概率论第四章题库

= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式，则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解：由于 E(X + Y ) = 0 ，
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ，
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。 选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布， 方差肯定存在，故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在，因此也应排除。 故选 C 。 注：本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。

概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）.解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξP =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]查二项分布表1－=.因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛04××=.P (X =1)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14××=, P (X =2)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛24××=.P (X =3)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34××=, P (X =4)= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛44××=. 从而E (X )=np =4×=习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+j j X P jjj ,说明X的数学期望不存在.解： 由于1111133322(1)((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数112j j ∞=∑发散，故级数11133(1)((1))j jj j j P X j j∞++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X-2 0 2 k p求)53(),(),(22+X E X E X E .解 E (X )=(-2)+0+2=由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E (X 2)=(-2)2+02+22=E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[322+5]=如利用数学期望的性质，则有E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=4.135)(3)53(,8.23.04.0)(,2.03.023.004.02)(222222)2(=+=+=⨯+⨯=-=⨯+⨯+⨯-=-X E X E X E X E习题4-4 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,0,0,)(x x e x f x 求XeY X Y 2)2(;2)1(-==的数学期望.解22)(2)0(2)(2)2()()(00=-=+-=+⋅===∞-∞+-∞-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xx e dx e xe dx xe dx x dx x xf X E Y E I3131)()()(0303022=-==⋅==∞-∞+-∞+---⎰⎰xx x x X edx e dx e e e E Y E II 习题4-5 设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=其它,0,10,12),(2x y y y x f求)(),(),(),(22Y X E XY E Y E X E +.解 各数学期望均可按照⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y x g Y X g E ),(),()],([计算。

第四章补充习题一、 填空题1、 设随机变量X 则Y X 和的相关系数XY ρ= ，=),(2222Y X Cov Y X 的协方差和 。

2、设随机变量Y X 和的数学期望分别为22和-，方差分别为41和，而相关系数为5.0-，则根据切比雪夫不等式{}≤≥+6Y X P 。

3、设随机变量Y X 与相互独立且均服从正态分布2(0,)N ， 则)(Y X E -= ，=-)(Y X D 。

4、随机变量ξ服从指数分布，参数λ= 时，72)(2=ξE 。

5、设随机变量Y X ,，2)(-=X E ，4)(=Y E ，4)(=X D ，9)(=Y D ，5.0-=XY ρ， =-+-)323(22Y XY X E 。

6、设随机变量Y X 与的相关系数9.0=XY ρ，若4.0-=X Z ，则=YZ ρ 。

7、设Y X ,同分布，密度函数均为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它若0102)(2tx xtx f ，使t Y X C E 1))2((=+， 则=C 。

8、设随机变量X 的数学期望和方差均为0，则{}=≠0X P 。

9、将一枚均匀硬币连掷3次，用X 表示正面出现的总次数，Y 表示第一次掷得的正面数， 则=)(XY E ，=),(Y X Cov ，=XY ρ 。

二、选择题1、设随机变量Y X 和独立同分布，记 Y X V Y X U +=-=,，则随机变量V U 与必然（ ） （A ）不独立， (B) 独立， (C) 相关系数不为零， (D) 相关系数为零。

2、将一枚硬币掷n 次，以Y X 和分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则Y X 和的相关系数等于（ ）。

（A ）1- (B) 0 (C)21(D) 1。

3、设随机变量Y X 和相互独立且分别服从正态分布(0, 1)N 和(1, 1)N ，则（ ）。

(A) {}210=≤+Y X P , (B) {}211=≤+Y X P , (C) {}210=≤-Y X P , (D) {}211=≤-Y X P 。

概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征练习题与答案详解（答案在最后）1.假定每个人生日在各个月份的机会是相同的，求三个人中生日在第一季度的人数的平均．2.100个产品中有5个次品，任取10个，求次品个数的数学期望与方差．3.设随机变量X 的概率密度为)(,e 21)(∞<<-∞=-x x p x试求数学期望EX 及方差DX .4.已知随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<≤=，，，，，，4140400)(x x x x x F 试求X 的数学期望EX 方差DX .5.对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在[]b a ,内，求圆面积的数学期望．6.设随机变量X 概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，，，，020cos )(πx x x f X试求随机变量DY X Y 的方差2=.7.设随机变量ξ只取非负整数值，其概率为{}0)1(1>+==+a a a k P k k，ξ是常数， 试求ξE 及ξD .8.设独立试验序列中，首次成功所需要的次数ξ服从的分布列为：其中q =9.若事件A 在第i 次试验中出现的概率为，i p 设μ是事件A 在起初n 次独立试验中的出现次数，试求μE 及μD .10.随机变量n ξξξ,,,21 独立，并服从同一分布，数学期望为,μ方差为2σ，求这些随机变量的算术平均值∑==ni i n 11ξξ的数学期望与方差．11.设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中,)(p A P =再设随机变量η视μ取偶数或奇数而取数值0及1，试求ηE 及ηD .12.设随机变数ξ之概率分布如下：求: (1) ； ]]1[2[2+ξE (2) ])[(2ξξE E -.13.随机变量，)(~x f X⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤=其它，，，，，，021210)(x x x x x f试计算n EX n (为正整数)．14.随机变量aX Y p n B X e ),,(~=，求随机变量Y 的期望和方差. 15.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有8.0个疵点．规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元，疵点数大于1不多于4为二等品，价值为8元，4个以上者为废品，求：)1( 产品的废品率；)2( 产品的平均价值．16.一个靶面由五个同心圆组成，半径分别为25,20,15,10,5厘米，假定射击时弹着点的位置为Z Y Z ，),(为弹着点到靶心的距离，且),(Y Z 服从二维正态分布，其密度为200222001),(y x ey x f +-=π，现规定弹着点落入最小的圆域为5分，落入其他各圆域（从小到大）的得分依次为4分，3分，2分，1分，求：)1( 一次射击的平均得分；)2( 弹着点到靶心的平均距离．17.若ξ的密度函数是偶函数，且∞<2ξE ，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立．18.若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立．答案详解1．每个生日在第一季度的概率是41=p ．设X 表示三个人中生日在第一季度的人数，则X 服从二项分布，，⎪⎭⎫⎝⎛B 413从而X 的平均为43413)(=⨯=X E2．5.0=EX ，11045=DX3．x -e 21为偶函数，⋅x x-e 21为奇函数，所以，由积分性质知0d e 21=⋅=-∞∞-⎰x x EX x（奇函数在对称区间上的积分值为零）=DX x x P X E x X d )()]([2⎰∞∞--=⨯=-∞∞-⎰x x xd e 212x x x d e 02-∞⎰)(d )(202x x x x --∞-=-=⎰ x x x d e 200⎰∞-+∞2d e 20==⎰∞-x x x 4．342==DX EX ，5．设圆的直径为随机变量X ，圆的面积为随机变量，Y 则24)(X X f Y π==，随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它，，，，01)(b x a ab x p X ， 于是)(12112 d 14d )()())(()(2232b ab a a b x ab x ab x x x p x f X f E Y E b aX ++=⋅-⋅=-⋅===⎰⎰∞∞-πππ6．2220π-=DY7．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+⋅=∑∑∞=∞=+101)1(11)1(k k k k k a a k a a a k E ξ， 令，且，则10)1(<<=+p p a a ，211)1()1()(p p p p p p p kp k k kk -='-='=∑∑∞=∞= 故a aa a aaE =+-+⋅+=2)11(111ξ．采用同样的方法并利用a E =ξ得⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑∞=k k a a k a E )1(11122ξ[]k k p k k a ∑∞=+-+=11)1(11 ∑∑∞=∞=-+++=11)1(1111k k k k p k k a kp a ，2322122)1(21)1(1)(1a a p a p a p p a p a p a p a k k +=-⋅++="⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=''++=∑∞=故)1()2()(2222a a a a a D +=-+=E -E =ξξξ 8．21pqD pE ==ξξ，9．设,21n μμμμ+++= 其中⎩⎨⎧=出现次试验若第出现次试验若第A i A i i ,0,1μ，则∑∑===E =ni i ni i p E 11μμ，由试验独立得诸i μ相互独立，从而知=μD )1(11i ni i ni i p p D -=∑∑==μ10．nD E 2,σξμξ== 11．事件A 出现奇数次的概率记为b ，出现偶数次的概率记为a ，则．，++=++=---3331122200n n n n n n n n q p C pq C b q p C q p C a 利用，，n n p q b a q p b a )(1)(-=-=+=+可解得事件A 出现奇数次的概率为 n n p p q b )21(2121])(1[21--=--=，顺便得到，事件A 出现偶数次的概率为n p a )21(2121-+=．η服从两点分布，由此得，{}{}===出现奇数次事件A P P 1ηn p )21(2121--， {}{}===出现偶数次事件A P P 0ηn p )21(2121-+， 所以，=ηE n p )21(2121--，=ηD ][)21(2121[n p --])21(2121n p -+n p 2)21(4141--=．12．(1) 117； (2) 46513．x x f x EX n n d )(⎰∞∞-=x x x x x x n n d )2(d 2110-⋅+⋅=⎰⎰12)212(012212+-+⋅++=+++n x n x n x n n n)21122212(2122+++-+-+++=++n n n n n n n )2)(1(222++-=+n n n 14．n a n a n a p q p q DY p q EY 22)e ()e ()e (+-+=+=， 15．(1) 0.0014； (2) 9.616．(1) 007.3； (2) π2517．设)(x f 是ξ的密度函数，则)()(x f x f =-，由)(x xf 是奇函数可得，0=ξE 从而0=ξξE E ．又由于)(x f x x 是奇函数及,2∞<ξE 得ξξξξE E x x f x x E ===⎰∞∞-0d )(，故ξ与ξ不相关．由于ξ的密度函数是偶函数，故可选0>c 使得当{}10<<P <c ξ时，也有{}10<<P <c ξ，从而可得 {}{}{}{}c c P c P c P c P <<=<≠<<ξξξξξ,，其中等式成立是由于{}{}c c <⊂<ξξ，由此得不独立与ξξ．18．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2,1, , 1q p d c p b a q ：，：ηξ．作两个随机变量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=**2211,0, ,0, q p d c d q p b a b ：，：ηηξξ， 由ξ与η不相关即ηξξηE E E ⋅=得)(bd d b E E +--=**ξηξηηξbd dE bE E E +--=ξηηξ**=--=ηξηξE E d E b E ))((，而，，，}{)(}{)(} {))((d c P d c b a P b a E E d c b a P d c b a E -=-⋅-=-=-=-=--=********ηξηξηξηξ由上两式值相等，再由0))((≠--d c b a 得，，}{}{}{d c P b a P d c b a P -=-==-=-=****ηξηξ 即}{}{}{c P a P c a P =⋅====ηξηξ，． 同理可证}{}{}{d P a P d a P =⋅====ηξηξ，， }{}{}{c P b P c b P =⋅====ηξηξ，， }{}{}{d P b P d b P =⋅====ηξηξ，，从而ξ与η独立．。

1 ⎛2⎞ 1 DX = EX − ( EX ) = − ⎜ ⎟ = . 2 ⎝ 3 ⎠ 18 1 2 DZ = 4 DX = 4 × = . 18 9
【解毕】
9．在一次拍卖中，两人竞买一幅名画，拍卖以暗标的形式进行，并以最高价成交．设两人 的出价相互独立且均服从（1，2）上的均匀分布，求这幅画的期望成交价． 解：设两人的出价分别为随机变量 X , Y ，则这幅画的期望成交价为 Z = max { X , Y } 由题意知， X 与Y 独立，且 X ∼ U (1, 2); Y ∼ U (1, 2) 先求 Z 的分布函数 当 1 < z < 2 时， F ( z ) = P ( Z £ z ) = P (max { X , Y } £ z ) = P ( X £ z ,Y £ z )
= P( X £ z ) P (Y £ z ) = ( z -1)2
当 z £ 1 时， F ( z ) = 0 ；当 z ³ 2 时， F ( z ) = 1 于是 Z 的密度函数为 f ( z ) = ï í
ì2( z -1),1 < z < 2 ï ï 0, 其它 ï î 5 3
EZ = ò
+¥
3 X .求： （ 1）常数 a, b, c; （2） Ee . 4
【解】 （1）由概率密度的性质知，有
+∞ 2 4
1=
又因为
−∞
∫
f ( x )dx = ∫ axdx + ∫ ( cx + b )dx = 2a + 6c + 2b.
0 2
+∞
2
4
2 = EX =
−∞
∫ xf ( x )dx = ∫ xiaxdx + ∫ x ( cx + b )dx

第四章历年试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（ ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5 B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4D.E （X ）=2，D （X ）=22.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N （1，4），Y ~N （0，1），令Z=X -Y ，则D （Z ）=（ ）A.1B.3C.5D.63.已知D （X ）=4，D （Y ）=25，Cov （X ，Y ）=4，则ρXY =（）A.0.004B.0.04C.0.4D.44．设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（ ） A ．D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ．D （X+C ）=D （X ）+C C ．D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） D ．D （X-C ）=D （X ） 5．设随机变量X 的分布函数为F(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<;4,1;4212;2,0x x ，x x 则E （X ）=（ ）A ．31B ．21 C ．23 D ．36．设随机变量X 与Y 相互独立，且X~B （36，61），Y~B （12，31），则D （X-Y+1）=（ ）A ．34B ．37 C ．323 D ．326 7．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则下列各项中正确的是（ ） A ．E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 B ．E （X ）=2，D （X ）=2 C ．E （X ）=0.5，D （X ）=0.5 D ．E （X ）=2，D （X ）=48．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，Y~B （8，31），且X ，Y 相互独立，则D （X-3Y-4）=（ ） A ．-13 B ．15 C ．19 D ．239．已知D （X ）=1，D （Y ）=25，ρXY =0.4，则D （X-Y ）=（ ）A ．6B ．22C ．30D ．4610.设X~B （10，31），则E （X ）=（ ）A.31 B.1 C.310 D. 1011.设X~N （1，23），则下列选项中，不成立．．．的是（ ） A.E （X ）=1 B.D （X ）=3 C.P （X=1）=0D.P （X<1）=0.512．设E (X ),E (Y ),D (X ),D (Y )及Cov(X,Y )均存在，则D (X-Y )=（ ） A ．D (X )+D (Y )B ．D (X )-D (Y )C ．D (X )+D (Y )-2Cov(X,Y )D ．D (X )-D (Y )+2Cov(X,Y )13．设随机变量X ～B （10，21），Y ～N （2，10），又E （XY ）=14，则X 与Y 的相关系数=XY ρ（ ）A ．-0.8B ．-0.16C ．0.16D ．0.814．已知随机变量X 的分布律为，且E (X )=1，则常数x =（ ） A ．2B ．4C ．6D ．815．已知随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的期望为（ ）A ．-21 B ．0 C ．21 D ．216．设随机变量X 和Y 相互独立，且)4,3(~N X ，)9,2(~N Y ，则~3Y X Z -=（ ） A ．)21,7(N B ．)27,7(N C ．)45,7(N D ．)45,11(N17.设X~B(10,31), 则=)X (E )X (D （ ）A.31B.32C.1D.31018.已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--.0;0x e 1x 2其它则X 的均值和方差分别为（ ）A.E(X)=2, D(X)=4B.E(X)=4, D(x)=2C.E(X)=41,D(X)=21 D.E(X)=21, D(X)=4119．设二维随机变量（则E （XY ）=（ ）20．已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（ ） A ．-2 B ．0 C ．21D ．221. 设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B (6，21)，则E(X-Y)=（ ） A ．25- B ．21 C ．2D ．5 22．设二维随机变量(X ，Y )的协方差Cov(X ，Y )=61，且D (X )=4，D (Y )=9，则X 与Y 的相关系数XY ρ为（ ） A ．2161 B ．361 C ．61 D ．1二、填空题（本大题共15小题，每空2分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。

（C) （D)
其中 为标准正态分布函数.
3.设 ， ，其中 、 为常数，且 ，则 （ ）．
； ；
；
4.设某地区成年男子的身高 ，现从该地区随机选出 名男子，则这 名男子身高平均值的方差为（ ）．
； ； ； ．
二、填空题
1．已知离散型随机变量X服从参数为 的泊松分布，利用切比雪夫不等式估计概率
.
2．已知随机变量X存在数学期望 和方差 ，且数学期望 ， ，利用切比雪夫不等式估计概率 .
； ； ； ．
解：C
二、填空题
1．已知离散型随机变量X服从参数为 的泊松分布，利用切比雪夫不等式估计概率
.
解：由 知，
5．已知随机变量X存在数学期望 和方差 ，且数学期望 ， ，利用切比雪夫不等式估计概率 .
解：
6．已知随机变量X的方差为4，则由切比雪夫不等式估计概率 .
解：
7．伯努利（Bernoulli）大数定理表明：当试验次数 很大时，随机事件 在这 次试验中发生的频率 与随机事件 的概率 有较大偏差的可能性很．
解：小。
三、计算题
１．投掷一枚均匀硬币1000次，试利用切比雪夫不等式估计出现正面次数在450次~550次之间的概率.
解：
2．已知连续型随机变量X服从区间 的均匀分布，试利用切比雪夫不等式估计事件 发生的概率.
解：
3．设随机变量 和 的数学期望分别是 和 ，方差分别是 和 ，而相关系数为 ．
⑴ 求 及 ；
3．已知随机变量X的方差为4，则由切比雪夫不等式估计概率 .
4．伯努利（Bernoulli）大数定理表明：当试验次数 很大时，随机事件 在这 次试验中发生的频率 与随机事件 的概率 有较大偏差的可能性很．

(0.9)10 (0.9)9 3486 0.3874 0.7361
则需要调整设备的概率
P{Y 1} 1 P{Y } 1 0.7361 0.2639
（3）求一天中调整设备的次数 X 的分布律 由于 X 取值为 0，1，2，3，4。 p 0.2369 ，则 X B (4, 0.2369) 于是
个随机变量，其概率密度为
1 x, 0 x 1500, 15002 1 f ( x) ( x 3000),1500 x 3000, 2 1500 0, 其它
求 E( X ) 解 按连续型随机变量的数学期望的定义有
0 1500
E ( X ) xf ( x)dx xf ( x)dx
X p
2
3
4
9
1 8
5 8
1 8
1 8
所以
1 5 1 1 15 E( X ) 2 3 4 9 。 8 8 8 8 4
（2）因为 Y 的取值为 2,3，4，9 当 Y 2 时，包含的字母为“O”，“N”，故
P{Y 2}
1 C2 1 ； 30 15
当 Y 3 时，包含的 3 个字母的单词共有 5 个，故
P (Ck ) P ( Ak | A1 A2 Ak 1 ) P ( Ak 1 | A1 A2 Ak 2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 )
而
P{ X 1} P ( A1 )
1 2
1 1 P{ X 2} P ( A1 A2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) 3 2 1 2 1 1 1 P ( A2 | A1 A2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) ， 4 3 2 4 3 一般地，若当 X k 时，盒中共有 k 1 只球，其中只有一只白球，故 P ( X k ) P ( A1 A2 Ak 1 Ak ) P ( Ak | A1 A2 Ak 1 ) P ( Ak 1 | A1 A2 Ak 2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) 1 k 1 k 2 1 2 1 1 1 k 1 k k 1 4 3 2 k k

【分析】
E(X )
=
1
，
D( X
)
=
1 2
，所以
1
=
1 2
，解得
=
4。
( ) ( ) 4、设离散型随机变量 X 的分布律为 P
X = 2k
=2 3k
,
k = 1, 2,
，则 E X
========。
( ) ( ) 【分析】 E
X
+
= xk p xk
k =1
=
+
2k
k =1
2 3k
=
2
+ k =1

2 3
k
= 2 2 3 = 4 1−2 3
5、设 X、Y 是两个相互独立且均服从正态分布 N (0, 1 ) 的随机变量，则随机变量 X − Y 2
的数学期望 E( X − Y ) = = = = = = = = = 。
【分析】因为 X、Y 是两个相互独立且均服从正态分布 N (0, 1 ) ， 2
3、设随机变量 X
的概率密度为

(
x)
=
ax2
+
bx
+
c,
0,
0 x 1，已知 EX 其他
= 0.5，
DX = 0.15 ，则关于系数 a，b，c 的正确选项为（= A= = ） A、 a=12，b= −12，c=3 = = = = = = = = B、 a=12，b=12，c=3 = = = C、 a=-12，b=12，c=3= = = = = = = = = D、 a=-12，b= −12，c=3
k =0
k=0 k !

X9
EX 9
9
9
8 9
20
2024年8月31日7时4分
P104 练习4.2 题1 SD 1
1,1
f XY
x,
y
1 0
0 x 1, x y x 其它
yx
DZ D2X 1 4DX
EX xf x, ydxdy
0D
y x 1
1 0
x x
xdy
dx
1 2x2dx 2
P113 习题四 一 填空题 7 X与Y相互独立
f
X
x
2x
0
0
x 其它
1，fY
y
x y t
FT t PT t P X Y t fXY x, y dxdy
x yt
1当t 0时：FT t 0dxdy 0
0
x yt
2 当0 t时：FT
t
t
dx
tx 25e5x5 ydy
0
0
1 e5t 5te5t
t,0
x
FT
t
1
e5t
0
5te5t
t0 t0
33
2 EX 2
xi2 pij
i1 j1
20.1 30.3 30.1 2
33
3 EY 2
yi2 pij
12 0.212 0.112 0.1 22 0.1
22 0.132 0.332 0.1 4.8
i1 j1
12 0.2 12 0.1 12 0.1
12 0.1 12 0.1 0.6
2024年8月31日7时4分
P100 练习4.1 题12
2
f XY
x,
y
x

概率论与数理统计第四章测试题第4章 随机变量的数字特征一、选择题1．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y 的方差是 (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44 2．若随机变量X 和Y 的协方差(),0Cov X Y =，则以下结论正确的是（ ） (A)X与Y 相互独立 (B) D(X+Y)=DX+DY(C)D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY 3．设随机变量X和Y相互独立，且()()221122,,,X N Y N μσμσ::，则2Z X Y =+:（ ）(A) ()221212,2N μμσσ++ (B) ()221212,N μμσσ++ (C) ()2212122,4N μμσσ++ (D) ()2212122,4N μμσσ--4．设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y 与η=X-Y 不相关的充要条件为(A) EX=EY (B) E(X 2)- (EX)2= E(Y 2)- (EY)2(C) E(X 2)= E(Y 2) (D) E(X 2)+(EX)2=E(Y 2)+ (EY)25．设X 、Y 是两个相互独立的随机变量且都服从于()0,1N ，则()max ,Z X Y =的数学10．设随机变量X 和Y 独立同分布，具有方差2σ>0，则随机变量U=X+Y 和V=X-Y（A ）独立 (B) 不独立 （C ） 相关 (D) 不相关11．随机变量X 的方差存在，且E(X)=μ，则对于任意常数C ，必有 。

（A ）E(X-C)2=E(X 2)-C 2 （B ）E(X-C)2=E(X-μ)2（C ）E(X-C)2< E(X-μ)2（D ）E(X-C)2≥ E(X-μ)212．设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=31, 则P(1<X<3) =（ ）（A ）0 （B ）41 （C ）31 （D ）21二、填空题1．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，则()2E X =2．设一次试验成功的概率为p ，进行了100次独立重复试验，当p = 时，成功的次数的标准差的值最大，其最大值为3．设随机变量X 在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量100010X Y X X >⎧⎪= =⎨⎪- <⎩，则Y 的方差DY=4．()4D X =，()9D Y =，0.5XYρ=，则()D X Y -=，()D X Y +=5．设随机变量X 服从于参数为λ的泊松分布，且已知()()121E X X --=⎡⎤⎣⎦，则λ= 6．设(X,Y)的概率分布为：则),cov(22Y X＝ 。

第四章习题一、选择题001、设123,,X X X 相互独立且同服从参数3l =的泊松分布，另()12313Y X X X =++，则()()2E Y =()A 、1； ()B 、9； ()C 、10； ()D 、6。

002、对任意的两个随机变量,X Y ，若()()()E XY E X E Y =，则()()A 、()()()D XY D X D Y =； ()B 、()()()D X Y D X D Y +=+；()C 、,X Y 相互独立； ()D 、,X Y 不一定独立。

003、设()~X P l（泊松分布），且{}{}221P X P X ===，则()()E X =()A 、1； ()B 、2； ()C 、3； ()D 、4。

004、设随机变量X 满足关系式 ()()2E X D X 轾=臌，则X 可能服从()()A 、正态分布； ()B 、指数分布；()C 、泊松分布； ()D 、二项分布。

005、设,X Y 为相互独立的随机变量，且方差()()3,4D X D Y ==，则()()34D X Y -=()A 、7-； ()B 、7； ()C 、91； ()D 、25。

006、设X 是随机变量，且31=-=DX EX ，，则=-)]2(3[2X E ()()A 、6； ()B 、9； ()C 、30； ()D 、36。

007、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，λλ-==e m m X P m!}{， ，，，210=m ，且()3D X =，则=λ ()()A 、3； ()B 、13； ()C 、9； ()D 、19。

二、计算及应用题（给出详细步骤） 001、设随机变量()~X P l ，且已知()()121E X X 轾--=臌，求l 。

002、已知()()~3,1,~2,1,X N Y N -且,X Y 相互独立，设27Z X Y =-+， 求()Z E ，()Z D 。

0 . 24 ,
5.
连续型随机变量 X 的密度函数为 f ( x )
2 ( x 1), 0 0,
x
1
其它
, 求
X 的期望与方差 .
6.
从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗, 假设在各个交通岗 2 遇到红灯的事件是相互独立的 , 并且概率都是 . 设 X 为途中遇 5 到红灯的次数 , 求 X 的分布列、分布函数、 数学期望和方差 .
6.
设随机变量 X 的概率密度为 1 | 1 x |, 0 x 2 f (x) , 0, 其它 求 E ( X ).
7.
一工厂生产的某种设备的寿命 X ( 以年计 ) 服从指数分布 , 概率 密度为 1 x 4 0,
x 4
,
x x
0 , 0
f ( x)
工厂规定 , 出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换 . 若 工厂售出一台设备赢利 100 元 , 调换一台设备厂方需花 300 元 . 试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望 .
三、解答题 1. 一袋中有 3 只白球 , 2 只黑球 , 3只红球 , 在其中任取 2 只球 , 以
表示取到白球的只数, 以 表示取到黑球的只数 , 求 E ( )及 E ( ).
2.
某产品的次品率为 0.1, 检验员每天检验 4 次 . 每次随机地取 10 件产品进行检验 , 如发现其中的次品数多于 1 , 就去调整设备 . 以 X 表示一天中调整设备的次数 , 试求 E ( X ). ( 设诸产品是否 为次品是相互独立的.)
1,
2
和
3
两两互不相关 , 且
2)
D ( 1 ) 5 2, D (
1 2
12 2 , D(

习题4-11. 设随机变量X求()E X ；E (2－3 X );2()E X ；2(35)E X +.解 由定义和数学期望的性质知2.03.023.004.0)2()(-=⨯+⨯+⨯-=X E ; (23)23()23(0.2) 2.6E X E X -=-=-⨯-=; 8.23.023.004.0)2()(2222=⨯+⨯+⨯-=X E ; 4.1358.235)(3)53(22=+⨯=+=+X E X E . 2. 设随机变量X 的概率密度为,0,()0,0.xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪⎩≤求Xe Z X Y 22-==和的数学期望.解()(2)2()22x E Y E X E X x x ∞-====⎰e d ,2201()()3Xx x E Z E ee e dx ∞---==⋅=⎰. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60]上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望. 解已知X 在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为1,060,()600,.x f x =⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它记Y 为游客等候电梯的时间,则5,05,25,525,()55,2555,65,5560.X X X X Y g X X X X X -<-<==-<-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤因此, 6001()[()]()()()60E Y E g X g x f x dx g x dx ∞-∞===⎰⎰()5255560525551(5)(25)(55)(65)60x dx x dx x dx x dx =-+-+-+-⎰⎰⎰⎰=11.67(分钟)..14. 某保险公司规定, 如果在一年内顾客的投保事件A 发生, 该公司就赔偿顾客a 元. 若一年内事件A 发生的概率为p , 为使该公司受益的期望值等于a 的10％, 该公司应该要求顾客交多少保险费？解 设保险公司要求顾客交保费c 元. 引入随机变量⎩⎨⎧=.A ,0,A 1不发生事件发生事件，X 则{1},{0}1P X p P X p ====-. 保险公司的受益值1,,0.c a X Y c X -=⎧=⎨=⎩， 于是 ()(){1}{0}E Y c a P X c P X ap c =-⨯=+⨯==-+. 据题意有10%ap c a -+=⨯, 因此应要求顾客角保费(0.1)c p a =+.习题4-21. 选择题(1) 已知(1,(3))E D X X =-= 则2[3(2)]()E X-=.(A) 9. (B) 6. (C) 30. (D) 36. 解22[3(2)]3(44)E X E X X -=-+23[()4()4]E X E X =-+23{()[()]4()4}D X E X E X =+-+ 3(3144)36=⨯+++=.可见，应选(D).(2) 设~(,),(6,( 3.6))B n p E D X X X ==, 则有( ).(A)10, 0.6n p ==. (B) 20, 0.3n p ==. (C) 15, 0.4n p ==. (D) 12, 0.5n p ==.解 因为~(,),B n p X 所以E (X )=n p,D (X )=np (1-p ), 得到np =6, np (1-p )=3.6 . 解之,n=15 , p =0.4 . 可见，应选(C).(3) 设X 与Y 相互独立，且都服从2(,)N μσ, 则有( ).(A) ()()()E X Y E X E Y -=+. (B) ()2E X Y μ-=.(C)()()()D X Y D X D Y -=-. (D) 2()2D X Y σ-=.解 注意到0)()()(=-=-Y E X E Y XE .由于X 与Y 相互独立,所以22)()()(σ=+=-Y D X D Y X D . 选(D).(4) 在下列结论中, 错误的是( ).(A) 若~(,),().X B n p E X np =则(B) 若()~1,1X U -，则()0D X =. (C) 若X 服从泊松分布, 则()()D X E X =.(D) 若2~(,),X N μσ 则~(0,1)X N μσ-.解)1,1(~-U X , 则3112212)()(22==-=a b X D . 选(B). 2. 已知X , Y 独立, E (X )= E (Y )=2, E (X 2)= E (Y 2)=5, 求E (3X -2Y ),D (3X -2Y ).解 由数学期望和方差的性质有E (3X -2Y )= 3E (X )-2 E (Y )=3×2-2×2=2,(32)9()4()D X Y D X D Y -=+})]([)({4})]([)({92222Y E Y E X E X E -⨯+-⨯=13)45(4)45(9=-⨯+-⨯=.3. 设随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1服从区间[0, 6]上的均匀分布,22~0,2X N （）, 3~3X P （）, 记12323Y X X X =-+, 求E (Y )和D (Y ) .解 由题设知21122(60)()3,()3,()0,()4,12E X D X E X D X -=====3321111(),()39E X D X λλ====.由期望的性质可得123123()(23)()2()3()13203 4.3E Y E X X X E X E X E X =-+=-+=-⨯+⨯=又123,,X X X 相互独立, 所以123123()(23)()4()9()1344920.9D Y D X X X D X D X D X =-+=++=+⨯+⨯=4. 设两个随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从均值为0, 方差为12的正态分布, 求||X Y -的的期望和方差.解 记UX Y =-. 由于11~(0,),~(0,)22X N Y N , 所以()()()0,E U E X E Y =-= ()()()1D U D X D Y =+=.由此~(0,1)U N . 进而2222220 (||)(||)||x x xE X Y E U x dx xe dx e+∞---+∞+∞-∞-====⎰2222(||)()()[()]101E U E U D U E U==+=+=.故而2222 (||)(||)(||)[(||)]11D X Y D UE U E Uπ-==-=-=-.5. 设随机变量]2,1[~-UX, 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0,1,0,0,0,1XXXY求期望()E Y和方差)(YD.解因为X的概率密度为1,12,()30,.Xxf x-=⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它于是Y的分布率为00--11{1}{0}31()d d3XP Y P X f x x x∞=-=<===⎰⎰,{0}{0}0P Y P X====,+2002{1}{0}31()d d3XP Y P X f x x x∞==>===⎰⎰.因此121()1001333E Y=-⨯+⨯+⨯=,222212()(1)001133E Y=-⨯+⨯+⨯=.故有2218()()[()]199D YE Y E Y=-=-=.6. 设随机变量U在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量1,1,1, 1.UXU--=>-⎧⎨⎩若≤若1,1,1, 1.UYU-=>⎧⎨⎩若≤若求E(X+Y), D(X+Y).解(1) 随机变量(X, Y)的可能取值为(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1).{1,1}{P X Y P U =-=-=≤1,U -≤-1-211}{1}41d 4P U x =-==⋅⎰≤, {1,1}{P X Y P U =-==≤1,U -1}0>=, {1,1}{1P X Y P U ==-=>-,U ≤1111}21d 4x -==⋅⎰, 211{1,1}{1,1}41d 4P X Y P U U x ===>->==⋅⎰.于是得X 和Y 的联合密度分布为(2) Y X +和)(Y X +的概率分布分别为由此可见22()044E X Y +=-+=;2()[()]2D X Y E X Y +=+=.习题4-31. 选择题(1) 在下列结论中, ( )不是随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件(A) E (XY )=E (X )E (Y ). (B) D (X +Y )=D (X )+D (Y ). (C) Cov(X ,Y )=0. (D) X 与 Y 相互独立.解 X 与 Y 相互独立是随机变量X 与Y 不相关的充分条件,而非必要条件. 选(D).(2) 设随机变量X 和Y 都服从正态分布, 且它们不相关, 则下列结论中不正确的是( ).(A) X 与Y 一定独立. (B) (X , Y )服从二维正态分布. (C) X 与Y 未必独立. (D) X +Y 服从一维正态分布.解 对于正态分布不相关和独立是等价的. 选(A).(3) 设(X , Y )服从二元正态分布, 则下列说法中错误的是( ).(A) (X , Y )的边缘分布仍然是正态分布.(B) X 与Y 相互独立等价于X 与Y 不相关. (C) (X , Y )是二维连续型随机变量.(D)由(X , Y )的边缘分布可完全确定(X , Y )的联合分布. 解 仅仅由(X , Y )的边缘分布不能完全确定(X , Y )的联合分布. 选(D)2 设D (X )=4, D (Y )=6, ρXY =0.6, 求D (3X -2Y ) .解(32)9()4()12Cov(,)D X Y D X D Y X Y -=+-)()(126449Y D X D XY ⨯⨯-⨯+⨯=ρ727.24626.0122436≈⨯⨯⨯-+=.3. 设随机变量X , Y 的相关系数为5.0, ,0)()(==Y E X E 22()()2E X E Y ==,求2[()]E XY +.解222[()]()2()()42[Cov(,)()()]E X Y E X E XY E Y X Y E X E Y +=++=++42420.526.ρ=+=+⨯⨯=4. 设随机变量(X , Y )若E (XY )=0.8, 求常数a ,b 解 首先由∑∑∞=∞==111i j ijp得4.0=+b a . 其次由0.8()100.420110.2210.22E XY a b b ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+ 得3.0=b . 进而1.0=a . 由此可得边缘分布律于是 , . 故 Cov(,)()()()0.8 1.40.50.1X Y E XY E X E Y =-=-⨯=.5. 已知随机变量(,)~(0.5,4;0.1,9;0)X Y N , Z =2X -Y , 试求方差D (Z ), 协方差Cov(,)X Z , 相关系数ρXZ .解 由于X ,Y 的相关系数为零, 所以X 和Y 相互独立(因X 和Y 服从正态分布). 因此25944)()(4)2()(=+⨯=+=-=Y D X D Y X D Z D ,Cov(,)Cov(,2)2Cov(,)Cov(,)2()08X Z X X Y X X X Y D X =-=-=-=.因此80.825XZ ρ===⨯. 6. 设随机变量(X , Y )服从二维正态分布: 2~(1,3)X N , 2~(0,4)Y N ; X 与Y 的相关系数1,232XYX YZ ρ=-=+. 求: (1) E (Z ), D (Z )； (2) X 与Z 的相关系数ρXZ ; (3)问X 与Z 是否相互独立?为什么?解 (1) 由于)3,1(~2N X , )4,0(~2N Y , 所以16)(,0)(,9)(,1)(====Y D Y E X D X E ,而1Cov(,)3462XY X Y ρ==-⨯⨯=-.因此 31021131)(21)(31)23()(=⨯+⨯=+=+=Y E X E Y X E Z E ,1111()()()()2Cov(,)329432X Y D Z D D X D Y X Y =+=++111916Cov(,)943X Y =⨯+⨯+3)6(3141=-⨯++=.(2) 由于1111Cov(,)Cov(,)()Cov(,)9(6)0,323232XY X Z X D X X Y =+=+=⨯+⨯-= 所以0XZ ρ==.(3) 由0=XZ ρ知X 与Z 不相关, 又X 与Z 均服从正态分布, 故知X 与Z 相互独立.7．证明: 对随机变量(X , Y ), E (XY )=E (X )E (Y )或者D (X ±Y )=D (X )+D (Y )的充要条件是X与Y 不相关.证 首先我们来证明)()()(Y E X E XY E =和()()()D X Y D X D Y ±=+是等价的.事实上, 注意到()()()2Cov(,)D X Y D X D Y X Y ±=+±.因此()()()D X Y D X D Y ±=+Cov(,)0()()()X Y E XY E X E Y ⇔=⇔=.其次证明必要性. 假设E (XY )=E (X )E (Y ), 则Cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y =-=.进而0XYρ==, 即X 与Y 不相关.最后证明充分性. 假设X 与Y 不相关, 即0=XYρ, 则Cov(,)0X Y =. 由此知)()()(Y E X E XY E =.总习题四1. 设X 和Y 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量, 已知X 的分布律为1{},1,2,33P X i i ===. 又设max{,},min{,}U X Y V X Y ==.(1) 写出二维随机变量(U , V )的分布律; (2) 求()E U .解 (1) 下面实际计算一下{1,3}P UV ==.注意到max{,},min{,}U X Y V X Y ==, 因此{1,3}{1,3}{3,1}P U V P X Y P X Y =====+=={1}{3}{3}{1}P X P Y P X P Y ===+==9231313131=⨯+⨯=.(2) 由(,)U V 的分布律可得关于U 的边缘分布律所以13522()1239999E U =⨯+⨯+⨯=. 2. 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗. 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的, 并且概率是25. 设X 为途中遇到红灯的次数, 求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.解 令X 表示途中遇到红灯的次数, 由题设知2~(3,)XB . 即X 的分布律为从而3127543686(){}01231251251251255k E X kP X k ====⨯+⨯+⨯+⨯=∑. 3. 设随机变量),(Y X 的概率密度为212,01,(,)0,.y y x f x y ⎧⎪=⎨⎪⎩≤≤≤其它求22(),(),(),()E X E Y E XY E X Y +.解 112404()(,)1245xE X xf x y dxdy dx x y dy x dx ∞∞-∞-∞==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰. 11240003()(,)1235xE X yf x y dxdy dx y y dy x dx ∞∞-∞-∞==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰.112500031()(,)12362x E XY xyf x y dxdy dx xy y dy x dx ∞∞-∞-∞==⋅===⎰⎰⎰⎰⎰.122222220()()(,)()12xE X Y x y f x y dxdy dx x y y dy ∞∞-∞-∞+=+=+⋅⎰⎰⎰⎰155012423216(4)5653015x x dx =+=+==⎰. 4. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为1sin(),0,0,222(,)0,.≤≤≤≤其它ππx y x y f x y ⎧+⎪=⎨⎪⎩求E (X ),D (X ),E (Y ),D (Y ),E (XY )和 Cov(X ,Y ).解22001()(,)sin()24E X xf x y dxdy x x y dxdy πππ+∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰.22222200()(,)1sin() 2.282E X x f x y dxdyx x y dxdy ππππ+∞+∞-∞-∞==+=+-⎰⎰⎰⎰于是有2216)]([)()(222-+=-=ππX E X E X D . 利用对称性,有2216)(,4)(2-+==πππY D Y E .又()(,)E XY xyf x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰22001sin()2xy x y dxdy ππ=+⎰⎰220022001sin()21[sin cos cos sin ]2xdx y x y dyxdx y x y x y dyππππ=+=+⎰⎰⎰⎰12-=π.所以协方差2Cov(,)()()()1216X Y E XY E X E Y ππ=-=--.5. 设随机变量X 与Y 独立, 同服从正态分布1(0,)2N , 求(1)();()E X Y D X Y --；(2) (max{,});(min{,})E X Y E X Y .解 (1) 记Y X -=ξ.由于)21,0(~),21,0(~N Y N X ,所以,0)()()(=-=Y E X E E ξ 1)()()(=+=Y D X D D ξ.由此)1,0(~N ξ. 所以2222(||)(||)||x x E X Y E x dx xedx ξ+∞+∞---∞-==⎰22x e+∞-==101)]([)()()|(|2222=+=+==ξξξξE D E E .故而ππξξξ2121|)](|[)|(||)(||)(|222-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==-E E D Y X D .(2) 注意到2||)(),max(Y X Y X Y X -++=, 2||),min(Y X Y X Y X --+=.所以ππ21221|]}[|)()({21)],[max(==-++=Y X E Y E X E Y X E ,ππ21221|]}[|)()({21)],[min(-=-=--+=Y X E Y E X E Y X E .6. 设随机变量),(Y X 的联合概率密度为,02,02,8(,)0,.x yx y f x y +⎧⎪=⎨⎪⎩≤≤≤≤其它求: E (X ), E (Y ), Cov(X ,Y ), ρXY , D (X+Y ).解 注意到),(y x f 只在区域2≤≤0,2≤≤0:y x G 上不为零, 所以()(,)8Gx yE X xf x y dxdy x x y ∞∞-∞-∞+==⎰⎰⎰⎰d d222000117()(1)846dx x x y dy x x dx =+=+=⎰⎰⎰,22()(,)E Xx f x y dxdy ∞∞-∞-∞=⎰⎰222232000115()()843dx x x y dy x x dx =+=+=⎰⎰⎰, 因而 36116735)]([)()(2222=-=-=X E X E X D .又()(,)E XY xyf x y dxdy ∞∞-∞-∞=⎰⎰22220001144()()8433dx xy x y dy x x dx =+=+=⎰⎰⎰. 由对称性知2275()(),()()63E Y E X E Y E X ====, 3611)()(==X D Y D . 这样，4491Cov(,)()()()33636X Y E XY E X E Y =-=-=-, 111XY ρ==-,5()()()2Cov(,)9D X Y D X D Y X Y +=++=.7. 设A , B 为随机事件, 且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===, 令 10A X A =⎧⎨⎩，发生,，不发生, 10B Y B =⎧⎨⎩，发生,，不发生.求: (1) 二维随机变量(X , Y )的概率分布; (2) X 与Y 的相关系数XY ρ.解 由1()(|)3()P AB P B A P A ==得1111()()33412P AB P A ==⨯=, 进而由1(|)2P A B = ()()P AB P B =得1()2()6P B P AB ==. 在此基础上可以求得(1)1{1,1}()12P X Y P AB ====,111{0,1}()()()61212P X Y P AB P B P AB ====-=-=,111{1,0}()()()4126P X Y P AB P A P AB ====-=-=,{0,0}()1()1[()()()]P X Y P AB P A B P A P B P AB ====-=-+-U 11121[]46123=-+-=.故(X , Y )的概率分布为(2) 由(1)因此211(),(),44E X E X ==22113()()[()]41616D XE X E X =-=-=, 22211115(),(),()()[()]6663636E Y E Y D Y E Y E Y ===-=-=. 又由(X , Y )的分布律可得21111()00011011312121212E XY =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 故11115XYρ-⨯===.。

概率论第4章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮, 命中3炮的概率, 至少命中3炮的概率, 最可能命中几炮. 解: 设ξ为射击10炮命中的炮数, 则ξ~B (10,0.7), 命中3炮的概率为 =⨯⨯==733103.07.0}3{C P ξ0.0090至少命中3炮的概率, 为1减去命中不到3炮的概率, 为=⨯⨯-=<-=≥∑=-2010103.07.01}3{1}3{i i i i C P P ξξ0.9984因np +p =10×0.7+0.7=7.7不是整数, 因此最可能命中[7.7]=7炮. 2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01, 求生产10件产品中废品数不超过2个的概率. 解: 设ξ为10件产品中的废品数, 则ξ~B (10,0.01), 则废品数不超过2个的概率为=⨯⨯=≤∑=-20101099.001.0}2{i i i iC P ξ0.99993. 某车间有20部同型号机床, 每部机床开动的概率为0.8, 若假定各机床是否开动彼此独立, 每部机床开动时所消耗的电能为15个单位, 求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率. 解: 设每时刻机床开动的数目为ξ, 则ξ~B (20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为η个单位, 则η=15ξ, 因此2061.02.08.0}18{}15270{}27015{}270{20182020=⨯⨯==≥=≥=≥=≥∑=-i i i iC P P P P ξξξη4. 从一批废品率为0.1的产品中, 重复抽取20个进行检查, 求这20个产品中废品率不大于0.15的概率. 解: 设这20个产品中的废品数为ξ, 则ξ~B (20,0.1), 假设这20个产品中的废品率为η, 则η=ξ/20. 因此∑=-⨯⨯=≤=≤=≤320209.01.0}3{}15.020{}15.0{i i i iC P P P ξξη=0.8675. 生产某种产品的废品率为0.1, 抽取20件产品, 初步检查已发现有2件废品, 问这20件中, 废品不少于3件的概率. 解: 设ξ为这20件产品中的废品数, 则ξ~B (20,0.1), 又通过检查已经知道ξ定不少于2件的条件, 则要求的是条件概率}2{}23{}2|3{≥≥⋂≥=≥≥ξξξξξP P P因事件}3{}2{≥⊃≥ξξ, 因此2}23{≥=≥⋂≥ξξξ因此5312.06083.02852.019.01.0209.019.01.01}{1}2{1}{}2{1}{}2{}{}{}{}2{}3{}2|3{192018222010202202202202203=-=⨯⨯--⨯⨯-==-=-===-===-=====≥≥=≥≥∑∑∑∑∑∑======C i P P i P P i P P i P i P i P P P P i i i i i i ξξξξξξξξξξξξξ6. 抛掷4颗骰子, ξ为出现1点的骰子数目, 求ξ的概率分布, 分布函数, 以及出现1点的骰子数目的最可能值. 解: 因掷一次骰子出现一点的概率为1/6, 则ξ~B (4,1/6), 因此有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==∑≤--4140656100)(),4,3,2,1,0(6561}{4444x x C x x F k C k P x k kk k kk kξ或者算出具体的值如下所示：ξ0 1 2 3 4 P0.48230.38580.11570.01540.0008⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=41439992.0329838.0218681.0104823.000)(x x x x x x x F从分布表可以看出最可能值为0, 或者np +p =(4/6)+1/6=5/6小于1且不为整数, 因此最可能值为[5/6]=0. 7. 事件A 在每次试验中出现的概率为0.3, 进行19次独立试验, 求(1)出现次数的平均值和标准差; (2)最可能出现的次数. 解: 设19次试验中事件A 出现次数为ξ, 则ξ~B (19,0.3), 因此 (1)ξ的数学期望为E ξ=np =19×0.3=5.7 方差为Dξ=np (1-p )=19×0.3×0.7=3.99标准差为997.199.3===ξσξD(2)因np +p =5.7+0.3=6为整数, 因此最可能值为5和6. 8. 已知随机变量ξ服从二项分布, E ξ=12, D ξ=8, 求p 和n . 解: 由E ξ=np =12 (1) 和D ξ=np (1-p )=8 (2) 由(1)得n =12/p , 代入到(2)得 12(1-p )=8, 解出p =(12-8)/12=1/3=0.3333 代回到(1)式得n =12/p =12×3=36 9. 某柜台上有4个售货员, 并预备了两个台秤, 若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤, 求一天10小时内, 平均有多少时间台秤不够用. 解: 每个时刻构成一n =4的贝努里试验, 且p =15/60=0.25, 因此, 设ξ为每个时刻要用秤的售货员数, 则ξ~B (4, 0.25), 当ξ>2时, 台秤不够用. 因此每时刻台秤不够用的概率为=+⨯⨯=>433425.075.025.0)2(C P ξ0.0508因此10个小时内平均有0.0508×10=0.508个小时台秤不够用. 10. 已知试验的成功率为p , 进行4重贝努里试验, 计算在没有全部失败的情况下, 试验成功不止一次的概率. 解: 设ξ为4次试验中的成功数, 则ξ~B (4,p ), 事件"没有全部失败"即事件{ξ>0}, 而事件"试验成功不止一次"即事件{ξ>1}, 因此要求的是条件概率P {ξ>1|ξ>0}, 又因事件{ξ>1}被事件{ξ>0}包含, 因此这两个事件的交仍然是{ξ>1}, 因此434141}0{1}1{}0{1}0{}1{}0|1{q pq q P P P P P P ---===-=-=-=>>=>>ξξξξξξξ其中q =1-p 11. ξ服从参数为2,p 的二项分布, 已知P (ξ≥1)=5/9, 那么成功率为p 的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少?解: 因ξ~B (2,p ), 则必有9/5)1(1)0(1)1(2=--==-=≥p P P ξξ, 解得3/13/213/219/49/51)1(2=-==-=-=-p p p 则假设η为成功率为1/3的4重贝努里试验的成功次数, η~B (4,1/3), 则802.081161321)1(1)0(1)1(44=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=--==-=≥p P P ηη12. 一批产品20个中有5个废品, 任意抽取4个, 求废品数不多于2个的概率解: 设ξ为抽取4个中的废品数, 则ξ服从超几何分布, 且有==≤∑=-204204155}2{i i i C C C P ξ0.968 13. 如果产品是大批的, 从中抽取的数目不大时, 则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算. 试将下例用两个公式计算, 并比较其结果. 产品的废品率为0.1, 从1000个产品中任意抽取3个, 求废品数为1的概率. 解: 设任抽3个中的废品数为ξ, 则ξ服从超几何分布, 废品数为0.1×1000=100 ===3100029001100}1{C C C P ξ0.2435 而如果用二项分布近似计算, n =3, p =0.1, ξ~B (3,0.1)=⨯⨯≈=2139.01.0}1{C P ξ0.2430近似误差为0.0005, 是非常准确的.14. 从一副朴克牌(52张)中发出5张, 求其中黑桃张数的概率分布. 解: 设ξ为发出的5张中黑桃的张数, 则ξ服从超几何分布, 则)5,4,3,2,1,0(}{5525135213===--i C C C i P i i ξ则按上式计算出概率分布如下表所示:ξ0 1 2 3 4 5 P0.22150.41140.27430.08150.01070.000515. 从大批发芽率为0.8的种子中, 任取10粒, 求发芽粒数不小于8粒的概率. 解: 设ξ为10粒种子中发芽的粒数, 则ξ服从超几何分布, 但可以用二项分布近似, 其中p =0.8, n =10, 则∑=-⨯⨯=≥10810102.08.0}8{i i i iC P ξ=0.677816. 一批产品的废品率为0.001, 用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率, 以及不超过2件的概率. 解: 设ξ为800件产品中的废品数, 则ξ服从超几何分布, 可以用二项分布近似, 则ξ~B (800, 0.001), 而因为试验次数很大废品率则很小, 可以用普阿松分布近似, 参数为 λ=np =800×0.001=0.89526.0!8.0}2{1438.028.0}2{28.08.02=≈≤=≈=∑=--i i e i P e P ξξ 17. 某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布, 平均一件上有0.8个疵点, 若规定疵点数不超过1个为一等品, 价值10元, 疵点数大于1不多于4为二等品, 价值8元, 4个以上为废品, 求产品为废品的概率以及产品的平均价值. 解: 设ξ为产品表面上的疵点数, 则ξ服从普哇松分布, λ=0.8, 设η为产品的价值, 是ξ的函数. 则产品为废品的概率为0014.0!8.01}4{1}4{48.0=-=≤-=>∑=-i i e i P P ξξ==≤==∑=-18.0!8.0}1{}10{i i e i P P ξη0.8088==≤<==∑=-428.0!8.0}41{}8{i i e i P P ξη0.1898则产品的平均价值为Eη = 10×P {η=10}+8×P {η=8}=10×0.8088+8×0.1898=9.6064(元) 18. 一个合订本共100页, 平均每页上有两个印刷错误, 假定每页上印刷错误的数目服从普哇松分布, 计算该合订本中各页的印刷错误都不超过4个的概率. 解: 设ξ为每页上的印刷错误数目, 则ξ服从普哇松分布, λ=2, 则1页印刷错误都不超过4个的概率为 ==≤∑=-402!2}4{i i e i P ξ0.9473而100页上的印刷错误都不超过4个的概率为[]=≤100}4{ξP 0.00445419. 某型号电子管的“寿命”ξ服从指数分布, 如果它的平均寿命E ξ=1000小时, 写出ξ的概率密度, 并计算P (1000<ξ≤1200). 解: 因Eξ=1000=1/λ, 其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0010001)(1000x x ex xϕ0667.0)12001000(2.111000120010001000=-=-=≤<----e e ee P ξ20. ξ~N (0,1), Φ0(x )是它的分布函数, φ0(x )是它的概率密度, Φ0(0), φ0(0), P (ξ=0)各是什么值? 解: 因有 20221)(x ex -=πϕ, ⎰∞--=Φxt dt ex 20221)(π, 因此φ0(x )为偶函数, 由对称性可知Φ0(0)=0.5, 并有πϕ21)0(0=,因ξ为连续型随机变量, 取任何值的概率都为0, 即P (ξ=0)=0.21. 求出19题中的电子管在使用500小时没坏的条件下, 还可以继续使用100小时而不坏的概率?解: 要求的概率为P (ξ>600|ξ>500), 因此905.0}500{}600{}500|600{1.010005001000600===>>=>>---e e eP P P ξξξξ22. 若ξ服从具有n 个自由度的χ2-分布, 证明ξ的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=---022)(21212x x e n x x x nn ϕ称此分为为具有n 个自由度的χ-分布 证: 设ξη=, 则因ξ的概率密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=--0221)(2122x x e x n x xn nξϕη的分布函数为)0()()()()()(22>=≤=≤=≤=x x F x P x P x P x F ξηξξη对两边求导得)0(22222)(2)(2121222222>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ==-----x en x en x xx x x x n n x n n ξηϕϕ23. ξ~N (0,1), 求P {ξ≥0}, P {|ξ|<3}, P {0<ξ≤5}, P {ξ>3}, P {-1<ξ<3} 解: 根据ξ的对称性质及查表得: P {ξ≥0}=1-Φ0(0)=0.5 P {|ξ|<3}=2Φ0(3)-1=2×0.99865-1=0.9973 P {0<ξ≤5}=Φ0(5)-0.5=0.5P {ξ>3}=1-Φ0(3)=1-0.99865=0.00135P {-1<ξ<3}=Φ0(3)-Φ0(-1)=Φ0(3)+Φ0(1)-1=0.99865+0.8413-1=0.83995 24. ξ~N (μ,σ2), 为什么说事件"|ξ-μ|<2σ"在一次试验中几乎必然出现?解: 因为)1,0(~N σμξ- 19545.0197725.021)2(2}2{}2|{|0≈=-⨯=-Φ=<-=<-σμξσμξP P因此在一次试验中几乎必然出现.25. ξ~N (10,22), 求P (10<ξ<13), P (ξ>13), P (|ξ-10|<2). 解: 因为)1,0(~210N -ξ6826.018413.021)1(2}1210{}2|10{|0.0668193319.01)5.1(1}5.1210{}13{43319.05.093319.0)0()5.1(}5.12100{}1310{0000=-⨯=-Φ=<-=<-=-=Φ-=>-=>=-=Φ-Φ=<-<=<<ξξξξξξP P P P P P26. 若上题中已知P {|ξ-10|<c }=0.95, P {ξ<d }=0.0668, 分别求c 和d .解: 因为)1,0(~210N -ξ, 则有95.01)2(2}2210{}|10{|0=-Φ=<-=<-cc P c P ξξ 解得975.0295.01)2(0=+=Φc, 查表得,96.12=c得c =3.92 再由5.00668.0)210(}210210{}{0<=-Φ=-<-=<d d P d P ξξ知,0210<-d 因此0668.0)210(1)210(00=-Φ-=-Φd d即9332.00668.01)210(0=-=-Φd ,查表得5.1210=-d , 解得7310=-=d27. 若ξ~N (μ,σ2), 对于P {μ-kσ<ξ<μ+kσ}=0.90, 或0.95, 或0.99, 分别查表找出相应的k值.解: 先求P {μ-kσ<ξ<μ+kσ}=0.90对应的k 值. 因)1,0(~N σμξ-, 因此 90.01)(2}{}{0=-Φ=<-=+<<-k k P k k P σμξσμξσμ 即95.0290.01)(0=+=Φk , 查表得k =1.64 同理, 由975.0295.01)(0=+=Φk , 查表得k =1.96 由995.0299.01)(0=+=Φk , 查表得k =2.57 28. 某批产品长度按N (50, 0.252)分布, 求产品长度在49.5cm 和50.5cm 之间的概率, 长度小于49.2cm 的概率.解: 设ξ为产品长度, 则ξ~N (50, 0.252), 且有)1,0(~25.050N -ξ, 则9545.0197725.021)2(2}225.050{}225.0502{}5.505.49{0=-⨯=-Φ=<-=<-<-=<<ξξξP P P0006871.09993129.01)2.3(1)2.3(}25.0502.4925.050{}2.49{00=-=Φ-=-Φ=-<-=<ξξP P29. ξi ~N (0,1)(i =1,2,3), 并且ξ1,ξ2,ξ3相互独立, ∑==3131i i ξξ,∑=-=312)(i i ξξη, 求),cov(,),,cov(1ηξηξξE解: 此题要用到, 两个独立的服从正态分布的随机变量相加后得到的随机变量仍然服从正态分布. 因此, 因为3131,031=⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=i i D D E ξξξ, 则)31,0(~N ξ313131)()cov(2131111==⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=ξξξξξξξE E E i i32313121)cov(2)2()(22222=+⨯-=+-=+-=-ξξξξξξξξξξE E E E i i i i i因此2323)()(312312=⨯=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==i i i i E E E ξξξξη ξξ-i 也服从正态分布, 且有03131)]([),cov(2=-=-=-=-ξξξξξξξξξE E E i i i即ξ与ξξ-i 不相关, 而因为它们服从正态分布, 因此也就是ξ与ξξ-i 相互独立,则ξ与2)(ξξ-i 也相互独立, 则ξ与η中的加和中的每一项相互独立, 当然也与η相互独立, 因此有0),cov(=ηξ, 因为相互独立的随机变量一定不相关.30. (ξ,η)有联合概率密度22)(21,2122ηξζπ+=+-y x e , 求ζ的概率密度.解: 由联合概率密度看出, ξ与η相互独立服从标准正态分布, 则有 ξ2与η2也相互独立且服从自由度为1的χ2-分布, 即ξ2~χ2(1), η2~χ2(1), 因此ζ=ξ2+η2~χ2(2), 即它的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>=-00212x x exζϕ即ζ服从λ=1/2的指数分布.。

《概率论与数理统计》第四单元自测题时间：120分钟，卷面分值：100分一、填空题：（每空2分，共12分）得分1．设随机变量X与Y，方差D(X)=4，D(Y)=9，相关系数ρXY=0.6，则D(3X-2Y)= 。

2．已知随机变量X~N(0, σ2)(σ>0)，Y在区间]上服从均匀分布，如果D(X-Y)=σ2，则X与Y的相关系数ρXY= 。

3．二维随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X与Y的相关系数ρXY=-1/2，则当a= 时，随机变量aX+Y与Y相互独立。

4．设随机变量X~N(0, 4)，Y服从指数分布，其概率密度函数为1210 ()200xe xf xx-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，，，，如果Cov(X, Y)=-1，Z=X-aY，Cov(X, Z)=Cov(Y, Z)，则a= ，此时X与Z的相关系数为ρXZ= 。

5．设随机变量X在区间(-1, 2)上服从均匀分布，随机变量-100010XY XX>⎧⎪==⎨⎪<⎩，，，，，，则方差D(Y)= 。

6．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计P{∣X-2∣≥4}≤。

二、单选题：（每题2分，共12分）得分1．随机变量X, Y和X+Y的方差满足D(X+Y)=D(X)+D(Y)，该条件是X与Y( )。

(A)不相关的充分条件，但不是必要条件；(B)不相关的必要条件，但不是充分条件；(C)独立的必要条件，但不是充分条件；(D)独立的充分必要条件。

2．若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。

(A) X与Y一定相互独立；(B) X与Y一定不相关；(C) D(XY)=D(X)D(Y)；(D) D(X-Y)=D(X)-D(Y)。

3．设随机变量X与Y独立同分布，记随机变量U=X+Y，V=X-Y，且协方差Cov(U.V)存在，则U和V必然( )。

第4章随机变量得数字特征一、选择题1.设两个相互独立得随机变量X与Y得方差分别为4与2,则随机变量3X-2Y得方差就是(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 442.若随机变量与得协方差,则以下结论正确得就是( )(A) 与相互独立(B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY3.设随机变量与相互独立,且,则( )(A) (B)(C) (D)4.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量ξ=X+Y与η=X-Y不相关得充要条件为(A) EX=EY (B) E(X2)- (EX)2= E(Y2)- (EY)2(C) E(X2)= E(Y2) (D) E(X2)+(EX)2= E(Y2)+ (EY)25.设、就是两个相互独立得随机变量且都服从于,则得数学期望( ) (A) (B) 0 (C) (D)6.设、就是相互独立且在上服从于均匀分布得随机变量,则( )(A) (B) (C) (D)7.设随机变量与得方差存在且不等于0,则D(X+Y)=DX+DY就是X与Y( )(A) 不相关得充分条件,但不就是必要条件(B) 独立得充分条件,但不就是必要条件(C) 不相关得充分必要条件(D) 独立得充分必要条件8.若离散型随机变量得分布列为,则( )(A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在9.将一枚硬币重复掷n次,以X与Y分别表示正面向上与反面向上得次数,则X与Y得相关系数等于(A)－1 (B)0 (C) (D)110.设随机变量X与Y独立同分布,具有方差>0,则随机变量U=X+Y与V=X-Y(A)独立(B) 不独立(C) 相关(D) 不相关11.随机变量X得方差存在,且E(X)=μ,则对于任意常数C,必有。

(A)E(X-C)2=E(X2)-C2(B)E(X-C)2=E(X-μ)2(C)E(X-C)2< E(X-μ)2(D)E(X-C)2≥ E(X-μ)212.设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=, 则P(1<X<3) =( )(A)0 (B) (C) (D)二、填空题1.设表示10次独立重复射击命中目标得次数,每次命中目标得概率为0、4,则2.设一次试验成功得概率为,进行了100次独立重复试验,当时,成功得次数得标准差得值最大,其最大值为3.设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量,则得方差DY=4.,,,则,5.设随机变量服从于参数为得泊松分布,且已知,则6.设(X,Y)得概率分布为:则＝。