最小二乘法圆拟合

最小二乘法拟合原理最小二乘法是一种常用的数学方法，用于寻找一组数据的最佳拟合曲线或者最佳拟合函数。

它的原理是通过最小化实际观测数据与拟合曲线之间的残差平方和，来确定最佳拟合曲线的参数。

这个方法在实际应用以及科学研究中非常常见，下面将详细介绍最小二乘法的拟合原理。

在介绍最小二乘法之前，我们首先需要了解线性回归模型。

线性回归是一种常见的数据拟合手段，它基于以下假设：给定自变量X和因变量Y，存在一个线性关系Y=aX+b。

其中，a称为斜率，b称为截距。

当我们拥有一组数据（X1，Y1），（X2，Y2），（X3，Y3），...，（Xn，Yn）时，最小二乘法通过找到最佳的a和b，使得方程Y=aX+b最好地拟合这组数据。

它通过最小化每个观测点的残差来确定最佳拟合曲线。

残差是指实际观测值与拟合值之间的差异。

对于每一个观测点（Xi，Yi），其拟合值为Yi'=aXi+b，残差为Ri=Yi-Yi'，即实际观测值与拟合值的差。

S=∑(Yi-Yi')²=∑(Yi-aXi-b)²为了找到最佳的a和b，我们需要求解方程S对a和b的偏导数，并令其等于0。

求解a和b的偏导数得到以下两个方程：∂S/∂a=0∂S/∂b=0对第一个方程求解可以得到：∂S/∂a=-2∑(Yi-aXi-b)Xi=0进一步整理可以得到：∑YiXi-a∑(Xi)²-b∑(Xi)=0对第二个方程求解可以得到：∂S/∂b=-2∑(Yi-aXi-b)=0进一步整理可以得到：∑Yi - a∑(Xi) - nb = 0其中，n为观测点的数目。

解这个方程组，我们可以得到a和b的值，从而确定最佳拟合曲线的方程Y=aX+b。

最小二乘法还可以用于非线性的数据拟合。

对于非线性拟合，我们可以假设一个非线性的函数模型，例如Y=f(X,θ)，其中θ是待拟合的参数。

然后，通过最小化残差平方和来确定最佳的θ值。

方法类似于线性拟合，其中拟合值变为Yi'=f(Xi,θ)，残差为Ri=Yi-Yi'。

2014-10-01 | 最小二乘法拟合圆公式推导及matlab实现最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。

最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。

最小二乘法通常用于曲线拟合(least squares fitting) 。

这里有拟合圆曲线的公式推导过程和vc实现。

matlab 实现：function [xc,yc,R,f] = circfit(x,y)%CIRCFIT Fits a circle in x,y plane% [XC, YC, R, A] = CIRCFIT(X,Y)% Result is center point (yc,xc) and radius R.A is an% optional output describing the circle's equation:% x^2+y^2+a(1)*x+a(2)*y+a(3)=0close all; clear all;clc;n=length(x);xx=x.*x;yy=y.*y;xy=x.*y;A=[sum(x) sum(y) n;sum(xy) sum(yy)...sum(y);sum(xx) sum(xy) sum(x)];B=[-sum(xx+yy) ; -sum(xx.*y+yy.*y) ; -sum(xx.*x+xy.*y)]; f=A\B;xc = -.5*f(1);yc = -.5*f(2);R = sqrt((f(1)^2+f(2)^2)/4-f(3));end。

Q(a,b, c)
a
2( X i2 Yi2 aX i bYi c) X i 0
①
Q(a,b, c)
b
2( X i2 Yi2 aX i bYi c)Yi 0 ②
Q(a,b, c)
c
2( X i2 Yi2 aX i bYi c) 0 ③
最小二乘法圆拟合
1
最小二乘法拟合圆曲线： R2 (x A)2 ( y B)2
R2 x2 2Ax A2 y2 2By B2
令a=-2A,b=-2B, c A2 B2 R2
则：圆的另一形式为：
x2 y2 ax by c 0
2
A a 只需求出参数a,b,c即可以求的圆半径参数： 2
A a 2
B b 2
R 1 a2 b2 4c 2
9
t=0:0.01:pi; a=20;%设定圆心X轴数值 b=30;%设定圆心Y轴数值 r=5;%设定圆半径数值 x=a+r*cos(t)+randn(1,315); y=b+r*sin(t)+randn(1,315); plot(x,y); hold on; x=x(:); y=y(:); m=[x y ones(size(x))]\[-(x.^2+y.^2)]; xc = -.5*m(1)%拟合圆心X轴数值 yc = -.5*m(2)%拟合圆心Y轴数值 R = sqrt((m(1)^2+m(2)^2)/4-m(3))%拟合半径数值 plot(xc,yc,'r-x',(xc+R*cos(t)),(yc+R*sin(t)),'r-'); axis equal;

python 散点拟合圆最小二乘法在Python中，我们可以使用最小二乘法对散点进行拟合，从而找到最佳拟合圆。

首先，我们需要导入一些必要的库，如numpy和scipy：```pythonimport numpy as npfrom scipy.optimize import least_squares```接下来，我们定义一个函数来计算圆心和半径的误差：```pythondef calculate_residuals(params, x, y):# 提取圆心坐标和半径cx, cy, r = params# 计算每个点到圆的距离distances = np.sqrt((x - cx) ** 2 + (y - cy) ** 2) - rreturn distances```然后，我们定义一个函数来拟合散点：```pythondef fit_circle(x, y):# 初始估计值cx_initial = np.mean(x)cy_initial = np.mean(y)r_initial = np.mean(np.sqrt((x - cx_initial) ** 2 + (y - cy_initial) ** 2))# 初始参数params_initial = np.array([cx_initial, cy_initial,r_initial])# 用最小二乘法进行拟合result = least_squares(calculate_residuals,params_initial, args=(x, y))# 提取拟合结果cx_fit, cy_fit, r_fit = result.xreturn cx_fit, cy_fit, r_fit```最后，我们可以使用上面的函数来拟合散点并得到最佳拟合圆：```python# 输入散点坐标x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([2, 4, 6, 8, 10])# 拟合散点cx_fit, cy_fit, r_fit = fit_circle(x, y)# 输出最佳拟合圆的圆心和半径print("最佳拟合圆的圆心坐标为 ({}, {})，半径为 {}。

2009-01-17 |最小二乘法(least squares analysis) 是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。

最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。

小二乘法通常用于曲线拟合(least squares fitti ng) 。

这里有拟合圆曲线的公式推导过程和vc实现。

最小二乘法拟會圆曲线；= (x- +R2 = +- 2By4-B2令a=-2J4b = -2Bc = J^ +矿-0可得圆曲线方程的另一个册式Ix2 -\-y3十切十u = 0只要求出参数就可以求得圆心半径的参教；d)样本集（禺＜并e （123…N）中点到圆心的距离为a：打=（禺・4）2+（E傢点（耳乙）到圆边嫌的距离的平方与和半径平方的差为：@=£2_衣=（圣.4）2+（込.8）2_氏2=血2+込2+込+&乙+卍令Q（a,b,c）为Q的平方和：Q（aM = Z^2=工【（*/ + §2 + 込+b 齐+C）］2求参数a f b,c使得Q（a,g的值最小值。

解・PTT •平方差Qgg大于0,因此函数存在大于或等于0的极小值，极大值为无穷大.F（a,M）对a,吐求偏导，令偏导等于0,得到极值点，比较所有极值点的函数值即可得到最小值.绘仏"疋）=工2窗 +里+込+埒+c）Xjda —=0 迤(a,bQ =匸2阳+貯+込+坷+训=0範仏上疋）=工2（禺2+乙2+込 +空+° = 0 d解这个方程组。

(2)(3)(4)di（诵先消去c(2) W ⑷*工扎得：Ng 代'+Y-+aX +bY + c)X -工莎‘ +严 +aX +bY+c)x^X = 0 N^(X 2 +Y : +bY)X -^(X : +Y : +aX +bY)x^X =0("工禺2_工兀工兀)a + (“Y*占一工禺工齐仏(*+ + M 工*必2 -工牡丁 +去2)工禺=0(3) *N_⑷*工£得：N 工(X’ + y' + oZ +bY+c)Y-^(X 2 +Y- +aX +bY + c)x^Y =Q 吧(/+护 +aX +bY)Y +Y : +aX +dK)xVy =o （N'X 必一工禺工齐归+ （“丫呼一工§工齐）3 +“Y+N 工厅一 g af +严）三齐=o C =〔NgQ -gX 二X)D = (N 工尤F -工龙三卩)E-N^X 、+N^XY -工疔+丫‘)工XG = (NM 旷-三丫工丫)H =NW X'Y 七NT H -工 2’ +K-)YK可解得：|G? + Db + 5 = 0Da+Gb + H = 0HD-EG a = r CG-D 、v HC- ED o =D' _GC 工（疔+齐2）+幺工兀+c ―― ---------------------------------------------- N得A 、B 、R 的估计拟合值：R= - Ja‘ +2?' -牡 2(6)matlab 实现：function [R,A,B]=circ(x,y,N)x1 = 0;x2 = 0;x3 = 0;y1 = 0;y2 = 0;y3 = 0;x1y1 = 0;x1y2 = 0;x2y1 = 0;for i = 1 : Nx1 = x1 + x(i);x2 = x2 + x(i)*x(i);x3 = x3 + x(i)*x(i)*x(i);y1 = y1 + y(i);y2 = y2 + y(i)*y(i);y3 = y3 + y(i)*y(i)*y(i); x1y1 = x1y1 + x(i)*y(i); x1y2 = x1y2 +x(i)*y(i)*y(i); x2y1 = x2y1 + x(i)*x(i)*y(i); endC = N * x2 - x1 * x1;D = N * x1y1 - x1 * y1;E = N * x3 + N * x1y2 - (x2 + y2) * x1;G = N * y2 - y1 * y1;H = N * x2y1 + N * y3 - (x2 + y2) * y1;a = (H * D - E * G)/(C * G - D * D);b = (H * C - E * D)/(D * D - G * C);c = -(a * x1 + b * y1 + x2 + y2)/N;A = a/(-2); %x 坐标B = b/(-2); %y 坐标R = sqrt(a * a + b * b - 4 * c)/2;void CViewActionImageTool::LeastSquaresFitting(){if (m_nNum<3){ return; } int i=0;double X1=0;double Y1=0;double X2=0;double Y2=0;double X3=0;double Y3=0;double X1Y1=0;double X1Y2=0;double X2Y1=0;for (i=0;i<m_nNum;i++){X1 = X1 + m_points[i].x;Y1 = Y1 + m_points[i].y;X2 = X2 + m_points[i].x*m_points[i].x;Y2 = Y2 + m_points[i].y*m_points[i].y;X3 = X3 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].x;Y3 = Y3 + m_points[i].y*m_points[i].y*m_points[i].y;X1Y1 = X1Y1 + m_points[i].x*m_points[i].y;X1Y2 = X1Y2 + m_points[i].x*m_points[i].y*m_points[i].y;X2Y1 = X2Y1 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].y; } double C,D,E,G ,H,N;double a,b,c;N = m_nNum;C = N*X2 - X1*X1;D = N*X1Y1 - X1*Y1;E = N*X3 + N*X1Y2 - (X2+Y2)*X1;G = N*Y2 - Y1*Y1;H = N*X2Y1 + N*Y3 - (X2+Y2)*Y1;a = (H*D-E*G)/(C*G-D*D);b = (H*C-E*D)/(D*D-G*C);c = -(a*X1 + b*Y1 + X2 + Y2)/N;double A,B,R;A = a/(-2);B = b/(-2);R = sqrt(a*a+b*b-4*c)/2; m_fCenterX = A; m_fCenterY = B;m_fRadius = R; return;}。

最小二乘拟合法在工程测量上的应用摘要利用全站仪对地铁盾构横断面进行观测，根据测量数据通过拟合分析其变形情况，本文利用最小二乘法对采集的数据进行处理，根据所得的结果分析其断面的变形情况。

关键词平面拟合；圆拟合；平整度；圆度变形；最小二乘1.引言对于空间圆形物体，在实际和设计时会存在差异或者是在长期使用后会发生形变而影响其使用情况，因此必须对空间圆形物体进行检测，判断其是否满足工程要求[1]。

在地铁、隧道等的施工过程中，管片以及钢模拼接时经常要进行设计断面与实际断面的比较检测，由于其断面都是一个空间圆形，所以都可以看作为是空间圆形物体的检测问题。

本文以盾构横断面为例，阐述检测空间圆形物体变形的方法及步骤，传统的空间圆的拟合方法，把三维空间的圆形看成是二维的平面。

本文利用最小二乘拟合法对地铁盾构横断面的实测数据进行处理并分析断面的变形情况。

2.观测及算法原理2.1数据采集在断面四周适当位置安置棱镜，棱镜的位置可根据工程的要求分布，在面前任意找一点安置全站仪，确定测站坐标和零方向，这样就形成了一个自定义的坐标系 o-xyh即可进行测量，测量各点的平面坐标和高程，若要提高精度，可以增加测回数[3]。

2.2最小二乘拟合法2.2.1平面拟合平面方程为（1）式中为平面的法线方向单位矢量，a>0，若a=0则b>0，若a=0且b=0则c>0，a、b、c不可能同时为0。

以表示观测点坐标。

设i点至平面的距离t为：（2）则误差方程为：（3）按最小二乘求出平面方程的四个参数a、b、c、d来确定此空间平面，其中权阵p可以取为单位阵或者根据工程要求确定。

在求出平面方程后，各观测点至平面的距离就是改正数，i点在平面上的投影点坐标为：（4）2.2.2坐标转换为了方便计算，将测量坐标系中的点位坐标转换为平面坐标系中坐标。

在求得所有测定点在平面上的投影点坐标后，建立平面坐标系，此坐标系的两个轴、处在平面内，轴与平面法线方向一致，各投影点在平面坐标系中的高程。

最小二乘法和最小外接圆最小二乘法和最小外接圆最小二乘法和最小外接圆是数学中常用的两个概念，它们在实际问题中有着广泛的应用。

本文将介绍这两个概念的基本原理和应用场景。

我们来了解一下最小二乘法。

最小二乘法是一种数学优化方法，用于寻找一组数据的最佳拟合曲线。

在现实生活中，我们经常会遇到需要通过数据拟合出一个函数来描述其规律的问题，比如线性回归问题。

最小二乘法通过最小化数据点到拟合曲线的距离来找到最佳拟合曲线。

具体而言，最小二乘法通过求解一个最小化误差平方和的优化问题，得到拟合曲线的参数。

最小二乘法的应用非常广泛。

在经济学中，最小二乘法可以用来估计经济模型的参数，比如消费函数、投资函数等。

在工程学中，最小二乘法可以用于信号处理、图像处理等领域。

在物理学中，最小二乘法可以用于测量数据的处理和分析。

总之，最小二乘法是一种非常重要的数据拟合方法，它在各个领域都有着广泛的应用。

接下来，我们来了解一下最小外接圆。

最小外接圆是指在给定的点集中找到一个圆，使得这个圆恰好包含了所有的点，并且其半径最小。

最小外接圆的求解可以通过多种方法，其中一种常用的方法是Welzl算法。

Welzl算法是一种递归算法，通过不断缩小问题规模，最终求解出最小外接圆的圆心和半径。

最小外接圆的应用也非常广泛。

在计算几何中，最小外接圆可以用于求解点集的凸包、最大空凸包等问题。

在计算机图形学中，最小外接圆可以用于计算点云数据的包围球，从而实现物体的快速碰撞检测。

在地理信息系统中，最小外接圆可以用于求解地理空间数据的最小边界圆，从而实现空间数据的可视化和分析。

总结起来，最小二乘法和最小外接圆是数学中常用的两个概念。

最小二乘法通过最小化数据点到拟合曲线的距离来找到最佳拟合曲线，广泛应用于数据拟合和参数估计等问题。

最小外接圆是指在给定的点集中找到一个圆，使得这个圆包含了所有的点，并且其半径最小，广泛应用于计算几何和计算机图形学等领域。

这两个概念在实际问题中有着重要的应用，对于我们理解和解决实际问题具有重要的意义。

最小二乘法曲线拟合原理最小二乘法曲线拟合（LeastSquaresCurveFitting，简称LSCF）是采用数学统计技术进行多元函数拟合所用的一种技术。

它可以快速、准确地根据已经给定的实验数据拟合出一条实验曲线，从而给出诸如拟合函数的系数值等信息。

因此，最小二乘法曲线拟合在各种科学、工程实验中有着广泛的应用。

最小二乘法曲线拟合的原理很简单，它是基于“最小化误差”的概念，即拟合出来的曲线应尽可能接近给定的实验数据，使实验数据与拟合函数之间的差距最小。

这就要求我们求出实验数据与拟合函数之间的差距，这一差距被称为拟合误差，也称为“残差”。

最小二乘法曲线拟合的基本思想就是使残差的平方和（即拟合误差的平方和）取得最小值，从而实现拟合函数接近实验数据的目的。

最小二乘法曲线拟合的求解流程主要是：首先确定拟合函数的形式，然后利用已经给定的实验数据，建立最小二乘拟合问题，即求解各系数的拟合关系，然后利用几何极值法或矩阵方法求解给定拟合函数的拟合系数值，最后就可以得到拟合函数的数学公式及其系数值了。

最小二乘法曲线拟合由于给出的实验数据精度不同和系数组合不同，可以曲线拟合许多不同的函数形式，数学模型复杂度从一次函数到高阶复合函数都可以拟合。

例如，它可以拟合出多项式函数、指数函数、对数函数、三次样条函数、双曲线函数等。

由于最小二乘法曲线拟合能够实现快速、准确地根据实验数据拟合出实验曲线，因此它在科学、工程实验中有着广泛的应用。

例如可以用它来估计经济预期的变化趋势，也可以用于关键的工艺参数的优化设计，也可以用于机械性能的预测，还可以应用于心理研究中，帮助心理学家了解人类心理活动的变化规律。

最小二乘法曲线拟合的最大优点在于曲线拟合的精度较高，可以得到较为精确的拟合结果，模型的复杂度也很强，可以拟合许多不同的函数形式，但其缺点也是与优点相对应的，可能会使拟合结果产生畸变，拟合精度也会受到实验数据的精度的影响。

综上，最小二乘法曲线拟合是一种重要的数学统计技术，它能够根据已经给定的实验数据拟合出接近实验数据的函数，广泛应用于科学、工程实验，从而可以深入探究实验过程背后的规律，帮助人们更好地理解实验结果，是科学研究中不可缺少的一种技术。

圆度误差 e 1 409 048 84 1 987 828 97 3 549 070 98 1 413 002 70
图 1 4 种算法对表 1 中数据的拟合效果
10 期
刘元朋等 : 用带约束的最小二乘法拟合平面圆 曲线
1385
图 2 4 种算法对表 2 中数据的拟合效果
(廖 平 , 喻寿益 基于 遗传算法 的圆的半 径测量 [ J ] 计量
4
结
论
学报 , 2001, 22( 2) : 87~ 89) [ 3] Xu Guowang, Liao M ingchao A variet y of methods of fit circle [ J] Journal of W uhan Polyt echnic U niversit y, 2002( 4) : 104 武汉工 业学院 学 ~ 105( in Chinese) ( 徐国旺 , 廖明潮 拟合 圆的几种 方法 [ J] 报 , 2002( 4) : 104~ 105) [ 4] Liu Shuhua, Wen Liangqi, Q u Jianw u Fit ting met hod w it h least square curves for non -circular curve [ J] N ew T echnology & N ew Process, 2001( 7) : 12~ 14( in Chinese) ( 刘书华 , 文良起 , 瞿建武 非圆曲线的最小二乘拟合 法 [ J] 新技术新工艺 , 2001( 7) : 12~ 14) et al Fit t ing [ 5] Fit zgibbon A, Pilu M , Fisher R B D irect least square fit t ing of ellipses [ J] [ 6] IEEE T ransact ions on Pat t ern A nalysis and M a chine Intelligence, 1999, 21( 5) : 476~ 480 Gander W, G olub G H, St rebel R Least - square fit ting of circles and ellipses [ J] [ 7] BIT, 1994, 34( 4) : 558~ 578 Fait hf ul least - squares

最小二乘法zernike系数拟合最小二乘法（Least Square Method）是一种用于拟合数据的经典方法，常用于求解线性回归问题。

它的基本思想是通过最小化数据点与拟合函数之间的误差平方和来确定最佳的拟合函数参数。

在本文中，我们将探讨最小二乘法在Zernike系数拟合中的应用。

Zernike多项式是一组正交函数，常用于描述光学系统的像差。

它们在光学成像、光学检测和光学制造等领域中有着广泛的应用。

Zernike多项式由荷兰数学家Frits Zernike在1934年提出。

Zernike多项式的标准形式为：Z_n^m(r, θ) = R_n^m(r) × cos(mθ)，其中n为非负整数，m为满足条件| m | ≤ n的整数，r为径向坐标，θ为极角。

Zernike多项式具有正交性质，即在极坐标下以单位圆作为正交基。

这意味着不同的Zernike多项式之间相互正交，可以用来表示不同的光学像差。

通过求解Zernike多项式的系数，我们可以将物体的光学像差拟合成一组Zernike多项式，从而达到描述和矫正光学系统的目的。

在Zernike系数拟合中，我们需要确定每个Zernike多项式的系数，使其最佳地逼近实际数据。

最小二乘法提供了一种优化Zernike 多项式系数的方法。

具体而言，我们可以建立一个目标函数，将实际数据与Zernike多项式之间的误差平方和最小化。

通过求解这个最小化问题，我们可以得到最佳的Zernike系数。

这些系数可以被认为是一组最佳拟合函数的参数。

最小二乘法的基本步骤如下：1.确定拟合函数的形式（即Zernike多项式），并选择要拟合的数据。

2.建立目标函数，将实际数据与拟合函数之间的误差平方和最小化。

通常，目标函数是拟合误差平方和的函数。

具体形式可以根据实际问题而定。

3.对目标函数进行优化，找到使目标函数最小化的参数（即Zernike系数）。

最常用的优化算法是最小二乘法，可以使用数值计算方法（如梯度下降法、牛顿法）来找到最佳参数。

第17卷第5期2006年5月光电子#激光Journal of O p toelectronics#LaserV o l.17N o.5M ay2006半径约束最小二乘圆拟合方法及其误差分析*y刘珂**,周富强,张广军(北京航空航天大学仪器科学与光电工程学院,北京100083)摘要:针对基于线结构光视觉检测类圆工件三维测量中的光条圆弧特征数据所占整圆比例偏小,提出了基于半径约束最小二乘圆拟合方法。

详细地分析了样本特征数据噪声对圆心定位精度的影响,并进行了仿真实验。

实验结果表明,在光条圆弧特征数据所占整圆比例偏小的条件下,半径约束最小二乘圆拟合方法可以有效地提高圆中心定位精度。

关键词:最小二乘法;半径约束;圆拟合;线结构光;误差分析中图分类号:T P391文献标识码:A文章编号:1005-0086(2006)05-0604-04Radius C onstraint Leas-t square Circle Fitting Method and Error AnalysisLIU Ke**,ZH OU Fu-qiang,ZH ANG Guang-jun(School of Instrument Science&O pt oelectr onics Eng ineer ing,Beijing U niv ersity of A ero nautics and A s-t ronautics,Beijing100083,China)Abstract:In the process of3-D measurement of the workpiece in shape of arc with struc-tu red light vision sensor,feature data of the stru ctu red light arc is inadequ ate compared with the whole circle,which results in the location of the circle centre bein g of low prec-i sion.Leas-t squares method based on radius constraint is proposed in the paper to solve the problem.Influence of the noise in sample data the on the locating of circle centre is ana-lyzed in detail,and simulated experimen ts are implem ented.Results of experiments show that under the circumstan ces that featu re data of the structured light arc is inadequate com-pared with the whole circle,the method proposed above can improve the accuracy of circle fitting efficiently.Key words:leas-t squares m ethod;radius constrai ned;li ne structured li ght;anal ysis of error1引言各种零部件定位圆孔几何中心的定位精度对零部件的成功安装以及物体的整体定位,有着重要的意义。

最⼩⼆乘法拟合圆有⼀系列的数据点 。

我们知道这些数据点近似的落在⼀个圆上。

依据这些数据预计这个圆的參数就是⼀个⾮常有意义的问题。

今天就来讲讲怎样来做圆的拟合。

圆拟合的⽅法有⾮常多种，最⼩⼆乘法属于⽐較简单的⼀种。

今天就先将这样的。

我们知道圆⽅程能够写为：通常的最⼩⼆乘拟合要求距离的平⽅和最⼩。

也就是最⼩。

这个算起来会⾮常⿇烦。

也得不到解析解。

所以我们退⽽求其次。

这个式⼦要简单的多。

我们定义⼀个辅助函数：那么上⾯的式⼦能够表⽰为：依照最⼩⼆乘法的通常的步骤，可知 取极值时相应以下的条件。

先来化简我们知道半径 是不能为 0 的。

所以必定有：这是个⾮常实⽤的结论。

剩下的两个式⼦：{,}x i y i (x −+(y −=x c )2y c )2R 2f =∑(−R )(−+(−x i x c )2y i y c )2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√2f =∑((−+(−−)x i x c )2y i y c )2R 22g (x ,y )=(x −+(y −−x c )2y c )2R 2f =∑g (,x i y i )2f =0∂f ∂x c =0∂f ∂y c =0∂f ∂R=0∂f∂R ∂f ∂R=−2R ×∑((−+(−−)x i x c )2y i y c )2R 2=−2R ×∑g (,)=0x i y i R ∑g (,)=0x i y i ∂f ∂x c=−4∑((−+(−−)(−)x i x c )2y i y c )2R 2x i x c =−4∑g (,)(−)x i y i x i x c =−4∑g (,)=0x i x i y i ∂f ∂y c=−4∑((−+(−−)(−)x i x c )2y i y c )2R 2y i y c =−4∑g (,)(−)x i y i y i y c =−4∑g (,)=0y i x i y i也就是以下两个等式：这⾥设：当中：那么简单的推导⼀下，就会发现：事实上都不须要推导，这个变量替换仅仅只是是改动了坐标原点的位置。

椭球拟合最小二乘法
椭球拟合最小二乘法是一种利用数学模型对一组数据点进行拟合
的方法。

它的目的是找到一个椭球，使得该椭球与数据点的误差最小。

椭球拟合最小二乘法的基本思想是，假设数据点的分布在一个椭
球上，我们的目标是找到该椭球的中心坐标、三个轴长和姿态参数。

具体的步骤如下：
1. 假设椭球的方程为：(x-x0)^2/a^2 + (y-y0)^2/b^2 + (z-
z0)^2/c^2 = 1，其中(x0, y0, z0)为椭球的中心坐标，a、b、c分别
为椭球的三个轴长。

2. 定义误差函数：E = Σ[((x-x0)^2/a^2 + (y-y0)^2/b^2 +
(z-z0)^2/c^2)-1]，对所有数据点求和。

3. 使用最小二乘法的原理，求解最小化误差函数的问题。

具体
而言，我们需要对中心坐标(x0, y0, z0)、三个轴长a、b、c以及姿
态参数进行优化。

4. 通过迭代的方式，利用数值优化算法（如Levenberg-Marquardt算法）求解最小化误差函数的问题，得到最优的中心坐标、轴长和姿态参数。

最后，通过这个优化结果，我们可以得到一个最优的椭球模型，
使得该椭球与数据点的拟合误差最小。

这个方法在计算机视觉、几何
建模等领域都有广泛的应用。

最小二乘法曲线拟合原理最小二乘法曲线拟合原理是指用曲线来拟合已知数据点的一种优化算法，也叫“误差最小化法”，更多的称之为“最小二乘法”，简称LSM。

最小二乘法曲线拟合的应用范围很广，拟合分析复杂数据的应用越来越多。

最小二乘法曲线拟合的原理最小二乘曲线拟合的基本原理是构造一个最适合拟合给定数据点的函数，使拟合后函数拟合数据点和真实数据点之间的均方误差（SSE）最小。

均方误差是指观测值和拟合函数值之间的差的平方（SSE = SΣ(Yi - Xk)^2）。

均方误差最小，表明拟合函数就是最适合拟合数据的函数，而最小二乘法的基本思想就是求均方误差最小，即求解最优解的函数，这个函数就是最合适拟合给定数据点的曲线函数，即最小二乘法曲线拟合函数。

最小二乘法曲线拟合的应用最小二乘法曲线拟合最常见的应用是拟合曲线，以解决未知函数形式的问题。

拟合曲线可以使用曲线来估计一组数据，曲线拟合可以使得模型更准确地拟合数据，并且可以获得该曲线的未知参数。

如果数据不符合一个函数，可以使用自定义函数进行拟合，比如指数函数、sin函数、双曲线等。

最小二乘法也可以用于拟合回归模型，这是一种统计学中常用的方法，它可以用来推断大量随机变量的变化趋势，或者用来分析一个可能受其他变量影响的变量之间的关系。

最小二乘法也可以用于数值估计，比如最小二乘法用于数值拟合，用于数值拟合可以求出未知函数的参数，用于回归分析中，可以估计因变量受自变量影响的参数。

最小二乘法曲线拟合的缺点最小二乘法曲线拟合的最大缺点是其依赖性强：由于拟合的曲线函数有固定形式，因此无法拟合数据点的异常值，也无法拟合数据不具有规律性的情况；另外，最小二乘法曲线拟合也可能因过拟合导致拟合出的函数复杂度较高，从而影响精度。

总结最小二乘法曲线拟合原理指用曲线来拟合已知数据点的一种优化算法，它的基本原理是构造一个最适合拟合给定数据点的函数，使拟合后函数拟合数据点和真实数据点之间的均方误差最小。

holling圆盘方程拟合方法概述Holling圆盘方程是生态学中的重要模型之一，它描述了掠食者与猎物之间的相互作用及其在生态系统中的动态平衡。

而拟合Holling 圆盘方程可以帮助生态学家了解掠食者与猎物之间的关系，推断它们在自然环境中的数量和密度变化。

以下是关于拟合Holling圆盘方程的方法概述：第一步：收集数据在拟合Holling圆盘方程之前，首先需要准备所需的数据。

需要收集的数据包括掠食者和猎物数量或密度的时间序列数据和一些生态环境变量的数据，例如气温、降雨量等。

这些数据可以通过野外调查、实验室观察等手段获得。

第二步：确定模型类型在拟合Holling圆盘方程之前，需要根据数据情况确定模型类型。

根据方程形式的不同，模型可以分为线性模型、非线性模型、岛弯曲模型等。

对于Holling圆盘方程，由于它是一种非线性模型，所以需要寻找合适的非线性模型拟合方法。

第三步：初步拟合模型在确定模型类型后，需要进行初步的模型拟合。

常见的拟合方法包括最小二乘法、非线性最小二乘法、MLE等。

对于Holling圆盘方程，通常采用使用最小二乘法拟合。

利用计算机程序进行拟合，得到最小二乘估计的参数。

实际拟合过程中，需要对初步拟合的结果进行统计检验，并进行模型的适应性检验。

第四步：改进模型对于初步拟合出来的模型，仍然存在很多不足之处，例如不满足数据的分布情况、过拟合或欠拟合等问题。

因此，在得到拟合结果后，需要进行模型的改进，优化模型参数和模型选择。

常见的模型改进方法包括正则化、交叉验证等。

第五步：模型应用和参数解释最后，得到拟合出的模型后，需要进行模型参数解释和应用。

对于Holling圆盘方程，可以通过模型中的参数，推断猎物和掠食者之间的相互作用关系，并对生态系统的动态平衡进行预测。

需要注意的是，对于生态系统的研究，需要对结果进行妥善的解释和说明，并注意结果的可靠性和应用价值。

总之，拟合Holling圆盘方程是生态学研究中重要的方法之一，它可以帮助生态学家了解生态系统中掠食者和猎物之间的相互作用关系，并推断生态系统的动态平衡。

三点拟合圆心计算拟合圆心是指将给定的三个不共线点拟合成一个圆的圆心坐标。

这个问题可以通过数学方法进行求解。

本文将介绍拟合圆心的计算方法。

首先，我们需要明确的是，拟合圆心是指在平面上找出一个点，使得该点与给定的三个不共线点之间的距离之和最小。

在数学上，我们可以通过最小二乘法来求解该问题。

假设给定的三个点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）和C（x3，y3）。

我们需要找到一个点O（x,y），使得AO+BO+CO的和最小。

通过数学推导，可以得到以下方程：(x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (x - x2)^2 + (y - y2)^2 + (x -x3)^2 + (y - y3)^2 = min对上述方程进行展开和整理，可得：3x^2 + 3y^2 - 2x(x1 + x2 + x3) - 2y(y1 + y2 + y3) + constant = min该方程是一个关于x和y的二次函数。

为了求解这个二次函数的最小值，我们需要对其求导并令其导数为0。

这样就可以得到x和y的值。

接下来，我们将归纳出具体的计算步骤：Step 1: 根据给定的三个点的坐标，计算常数constant。

即constant = x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2 + x3^2 + y3^2Step 2: 根据以上推导的方程，写出二次函数形式。

Step 3: 对二次函数进行求导，得到两个关于x和y的方程。

Step 4: 令这两个方程都等于0，求解得到x和y的值。

最终，得到的x和y就是拟合圆心的坐标。

上述方法是一种数学方法，它基于最小二乘法的思想，通过利用数学公式进行计算，求解拟合圆心的坐标。

这种方法计算简单，精度高，且效率较高。

在实际应用中，我们可以通过编程等方式来实现这个计算过程。

除了数学方法，还有其他的拟合圆心的计算方法，如利用三角形的性质进行计算等。

不同的方法适用于不同的场景，具体选择哪种方法需要根据实际情况来决定。

用最小二乘法拟合圆应用于隧道钢模台车尺寸检查
吴恺
【期刊名称】《四川水泥》
【年(卷),期】2014(000)011
【摘要】在高铁、地铁隧道矿山法施工中，常用钢模台车浇筑洞身二次衬砌，在此过程中，不时会发生台车变形，运用最小二乘法拟合圆应用于台车尺寸检查比传统方法具有操作简便，速度快，线性整体性好，精度高等特点。

【总页数】2页(P132-132,151)
【作者】吴恺
【作者单位】中国水利水电第七工程局科研设计院
【正文语种】中文
【中图分类】TU4
【相关文献】
1.权函数支持域尺寸和场节点间距对移动最小二乘法拟合精度的影响 [J], 王震;吴鸣
2.基于不锈钢复合钢板面板的隧道衬砌钢模台车在隧道施工中的应用 [J], 喻致蓉;王松
3.气缸套槽底及支承肩外圆尺寸检查仪 [J], 韩发乾;冯学召
4.微改进隧道衬砌钢模台车在长大隧道中的应用 [J], LI Bin
5.隧洞全圆针梁式钢模台车混凝土衬砌施工 [J], 周航
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