小学奥数 几何中的空间想象 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)

五年级奥数春季班第12讲⽴体图形和空间想象第⼗⼆讲⽴体图形和空间想象模块⼀、⽴体图形展开图正⽅体展开图⼝诀：正⽅体盒巧展开，六个⾯⼉七⼑裁。

⼗四条边布周围，⼗⼀类图记分明。

四⽅成线两相卫，六种图形巧组合。

跃马失蹄四分开，两两错开⼀阶梯。

对⾯相隔不相连，识图巧排7凹⽥。

释义：正⽅体展开后，六个⾯需要七⼑才能变成平⾯图形；每个展开图⼀共14条边，共有11类不同的展开图；141型（四⽅成线两相卫）的有6种；231、33型（像失蹄的马）的有4种；222型（像阶梯）有1种。

相对的两个⾯展开后不相连，展开图不可能出现以下四种⽚段（⽤来排除）。

例1．（1）正⽅体展开图有种，你能都画出来吗？A．4B．8C．11D．22（2）下图表⽰正⽅体的展开图，将它折叠成正⽅体，可能的图形是A、B、C、D中的。

（3）将如图所⽰表⾯带有图案的正⽅体沿某些棱展开后，得到的图形是。

解（1）选C；141型（6种）231型（3种）222型和33型（2）选B；A中△的上⾓没有对齐上⾯的线段，所以不对；C中两个相邻⾯中的线段连在⼀起，不对；D中有三个⾯中没有任何线段或三⾓形，也不对。

（3）选C；例2．（1）把下⾯这个正⽅体展开后，究竟哪个展开图是正确的？你能把错误的图形改正确吗？（2）图2位正⽅体图1的展开图，图1中M、N分别是FG、GH的中点，CM、CN、MN是三条线段，试在图2中画出这些线段。

解：（1）选B；更改为（2）模块⼆、已知三视图求解例3．（1）已知某⽴体图形的三视图如下，每个⼩正⽅形的边长都是1，请问这个⽴体图形的体积是。

（2）已知某⽴体图形的三视图如下，每个⼩正⽅形的边长都是1，请问这个⽴体图形的体积是。

解：（1）6；从俯视图看得到（2）9；从俯视图看例4．⽤若⼲块单位正⽅体积⽊堆成⼀个⼏何体，⼩明正确地画出了这个⼏何体的正视图、俯视图和侧视图。

则所堆出的⼏何体的体积⾄少是。

解：18；从俯视图看，底层是11个，结合正视图和侧视图看第⼆层⾄少是5个，第三层有1个，第四层有1个，⼀共⾄少是19个。

空间想象不仅是认识现实世界空间形式不可缺少的能力因素，而且是形成和发展创造力的源泉，因此，空间想象能力是数学教学必须培养的基本数学能力之一。

空间想象能力的培养与几何教学有关。

直观几何教学的主要任务是通过学生制作模型、搭积木、画图、识图，对图形进行描述、分类、整理等学习活动，认识、理解我们所处的现实世界的几何空间，以形成空间观念。

综合几何教学的主要任务是运用逻辑推理的方法研究图形的性质，帮助学生从逻辑的角度进一步弄清几何空间的意义，学会几何思考的方法，培养空间想象能力和逻辑推理能力。

模块一、对称图形【例 1】 将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，再展开正方形纸片，得到图1中的 。

（填序号）①②③④【考点】几何中的空间想象 【难度】1星 【题型】填空 【解析】 逆推法③ 【答案】③【例 2】 (希望杯五年级一试第8题，6分)下面四幅图形中不是轴对称图形的是 。

（填序号）（注：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做对称图形。

）例题精讲知识点拨4-1-4.几何中的空间想象【考点】几何中的空间想象【难度】1星【题型】填空【解析】③④【答案】③④模块二、平面图形【例3】(希望杯四年级二试第5题，6分)将一张长方形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形一定是。

（填“三角形”、“长方形”、“梯形”或“菱形”）②展开①【考点】几何中的空间想象【难度】2星【题型】填空【解析】菱形【答案】菱形【例4】(希望杯六年级一试第18题，6分)如图，房间里有一只老鼠，门外有一只小猫，如果每块正方形地砖的连长为50厘米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为_________平方厘米.(将小猫和老鼠分别看作两个点,墙的厚度忽略不计)猫【考点】几何中的空间想象【难度】4星【题型】填空【解析】猫看不到的地方如图所示阴影部分，其中梯形面积为（1+3.5）×2.5÷2=5.625平方米.三角形的面积为2×1÷2=1平方米.老鼠的活动范围共6.625平方米，即66250平方厘米.【答案】66250平方厘米模块三、立体图形【例5】用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体的各个面上，每一个面只涂一种颜色．如图所示，现有涂色方式完全一样的四块小正方体拼成了一个长方体．试回答：每个小正方体中，红色面的对面涂的是什么色？黄色面的对面涂的是什么色？黑色面的对面是什么色？【考点】几何中的空间想象【难度】3星【题型】解答【解析】在能看见的9个面中红色出现的次数最多．观察图8—4中最上面的一个正方体，由于红色和黑色、黄色相邻，所以它的对面不可能是黑黄两色．同理，由第二个正方体可知，红色的对面不能是白色；由第三个正方体知，红色的对面不能是蓝色．所以红色的面的对面只可能是绿色．同理，黄色面的对面不可能是红色、黑色或白色，又已推知不可能是绿色，所以黄色面的对面只可能是蓝色．这样黑色面的对面就只可能是涂白色的了．【答案】红色的对面是绿色黄色的对面是蓝色黑色的对面是白色【例 6】 将“猫”“狗”“兔”“鸡”“猴”“虎”六个动物名称分别写在六个正方体的六个面上，从下面三种不同摆法中，判断这个正方体上哪些动物名名称分别写在相对面上.兔狗猫鸡狗兔猫猴兔【考点】几何中的空间想象 【难度】3星 【题型】解答 【解析】本题给的是一组立方图形，在这三幅图中，“兔”所在的一面始终不改变位置，因此，这三个图的转化只能是前后转动.把第一幅图向后反转一次得到第二幅图，由此可知，“猫”的对面是“鸡”；把第一幅图向前翻转一次得到第三幅图，所以“狗”的对面是“猴”，那么剩下的只有“兔”和“虎”相对.【答案】猫的对面是鸡；狗的对面是猴； 兔的对面是虎。

培养小学生空间想象力的几何练习题目在小学数学教学中，几何是一门重要的学科，通过几何的学习，不仅可以帮助学生发展空间思维和想象力，还能培养学生的观察、分析和解决问题的能力。

为了帮助小学生更好地培养空间想象力，下面提供一些适合的几何练习题目。

练习一：认识二维形状的变换1. 已知正方形ABCD的边长为4cm，将其顺时针旋转90°，分别得到正方形A'B'C'D'，A''B''C''D''，A'''B'''C'''D'''，试画出这三个正方形，并计算它们的周长。

2. 将正方形ABCD顺时针旋转90°后得到矩形A'B'C'D'，若矩形的长为6cm，宽为4cm，请计算矩形A'B'C'D'的周长和面积。

3. 将正方形ABCD进行翻折得到图形A'B'C'D'，试画出图形A'B'C'D'，并判断它与正方形ABCD是否全等。

练习二：引导小学生进行空间位置的判断和描述1. 在一个纸板上画一个平行四边形ABCD，给学生描述各个角的度数，并判断是否有直角、钝角或锐角存在。

2. 画一个长方体，给学生描述图形的上、下、前、后、左、右等位置关系，并让学生用手指指出各个面。

3. 将一张地图展示给学生，地图上有几座建筑物，请学生描述建筑物之间的位置关系，如哪座建筑物在左边、右边、前面或后面等。

练习三：培养小学生的几何问题解决能力1. 在一个长方形纸板上，用不同颜色的线将它分成四个相等的部分，请问能用几条线实现？2. 画一个等边三角形ABC，以AB为底，将三角形折叠形成一个四面体，试画出四面体，并计算它的体积和表面积。

空间想象不仅是认识现实世界空间形式不可缺少的能力因素，而且是形成和发展创造力的源泉，因此，空间想象能力是数学教学必须培养的基本数学能力之一。

空间想象能力的培养与几何教学有关。

直观几何教学的主要任务是通过学生制作模型、搭积木、画图、识图，对图形进行描述、分类、整理等学习活动，认识、理解我们所处的现实世界的几何空间，以形成空间观念。

综合几何教学的主要任务是运用逻辑推理的方法研究图形的性质，帮助学生从逻辑的角度进一步弄清几何空间的意义，学会几何思考的方法，培养空间想象能力和逻辑推理能力。

模块一、对称图形【例 1】将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，再展开正方形纸片，得到图1中的。

（填序号）①②③④【例 2】(希望杯五年级一试第8题，6分)下面四幅图形中不是轴对称图形的是。

（填序号）（注：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做对称图形。

）模块二、平面图形【例 3】(希望杯四年级二试第5题，6分)将一张长方形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形一定是。

（填“三角形”、“长方形”、“梯形”或“菱形”）展开②①【例 4】(希望杯六年级一试第18题，6分)如图，房间里有一只老鼠，门外有一只小猫，如果每块正方形地砖的连长为50厘米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为_________平方厘米.(将小猫例题精讲知识点拨4-1-4.几何中的空间想象和老鼠分别看作两个点,墙的厚度忽略不计)模块三、立体图形【例 5】 用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体的各个面上，每一个面只涂一种颜色．如图所示，现有涂色方式完全一样的四块小正方体拼成了一个长方体．试回答：每个小正方体中，红色面的对面涂的是什么色？黄色面的对面涂的是什么色？黑色面的对面是什么色？【例 6】 将“猫”“狗”“兔”“鸡”“猴”“虎”六个动物名称分别写在六个正方体的六个面上，从下面三种不同摆法中，判断这个正方体上哪些动物名名称分别写在相对面上.兔狗猫鸡狗兔猫猴兔【例 7】 将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母分别写在正方体的六个面上，从下面三种不同摆法中判断这个正方体中，哪些字母分别写在相对的面上.（a ）CB A （b ）B D C（c ）CA E【例 8】 如图，一个正四面体摆在桌面上，正对称的面ABC 是红色，底面BCD 是白色，右侧面ACD 是蓝色，左侧面ABD 是黄色．先让四面体绕底面面对你的棱向你翻转，再让它绕底面右侧棱翻转，第三次绕底面面对你的棱向你翻转，第四次绕底面左侧棱翻转，此后依次重复上述操作过程．问：按规则完成第一百次操作后，面对你的面是什么颜色？DCBA【例 9】右图是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形。

立体几何及空间想象能力经典精讲题一：如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ∉α，PB ⊥α，C 是α内异于A 和B 的动点，且PC ⊥AC .那么，动点C 在平面α内的轨迹是( )A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点题二：已知平面α//平面β，直线1⊂α，点P ∈1，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线1的距离为29的点的轨迹是( ) A. 一个圆B. 两条平行直线C. 四个点D. 两个点题三：已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11A D 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A. 抛物线B. 双曲线C. 椭圆D. 直线题四：设双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，左，右顶点为M ，N ，若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点的位置是( )A ．在线段MN 的内部B ．在线段F 1M 的内部或NF 2内部C ．点N 或点MD ．以上三种情况都有可能题五：已知正方体ABCD A B C D 1111的棱长为a ，定点M 在棱AB 上(但不在端点A ，B 上)，点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A D 11的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为( ).A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 圆题六：在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．题七：已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( ) A.26 B.36 C.23 D.22立体几何及空间想象能力经典精讲课后练习参考答案题一： B.详解：由线面垂直知BC ⊥AC ，∴C 点的轨迹是以AB 为直径的圆，但C 与A 、B 不重合，∴C 在平面α内的轨迹是一个圆，但要去掉两个点．题二： C.详解：如图，设点P 在平面β内的射影是O ，则OP 是α、β的公垂线，OP =4.在β内到点P 的距离等于5的点到O 的距离等于3，可知所求点的轨迹是β内在以O 为圆心，3为半径的圆上.又在β内到直线l 的距离等于29的点的集合是两条平行直线m 、n ，它们到点O 的距离都等于32174)29(22<=-，所以直线m 、n 与这个圆均相交，共有四个交点.因此所求点的轨迹是四个点，故选C. 题三： B.详解：如图，以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴，建立平面直角坐标系.设P (x ，y )，作PE AD ⊥于E 、11PF A D ⊥于F ，连结EF ，易知2222||||||1PF PE EF x =+=+又作PN CD ⊥于N ，则|||1|PN y =-.依题意||||PF PN =，|1|y =-，化简得2220x y y -+=故动点P 的轨迹为双曲线，选B.题四： C.详解：若P 在右支上，并设内切圆与PF 1，PF 2的切点分别为A ，B ，则|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝(|P A |+|AF 1|)－(|PB |+|BF 2|)＝|AF 1|－|BF 2|.所以N 为切点，同理P 在左支上时，M 为切点．题五： A详解：在正方体ABCD A B C D -1111中，过P 作PF ⊥AD ，过F 作FE ⊥A 1D 1，垂足分别为F 、E ，连结PE .则PE 2=a 2+PF 2，又PE 2－PM 2=a 2，所以PM 2=PF 2，从而PM ＝PF ，故点P 到直线AD 与到点M 的距离相等，故点P 的轨迹是以M 为焦点，AD 为准线的抛物线.题六： 43π.详解：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，且其外接球的半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝62，b 2＋c 2＝52，c 2＋a 2＝52，得a 2＋b 2＋c 2＝43，即(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2＝43，易知R 即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR 2＝43π.题七： A.详解：由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍．在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如图所示，S △ABC ＝34×AB 2＝34， 高OD ＝ 12－⎝⎛⎭⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.。

4-1-4.幾何中的空間想像知識點撥空間想像不僅是認識現實世界空間形式不可缺少的能力因素，而且是形成和發展創造力的源泉，因此，空間想像能力是數學教學必須培養的基本數學能力之一。

空間想像能力的培養與幾何教學有關。

直觀幾何教學的主要任務是通過學生製作模型、搭積木、畫圖、識圖，對圖形進行描述、分類、整理等學習活動，認識、理解我們所處的現實世界的幾何空間，以形成空間觀念。

綜合幾何教學的主要任務是運用邏輯推理的方法研究圖形的性質，幫助學生從邏輯的角度進一步弄清幾何空間的意義，學會幾何思考的方法，培養空間想像能力和邏輯推理能力。

例題精講模組一、對稱圖形【例 1】將一塊正方形紙片沿對角線折疊一次，然後在得到的三角形的三個角上各挖去一個圓洞，再展開正方形紙片，得到圖1中的。

（填序號）①②③④【考點】幾何中的空間想像【難度】1星【題型】填空【解析】逆推法③【答案】③【例 2】(希望杯五年級一試第8題，6分)下麵四幅圖形中不是軸對稱圖形的是。

（填序號）（注：如果一個圖形沿一條直線折疊後，直線兩旁的部分能夠互相重合，那麼這個圖形叫做對稱圖形。

）【考點】幾何中的空間想像【難度】1星【題型】填空【解析】③④【答案】③④模組二、平面圖形【例 3】(希望杯四年級二試第5題，6分)將一張長方形紙對折再對折（如圖），然後沿著圖中的虛線剪下，得到①、②兩部分，將①展開後得到的平面圖形一定是。

（填“三角形”、“長方形”、“梯形”或“菱形”）②展开①【考點】幾何中的空間想像【難度】2星【題型】填空【解析】菱形【答案】菱形【例 4】(希望杯六年級一試第18題，6分)如圖，房間裏有一只老鼠，門外有一只小貓，如果每塊正方形地磚的連長為50釐米，那麼老鼠在地面上能避開小貓視線的活動範圍為_________平方釐米.(將小貓和老鼠分別看作兩個點,牆的厚度忽略不計)【考點】幾何中的空間想像【難度】4星【題型】填空【解析】貓看不到的地方如圖所示陰影部分，其中梯形面積為（1+3.5）×2.5÷2=5.625平方米.三角形的面積為2×1÷2=1平方米.老鼠的活動範圍共6.625平方米，即66250平方釐米.【答案】66250平方釐米模組三、立體圖形【例 5】用紅、黃、藍、白、黑、綠六種顏色分別塗在正方體的各個面上，每一個面只塗一種顏色．如圖所示，現有塗色方式完全一樣的四塊小正方體拼成了一個長方體．試回答：每個小正方體中，紅色面的對面塗的是什麼色？黃色面的對面塗的是什麼色？黑色面的對面是什麼色？【考點】幾何中的空間想像【難度】3星【題型】解答【解析】在能看見的9個面中紅色出現的次數最多．觀察圖8—4中最上面的一個正方體，由於紅色和黑色、黃色相鄰，所以它的對面不可能是黑黃兩色．同理，由第二個正方體可知，紅色的對面不能是白色；由第三個正方體知，紅色的對面不能是藍色．所以紅色的面的對面只可能是綠色．同理，黃色面的對面不可能是紅色、黑色或白色，又已推知不可能是綠色，所以黃色面的對面只可能是藍色．這樣黑色面的對面就只可能是塗白色的了．【答案】紅色的對面是綠色黃色的對面是藍色黑色的對面是白色【例 6】將“貓”“狗”“兔”“雞”“猴”“虎”六個動物名稱分別寫在六個正方體的六個面上，從下麵三種不同擺法中，判斷這個正方體上哪些動物名名稱分別寫在相對面上.兔狗猫鸡狗兔猫猴兔【考點】幾何中的空間想像 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 本題給的是一組立方圖形，在這三幅圖中，“兔”所在的一面始終不改變位置，因此，這三個圖的轉化只能是前後轉動.把第一幅圖向後反轉一次得到第二幅圖，由此可知，“貓”的對面是“雞”；把第一幅圖向前翻轉一次得到第三幅圖，所以“狗”的對面是“猴”，那麼剩下的只有“兔”和“虎”相對.【答案】貓的對面是雞；狗的對面是猴； 兔的對面是虎。

六年级下册奥数第十四讲关于空间想象力的综合训练题1.将下图中的硬纸片沿虚线折起来，便可以作成一个正方体.问这个正方体的2号面的对面是几号面？2.有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，求这个长方体的体积.3.有一个正方体，边长是5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？4.有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成左图的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积.5.如下图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？5题图6题图6.一个正方体形的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体.问纸盒的容积有多大？（圆周率取为3.14）.7.一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？8.有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2.用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？9.如下图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？10.将边长为10的正方体木块六个面都染上红色后，锯成边长为1的小正方形木块1000块.问：这一千块小正方体木块中，没有涂红色的共有多少块？只有一个面是红色的共有多少块？恰有两个面为红色的共有多少块？恰有三个面为红色的共有多少块？11.用三个大小一样的正方体积木和一把有刻度的直尺.请你设计一种方法，不通过任何计算，直接量出每个正方体的体对角线的长.12.如下图，把16个边长为2厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积.13.2100个边长为1米的正方体堆成一个实心的长方体.它的高是10米，长、宽都是大于10（米）的整数，问长方体长宽之和是几米？14.一个正方体形状的木块，棱长为1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得大大小小的长方体60块.求这60块长方体表面积的和是多少平方米？15.如下图，是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中间向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞.接着在小洞的底面正中再向下挖一个后得到的立体图形表面积是多少平方厘米？16.如下图，一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线粘）.这个多面体的面数，顶点数与棱数之和是多少？17.如下图是一个四面体，有六条棱，四个表面三角形，已知六条棱长恰是六个连续的自然数.如果某个表面三角形的周长是3的倍数，就将这个三角形染红色；反之，周长不是3的倍数的三角形就染黄色.问：四个表面三角形是否能全染成黄色？简述理由.18.把正方体的六个表面都分成9个相等的正方形.现用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染的颜色不同，问：用红色染成的正方形个数最多有几个？19.有6个棱长分别是3厘米，4厘米，5厘米的相同的长方体，把它们的某些面染上红色，使得一个长方体只有一个面是红色的，一个长方体恰有两个面是红色的，一个长方体恰有三个面是红色的，一个长方体恰有四个面是红色的，一个长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体六个面都是红色.染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小立方体，分割完毕后，恰有一面是红色的小立方体最多有几个？20.给出一个立方体和六张同样大小的用五个相等小正方形组成的“十字形”彩纸，每个十字形彩纸的面积恰等于立方体一个侧面的面积.试设计一种方法，不剪开这六张彩纸，就可以把他们贴满立方体的六个侧面.关于空间想象力的综合训练题参考解答1.想象一个正方体，固定一个面为2号面，依次可排出2号面对面是6号面.2.如下图可以看出，长方体的正面及上面之和恰等于：长×（宽+高）=209=11×19有两种可能：①长=11，宽+高=19.②长=19，宽+高=11.宽和高必是一个奇质数与一个偶质数2.只有19=17＋2合乎要求，11=9＋2不符合要求.所以长=11，长方体体积是11×17×2=374.3.原立方体的表面积=5×5×6=150.减少的表面积是两块3×2长方形4.三个小正方体拼接成图中的样子（见307页原题图），减少了小正方体的4个侧面正方形的面积，表面积减少了16平方厘米，每个正方形侧面为16÷4=4平方厘米，每个正方体棱长为2厘米，三个小正方体体积（即所成形体的体积）是3×23=24立方厘米.5.容器的底面积是（13-4）×（9-4）=45平方厘米，高为2厘米，容器体积是45×2=90立方厘米.7.所装入石块的体积应等于桶的容积的一半.投入石块：（10×10×15）÷（2×2×3）=125（块）.8.由于纸盒无盖，所以一个竖式纸盒有一个正方形和4个长方形，一个横式纸盒有2个正方形和3个长方形，那么一个竖式纸盒和两个横式纸盒共有5个正方形和10个长方形，这时所用的正方形纸板与长方形纸板的比恰是1∶2，也就是说按照每做一个竖式纸盒，再做两个横式纸盒的比例做纸盒，就可以把两种不同形状的纸板用完.因此，在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是1∶2.9.没打洞之前正方体表面积共 6 × 3 × 3= 54，打洞后，表面积减少 6又增加 6×4（洞的表面积）.即所得形体的表面积是54-6＋24=72.10.没涂色的小正方块共有8×8×8=512块，只有一面涂色的共有8×8×6＝384块，恰有两个面为红色的共有8×12=96块，恰有三个面为红色的，共有8块.11.将三个大小一样的立方体积木如下图堆放，则量得A、B两点距离就是体对角线的长.12.从前、后、左、右、上、下六个方向分别看这堆积木形成的形体表面.从前看有7个边长为2厘米的小正方形；从后看有7个边长为2厘米的小正方形；从左看有9个边长为2厘米的小正方形；从右看有9个边长为2厘米的小正方形；从上看有9个边长为2厘米的小正方形；从下看有9个边长为2厘米的小正方形；因此，这堆积木的表面积是：22×（7＋7＋9＋9＋9＋9）=200（平方厘米）.13.长方体体积是2100立方米，高为10米，所以底面积为210平方米.210=1×210=2×105=3×70＝5×42=6×35＝7×30=10×21=14×15.可见，长为15米，宽为14米，长宽之和是15+14=29米.14.先前的正方体有6个面，每个面的面积是1平方米，共6平方米.无论后来锯成多少块，这6个面的6平方米总是后来的小木块的表面积的一部分.再考虑到每锯一刀就会得到两个一平方米的表面，现在一共锯了 2＋3＋4=9刀，一共得到 18平方米的表面，因此总的表面积为：6＋（2＋3＋4）×2=24（平方米）.15.正方体在挖小洞之前的表面积为6×22，挖了小洞之后面积不但没有减少，反还要加上三个小洞的侧面积的和.三个小洞各有四个侧面，每个侧面的面积分别是：因此总的表面积为：16.首先把这个多面体想清楚，把剪下的硬纸板片左、右相粘后，形成下左图的样子，然后把上下两边的正方形和三角形分别粘好，应成为下图的样子.把多面体想清楚以后，就可以数面数、顶点数和棱数了.硬纸片的每个正方形或三角形都是多面体的一个面，因此一共有20个面：12个正方形和8个三角形；每个正方形有四条边，每个三角形三条边，共有12×4＋8×3=72条边，每两条边重合为多面体的一条棱，所以多面体共有72÷2＝36条棱.每个正方形有四个顶点，每个三角形有三个顶点，共有72个顶点.从上下图可以看出，每四个顶点重在一起成为多面体的一个顶点，所以多面体共有72÷4=18个顶点.因此面数+棱数+顶点数=20+36＋18=74.17.不能将四个表面全染成黄色！理由如下：六个连续自然数被3除的余数必有两个0，两个1，两个2，当且仅当一个面三角形三边分别被3除余0、1、2时，这个面三角形周长被3整除，此面三角形染红色，我们设六个连续自然数被3除的余数分别为两个a，两个b，两个c.任取面△ABC，如是黄色，必有两棱（不妨设AB、AC）被3除余数同为 a ；设 AD 被 3除余数为 b（≠a）.这时 BD、 CD中总有一个是被3除余c的，即△ABD与△ACD中总有一个要染红色，因此，四面体的四个表面三角形不可能全染成黄色.18.很明显，一个面上最多有5个方格可以染成红色，如图（a）所示.当一个面染成5个红色方格以后，与这个面有公共边的四个面，就不能再有同样的染法，但这个面的对面仍可染成5个红色方格，因此，至多有两个面可以染成5个红色的方格，其余四个面，每一个面的四个拐角处的方格不能染红，一个面至多如图（b）染上四个红格，但有公共边的两个面，不能都染成（b），只能有一组对面染成（b），另一组对面染成（c）.采用以上步骤染成红色方格共有：5×2＋4×2＋2×2=22个.这是最多的红色方格数.19.仅一面红色的长方体最多可形成5×4=20个一面红色的小正方体；恰有两面红色的长方体最多可形成20×2=40个一面红色的小正方体；恰有三面红色的长方体最多可形成4+16×2=36个一面红色的小正方体；恰有四面红色的长方体最多可形成：12×2+4×2=32个一面红色的小正方体；恰有五面红色的长方体最多可形成：3+9×2+3×2=27个一面红色的小正方体；六面红色的长方体恰形成：（6＋2+3）× 2=22个一面红色的小正方体；分割后，所得一面红色的小正方体最多有：20＋40＋36＋32＋27＋22=177个.20.试想在侧面上如下左图放置十字形，超出的部分折贴在相邻的侧面上.这样，就可以如下下图那样把六张十字形贴满在立方体表面上.。

4-1-4.几何中的空间想象
知识点拨
　空间想象不仅是认识现实世界空间形式不可缺少的能力因素，而且是形成和发展创造力的源泉，因此，空间想象能力是数学教学必须培养的基本数学能力之一。

空间想象能力的培养与几何教学有关。

直观几何教学的主要任务是通过学生制作模型、搭积木、画图、模块一、对称图形
果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做对称图形。

色面的对面涂的是什么色？黄色面的对面涂的是什么色？黑色面的对面是什么色？
直三棱柱的体积是多少。

六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习题-通用版（含答案）第十四讲关于空间想象力的综合训练题1.将下图中的硬纸片沿虚线折起来，便可以作成一个正方体.问这个正方体的2号面的对面是几号面？2.有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，求这个长方体的体积.3.有一个正方体，边长是5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？4.有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成左图的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积.5.如下图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？5题图6题图6.一个正方体形的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体.问纸盒的容积有多大？（圆周率取为3.14）.7.一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？8.有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2.用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？9.如下图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？10.将边长为10的正方体木块六个面都染上红色后，锯成边长为1的小正方形木块1000块.问：这一千块小正方体木块中，没有涂红色的共有多少块？只有一个面是红色的共有多少块？恰有两个面为红色的共有多少块？恰有三个面为红色的共有多少块？11.用三个大小一样的正方体积木和一把有刻度的直尺.请你设计一种方法，不通过任何计算，直接量出每个正方体的体对角线的长.12.如下图，把16个边长为2厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积.13.2100个边长为1米的正方体堆成一个实心的长方体.它的高是10米，长、宽都是大于10（米）的整数，问长方体长宽之和是几米？14.一个正方体形状的木块，棱长为1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得大大小小的长方体60块.求这60块长方体表面积的和是多少平方米？15.如下图，是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中间向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞.接着在小洞的底面正中再向下挖一个后得到的立体图形表面积是多少平方厘米？16.如下图，一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线粘）.这个多面体的面数，顶点数与棱数之和是多少？17.如下图是一个四面体，有六条棱，四个表面三角形，已知六条棱长恰是六个连续的自然数.如果某个表面三角形的周长是3的倍数，就将这个三角形染红色；反之，周长不是3的倍数的三角形就染黄色.问：四个表面三角形是否能全染成黄色？简述理由.18.把正方体的六个表面都分成9个相等的正方形.现用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染的颜色不同，问：用红色染成的正方形个数最多有几个？19.有6个棱长分别是3厘米，4厘米，5厘米的相同的长方体，把它们的某些面染上红色，使得一个长方体只有一个面是红色的，一个长方体恰有两个面是红色的，一个长方体恰有三个面是红色的，一个长方体恰有四个面是红色的，一个长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体六个面都是红色.染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小立方体，分割完毕后，恰有一面是红色的小立方体最多有几个？20.给出一个立方体和六张同样大小的用五个相等小正方形组成的“十字形”彩纸，每个十字形彩纸的面积恰等于立方体一个侧面的面积.试设计一种方法，不剪开这六张彩纸，就可以把他们贴满立方体的六个侧面.关于空间想象力的综合训练题参考解答1.想象一个正方体，固定一个面为2号面，依次可排出2号面对面是6号面.2.如下图可以看出，长方体的正面及上面之和恰等于：长×（宽+高）=209=11×19有两种可能：①长=11，宽+高=19.②长=19，宽+高=11.宽和高必是一个奇质数与一个偶质数2.只有19=17＋2合乎要求，11=9＋2不符合要求.所以长=11，长方体体积是11×17×2=374.3.原立方体的表面积=5×5×6=150.减少的表面积是两块3×2长方形4.三个小正方体拼接成图中的样子（见307页原题图），减少了小正方体的4个侧面正方形的面积，表面积减少了16平方厘米，每个正方形侧面为16÷4=4平方厘米，每个正方体棱长为2厘米，三个小正方体体积（即所成形体的体积）是3×23=24立方厘米.5.容器的底面积是（13-4）×（9-4）=45平方厘米，高为2厘米，容器体积是45×2=90立方厘米.7.所装入石块的体积应等于桶的容积的一半.投入石块：（10×10×15）÷（2×2×3）=125（块）.8.由于纸盒无盖，所以一个竖式纸盒有一个正方形和4个长方形，一个横式纸盒有2个正方形和3个长方形，那么一个竖式纸盒和两个横式纸盒共有5个正方形和10个长方形，这时所用的正方形纸板与长方形纸板的比恰是1∶2，也就是说按照每做一个竖式纸盒，再做两个横式纸盒的比例做纸盒，就可以把两种不同形状的纸板用完.因此，在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是1∶2.9.没打洞之前正方体表面积共6 × 3 × 3= 54，打洞后，表面积减少 6又增加6×4（洞的表面积）.即所得形体的表面积是54-6＋24=72.10.没涂色的小正方块共有8×8×8=512块，只有一面涂色的共有8×8×6＝384块，恰有两个面为红色的共有8×12=96块，恰有三个面为红色的，共有8块.11.将三个大小一样的立方体积木如下图堆放，则量得A、B两点距离就是体对角线的长.12.从前、后、左、右、上、下六个方向分别看这堆积木形成的形体表面.从前看有7个边长为2厘米的小正方形；从后看有7个边长为2厘米的小正方形；从左看有9个边长为2厘米的小正方形；从右看有9个边长为2厘米的小正方形；从上看有9个边长为2厘米的小正方形；从下看有9个边长为2厘米的小正方形；因此，这堆积木的表面积是：22×（7＋7＋9＋9＋9＋9）=200（平方厘米）.13.长方体体积是2100立方米，高为10米，所以底面积为210平方米.210=1×210=2×105=3×70＝5×42=6×35＝7×30=10×21=14×15.可见，长为15米，宽为14米，长宽之和是15+14=29米.14.先前的正方体有6个面，每个面的面积是1平方米，共6平方米.无论后来锯成多少块，这6个面的6平方米总是后来的小木块的表面积的一部分.再考虑到每锯一刀就会得到两个一平方米的表面，现在一共锯了2＋3＋4=9刀，一共得到 18平方米的表面，因此总的表面积为：6＋（2＋3＋4）×2=24（平方米）.15.正方体在挖小洞之前的表面积为6×22，挖了小洞之后面积不但没有减少，反还要加上三个小洞的侧面积的和.三个小洞各有四个侧面，每个侧面的面积分别是：因此总的表面积为：16.首先把这个多面体想清楚，把剪下的硬纸板片左、右相粘后，形成下左图的样子，然后把上下两边的正方形和三角形分别粘好，应成为下图的样子.把多面体想清楚以后，就可以数面数、顶点数和棱数了.硬纸片的每个正方形或三角形都是多面体的一个面，因此一共有20个面：12个正方形和8个三角形；每个正方形有四条边，每个三角形三条边，共有12×4＋8×3=72条边，每两条边重合为多面体的一条棱，所以多面体共有72÷2＝36条棱.每个正方形有四个顶点，每个三角形有三个顶点，共有72个顶点.从上下图可以看出，每四个顶点重在一起成为多面体的一个顶点，所以多面体共有72÷4=18个顶点.因此面数+棱数+顶点数=20+36＋18=74.17.不能将四个表面全染成黄色！理由如下：六个连续自然数被3除的余数必有两个0，两个1，两个2，当且仅当一个面三角形三边分别被3除余0、1、2时，这个面三角形周长被3整除，此面三角形染红色，我们设六个连续自然数被3除的余数分别为两个a，两个b，两个c.任取面△ABC，如是黄色，必有两棱（不妨设AB、AC）被3除余数同为 a ；设 AD 被 3除余数为 b（≠a）.这时 BD、 CD中总有一个是被3除余c的，即△ABD与△ACD中总有一个要染红色，因此，四面体的四个表面三角形不可能全染成黄色.18.很明显，一个面上最多有5个方格可以染成红色，如图（a）所示.当一个面染成5个红色方格以后，与这个面有公共边的四个面，就不能再有同样的染法，但这个面的对面仍可染成5个红色方格，因此，至多有两个面可以染成5个红色的方格，其余四个面，每一个面的四个拐角处的方格不能染红，一个面至多如图（b）染上四个红格，但有公共边的两个面，不能都染成（b），只能有一组对面染成（b），另一组对面染成（c）.采用以上步骤染成红色方格共有：5×2＋4×2＋2×2=22个.这是最多的红色方格数.19.仅一面红色的长方体最多可形成5×4=20个一面红色的小正方体；恰有两面红色的长方体最多可形成20×2=40个一面红色的小正方体；恰有三面红色的长方体最多可形成4+16×2=36个一面红色的小正方体；恰有四面红色的长方体最多可形成：12×2+4×2=32个一面红色的小正方体；恰有五面红色的长方体最多可形成：3+9×2+3×2=27个一面红色的小正方体；六面红色的长方体恰形成：（6＋2+3）× 2=22个一面红色的小正方体；分割后，所得一面红色的小正方体最多有：20＋40＋36＋32＋27＋22=177个.20.试想在侧面上如下左图放置十字形，超出的部分折贴在相邻的侧面上.这样，就可以如下下图那样把六张十字形贴满在立方体表面上.。