2019学年度九年级数学二次函数综合题题型归类之等腰三角形问题二(附答案详解)

（完整版）二次函数综合题分类讨论带答案.doc二次函数综合题分类讨论一、直角三角形分类讨论：11、已知点 A(1 ，0),B（ -5,0），在直线y 2 x 2 上存在点C，使得 ABC 为直角三角形，这样的 C 点你能找到个2、如图 1，已知抛物线C1：y a x 2 2 5 的顶点为 P，与 x 轴相较于 A 、 B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1.（1）求P 点坐标及a的值；（ 2）如图 1，抛物线C2与抛物线C1关于x 轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后得到抛物线C3， C,3的顶点为 M ，当点 P、 M 关于点 B 成中心对称时，求C,3的解析式；（ 3）如图 2，点 Q 是 x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q 旋转180 后得到抛物线C,4，抛物线 C,4的顶点为N，与 x 轴相交于 E、 F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、N、 F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标。

（2013 汇编 P56+P147）3、如图，矩形A’BC’O’是矩形 OABC( 边 OA 在 x 轴正半轴上，边 OC 在 y 轴正半轴上 )绕 B 点逆时针旋转得到的．O’点在 x 轴的正半轴上， B 点的坐标为 (1，3)．(1)如果二次函数 y＝ ax2＋ bx＋c(a≠0)的图象经过 O、O’两点且图象顶点 M 的纵坐标为—1．求这个二次函数的解析式；(2) 在 (1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得POM 为直角三角形若存在，请求出P 点的坐标和POM 的面积；若不存在，请说明理由；(3)求边C’O’所在直线的解析式．练习（ 09 成都 28）已知抛物线与x 轴交于 A 、 B 两点 (点 A 在点 B 的左侧 )，与 y 轴交于点C，其顶点为 M ，若直线 MC 的函数表达式为 y=kx-3 ，与 x 轴的交点为N，且cos∠BCO ＝(3 √ (10) /10)．（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N 、 P、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；（ 3）过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q. 若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度5 ?4A 二、4321N2 B 2 4 6 8 10 12 14 16 18123P4M56等腰三角形分类讨论1、如图，已知 Rt Rt ABC , ACB 90 , BAC 30 , 在直线BC或直线AC上取一点P，使得 PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有个2 A的坐标为(12)，，点B的坐标为(31)，，二次函数 y x2、①，在平面直角坐标系中，点的图象记为抛物线l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l2，如图②，求抛物线l2 的函数表达式．（3）设抛物线l2 △△，求点 K 的坐标．的顶点为 C ， K 为 y 轴上一点．若S ABK SABC（ 4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线l 2上是否存在点P ，使△ ABP 为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．yyyl 2l 1l 2AAA1B1CBx1BO xOO 111图①图②图③解：（ 1 ）有多种答案，符合条件即可．例如yx 2 1， y x 2 x ， y( x 1)22 或y x 2 2x 3 ， y (x2 1)2 ， y (x 12) 2 ．（2）设抛物线 l 2 的函数表达式为 y x 2bxc ，yl 2Q 点 A(12)，， B(31)，在抛物线 l 2 上，KGA1 b c ，b9 ，2 29 3b c 解得111c.抛物线 l 2 的函数表达式为y x 2 9 x 11 ．2 29 x 119 27 ，9，7（3） yx 2 xC 点的坐标为．2 2 4 164 16 过 A ， B ， C 三点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 D ，E ，F ，则 AD 2 ， CF7 ， BE1， DE5 ， FE316 2 ， DF．44 S △ ABCS 梯形ADEBS梯形 ADFCS梯形 CFEB1(2 1) 2 1 2 75 1 1 73 15 ．2 2 164 2 164 16延长 BA 交 y 轴于点 G ，设直线 AB 的函数表达式为 y mx n ，2 m ，m1 ，Q 点 A(12)，， B(31)，在直线 AB 上， n21 3m 解得5n.n.2直线 AB 的函数表达式为 y1x 5 G 点的坐标为52 ．0，．22BCO D F E图②设 K 点坐标为(0，h)，分两种情况：若 K 点位于 G 点的上方，则KG h 5 ．连结AK ，BK ．2S△ABK S△BKG S△AKG 1 3 h 5 1 1 h 5 h 5 ．2 2 2 2 2Q S△ABK15 5 15，解得 h55K 点的坐标为55 S△ABC ，h16 16．0，．16 2 16若 K 点位于 G 点的下方，则KG 5h ．同理可得， h25．2 16 yK 点的坐标为25．l 2 0，16 A（4）作图痕迹如图③所示． B由图③可知，点P 共有3个可能的位置．O图③2、如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，y点 A 、 C 的坐标分别为A(10 ， 0)、 C（ 0,4），点 D 是 OA 的中点，点 P 在PCBC 边上运动，当是腰长为 5 的等腰三角形时，点P 的坐标为O D 3、在菱形 ABCD 中，对角线AC ， BD 相交于点 O，以 O 为坐标原点，以 BD 所在直线为 x 轴， CA 所在直线为 y 轴建立如图所示的坐标系，且AC=12 ，BD=16 ，E 为 AD 的中点，点 P 在线段 BD 上移动，若为等腰三角形，则所有符合条件的点P 的坐标为三、最值问题 B类型一：两点之间线段最短 C 1、请写出2m 3 2 1 8 2m 2 4 的最小值为 A2、如图，四边形ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，对角线BD 上60 ，得到BN，连EN任一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转EN、 AM 、CM ，求证：（ 1）AMB ENB ，(2)M点在何处时，AM+CM值最小，（3）AM+BM+CN 最小值为3 1 时，求正方形的边长（2012 汇编P52+P137） B xBxAyAExDDMC3、（ 2010 年天津 25）在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 、B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，OA=3 ，OB=4 ，D 为边 OB 的中点。

特殊三角形存在性问题一、等腰三角形存在性问题【例4】如图，抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(－1，0)，C(0，3)．(1)求抛物线的解析式．解：把A(－1，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋mx＋n，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)判断△ACD的形状，并说明理由．先确定点D的坐标，求出△ACD的各边长，然后判断△ACD的形状．解：△ACD是等腰三角形．由(1)知，抛物线的对称轴为x＝1，∴D(1，0)．∵A(－1，0)，C(0，3)，∴AD＝2，AC＝＝，CD＝＝.∴AC＝CD.∴△ACD是等腰三角形．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．先找出所有符合条件的点，然后再求线段长确定P点坐标．解：由(2)知CD＝.∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1＝DP2＝DP3＝CD.过点C作CM垂直对称轴于M，∴MP1＝MD＝3.∴DP1＝6.∴符合条件的点P的坐标为(1，6)，(1，)，(1，－)．(4)点P是线段BC上的一动点，是否存在这样的点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标，如果不存在，请说明理由．先求出BC的解析式，分三种情况讨论计算出m.解：∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.设点P(m，－m＋3)(m＞0)．∵C(0，3)，D(1，0)，∴CP2＝2m2，DP2＝(m－1)2＋(－m＋3)2，CD2＝10.∵△PCD是等腰三角形：①当CP＝DP时，则CP2＝DP2.∴2m2＝(m－1)2＋(－m＋3)2.∴m＝.∴P.1②当CP＝CD时，则CP2＝CD2.∴2m2＝10.∴m＝或m＝－(舍去)．(，3－)．∴P2③当DP＝CD时，则DP 2＝CD 2.∴(m－1)2＋(－m＋3)2＝10.∴m＝4或m＝0(舍去)．∴P(4，－1)．3综上所述，符合条件的点P的坐标为，(，3－)或(4，－1)．(5)设抛物线的顶点为E，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PEC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．分“以CE为底”和“以CE为腰”两种情况讨论．利用腰长相等列关系式，再结合抛物线解析式，求出点P的坐标．解：由(1)知，E点坐标为(1，4)，对称轴为直线x＝1.①若以CE为底边，则PE＝PC.设点P的坐标为(x，y)，则(x－1)2＋(y－4)2＝x2＋(3－y)2，即y＝4－x.又∵点P(x，y)在抛物线上，∴4－x＝－x2＋2x＋3.解得x＝.∵＜1，应舍去．∴x＝，y＝4－x＝.即点P的坐标为.②若以CE为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性可知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时P点坐标为(2，3)．综上所述，符合条件的点P坐标为或(2，3)．关于等腰三角形找点(作点)和求点的方法①等腰三角形找点(作点)方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用“两圆一问题找点已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△P AB为等腰三角形分别以点A，B为圆心，以线段AB长为半径作圆，再作线段AB的垂直平分线，两圆和垂直平分线与l的交点即为所有要求的P点②等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后求出三点间的线段长度，分不同顶点进行讨论．二、直角三角形的存在性问题【例5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；解：把A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋2x＋c，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.设AC的解析式为y＝kx＋3.把A(－1，0)代入解析式，得k＝3.∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.(2)动点E在y轴上移动，当△EAC是以AC边为直角边的直角三角形时，求点E的坐标．解：设E的坐标为(0，t)．AC2＝OA2＋OC2＝12＋32＝10，EA2＝OA2＋OE2＝12＋t2，CE2＝(3－t)2.在Rt△EAC中，AC2＋EA2＝CE2，∴10＋(12＋t2)＝(3－t)2，解得t＝－.∴点E的坐标为.(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．分直角顶点在点A处和点C处两种情况讨论．解：存在．①直角顶点在点C处．如图，过点C作CQ⊥AC交x轴于点Q，△ACQ为直角三角形．又∵CO⊥AQ，∴△COA∽△QOC.∴＝.∵A(－1，0)，C(0，3)，∴OA＝1，OC＝3.∴＝.∴OQ＝9.∴Q(9，0)．由C(0，3)，Q(9，0)可求出直线CQ的解析式为y＝－x＋3.联立方程解得x1＝0(舍去)，x2＝.当x＝时，y＝.∴P1.②直角顶点在点A处．如图，过点A作AP2∥CQ交抛物线于点P2.设直线AP2的解析式为y＝－x＋b，把A(－1，0)代入解析式，得－×(－1)＋b＝0，∴b＝－.∴直线AP2的解析式为y＝－x－. 联立方程解得x1＝－1(舍去)，x2＝，当x＝时，y＝－.∴P2.综上所述，符合条件的点P的坐标为或.(4)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得以B，C，P为顶点的三角形为直角三角形？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．分直角顶点在点B处、点C处和点P处三种情况讨论．解：设点P(1，m)，B(3，0)，C(0，3)．∴BC2＝18，PB2＝(1－3)2＋m2＝m2＋4，PC2＝12＋(m－3)2＝m2－6m＋10.①当以点C为直角顶点时，BC2＋PC2＝PB2，即18＋ (m2－6m＋10)＝m2＋4，解得m＝4.②当以点B为直角顶点时，BC2＋PB2＝PC2，即18＋ (m2＋4)＝m2－6m＋10，解得m＝－2.③当以点P为直角顶点时，PB2＋PC2＝BC2，即m2＋4＋ (m2－6m＋10) ＝18，解得m1＝，m2＝.综上，存在点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形为直角三角形，点P的坐标为(1，4)，(1，－2)，，.（5）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC，BC于点M，N.问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．分三种情况进行讨论：①∠PMN＝90°，PM＝MN；②∠PNM＝90°，PN＝MN；③∠MPN＝90°，PM＝PN.解：存在．设M，N的纵坐标为m，由B(3，0)，C(0，3)可求出直线BC的解析式为y＝－x＋3.∴M，N(3－m，m)①当∠PMN＝90°，PM＝MN时，如图1所示，∵MN＝，PM＝m，∴＝m，解得m＝，则P的横坐标为－.∴P.②当∠PNM＝90°，PN＝MN时，同理可得P.③当∠MPN＝90°，PM＝PN时，作MN的中点Q，连接PQ，则PQ＝m.又∵PM＝PN，∴PQ⊥MN.则MN＝2PQ，即＝2m，解得m＝，点P的横坐标为＝＝.∴P.综上，存在点P使得△PMN是等腰直角三角形，点P的坐标为，或.关于直角三角形找点和求点的方法①找点：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一圆法，在图上找出存在点的个数．所谓的“两线”就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；“一圆”就是以已知边为直径，以已知边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点．②求点：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1·k2＝－1；以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用三角形相似求解，或者三条边分别用代数式表示之后，利用勾股定理求解．。

B铅垂高水平宽haA专题五中考压轴试题——二次函数综合训练一 .二次函数求最值问题（一）求线段最值1.平行于x轴的线段最值问题首先用自变量（如m）表示出线段两个端点的坐标，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标（大横-小横），得到一个线段长关于自变量的二次函数，将其化为顶点式，根据m的正负及其取值范围判断最值.2.平行于y轴的线段最值问题首先用自变量（如m）表示出线段两个端点的坐标，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标（大纵-小纵），得到一个线段长关于自变量的二次函数，将其化为顶点式，并根据m的正负及其取值范围判断最值.3.既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题将斜线段用竖直线段（或水平线段）表示（一般用到相似或三角函数知识，如补充1和补充2）（二）求周长最值建立周长与动点的横坐标之间的二次函数关系式，利用二次函数的性质求其最值.（三）求面积最值问题1.规则图形面积最值（规则图形指三角形有一边平行于坐标轴，四边形有一组对边平行于坐标轴）首先用自变量（如m）表示出所需的边长及高，利用面积公式表示出面积，得到一个面积关于自变量的二次函数，将其化为顶点式，并根据m的正负及其取值范围判断最值.2.不规则图形面积最值法一：分割；法二：铅直高度与水平高度积的一半（针对三角形而言）.二.存在性问题问题或AB2=（x1-x2）2+（y1-y2）21.等腰三角形（分类讨论用距离公式）2.直角三角形（分类讨论用距离公式）3.相似三角形（分类讨论列比例）4.平行四边形（分“两定两动”和“三定一动”两种情况，用全等三角形知识）三.补充知识1.二次函数存在性问题中，往往会用到两点间的距离公式，在使用该公式时，如果出现平方的平方（即4次方），一般改设动点的坐标为（x，y），即设两个变量x和y，根据满足的条件（比如直角三角形、等腰三角形）先得到y 与x函数关系式，再联立已知的二次函数关系式，解方程组即可（如补充3）。

2．解二次函数问题，要关注数形结合，当用代数法所列式子比较复杂或思路受阻，可观察图形中是不是有特殊的图形（如等腰三角形、含有特殊角的直角三角形、等腰直角三角形），可以利用相似等几何知识进行求解；当几何图形复杂，难以画出符合条件的图形，可以直接列式子用代数法求解.一最值问题 (面积最值)1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．一最值问题（线段最值）4．如图：已知抛物线265y x x=-+与x轴交于A、B两点，（A在B的左边），与y轴交于点C，若M是抛物线在x轴下方图像上一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于N，求线段MN的最大值。

二次函数与三角形一 、填空题（本大题共2小题）1.已知二次函数交轴于,两点，交轴于点，且是等腰三角形，请写出一个符合要求的二次函数的解析式 ．2.二次函数的图象的顶点为，与轴正方向从左至右依次交于,两点，与轴正方向交于点，若和均为等腰直角三角形（为坐标原点），则 ．二 、解答题（本大题共9小题）3.如图，抛物线与轴交与，两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？，若存在，求出点的坐标及的面积最大值.若没有，请说明理由.4.如图，已知二次函数的图象经过点、和原点．为二次函数图象上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点．2y ax bx c =++x A B y C ABC △2y x bx c =++D x A B y C ABD △OBC △O 2b c +=2y x bx c =-++x ()10A ，()30B -，y C Q QAC △Q P PBC △P PBC△()33A ，()40B ，O P P x ()0D m ，OA C（1）求出二次函数的解析式；（2）当点在直线的上方时，求线段的最大值；（3）当时，探索是否存在点，使得为等腰三角形，如果存在，求出的坐标；如果不存在，请说明理由．5.已知二次函数22(2)4y m x mx n =--+的图象的对称轴是直线2x =，且它的最高点在直线 112y x =+上． ⑴ 求此二次函数的解析式；⑵ 若此二次函数的图象开口方向不变，定点在直线112y x =+上移动到M 点时，图象与x 轴恰好交于A 、B 两点，且8ABM S ∆=，求这时的二次函数的解析式．6.已知二次函数212y x bx c =++的图象经过点(36)A -，并且与x 轴相交于点(10)B -，和点C ，顶点为P（1）求二次函数的解析式；（2）设D 为线段OC 上一点，满足DPC BAC ∠=∠，求点D 的坐标P OA PC m ＞0P PCO △P7.如图，已知二次函数图象的顶点为原点，直线的图象与该二次函数的图象交于点，直线与轴的交点为，与轴的交点为． （1）求点的坐标与这个二次函数的解析式；（2）为线段上的一个动点（点与、不重合），过点作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点，与轴交于点．设该线段的长为，点的横坐标为，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，在线段上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．142y x =+A ()88，x C y B B P AB P A B P x D x E PD h P t h t t AB P P D B BOC △P8.如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．9.已知二次函数图象的对称轴是直线，且过点．（1）求、的值；（2）求出该二次函数图象与轴的交点、的坐标；（3）如果某个一次函数图象经过坐标原点和该二次函数图象的顶点．问在这个一次函数图象上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图，抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且()10A -，． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；） （2）判断ABC △的形状，证明你的结论；（3）点(0)M m ，是x 轴上的一个动点，当MC MD +的值最小时，求m 的值．2y x bx c =++2x =()03A ，b c x B C O M P PBC △P11.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的三个顶点、、.抛物线过、两点.(1) 直接写出点的坐标，并求出抛物线的解析式；(2) 动点从点出发．沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒.过点作交于点．① 过点作于点，交抛物线于点当为何值时，线段最长？ ② 连接．在点、运动的过程中，判断有几个时刻使得是等腰三角形？请直接写出相应的值.ABCD ()40B ，()80C ，()88D ，2y ax bx =+A C A P A AB B Q C CD D t P PE AB ⊥AC E E EF PE ⊥F G t EG EQ P Q CEQ △t二次函数与三角形答案解析一 、填空题1.等（答案不唯一）；∵二次函数交轴于,两点，交轴于点，且是等腰三角形∴当时，点坐标为只要不为即可．2.2；由已知，得、、、． 过作于点，则，即，得：． 又∵．又∵，即：，得：．故答案为：2．【解析】二次函数综合题．此题主要考查了二次函数与坐标轴交点的表示方法，以及等腰直角三角形的性质等知识，得出，是解决问题的关键．22y x =-2y ax bx c=++x A B y C ABC △AO BO =C 0C ()0c ，0A ⎫⎪⎪⎝⎭0B ⎫⎪⎪⎝⎭2424b b c D ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，D DE AB ⊥E 2DE AB =2424b c-⨯=24b c -=02=240b c -＞2OC OB =c =22b c +=2DE AB =二 、解答题3.（1）将，代中得，，∴∴抛物线解析式为：（2）存在理由如下：由题知、两点关于抛物线的对称轴对称． ∴直线与的交点即为点，此时周长最小∵ ∴C 的坐标为：∵直线解析式为：．∴点坐标即为的解，∴∴ （3）存在．理由如下：设点且 ∵，若有最大值，则就最大． ∴当时，．∴ 当时， ∴点坐标为【解析】二次函数与三角形综合，轴对称与线段和差最值问题，坐标与面积4.（1）设，把代入得：，函数的解析式为，()10A ，()30B -，2y x bx c =-++10930b c b c -++=⎧⎨--+=⎩23b c =-⎧⎨=⎩223y x x =--+A B 1x =-BC 1x =-Q QAC △223y x x =--+()03，BC 3y x =+Q 13x y x =-⎧⎨=+⎩12x y =-⎧⎨=⎩()12Q -，P ()223x x x --+，()30x -＜＜92BPC BOC BPCO BPCO S S S S =-=-△△四边形四边形BPCO S 四边形BPC S △=Rt BPE BPCO PEOC S S S +△四边形直角梯形()11=22BE PE OE PE OC ⋅++()()()()221132323322x x x x x x =+--++---++2339272228x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭32x =-927=+28BPCO S 四边形最大值927927=+2828BPC S -=△最大值32x =-215234x x --+=P 31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，()4y ax x =-()33A ，1a =-24y x x =-+（2）,，∵，开口向下，∴有最大值，当时，，当点在直线的上方时，线段的最大值是． （3）当时，仅有， 所以， 解得，∴； 当时，，， 由勾股定理得：，①当时，，解得：，∴； ②当时，，解得：，（舍去），∴；③当时，，解得：，∴，综上所述：存在，的坐标是或或或．5.（1）242y x x =-+-；（2）2(6)4y x =--+【解析】⑴ 由已知条件2222422(2)124(2)(4)1214(2)2mm m n m n m m ⎧=⎪-=-⎧⎪⇒⎨⎨=---⎩⎪=⋅+⎪⋅-⎩， ∴所求二次函数的解析式为242y x x =-+-． ⑵ 设定点1(1)2M a a +，，(0)A a t -，，(B a t +，0)， 则所求二次函数形如2()12a y x a =--++， 又由已知8AMB S ∆=，∴182AB y ⋅=，03m ＜＜2239324PC CD PD m m m ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭-1＜0302D ⎛⎫⎪⎝⎭，max 94PC =P OA PC 9403m ＜＜OC PC=23m m -+=3m =(31P +3m ≥23PC CD PD m m =-=-+OC ()2222224OP OD DP m m m =+=+-OC PC=23m m -3m =(31P +-OC OP=)()22224m m m =+-15m =23m =()55P -，PC OP =()()2222234m m m m m -=+-4m =()40P ，P (31+(31-()55-，()40，∴2112(1)82226102t a t a a t ⎧⋅⋅+=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪-++=⎪⎩， ∴所求二次函数为2(6)4y x =--+．6.（1）21322y x x =--；（2）503⎛⎫⎪⎝⎭， 【解析】（1）函数图象经过点(36)(10)A B --，，，，∴2216(3)3210(1)2b cb c ⎧=⨯--+⎪⎪⎨⎪=⨯--+⎪⎩，解得312b c ⎧=-=-⎨⎩，。