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余弦定理（第一课时）课例：浙江省宁波市北仑中学 史芝佐点评：浙江省宁波市北仑中学 安凤吉一、课例与分评（一）教学目标1．使学生掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形；2．使学生理解用坐标法证明余弦定理的过程，逐步学会用坐标法解决具体问题；3．通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程，培养学生观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括等逻辑思维能力；4．通过发现教学法，培养学生学习数学的兴趣和热爱科学、献身科学、勇于创新的精神。
[ 点评：知识目标分级详细、适当，能力目标和德育目标具体，并且有很强的针对性，这是上好一节课的前提条件 ]（二）教学重点、难点重点：余弦定理及其发现和证明。
难点：余弦定理的证明。
关键：建立适当的直角坐标系。
（三）教具三角板，投影仪，投影片1、2[ 点评：重点、难点、关键抓得准，才能在教学过程中采取有效的措施，突出重点、突破难点，从而实现教学目标 ]（四）教学过程1．复习提问T （师，下同）：叙述任意角的三角函数的定义。
（在黑板上作图1）S （生，下同）：, , sec , , , cos , sin yr cse r y y x ctg x y tg r x r y =====αααααα 它们分别叫做角 的正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数，统称为三角函数。
2．发现T ：请同学们考虑并回答下面的问题：在直角三角形中，已知两个锐角和三边共五个元素中的几个怎样的元素，可求其余元素？S ：两个元素。
T ：是否有不同的意见和补充？S 1：其中至少有一边。
T ：好！在这样的条件下，其余元素均可求，这时直角三角形是确定的，那么，在斜三角形中三个角和三边共六个元素，已知几个怎样的元素可确定这个三角形？[ 点评：由于现在学生还不会求斜三角形的其余元素，因而说确定这个三角形是恰当的，可见，教者对于教学语言是进行了仔细斟酌的，这对于一名青年教师来说是难能可贵的。
]S 2：三个，其中至少有一边。
1.1.2 余弦定理（第一课时）教学目标知识与技能：1. 掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题过程与方法：1. 学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的一种数量关系——余弦定理2. 在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力情感、态度与价值观：1. 通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识2. 在运用余弦定理的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界3. 通过本节的学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养教学重点：余弦定理的证明及应用教学难点：向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程 教学过程一，创设情境，课题导入1.复习：已知30,45,16A C b ===，解三角形（学生板演）2.若将条件45C =改成8c =如何解三角形？设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化的思想和观点师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”：已知,,ABC BC a AC b ∆==和角C ，求解c ,,B A引出课题：余弦定理二．设置问题，知识探究1.探究：我们可以先研究计算第三边长度的问题，那么我们又从哪些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？设计意图：期望能引导学生从各个不同的方面去研究、探索得到余弦定理 师生活动：从某一个角度探索并得出余弦定理3.设a b -，22()()2cos c c c a b a b a b ab C ∴=⋅=-⋅-=+-即2222cos c a b ab C =+- 引导学生证明：2222cos a b c bc A =+-3.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍三．典型例题剖析 1.例1.在ABC ∆中，已知120,2,2,A b cm c cm ===解三角形分析：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其各角变式引申：在ABC ∆中，已知30,5,A b c ===2.探究：余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，把这个关系式做某些变形，是否可以解决其他类型的解三角形问题？设计意图：（1）引入余弦定理的推论；（2）对一个数学式子做某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题的方法，这是一种研究问题的方法师生活动：对余弦定理做某些变形，研究变形后所得关系式的应用，因此应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题 引入余弦定理的推论：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab +-= 公式作用：（1） 已知三边求三角（2） 若A 为直角，则cos 0A =,从而222b c a +=；若A 为锐角，则cos 0A >，从而222b c a +>；若A 为钝角，则cos 0A <，从而222b c a +<例2.已知在ABC ∆中，a b c ===,,A B C先让学生自己分析、探索，老师进行引导、启发和补充，最后师生一起求解总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角变式引申：在ABC ∆中，::21)a b c =，求,,A B C让学生板演，师生共同评判3.三角形形状的判定例3.在ABC ∆中，cos cos a A b B =,试确定此三角形的形状求解思路：判断三角形的形状可有两种思路：一是利用边之间的关系来判断，在运算过程中，尽可能把角的关系转化为边的关系；二是利用角之间的关系来判断，将边转化为角变式引申：在ABC ∆中，若()()3a b c b c a bc +++-=，并且sin 2sin cos A B C =，判断三角形的形状四．课堂检测反馈1．已知在ABC ∆中，60,8,3A b c ===，则a = （ ）2. 在ABC ∆中,若1,1,a b c ===，则ABC ∆的最大角的度数为（ ）3.在ABC ∆中，5,6,8AB BC AC ===,则ABC ∆的形状是（ ）.A 锐角三角形 .B 直角三角形 .C 钝角三角形 .D 非钝角三角形五．课时小结1.学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结2.运用向量方法推导出余弦定理，并能灵活运用余弦定理解决解三角形的两种类型及判断三角形的形状问题六．课后作业课本第10页A 组3（2），4（2）B 组第2题。
9.1.2 余弦定理-人教B版高中数学必修第四册（2019版）教案一、教学目标1.掌握余弦定理的形式及证明方法；2.熟悉余弦定理在数学和实际问题中的应用；3.锻炼解决实际问题、独立思考和团队合作的综合能力。
二、教学内容1. 余弦定理的形式及证明方法1.定义余弦定理；2.推导余弦定理的证明方法；3.利用余弦定理求解三角形的边长和角度。
2. 余弦定理在数学和实际问题中的应用1.利用余弦定理求解实际问题；2.讨论余弦定理的局限性和适用条件。
三、教学重点、难点教学重点：1.熟练掌握余弦定理的形式及证明方法；2.熟悉余弦定理在数学和实际问题中的应用。
教学难点：1.利用余弦定理求解实际问题；2.理解余弦定理的适用条件。
1. 演示法采用演示法，通过绘图和实例讲解余弦定理的定义、证明方法和应用，并展示求解问题的过程和方法。
2. 课堂讨论法鼓励学生课前阅读相关知识，并在课上结合例题讨论余弦定理的具体应用，激发学生探究、研究的兴趣。
3. 小组讨论法将学生分组，自主探究余弦定理在实际问题中的应用，并通过小组讨论的方式交流和展示研究成果，锻炼学生的团队协作和表达能力。
五、教学步骤1. 自主学习让学生在课前自主学习余弦定理相关知识，独立思考余弦定理的应用。
2. 讲解通过教师的讲解，介绍余弦定理的定义、证明方法和应用，并讨论其适用条件。
3. 练习在教师的指导下，让学生通过练习巩固余弦定理的应用和证明方法。
4. 小组讨论将学生分组，自主探究余弦定理在实际问题中的应用，并通过小组讨论的方式交流和展示研究成果。
六、教学评估1.通过练习和小组讨论，检测学生对余弦定理的掌握情况；2.通过问答和课堂演示，评估学生解决实际问题和团队合作能力。
1.人教B版高中数学必修第四册（2019版）；2.数学实物教具。
八、教学反思1.此次教学，通过小组讨论和课堂演示的方式，促进了学生之间的交流和合作；2.但需要进一步优化教学策略，让学生更加深入地理解余弦定理的定义和使用方法。
2020-2021学年高中数学新教材人教B 版必修第四册教师用书：9.1.2 余弦定理含解析9．1.2 余弦定理［课程目标] 1。
掌握余弦定理及余弦定理的推导；2.了解余弦定理常用的几种变形公式；3.会利用余弦定理解决三角形问题．知识点一 余弦定理［填一填](1)语言表达：三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍．（2）公式表示:a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ;c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .(3）变形:cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ;cos B ＝错误!；cos A ＝错误!。
［答一答］1．余弦定理公式c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 与勾股定理c 2＝a 2＋b 2很类似,它们之间有联系吗？提示:对于余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 中，若∠C ＝90°，则有c 2＝a 2＋b 2,此即为勾股定理，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况．知识点二余弦定理的应用[填一填］应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其夹角，可以求出该三角形的第三边,另一类是已知3条边时，可以求出该三角形的3个角，而且该三角形也唯一确定．[答一答］2．已知两边和其中一边的对角解三角形时，用正弦定理可以求解，但需要判别解的情况，想一想,这类问题能不能用余弦定理求解？提示：可以用余弦定理求解，例如已知a、b和∠A，可先由公式a2＝b2＋c2－2bc cos A解关于c的方程求出c.进而再求其他量．要注意一点：关于c的方程的解的个数对应三角形解的个数,这比用正弦定理求解好．3．有人说：公式cos A＝错误!中，可以用b2＋c2－a2的值的符号判断该三角形是锐角三角形，钝角三角形，还是直角三角形．你认为这种说法对吗？提示:不完全对．若b2＋c2－a2＝0,则△ABC是直角三角形．若b2＋c2－a2〈0，则△ABC是钝角三角形，但是若b2＋c2－a2>0，△ABC不一定是锐角三角形,还要考虑B、C的大小．1．除课本证明方法外，余弦定理其他证明方法．证法1：(向量法)如图（1）所示，在△ABC中，显然有错误!＝错误!－错误!，所以错误!·错误!＝(错误!－错误!）·（错误!－错误!）＝错误!2－2错误!·错误!＋错误!2＝|错误!|2－2｜错误!｜·|错误!｜·cos A＋|错误!｜2，也就是a2＝b2＋c2－2bc cos A，同理可得b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C。
9.1.2 余弦定理基础过关练题组一已知两边及其夹角解三角形1.在△ABC中,若AB=1,AC=3,A=60°,则BC=( )A.√13B.√7C.√142D.72.若△ABC是等腰三角形,且a=5,B=120°,则△ABC的周长为( )A.15B.5+10√33C.5+10√3D.10+5√33.已知在△ABC中,AB=5,BC=1,tan B=34,则AC= .题组二已知三边解三角形4.在△ABC中,已知a=1,b=√3,c=2,则B等于( )A.30°B.45°C.60°D.120°5.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则cos C的值等于( )A.13 B.-16C.-112D.-146.在△ABC中,若(a+2b)(a-b)=c2-3b2,则角C等于( )A.120°B.90°C.60°D.30°7.若三角形的三条边长分别为2,√6,√3+1,则其最大角与最小角之和等于.题组三已知两边及一边的对角解三角形8.在△ABC中,已知b=3,c=3√3,B=30°,则a等于( )A.3B.6C.3或6D.49.在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则sinBsinC=( )A.37 B.35C.57D.8510.已知在△ABC中,cos A=35,a=4,b=3,则c= .题组四利用余弦定理进行边角互化11.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,则下列等式中正确的是( )A.b=acos C+ccos AB.b=acos A+ccos CC.b=asin C+csin AD.b=acos C-ccos A12.在△ABC中,若(a2+c2-b2)tan B=√3ac,则角B的大小为( )A.60°B.120°C.60°或120°D.30°或150°13.△ABC中,a,b,c分别表示角A,B,C所对的边,若a2=b2+14c2,则acosBc的值等于( )A.58 B.54C.516D.8514.在△ABC中,已知a2-c2=2b,且sin Acos C=3cos A·sin C,则b的值等于( )A.8B.6C.4D.115.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若2bcos A=ccos A+acos C.(1)求角A的大小;(2)若a=√7,b+c=4,求△ABC的面积.题组五利用余弦定理判断三角形的形状16.在△ABC中,若3sin2A=3sin2B+3sin2C+sin Bsin C,则该三角形一定是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形17.在△ABC中,若A=60°,a2=bc,则△ABC一定是( )A.直角三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形18.在△ABC中,若c2=abcos C+bccos A+accos B,则△ABC一定是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形19.在△ABC中,若(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,则△ABC的形状是.能力提升练一、单项选择题1.(★★☆)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若bsin,则b=( )A=3csin B,a=3,cos B=23A.14B.6C.√D.√62.(★★☆)在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是( )A.0,π6B.π6,π C.0,π3 D.π3,π3.(★★☆)在△ABC 中,若cos 2B 2=a+c2c,则△ABC 的形状是( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形4.(疑难2,★★☆)在三角形ABC 中,若B=60°,a+c=2,则b 的取值范围是( )A.[1,2)B.(0,2)C.(0,1]D.(2,+∞)5.(疑难3,★★☆)在△ABC 中,若AB=2,AC=3,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3,则BC=( ) A.√3 B.√7 C.√19 D.√236.(★★☆)在△ABC 中,B=45°,D 是BC 边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB 的长为( ) A.√615B.5C.5√62D.5√6 7.(★★☆)如果将直角三角形的三条边增加相同的长度,则新三角形的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定8.(★★★)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则cos ∠BAC 等于( ) A.3√1010 B.√1010C.-3√1010D.-√1010二、多项选择题9.(★★☆)已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若c 2<a 2+b 2+2abcos 2C,则C 的取值可能为( )A.π6B.π4C.π3D.π210.(疑难3,★★★)下列条件中能够判定△ABC 是钝角三角形的是( )A.a=12,b=13,c=14B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2b C.c -ba+b =ac+bD.b 2sin 2C+c 2sin 2B=2bccos Bcos C三、填空题11.(★★☆)在三角形ABC 中,a=4,b=5,c=6,则sin2A sinC= .12.(★★☆)在△ABC 中,若B=C,2b=√3a,则cos A= . 13.(疑难1,★★☆)在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 所对的边,若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B,则C 的大小为 . 14.(★★★)在△ABC 中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大角为120°,则该三角形的周长为 . 四、解答题15.(★★☆)在△ABC 中,若acos B+acos C=b+c,试判断该三角形的形状.16.(★★☆)在△ABC 中,C=2A,a+c=10,cos A=34,求b.17.(疑难1,★★★)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若a=1,2cos C+c=2b.(1)求A;(2)若b=1,求sin C的值.2答案全解全析 9.1.2 余弦定理 基础过关练1.B 由余弦定理可得BC 2=AB 2+AC 2-2AB·AC·cos A=12+32-2×1×3×cos 60°=7,所以BC=√7.2.D 由于△ABC 是等腰三角形,且B=120°,所以a=c=5,因此由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2accos B=a 2+a 2-2a·a·cos 120°=3a 2,所以b=√3a=5√3,故△ABC 的周长为5+5+5√3=10+5√3. 3.答案 3√2解析 由tan B=34可得cos B=45,所以由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB·BC·cosB=52+12-2×5×1×45=18,所以AC=3√2. 4.C 因为cos B=a 2+c 2-b 22ac=1+4-32×1×2=12,所以B=60°.5.D 由正弦定理可知a ∶b ∶c=sin A ∶sin B ∶sin C=2∶3∶4, 不妨设a=2k,b=3k,c=4k(k>0), 则由余弦定理的推论得cos C=a 2+b 2-c 22ab=4k 2+9k 2-16k 22×2k×3k=-14.6.A 由(a+2b)(a-b)=c 2-3b 2可得a 2+ab-2b 2=c 2-3b 2,即a 2+b 2-c 2=-ab, 因此由余弦定理的推论得cos C=a 2+b 2-c 22ab=-ab 2ab =-12,故C=120°.7.答案 120°解析 由于√3+1>√6>2,所以最大角与最小角所对的边分别为√3+1,2, 设边长为√6的边所对的角为θ, 则由余弦定理的推论可得cos θ=2√3+12√6)22×2×(3+1)=12,因此θ=60°,故最大角与最小角之和为180°-60°=120°.8.C 由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2accos B,即32=a 2+(3√3)2-2×a×3√3cos 30°,整理得a 2-9a+18=0,解得a=3或a=6, 经检验a=3或a=6均符合题意.9.B 由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2·AB·AC·cos A,因此49=25+AC 2+5AC,解得AC=3或AC=-8(舍去),因此由正弦定理得sinB sinC =AC AB =35. 10.答案 5解析 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A,所以16=9+c 2-6×35c,整理得5c 2-18c-35=0, 解得c=5或c=-75(舍),故c=5. 11.A acos C+ccos A=a·a 2+b 2-c 22ab+c·b 2+c 2-a 22bc=2b 22b =b,故A 选项正确.12.C 由已知及余弦定理,得2accos B·tan B=√3ac,所以sin B=√32,所以B=60°或B=120°. 13.A 由a 2=b 2+14c 2得b 2=a 2-14c 2,所以acosB c=a ·a 2+c 2-b 22acc=a 2+c 2-b 22c 2=a 2+c 2-a 2+14c 22c 2=58.14.C 由sin Acos C=3cos Asin C 及正、余弦定理得a·a 2+b 2-c 22ab=3c·b 2+c 2-a 22bc,所以2(a 2-c 2)=b 2,因为a 2-c 2=2b,所以b 2=4b,解得b=4(b=0舍去). 15.解析 (1)由余弦定理的推论得2bcos A=c·b 2+c 2-a 22bc+a·a 2+b 2-c 22ab=b,所以cos A=12,由于A∈(0,π),所以A=π3.(2)由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A, 所以(√7)2=42-2bc-bc,解得bc=3, 故S △ABC =12bcsin A=12×3×sin π3=3√34. 16.C 由3sin 2A=3sin 2B+3sin 2C+sin Bsin C 和正弦定理,得3a 2=3b 2+3c 2+bc, 即b 2+c 2-a 2=-13bc,所以cos A=b 2+c 2-a 22bc=-13bc 2bc =-16<0,所以A 是钝角,故该三角形是钝角三角形. 17.D 由余弦定理的推论知cos A=b 2+c 2-a 22bc,因为a 2=bc,A=60°, 所以cos 60°=b 2+c 2-bc 2bc,所以(b-c)2=0,所以b=c, 因此B=C=A=60°,即△ABC 一定是等边三角形. 18.A 由余弦定理的推论可得c 2=ab·b 2+a 2-c 22ab+bc·b 2+c 2-a 22bc+ac·a 2+c 2-b 22ac,整理得c 2=a 2+b 2+c 22,因此有a 2+b 2=c 2,故△ABC 是直角三角形.19.答案 等腰三角形或直角三角形解析 由已知及正、余弦定理可得a-c·a 2+c 2-b 22acb=b-c·b 2+c 2-a 22bca,整理得b 2(a 2+c 2-b 2)=a 2(b 2+c 2-a 2),所以b 2a 2+b 2c 2-b 4=a 2b 2+a 2c 2-a 4,因此b 2c 2-b 4=a 2c 2-a 4,所以(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0,故a 2=b 2或a 2+b 2-c 2=0,即a=b 或a 2+b 2=c 2,故△ABC 是等腰三角形或直角三角形.能力提升练一、单项选择题1.D 由bsin A=3csin B 及正弦定理,得b·a=3c·b,即a=3c, 又因为a=3,所以c=1.由余弦定理得b=√a 2+c 2-2accosB =√32+12-2×3×1×23=√6.2.C 由sin 2A≤sin 2B+sin 2C-sin Bsin C, 得a 2≤b 2+c 2-bc,即b 2+c 2-a 22bc≥12,因此得cos A≥12,又因为0<A<π,所以0<A≤π3. 3.B 由cos 2B2=a+c 2c可得1+cosB 2=a 2c +12,所以cos B=ac ,由余弦定理的推论得a 2+c 2-b 22ac=a c,整理得c 2=a 2+b 2,所以△ABC 是直角三角形,但没法判断其是不是等腰三角形,故选B. 4.A 由余弦定理的推论得b 2=a 2+c 2-2accos B=(a+c)2-3ac=4-3ac,由于0<ac≤a+c 22=1(当且仅当a=c=1时,等号成立),所以1≤b 2<4,所以1≤b<2,故b 的取值范围是[1,2).5.B 因为AB=2,AC=3,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos A=2×3×cos A=3,所以cos A=12,因此由余弦定理,得BC 2=AB 2+AC 2-2·AB·AC·cos A=22+32-2×2×3×12=7,故BC=√7.6.C 在△ADC 中,由余弦定理的推论得cos ∠ADC=AD 2+DC 2-AC 22AD ·DC=25+9-492×5×3=-12,所以∠ADC=120°,所以∠ADB=60°.在△ABD 中,由正弦定理可得AB=ADsin ∠ADB sinB=5×√32√22=5√62. 7.A 设直角三角形的三条边分别为a,b,c,且a 2+b 2=c 2.令三条边均增加同样的长度m,则三边长度变为a+m,b+m,c+m,此时最长边为c+m,设该边所对的角为θ,由余弦定理的推论可得 cos θ=(a+m )2+(b+m )2-(c+m )22(a+m )(b+m )=m 2+2m (a+b -c )2(a+m )(b+m ),由于m 2>0,a+b-c>0,所以cos θ>0,故θ为锐角,所以其他各角必为锐角,故新三角形是锐角三角形.8.D 设A,B,C 所对的边分别为a,b,c,由已知得13a=csin π4, 即a=3√22c.由余弦定理得b 2=a 2+c 2-√2ac=92c 2+c 2-3c 2=52c 2,所以b=√102c,因此cos∠BAC=b 2+c 2-a 22bc=52c 2+c 2-92c 22×√102c×c=-√1010.二、多项选择题9.AB 由余弦定理及已知可得a 2+b 2-2ab·cos C<a 2+b 2+2abcos 2C, 整理得cos 2C+cos C>0,即2cos 2C+cos C-1>0,所以(2cos C-1)(cos C+1)>0, 解得cos C>12或cos C<-1(舍去), 因此cos C>12,因为C 为三角形ABC 的内角, 所以C∈0,π3,结合选项可知,C 的取值可能为π6,π4. 10.ABC 对于A 选项,由于cos A=b 2+c 2-a 22bc=(13) 2+(14) 2-(12) 22×13×14<0,所以A 为钝角,所以△ABC 是钝角三角形,故A 选项正确;对于B 选项,由于AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b,所以cacos(π-B)=2b,所以cos B=-2b ac<0,所以B 为钝角,即△ABC 是钝角三角形,故B 选项正确;对于C 选项,由c -ba+b =ac+b可得c 2-b 2=a 2+ab,即a 2+b 2-c 2=-ab,于是cos C=-12,所以C=120°,即△ABC 是钝角三角形,故C 选项正确;对于D 选项,由b 2sin 2C+c 2sin 2B=2bccos Bcos C,得b 2(1-cos 2C)+c 2(1-cos 2B)=2bccosBcos C,整理得b 2+c 2=(bcos C+ccos B)2,即b 2+c 2=a 2,因此△ABC 是直角三角形,故D 选项错误.故选ABC.三、填空题 11.答案 1 解析sin2A sinC=2sinAcosA sinC=2acosA c=2×46×52+62-422×5×6=1.12.答案 13解析 由B=C 知b=c=√32a,所以结合余弦定理的推论可得cos A=(√32a)2+(√32a) 2-a 22×√32a×√32a=13.13.答案 60°解析 由题意可知,(a+b+c)(a+b-c)=3ab,于是有a 2+2ab+b 2-c 2=3ab,即a 2+b 2-c 22ab=12,所以cosC=12,故C=60°.14.答案 30解析 由a-b=4,a+c=2b, 得b=a-4,c=a-8,所以a>b>c,即a 是最长边,所以角A 最大,依题意得cos 120°=(a -4)2+(a -8)2-a 22(a -4)(a -8),解得a=14(a=4舍去),所以b=10,c=6,所以三角形ABC 的周长为30.四、解答题15.解析 由acos B+acos C=b+c 及余弦定理的推论可得a·a 2+c 2-b 22ac +a·a 2+b 2-c 22ab =b+c, 即a 2+c 2-b 22c+a 2+b 2-c 22b =b+c,整理得a 2b-c 2b-b 3+a 2c-b 2c-c 3=0, 所以a 2(b+c)-bc(b+c)-(b 3+c 3)=0,所以(b+c)(a 2-bc-b 2-c 2+bc)=0,所以(b+c)(a 2-b 2-c 2)=0.由于b+c≠0,因此a 2=b 2+c 2,故该三角形是直角三角形.16.解析 由正弦定理及C=2A 可得c a =sinC sinA =sin2A sinA =2sinAcosA sinA =2cos A=2×34=32, 因为a+c=10,所以c=6,a=4.由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bccos A,所以16=b 2+36-9b,解得b=4或b=5.当b=4时,由a=4知A=B,而C=2A,所以A+A+2A=180°,解得A=45°,这与cos A=34矛盾,舍去; 当b=5时,符合题意.故b=5.17.解析 (1)因为a=1,2cos C+c=2b,所以结合余弦定理的推论可得2×12+b 2-c 22b +c=2b,整理得b 2+c 2-1=bc. 所以cos A=b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-12bc =bc 2bc =12, 又因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)由于b=12,且b 2+c 2-1=bc,所以122+c 2-1=12c, 即4c 2-2c-3=0,解得c=1+√134或c=1-√134(舍去). 由c sinC =a sinA ,得sin C=csinA a =1+√134×sin60°1=√3+√398.。
