二次函数二倍角的处理解析

二次函数二倍角问题二次函数是高中数学中的一个重要概念，而其中的二倍角问题又是解析几何和三角函数的重要应用之一。

在二次函数中，二倍角问题是指如何根据已知的二次函数的表达式，求解其二倍角的函数表达式。

我们来考虑一般形式的二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。

要求解二次函数的二倍角表达式，我们可以利用三角函数的二倍角公式。

根据三角函数的二倍角公式，我们有以下等式：$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$$\cos(2\theta) = \cos^2\theta-\sin^2\theta$将三角函数的二倍角公式应用到二次函数中，可得如下结论：若已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，则其二倍角的函数表达式为$g(x)=Ag^2(x)+Bg(x)+C$，其中$A$、$B$和$C$是待定系数。

为了确定待定系数$A$、$B$和$C$的值，我们可以利用已知的条件来求解。

其中，最常用的条件是已知二次函数的顶点坐标。

设二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(h, k)$，其中$h$表示顶点的横坐标，$k$表示顶点的纵坐标。

由已知条件可以得到以下等式：$k = ah^2+bh+c$$C = k$我们将已知条件和二倍角公式联立起来，求解待定系数$A$和$B$的值。

比如，若我们已知二次函数的顶点坐标为$(h, k)$，则有以下等式：$A(h) = 4a$$B(h) = 2b$要解决二次函数的二倍角问题，我们需要利用三角函数的二倍角公式，并利用已知条件进行求解。

通过求解待定系数$A$、$B$和$C$，我们可以得到二次函数的二倍角的函数表达式。

这个问题在解析几何和三角函数应用中有着广泛的应用。

二次函数综合--角度存在性问题【题型解读】二次函数综合中的角度问题是大部分地区全卷的压轴题，具有较好的区分度和选拔功能，此类试题不仅可以考查二次函数与平面几何的基础知识，还可以考查数形结合、分类讨论等数学思想方法，以及阅读理解能力、收集处理信息能力、运用数学知识探究问题的能力等.解题关键是，充分挖掘题目中的隐含条件，构造角，利用解直角三角形或相似进行计算求解.【主要类型】1.相等角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其与特定已知角相等2.二倍角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其等于特定已知角的2倍3.半角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其等于特定已知角的一半【方法总结】角度存在性问题主要解题突破口在于构造相关角，主要有以下几种构造方法：⑴构造相等角的方法①利用平行线的性质或者等腰三角形的性质构造相等角②利用相似三角形构造相等角⑵构造二倍角的方法⑶构造半角的方法【典型例题】1．如图，已知直线BC的解析式为y＝﹣x+3，与x轴，y轴交于点B，C．抛物线y＝ax2+bx+3过A（﹣1，0），B，C三点，D点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，CD．（1）求二次函数及直线CD的解析式；（2）点P是线段CD上一点（不与点C，D重合），当△BCP的面积为时，求点P的坐标．（3）点F是抛物线上一点，过点F作FG⊥CD交直线CD于点G，当∠CFG＝∠EDB 时，请直接写出点F的坐标．2．如图，已知二次函数y＝ax2+x+b的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，4），∠BAO 的平分线分别交抛物线和y轴于点C，D．点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点E，连接PC．（1）求二次函数的解析式；（2）当以点P，C，E为顶点的三角形与△ADO相似时，求点P的坐标；（3）设点F为直线AC上一点，若∠BFD＝∠ABO，请直接写出点F的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过AB两点，与x轴的另一个交点为C．（1）直接写出点A和点B的坐标．（2）求抛物线的解析式．（3）D为直线AB上方抛物线上一动点．①连接DO交AB于点E，若DE：OE＝3：4，求点D的坐标；②是否存在点D，使得∠DBA的度数恰好是∠BAC的2倍？如果存在，直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣8，0）、B（2，0），与y轴交于点C，点D是AB中点，连接CD．点P是抛物线上一点．（1）求a、b的值；（2）若S△CDP＝S△CDO，求点P的横坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为E，若∠CPE＝∠CDO，求点P的横坐标．。

二次函数倍角问题二次函数倍角问题，是指在给定的二次函数的定义域内查找其两个角度之间的倍角关系。

更具体地说，对于任意给定的二次函数f(x)，我们需要找到一对相异的定义域内的角度x1和x2，使得它们的倍角关系成立，即2x1=x2在解决二次函数倍角问题之前，我们需要了解一些与二次函数和倍角有关的基本知识。

首先是二次函数的定义和图像。

二次函数是形如f(x)=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。

它的图像是一个拱形或倒拱形的曲线，称为抛物线。

接下来，我们需要了解一些倍角公式。

对于任意角度θ，有以下三个倍角公式：1. sin(2θ) = 2sinθcosθ2. cos(2θ) = cos²θ - sin²θ3. tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)首先，我们需要找到一个二次函数f(x)，并确定它的定义域。

通常情况下，定义域是整个实数集，即(-∞,+∞)。

然后，我们需要找到满足2x1=x2的一对角度x1和x2、为了方便分析，我们可以选取一些特殊的角度，并考察它们的倍角关系。

例如，我们可以选取θ=0作为初始角度。

根据倍角公式，sin(2×0)=2sin0cos0=0。

我们可以找到满足2x1=x2的一对角度，其中x1=0，x2=2×0=0。

这说明在这种情况下，不同的角度0和0有倍角关系。

另外，我们可以考察θ=π/4这个角度。

根据倍角公式，sin(2×π/4)=2sin(π/4)cos(π/4)=2(√2/2)(√2/2)=1、我们可以找到满足2x1=x2的一对角度，其中x1=π/4，x2=2×π/4=π/2、这说明在这种情况下，不同的角度π/4和π/2有倍角关系。

然后，我们可以继续考察其他一些角度，以找到更多的倍角关系。

通过逐步尝试不同的角度，并根据倍角公式计算它们的倍角值，我们可以找到更多满足2x1=x2的一对角度。

二次函数中与角有关的存在性问题与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存在性等，解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造相关角：①平行线的同位角、内错角相等；②等腰三角形的等边对等角；③相似三角形对应角相等；④全等三角形对应角相等；⑤三角形的外角定理等。

然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大，需要同学们灵活运用，融会贯通。

【类型一 相等角的存在性问题】（一）.利用平行线、等腰三角形构造相等角例1 如图，直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线c bx x y ++-=2与直线y =c 分别交y 轴的正半轴于点C 和第一象限的点P ，连接PB ，得BOA PCB ≌△△（O 为坐标原点）。

若抛物线与x 轴正半轴交点为点F ，设M 是点C ，F 间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m . （1）直接写出点P 的坐标和抛物线的解析式. （2）求满足POA MPO ∠=∠的点M 的坐标.解：(1)易得点P 坐标为（3，4），抛物线解析式为432++-=x x y .(2) ①当点M 在线段OP 上方时，∵CP ∥x 轴，∴当点C 、M 重合时，∠MPO=∠POA ，∴点M 的坐标为（0，4）；②当点M 在线段OP 下方时，在x 轴正半轴取点D ，连接DP ，使得DO=DP ，此时∠DPO=∠POA.设点D 坐标为（n ，0），则DO=n ，()16322+-=n DP ，∴()16322+-=n n ，解得：n=625，∴点D 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0625，. 设直线PD 解析式为b kx y +=，代入得：7100724+-=x y .联立抛物线解析式得⎪⎭⎫⎝⎛49124,724M 综上所述：点M 的坐标为（0，4）或⎪⎭⎫⎝⎛49124,724（二）.利用相似三角形构造相等角例2 如图，抛物线c bx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6. （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当EDB FAB ∠=∠时，求点F 的坐标；解：（1）因为OB=OC=6，所以B （6，0），C ()6,0-， 将B、C点坐标代入解析式，得()8221622122--=--=x x x y ， 所以点D 的坐标为（2，—8）（2）如图1，过F 作FG ⊥x 轴于点G ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛--6221,F 2x x x ，则FG=62212--x x ，AG=x +2，当EDB FAB ∠=∠时，且B ED GA ∠=∠F ，所以BDE FAG ∽△△，所以FGAGEB DE =，即262212482=--+=x x x ， 当点F 在x 轴上方时，则有12422--=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=7，此时F 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛297，；当点F 在x 轴下方时，则有）（12422---=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=5，此时F 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-275，，,综上可知点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛297，或⎪⎭⎫ ⎝⎛-275，.【类型二二倍角或半角的存在性问题】（一）.二倍角的构造方法如图，已知α∠，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造α2，在BC 边上找一点D，使得BD=AD，则α2ADC=∠.这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了。

二次函数与角度和差倍分1.引言1.1 概述二次函数与角度和差倍分是数学领域中的重要概念和理论。

二次函数是一种特殊的函数形式，其解析式可以表示为一个变量的二次多项式形式。

二次函数具有独特的性质和特点，其图像通常呈现出抛物线的形状，对于解决实际问题和分析数学模型具有广泛的应用。

角度和差则是指两个角度之间的加法和减法运算。

在三角函数中，角度和差公式是一组重要的等式，用于求解两个角度的和与差的三角函数值。

通过角度和差公式，可以将一个三角函数表达式化简为另一种形式，从而使计算更加简便。

本文旨在探讨二次函数与角度和差之间的关系，以及它们在实际问题中的应用和意义。

首先，我们将介绍二次函数的定义和特点，包括二次函数的一般形式、顶点坐标、对称轴等内容。

然后，我们将深入讨论角度和差的定义及其常见的倍分公式，包括正弦、余弦和正切函数的角度和差倍分公式。

最后，我们将总结二次函数与角度和差的关系，并探讨它们在实际问题中的应用和意义。

通过本文的阅读，读者将能够全面了解二次函数与角度和差的概念和理论，并能够运用它们解决实际问题。

无论是在科学研究还是日常生活中，这些知识都是非常有用的，能够帮助我们更好地理解数学的本质和应用。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下几个方面：1. 章节划分：介绍本文的章节划分和内容安排，即明确说明文章包含哪些主要章节和各个章节的主题。

2. 二次函数部分：简要介绍文章中关于二次函数的内容，包括定义和特点以及图像和性质。

可以提及二次函数的标准形式、顶点形式和一般式，以及二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点位置等基本性质。

3. 角度和差倍分部分：概述文章中关于角度和差倍分的内容，包括角度和差的定义和角度和差的倍分公式。

可以提及如何计算角度和差以及如何利用倍分公式得出特定角度的倍分值。

4. 结构关联：指出二次函数和角度和差倍分之间的关系，即通过二次函数的性质可以推导出角度和差倍分的公式。

可以说明角度和差倍分在解决二次函数问题中的应用价值。

二次函数中与角有关的存在性问题与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存在性等，解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造相关角：①平行线的同位角、内错角相等；②等腰三角形的等边对等角；③相似三角形对应角相等；④全等三角形对应角相等；⑤三角形的外角定理等。

然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大，需要同学们灵活运用，融会贯通。

【类型一相等角的存在性问题】（一）.利用平行线、等腰三角形构造相等角例1如图，直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线c bx x y ++-=2与直线y =c 分别交y 轴的正半轴于点C 和第一象限的点P ，连接PB ，得BOA PCB ≌△△（O 为坐标原点）。

若抛物线与x 轴正半轴交点为点F ，设M 是点C ，F 间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m .（1）直接写出点P 的坐标和抛物线的解析式.（2）求满足的点M 的坐标.DO=DP ，此时∠DPO=∠POA.（二）.利用相似三角形构造相等角例2如图，抛物线c bx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6.（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当EDB FAB ∠=∠时，求点F 的坐标；解：（1）因为OB=OC=6，所以B （6，0），C ()6,0-，将B、C点坐标代入解析式，得()8221622122--=--=x x x y ，所以点D 的坐标为（2，—8）（2）如图1，过F 作FG ⊥x 轴于点G ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛--6221,F 2x x x ，则FG=62212--x x ，AG=x +2，当EDB FAB ∠=∠时，且BED GA ∠=∠F ，所以BDE FAG ∽△△，所以FG AG EB DE =，即262212482=--+=x x x ，当点F 在x 轴上方时，则有12422--=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=7，此时F 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛297，；当点F 在x 轴下方时，则有）（12422---=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=5，此时F 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-275，，,综上可知点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛297，或⎪⎭⎫ ⎝⎛-275，.【类型二二倍角或半角的存在性问题】（一）.二倍角的构造方法如图，已知α∠，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造α2，在BC 边上找一点D，使得BD=AD，则α2ADC=∠.这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了。

二次函数与几何综合专题--角问题【模型解读】二次函数与角综合问题，常见的主要有三种类型： 1. 特殊角问题：（1） 利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系（2） 遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形2.角的数量关系问题（1）等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决 （2）二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答 （3）角的和差问题3.角的最值问题：利用辅助圆等知识来解答【引例】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，3OA OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标．（2）在抛物线上是否存在点P ，使PAO OCE ∠=∠，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）该抛物线上是否存在点P，使得PCA CAD∠=∠？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．∠的平分线与y轴的交点M的坐标．（4）直线AC与抛物线的对称轴交于点F，请求出CDF∠=∠，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理（5）在抛物线上是否存在点P，使得POC PCO由．（6）过点B 的直线交直线AC 于点M ，当直线AC 与BM 的夹角等于ACB ∠的2倍时，求点M 的坐标．（7）在y 轴上是否存在点N ，使得BCO BNO BAC ∠+∠=∠，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．（8）在对称轴左侧的抛物线上有一点M ，在对称轴右侧的抛物线上有一点N ，满足90MDN ∠=︒．求证：MN 恒过定点，并求出定点坐标．【模型实例】1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2y a x h k =-+与x 轴相交于O ，A 两点，顶点P 的坐标为()2,1-．点B 为抛物线上一动点，连接,AP AB ，过点B 的直线与抛物线交于另一点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B 的横坐标与纵坐标相等，ABC OAP ∠=∠，且点C 位于x 轴上方，求点C 的坐标；（3）若点B 的横坐标为t ，90ABC ∠=︒，请用含t 的代数式表示点C 的横坐标，并求出当0t <时，点C 的横坐标的取值范围．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．（1）求a的值；（2）将A，B的纵坐标分别记为y A，y B，设s＝y A﹣y B，若s的最大值为4，则m的值是多少？（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图1，在平面直角坐标系中．抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值；（3）点P为抛物线上的一动点，且∠ACP＝45°﹣∠BAC，请直接写出满足条件的点P的坐标．5.抛物线y＝x2﹣4x+c与直线I：y＝kx交于点G（1，m）和点H，﹣1≤m＜0，直线x＝m﹣1交直线l于点A，交抛物线于点B．（1）求c和k的值（用含m的代数式表示）；（2）过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C．求的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段BD的中点，探究∠MEN与∠ABC的数量关系，并说明理由．6.抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的正半轴交于C点，△ABC的面积为6．（1）直接写出点A、B的坐标为；抛物线的解析式为．（2）如图1，连结AC，若在第一象限抛物线上存在点D，使点D到直线AC的距离为，求点D的坐标；（3）如图2，平行于AC的直线交抛物线于M、N两点，在抛物线上存在点P，当PQ⊥y轴时，PQ恰好平分∠MPN，求P点坐标．7.如图，抛物线y＝mx2+3mx﹣2m+1的图象经过点C，交x轴于点A（x1，0），B（x2，0）（点A在点B左侧），且x2﹣x1＝5，连接BC，D是AC上方的抛物线一点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，CD，S△DCE：S△BCE是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）第二象限内抛物线上是否存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标，若不存在，请说明理由．1.如图1，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图2，M是x轴下方的抛物线上一点，连接MO、MB、MC，若△MOC的面积是△MBC面积的3倍，求点M的坐标；（3）如图3，连接AC、BC，在抛物线上是否存在一点N（不与点A重合），使得∠BCN＝∠ACB？若存在，求点N的横坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，对称轴PD交AB与点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，试探究：线段BC上是否存在点M，使∠EMO＝∠ABC，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，点Q是抛物线的对称轴PD上一点，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．3.如图1，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A、D两点，其中D点的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式以及直线AD的解析式；（2）点P是抛物线上位于直线AD下方的动点，过点P作x轴，y轴的平行线，交AD于点E、F，当PE+PF取最大值时，求点P的坐标；（3）如图2，连接AC，点Q在抛物线上，且满足∠QAB＝2∠ACO，求点的坐标．。

例谈函数综合问题中二倍角的处理二次函数综合问题在中考数学压轴题中扮演着重要的角色，而二倍角的存在性问题是近年来中考数学命题的热点问题.在初中阶段，点、线、角是构成图形的基本元素，相对于对点和线的处理，学生对角的处理显得比较陌生，往往感到束手无策.本文以一道中考数学题为例，深入剖析二倍角的转化方法，在此与各位同仁作交流探讨.一、问题呈现题目 (2018年河南中考题)如图1，抛物线26y ax x c =++交x 轴于,A B 两点，交y 轴于点C .直线5y x =-经过点,B C .(1)求抛物线的解析式.(2}过点A 的直线交直线BC 于点M .①当AM BC ⊥时，过抛物线上一动点P (不与点,B C 重合)，作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标; ②连结AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标。

分析 (1)求出直线5y x =-与x 轴、y 轴的交点，代回抛物线解析式，即可求得抛物线解析式为 265y x x =-+-.(2)①利用平行四边形的性质(对边平行且相等、对角线互相平分等)构造方程，可求得点P 的横坐标为4或52+或52-.需要注意的是，点P 的位置没有特别限制，需要结合函数图象进行分类讨论，避免漏解;②是二倍角的存在性问题，可以用两点间距离公式、中垂线的性质、直角三角形斜边上的中线、同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍等知识构造等腰三角形，进而构造二倍角进行求解.特别地，由于45ACB ∠<︒，所以在直线BC 上有两个不同的点M 满足题意，这是解题时容易漏解之处.下面，笔者重点分析如何利用核心知识和方法对二倍角进行转化处理.二、解法探究解法1 利用两点间距离公式求解如图2，由122∠=∠，且123∠=∠+∠，可知23∠=∠，∴11M A M C =.设1(,5)M m m -，由11M A M C =，可得 2222(1)(5)(0)(55)m m m m -+-=-+-+，解得136m =， 即1137(,)66M -. 同理，由21M A M A =，利用两点间距离公式可求得2237(,)66M -. 综上所述，M 的坐标为137(,)66-或237(,)66-.注 对于2M 可以过点A 作AN BC ⊥于N ，过点N 作NH AB ⊥于H ，利用ANB ∆和BNH ∆为等腰直角三角形，以及N 为12M M 的中点进行求解.点评 两点间距离公式是学生在学习了平面直角坐标系和勾股定理之后所学习的一个重要公式，也是学生在解决等腰三角形存在性问题、平行四边形存在性问题、面积最值问题等综合问题时经常用到的一个公式.由23∠=∠可知11M A M C =，而点1M 在一条确定的直线5y x =-上，此时可设点1M 的坐标，利用两点间距离构造方程，求得点1M 的坐标。

二次函数中二倍角解题思路
在二次函数中，二倍角是一个常见的数学概念，它涉及到函数值的倍角计算。

具体来说，如果一个二次函数 y = ax^2 + bx + c 的一个根为α，那么它的另一个根就是 -α（当 a > 0）或α（当 a < 0）。

这种性质在解决一些数学问题时非常有用。

解题思路如下：
理解二倍角公式：首先，需要理解二倍角公式及其推导过程。

二倍角公式是 sin2α = 2sinαcosα，其中 sinα和cosα是三角函数的基本值。

这个公式可以通过三角函数的和角公式推导得到。

应用二倍角公式：在解决涉及二次函数的问题时，如果问题中涉及到角度的二倍关系，就可以应用二倍角公式来简化计算。

例如，如果已知一个角的正弦或余弦值，那么就可以通过二倍角公式计算出这个角的两倍的正弦或余弦值。

利用根的性质：如果一个二次函数的根满足二倍角的关系，那么在解决与这些根相关的问题时，可以利用这个性质来简化计算。

例如，如果一个二次函数的两个根分别是α和 -α，那么在计算与这两个根相关的代数式时，可以将其化简为单一的表达式。

结合其他数学工具：在解决涉及二次函数的问题时，可能还需要结合其他数学工具，如代数运算、三角恒等式等。

通过综合运用这些工具，可以更有效地解决复杂的问题。

注意特例情况：在应用二倍角公式时，需要注意特例情况的处理。

例如，当 sinα或 cosα等于 0 时，就需要特别处理以避免出现除以零的错误。

二次函数与角有关的问题整理二次函数背景下与角有关的存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。

为此，我将与角有关的压轴题常见的题型及解法做一整理。

首先，我将这些题大致分成两大类：一类是相等角问题；一类是半角或倍角问题。

相等角问题又分为三种：第Ⅰ种是将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。

如例1抛物线y=-x2+3x+4,与坐标轴交于点A、B、C，CP⊥y轴交抛物线与点P，点M为A、C间抛物线上一点（包括端点），求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。

M在OP下方时，∠MPO=∠POA，这两角组成的三角形是等腰三角形。

设PM与x轴交于点D，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD2、PD2长，根据OD2=PD2列方程即可求出D点坐标，再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。

第Ⅱ种是将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。

这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；例2如图，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6.（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB 时，求点F 的坐标；解析：通过已知条件易得抛物线表达式为y=12x 2-2x-6及各定点坐标，第二问中的F 有两种情况：x 轴上方一个，x 轴下方一个。

在Rt ⊿BDE 中，可知tan ∠EDB=12，则tan ∠FAB=12，过F 作x 轴垂线，构造∠FAB 所在直角三角形，接着通过设F 点坐标，表示FH 和AH 长，根据tan ∠FAB=FHAH =12列方程，或利用相似三角形对应边成比例列式，从而求出点F 坐标，由于表示FH 时加了绝对值，已经考虑到了上下两种情况，这样两个F 就都求出来了。