人教版数学八年级竞赛教程之公式变形与字母系数方程附答案

人教版八年级数学下册专题训练（附答案与解析）说明：本套训练习题包含12个专题：类比归纳专题：二次根式求值的常用方法考点综合专题：一次函数与几何图形的综合问题解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题解题技巧专题：正方形中特殊的证明(计算)方法思想方法专题：矩形中的折叠问题核心素养专题：四边形中的探究与创新类比归纳专题：有关中点的证明与计算解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法思想方法专题：勾股定理中的思想方法解题技巧专题：勾股定理与面积问题难点探究专题：特殊四边形中的综合性问题解题技巧专题：函数图象信息题考点综合专题：一次函数与几何图形的综合问题——代几综合，明确中考风向标◆类型一一次函数与面积问题1．如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的面积为________．2．如图，直线y ＝－2x ＋3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B.【易错7】(1)求A ，B 两点的坐标；(2)过B 点作直线BP 与x 轴相交于点P ，且使OP ＝2OA ，求△ABP 的面积．3．如图，直线y ＝－x ＋10与x 轴、y 轴分别交于点B ，C ，点A 的坐标为(8，0)，点P(x ，y)是在第一象限内直线y ＝－x ＋10上的一个动点．(1)求△OPA 的面积S 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当△OPA 的面积为10时，求点P 的坐标．◆类型二 一次函数与三角形、四边形的综合4．(2016·长春中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的对称中心与原点重合，顶点A 的坐标为(－1，1)，顶点B 在第一象限，若点B 在直线y ＝kx ＋3上，则k 的值为________．第4题图 第5题图5．(2016·温州中考)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数解析式是()A．y＝x＋5 B．y＝x＋10C．y＝－x＋5 D．y＝－x＋10◆类型三一次函数与几何图形中的规律探究问题6．(2017·安顺中考)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n－1B n顶点B n的横坐标为________．第6题图第7题图7．★(2016·潍坊中考)在平面直角坐标系中，直线l：y＝x－1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形A n B n C n C n－1，使得点A1，A2，A3，…在直线l上，点C1，C2，C3，…在y轴正半轴上，则点B n的坐标是________．参考答案与解析1．16解析：如图，∵点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，∴AB＝3.∵∠CAB ＝90°，BC＝5，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝BC2－AB2＝4，∴A′C′＝4.∵点C′在直线y＝2x－6上，∴2x－6＝4，解得x＝5.即OA′＝5，∴CC′＝AA′＝5－1＝4.∴S▱BCC′B′＝CC′·CA＝4×4＝16.即线段BC扫过的面积为16.2．解：(1)令y＝0，则－2x＋3＝0，解得x＝32；令x＝0，则y＝3，∴点A的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，点B 的坐标为(0，3)． (2)由(1)得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，∴OA ＝32，∴OP ＝2OA ＝3，∴点P 的坐标为(3，0)或(－3，0)，∴AP ＝OP －OA ＝32或AP ＝OP ＋OA ＝92，∴S △ABP ＝12AP ·OB ＝12×92×3＝274或S △ABP ＝12AP ·OB ＝12×32×3＝94.综上所述，△ABP 的面积为274或94.3．解：(1)∵点P 在直线y ＝－x ＋10上，且点P 在第一象限内，∴x >0且y >0，即－x ＋10>0，解得0<x <10.∵点A (8，0)，∴OA ＝8，∴S ＝12OA ·|y P |＝12×8×(－x ＋10)＝－4x ＋40(0<x <10)．(2)当S ＝10时，即－4x ＋40＝10，解得x ＝152.当x ＝152时，y ＝－152＋10＝52，∴当△OP A 的面积为10时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，52. 4．－2 5.C6．2n ＋1－2 解析：由题意得OA ＝OA 1＝2，∴OB 1＝OA 1＝2，B 1B 2＝B 1A 2＝4，B 2A 3＝B 2B 3＝8，∴B 1(2，0)，B 2(6，0)，B 3(14，0)….∵2＝22－2，6＝23－2，14＝24－2，…∴B n 的横坐标为2n ＋1－2.故答案为2n ＋1－2.7．(2n －1，2n －1) 解析：∵y ＝x －1与x 轴交于点A 1，∴点A 1的坐标为(1，0)．∵四边形A 1B 1C 1O 是正方形，∴A 1B 1＝OA 1＝1，∴点B 1的坐标为(1，1)．∵C 1A 2∥x 轴，点A 2在直线y ＝x －1上，∴点A 2的坐标为(2，1)．∵四边形A 2B 2C 2C 1是正方形，∴A 2B 2＝A 2C 1＝2，∴点B 2的坐标为(2，3)，同理可得点B 3的坐标为(4，7)．∵B 1(20，21－1)，B 2(21，22－1)，B 3(22，23－1)，…，∴点B n 的坐标为(2n －1，2n －1)．难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题◆类型一特殊平行四边形的动态探究问题一、动点问题1．(2016·枣庄中考)如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝63，∠BAD＝60°，且AB>6 3.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝10，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP的最大值和最小值．二、图形的变换问题2．如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC 到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．◆类型二四边形间的综合性问题3．(2016·德州中考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图①，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；(2)如图②，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足P A ＝PB ，PC ＝PD ，∠APB ＝∠CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB ＝∠CPD ＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状．(不必证明)参考答案与解析1．解：(1)如图①，过点P 作PG ⊥EF 于点G ，H 为PE 的中点，连接GH ，∴∠PGE ＝90°，GH ＝PH ＝HE ＝12PE ＝3.∵PF ＝PE ，∴∠FPG ＝∠EPG ，FG ＝GE ＝12EEF ＝3 3 .在Rt △PGE 中，由勾股定理得PG ＝PE 2－GE 2＝62－（33）2＝3.∴PG ＝GH ＝PH ，即△GPH 为等边三角形，∴∠GPH ＝60°，∴∠FPE ＝∠FPG ＋∠GPE ＝2∠GPE ＝2×60°＝120°.(2)如图①，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，作PN ⊥AD 于点N ，∴∠ANP ＝∠AMP＝90°.∵AC 为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ＝12∠DAB ＝30°，PM ＝PN .在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ，∴Rt △PME ≌Rt △PNF ，∴ME ＝NF .∵∠P AM ＝30°，AP ＝10，∴PM ＝12E AP ＝5.由勾股定理得AM ＝P A 2－PM 2＝5 3 .在△ANP 和△AMP 中，⎩⎨⎧∠NAP ＝∠MAP ，∠ANP ＝∠AMP ＝90°，AP ＝AP ，∴△ANP ≌△AMP ，∴AN ＝AM ＝5 3 .∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME )＋(AN －NF )＝AM ＋AN ＋ME －NF＝10 3.(3)如图②，△EFP 的三个顶点分别在AB ，AD ，AC 上运动，点P 在P 1，P 之间运动．P 1O ＝PO ＝12PE ＝3，AE ＝EF ＝63，AO ＝AE 2－EO 2＝9.∴AP 的最大值为AO ＋OP ＝12，AP 的最小值为AO －OP 1＝6.2．(1)证明：如图，延长ED 交AG 于点H .∵四边形ABCD 与OEFG 均为正方形，∴OA ＝OD ，OG ＝OE ，∠AOG ＝∠DOE ＝90°，∴Rt △AOG ≌Rt △DOE ，∴∠AGO ＝∠DEO .∵∠AGO ＋∠GAO ＝90°，∴∠DEO ＋∠GAO ＝90°，∴∠AHE ＝90°，即DE ⊥AG ；(2)解：①在旋转过程中，∠OAG ′成为直角有以下两种情况：a ．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG ′为直角时，∵OA ＝OD ＝12OG ＝12OG ′，∴∠AG ′O ＝30°，∠AOG ′＝60°.∵OA ⊥OD ，∴∠DOG ′＝90°－∠AOG ′＝30°，即α＝30°；b ．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG ′为直角时，同理可求的∠AOG ′＝60°，∴α＝90°＋∠AOG ′＝150°.综上，当∠OAG ′为直角时，α＝30°或150°；②AF ′长的最大值是2＋22，此时α＝315°.3．(1)证明：如图①中，连接BD .∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，EH ＝GF ，∴中点四边形EFGH 是平行四边形．(2)解：四边形EFGH 是菱形．理由如下：如图②中，连接AC ，BD .∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD ，即∠APC ＝∠BPD .在△APC 和△BPD 中，⎩⎨⎧AP ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，PC ＝PD ，∴△APC ≌△BPD ，∴AC ＝BD .∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF ＝12AC ，FG ＝12BD ，∴EF ＝FG .∵四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是菱形．(3)解：四边形EFGH 是正方形．理由如下：如图②中，设AC 与BD 交于点O .AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N .∵△APC ≌△BPD ，∴∠ACP ＝∠BDP .∵∠DMO ＝∠CMP ，∴∠COD ＝∠CPD ＝90°.∵EH ∥BD ，AC ∥HG ，∴∠EHG ＝∠ENO ＝∠BOC ＝∠DOC ＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH 是正方形．解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题——明确不同类型的图象的端点、折点、交点等的意义◆类型一费用类问题一、建立一次函数模型解决问题1．(2016·攀枝花中考)某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含14吨)，则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价；(2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数解析式；(3)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？二、分段函数问题2．(2016·荆州中考)为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系．(1)求y与x的函数解析式；(2)若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．三、两个一次函数图象结合的问题3．随着互联网的发展，互联网消费逐渐深入人们生活，如图是“滴滴顺风车”与“滴滴快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数关系图象，下列说法：①“快车”行驶里程不超过5公里计费8元；②“顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费1.2元；③A 点的坐标为(6.5，10.4)；④从哈尔滨西站到会展中心的里程是15公里，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元．其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个四、分类讨论思想4．(2017·天门中考)江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y 甲，y 乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图所示：(1)直接写出y 甲，y 乙关于x 的函数关系式；(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？◆类型二路程类问题一、两个一次函数图象结合的问题5．(2017·青岛中考)A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中l1，l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系，请结合图象解答下列问题：(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是________(填l1或l2)；甲的速度是________km/h，乙的速度是________km/h；(2)甲出发多长时间两人恰好相距5km?二、分段函数问题6．(2016·新疆中考)暑假期间，小刚一家乘车去离家380km的某景区旅游，他们离家的距离y(km)与汽车行驶的时间x(h)之间的函数图象如图所示．(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？(2)求线段AB对应的函数解析式；(3)小刚一家出发2.5h后离目的地有多远？◆类型三工程类问题一、两个一次函数图象结合的问题7．甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x ＝2或6时，甲、乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有________(填序号)．二、分段函数问题8．(2016·绍兴中考)根据卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q(m 3)和开始排水后的时间t(h )之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)暂停排水需要多少时间？排水孔的排水速度是多少？ (2)当2≤t ≤3.5时，求Q 关于t 的函数解析式．参考答案与解析1．解：(1)设每吨水的政府补贴优惠价为m 元，市场价为n 元．由题意得⎩⎨⎧14m ＋（20－14）n ＝49，14m ＋（18－14）n ＝42，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝3.5.答：每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价为3.5元．(2)当0≤x ≤14时，y ＝2x ；当x ＞14时，y ＝14×2＋(x －14)×3.5＝3.5x －21.综上所述，y ＝⎩⎨⎧2x （0≤x ≤14），3.5x －21（x >14）.(3)∵26＞14，∴小明家5月份水费为3.5×26－21＝70(元)．答：小明家5月份应交水费70元．2．解：(1)当0≤x ≤20时，设y 与x 的函数解析式为y ＝ax ，把(20，160)代入y ＝ax 中，得a ＝8.即y 与x 的函数解析式为y ＝8x ；当x >20时，设y 与x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，把(20，160)，(40，288)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎨⎧20k ＋b ＝160，40k ＋b ＝288，解得⎩⎨⎧k ＝6.4，b ＝32，即y 与x 的函数解析式为y ＝6.4x ＋32.综上所述，y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧8x （0≤x ≤20），6.4x ＋32（x >20）.(2)∵B 种树苗的数量不超过35棵，但不少于A 种树苗的数量，∴⎩⎨⎧x ≤35，x ≥45－x ，∴22.5≤x ≤35.设总费用为W 元，则W ＝6.4x ＋32＋7(45－x )＝－0.6x ＋347.∵k ＝－0.6<0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＝35，45－x ＝10时，总费用最低，即购买B 种树苗35棵，A 种树苗10棵时，总费用最低，W 最低＝－0.6×35＋347＝326(元)． 3．D4．解：(1)设y 甲＝kx ，把(2000，1600)代入，得2000k ＝1600，解得k ＝0.8，所以y 甲＝0.8x .当0＜x ＜2000时，设y 乙＝ax ，把(2000，2000)代入，得2000k ＝2000，解得k ＝1，所以y 乙＝x .当x ≥2000时，设y 乙＝mx ＋n ，把(2000，2000)，(4000，3400)代入，得⎩⎨⎧2000m ＋n ＝2000，4000m ＋n ＝3400，解得⎩⎨⎧m ＝0.7，n ＝600，所以y乙＝⎩⎨⎧x （0<x <2000），0.7x ＋600（x ≥2000）.(2)当0＜x ＜2000时，0.8x ＜x ，到甲商店购买更省钱；当x ≥2000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x ＜0.7x ＋600，解得x ＜6000；若到乙商店购买更省钱，则0.8x ＞0.7x ＋600，解得x ＞6000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x ＝0.7x ＋600，解得x ＝6000；故当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱；当购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．5．解：(1)l 2 30 20 解析：由题意可知，乙的函数图象是l 2，甲的速度是602＝30(km/h)，乙的速度是603＝20(km/h)．故答案为l 2，30，20.(2)设甲出发x h 两人恰好相距5km.由题意30x ＋20(x －0.5)＋5＝60或30x ＋20(x －0.5)－5＝60，解得x ＝1.3或1.5.答：甲出发1.3h 或1.5h 两人恰好相距5km. 6．解：(1)从小刚家到该景区乘车一共用了4h.(2)设线段AB 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b .把点A (1，80)，B (3，320)代入得⎩⎨⎧k ＋b ＝80，3k ＋b ＝320，解得⎩⎨⎧k ＝120，b ＝－40.∴y ＝120x －40(1≤x ≤3)． (3)当x ＝2.5时，y ＝120×2.5－40＝260，380－260＝120(km)．故小刚一家出发2.5h 后离目的地120km. 7．①②④ 8．解：(1)暂停排水需要的时间为2－1.5＝0.5(h)．∵排水时间为3.5－0.5＝3(h)，一共排水900m 3，∴排水孔的排水速度是900÷3＝300(m 3/h)．(2)当2≤t ≤3.5时，设Q 关于t 的函数解析式为Q ＝kt ＋b ，易知图象过点(3.5，0)．∵当t ＝1.5时，排水300×1.5＝450(m 3)，此时Q ＝900－450＝450，∴点(2，450)在直线Q ＝kt ＋b 上．把(2，450)，(3.5，0)代入Q ＝kt ＋b ，得⎩⎨⎧2k ＋b ＝450，3.5k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－300，b ＝1050，∴Q 关于t 的函数解析式为Q ＝－300t ＋1050.类比归纳专题：二次根式求值的常用方法——明确计算便捷渠道◆类型一 利用二次根式的非负性求值1．若a ，b 为实数，且|a ＋1|＋b －1＝0，则(ab )2018的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±12．已知a ＋1＋b 2－2b ＋1＝0，则a 2018＋b 2017的值是________．3．若a 2－3a ＋1＋b 2－2b ＋1＝0，则a 2＋1a 2－|b |＝________． 4．若y ＝x －3＋3－x ＋2，求x y 的值．【方法1②】◆类型二利用乘法公式进行计算5．计算：(1)(5＋3)2; (2)(25－2)2；(3)(3＋2)2－(3－2)2.6．已知x＋1x＝5，求x2x4＋x2＋1的值．◆类型三整体代入求值7．已知x＝2－10，则代数式x2－4x－6的值为()A．－1 B．0 C．1 D．28．(2017·安顺中考)已知x＋y＝3，xy＝6，则x2y＋xy2的值为________．9．已知x＝1－2，y＝1＋2，求x2＋y2－xy－2x＋2y的值．10．已知x＝13－22，y＝13＋22，求xy＋yx－4的值．参考答案与解析： 1．B 2.23．6 解析：∵a 2－3a ＋1＋b 2－2b ＋1＝0，∴a 2－3a ＋1＋(b －1)2＝0，∴a 2－3a ＋1＝0，b ＝1，∴a －3＋1a ＝0，∴a ＋1a ＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝32，∴a 2＋1a 2＝7.∴a 2＋1a2－|b |＝6. 4．解：由题意有x －3≥0，3－x ≥0，∴x ＝3，∴y ＝2，∴x y ＝32＝9. 5．解：(1)原式＝8＋215.(2)原式＝22－410. (3)原式＝4 6.6．解：原式取倒数得x 4＋x 2＋1x 2＝x 2＋1x 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－1＝(5)2－1＝4.∴原式＝14.7．B 8.329．解：∵x ＝1－2，y ＝1＋2，∴x －y ＝(1－2)－(1＋2)＝－22，xy ＝(1－2 )(1＋ 2 )＝－1.∴x 2＋y 2－xy －2x ＋2y ＝(x －y )2－2(x －y )＋xy ＝(－2 2 )2－2×(－22)＋(－1)＝7＋4 2.方法点拨：根据原式以及字母取值的特点，将原式配方、整合成含有x －y 和xy 的形式，利用整体思想代入求值．10．解：由已知得x ＝3＋22，y ＝3－2 2.∴x ＋y ＝6，xy ＝1，∴原式＝x 2＋y 2xy －4＝（x ＋y ）2－6xy xy＝62－6×1＝30.思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一 折叠中求角度1．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF .若∠EFC ′＝125°，那么∠ABE 的度数为( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°第1题图 第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD ，使AD 和BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN .观察探究可以得到∠ABM 的度数是( )A ．25°B ．30°C ．36°D ．45° ◆类型二 折叠中求线段长3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，AE 交DC 于点O ，若AO ＝5cm ，则AB 的长为( ) A ．6cm B ．7cm C ．8cm D ．9cm第3题图 第4题图4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则DE 的长是( )A ．3 B.245 C ．5 D.89165．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内的点F 处，连接CF ，则CF的长为________．◆类型三折叠中求面积6．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.(1)求证：△AFE≌△CDE；(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．7．★(2016·福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．参考答案与解析1．B 解析：由折叠可知∠EFC ＝∠EFC ′＝125°.∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DEF ＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF ＝∠DEF ＝55°，∴∠BED ＝110°.∵四边形ABCD 为矩形，∠A ＝90°，∴∠ABE ＝110°－90°＝20°.故选B. 2．B 3.C 4.C5. 185 解析：如图，连接BF 交AE 于H ，由折叠的性质可知BE ＝FE ，AB ＝AF ，∠BAE ＝∠F AE ，∴AH ⊥BF ，BH ＝FH .∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝12E B C ＝3.又∵AB ＝4，∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB ·BE ＝12AE ·BH ，∴BH ＝125，则BF ＝2BH ＝245.∵E 是BC 的中点，∴FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°.在Rt △BFC 中，由勾股定理得CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝ ⎛⎭⎪⎫2452＝185.6．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°.∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠F ＝∠B ，AB ＝AF ，∴AF ＝CD ，∠F＝∠D .在△AFE 与△CDE 中，⎩⎨⎧∠F ＝∠D ，∠AEF ＝∠CED ，AF ＝CD ，∴△AFE ≌△CDE .(2)解：∵AB ＝4，BC ＝8，∴CF ＝AD ＝8，AF ＝CD ＝AB ＝4.∵△AFE ≌△CDE ，∴EF ＝DE .在Rt △CED 中，由勾股定理得DE 2＋CD 2＝CE 2，即DE 2＋42＝(8－DE )2，∴DE ＝3，∴AE ＝8－3＝5，∴S 阴影＝12×4×5＝10.7．解：(1)由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠MAN ＝∠DAM .∵AN 平分∠MAB ，∴∠MAN ＝∠NAB ，∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∴∠DAM ＝30°，∴AM ＝2DM .在Rt △ADM 中，∵AD ＝3，∴由勾股定理得AM 2－DM 2＝AD 2，即(2DM )2－DM 2＝32，解得DM ＝ 3.(2)延长MN 交AB 的延长线于点Q ，如图所示．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DMA＝∠MAQ，由折叠性质得△ANM≌△ADM，∴∠ANM＝∠D＝90°，∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ.设NQ＝x，则AQ＝MQ＝MN＋NQ＝1＋x.∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°.在Rt△ANQ中，由勾股定理得AQ2＝AN2＋NQ2，即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB ＝45S△NAQ＝45×12×AN·NQ＝45×12×3×4＝245.解题技巧专题：正方形中特殊的证明(计算)方法——解决正方形中的最值及旋转变化模型问题◆类型一利用正方形的旋转性质解题1．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P，若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S△AEF ＝S△ABE＋S△ADF.3．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，P 为正方形ABCD 外一点，且BP ⊥CP . 求证：BP ＋CP ＝2OP .◆类型二 利用正方形的对称性解题4．如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 最小，则这个最小值为( ) A. 3 B ．23 C ．2 6 D.6第4题图 第5题图5．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，BE ＝1，F 为AB 上一点，AF ＝2，P 为AC 上一点，则PF ＋PE 的最小值为________．6．如图，在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，AC ，BE 交于点F ，MF ∥AE 交AB 于M . 求证：DF ＝MF .参考答案与解析1．322．证明：延长CB到点H，使得HB＝DF，连接AH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABH＝∠D＝90°，AB＝AD.∴△ADF绕点A顺时针旋转90°后能和△ABH重合．∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∵∠HAE＝∠HAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠HAE＝∠EAF＝45°.又∵AE＝AE，∴△AEF与△AEH关于直线AE对称，∴S△AEF ＝S△AEH＝S△ABE＋S△ABH＝S△ABE＋S△ADF.3．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90°至△OBE(如图所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP.∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，∴∠OBP＋∠OCP＝180°，∴∠OBP＋∠OBE＝180°，∴E，B，P在同一直线上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90°，∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90°，即∠EOP＝90°.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE＝OE2＋OP2＝OP2＋OP2＝2OP.∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝2OP.4．B解析：连接PB.∵点P在正方形ABCD的对角线AC上，∴PD＝PB，∴PD ＋PE的最小值就是PB＋PE的最小值，∴PD＋PE的最小值就是BE.∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB.∵S正方形ABCD＝12，∴BE2＝AB2＝12，即BE＝23，故选B.5.176．证明：∵B，D关于AC对称，点F在AC上，∴BF＝DF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠ADE＝∠BCE.∵点E是CD的中点，∴DE＝CE.在△ADE 和△BCE中，∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE，∴AE ＝BE，∴∠BAE＝∠ABE.∵MF∥AE，∴∠BAE＝∠BMF，∴∠BMF＝∠ABE，∴MF＝BF.∵BF＝DF，∴DF＝MF.解题技巧专题：函数图象信息题——数形结合，快准解题◆类型一 根据实际问题判断函数图象1．为了加强爱国主义教育，每周一学校都要举行庄严的升旗仪式，同学们凝视着冉冉上升的国旗．下列哪个函数图象能近似地刻画上升的国旗离旗杆顶端的距离与时间的关系( )2．(2017·牡丹江中考)下列图象中，能反映等腰三角形顶角度数y(度)与底角度数x(度)之间的函数关系的是( )◆类型二 获取实际问题中图象的信息3．明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S(m 2)与工作时间t(h )之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是【方法12】( )A ．300m 2B ．150m 2C ．330m 2D ．450m 2第3题图 第4题图4．(2017·河南中考)如图①，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B →C →A 匀速运动到点A ，图②是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是________．5．(2017·西宁中考)首条贯通丝绸之路经济带的高铁线——宝兰客专进入全线拉通试验阶段，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作、人文交流具有十分重要的意义，试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x(小时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系，根据图象进行一下探究：【方法12】 【信息读取】(1)西宁到西安两地相距________千米，两车出发后________小时相遇；(2)普通列车到达终点共需________小时，普通列车的速度是________千米/时． 【解决问题】(3)求动车的速度；(4)普通列车行驶t 小时后，动车到达终点西宁，求此时普通列车还需行驶多少千米到达西安．◆类型三 一次函数图象与字母系数的关系6．若实数a 、b 满足ab ＜0，则一次函数y ＝ax ＋b 的图象可能是( )7．在一次函数y ＝12ax －a 中，y 随x 的增大而减小，则其图象可能是( )参考答案与解析 1．A 2.C3．B 解析：设点A (4，1200)，点B (5，1650)，直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b，则⎩⎨⎧4k ＋b ＝1200，5k ＋b ＝1650，解得⎩⎨⎧k ＝450，b ＝－600，故直线AB 的解析式为y ＝450x －600.当x ＝2时，y ＝450×2－600＝300，300÷2＝150(m 2)．故选B.4．12 解析：根据图象可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大，由图象可知：点P 从B 运动到C 的过程中，BP 的最大值为5，即BC ＝5.点P 运动到点A 时，BP ＝AB ＝5.∴△ABC 是等腰三角形．∵M 是曲线部分的最低点，∴此时BP 最小，即BP ⊥AC 时，BP ＝4，∴由勾股定理得PC ＝3，∴AC ＝6，∴△ABC 的面积为12×4×6＝12，故答案为12. 5．解：(1)1000 3(2)12 2503(3)设动车的速度为x 千米/时，根据题意，得3x ＋3×2503＝1000，解得x ＝250. 答：动车的速度为250千米/时．(4)∵t ＝1000250＝4(小时)，∴4×2503＝10003(千米)，∴1000－10003＝20003(千米)，∴此时普通列车还需行驶20003千米到达西安． 6．B 7.B思想方法专题：勾股定理中的思想方法◆类型一 分类讨论思想一、直角边与斜边不明需分类讨论1．一直角三角形的三边长分别为2，3，x ，那么以x 为边长的正方形的面积为【易错3】( ) A ．13 B ．5C ．13或5D ．42．直角三角形的两边长是6和8，则这个三角形的面积是____________． 二、锐角或钝角三角形形状不明需分类讨论3．★(2016·东营中考)在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝210，BC 边上的高AD ＝6，则BC 的长为【易错4】( ) A ．10 B ．8C ．6或10D ．8或104．在等腰△ABC中，已知AB＝AC＝5，△ABC的面积为10，则BC＝____________．【易错4】◆类型二方程思想一、实际问题中结合勾股定理列方程求线段长5．如图，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为________．二、折叠问题中结合勾股定理列方程求线段长6．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，求BF的长．【方法4】三、利用公共边相等结合勾股定理列方程求线段长7．(2016·益阳中考)如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC 的面积．◆类型三 利用转化思想求最值8．(2017·涪陵区期末)一只蚂蚁从棱长为4cm 的正方体纸箱的A 点沿纸箱外表面爬到B 点，那么它的最短路线的长是________cm .【方法5】9．如图，A ，B 两个村在河CD 的同侧，且AB ＝13km ，A ，B 两村到河的距离分别为AC ＝1km ，BD ＝3km .现要在河边CD 上建一水厂分别向A ，B 两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸CD 上选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W(元)．【方法5】参考答案与解析 1．C 2.24或673．C 解析：根据题意画出图形，如图所示，图①中，AB ＝10，AC ＝210，AD ＝6.在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，根据勾股定理得BD ＝AB 2－AD 2＝102－62＝8，CD ＝AC 2－AD 2＝（210）2－62＝2，此时BC ＝BD ＋CD ＝8＋2＝10；图②中，同理可得BD ＝8，CD ＝2，此时BC ＝BD －CD ＝8－2＝6.综上所述，BC 的长为6或10.故选C.4．25或45 解析：如图①，△ABC 为锐角三角形，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D .∵S △ABC ＝10，AB ＝5，∴12AB ·CD ＝10，解得CD ＝4.在Rt△ACD 中，由勾股定理得AD＝AC2－CD2＝52－42＝3，∴BD＝AB－AD＝5－3＝2.在Rt△CBD中，由勾股定理得BC＝BD2＋CD2＝22＋42＝25；如图②，△ABC为钝角三角形，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D.同上可得CD＝4.在Rt△ACD中，AC＝5，由勾股定理得AD＝AC2－CD2＝52－42＝3.∴BD＝BA＋AD＝5＋3＝8.在Rt△BDC中，由勾股定理得BC＝BD2＋CD2＝82＋42＝4 5.综上所述，BC的长度为25或4 5.5．17m6．解：∵折叠前后两个图形的对应线段相等，∴CF＝C′F.设BF＝x.∵BC＝9，∴C′F＝CF＝BC－BF＝9－x.∵C′是AB的中点，AB＝6，∴BC′＝12E A B＝3.在Rt△C′BF中，由勾股定理得C′F2＝BF2＋C′B2，即(9－x)2＝x2＋32，解得x＝4，即BF的长为4.7．解：过A作AD⊥BC交BC于点D.在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝BC－BD＝14－x.在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝AB2－BD2＝152－92＝12.∴S△ABC ＝12BC·AD＝12×14×12＝84.8．459．解：如图，作点A关于CD的对称点A′，连接BA′交CD于O，点O即为水厂的位置．过点A′作A′E∥CD交BD的延长线于点E，过点A作AF⊥BD于点F，则AF＝A′E，DF＝AC＝1km，DE＝A′C＝1km.∴BF＝BD－FD＝3－1＝2(km)．在Rt△ABF中，AF2＝AB2－BF2＝13－22＝9，∴AF＝3km.∴A′E＝3km.在Rt△A′BE中，BE＝BD＋DE＝4km，由勾股定理得A′B＝A′E2＋BE2＝32＋42＝5(km)．∴W＝3000×5＝15000(元)．故铺设水管的总费用为15000元．解题技巧专题：勾股定理与面积问题——全方位求面积，一网搜罗◆类型一 三角形中利用面积法求高1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高线的长为( ) A.8013cm B ．13cm C.132cm D.6013cm2．(2017·乐山中考)点A 、B 、C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离是________． ◆类型二 结合乘法公式巧求面积或长度3．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＋b ＝12cm ，c ＝10cm ，则Rt △ABC 的面积是( )A ．48cm 2B ．24cm 2C ．16cm 2D ．11cm 24．若一个直角三角形的面积为6cm 2，斜边长为5cm ，则该直角三角形的周长是( )A ．7cmB ．10cmC ．(5＋37)cmD ．12cm5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A．3 B．4 C．5 D．6◆类型三巧妙利用割补法求面积6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD 的面积．7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2.9．在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是将图①放入长方形内得到的，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，则D ，E ，F ，G ，H ，I 都在长方形KLMJ 的边上，那么长方形KLMJ 的面积为________．参考答案与解析 1．D2. 355 解析：如图，连接AC ，BC ，设点C 到线段AB 所在直线的距离是h .∵S △ABC ＝3×3－12×2×1－12×2×1－12×3×3－1＝9－1－1－92－1＝32，AB ＝12＋22＝5，∴12×5h ＝32，∴h ＝355.故答案为355.3．D 4.D 5.C6．解：连接AC ，过点C 作CE ⊥AD 交AD 于点E .∵AB ⊥BC ，∴∠CBA ＝90°.在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝AB 2＋BC 2＝52＋122＝13.∵CD ＝13，∴AC ＝CD .∵CE ⊥AD ，∴AE ＝12AD ＝12×10＝5.在Rt △ACE 中，由勾股定理得CE ＝AC 2－AE 2＝132－52＝12.∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △CAD ＝12E A B ·BC ＋12E A D ·CE ＝12×5×12＋12×10×12＝90.7．解：延长AD ，BC 交于点E .∵∠B ＝90°，∠A ＝60°，∴∠E＝30°.∴AE ＝2AB。

初中数学奥林匹克竞赛教程初中数学竞赛大纲（修订稿）数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。

目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。

本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。

《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。

”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。

同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。

《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。

除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。

这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。

1、实数十进制整数及表示方法。

整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。

素数和合数，最大公约数与最小公倍数。

奇数和偶数，奇偶性分析。

带余除法和利用余数分类。

完全平方数。

因数分解的表示法，约数个数的计算。

有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。

2、代数式综合除法、余式定理。

拆项、添项、配方、待定系数法。

部分分式。

对称式和轮换对称式。

3、恒等式与恒等变形恒等式，恒等变形。

整式、分式、根式的恒等变形。

恒等式的证明。

4、方程和不等式含字母系数的一元一次、二次方程的解法。

一元二次方程根的分布。

含绝对值的一元一次、二次方程的解法。

含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。

代数式恒等变形A 卷1、若3265122-+-+=+--x bx a M x x x ,a 、b 是常数,则（ ） A 、M 是一个二次多项式 B 、Ｍ是一个一次多项式 C 、6=++b a M D 、10=-+M b a 答案：C解答：由已知等式得：()()6522656512222+---+++-+=+--x x b M x b a M Mx x x x ∴()()b M x b a M Mx x 226522--+++-+= ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=--=++-=1236051b a M b a M M ,解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==831b a M 提示：利用待定系数法解决问题。

2、（2０0２年重庆市初中竞赛题)若012192=+-x x ，则=+441xx ( ） A 、411 B 、16121 C 、1689 D 、427答案:C 解答:∵0≠x ∴2191=+x x ，411122=+xx ∴168921122244=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x提示：本题的关键是利用211222-⎪⎭⎫⎝⎛+=+x x x x 进行化简。

３、（２0０1年全国初中数学竞赛）若143=-x x ，则552128234+--+x x x x 的值是（ )A 、２B 、4C 、6D 、8答案：D解答:∵143=-x x∴()()8523252434255212833234=+-+=+--+-=+--+x x x x x x x x x x x x 提示:本题利用添项与拆项进行分解整体代入,本题也可以利用已知逐步降次解决问题。

4、（全国竞赛题)如果52332412---=----+cc b a b a ，则c b a ++的值是（ ) A 、6 B 、8 C 、20 D 、24 答案：C解答：∵52332412---=----+cc b a b a ∴()[]()[]()[]053293632142421121=+--+----+---++---c c b b a a∴()()()033212211222=-----+--c b a∴011=--a ，022=--b ，033=--c ∴2=a ,6=b ,12=c ∴20=++c b a提示:本题利用添项构造完全平方式解决问题。

新人教版八年级数学竞赛教程附练习汇总（共15套）1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：原式)521456268123(1368987+++⨯= =⨯=987136813689873. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

专题06 乘法公式压轴题的四种考法类型一、平方差公式与几何图形综合例1．【探究】如图①，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① 图② ；（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母a 、b 表示)；【应用】请应用这个公式完成下列各题：①已知2m ﹣n =3，2m +n =4，则4m 2﹣n 2的值为 ；②计算：(x ﹣3)(x +3)(x 2+9)．【拓展】计算()()()()()248322121212121+++++L 的结果为 ．【答案】探究：（1）22a b -，()()a b a b +-；（2）22()()a b a b a b +-=-；应用：①12；②481x -；拓展：6421-．【详解】探究：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即22a b -，图②的阴影部分为长为()a b +，宽为()-a b 的矩形，则其面积为()()a b a b +-，故答案为：22a b -，()()a b a b +-；（2）由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：22()()a b a b a b +-=-，故答案为：22()()a b a b a b +-=-；应用：①22()(422342)1m n m n m n -+=´=-=，故答案为：12；②原式22(9)(9)x x =-+，222()9x =-，481x =-；拓展：原式()()()()()()24832212121212211+++=-++L ，()()()()()2248322121212121++=-++L ，()()()()4348221212121=++-+L ，()()()8328212121=-++L ，()()32322121=-+，6421=-．故答案是：6421-．【变式训练1】如图，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（a b >），将余下的部分拼成一个梯形，根据两个图形中阴影部分面积关系，解决下列问题：（1）如图①所示，阴影部分的面积为 （写成平方差形式）．（2）如图②所示，梯形的上底是，下底是 ，高是 ，根据梯形面积公式可以算出面积是 （写成多项式乘法的形式）．（3）根据前面两问，可以得到公式 ．（4）运用你所得到的公式计算：22252248- ．【答案】（1）22a b -；（2）()()a b a b +-；（3）22()()a b a b a b -=+-；（4）2000．【详解】解：（1）大正方形的面积为：2a ，小正方形的面积为：2b ，∴阴影部分的面积为：22a b -；故答案为：22a b -；（2）由梯形的定义可知：上底是：2b ，下底是：2a ，高是：-a b ，∴梯形的面积为：1(22)()()()2a b a b a b a b ´+-=+-；故答案为：()()a b a b +-；（3）由（1）（2）可知，22()()a b a b a b -=+-；故答案为：22()()a b a b a b -=+-；（4）22252248-=(252248)(252248)+-=5004´=2000；【变式训练2】从边长为a 的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）．A ．()2222a ab b a b -+=-B ．()()22a b a b a b -=+-C ．()2a ab a a b +=+（2）若22912x y -=，34x y +=，求3x y -的值；（3）计算：22222111111111123420202021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）B ；（2）33x y -=；（3）10112021【详解】解：（1）根据阴影部分面积相等可得：()()22a b a b a b -=+-，上述操作能验证的等式是B ，故答案为：B ；（2）∵()()2293312x y x y x y -=+-=，∵34x y +=∴33x y -=（3）22222111111111123420202021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111111223320212021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-⋅⋅⋅+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3142532022202022334420212021=´´´´´´⋅⋅⋅´´1202222021=´10112021=【变式训练3】工厂接到订单，需要边长为（a +3）和3的两种正方形卡纸．（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）；（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为 ．【答案】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积＝a2+6a；②拼成的长方形的边长分别为a和a+6；（2）9.【详解】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积=（a+3）2﹣32=（a+3﹣3）（a+3+3）=a（a+6）=a2+6a；②拼成的长方形的宽是：a+3﹣3=a，∴长为a+6，则拼成的长方形的边长分别为a和a+6；（2）设AB=x，则BC=x+3，∴图1中阴影部分的面积为S1=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x﹣3），图2中阴影部分的面积为S2=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x），∴S2﹣S1的值=3（a+6﹣x）﹣3（a+6﹣x﹣3）=3×3=9．故答案为9．【变式训练4】（1）如图1所示，若大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，则阴影部分的面积是______；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2所示的一个长方形，则它的面积是_________；（2）由（1）可以得到一个乘法公式是________；（3）利用你得到的公式计算：2202120222020-´．【答案】（1）a 2-b 2，（a +b ）（a -b ）；（2）（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2；（3）1【详解】解：（1）图①阴影部分的面积为：a 2-b 2，图②长方形的长为a +b ，宽为a -b ，所以面积为：（a +b ）（a -b ），故答案为：a 2-b 2，（a +b ）（a -b ）；（2）由（1）可得：（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2，故答案为：（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2；（3）20212-2022×2020=20212-（2021+1）（2021-1）=20212-20212+1=1．类型二、完全平方公式变形例1．已知22()25,()9x y x y +=-=，求xy 与22x y +的值．【答案】224,17xy x y =+=【详解】Q 22()25,()9x y x y +=-=，()()22425916x y x y xy \+--==-=,4xy \=，()()22222()25934x y x y x y ++-=+=+=Q ,2217x y \+=．例2已知222462140x y z x y z ++-+++=，则xyz =________.【答案】6【详解】解：∵x 2+y 2+z 2-4x +6y+2z +14=0，∴x 2-4x +4+y 2+6y +9+z 2+2z +1=0，∴(x -2)2+(y +3)2+(z +1)2=0，∴x -2=0，y +3=0，z+1=0，∴x =2，y =-3，z =-1，∴xyz =2×（-3）×（-1）=6．故答案为：6【变式训练1】已知2|5|(7)0xy x y -++-=，求22x x y y +-的值．【答案】34【详解】解：根据非负性，得：50xy -=，70x y +-=，5xy \=，7x y +=，222()3491534x y xy x y xy \+-=+-=-=，22y x y x +-\的值是34．【变式训练2】已知（x +2021）2+（x +2022）2=49，则（x +2021）（x +2022）的值为（）A ．20B ．24C ．994D ．532【答案】B【详解】解：[]222(2021)(2022)(2021)(2022)2(2021)(2022)x x x x x x +-+=+++-++Q 且[]22(2021)(2022)(1)1x x +-+=-=221(2021)(2022)2(2021)(2022)x x x x \=+++-++22(2021)(2022)49x x +++=Q (2021)(2022)24x x \++=故选：B【变式训练3】已知：2()34x y +=，2()14x y -=，分别求22x y +和xy 的值．【答案】24，5【详解】解：222()234x y x xy y +=++=Q ①，222()214x y x xy y -=-+=②，\①+②得222248x y +=，即2224x y +=；①-②得420xy =，即5xy =．【变式训练4】已知13x x+=，求下列各式的值：(1)221x x +；(2)21(x x -.【答案】(1)7；(2)5【解析】(1)解：∵13x x +=，∴21()9x x +=，即22129x x ++=，∴2217x x +=．(2)解：∵2217x x +=，∴22125x x +-=，∴21()5x x-=．【变式训练5】当x =______时，代数式8x 2-12x +5有最小值，最小值为______.【答案】 34 12【详解】解：28125x x -+2328()5x x -=+2998()5131626x x +--=+238()9452x --+=238(412x =-+23(04x -Q …，\当34x =时，28125x x -+有最小值，最小值为12．故答案为：34；12．类型三、完全平方公式字母的值例1．当k 取何值时，2210049x kxy y -+是一个完全平方式？【答案】140k =±【详解】解：∵100x 2﹣kxy +49y 2是一个完全平方式，∴﹣k ＝±2×10×7，∴k ＝±140，即当k ＝±140时，100x 2﹣kxy +49y 2是一个完全平方式．【变式训练1】如果226x x k ++是一个完全平方公式，求k 的值．【答案】3k =±．【详解】由题意得：222(63)x x k x =+++，即222669x x k x x =++++，则29k =解得3k =±．【变式训练2】若把代数式222x x --化成()2x m k ++的形式，其中m ，k 为常数，则m k +=______．【答案】4-【详解】解：∵222x x --＝x 2−2x ＋1−3＝（x −1）2−3，∴m ＝−1，k ＝−3，∴m ＋k ＝−4．故答案为：−4．【变式训练3】（1）设22351,257M x x N x x =--=--，则__________．A ． M N >B ． M N <C ． M N ³D ． M N£（2）当=a ________时，多项式2418a a -+有最小值___________．【答案】（1）A ；（2）2，14【详解】解：（1）∵22222(351)(257)3512576M N x x x x x x x x x -=-----=---++=+，20x ³ ，∴260M N x -=+>，∴M >N ，故选A ．（2）∵2224184414(2)14a a a a a -+=-++=-+，2(2)0a -³，∴当a =2时，2(2)14a -+有最小值为14，故答案为：2，14．【变式训练4】若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，完全平方数是非负数．例如：0＝02，1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，121＝112…．（1）若28+210+2n 是完全平方数，求n 的值．（2）若一个正整数，它加上61是一个完全平方数，当减去11是另一个完全平方数，写所有符合的正整数．【答案】（1）n ＝4或n ＝10；（2）所有符合的正整数是20、60或300．【详解】（1）解：∵a 2+b 2+2ab ＝（a +b ）2，∴若28＝a 2，210＝b 2，则a ＝24，b ＝25，2n ＝2ab ＝210，解得：n ＝10若28＝a 2，210＝2ab ，所以b ＝25，则2n ＝b 2＝210，解得：n ＝10，若210＝a 2，28＝2ab ，所以b ＝22，则2n ＝b 2＝24，解得：n ＝4，所以n ＝4或n ＝10；（2）解：设正整数为x ，则x +61＝a 2，x ﹣11＝b 2（a ＞b ，且a ，b 是正整数），则a 2﹣b 2＝x +61﹣x +11＝72，故（a +b ）（a ﹣b ）＝72，由于a +b 与a ﹣b 同奇偶，故184a b a b +=ìí-=î或362a b a b +=ìí-=î或者126a b a b +=ìí-=î，当184a b a b +=ìí-=î时,解得：117a b =ìí=î，∴x ＝b 2+11＝60；当362a b a b +=ìí-=î时，解得：1917a b =ìí=î，∴x ＝b 2+11＝300；当126a b a b +=ìí-=î时，解得：93a b =ìí=î，∴x ＝b 2+11＝20．所以所有符合的正整数是20、60或300．类型四、完全平方公式与几何图形例.乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为b 、宽为a 的长方形．并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积．方法1：________；方法2：________；(2)观察图2，请你写出下列三个代数式：()2a b +，22+a b ，ab 之间的数量关系：_______；(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：+5a b =，22+21=a b ，求ab 的值；②已知()()222022202010-+-=a a ，求()()20222020--a a 的值．【答案】(1)（a +b ）2；a 2+2ab +b 2 (2)（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab (3)①ab ＝2；②-3【解析】(1)方法1：大正方形的边长为（a +b ），∴S ＝（a +b ）（a +b ）＝a 2+2ab +b 2．方法2：大正方形的面积＝各个部分面积之和，∴S ＝a 2+2ab +b 2．故答案为：a 2+2ab +b 2．(2)由图2可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，即（a +b ）2﹣2ab ＝a 2+b 2．故答案为：（a +b ）2﹣2ab ＝a 2+b 2．(3)①∵a +b ＝5，∴（a +b ）2＝25，a 2+b 2＝21，∴2ab ＝（a +b ）2﹣（a 2+b 2）＝25﹣21＝4，∴ab ＝2；②令2022,2020x a y a =-=-，∴2x y +=，由()()222022202010-+-=a a 可得2210x y +=，2xy ＝（x +y ）2﹣（x 2+y 2）＝4﹣10＝－6，∴()()20222020--a a ＝xy ＝-3.【变式训练1】如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出（a +b ）2、（a -b ）2、ab 之间的等量关系是 ；（2）根据（1）中的结论，若x +y =5，xy =94，则x -y = ；（3）拓展应用：若（2021-m ）2+（m -2020）2=7，求（2021-m ）（m -2020）的值【答案】（1）()22()4+=-+a b a b ab ；（2）4或4-；（3）3-【详解】解：（1）由图知：()22()4+=-+a b a b ab（2）∵()22()4x y x y xy +=-+，∴()22()4x y x y xy-=+-∵9=5,4x y xy +=，∴()225916x y -=-=，∴=4x y -或=4x y --，故答案为：4或4-（3）∵()222(2021)+(2020)202120202(2021)(2020)m m m m m m --=-+---+且()222021(2020)7m m -+-=，∴(2021)(2020)=3m m -+-【变式训练2】如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．(1)图2中的阴影部分的面积为：____________（用a 、b 的代数式表示）；(2)观察图2，请你写出()2a b +、()2a b -、ab 之间的等量关系是____________；(3)利用（2）中的结论，若5x y +=，94x y ⋅=，求()2x y -的值____________；(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，请你写出这个等式____________．(5)如图4，点C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，连接EG 、BG 、BE ，当1BC =时，BEG D 的面积记为1S ，当2BC =时，BEG D 的面积记为2S ，…，以此类推，当BC n =时，BEG D 的面积记为n S ，计算202020192018201721S S S S S S -+-+⋅⋅⋅+-的值．【答案】(1)()2b a -；(2)()()224a b a b ab +--=；(3)16(4)()()22334a b a b a ab b ++=++；(5)1020605【解析】(1)()2b a -(2)()()224a b a b ab +--=(3)5x y +=，94x y ⋅=时，22()()425916x y x y xy -=+-=-=，故答案为：16(4)()()22334a b a b a ab b++=++(5)如图，连接EC ，在正方形ACDE 和正方形BCGF 中45ECD CGB Ð=Ð=°∴EC BG∥∴BGE BGCS S =△△当1BC =时，2112S =；当2BC =时，2222S =；……当BC n =时，22n n S =；∴202020192018201721S S S S S S -+-+⋅⋅⋅+-222222202020192018201721222222⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭()2020201920182017212+++⋅⋅⋅++=1020605=．【变式训练3】如图，将边长为()a b +的正方形剪出两个边长分别为a ，b 的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1：______，方法2：________；（2）从中你发现什么结论呢？_________；（3）运用你发现的结论，解决下列问题：①已知6x y +=，122xy =，求22x y +的值；②已知()()22202120209-+-=x x ，求()()20212020--x x 的值．【答案】（1）22a b +，2()2a b ab +-；（2）222()2a b a b ab +=+-；（3）①28；②4-．【详解】解：（1）方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即22a b +，方法2，从边长为()a b +的大正方形面积减去两个长为a ，宽为b 的长方形面积，即2()2a b ab +-，故答案为：22a b +，2()2a b ab +-；（2）在（1）两种方法表示面积相等可得，222()2a b a b ab +=+-，故答案为：222()2a b a b ab +=+-；（3）①Q 122xy =，4xy \=，又6x y +=Q ，222()2x y x y xy\+=+-2624=-´368=-28=；②设2021a x =-，2020b x =-，则229a b +=，1a b +=，222()()(2021)(2020)2a b a b x x ab +-+\--==192-=4=-，答：(2021)(2020)x x --的值为4-．【变式训练4】阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2根据图②能得到的数学公式是__________．（2）如图③，请写出（a ＋b ）、（a ﹣b ）、ab 之间的等量关系是__________（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x ＋y ＝8，xy ＝2，求（x ﹣y ）2的值．（4）根据图④，写出一个等式：__________．（5）小明同学用图⑤中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a ＋b ）（a ＋3b ）长方形，请画出图形，并指出x ＋y ＋z 的值．类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．【答案】（1）（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab ＋b 2；（2）（a ＋b ）2＝（a ﹣b ）2＋4ab ；（3）56；（4）（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ；（5）画图见解析，16；（6）（a ＋b ）3＝a 2＋b 2＋3a 2b ＋3ab 2【详解】（1）根据图②各个部分面积之间的关系可得：（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab ＋b 2，故答案为：（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab ＋b 2；（2）Q 图③中，大正方形的面积为（a ＋b ）2，小正方形的面积为（a ﹣b ）2，每个长方形的面积为ab ，()()224a b a b ab \+=-+，故答案为：()()224a b a b ab +=-+；（3）利用（2）的结论，可知()()224x y x y xy -=+-，Q x ＋y ＝8，xy ＝2，\（x ﹣y ）2＝（x ＋y ）2﹣4xy ＝64﹣8＝56；（4）根据图④，大正方形的面积可表示为（a ＋b ＋c ）2，Q 内部9块的面积分别为：222,,,,,,,,a b c ab ab ac ac bc bc ，\（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc故答案为：（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ；（5）Q （3a ＋b ）（a ＋3b ）＝3a 2＋3b 2＋10ab ，3,3,10x y z \===，即需要3张边长为a 的正方形，3张边长为b 的正方形，10张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片，画图如下：∴x ＋y ＋z ＝16；（6）根据图⑥，大正方体的体积为（a ＋b ）3，分割成8个“小块”的体积分别为：33222222,,,,,,,a b a b a b a b ab ab ab ，\（a ＋b ）3＝a 2＋b 2＋3a 2b ＋3ab 2故答案为：（a ＋b ）3＝a 2＋b 2＋3a 2b ＋3ab 2．【变式训练5】用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．（1）由图1可得乘法公式________；（2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为()a b c ++的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为________；（3）利用（2）中的结论解决以下问题：已知13a b c ++=，52ab bc ac ++=，求222a b c ++的值；（4）如图3，由两个边长分别为m ，n 的正方形拼在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，连接BD ，BF ，若12m n +=，24mn =，求图3中阴影部分的面积．【答案】（1）（a +b 2）=a 2+2ab +b 2；（2）（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ；（3）65；（4）36【详解】解：（1）图1正方形的面积可以表示为：a 2+2ab +b 2．又可以表示为：（a +b ）2．∴（a +b 2）=a 2+2ab +b 2．故答案为：（a +b 2）=a 2+2ab +b 2．（2）图2中正方形的面积可以表示为：（a +b +c ）2．还可以表示为：a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2b c ．∴（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2b c ．故答案为：（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2b c ．（3）由（2）知：a 2+b 2+c 2=（a +b +c ）2-2ab -2ac -2bc=169-2（ab +ac +bc ）=169-104=65．（4）()221122S m n n m n =+-+阴影22111222m n mn =+-21[()3]2m n mn =+-21(1272)2=-36=．。

代数式恒等变形A 卷1、假设3265122-+-+=+--x bx a M x x x ，a 、b 是常数，则〔 〕 A 、M 是一个二次多项式 B 、M 是一个一次多项式 C 、6=++b a M D 、10=-+M b a 答案：C解答：由已知等式得：()()6522656512222+---+++-+=+--x x b M x b a M Mx x x x ∴()()b M x b a M Mx x 226522--+++-+= ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=--=++-=1236051b a M b a M M ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==831b a M 提示：利用待定系数法解决问题。

2、〔2002年重庆市初中竞赛题〕假设012192=+-x x ，则=+441xx 〔 〕 A 、411 B 、16121 C 、1689 D 、427答案：C 解答：∵0≠x ∴2191=+x x ，411122=+xx ∴168921122244=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x提示：此题的关键是利用211222-⎪⎭⎫⎝⎛+=+x x x x 进行化简。

3、〔2001年全国初中数学竞赛〕假设143=-x x ，则552128234+--+x x x x 的值是〔 〕 A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 答案：D解答：∵143=-x x∴()()8523252434255212833234=+-+=+--+-=+--+x x x x x x x x x x x x提示：此题利用添项与拆项进行分解整体代入，此题也可以利用已知逐步降次解决问题。

4、〔全国竞赛题〕如果52332412---=----+cc b a b a ，则c b a ++的值是〔 〕A 、6B 、8C 、20D 、24 答案：C解答：∵52332412---=----+cc b a b a ∴()[]()[]()[]053293632142421121=+--+----+---++---c c b b a a∴()()()033212211222=-----+--c b a∴011=--a ，022=--b ，033=--c ∴2=a ，6=b ，12=c ∴20=++c b a提示：此题利用添项构造完全平方式解决问题。

八年级数学竞赛讲座分式的概念、性质及运算附答案第四讲：分式的概念、性质及运算分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容。

从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”。

在脚手架上活动，无疑增加了难点，体现在：解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作，需要灵活处理。

分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具。

分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有：1.化整为零，分组通分；2.步步为营，分步通分；3.减轻负担，先约分再通分；4.裂项相消后通分等。

例题求解例1】要使分式 $\frac{1}{1-x}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是？思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义，由于分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密。

注：在新事物面前，人们往往惯于把它们与原有的、熟知的事物相比，这里蕴涵的思想方法就是类比。

研究分式时，应注意：1) 分式与分数的概念、性质、运算的类比；2) 整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不是分式的特殊情形；3) 分式需要讨论分母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在。

例2】已知 $\frac{3x+4}{x^2-x-2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}$，其中 $A$、$B$ 为常数，则 $4A-B$ 的值为（）。

思路点拨：对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出$A$、$B$ 的值。

例3】计算下列各式：1) $\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a^2+b^2}$；2) $\frac{x^2+yz}{x+(y-z)x-yz^2}+\frac{y^2-zx}{y+(z+x)y+zx^2}+\frac{z^2+xy}{z-(x-y)z-xy^2}$；3) $\frac{x^3-1}{32x+2x^2+2x+1x-2x+2x-1x-1}$；4) $\frac{(y-x)(z-x)(z-y)}{(x-y)(x-z)(y-z)}+\frac{x^3+1}{3^2}-\frac{2(x^2+1)}{2}$。

公式变形与字母系数方程【知识精读】含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。

公式变形实质上是解含有字母系数的方程对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程ax b =型，讨论如下：（1）当a ≠0时，此时方程ax b =为关于x 的一元一次方程，解为：x b a =（2）当a =0时，分以下两种情况：<1>若b =0，原方程变为00x =，为恒等时，此时x 可取任意数，故原方程有无数个解；<2>若b ≠0，原方程变为00x b b =≠()，这是个矛盾等式，故原方程无解。

含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。

下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程【分类解析】1. 求含有字母系数的一元一次方程的解例1. 解关于x 的方程2362ax b bx ac a b -=+≠c () 分析：将x 以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。

解：去分母得：1226ax bc bx ac -=+移项，得1262ax bx bc ac -=+()1262212602126a b x bc aca ba b x bc ac a b-=+≠∴-≠∴=+-2. 求含字母系数的分式方程的解例2. 解关于x 的方程a ax b b bx a x-++=2 分析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。

解：若a 、b 全不为0，去分母整理，得()b a x ab 222-=-对b a 22-是否为0分类讨论：（1）当b a 220-=，即a b =±时，有02⋅=-x ab ，方程无解。

（2）当b a 220-≠，即a b ≠±时，解之，得x ab a b =-2 若a 、b 有一个为0，方程为12x x=，无解 若a 、b 全为0，分母为0，方程无意义检验：当x ab a b=-2时，公分母()()ax b bx a -+≠0，所以当ab a b ≠≠±0，时，x ab a b=-2是原方程的解。

七年级第一讲 有理数（一）一、【能力训练点】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成mn（0,,n m n ≠互质）。

4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。

ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。

二、【典型例题解析】：1． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方2.已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。

3.如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b4.有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c ab c c a a b------中有几个负数？5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，ba，b 的形式，求20062007a b +。

6.三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？7.若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。

第二讲 有理数（二）一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。