4.5-隐函数微分法
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第五节 隐函数微分法
教学目的：(1) 了解隐函数存在定理的条件与结论；
(2) 会求隐函数的导数和偏导数。
教学重点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。
教学难点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。
教学方法：讲练结合
教学时数：2课时
一、一个方程的情形
1.(,)0F x y =
定理5.1 （隐函数存在定理1） 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内满足： ①具有连续的偏导数(,),(,)x y F x y F x y ，
②00(,)0F x y =，
③00(,)0y F x y ≠，
则方程(,)0F x y =在点00(,)P x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值且具有连续导数的函数()y f x =，它满足条件00()y f x =，并有
y
x F F dx dy -=. （1） 说明：
1）定理的条件是充分的，如方程330y x -=在原点(0,0)不满足条件③, 但它仍能确定唯一单值连续且可导函数y x =
2）若③换成00(,)0x F x y ≠，则确定隐函数(),x x y =在点00(,)x y 可导, 且
.y x
F dx dy F =- 定理的证明从略，仅对公式（1）作如下推导：
设方程(,)0F x y =在点00(,)P x y 的某一邻域内确定一个具有连续导数的隐函数()y f x =，则有恒等式 (,())0,F x f x ≡
两边对x 求导，得 0,x y dy F F dx +=由00(,)0y F x y ≠，得y
x F F dx dy -=。
隐函数的求导公式
例１验证方程0122=-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导且0=x 时1=y 的隐函数()y f x =，并求这函数的一阶和二阶导数在0=x 的值.
解：令1),(22-+=y x y x F ，则 ,2x F x =,2y F y =,0)1,0(=F ,02)1,0(≠=y F
依定理知方程0122=-+y x 在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且0=x 时
1=y 的函数)(x f y =．函数的一阶和二阶导数为
y x F F dx dy -= ,y x -= ,00
==x dx dy
222y y x y dx y d '--=2
y y x x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=,13y -= .1022-==x dx y d 例2 已知x y y x arctan ln 22=+，求dx
dy . 解：令,arctan ln ),(22x
y y x y x F -+= 则 ,),(22y x y x y x F x ++= ,),(22y
x x y y x F y +-= 所以 y x F F dx dy -= .x
y y x -+-= 2.(,,)0F x y z =
定理5.2（隐函数存在定理2） 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内满足： ①具有连续的偏导数，
②000(,,)0F x y z =，
③000(,,)0z F x y z ≠，
则方程(,,)0F x y z =在点000(,,)P x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =，它满足条件000(,)z f x y =，并有 z x F F x z -=∂∂， z
y F F y z -=∂∂. 定理的证明从略，偏导公式与一元隐函数类似，请自己推导.。
