ++-++=-=-++ ()223log 12log 1x x ⎡⎤=-+++⎢⎥+⎣⎦②.其中()223log 1log 1x x ++≥=+223log 1log 1x x +=+，即1182x ⎡⎥=⎤∈⎢⎣⎦，时，等号成立.所以②式可化为2a ≤-. 所以a 的取值范围是(,2⎤-∞-⎦. 【点睛】本小题主要考查含有对数的二次型函数值域的求法，考查含有对数的二次型方程在给定区间上存在实数根的问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.19．（1）138t =，()13418f t =（2），不超过3.【解析】解：（1）138t =． 记乙到C 时甲所在地为D ，则15D 8A =千米． 在CD ∆A 中，222CD C D 2C Dcos =A +A -A ⋅A A ， 所以()1CD f t ==. （2）甲到达B 用时1小时；乙到达C 用时38小时，从A 到B 总用时78小时．当13788t t =≤≤时， ()f t == 当718t ≤≤时，()55f t t =-. 所以.因为f t 在37,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是，f t 在7,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是7588f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以f t 在3,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是3418，不超过3.考点：余弦定理20．（1）21n a n =-；（2）2；（3）存在，523k m =⎧⎨=⎩或911k m =⎧⎨=⎩【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得122n b b b n ++⋯+-，进而求得()12lim 2n n b b b n →∞++⋯+-的值. （3）首先假设存在符合题意的,m k ，根据已知条件列方程组，解方程组求得,m k 的值. 【详解】（1）由()241n n S a =+得()21141n n S a ++=+，两式相减并化简得()()1120n n n n a a a a +++--=，由于0n a >，所以12n n a a +--，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n =-. （2）由（1）得112121112221212121n n n n n a a n n b a a n n n n +++-⎛⎫=+=+=+- ⎪-+-+⎝⎭，所以 122n b b b n ++⋯+-1112212331121521n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦--+ 12121n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以()12lim 2n n b b b n →∞++⋯+-2=. （3）存在大于2的正整数m k 、，使得12300m m m m k a a a a ++++++⋯+=.理由如下： 假设存在大于2的正整数m k 、，使得12300m m m m k a a a a ++++++⋯+=，由（1）得()()12211300m m m m k a a a a m k k ++++++⋯+=+-+=.由于正整数,m k 均大于2，故2114m k k +->+≥，且21m k +-和1k +的奇偶性相同.由22300235=⨯⨯得 21232125k m k +=⨯⎧⎨+-=⨯⎩或12521235k m k +=⨯⎧⎨+-=⨯⨯⎩，解得523k m =⎧⎨=⎩或911k m =⎧⎨=⎩.因此存在大于2的正整数m k 、，使得12300m m m m k a a a a ++++++⋯+=. 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查裂项求和法，考查数列极限，考查等差数列前n 项和公式的运用，考查方程的思想，属于中档题. 21．（1）2log 3；（2）227t ≤；（3）定值为43，证明见解析.【分析】（1）令210xy =-=求得函数的零点，令1212x y =-=，求得定义域区间长度最大时,a b 的值.（2）先求得不等式711x >+的解集A ，设不等式()22log log 32x tx t ++<的解集为B ，根据A B 的长度为6列不等式组，由此求得t 的取值范围.（3）将原不等式223x m x n+>--转化为分式不等式的形式，结合高次不等式的解法，求得不等式的解集，进而求得不等式解集构成的各区间的长度和为定值43. 【详解】（1）令210xy =-=，解得0x =，此时0y =为函数的最小值.令1212xy =-=，解得11x =-，223log 2x =.故定义域区间长度最大时231,log 2a b =-=，故区间[],a b 的长度为223log 1log 32b a -=+=.（2）由711x >+得601x x -+>+，解得16x -<<，记()1,6A =-.设不等式()22log log 32x tx t ++<的解集为B ，不等式组()22711log log 32x x tx t ⎧⎪+⎨⎪++⎩＞＜的解集为A B .设不等式()22log log 32x tx t ++<等价于()2030340x t x t tx >⎧⎪+>⎨⎪+-<⎩，所以()0,B ⊆+∞，()0,6A B ⋂⊆，由于不等式组的解集的个区间长度和为6，所以不等式组()230340t x t tx ⎧+>⎨+-<⎩，当()0,6x ∈是恒成立.当()0,6x ∈时，不等式()30t x +>恒成立，得0t >.当()0,6x ∈时，不等式2340t tx +-<恒成立，分离常数得243t x x<+恒成立. 当()0,6x ∈时，23y x x =+为单调递增函数，所以()230,54y x x =+∈，所以244327x x >+，所以实数227t ≤. （3）原不等式223x m x n+>--可化为 ()()()()233342230x m n x m n mn x m x n -+++++<--①.令()()()23334223g x x m n x m n mn =-+++++，其判别式()()233412223m n m n mn ∆=++-++()29160m n =-+>，所以()0g x =有两个不相等的实数根12,x x ，设12x x <，则()()()123g x x x x x =--，根据求根公式可求得21433x x -==.而()()2g m n m =-，()()2g n m n =-. i)当m n =时，不等式①等价于()()1230x x x x --<，解得12x x x <<，即不等式①的解集为()12,x x ，区间长度为2143x x -=. ii)当m n ≠时，不妨设m n <，则()()20g m n m =->，()()20g n m n =-<，所以12m x n x <<<.此时不等式①即()()()()1230x x x x x m x n --<--，解得1m x x <<或2n x x <<，即不等式①的解集为()()12,,m x n x ⋃，区间的长度为()1212x m x n x x m n -+-=+-+()334433m n m n ++=-+=.综上所述，关于x 的不等式223x m x n +--＞的解集构成的各区间的长度和为定值43. 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查分式不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.。

2020-2021上海延安实验初级中学高一数学上期中第一次模拟试题(带答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53．若35225a b ==，则11a b+=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．2 4．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A ．50-B ．0C ．2D ．505．若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 7．函数()111f x x =--的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．8．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.59．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]11．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数12．已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1-B ．12-C ．12 D 2二、填空题13．函数232x x --的定义域是 .14．已知函数241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，则函数(())3f f x =的零点的个数是________.15．已知函数()32f x x x =+，若()()2330f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围是__________．16．已知偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___17．已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x－1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是______________.18．若幂函数()af x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.19．函数()221,ln 2,0x x f x x x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点的个数是______．20．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题21．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值4：当712x π=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 22．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2，（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系，并写出它们的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，全部投入到A ，B 两种产品的生产，怎样分配资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）. 23．设2{|670},{|24},{|}A x x x B x x C x x a =--≤=-≤=≥ （1）求A B I（2）若A C C =U ，求实数a 的取值范围.24．如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （-x ）≠-f （x ），则称该函数是“X —函数”.（1）分别判断下列函数：①y =211x +；②y =x +1；③y =x 2+2x -3是否为“X —函数”？（直接写出结论）（2）若函数f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，求实数a 的取值范围；（3）设“X —函数”f （x ）=21,,x x Ax x B ⎧+∈⎨∈⎩在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B .25．有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）（1）若02x =，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少min km ？ （2）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5min km ，雌鸟的飞行速度为1.5min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？26．近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P 与投入a (单位:万元)满足6P =,乙城市收益Q 与投入b (单位:万元)满足124Q b =+,设甲城市的投入为x (单位:万元),两个城市的总收益为()f x (单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．C解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C3．A解析：A 【解析】 【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解. 【详解】由题意3225,5225a b==根据指数式与对数式的转化可得35log 225,log 225a b == 由换底公式可得lg 2252lg15lg 2252lg15,lg 3lg 3lg 5lg 5a b ==== 由对数运算化简可得11lg 3lg 52lg152lg15a b +=+ lg3lg52lg15+=lg1512lg152== 故选:A 【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.4．C解析：C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围.【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．6．A解析：A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．7．B解析：B 【解析】 【分析】 把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1y x = 的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象， 把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象， 把11y x =--的图象向上平移一个单位得到()111f x x =--的图象， 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.8．D解析：D 【解析】 【分析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】 设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．9．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 10．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.11．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】 由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-，故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .12．C解析：C 【解析】 【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案． 【详解】由题意，函数(),1(1log ,1x a a x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，()12f =，所以()12f a ==，所以()22,1(1log ,1x x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，所以121()22f ==所以211(())log 22f f f ===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．二、填空题13．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域14．4【解析】【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得当时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查解析：4 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式当0x ≤时，令()3f x =，则2413x x --+=，解得2x =-±0x >时，()31xf x =>，1x =，做出函数()f x，1,22y y y ==-=--.【详解】Q 241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，∴当0x ≤时，()()2241255f x x x x =--+=-++≤，令()3f x =，则2413x x --+=，解得2x =-±1220,4223,-<-+<-<--<-当0x >时，()31xf x =>，令()3f x =得1x =，作出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--由图像可知，()f x 与1y =有两个交点，与22y =-+ 则(())3f f x =的零点的个数为4. 故答案为：4 【点睛】本题考查了分段函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于基础题.15．(13)【解析】由题意得为单调递增函数且为奇函数所以点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式然后根据函数的单调性去掉转化为具体的不等式(组)此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内解析：(1,3) 【解析】由题意得()f x 为单调递增函数,且为奇函数,所以()()2330f a a f a -+-<22(3)(3)3313f a a f a a a a a ⇒-<-⇒-<-⇒<<点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内16．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能 解析：{|40}x x x ><或【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式.【详解】根据题意可知(2)0f =，令2x t -=，则转化为()(2)f t f >，由于偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则()(2)f t f >，即2t>，即22x -<-或22x ->，即0x <或4x >.【点睛】 本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力. 17．－5－2【解析】分析：求出函数的值域根据条件确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论详解：由题意得：在－22上f(x)的值域A 为g(x)的值域B 的子集易得A ＝－33B ＝m －18＋m 从而解得－5≤m≤解析：[－5,－2].【解析】分析：求出函数()f x 的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论. 详解：由题意得：在[－2,2]上f (x )的值域A 为g (x )的值域B 的子集.易得A ＝[－3,3]，B ＝[m －1,8＋m ]，从而解得－5≤m ≤－2.点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强.18．【解析】由题意有：则：解析：14【解析】由题意有：13,29a a =∴=-， 则：()22124a --=-=. 19．4【解析】【分析】当时令即作和的图象判断交点个数即可当时令可解得零点从而得解【详解】方法一：当时令即作和的图象如图所示显然有两个交点当时令可得或综上函数的零点有4个方法二：当时令可得说明导函数有两个 解析：4【解析】【分析】当0x >时，令()2ln 20f x x x x =-+=，即2ln 2x x x =-，作y ln x =和22y x x =-的图象，判断交点个数即可，当0x <时，令() 210f x x =+-=，可解得零点，从而得解. 【详解】方法一：当0x >时，令()2ln 20f x x x x =-+=，即2ln 2x x x =-. 作y ln x =和22y x x =-的图象，如图所示，显然有两个交点，当0x <时，令()210f x x =+-=，可得1x =-或3-. 综上函数的零点有4个.方法二：当0x >时，()2ln 2f x x x x =-+，()21221'22x x f x x x x -++=-+=，令()'0f x =可得()2'2210f x x x =-++=，()'01f =，()'230f =-<，说明导函数有两个零点，函数的()110f =>，()30f <，可得0x >时，函数的零点由2个．0x <时，函数的图象如图：可知函数的零点有4个．故答案为4．【点睛】本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数()()y f x g x =-零点的个数即等价于函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数，通过数形结合思想解决实际问题．20．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么解析：02b <<【解析】【分析】【详解】 函数()22x f x b =--有两个零点， 和的图象有两个交点， 画出和的图象，如图，要有两个交点，那么三、解答题21．（1）()4sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ （2）1439t +< 【解析】【分析】（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式；（2）先确定23x π+范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果. 【详解】（1）解：由题意知74,212122T A πππ==-=，得周期T π= 即2ππω=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ϕ=+当12x π=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，得πsin φ16骣琪+=琪桫 得2()62k k Z ππϕπ+=+∈，，得23()k k Z πϕπ=+∈，,ϕπ<∴Q 当0k =时，=3πϕ，因此()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）()()210h x f x t =+-=，即()12t f x -= 当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 当232x ππ+=时，4sin 42π=要使()12t f x -=有两个根，则142t -≤<，得19t +≤<即实数t 的取值范围是19t +<【点睛】本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.22．（1）A 为()()104f x x x =≥，B 为())0g x x =≥；（2）A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元，最大利润为4万元【解析】【分析】（1）根据题意给出的函数模型，设()1f x k x =；()g x k =代入图中数据求得12,k k 既得，注意自变量0x ≥；（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入()10x -万元，设企业利润为y 万元.，列出利润函数为()()104x y f x g x =+-=，用换元法，设t =函数可求得利润的最大值．【详解】解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元由题设知()1f x k x =；()g x k =由图1知()114f =，114k = 由图2知()542g =，254k =则()()104f x x x =≥，())0g x x =≥. （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入()10x -万元，设企业利润为y 万元. ()()104x y f x g x =+-=，010x ∴≤≤t =，则0t ≤≤则(2210515650444216t t y t t -⎛⎫=+=--+≤≤ ⎪⎝⎭ 当52t =时，max 65416y =≈， 此时2510 3.754x =-= 所以当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元，企业获得最大利润为4万元.【点睛】本题考查函数的应用，在已知函数模型时直接设出函数表达式，代入已知条件可得函数解析式．23．（1）[1,6]-（2）1a ≤-【解析】【分析】（1）化简集合，根据集合的交集运算即可求解（2）由A C C =U 可知A C ⊆，结合数轴求解即可.【详解】（1）由2670x x --≤解得17x -≤≤，故[1,7]A =-， 因为24x -≤，所以26x -≤≤，即[2,6]B =-,所以[1,7][2,6][1,6]A B =--=-I I .（2） 因为A C C =U ，所以A C ⊆，故1a ≤-.【点睛】本题主要考查了集合的交集，并集，子集，涉及一元二次不等式及绝对值不等式，属于中档题.24．（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”.（2）（0，+∞）（3）A =[0，+∞），B =（-∞，0）【解析】【分析】（1）直接利用信息判断结果；（2）利用信息的应用求出参数的取值范围；（3）利用函数的单调性的应用和应用的例证求出结果.【详解】（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”；（2）∵f （-x ）=-x -x 2+a ，-f （x ）=-x +x 2-a ，f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，∴f （-x ）=-f （x ）无实数解，即x 2+a =0无实数解，∴a ＞0，∴a 的取值范围为（0，+∞）；（3）对任意的x ≠0，若x ∈A 且-x ∈A ，则-x ≠x ，f （-x ）=f （x ），与f （x ）在R 上单调增矛盾，舍去； 若x ∈B 且-x ∈B ，f （-x ）=-f （x ），与f （x ）是“X —函数”矛盾，舍去；∴对任意的x ≠0，x 与-x 恰有一个属于A ，另一个属于B ，∴（0，+∞）⊆A ，（-∞，0）⊆B ，假设0∈B ，则f （-0）=-f （0），与f （x ）是“X —函数”矛盾，舍去；∴0∈A ，经检验，A =[0，+∞），B =（-∞，0）符合题意.【点睛】本题考查的知识要点：信息题型的应用，反证法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.25．（1）1.70/min km ；（2）466；（3）9【解析】试题分析：（1）直接代入求值即可，其中要注意对数的运算；（2）还是代入求值即可；（3）代入后得两个方程，此时我们不需要解出1x 、2x ，只要求出它们的比值即可，所以由对数的运算性质，让两式相减，就可求得129x x =． 试题解析：（1）将02x =，8100x =代入函数式可得：31log 81lg 22lg 220.30 1.702v =-=-=-= 故此时候鸟飞行速度为1.70/min km ． （2）将05x =，0v =代入函数式可得：310log lg 52100x =-即3log 2lg52(1lg 2)20.70 1.40100x ==⋅-=⨯= 1.43 4.66100x ∴==于是466x =． 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（3）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟的耗氧量为2x ，依题意可得：13023012.5log lg 2100{11.5log lg 2100x x x x =-=-两式相减可得：13211log 2x x =，于是129x x =． 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．考点：1．函数代入求值；2．解方程；3．对数运算．26．（1）43.5（2）当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.【解析】(1)当50x =时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,所以总收益()50f =167024+⨯+=43.5(万元). (2)由题知,甲城市投资x 万元,乙城市投资()120x -万元,所以()f x =()1612024x +-+=126,4x -+ 依题意得4012040x x ≥⎧⎨-≥⎩,解得4080x ≤≤,故()f x =()12640804x x -+≤≤,令t =,则t ⎡∈⎣,所以y =21264t -++=21(444t --+.当t =,即72x =万元时,y 的最大值为44万元,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.。

上海市延安中学【最新】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．用描述法表示被7除余2的正整数的集合为__________2．函数()f x =的定义域为__________ 3．若函数2()f x x =,4()g x x =，则()()f x g x ⋅=_____________ 4．函数()20y x x x=+>的单调递增区间为______________ 5．已知四边形ABCD 为正方形，则其面积y 关于周长x 的函数解析式为_________ 6．不等式2311x x -≤+的解集为__________ 7．已知集合{}32A x x =-<≤，集合{}15B x x x =≤->或，则A B =_________ 8．已知集合{}10,A x ax x R =+=∈，集合{}2280B x x x =--=，若A B ⊆,则a 所有可能取值构成的集合为______________9．已知函数()f x 是偶函数，且当0x >时，()()1f x x x =-，则当0x <时，该函数的解析式为()f x =__________10．已知命题α的逆命题为：“已知,x y R ∈，若1,2x y >>则3x y +>”，则a 的逆否命题为__________命题（填“真”或“假”）11．已知集合{}{}2,211,230U R A x x B x x x ==-<=--<，则U C A B =__________12．当0,0a b c d >><<时，给出以下结论：（1）ad bc <；（2）22a c b d +>+；（3）()()a b c b d a ->-,其中恒成立的序号为_______________13．已知1x >，则431x x x +-的最小值为_____________ 14．设数集{}31,,0143M x m x m N x n x n P x x ⎧⎫⎧⎫=≤≤+=-≤≤=≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，且,M P N P ⊆⊆，如果把b a -叫做集合{}x a x b ≤≤的长度，那么集合M N ⋂的长度的最小值与最大值的和为____________15．已知集合(){}22330,,A x x a x a a R x R =+--=∈∈，集合(){}22330,,B x x a x a a a R x R =+-+-=∈∈，若,A B A B ≠⋂≠∅，则A B =_______二、单选题16．如果,,x y R ∈那么""xy o >是""x y x y +=+成立的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 17．若1a b >>,全集{},|,2a b U R M x b x N x a +⎧⎫==<<=<<⎨⎬⎩⎭,{P x b x =<≤，则（ ）A ．U P M C N =B ．U PC M N = C ．P M N =D ．P M N =⋂ 18．下列函数中，既不是奇函数，又不是偶函数，并且在(),0-∞上是增函数的是（ ）A ．221y x x =--+B ．5y x =C ．21y x =-+D ．53y x =+ 19．已知2211()f x x x x-=+，则()1f x +等于（ ） A ．221(1)(1)x x +++ B ．2211()1()x x x x-+- C ．2(1)2x ++D ．2(1)2x +-三、解答题20．已知集合{}{}23,4,31,2,3A a a B a =--=-，{}3A B =-，求实数a 的值. 21．解关于x 的不等式2(21)20()ax a x a R -++<∈22．已知：,,a b c 为三角形的三边长，求证：23()()4()ab bc ca a b c ab bc ca ++≤++<++；23．现有A,B,C,D 四个长方体容器，已知容器A,B 的底面积均为2x ，高分别为,x y ，容器C,D 的底面积为2y ，高也分别为(),0,0,x y x y x y >>≠；现规定一种两人游戏规则：每人从四个容器中取出两个分别盛满水，两个容器盛水的和多者为胜，若事先不知道,x y 的大小，问如何取法可以确保一定获胜？请说明理由.24．某段地铁线路上有A,B,C 三站，5AB =（千米），3BC =（千米），在列车运行时刻表上，规定列车8:00从A 站出发，8:07到达B 站，并停留1分钟，8:12到达C 站，并在行驶时以同一速度v （千米/分）匀速行驶；列车从A 站出发到达某站的时间与时刻表上相应时间差的绝对值，称为列车在该站的运行误差；（1）分别用速度v 表示列车在B,C 两站的运行误差；（2）若要求列车在B,C 两站的运行误差之和不超过2分钟，求列车速度v 的取值范围；参考答案1．{|72,}x x n n =+∈N【分析】设被7除余2的正整数为x ,即72x n =+,用描述法写成集合形式,即可得到答案.【详解】设该数为x ,则该数x 满足72x n =+,n N ∈∴所求的正整数集合为{|72,}x x n n =+∈N故答案为:{|72,}x x n n =+∈N .【点睛】本题考查了用描述法表示集合,掌握集合的表示方法是解题关键.2．[1,0)(0,2]-⋃【分析】根据偶次根式下被开方数非负,分数分母不为零,列出关于x 的不等式组,即可求出函数()f x 的定义域.【详解】由题意可得:2200x x x ⎧-++≥⎨≠⎩ 所以函数的定义域为:12x -且0x ≠即:[1,0)(0,2]-⋃故答案为: [1,0)(0,2]-⋃【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解,要求能够熟练掌握常见函数成立条件.3．4x (0x ≠)【分析】 将函数24(),()f x x g x x ==，代入()()⋅f x g x 即可求得答案. 【详解】函数24(),()f x x g xx==∴ ()()244=f x g x x x x⋅=⋅,(0x ≠) 故答案为:4x (0x ≠).【点睛】本题考查了求解函数表达式,能够理解函数的概念是解题关键.4．)+∞【分析】解法一: 根据函数单调性的定义,先任取1212,0,x x D x x ∈>>,能保证120y y ->的区间D ,即为函数()20y x x x=+>的单调递增区间; 解法二:求函数的导数,利用函数的导数大于零,则函数递增,即可求得函数()20y x x x =+>的单调递增区间.【详解】解法一:设()20y x x x=+>的单调增区间为D ,任取1212,0,x x D x x ∈>> ()()211212*********()x x y y x x x x x x x x --=-+-=-+ ()()()121212121222(1)0x x x x x x x x x x -=--=-⋅> ∴120x x >>所以1220x x ->,即122x x >∴12,x x D ∈在区间上具有任意性,故:{|D x x =≥ 则函数2y x x=+的单调递增区间为)+∞. 解法二:由题函数()20y x x x =+>,故22()1f x x '=- 令22()10f x x'=->,解得:x >x <x ∴<(舍去)函数()f x的单调递增区间为)+∞故答案为:)+∞.【点睛】本题考查了求函数单调区间.求函数单调区间既可以用函数单调性定义法判断,也可以采用导数知识求解.5．216x y = 【分析】正方形的周长x ,则边长为4x ,即可求得的面积y 关于周长x 的函数解析式. 【详解】正方形的周长为x ,则正方形的边长为4x (0x >) ∴正方形的面积为:216x y = 故答案为: 216x y =(0x >) .【点睛】本题考查了实际问题中的求解函数关系式,能够通过周长求得正方形边长,是求出面积关于周长解析式的关键.6．{}14x x -<≤或写成(1,4]-【分析】把原不等式右边的1移项到左边,通分后变成401x x -≤+,不等式可化为两个不等式组,分别求出两不等式组的解集,两解集的并集即为原不等式的解集.【详解】 2311x x -≤+ 即23101x x --≤+ 401x x -∴≤+ 可化为:4010x x -≤⎧⎨+>⎩ ┄①或4010x x -≥⎧⎨+<⎩┄②解①得:14x -<≤解②得:无解. 故不等式2311x x -≤+的解集为:{}14x x -<≤. 故答案为:{}14x x -<≤或写成:(1,4]-【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解,属于基础试题.7．]((),25,-∞⋃+∞【分析】根据集合的并集定义,即可求得A B .【详解】(]{|32}3,2A x x =-<≤=- {}15(,1]B x x x =≤->=-∞-或()5+⋃∞，∴ ]((),25,A B ⋃=-∞⋃+∞故答案为: ]((),25,-∞⋃+∞.【点睛】本题考查了集合的并集运算,掌握并集的概念是解本题关键.8．11{0,,}24-【分析】先化简集合B ,利用A B ⊆,分类讨论=0a 和0a ≠,即可求出构成a 的集合.【详解】 由{}2280B x x x =--=可得:2280x x --= 即:()()240x x +-=解得2x =-或4x = 故:{}2,4B =- {}10,A x ax x R =+=∈由10ax += 可得:1ax =-当0a =时,方程1ax =-无实数解,此时A =∅,满足A B ⊆当0a ≠时,方程1ax =-的实数解为1x a =-,故:1{}A a=- 由A B ⊆可得:12a -=-或14a-= 解得12a =或14a =- a 的所有取值构成的集合为:11{0,,}24-. 故答案为:11{0,,}24-. 【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系以及一元二次方程的解法,要注意集合A 是集合B 的子集时,集合A 有可能是空集.9．()1x x -+【分析】设0x <,则0x ->,当0x >时,()()1f x x x =-于是可求得()f x -,再利用偶函数()()=f x f x -的性质,即可求得0x <函数的解析式.【详解】设0x <,则0x ->()()1f x x x -=-+∴根据偶函数()()=f x f x -()()()1f x f x x x ∴=-=-+ () 0x <故答案为:()1x x -+.【点睛】已知函数的奇偶性求解析式,将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出()f x 的解析式.10．假【分析】根据命题α的逆命题,写的其原命题.根据原命题和逆否命题真假相同,即可得出α逆否命题真假.【详解】命题α的逆命题为：“已知,x y R ∈，若1,2x y >>，则3x y +>”∴ 命题α的原命题为：“已知,x y R ∈，若3x y +>，则1,2x y >>”当5x =-,10y =满足3x y +>,但不满足1,2x y >>命题α的原命题为假命题.根据原命题和逆否命题真假相同∴ α的逆否命题为:假.故答案为假.【点睛】本题主要考查四个命题之间的关系与真假命题的判断,掌握原命题和逆否命题真假相同是解本题关键.11．(1,0][1,3)-【分析】化简集合,A B ,求出U C A ,即可求解U C A B ⋂.【详解】 ,{||21|1}(0,1)U R A x x ==-<={}2|230(1,3)B x x x =--<=-(,0][1,)U C A ∴=-∞⋃+∞(1,0][1,3)U C A B ∴⋂=-⋃故答案为:(1,0][1,3)-.【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算,掌握集合运算基本知识是解题关键.12．（1）（2）【分析】由0,0a b c d >><<,根据不等式的基本性质,逐项检验即可得出答案.【详解】对于（1）项,由0,0a b c d >><<,得0ad <,0bc >,则ad bc <,故（1）项正确;对于（2）项,由0,0a b c d >><<,得22c d >,则22a c b d +>+,故（2）项正确;对于（3）项,令1,3,2,1a b c d ==-=-=-,满足0,0a b c d >><<则()1a b c -=-,()6b d a -= 可得:()()a b c b d a -<- 故（3）项错误.所以恒成立的序号为:（1）（2）.故答案为:（1）（2）.【点睛】本题考查了不等式的基本性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.13．7【分析】根据1x >,可得10x ->,然后把431x x x +-整理成43(1)+71x x -+-,进而利用均值不等式求其最小值.【详解】 44(1)443=3(1)+3=3(1)+7111x x x x x x x x -++-+-+--- 1x > 43(1)0,01x x ∴->>-43(1)7771x x ∴-++≥=-(当且仅当43(1)1x x -=-,即1x =+∴ 431x x x +-的最小值为:7.故答案为: 7.【点睛】本题考查均值不等式,构造出均值不等式的形式是解题的关键,但要注意均值不等式成立条件.14．512【分析】根据题意中集合长度的定义,可得M 的长度为34,N 的长度为13.当集合M N ⋂的长度为最小值时,即重合部分最少时,M 与N 应分别在区间0,1的左右两端,当集合M N ⋂的长度为最大值时,即重合部分最多时,M 与N 应分别在区间0,1的中间,进而得出答案.【详解】34M x m x m ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭,13N x n x n ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭,{}01P x x =≤≤ 又,M P N P ⊆⊆∴M 的长度为34,N 的长度为13. 当M N ⋂的长度为最小值,M 与N 分别在区间0,1的左右两端∴M N ⋂长度的最小值为31114312+-= 又M N ⋂长度的最大值为:13则M N ⋂的长度的最小值与最大值的和为:11512312+= 故答案为:512. 【点睛】 本题主要考查集合新定义,能够理解所定义的集合的长度和结合数轴求解是解题关键. 15．{2,3,1}--【分析】设公共根是b ,代入两方程,作差可得b a =,即公共根就是a ,进一步代入原方程求解两集合,即可得出答案.【详解】A B ⋂≠∅∴两个方程有公共根设公共根为b∴2(23)30b a b a +--=,22(3)30b a b a a +-+-=两式相减得:20ab a -=,即()0a b a -=.①若0a =,则两个方程都是230x x -=,与A B ≠矛盾;②0,a ≠则b a =,∴公共根为a ,代入2(23)30x a x a +--=得:2(23)30a a a a +--= 即220a a -=,解得:0a =(舍),2a ={}2|60{3,2}A x x x ∴=+-==- 2|20{1,2}B x x x{2,3,1}A B ∴⋃=--故答案为:{2,3,1}--【点睛】本题考查了集合并集运算,能够通过,A B A B ≠⋂≠∅解读出两个集合中的方程有公共根,是解题的关键.16．A【解析】考点：充要条件．分析：由已知中x ，y ∈R ，根据绝对值的性质，分别讨论“xy ＞0”?“|x+y|=|x|+|y|”，与“|x+y|=|x|+|y|”?“xy ＞0”，的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到答案．解答：解：若“xy ＞0”，则x ，y 同号，则“|x+y|=|x|+|y|”成立即“xy ＞0”是“|x+y|=|x|+|y|”成立的充分条件但“|x+y|=|x|+|y|”成立时，x ，y 不异号，“xy≥0”，“xy ＞0”不一定成立，即“xy ＞0”是“|x+y|=|x|+|y|”成立的不必要条件即“xy ＞0”是“|x+y|=|x|+|y|”成立的充分不必要条件故选A点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的性质，判断“xy ＞0”?“|x+y|=|x|+|y|”，与“|x+y|=|x|+|y|”?“xy ＞0”的真假，是解答本题的关键．17．A【分析】题目给出了1a b >>,且题中含有2a b +,可利用均值不等式求解.1a b >>根据均值不等可得2a b a b +>>>,结合交集与补集的定义即可得出答案. 【详解】 1a b >>,22a b a b a b ++∴>>>2a b a b +∴>>>{}N x a =<< 则:{}C =R N x x x a ≤≥ (){}{C |==2R a b M N x b x x x x a x b x P +⎧⎫∴⋂=<<⋂≤≥<≤⎨⎬⎩⎭ ()C R P M N ∴=⋂故选:A.【点睛】本题考查了集合之间的基本运算以及基本不等式的知识,解答本题的关键在于明确基本不等式的内容.18．D【分析】根据奇函数满足()()f x f x -=-,偶函数满足()()f x f x -=.逐个选项判断其奇偶性和单调性即可得出答案.【详解】对于A,函数为二次函数221y x x =--+,图像为抛物线,开口向下,对称轴为:1x =- ∴函数在(,1)-∞-单调递增,在(1,)-+∞单调递减,故A 不正确;对于B,函数的定义域为R ,定义域关于原点对称,令()5f x x =,满足()()f x f x -=-,函数为奇函数,故B 不正确;对于C,函数的定义域为R ,定义域原点对称,令2()1f x x =-+ 2()()1()f x x f x ∴-=--+=,所以2()1f x x =-+为偶函数,故C 不正确;对于D,函数的定义域为R ,定义域关于原点对称,令()53f x x =+∴ ()()f x f x -≠±函数为非奇非偶函数,且在R 上是单调递增,满足题意,故D 正确. 故选:D.【点睛】本题考查奇偶性的判断,考查了函数的单调性,属于基础题.19．C【分析】 把2211()f x x x x -=+等价转化211()()2f x x x x-=-+ 即可求得()f x 进而求得()1f x +.【详解】211()()2f x x x x-=-+ 设1t x x=- ∴ 2()=2f t t +∴2(1)(1)2f x x +=++.故选:C.【点睛】本题主要考查函数解析式求解.求解函数解析式常用方法有代入法,换元法以及构造方程组法.20．1【解析】【分析】由{}3A B ⋂=-，则可得2313a a --=-，计算出结果，进行验证【详解】由题意得2313a a --=- ，解得1a =或2a =，当1a =时，{}{}3,4,3,2,3A B =-=-，满足要求；当2a =时，{}{}3,4,3,4,3A B =-=-，不满足要求，综上得：1a =【点睛】本题考查了集合的交集，由已知条件，代入求出参量的值，注意代回的检验尤为重要。