中考数学证明角相等

【考点分析】一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

12.两圆的内（外）公切线的长相等。

二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。

而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。

在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。

一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。

例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。

证明∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。

在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。

∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。

2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。

例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。

求证：AE=CE。

证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。

在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。

例3（同例2）.证明∵ FC∥AB（已知），∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。

二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。

例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。

求证：△ABD≌△ACE.证明∵∠1=∠2（已知），∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB = ∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。

例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN，BM=DN。

中考数学复习指导：聚焦中位线定理的运用 1 / 4 聚焦中位线定理的运用

中位线定理是三角形一个重要定理.有一个特点，在同一个题设下有两个结论：一个结论是表明两条线段的位置关系（平行），另一个结论是表明两条线段的数量关系（一半）.在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行，有时需要倍分关系.可以根据具体情况，按需选用.现举例说明中位线定理的运用. 一、用于证明平行 例1 在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD,垂足为D，AE=EC. 求证：DE∥BC.

证明：延长AD交BC于点F. 因为BD平分∠ABC， 所以∠ABD=∠CBD. 因为AD⊥BD, 所以∠BDA=∠BDF=900. 又BD=BD, 所以△BDA≌△BDF(ASA). 所以AD=DF. 又因为AE=EC,所以DE∥FC, 中考数学复习指导：聚焦中位线定理的运用 2 / 4 即DE∥BC（三角形的中位线定理）. 二、用于证明角相等 例2 如图2，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，已知AC=BD,M,N分别是AD、BC的中点，MN与AC、BD分别交于E、F点. 求证：∠AEN=∠BFM.

图24312FEBAPNMCD

分析：可取CD或AB的中点构造中位线. 证明：可取AB的中点P，连接PM、PN. 因为AM=MD,AP=BP,BN=NC, 所以MP BD21,PN AC21(三角形中位线定理). 所以∠1=∠3，∠2=∠4. 又因为AC=BD, 所以MP=NP, ∠3=∠4, 所以∠1=∠2. 所以∠AEN=∠BFM（等角的补角相等）. 三、用于证明线段相等 例3 如图3，△ABC的AB、AC向形外作正三角形ABD和ACE,分别取BD、BC、CE的中点P、M、Q. 中考数学复习指导：聚焦中位线定理的运用 3 / 4 求证：PM=QM.

图3QPMBC

EAD

分析：中点P、M所在线段DB、CB有公共端点B，若连接它们的另一端D、C，则PM使成为△BCD的中位线，同理连接BE之后MQ也成为△BEC的中位线，通过中位线定理的传递，问题转化为证明DC与BE相等. 证明过程由同学们自己完成！ 四、用于证明线段的特殊关系 例4 如图4，已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、AC、BD的中点，且E、F、G、H不在同一条直线上，求证：EF和GH互相平分. 分析：要证明EF和GH互相平分，可证明四边形EGFH是平行四边形；有中点，可考虑利用中位线定理.

【填空题】必考重点09 相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质一直是江苏省各地市考查的重点，难度中等或较难，常作为压轴题考查。

在解相似三角形的判定与性质的有关题目时，首先要求考生掌握证明三角形相似的条件和方法，相似三角形的对应边成比例、对应角相等，对应角平分线、中线、高的比等于相似比，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。

其次要能够运用相似三角形的性质，列出方程，求出相应线段的长度或者探索各线段之间的数量关系。

【2022·江苏苏州·中考母题】如图，在平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，过M ，N 两点作直线，与BC 交于点E ，与AD 交于点F ，连接AE ，CF ，则四边形AEC F 的周长为______．【考点分析】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．【思路分析】根据作图可得MN AC ⊥，且平分AC ，设AC 与MN 的交点为O ，证明四边形AECF 为菱形，根据平行线分线段成比例可得AE 为ABC 的中线，然后勾股定理求得BC ，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得AE 的长，进而根据菱形的性质即可求解．【2022·江苏常州·中考母题】如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =．在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF ，Rt DEF 从起始位置（点D 与点B 重合）平移至终止位置（点E 与点A 重合），且斜边DE 始终在线段AB 上，则Rt ABC △的外部．．被染色的区域面积是______．【考点分析】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．【思路分析】过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如图，需要知道的是Rt ABC 的被染色的区域面积是MNF F S '梯形，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解．【2022·江苏宿迁·中考母题】如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，某一时刻，动点E 从点M 出发，沿MA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动；同时，动点F 从点N 出发，沿NC 方向以每秒1个单位长度的速度向点C 匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF ，过点B 作EF 的垂线，垂足为H ．在这一运动过程中，点H 所经过的路径长是_____．【考点分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及弧长等知识，判断出点H 运动的路径长为PN 长是解答本题的关键．【思路分析】根据题意知EF 在运动中始终与MN 交于点Q ，且AQM FQN ∆∆， :1:2,NQ MQ =点H 在以BQ 为直径的PN 上运动，运动路径长为PN 的长，求出BQ 及PN 的圆角，运用弧长公式进行计算即可得到结果．【2021·江苏镇江·中考母题】如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC ，AB 上，△ADE ∽△ABC ，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，若AM AN ＝12，则ADE ABC S S ＝__．【考点分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．【思路分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出DE BC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．1．（2022·江苏淮安·一模）如图，在正方形ABCD 中，8AB =，点H 在AD 上，且2AH =，点E 绕着点B 旋转，且3BE =，在AE 的上方作正方形AEFG ，则线段FH 的最小值是______．2．（2022·江苏苏州·二模）如图，在ABC 中，2AC =，AB AD CD ==，36BAD ∠=︒，则AD =________．3．（2022·江苏泰州·二模）定义：如果三角形中有两个角的差为90°，则称这个三角形为互融三角形，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB = 4 ，BC = 5 ，点D 是 BC 延长线上一点．若 △ABD 是“互融三角形”，则 CD 的长为________．4．（2022·江苏泰州·二模）如图1，在Rt ABC 中，90B ，BA BC =，D 为AB 的中点，P 为线段AC上一动点，设PC x =，PB PD y +=，图2是y 关于x 的函数图像，且最低点E 的横坐标是AB ＝______．5．（2022·江苏淮安·一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD 和四边形CGFE 的顶点均在格点上，则两个四边形重叠部分（阴影部分）的面积为__________．6．（2022·江苏泰州·一模）如图，直线l 与圆O 相交于A 、B 两点，AC 是圆O 的弦，OC ∥AB ，半径OC 的长为10，弦AB 的长为12，动点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿射线AB 方向运动．当△APC 是直角三角形时，动点P 运动的时间t 为 _____秒．7．（2022·江苏南京·一模）如图，在ABC 中，30B ∠=︒，点D 是AC 上一点，过点D 作∥DE BC 交AB 于点E ，DF AB ∥交BC 于点F ．若5AE =，4CF =，则四边形BFDE 的面积为______．8．（2022·江苏苏州·一模）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，AC与BE交于点F，过点F作FG BC⊥于点G，若23DEEC=，则FGAB的值为______．9．（2022·江苏南京·模拟预测）图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点E，交BC于点F，若BE＝BF＝2，则AD＝_____．10．（2022·江苏扬州·一模）如图，在正方形ABCD中，BE CF=，连接AE、BF交于点H，连接DH并延长交BC于点G，若2AB BH==BG=__________．11．（2022·江苏无锡·一模）如图，在ΔABC中放置5个大小相等的正方形，若BC=12，则每个小正方形的边长为____．12．（2022·江苏苏州·二模）如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =．①以点A 为圆心，以不大于AB 长为半径作弧，分别交边AD ，AB 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，以大于12EF 长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 分别交BD ，BC 于点O ，Q ；②分别以点C ，Q 为圆心，以大于12CQ 长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN 交AP 于点G ，则OG 长为______．13．（2022·江苏泰州·二模）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点E 是△ABC 内部一点（不包括三条边），点F 、G 分别在AC 、AB 边上，且EF ⊥AC ，EG ⊥AB ，垂足分别为F 、G ．点D 是AB 边的中点，连接ED ，若EF ＜EG ，则ED 长的取值范围是_________．14．（2022·江苏常州·二模）如图，正六边形ABCDEF 中，G 是边AF 上的点，113==GF AB ，连接GC ，将GC 绕点C 顺时针旋转60︒得,''G C G C 交DE 于点H ，则线段HG '的长为__________．15．（2022·江苏扬州·二模）如图，在锐角三角形ABC 中，8BC =，4sin 5A =，BN AC ⊥于点N ，CM AB ⊥于点M ，连接MN ，则△AMN 面积的最大值是______．16．（2022·江苏南通·二模）如图，正方形ABCD 的边长为5，E 为AD 的中点，P 为CE 上一动点，则AP BP +的最小值为______．17．（2022·江苏扬州·二模）定义：等腰三角形底边与腰的比叫做顶角α的正对（sad α）．例如，在ABC 中，AB AC =，顶角A 的正对BC sadA AB ==底边腰．当36A ∠=︒时，36sad ︒=______________．（结果保留根号）18．（2022·江苏盐城·一模）如图，DE 是△ABC 的中位线，F 为DE 中点，连接AF 并延长交BC 于点G ，若2EFG S =△，则ABC S =___________．19．（2022·江苏无锡·一模）如图，点P 为线段AB 上一点，3AB =，2AP =，过点B 作任意一直线l ，点P关于直线l 的对称点为Q ，将点P 绕点Q 顺时针旋转90︒到点R ，连接PQ 、RQ 、AR 、BR ，则线段AR 长度的最大值为________．20．（2022·江苏盐城·一模）如图，在Rt ABC 中，CD 为斜边AB 的中线，过点D 作DE AC ⊥于点E ，延长DE 至点F ，使EF DE =，连接,AF CF ，点G 在线段CF 上，连接EG ，且180,2,3CDE EGC FG GC ∠+∠=︒==．下列结论：①12DE BC =；②四边形DBCF 是平行四边形；③EF EG =；④BC =______．（填序号）21．（2022·江苏连云港·一模）如图，以AB 为直径的半圆O 内有一条弦AC ，P 是弦AC 上一个动点，连接BP ，并延长交半圆O 于点D ．若5AB =，4AC =，则DP BP 的最大值是________．22．（2022·江苏·扬州市邗江区梅苑双语学校一模）如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，BF ，CE 交于点M ，若三角形BEM 的面积为1，则四边形AEMF 的面积为________．23．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点F ，连接CF．若AE⊥BD，则CF的长为_____．24．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，矩形ABCD中，2BC=，E在边BC上运动，M、N在AB=，4+的最小值为______．对角线BD上运动，且25．（2022·江苏·连云港市新海初级中学一模）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E在边BC上，且BE∶EC=2∶1，动点P从点C出发，沿CD运动到点D停止，过点E作EF⊥PE交矩形ABCD的边于F，若线段EF的中点为M，则点P从C运动到D的过程中，点M运动的路线长为_______．【填空题】必考重点09 相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质一直是江苏省各地市考查的重点，难度中等或较难，常作为压轴题考查。

考点11 三角形与全等三角形【命题趋势】三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础，全等三角形也是几何问题中证明线段相等或者角相等的常用关系。

所以，在中考中，考察的几率也是比较大。

但是因为该考点与其他几何考点的融入性特别多，所以不会再过多的单独考察，很多城市基本都是融合考察，不再单独出题。

【中考考查重点】一、三角形的三边关系二、三角形的内角和定理及其外角定理三、三角形中的重要线段四、全等三角形的性质与判定考向一：三角形的三边关系三角形三边关系的定理及其推论1．若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1B．2C．4D．8【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，即符合的只有4，故选：C．2．三个数3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为．【分析】由三个数的大小关系初步确定a的取值范围a＜﹣2；再由三角形三边关系得到3+（1﹣a）＞1﹣2a，从而求出a的取值范围．【解答】解：∵3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，∴3＜1﹣a＜1﹣2a，∴a＜﹣2，∵这三个数为边长能构成三角形，∴3+（1﹣a）＞1﹣2a，∴a＞﹣3，∴﹣3＜a＜﹣2，故答案为﹣3＜a＜﹣2．考向二：三角形的内角和定理及其外角定理角的定义、性质及其他相关：三角形内角和定理三角形的内角和等于180°三角形外角的推论三角形的一个外角=和它不相邻的两个内角的和【方法提炼】➢三角形内角和与外角定理是几何图形求解角度时常用的等量关系；即使是其他多边形，也常转化为三角形求角度【同步练习】1．在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（）A．32°B．36°C．40°D．128°【分析】由三角形的内角和定理可得：∠A+∠B+∠C＝180°，再结合所给的条件，可得5∠C＝160°，从而可求解．【解答】解：∵∠A＝20°，∠B＝4∠C，∴在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，20°+4∠C+∠C＝180°，5∠C＝160°，∠C＝32°．故选：A．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B 的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】利用平角的定义可得∠ADE＝20°，再根据平行线的性质知∠A＝∠ADE＝20°，再由内角和定理可得答案．【解答】解：∵∠CDE＝160°，∴∠ADE＝20°，∵DE∥AB，∴∠A＝∠ADE＝20°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣90°＝70°．故选：D．3．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为度．【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．【解答】解：分两种情况：①如图1，当∠ADC＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；②如图2，当∠ACD＝90°时，∵∠A＝50°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，综上，则∠BCD的度数为60°或10°；故答案为：60或10；4．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为（）A．60°B．70°C．75°D．85°【分析】由三角形的内角和定理，可得∠1＝180﹣（∠B+∠ADB），∠ADB＝∠A+∠C，所以∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C），由此解答即可．【解答】解：∵∠1＝180﹣（∠B+∠ADB），∠ADB＝∠A+∠C，∴∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C）＝180°﹣（25°+35°+50°）＝180°﹣110°＝70°，故选：B．5．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5C．∠A+∠B＝∠CD．一个外角等于和它相邻的一个内角【解答】解：A．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴三角形中最大角∠C ＝×180°＝75°＜90°，∴满足条件的三角形为锐角三角形，选项A符合题意；B．∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴三角形中最大角∠C ＝×180°＝90°，∴满足条件的三角形为直角三角形，选项B不符合题意；C．∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴三角形中最大角∠C ＝×180°＝90°，∴满足条件的三角形为直角三角形，选项C不符合题意；D．∵一个外角等于和它相邻的一个内角，∴该内角＝×180°＝90°，∴满足条件的三角形为直角三角形，选项D不符合题意．故选：A．考向三：三角形中重要的线一．三角形的分类按角分类锐角三角形（三个内角都是锐角）直角三角形（有一个内角是直角）钝角三角形（有一个内角是钝角）按边分类非等边三角形（三边均不相等）等腰三角形普通等腰三角形（有两边长相等）等边三角形（三边长均相等）二．三角形中的重要线段∠CAD ∠BACEC=½BC∠AFC=90°½BC【方法提炼】三角形中“三线”的常见作用及其辅助线：（一）.中线常见“用途”：平分线段、平分面积；辅助线类型：倍长中线造全等—→延伸：倍长中线类模型；（二）高线常见“用途”：求面积（等积法）、求角度（余角）；辅助线类型：见特殊角做⊥，构特殊直角△、见等腰做底边上高线，构三线合一；（三）角平分线常见“用途”：得角相等（定义）、得线段相等（性质）、SAS证全等、知2得1等；辅助线类型：见角平分线作双垂、见角平分线作对称、截长补短构全等、见角平分线＋垂直，延长出等腰；（四）中垂线常见“用途”：平分线段、得90°、证全等、求新形成三角形周长等；辅助线类型：连接两点由△的三线组成的几个“心”：△三边中线交点—→重心—→性质：△的重心到一中线中点的距离=重心到这条中线定点距离的一半；△三条角平分线交点—→内心—→性质：△的内心到△三边的距离（垂线段）相等；△三边中垂线交点—→外心—→性质：△的外心到△三个顶点的距离（连接）相等；【同步练习】1．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，则△BEF的面积是（）A．2B．4C．6D．8【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则S△ABD＝S△ACD＝12，再求出S△EBD＝6，S△ECD＝6，然后利用F点为CE的中点得到S△BEF＝S△EBC．【解答】解：∵D点为BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×24＝12，∵E点为AD的中点，∴S△EBD＝S△ABD＝6，S△ECD＝S△ACD＝6，∴S△EBC＝S△EBD+S△ECD＝6+6＝12，∵F点为CE的中点，∴S△BEF＝S△EBC＝×12＝6．故选：C．2．下列图形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．【解答】解：三角形具有稳定性．故选：A．3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．8B．7.5C．15D．无法确定【分析】过D点作DE⊥BC于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DA＝3，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA＝3，∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．故选：B．4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，则AD+DB 的长为．【分析】先根据D是BC的中点得出CD＝DB＝BC＝3，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AD＝2CD＝6，进而求出AD+DB的长．【解答】解：∵D是BC的中点，BC＝6，∴CD＝DB＝BC＝3．∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝6，∴AD+DB＝6+3＝9．故答案为：9．5．如图，BD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，BD交AE于F，若∠BAC＝44°，∠C＝80°，求∠BEF和∠AFD的度数．【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义解答即可．【解答】解：∵BD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝44°，∠C＝80°，∴∠ADB＝90°，∠BAE＝∠EAD＝22°，∴∠CBA＝180°﹣44°﹣80°＝56°，∴∠BEF＝180°﹣22°﹣56°＝102°，∠AFD＝180°﹣90°﹣22°＝68°．考向四：全等三角形的性质和判定一．全等三角形的性质性质对应边相等，对应角相等推论全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应边上的高线相等，对应角的角平分线相等所有三角形SSS 、SAS 、ASA 、AAS直角三角形HL【方法提炼】➢证三角形全等的基本步骤：①准备条件；②罗列条件；③得出结论。

中考数学一轮复习专题解析—相似三角形复习目标1.了解相似图形和相似三角形的概念。

2.掌握三角形相似的判定方法和性质并学会运用。

考点梳理一、相似图形1.形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.2.比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=． 注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位． 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． 3. 比例的性质基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b ad b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=． 合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． 等比性质： 如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．4.比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．5.黄金分割把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB 例1．如果0ab cd =≠，则下列正确的是（ ）A ．::a c b d =B ．::a d c b =C ．::a b c d =D ．::d c b a = 【答案】B【分析】根据比例的基本性质，列出比例式即可．【详解】解：∵0ab cd =≠，∵::a d c b =，故选：B ．例2．两个相似多边形的一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，那么它们的相似比为（ ）A ．23B C ．49 D ．94【答案】A【分析】根据相似多边形的性质求解即可；【详解】两个相似多边形一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，∵它们的相似比为：6293=．故选A ．二、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∵”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：∵对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．∵顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．∵两个三角形形状一样，但大小不一定一样．∵全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．三、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∵ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∵'''C B A ∆，则'''C B A ∆∵ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∵C B A '∆''，且C B A '∆''∵C B A ''''''∆，则ABC ∆∵C B A ''''''∆．四、相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：五、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

中考数学证明题第一篇：中考数学证明题中考数学证明题o是已知线段ab上的一点，以ob为半径的圆o交ab于点c，以线段ao为直径的半圆圆o于点d，过点b作ab的垂线与ad的延长线交于点e(1)说明ae切圆o于点d(2)当点o位于线段ab何处时，△odc恰好是等边三角形〉说明理由答案：一题：显然三角形doe是等边三角形：理由：首先能确定o为圆心然后在三角形obd中：bo=od，再因角b为60度，所以三角形obd为等边三角形;同理证明三角形oce为等边三角形从而得到：角bod=角eoc=60度，推出角doe=60度再因为od=oe，三角形doe为等腰三角形，结合上面角doe=60度，得出结论：三角形doe为等边三角形第三题没作思考，有事了，改天再解二题：要证明三角形ode为等边三角形，其实还是要证明角doe=60度，因为我们知道三角形ode是等腰三角形。

此时，不妨设角abc=x度，角acb=y度，不难发现，x+y=120度。

此时我们要明确三个等腰三角形：ode;bod;oce此时在我们在三角形bod中，由于角obd=角odb=x度从而得出角bod=180-2x同理在三角形oce中得出角eoc=180-2y则角bod+角eoc=180-2x+180-2y，整理得：360-2(x+y)把x+y=120代入，得120度。

由于角eoc+角bod=120度，所以角doe就为60度。

外加三角形doe本身为等腰三角形，所以三角形doe为等边三角形!图片发不上来，看参考资料里的1如图，ab⊥bc于b，ef⊥ac于g，df⊥ac于d，bc=df。

求证：ac=ef。

2已知ac平分角bad，ce垂直ab于e，cf垂直ad于f，且bc=cd(1)求证：△bce全等△dcf3.如图所示，过三角形abc的顶点a分别作两底角角b和角c的平分线的垂线，ad垂直于bd于d，ae垂直于ce于e，求证：ed||bc.4.已知，如图，pb、pc分别是△abc的外角平分线，且相交于点p。

热点06 三角形与全等三角形三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础，全等三角形也是几何问题中证明线段相等或者角相等的常用关系。

所以，在中考中，考察的几率也是比较大。

在考察题型上，三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和定理、“三线”基本性质等，全等三角形考点，考题形式选择填空均有，个别以简答题形式出现考察其性质与判定的简单应用。

而且，因为该考点与其他几何考点的融入性特别多，所以还有作为几何综合问题的考点之一来综合考察。

1.三角形基本性质：分类记忆，边、角、线；有关三角形的基本性质，主要从以下几个方向考察：①边的角度——三边关系——三角形两边之和大于第三边；②角的角度——三角形内角和定理——三个内角之和=180°（外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和）；③三线的角度——高线、中线、角平分线2.应用方面抓实质——当问题已知条件中出现什么概念，立马想找个概念对应的性质；不仅仅是三角形的基本性质，其他几何图形也一样，概念决定性质，性质决定应用。

应用时用不上怎么办？添加对应的辅助线，使对应概念的性质可以应用。

3.全等三角形：根据不同条件选择合适的判定方法，判定和性质通常都是同步考察的；全等三角形的问题，简单问题直接选择合适的方法判定或者应用；复杂的问题中，证出两个三角形是全等三角形之后，通常要接着用全等三角形的对应边或者对应角相等来解决后续问题。

所以，有时候问题中并没有让判定两个三角形全等，但是我们需要通常“三角形全等的证明”间接得到所需要的边相等或角相等。

三角形常考热点考点有：三角形三边关系、内角和定理、外角定理、中线高线角平分线的应用、全等三角形的性质与判定等。

大多数是数学问题的直接考察，个别时候会需要我们把生活实例中的某个物体抽象出数学模型，之后根据其性质对应计算或应用。

A卷（建议用时：50分钟）1．（2021•宜宾·中考真题）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1B．2C．4D．8【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，即符合的只有4，故选：C．2．（2021•梧州·中考真题）在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（）A．32°B．36°C．40°D．128°【分析】由三角形的内角和定理可得：∠A+∠B+∠C＝180°，再结合所给的条件，可得5∠C＝160°，从而可求解．【解答】解：∵∠A＝20°，∠B＝4∠C，∴在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，20°+4∠C+∠C＝180°，5∠C＝160°，∠C＝32°．故选：A．3．（2021•湖北·中考真题）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】利用平角的定义可得∠ADE＝20°，再根据平行线的性质知∠A＝∠ADE＝20°，再由内角和定理可得答案．【解答】解：∵∠CDE＝160°，∴∠ADE＝20°，∵DE∥AB，∴∠A＝∠ADE＝20°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣90°＝70°．故选：D．4．（2021•本溪·中考真题）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．80°B．95°C．100°D．110°【分析】根据直角三角形的性质求出∠5，根据三角形的外角性质求出∠3，根据对顶角相等求出∠4，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：如图，∠5＝90°﹣30°＝60°，∠3＝∠1﹣45°＝35°，∴∠4＝∠3＝35°，∴∠2＝∠4+∠5＝95°，故选：B．5．（2021•哈尔滨·中考真题）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（）A．30°B．25°C．35°D．65°【分析】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF 的度数．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，∵∠BCE＝65°，∴∠ACD＝∠BCE＝65°，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF+∠ACD＝90°，∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，故选：B．6．（2021•盐城·中考真题）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB 的两边OA、OB上分别截取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．这里构造全等三角形的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】根据全等三角形的判定定理SSS推出△COM≌△DOM，根据全等三角形的性质得出∠COM＝∠DOM，根据角平分线的定义得出答案即可．【解答】解：在△COM和△DOM中，所以△COM≌△DOM（SSS），所以∠COM＝∠DOM，即OM是∠AOB的平分线，故选：D．7．（2021•攀枝花·中考真题）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（）去最省事．A．①B．②C．③D．①③【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带③去．【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是带③去．故选：C．8．（2021•青海·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．8B．7.5C．15D．无法确定【分析】过D点作DE⊥BC于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DA＝3，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA＝3，∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．故选：B．9．（2021•宁夏·中考真题）如图，在▱ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AG＝BG，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设BG＝x，则DG＝8﹣x，由作图可知：EF是线段AB的垂直平分线，∴AG＝BG＝x，在Rt△DAG中，AD2+AG2＝DG2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，即AG＝3，故选：B．10．（2021•安徽·中考真题）在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（）A．CD＝2ME B．ME∥AB C．BD＝CD D．ME＝MD【分析】根据题意作出图形，可知点A，C，D，B四点共圆，再结合点M是中点，可得DM⊥BC，又CE⊥AD，BD⊥AD，可得△CEM≌△BFM，可得EM＝FM＝DM，延长DM交AB于点N，可得MN是△ACB的中位线，再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得DN＝AN，得到角之间的关系，可得ME∥AB．【解答】解：根据题意可作出图形，如图所示，并延长EM交BD于点F，延长DM交AB于点N，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，由此可得点A，C，D，B四点共圆，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∴CD＝DB，（故选项C正确）∵点M是BC的中点，∴DM⊥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC∥DN，∴点N是线段AB的中点，∴AN＝DN，∴∠DAB＝∠ADN，∵CE⊥AD，BD⊥AD，∴CE∥BD，∴∠ECM＝∠FBM，∠CEM＝∠BFM，∵点M是BC的中点，∴CM＝BM，∴△CEM≌△BFM（AAS），∴EM＝FM，∠CEM＝∠BFM，∴点M是EF的中点，CE∥BF，∴∠EDF＝∠CED＝90°，∴EM＝FM＝DM（故选项D正确），∴∠DEM＝∠MDE＝∠DAB，∴EM∥AB（故选项B正确），综上，可知选项A的结论不正确．故选：A．11．（2021•雅安·中考真题）如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G．若BC：EC ＝3：1．S△ADG＝16．则S△CEG的值为（）A．2B．4C．6D．8【分析】根据平移的性质得出AD＝BE，进而得出BE：EC＝2：1，利用三角形面积之比解答即可．【解答】解：由平移性质可得，AD∥BE，AD＝BE，∴△ADG∽△CEG，∵BC：EC＝3：1，∴BE：EC＝2：1，∴AD：EC＝2：1，∴＝4，∵S△ADG＝16，∴S△CEG＝4，故选：B．12．（2021•鄂州·中考真题）如图，四边形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥BD于点D．若BD ＝2，CD＝4，则线段AB的长为．【分析】过点C作CE⊥CD交AD于E，判断出∠ACE＝∠BCD，进而利用AAS判断出△ACE≌△BCD，得出AE＝BD＝2，CE＝CD，进而利用勾股定理求出DE＝8，即AD＝10，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】解：如图，过点C作CE⊥CD交AD于E，∴∠ECD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ECD，∴∠ACB﹣∠BCE＝∠ECD﹣∠BCE，∴∠ACE＝∠BCD，∵AC＝BC，BC与AD的交点记作点F，∵∠ACB＝90°，∴∠AFC+∠CAE＝90°，∵∠AFC＝∠DFB，∴∠DFB+∠CAE＝90°，∵∠ADB＝90°，∴∠DFB+∠CBD＝90°，∴∠CAE＝∠CBD，∴△ACE≌△BCD（AAS），∴AE＝BD，CE＝CD，在Rt△DCE中，CE＝CD＝4，∴DE＝CD＝＝8，∵BD＝2，∴AE＝2，∴AD＝AE+DE＝2+8＝10，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AB＝＝＝2，故答案为．13．（2021•兰州·中考真题）如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF．求证：AC＝DF．【分析】根据平行线的性质得到∠ABC＝∠DEF．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：∵AB∥ED，∴∠ABC＝∠DEF．在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．∴AC＝DF．14．（2021•南京·中考真题）如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F．（1）求证△AOB≌△DOC；（2）若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的长．【分析】（1）由AAS证明△AOB≌△DOC即可；（2）由全等三角形的性质得AB＝DC＝2，再证△BCD∽△BEF，得＝，即可求解．【解答】（1）证明：在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（AAS）；（2）解：由（1）得：△AOB≌△DOC，∴AB＝DC＝2，∵BC＝3，CE＝1，∴BE＝BC+CE＝4，∵EF∥CD，∴△BCD∽△BEF，∴＝，即＝，解得：EF＝．15．（2021•河池·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D，E分别是AB，BC 边上的动点，以BD为直径的⊙O交BC于点F．（1）当AD＝DF时，求证：△CAD≌△CFD；（2）当△CED是等腰三角形且△DEB是直角三角形时，求AD的长．【分析】（1）因为BD是⊙O的直径，所以∠DFB＝90°，利用“HL“证明Rt△CAD≌Rt△CFD；（2）因为△CED为等腰三角形，故每一条边都可能是底边，可以分三类讨论，由于△DEB是直角三角形，所以D和F都可能为直角顶点，故需要分两类讨论，我们选择按照D和F为直角顶点分两类讨论更简单，当∠EDB＝90°时，∠DEB＜90°，∠CED是钝角，所以此时只能构造EC＝ED的等腰三角形，故取点D使CD平分∠ACB，作DE⊥AB交BC于E，可以证明DE＝DC，且DE∥AC，得到△BDE∽△BAC，设DE＝DC＝x，利用相似三角形对应边成比例，列出方程并求解，即可解决，当∠DEB＝90°时，如图2，则∠AED＝90°，若△CED为等腰三角形，则∠ECD＝∠EDC＝45°，即EC＝DC，可以利用三角函数或相似来求AD的长度．【解答】证明：（1）∵BD为⊙O直径，∴∠DFB＝90°，在Rt△ACD与Rt△FCD中，，∴Rt△ACD≌Rt△FCD（HL），解：（2）∵△DEB是直角三角形，且∠B＜90°，∴直角顶点只能是D点和E点，①若∠EDB＝90°，如图1，在AB上取点D，使CD平分∠ACB，过D作DE⊥AB交BC于E，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，∵∠CAB＝∠EDB＝90°，∴AC∥DE，∴∠ACD＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE，此时△ECD为E为顶角顶点的等腰三角形，△DEB是以D为直角顶点的直角三角形，设CE＝DE＝x，在直角△ABC中，BC＝＝5，∴BE＝5﹣x，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴，∴x＝，∴，∵DE∥AC，∴，∴，∴AD＝，②若∠DEB＝90°，如图2，则∠CED＝90°，∵△CED为等腰三角形，∴∠ECD＝∠EDC＝45°，∴可设CE＝DE＝y，∵tan∠B＝＝，∴tan∠B＝＝，∴，∴BC＝CE+EB＝5，∴y+＝5，∴，∴CE＝DE＝，∴BD＝＝＝，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣＝，∴AD的长为或．B卷（建议用时：80分钟）1．（2021•绥化·中考真题）下列命题是假命题的是（）A．任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边B．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【分析】利用三角形的三边关系、三角形的中位线定理、平行线的性质及平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边，正确，是真命题，不符合题意；B、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，正确，是真命题，不符合题意；C、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等或互补，故原命题错误，是假命题，符合题意；D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，不符合题意，故选：C．2．（2021•淮安·中考真题）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是．【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值．【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，4﹣1＜a＜4+1，即3＜a＜5，又∵第三边的长是偶数，∴a为4．故答案为：4．3．（2021•宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据角平分线定义求出∠ABD，根据平行线的性质得出∠BDE＝∠ABD即可．【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝80°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝40°，∵DE∥AB，∴∠BDE＝∠ABD＝40°，故选：B．4．（2021•乐山·中考真题）如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为（）A．120°B．130°C．140°D．150°【分析】先求出α的对顶角等于50°，再根据三角形的外角性质求出β的度数．【解答】解：如图，根据对顶角相等得：∠1＝∠α＝50°，∵l1⊥l3，∴∠2＝90°．∵∠β是三角形的外角，∴∠β＝∠1+∠2＝50°+90°＝140°，故选：C．5．（2021•台湾·中考真题）已知△ABC与△DEF全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AC 上，B、F、C、D四点共线，如图所示．若∠A＝40°，∠CED＝35°，则下列叙述何者正确？（）A．EF＝EC，AE＝FC B．EF＝EC，AE≠FCC．EF≠EC，AE＝FC D．EF≠EC，AE≠FC【分析】由△ABC与△DEF全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，可得∠A＝∠D＝40°，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，可得EF＝EC；∠CED＝35°，∠D＝40°可得∠D＞∠CED，由大角对大边可得CE ＞CD；利用AC＝DF，可得AC﹣CE＜DF﹣CD，即AE＜FC，由上可得正确选项．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D＝40°，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，∵∠ACB＝∠DFE，∴EF＝EC．∵∠CED＝35°，∠D＝40°，∴∠D＞∠CED．∴CE＞CD．∵AC＝DF，∴AC﹣CE＜DF﹣CD，即AE＜FC．∴AE≠FC．∴EF＝EC，AE≠FC．故选：B．6．（2021•齐齐哈尔·中考真题）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）【分析】利用∠1＝∠2得到∠BAC＝∠EAD，由于AC＝AD，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，即∠BAC＝∠EAD，∵AC＝AD，∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．故答案为∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．7．（2021•陕西·中考真题）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（）A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm【分析】过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，由等腰三角形的性质得到AM＝CM＝3，CN＝EN，根据全等三角形判定证得△BCM≌△CDN，得到BM＝CN，在Rt△BCM中，根据勾股定理求出BM ＝4，进而求出．【解答】解：由题意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，AC＝6cm，过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，则∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝AC＝×6＝3，CN＝EN，∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，∴∠CBM＝∠DCN，在△BCM和△CDN中，，∴△BCM≌△CDN（AAS），∴BM＝CN，在Rt△BCM中，∵BC＝5，CM＝3，∴BM＝＝＝4，∴CN＝4，∴CE＝2CN＝2×4＝8，故选：D．8．（2021•泰州·中考真题）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是．【分析】有中点一般思考中线或者中位线，本题借助三角形中位线求解．【解答】解：作ME⊥PN，如图所示，∵P，M，N分别是AD，BD，AC中点，∴PM＝AB＝2，PN＝CD＝2，∴S△PMN＝＝ME，∵AB与CD不平行，∴M，N不能重合，∴ME＞0∵ME≤MP＝2∴0＜S△≤2．故答案是：0＜S≤2．9．（2021•威海·中考真题）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．BF2＝CF•AC【分析】根据题意得出∠DAC＝∠EAB，用边角边定理证明△DAC≌△EAB，从而得出∠ADC＝∠AEB；根据平分线的性质得出角之间的关系：∠DCA＝∠EBA＝36°＝∠CAB＝36°，再根据平行线的判定可得出CD∥AB；先假设DE＝GE，根据等边对等角及三角形的内角和推出各角之间的关系，得到∠AEG≠∠EAB+∠ABE 与三角形的外角性质产生矛盾，从而推出假设不成立；【解答】解：①∵∠CAB＝∠DAE＝36°，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠DAE﹣∠CAE，即∠DAC＝∠EAB，在△DAC和△EAB中有：，∴△DAC≌△EAB（SAS），∴∠ADC＝∠AEB，故A选项不符合题意；②∵∠CAB＝∠DAE＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝36°，由①可知∠DCA＝∠EBA＝36°，∠CAB＝36°，∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行），故B选项不符合题意；③假设DE＝GE，则∠DGE＝∠ADE＝72°，∠DEG＝180°﹣2×72°＝36°，∴∠AEG＝∠AED﹣∠DEG＝72°﹣36°＝36°，∵∠ABE＝36°，∠AEG是△ABE的一个外角，∴∠AEG＝∠EAB+∠ABE而事实上∠AEG≠∠EAB+∠ABE，∴假设不成立，故C选项符合题意；④∵∠F AB＝∠FBA＝36°，∴∠AFB＝180°﹣2×36°＝108°，∴在△AFB中有＝，∵∠CBF＝36°，∠FCB＝72°，∴∠BFC＝72°，∴在△BFC中有：＝，∴＝，即BF2＝AB•CF，∵AB＝AC，∴BF2＝AC•CF，故D选项不符合题意．故选：C．10．（2021•日照·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s 的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D 运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为2或时，△ABP与△PCQ全等．【分析】可分两种情况：①△ABP≌△PCQ得到BP＝CQ，AB＝PC，②△ABP≌△QCP得到BA＝CQ，PB＝PC，然后分别计算出t的值，进而得到v的值．【解答】解：①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，∵AB＝8cm，∴PC＝8cm，∴BP＝12﹣8＝4（cm），∴2t＝4，解得：t＝2，∴CQ＝BP＝4cm，∴v×2＝4，解得：v＝2；②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，∵PB＝PC，∴BP＝PC＝6cm，∴2t＝6，解得：t＝3，∵CQ＝AB＝8cm，∴v×3＝8，解得：v＝，综上所述，当v＝2或时，△ABP与△PQC全等，故答案为：2或．11．（2021•绍兴·中考真题）已知△ABC与△ABD在同一平面内，点C，D不重合，∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2，则CD长为．【分析】分C，D在AB的同侧或异侧两种情形，分别求解，注意共有四种情形．【解答】解：如图，当C，D同侧时，过点A作AE⊥CD于E．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝4，∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝2，∵AD＝AC＝2，∴DE＝＝2，EC＝＝2，∴DE＝EC＝AE，∴△ADC是等腰直角三角形，∴CD＝4，当C，D异侧时，过C′作C′H⊥CD于H，∵△BCC′是等边三角形，BC＝BE﹣EC＝2﹣2，∴CH＝BH＝﹣1，C′H＝CH＝3﹣，在Rt△DC′H中，DC′＝＝＝2，∵△DBD′是等边三角形，∴DD′＝2+2，∴CD的长为2±2或4或2．故答案为：2±2或4或2．12．（2021•达州·中考真题）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为．【分析】由“SAS”可证△ABE≌△ACF，可得∠ABE＝∠CAF，可求∠APB＝120°，过点A，点P，点B作⊙O，则点P在上运动，利用锐角三角函数可求CO，AO的长，即可求解．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ACB＝60°，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴∠ABE＝∠CAF，∴∠BPF＝∠P AB+∠ABP＝∠CAP+∠BAP＝60°，∴∠APB＝120°，如图，过点A，点P，点B作⊙O，连接CO，PO，∴点P在上运动，∵AO＝OP＝OB，∴∠OAP＝∠OP A，∠OPB＝∠OBP，∠OAB＝∠OBA，∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OP A﹣∠OPB﹣∠OBP＝120°，∴∠OAB＝30°，∴∠CAO＝90°，∵AC＝BC，OA＝OB，∴CO垂直平分AB，∴∠ACO＝30°，∴cos∠ACO＝，CO＝2AO，∴CO＝4，∴AO＝2，在△CPO中，CP≥CO﹣OP，∴当点P在CO上时，CP有最小值，∴CP的最小值＝4﹣2＝2，故答案为2．13．（2021•长沙·中考真题）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE ＝CA，连接AE．（1）求证：∠B＝∠ACB；（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．【分析】（1）证明AD是BC的中垂线，即可求解；（2）利用勾股定理分别计算出BD和AE即可求出△ABE的周长和面积．【解答】解：（1）证明：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的中垂线，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB；（2）在Rt△ADB中，BD＝＝＝3，∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，在Rt△ADE中，AE＝＝＝4，∴C△ABE＝AB+BE+AE＝5+11+4＝16+4，S△ABE＝＝＝22．14．（2021•黄石·中考真题）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．【分析】（1）利用角角边定理判定即可；（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB﹣AD即可得出结论．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．（2）∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝4．∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．15．（2021•湘潭·中考真题）如图，矩形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上．（1）证明：△AEF≌△CEF；（2）若AB＝，求折痕AE的长度．【分析】（1）由折叠性质得到，∠AFE＝∠B＝90°，由点B恰好落在对角线AC的中点F上可得AF＝CF，根据邻补角的定义得到∠CFE＝90°，即可根据SAS判定△AEF≌△CEF；（2）由（1）得∠EAF＝∠ECF，由折叠性质得到∠BAE＝∠EAF，根据直角三角形的两锐角互余求出∠BAE＝30°，再解直角三角形求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上，∴∠AFE＝∠B＝90°，AF＝CF，∵∠AFE+∠CFE＝180°，∴∠CFE＝180°﹣∠AFE＝90°，在△AEF和△CEF中，，∴△AEF≌△CEF（SAS）．（2）解：由（1）知，△AEF≌△CEF，∴∠EAF＝∠ECF，由折叠性质得，∠BAE＝∠EAF，∴∠BAE＝∠EAF＝∠ECF，∵∠B＝90°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，∴3∠BAE＝90°，∴∠BAE＝30°，在Rt△ABE中，AB＝，∠B＝90°，∴AE＝＝＝2．16．（2021•威海·中考真题）（1）已知△ABC，△ADE如图①摆放，点B，C，D在同一条直线上，∠BAC ＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°．连接BE，过点A作AF⊥BD，垂足为点F，直线AF交BE于点G．求证：BG＝EG．（2）已知△ABC，△ADE如图②摆放，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°．连接BE，CD，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，直线AF交CD于点G．求的值．【分析】（1）连接EC，根据题意易推出∠BAD＝∠CAE，从而证明△BAD≌△CAE，得到AF∥CE，再利用平行线分线段成比例的性质求解即可．（2）作相关辅助线构造直角三角形△DGM和△CGN，先由角之间的互余关系推出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据等角的正弦值相等得出边之间的关系DM＝CN，从而证明△DGM≌△CGN，利用全等三角形的性质求解即可．【解答】（1）证明：如图，连接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°，∴△ABC和△ADE为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠ACB+∠ACE＝90°，则CE⊥BD，∵AF⊥BD，∴AF∥CE，BF＝FC，∴＝＝1，∴BG＝EG．（2）解：如图，过点D作DM⊥AG，垂足为点M，过点C作CN⊥AG，交AG的延长线于点N，在△ABC和△AED中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°，设AE＝a，AB＝b，则AD＝a，AC＝b，∵∠1+∠EAF＝90°，∠2+∠EAF＝90°，∴∠1＝∠2，∴sin∠1＝sin∠2，∴＝，即＝＝＝，同理可证∠3＝∠4，＝＝，∴＝，∴DM＝CN，在△DGM和△CGN中，有：，∴△DGM≌△CGN（AAS），∴DG＝CG，∴＝1．。

2019-2020年九年级中考数学复习讲义：三角形全等证明经典45题——（学生）1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，且AD是整数，求AD2.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠24.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=ACABC DEF21BACDF21E5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE7. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

8.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠CDCB A F E9. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C10. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-ABP DACB11. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE12. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DCFAED C B14．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA15．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．PCEDBA16．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B17．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．DC BA18．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，19．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．OEDCBAFEDC B A20、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

三角形考点解读1、了解三角形的有关概念，并探索其性质。

会证三角形全等2、能运用有关三角形的知识解决问题。

3、重点、易错点分析：4、通过证明线段或角相等来考虑三角形的性质和判定；运用勾股定理解决实际问题，三角形中重要线段的性质和判定。

确定边长的取值范围时，容易忽略是不是能构成三角形；等腰三角形注意解的不唯一性。

考题解析1．如图，已知△ABC，AB=AC，∠A=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E、F．给出以下四个结论：①AE=CF；②EF=AP；③△EPF是等腰直角三角形；=S△ABC④S四边形AEPF上述结论始终正确的有（）A．①②③B．①③C．①③④D．①②③④【考点】KY：三角形综合题．【分析】连接AP，判断出△APE≌△CPF，可得①③结论正确，同理证明△APF ≌△BPE，即可得到④正确；【解答】解：连接AP，EF，∵AB=AC，∠A=90°，∴AP⊥BC，∴∠APC=90°，∴∠APF +∠CPF=90°，∵∠EPF=∠APE +∠APF=90°，∴∠APE=∠CPF ，在等腰直角三角形ABC 中，AP ⊥BC ，∴∠BAP=∠CAP=∠C=45°，AP=CP ，在△APE 和△CPF 中， ∴△APE ≌△CPF ，∴S △APE =S △CPF ，AE=CF ，PE=PF ，∵∠EPF=90°，∴△EPF 是等腰直角三角形；即：①③正确；同理：△APF ≌△BPE ，∴S △APF =S △BPE ，∴S 四边形AEPF =S △APE +S △APF =S △ABC ，即：④正确；∵△△EPF 是等腰直角三角形，∴EF=PE ，当PE ⊥AB 时，AP=EF ，而PE 不一定垂直于AB ， ∴AP 不一定等于EF ，∴②错误；故选C ．2．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 边上运动（点E 不与点A 、C 重合），且保持AE=CF ，连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF 不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C、E、D、F四点在同一个圆上，且该圆的面积最小为4π．其中错误结论的个数是（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】KY：三角形综合题．【分析】①正确．连接CD．只要证明△ADE≌△CDF（SAS），即可解决问题．②错误．当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CEDF为正方形．=××4×4=4，为定值．③错误．四边形CEDF的面积=S△ABC④错误．以EF为直径的圆的面积的最小值=π•（•2）2=2π．【解答】解：连接CD，如图1，∵∠C=90°，AC=BC=4，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，∵D为AB的中点，∴CD⊥AB，CD=AD=BD，∴∠DCB=∠B=45°，∴∠A=∠DCF，在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴ED=DF，∠CDF=∠ADE，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=90°，即∠EDF=90°，∴△DFE是等腰直角三角形，所以①正确；当E、F分别为AC、BC中点时，如图2，则AE=CE=CF=BF，DE=AE=CE，∴CE=CF=DE=DF，而∠ECF=90°，∴四边形CDFE是正方形，所以②错误；∵△ADE≌△CDF，∴S△ADE=S△CDF，∴S四边形CEDF =S△CDE+S△CDF=S△CDE+S△ADE=S△ADC=S△ABC=××4×4=4，所以③错误；∵△CEF和△DEF都为直角三角形，∴点C、D在以EF为直径的圆上，即点C、E、D、F四点在同一个圆上，∵△DEF是等腰直角三角形，∴EF=DE，当DE⊥AC时，DE最短，此时DE=AC=2，∴EF的最小值为2，∴以EF为直径的圆的面积的最小值=π•（•2）2=2π，所以④错误；故选C．3．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A．B．C．D．【考点】KQ：勾股定理；T1：锐角三角函数的定义．【分析】先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的RT△ABD，算出AB 的长，再求出BD的长，即可求出余弦值．【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB=4，BD=4，∴cos∠B==．故选B．4．如图，△ABC、△ADE中，C、E两点分别在AD、AB上，且BC与DE相交于F点，若∠A=90°，∠B=∠D=30°，AC=AE=1，则四边形AEFC的周长为何（）A．2 B．2 C．2+D．2+【考点】KQ：勾股定理；KJ：等腰三角形的判定与性质；KO：含30度角的直角三角形．【分析】根据三角形的内角和得到∠AED=∠ACB=60°，根据三角形的外角的性质得到∠B=∠EFB=∠CFD=∠D，根据等腰三角形的判定得到BE=EF=CF=CD，于是得到四边形AEFC的周长=AB+AC．【解答】解：∵∠A=90°，∠B=∠D=30°，∴∠AED=∠ACB=60°，∵∠AED=∠B+∠EFB=∠ACD=∠∠CFD+∠D=60°，∴∠EFB=∠CFD=30°，∴∠B=∠EFB=∠CFD=∠D，∴BE=EF=CF=CD，∴四边形AEFC的周长=AB+AC，∵∠A=90°，AE=AC=1，∴AB=AB=，∴四边形AEFC的周长=2．故选B．5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，则S2的值为（）A．12 B．18 C．24 D．48【考点】KQ：勾股定理．【分析】根据已知条件得到AB=，CD=3，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB=∠DCB，根据平行四边形的性质得到CE=AD，AE=CD=3，由已知条件得到∠BAE=90°，根据勾股定理得到BE==2，于是得到结论．【解答】解：∵S1=3，S3=9，∴AB=，CD=3，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB=∠DCB，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴CE=AD，AE=CD=3，∵∠ABC+∠DCB=90°，∴∠AEB+∠ABC=90°，∴∠BAE=90°，∴BE==2，∵BC=2AD，∴BC=2BE=4，∴S2=（4）2=48，故选D．6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】KR：勾股定理的证明．【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．【解答】解：如图所示：∵（a+b）2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选：C．7．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED．现测得AC=30m，BC=40m，DE=24m，则AB=（）A．50m B．48m C．45m D．35m【考点】KX：三角形中位线定理．【分析】根据中位线定理可得：AB=2DE=48m．【解答】解：∵D是AC的中点，E是BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AB，∵DE=24m，∴AB=2DE=48m，故选B．8．如图，E是△ABC中BC边上的一点，且BE=BC；点D是AC上一点，且AD= AC，S△ABC=24，则S△BEF﹣S△ADF=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】K3：三角形的面积．【分析】过D作DG∥AE交CE于G，根据已知条件得到CG=3EG，求得AE=DG，CE=CG，求出S△ABD=S△ABC=6．由EC=2BE，S△ABC=24，得到S△ABE=S△ABC=8，于是得到结论．【解答】解：过D作DG∥AE交CE于G，∵AD=AC，∴CG=3EG，∴AE=DG，CE=CG，∵EC=2BE，∴BE=2EG，∴EF=DG，∴AF=DG，∴EF=AF，=24，∵S△ABC∴S △ABD =S △ABC =6．∵EC=2BE ，S △ABC =24，∴S △ABE =S △ABC =8，∵S △ABE ﹣S △ABD =（S △ABF +S △BEF ）﹣（S △ADF +S △ABF ）=S △BEF ﹣S △ADF ，即S △BEF ﹣S △ADF =S △ABE ﹣S △ABD =8﹣6=2．故选B ．9．如图，在Rt △ABC 中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线OM 、ON 上滑动，下列结论：①若C 、O 两点关于AB 对称，则OA=2；②C 、O 两点距离的最大值为4；③若AB 平分CO ，则AB ⊥CO ；④斜边AB 的中点D 运动路径的长为； 其中正确的是 ①② （把你认为正确结论的序号都填上）．【考点】KY ：三角形综合题．【分析】①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求AC 和AB ，由对称的性质可知：AB 是OC 的垂直平分线，所以OA=AC ；②当OC 经过AB 的中点E 时，OC 最大，则C 、O 两点距离的最大值为4；③如图2，当∠ABO=30°时，易证四边形OACB 是矩形，此时AB 与CO 互相平分，但所夹锐角为60°，明显不垂直，或者根据四点共圆可知：A、C、B、O四点共圆，则AB为直径，由垂径定理相关推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，但当这条弦也是直径时，即OC是直径时，AB与OC互相平分，但AB与OC不一定垂直；④如图3，半径为2，圆心角为90°，根据弧长公式进行计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC=2，∠BAC=30°，∴AB=4，AC==2，①若C、O两点关于AB对称，如图1，∴AB是OC的垂直平分线，则OA=AC=2；所以①正确；②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，∵∠AOB=∠ACB=90°，∴OE=CE=AB=2，当OC经过点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；所以②正确；③如图2，当∠ABO=30°时，∠OBC=∠AOB=∠ACB=90°，∴四边形AOBC是矩形，∴AB与OC互相平分，但AB与OC的夹角为60°、120°，不垂直，所以③不正确；④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，则：=π，所以④不正确；综上所述，本题正确的有：①②；故答案为：①②．10．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为18．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】作辅助线；证明△ABM≌△ADN，得到AM=AN，△ABM与△ADN的面积相等；求出正方形AMCN的面积即可解决问题．【解答】解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；∵∠BAD=∠BCD=90°∴四边形AMCN为矩形，∠MAN=90°；∵∠BAD=90°，∴∠BAM=∠DAN；在△ABM与△ADN中，，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM=AN（设为λ）；△ABM与△ADN的面积相等；∴四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积；由勾股定理得：AC2=AM2+MC2，而AC=6；∴2λ2=36，λ2=18，故答案为：18．11．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB=6，AC=9，则△ABD的周长是15．【考点】KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC ，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ，∴△ABD 的周长=AB +AD +BD=AB +AD +DC=AB +AC=15，故答案为：15．12．在边长为4的等边三角形ABC 中，D 为BC 边上的任意一点，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则DE +DF= 2 ． 【考点】KK ：等边三角形的性质．【分析】作AG ⊥BC 于G ，根据等边三角形的性质得出∠B=60°，解直角三角形求得AG=2，根据S △ABD +S △ACD =S △ABC 即可得出DE +DF=AG=2． 【解答】解：如图，作AG ⊥BC 于G ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=60°，∴AG=AB=2，连接AD ，则S △ABD +S △ACD =S △ABC ，∴AB•DE +AC•DF=BC•AG ，∵AB=AC=BC=4，∴DE +DF=AG=2， 故答案为：2．三．解答题（共7小题）13．已知△ABC ，AB=AC ，D 为直线BC 上一点，E 为直线AC 上一点，AD=AE ，设∠BAD=α，∠CDE=β．（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=20°，β=10°，②求α，β之间的关系式．（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）①先利用等腰三角形的性质求出∠DAE，进而求出∠BAD，即可得出结论；②利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，同（1）的方法即可得出结论；②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，同（1）的方法即可得出结论．【解答】解：（1）①∵AB=AC，∠ABC=60°，∴∠BAC=60°，∵AD=AE，∠ADE=70°，∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=40°，∴α=∠BAD=60°﹣40°=20°，∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°，∴β=∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=10°，故答案为：20，10；②设∠ABC=x，∠AED=y，∴∠ACB=x，∠AED=y，在△DEC中，y=β+x，在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β，∴α=2β；（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1设∠ABC=x，∠ADE=y，∴∠ACB=x，∠AED=y，在△ABD中，x+α=β﹣y，在△DEC中，x+y+β=180°，∴α=2β﹣180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α=180°﹣2β．14．问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=∠BAC=60°，于是==；迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．①求证：△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．①证明△CEF是等边三角形；②若AE=5，CE=2，求BF的长．【考点】KY：三角形综合题；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】迁移应用：①如图②中，只要证明∠DAB=∠CAE，即可根据SAS解决问题；②结论：CD=AD+BD．由△DAB≌△EAC，可知BD=CE，在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=AD，由AD=AE，AH⊥DE，推出DH=HE，由CD=DE+EC=2DH+BD= AD+BD，即可解决问题；拓展延伸：①如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．由BC=BE=BD=BA，FE=FC，推出A、D、E、C四点共圆，推出∠ADC=∠AEC=120°，推出∠FEC=60°，推出△EFC是等边三角形；②由AE=5，EC=EF=2，推出AH=HE=2.5，FH=4.5，在Rt△BHF中，由∠BFH=30°，可得=cos30°，由此即可解决问题．【解答】迁移应用：①证明：如图②∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠DAB=∠CAE，在△DAE和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC，②解：结论：CD=AD+BD．理由：如图2﹣1中，作AH⊥CD于H．∵△DAB≌△EAC，∴BD=CE，在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=AD，∵AD=AE，AH⊥DE，∴DH=HE，∵CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD．拓展延伸：①证明：如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴△ABD，△BDC是等边三角形，∴BA=BD=BC，∵E、C关于BM对称，∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，∴A、D、E、C四点共圆，∴∠ADC=∠AEC=120°，∴∠FEC=60°，∴△EFC是等边三角形，②解：∵AE=5，EC=EF=2，∴AH=HE=2.5，FH=4.5，在Rt△BHF中，∵∠BFH=30°，∴=cos30°，∴BF==3．15．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD；（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE与△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）16．在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB=3，BC=5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理．【分析】（1）先由AM=BM=ABcos45°=3可得CM=2，再由勾股定理可得AC的长；（2）延长EF到点G，使得FG=EF，证△BMD≌△AMC得AC=BD，再证△BFG≌△CFE可得BG=CE，∠G=∠E，从而得BD=BG=CE，即可得∠BDG=∠G=∠E．【解答】解：（1）∵∠ABM=45°，AM⊥BM，∴AM=BM=ABcos45°=3×=3，则CM=BC﹣BM=5﹣3=2，∴AC===；（2）延长EF到点G，使得FG=EF，连接BG．由DM=MC，∠BMD=∠AMC，BM=AM，∴△BMD≌△AMC（SAS），∴AC=BD，又CE=AC，因此BD=CE，由BF=FC，∠BFG=∠EFC，FG=FE，∴△BFG≌△CFE，故BG=CE，∠G=∠E，所以BD=CE=BG，因此∠BDG=∠G=∠E．17．如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE=CF，AE=BF，求证：AC∥BD．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】欲证明AC∥BD，只要证明∠A=∠B，只要证明△DEB≌△CFA即可．【解答】证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠DEB=∠AFC=90°，∵AE=BF，∴AF=BE，在△DEB和△CFA中，，△DEB≌△CFA，∴∠A=∠B，∴AC∥DB．18．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；（2）求△PQR面积的最小值；（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【考点】KY ：三角形综合题．【分析】（1）先利用锐角三角函数表示出QE=4t ，QD=3（2﹣t ），再由运动得出AP=3t ，CR=4t ，BP=3（2﹣t ），AR=4（2﹣t ），最后用三角形的面积公式即可得出结论；（2）借助（1）得出的结论，利用面积差得出S △PQR =18（t ﹣1）2+6，即可得出结论；（3）先判断出∠DQR=∠EQP ，用此两角的正切值建立方程求解即可．【解答】解：（1）如图，在Rt △ABC 中，AB=6，AC=8，根据勾股定理得，BC=10，sin ∠B===，sin ∠C=，过点Q 作QE ⊥AB 于E ，在Rt △BQE 中，BQ=5t ，∴sin ∠B==，∴QE=4t ，过点Q 作QD ⊥AC 于D ，在Rt △CDQ 中，CQ=BC ﹣BQ=10﹣5t ，∴QD=CQ•sin ∠C=（10﹣5t ）=3（2﹣t ），由运动知，AP=3t ，CR=4t ，∴BP=AB ﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t ），AR=AC ﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t ），∴S △APR =AP•AR=×3t ×4（2﹣t ）=6t （2﹣t ），S △BPQ =BP•QE=×3（2﹣t ）×4t=6t （2﹣t ），S △CQR =CR•QD=×4t ×3（2﹣t ）=6t （2﹣t ），∴S △APR =S △BPQ =S △CQR ，∴△APR ，△BPQ ，△CQR 的面积相等；（2）由（1）知，S △APR =S △BPQ =S △CQR =6t （2﹣t ），∵AB=6，AC=8，∴S △PQR =S △ABC ﹣（S △APR +S △BPQ +S △CQR ）=×6×8﹣3×6t （2﹣t ）=24﹣18（2t ﹣t 2）=18（t ﹣1）2+6，∵0≤t ≤2，∴当t=1时，S △PQR 最小=6；（3）存在，由（1）知，QE=4t ，QD=3（2﹣t ），AP=3t ，CR=4t ，AR=4（2﹣t ）， ∴BP=AB ﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t ），AR=AC ﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t ），过点Q 作QD ⊥AC 于D ，作QE ⊥AB 于E ，∵∠A=90°，∴四边形APQD 是矩形，∴AE=DQ=3（2﹣t ），AD=QE=4t ，∴DR=|AD ﹣AR |=|4t ﹣4（2﹣t ）|=|4（2t ﹣2）|，PE=|AP ﹣AE |=|3t ﹣3（2﹣t ）|=|3（2t ﹣2）|∵∠DQE=90°，∠PQR=90°，∴∠DQR=∠EQP ，∴tan ∠DQR=tan ∠EQP ，在Rt △DQR 中，tan ∠DQR==， 在Rt △EQP 中，tan ∠EQP==，∴， ∴16t=9（2﹣t ），∴t=．19．问题原型：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB 绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为．初步探究：如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．用含a的代数式表示△BCD的面积，并说明理由．简单应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．直接写出△BCD的面积．（用含a的代数式表示）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；R2：旋转的性质．【分析】初步探究：如图②，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．进而由三角形的面积公式得出结论；简单运用：如图③，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF=BC，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．【解答】解：初步探究：△BCD的面积为．理由：如图②，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．∴∠BED=∠ACB=90°．∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°．∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠A+∠ABC=90°．∴∠A=∠DBE．在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS）∴BC=DE=a．=BC•DE∵S△BCD=；∴S△BCD简单应用：如图③，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，∴∠AFB=∠E=90°，BF=BC=a．∴∠FAB+∠ABF=90°．∵∠ABD=90°，∴∠ABF+∠DBE=90°，∴∠FAB=∠EBD．∵线段BD是由线段AB旋转得到的，∴AB=BD．在△AFB和△BED中，，∴△AFB≌△BED（AAS），∴BF=DE=a．=BC•DE，∵S△BCD=•a•a=a2．∴S△BCD∴△BCD的面积为．。

中考数学复习吃透全等三角形的秘诀全等三角形那个知识尽管是初中学习的，然而高中的几何包括立体几何差不多上经常要用的，假如不熟悉，专门多高中几何题差不多没法做。

全等三角形尽管简单，然而死记硬背的话也专门容易混淆。

比如我们经常用一些缩写来背它：边边边、角角边、边边角等等。

如此记短时刻内看起来专门快，时刻长了就专门容易记混——全然不明白它什么意思，在考场上也专门容易出错。

那么如何样经历才能记得牢，到考场上又能灵活运用呢？第一，两个三角形全等，说明什么？说明它们的所有边和所有对应的角都相等。

比如，假如△abc≌△ABC，那么线段ab=AB,bc=BC,ac=AC,∠a =∠A,∠b=∠B,∠c=∠C。

图1那个叫全等三角形的性质。

确实是说，假如明白两个三角形全等，能够推出什么。

我们高中时期在证明几何题的时候，经常要用它来证明一些线段相等或者角相等。

还有一个确实是全等三角形的判定，确实是说如何才能证明两个三角形全等？它们的关系是如此的：用判定定理证明两个三角形全等，再用性质定理推出对应的边和角相等。

如何判定呢？证明的过程我就不讲了。

要紧是经历的时候，不要边边边角角角如此记，而应该找规律。

对应边对应角总共有多少呢？三个边三个角，总共六个要素，至少要三个要素对应相等才能判定全等。

那么这三个要素对应相等包括哪些组合呢？专门简单：三条边对应相等，三个角对应相等，两个角和一条边对应相等，两条边和一个角对应相等。

对吧？我们记下来。

图2我们来一个一个往下看。

三条边对应相等，能不能判定两个三角形全等？能够。

三角形专门稳固，只要三条边确定了，它是可不能变形的。

因此三条边对应相等的两个三角形确信全等。

好，我们在它旁边打个钩。

接下来，三个角相等，能不能判定两个三角形全等？不能。

三个角都相等只能判定这两个三角形形状相似，然而边的长短可能不一样，可能一个大一个小。

我们在它旁边打个叉。

接下来，两个角一个边呢？能够。

三角形内角和总是等于180度，已知两个三角形有两个对应角相等了，剩下那个确信也相等。

2020年中考数学冲刺难点突破几何证明问题专题八几何证明之四边形中的三角形全等问题1、如图1，已知正方形ABCD，E是线段BC上一点，N是线段BC延长线上一点，以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证DG＝BE；（2）连接FC，求tan∠FCN的值；（3）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝3，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B，C），以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．当点E由B向C运动时，判断tan∠FCN的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）如图1，∵正方形ABCD和正方形AEFG中，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AE＝AG，∴△BAE≌△GAD（SAS），∴DG＝BE；（2）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，即∠BAE＝∠FEM，又AE＝EF，∴△BAE≌△MEF（ASA），∴FM＝BE，EM＝AB，又BE+EC＝AB，EM＝EC+CM，∴CM＝FM，在Rt△FCM中，tan∠FCN＝＝1；（3）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，同理可证∠GAD＝∠FEM，又AG＝EF，∴△DAG≌△MEF，△BAE∽△MEF，∴EM＝AD＝BC＝8，＝，设BE＝a，则EM＝EC+CM＝BC＝BE+EC，∴CM＝BE＝a，∴＝，∴FM＝，∴tan∠FCN＝＝＝，即tan∠FCN的值为定值．2、【操作发现】如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD 绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．【实践探究】（1）在图①条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是．（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展】（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．【实践探究】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，由旋转得：△ABE≌△ADM，∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，即∠EAM＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠MAN＝∠EAN，在△AMN和△EAN中，，∴△AMN≌△EAN（SAS），∴MN＝EN．∵EN＝BE+BN＝DM+BN，∴MN＝BN+DM．在Rt△CMN中，MN＝＝＝5，则BN+DM＝5，设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣3，DM＝CD﹣CM＝x﹣4，∴x﹣3+x﹣4＝5，解得：x＝6，即正方形ABCD的边长是6；故答案为：6；（2）EF2＝BE2+DF2，理由如下：如图②，将△AFD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABH，连结EH，∴∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°＝∠BAH+∠BAE，∴∠HAE＝45°＝∠EAF，又∵AH＝AF，AE＝AE，∴△EAH≌△EAF（SAS），∴HE＝EF，∵BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BMDN是平行四边形，∴DN∥BM，∴∠AND＝∠ABM，∵∠ADN+∠AND＝90°，∴∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM，∴BE2+BH2＝HE2，∴EF2＝BE2+DF2；（3）如图③，延长AB至P，使BP＝BN＝1，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ 于E，连接EM，则四边形APQD是正方形，∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝4，设DM＝x，则MQ＝4﹣x，∵PQ∥BC，∴△ABN∽△APE，∴，∴PE＝BN＝，∴EQ＝PQ﹣PE＝4﹣＝，由（1）得：EM＝PE+DM＝+x，在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（4﹣x）2＝（+x）2，解得：x＝2，即DM的长是2．3、如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交BC边于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，请探究：当∠BFD与∠A之间满足怎样的数量关系时，能使四边形BECD成为矩形？为什么？（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝CD，AB∥CD．∵BE＝AB，∴BE＝CD．∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，在△BEF与△CDF中，，∴△BEF≌△CDF（ASA）；（2）解：∠BFD＝2∠A时，四边形BECD成为矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，∵AB＝BE，∴CD＝EB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF＝CF，EF＝DF，∵∠BFD＝2∠A，∴∠BFD＝2∠DCF，∴∠DCF＝∠FDC，∴DF＝CF，∴DE＝BC，∴四边形BECD是矩形．4、已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EM∥BC交CA延长线于M，连接BM．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）若∠ABC＝30°，求∠MEC的度数；（3）求证：四边形MBDE是平行四边形．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，∵以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE，∵∠ADE＝∠ABC，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝30°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE＝30°，∴∠ACB＝∠ACE＝30°，∴∠ECB＝∠ACB+∠ACE＝60°，∵EM∥BC，∴∠MEC+∠ECD＝180°，∴∠MEC＝180°﹣60°＝120°；（3）证明：∵△BAD≌△CAE，∴DB＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB，∴∠ACB＝∠ACE，∵EM∥BC，∴∠EMC＝∠ACB，∴∠ACE＝∠EMC，∴ME＝EC，∴DB＝ME，又∵EM∥BD，∴四边形MBDE是平行四边形．5、如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）若AD＝4，CE＝3，求CD的长．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC，∵CE⊥BD，∠A＝90°，∴∠A＝∠BEC＝90°，在△ABD和△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（AAS）；（2）∵△ABD≌△ECB，∴AB＝CE＝3，∵AD＝4，∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD＝5，∵△BD≌△ECB，∴D＝BE＝4，∴DE＝BD﹣BE＝1，∴在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD＝．6、已知：矩形ABCD中，点E、F为对角线AC上两点，AF＝CE．（1）如图1，求证：BE∥DF；（2）如图2，当AB＝BE＝AD时，连接DE、BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAF＝∠BCE，在△AFD和△CEB中，，∴△AFD≌△CEB（SAS），∴∠AFD＝∠CEB，∴BE∥DF；（2）解：△ABF，△CDE，△ADF，△BCE；理由如下：由（1）得：△AFD≌△CEB，同理：△ABF≌△CDE（SAS），∴△AFD的面积＝△CEB的面积，△ABF的面积＝△CDE的面积，作BG⊥AC于G，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BC＝AD，∵AB＝BE＝AD，∴AB＝BE＝BC，∴BC＝2AB，AC＝＝AB，AG＝EG，∵△ABC的面积＝AC×BG＝AB×BC，∴BG＝＝＝AB，∴AG＝＝＝AB，∴AE＝2AG＝AB，∵AF＝CE，∴△ABF的面积＝△BCE的面积，CF＝AE＝AB，∴AF＝AC﹣CF＝AB﹣AB＝AB，∴△ABF的面积＝AF×BG＝×AB×AB＝AB2，∵矩形ABCD的面积＝AB×BC＝AB×2AB＝2AB2，∴△ABF的面积＝矩形ABCD面积的，∴△ABF的面积＝△CDE的面积＝△ADF的面积＝△BCE的面积＝矩形ABCD面积的．7、如图，在平行四边形ABCD中，点G在CD上，点H在AB上，且DG＝BH，点E．F在AC上，且AE＝CF．连接GF，FH，HE，EG．（1）求证：△CFG≌△AEH；（2）若AG＝GC，则四边形EHFG是什么特殊四边形？请说明理由．证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴∠GCF＝∠HAE，∵DG＝BH，∴GC＝AH，在△CFG与△AEH中，，∴△CFG≌△AEH（SAS）；（2）∵△CFG≌△AEH，∴GF＝EH，∠AEH＝∠GFC，∴∠FEH＝∠EFG，∴四边形EGFH是平行四边形，∵AG＝GC，∴∠GAE＝∠GCF，在△GAE与△GCF中，∴△GAE≌△GCF（SAS），∴EG＝GF，∴平行四边形EGFH是菱形．8、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AD边上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF．（1）求证：△BDF≌△CDE．（2）若DE＝BC，求证：四边形BECF是正方形．（1）证明：∵AD是BC边上的中线，AB＝AC，∴BD＝CD，∴∠DBF＝∠DCE，∵∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE（ASA）；（2）证明：∵△BDF≌△CDE，∴BF＝CE，DE＝DF，∵BF∥CE，∴四边形BECF是平行四边形，∵AB＝AC，AD是中线，∴四边形BECF是菱形，∵DE＝BC，DE＝DF＝EF，∴EF＝BC，∴四边形BECF是正方形．9、阅读材料：教育部基础教育司负责人解读“2020新中考”时强调要注重学生分析与解决问题的能力，要增强学生的创新精神和综合素质．王老师想尝试改变教学方法，将以往教会学生做题改为引导学生会学习．于是她在菱形的学习中，引导同学们解决菱形中的一个问题时，采用了以下过程（请解决王老师提出的问题）：先出示问题（1）：如图1，在等边三角形ABC中，D为BC上一点，E为AC上一点，如果BD＝CE，连接AD、BE，AD、BE相交于点P，求∠APE的度数．学习，王老师请同学们说说自己的收获．小明说发现一个结论：在这个等边三角形ABC中，只要满足BD＝CE，则∠APE的度数就是一个定值，不会发生改变．紧接着王老师出示了问题（2）：如图2，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为BC上一点，F为CD上一点，BE＝CF，连接DE、BF，DE、BF相交于点P，如果DP＝4，BP＝3，求出菱形的边长．问题（3）：通过以上的学习请写出你得到的启示（一条即可）．解：问题（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠EBC，∵∠APE＝∠ABP+∠BAP，∴∠APE＝∠ABP+∠EBC＝∠ABC＝60°；问题（2）过点D作DG⊥BF交BF于点G，如图2所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠C＝∠A＝60°，BC＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝CD＝BD，由（1）可知∠DPG＝60°，在Rt△DPG中，sin60°＝，即＝，解得：DG＝2，cos60°＝，即＝，解得：PG＝2，∴BG＝BP+PG＝3+2＝5，在Rt△BDG中，由勾股定理得：BD2＝BG2+DG2＝52+（2）2＝37，∴BD＝，∴BC＝BD＝，∴菱形的边长为；问题（3）平时应该注意基本图形的积累，在学习过程中做个有心人．10、如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．（1）求证：BP＝CQ；（2）若BP＝PC，求AN的长；（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．解：（1）证明：∵∠ABC＝90°∴∠BAP+∠APB＝90°∵BQ⊥AP∴∠APB+∠QBC＝90°，∴∠QBC＝∠BAP，在△ABP于△BCQ中，，∴△ABP≌△BCQ（ASA），∴BP＝CQ，（2）由翻折可知，AB＝BC'，连接BN，在Rt△ABN和Rt△C'BN中，AB＝BC'，BN＝BN，∴Rt△ABN≌△Rt△C'BN（HL），∴AN＝NC'，∵BP＝PC，AB＝8，∴BP＝2＝CQ，CP＝DQ＝6，设AN＝NC'＝a，则DN＝8﹣a，∴在Rt△NDQ中，（8﹣a）2+62＝（a+2）2解得：a＝4.8，即AN＝4.8．（3）解：过Q点作QG⊥BM于G，由（1）知BP＝CQ＝BG＝x，BM＝MQ．设MQ＝BM＝y，则MG＝y﹣x，∴在Rt△MQG中，y2＝82+（y﹣x）2，∴．∴S△BMC′＝S△BMQ﹣S△BC'Q＝＝，＝．11、已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边做正方形ADEF，连接CF．（1）如图①，当点D在线段BC上时，直接写出线段CF、BC、CD之间的数量关系．（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其他件不变，则（1）中的三条线段之间的数量关系还成立吗？如成立，请予以证明，如不成立，请说明理由；（3）如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC两侧，其他条件不变；若正方形ADEF的边长为4，对角线AE、DF相交于点O，连接OC，请直接写出OC的长度．解：（1）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，∵BD+CD＝BC，∴CF+CD＝BC；故答案为：CF+CD＝BC；（2）CF+CD＝BC不成立，存在CF﹣CD＝BC；理由：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS）∴BD＝CF∴BC+CD＝CF，∴CF﹣CD＝BC；（3）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°﹣∠BAF，∠CAF＝90°﹣∠BAF，∴∠BAD＝∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF＝∠ABD，∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝135°，∴∠ACF＝∠ABD＝135°，∴∠FCD＝135°﹣45°＝90°，∴△FCD是直角三角形．∵正方形ADEF的边长4且对角线AE、DF相交于点O．∴DF＝AD＝4，O为DF中点．∴Rt△CDF中，OC＝DF＝×＝．13、已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；（2）如图2，如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD，BG＝BD．①求∠BDE的度数；②若正方形ABCD的边长是，请求出△BCG的面积．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°．∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，∴∠BCG＝∠DCE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS）．∴BG＝DE；（2）解：①连接BE，如图2所示：由（1）可知：BG＝DE，∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°，∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BCG＝∠BCE，在△BCG和△BCE中，，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE，∵BG＝BD＝DE，∴BD＝BE＝DE，∴△BDE为等边三角形，∴∠BDE＝60°；②延长EC交BD于点H，过点G作GN⊥BC于N，如图3所示：在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△BCG（SSS），∴∠BEC＝∠DEC，∴EH⊥BD，BH＝BD，∵BC＝CD＝，∴BD＝BC＝2，∴BE＝2，BH＝1，∴CH＝1，在Rt△BHE中，由勾股定理得：EH＝＝＝，∴CE＝﹣1，∵∠BCG＝135°，∴∠GCN＝45°，∴△GCN是等腰直角三角形，∴GN＝CG＝（﹣1），∴S△BCG＝BC•GN＝××（﹣1）＝．15、利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中有着广泛的运用．（1）如图①，B，C，D三点共线，AB⊥BD于点B，DE⊥BD于点D，AC⊥CE，且AC＝CE．若AB+DE＝6，求BD的长．（2）如图②，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，直角顶点C的坐标为（1，0），点A 的坐标为（﹣2，1）．求直线AB与y轴的交点坐标．（3）如图③，∠ACB＝90°，OC平分∠AOB，若点B坐标为（b，0），点A坐标为（0，a）．则S四边形AOBC＝．（只需写出结果，用含a，b的式子表示）解：（1）∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，∴∠ABC＝∠CDE＝∠ACE＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∠ECD+∠ACB＝180°﹣∠ACE＝90°，∴∠A＝∠ECD，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴AB＝CD，BC＝DE，∴BD＝CD+BC＝AB+DE＝6；（2）过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，如图②所示：∵△ABC为等腰直角三角形∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ECB+∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∵点C的坐标为（1，0），点A的坐标为（﹣2，1），∴CO＝1，AD＝1，DO＝2，∴OE＝OC+CE＝OC+AD＝2，BE＝CD＝CO+DO＝3，∴点B的坐标为（2，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A、B两点的坐标代入，得，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+2，当x＝0时，解得y＝2，∴直线AB与y轴的交点坐标为（0，2）；（3）过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E，如图③所示：∵OC平分∠AOB，∴CD＝CE∴四边形OECD是正方形∴∠DCE＝90°，OD＝OE，∵∠ACB＝90°，∴∠DCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE＝90°，∴∠DCA＝∠ECB，在△DCA和△ECB中，，∴△DCA≌△ECB（ASA），∴DA＝EB，S△DCA＝S△ECB，∵点B坐标为（b，0），点A坐标为（0，a），∴OB＝b，OA＝a，∵OD＝OE，∴OA+DA＝OB﹣BE，即a+DA＝b﹣DA，∴DA＝，∴OD＝OA+DA＝a+＝，∴S＝S四边形AOEC+S△ECB＝S四边形AOEC+S△DCA＝S正方形DOEC＝OD2＝（）2＝，四边形AOBC故答案为：．16、如图1，将边长为2的正方形OABC如图放置在直角坐标系中．（1）如图2，若将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°时，求点A的坐标；（2）如图3，若将正方形OABC绕点O顺时针旋转75°时，求点B的坐标．解：（1）过点A作AD⊥x轴于点D，如图2所示：则∠AOD＝30°，∵正方形OABC的边长为2，∴AO＝2，∴AD＝AO＝1，∴OD＝＝＝，∴点A的坐标为：（，﹣1）；（2）连接OB，过点B作BE⊥x轴于点E，如图3所示：则∠AOE＝75°，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOB＝45°，OB＝AO＝2，在Rt△BOE中，∠BOE＝∠AOE﹣∠AOB＝30°，∴BE＝OB＝，OE＝BE＝，∴点B的坐标为（，﹣）．。

中考数学一轮复习专题解析—全等三角形判定与性质定理复习目标1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；考点梳理一、基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.特别提醒：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).例1．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP△AQ．【答案】证明：（1）△BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，△△1+△CAE=90°，△2+△CAE=90°．△△1=△2,△在△AQC和△PAB中，△△AQC△△PAB．△ AP=AQ.(2)△ AP=AQ，△QAC=△P，△△PAD+△P=90°，△△PAD+△QAC=90°，即△PAQ=90°．△AP△AQ．二、灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例2．如图，已知AD为△ABC的中线，且△1＝△2,△3＝△4,求证：BE＋CF＞EF.【答案】证明：延长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF,在△BDE和△CDM中，△△BDE△△CDM（SAS）．△BE=CM.又△△1＝△2，△3＝△4 ，△1＋△2＋△3＋△4＝180°，△△3＋△2=90°，即△EDF＝90°，△△FDM＝△EDF ＝90°．在△EDF和△MDF中△△EDF△△MDF（SAS）,△EF＝MF （全等三角形对应边相等）,△在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）,△BE＋CF＞EF.三、常见的几种辅助线添加△遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；△遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；△遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；△过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；△截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．例3．如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求证：AC=BF.【答案】证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，△ D为BC中点，△ BD=DC，在△ADC和△HDB中，△ △ADC△△HDB(SAS)，△ AC=BH, △H=△HAC，△ EA=EF，△ △HAE=△AFE，又△ △BFH=△AFE，△ BH=BF，△ BF=AC．综合训练1．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SSA C．ASA D．SAS【答案】C【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．【详解】解：画一个三角形A′B′C′，使△A′=△A，A′B′=AB，△B′=△B，符合全等三角形的判定定理ASA，故选：C．2．（2022·全国九年级专题练习）如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行．若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于F点，则△AED 的面积：四边形ADGF的面积＝（）A．1：2B．2：1C．2：3D．3：2【答案】D【分析】根据重心的概念得出D，F分别是三角形边的中点．若设△ABC的面积是2，则△BCD的面积和△BCF的面积都是1．又因为BG：GF＝CG：GD，可求得△CGF 的面积．则四边形ADGF的面积也可求出．根据ASA可以证明△ADE△△BDC，则△ADE的面积是1．则△AED的面积：四边形ADGF的面积可求．【详解】解：设三角形ABC的面积是2，△三角形BCD的面积和三角形BCF的面积都是1，△BG：GF＝CG：GD＝2，△三角形CGF的面积是13，△四边形ADGF的面积是2−1−13＝23，△//l BC,△EAD CBD∠=∠,△,=∠=∠,BD AD ADE BDC△△ADE△△BDC（ASA）△△ADE的面积是1△△AED的面积：四边形ADGF的面积＝1：2＝3：2．3故选：D．3．（2022·重庆实验外国语学校九年级月考）如图，在正方形ABCD中，210AB=﹐E，F分别为BC，CD的中点，连接AE、BF，AE交BF于点G，将BCF△沿BF△的面积是（）翻折得到BPF△，延长FP交BA延长线于点Q，连接QG，则QGFA．25B．25C．20D．15 2【答案】D【分析】由已知可求QF=QB，在Rt△BPQ中，由勾股定理求得QB，可求出S△BQF=25，再证明△ABE△△BCF（SAS），△BGE△△BCF，由此得BF，GE，BG，过点G作GN△AB交AB于N，可证明△ANG△△ABE，再由GA=AE-GE，可求得GN，根据S△QGF=S△BQF-S△BQG即可求解．【详解】解：将BCF△，△沿BF翻折得到BPF∴PF =FC ，△PFB =△CFB ，四边形ABCD 是正方形∴△FPB =90°，CD △AB ，,90AB BC ABE BCF =∠=∠=︒△△CFB =△ABF ， △△ABF =△PFB ， △QF =QB ，△PF =FC =12CD 12AB =PB =AB 在Rt △BPQ 中，222QB BP PQ =+，△222(QB QB =+，△QB△S△BQF =1252=，△AB =BC ，BE =CF ，△ABE =△BCF =90°， △△ABE △△BCF （SAS ）， △△AEB =△BFC ， 又△△EBG =△CBF ， △△BGE △△BCF ，GE BG BECF BC BF∴==， △CF，BC △BF△GEBG ， 过点G 作GN △AB 交AB 于N ，△△GAN=△EAB，△ANG=△ABE=90°，△△ANG△△ABE，△GN GABE EA=△GA=AE-GE =42△GN=4105△S△BQG=12×QB×GN=1510410225⨯⨯=10，△S△QGF=S△BQF-S△BQG=25-10=15，故选：D．4．（2022·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）如图，以ABC的三边为边分别作等边ACD△、ABE△、BCF△，则下列结论正确的是（）A．EBF DFC≌B．四边形ADFE为矩形C．四边形ADFE为菱形D ．当AB AC =，120BAC ∠=︒时，四边形ADFE 是正方形【答案】A【分析】利用SAS 得到△EBF 与△DFC 全等，利用全等三角形对应边相等得到EF ＝AC ，再由△ADC 为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF ＝AD ，AE ＝DF ，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD 为平行四边形，若AB ＝AC ，△BAC ＝120°，只能得到AEFD 为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．【详解】解：△△ABE 、△BCF 为等边三角形，△AB ＝BE ＝AE ，BC ＝CF ＝FB ，△ABE ＝△CBF ＝60°，△△ABE −△ABF ＝△FBC −△ABF ，即△CBA ＝△FBE ，在△ABC 和△EBF 中，AB EB CBA FBE BC BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△ABC △△EBF （SAS ），△EF ＝AC ，又△△ADC 为等边三角形，△CD ＝AD ＝AC ，△EF ＝AD ＝DC ，同理可得△ABC △△DFC ，△DF ＝AB ＝AE ＝DF ，△四边形AEFD 是平行四边形，故B 、C 选项错误；△△FEA ＝△ADF ，△△FEA ＋△AEB ＝△ADF ＋△ADC ，即△FEB ＝△CDF ，在△FEB 和△CDF 中，EF DC FEB CDF EB FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩． △△FEB △△CDF （SAS ），故选项A 正确；若AB ＝AC ，△BAC ＝120°，则有AE ＝AD ，△EAD ＝120°，此时AEFD 为菱形，选项D 错误故选A ．5．（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）如图在四边形ABEC 中，BEC ∠和BAC ∠都是直角，且AB AC =．现将BEC ∆沿BC 翻折，点E 的对应点为E '，BE '与AC 边相交于D 点，恰好BE '是ABC ∠的角平分线，若1CE =，则BD 的长为（ ）A ．1.5B 2C ．2D 3【答案】C【分析】 如图，延长CE '和BA 相交于点F ，根据翻折的性质可以证明△BE′C △△BE′F ，可得CF =2，再证明△FCA △△DBA ，可得BD =CF =2．【详解】解：如图，延长CE '和BA 相交于点F ，由翻折可知：90BE C E ∠'=∠=︒，1CE CE '==，BE '是ABC ∠的角平分线，CBE FBE ∴∠'=∠'，BE BE '='，∴()BE C BE F ASA '≅'，1E F CE ∴'='=，2CF ∴=，90FCA F ∠+∠=︒，90DBA F ∠+∠=︒，FCA DBA ∴∠=∠，90FAC DAB ∠=∠=︒，AB AC =，()FCA DBA ASA ∴≅，2BD CF ∴==．故选：C ．6．（2022·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级三模）如图，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，利用尺规在BA ，BC 上分别截取BD ，BE ，使BD BE =；分别以D ，E 为圆心、以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠内交于点F ；作射线BF 交AC于点H．若2HA=，P为BC上一动点，则HP的最小值是（）A．12B．2C．1D．无法确定【答案】B【分析】根据作图过程可得BH平分△ABC，当HP△BC时，HP最小，根据角平分线的性质即可得HP的最小值．【详解】解：根据作图过程可知：BH平分△ABC，当HP△BC时，HP最小，△HP＝HA＝2．故选：B．7．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，在Rt ABC中，90C∠=︒，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于12MN的长度为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若54B∠=︒，则CDA∠=______度．【答案】72°利用三角形内角和180°，解得36CAB ∠=︒，由角平分线性质解得18CAD ∠=︒的度数，最后根据三角形外角性质解题即可．【详解】解：90,54C B ∠=︒∠=︒905436CAB ∴∠=︒-︒=︒ AD 平分CAB ∠ 1182CAD DAB CAB ∴∠=∠=∠=︒ 185472CDA DAB B ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：72．8．（2022·广东深圳市南山外国语学校九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 中，3OA =，6OC =，将ABC 沿对角线AC 翻折，使点B 落在B '处，AB '与y 轴交于点D ，则点D 的坐标为______．【答案】9(0,)4-【分析】设OD m =，则6CD m =-，由题意可以求证AOD CB D '△≌△，从而得到6AD CD m ==-，再根据勾股定理即可求解．解：由题意可知：3OA BC B C '===，6OC AB ==，90B B AOD '∠=∠=∠=︒ 设OD m =，则6CD m =-，又△B DC ADO '∠=∠△()AOD CB D AAS '△≌△△6AD CD m ==-在Rt AOD △中，222AD AO OD =+，即222(6)3m m -=+ 解得：94m =△点D 的坐标为9(0,)4-故答案为9(0,)4-9．（2022·广东实验中学九年级三模）已知，ABC DCB ∠=∠，ACB DBC ∠=∠，求证：ABC DCB △≌△．【答案】证明见解析【分析】由条件△ABC ＝△DCB ，△ACB ＝△DBC ，根据ASA 证明△ABC △△DCB 即可．【详解】证明：在△ABC 和△DCB 中，ABC DCB BC CBACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△ABC △△DCB （ASA ）；10．（2022·厦门市湖滨中学）如图，在△ABE 和△CDF 中，点C 、E 、F 、B 在同一直线上，BF ＝CE ，若AB △CD ，△A ＝△D ．求证：AB ＝CD ．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质可得△B ＝△C ，根据已知条件可得BE ＝CD ，结合已知条件△A ＝△D ，即可证明△ABE △△DCF ，进而即可得证AB ＝CD ．【详解】解：△AB △CD ，△△B ＝△C ．△BF ＝CE ，△BF ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF ．△△A ＝△D ，△B ＝△C ，BE ＝CF△△ABE △△DCF （AAS ）．△AB ＝CD ．。