第十九章《一次函数》内容分析与教学建议

【人教版】数学八下：第19章《一次函数》全章名师教学设计一. 教材分析人教版数学八下第19章《一次函数》是学生在学习了初中阶段函数概念的基础上，进一步深入学习一次函数的知识。

一次函数是实际问题中应用最广泛的一种函数，本章内容主要包括一次函数的定义、性质、图像以及一次函数在实际问题中的应用。

通过本章的学习，使学生能理解和掌握一次函数的基本概念和性质，能运用一次函数解决一些简单的实际问题，为后续学习其他函数知识打下基础。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了函数的基本概念，对函数有一定的认识。

但在实际应用中，对一次函数的理解和运用还不够熟练。

因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，从生活实例出发，引导学生理解和掌握一次函数的知识，提高学生运用一次函数解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.理解一次函数的定义和性质。

2.学会绘制一次函数的图像。

3.能够运用一次函数解决实际问题。

四. 教学重难点1.一次函数的定义和性质。

2.一次函数图像的绘制。

3.一次函数在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解和掌握一次函数的知识。

2.实践操作法：让学生动手绘制一次函数的图像，提高学生的实践能力。

3.问题驱动法：提出实际问题，激发学生的思考，培养学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作一次函数的相关课件，包括图片、动画等。

2.练习题：准备一些一次函数的相关练习题，用于巩固所学知识。

3.教学工具：准备黑板、粉笔、直尺等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出一次函数的概念。

例如：某商店进行打折活动，原价100元的商品打8折，求打折后的价格。

2.呈现（10分钟）讲解一次函数的定义和性质，通过课件展示一次函数的图像，让学生直观地理解一次函数的特点。

3.操练（10分钟）让学生动手绘制一次函数的图像，加深对一次函数的理解。

教师巡回指导，解答学生遇到的问题。

一次函数小结与复习教法建议
学至本章，学生们已基本适应了一定的学习方法，为此建议：
1.“知识结构”由学生在本课时前独立或合作交流完成。

2.一次函数的应用极为广泛，复习课没有必要让学生复述概念、性质，以及求表达式的方法、步骤等，而是应该设计一组有层次的阶梯式问题，来涵盖本章内容与方法。

问题的设计可本着教科书指出的一次函数应用的两个层次：①给出一次函数表达式，直接应用；②问题仅用语言叙述或表格或图像提供了一次函数的情境，则应先求表达式，进而利用一次函数的性质解决问题。

问题的情境设计力求难度适中，但内容要宽广，以满足各层次学生的需求，使每个学生通过复习均有新的收获。

第十九章《一次函数》教材分析一、本章的地位和作用1．“函数”概念的引入使得数学从“常量数学”转化为“变量数学”，这正是近代数学的一个标志。

2.以函数概念可以统一数学教育内容：以函数为中心，将全部数学教材集中在它的周围，可以进行充分的综合；3. 数学教育改革的重要观点是：一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考问题；4. 初等函数知识是中学数学的固定内容，是引进现代数学的基础和前提，是联系实际生活的重要内容。

在数学教育的现代化中，函数教育的重要性不容分说；5. 本章通过对初等函数“一次函数”的学习，使学生经历学习和探究一个具体函数的一般过程，即从定义、图象、性质、函数与方程及不等式的关系、不同函数之间的关系等方面进行研究。

二、教学要求解读1.课标要求：教学总目标(因用而学、学以致用、以学导用、以用促学)（1）以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型；（2）结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法，能利用图像数形结合地分析简单的函数关系；（3）理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图像，能结合图像讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题；（4）通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系.2.教学要求建议：注重对基本知识和基本技能的掌握，提高基本能力．函数的基本概念、函数的一般表示法和一次函数的概念图象性质等是基础知识，能画一次函数的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质等是基本技能，能利用一次函数解决简单实际问题是基本能力。

基本要求（1）能在简单问题中列出变量之间的关系式；（2）能根据函数的三种表示方法解读自变量和函数值的对应关系；（3）能根据已知的函数解析式，在自变量和函数值中知一求一；（4）能用描点法画出简单函数图象；（5）能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析；（6）能确定简单代数和实际问题中的函数的自变量取值范围；（7）能根据简单已知条件确定一次函数表达式；（8）会画一次函数的图象，理解一次函数的性质；（9）能用一次函数解决较简单实际问题．略高要求（1）探索问题中的数量关系和变化规律；（2）能根据线段长面积等几何的条件确定一次函数解析式；（3）结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测；（4）能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解、一元一次不等式的解集．较高要求（1）能根据复杂的条件完整的求解；（2）能用一次函数解决较复杂实际问题，分析决策方案.三、学情分析1.学生已有的基础学生在小学时已接触到的观察与分析、数字推理、正比例与反比例等内容就渗透了变化的思想；七年级的代数式求值、探索规律等加强了学生对量的变化的“规律意识”，因此相对传统教材的使用者，使用课标教科书的学生在对事物规律的发现和探究上有明显的优势.《一次函数》一章则是在前述基础之上第一次集中的讨论变量间的关系.2.学生学习本章常见错误与不易掌握的内容初次接触函数概念，学生常有一种很“虚”的感觉，常常不知从何入手，思考以往的教学，不断总结中发现，学生接受函数概念困难重要在于（1）没有很好地理解有序实数对，从而也就认识不到：函数不是数，在同一变化过程中，变量之间不是孤立的，而是相互联系，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化，这些变化之间存在对应关系。

八年级数学下册第十九章《一次函数》单元教学设计一．单元教学要素分析（一）内容分析一次函数是初中学生将要学习的各类函数中最简单的一种函数，它反映了函数的特点及函数的思维方式、研究方法和应用模式，因此学好一次函数是学好其他函数的基础。

研究一次函数离不开对图象特征的研究。

数形结合是学习一次函数时必须体现的一种重要思想。

要通过设置较多实际问题的一次函数图象，让学生观察、自己描点画图、研究变量的变化规律，探讨函数中的数与形的对应关系，逐步形成解决一次函数问题的技能。

由于一次函数在现实生活中有着广泛的应用，因此，在具体的教学过程中，可以利用生活中的素材加深学生对函数现实意义的理解，促进其函数建模、数形结合等重要数学思想方法的形成，加强对知识之间内在联系的认识，体会函数观点的统领作用，也可以利用所学的函数知识解决现实生活中的一些问题。

（二）课标分析1.理解一次函数的概念，会判断两个变量之间的关系是否为一次函数关系。

2.会画一次函数的图象，并借助图像的直观，理解一次函数的性质。

3.了解两条平行直线的表达式之间的关系，能以运动的观点来认识这种关系。

4.能借助一次函数的图象认识一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，理解一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的内在联系。

5.能应用一次函数知识解决一些简单的有关的实际问题；获得将实际问题转化为数学问题的体验，了解建立简单函数模型的意义。

6.在解决问题的过程中，增强一次函数的应用意识，体验数形结合的数学思想，提高由图象获取信息进而解决问题的能力。

（三）教材比较分析本单元的主要内容包括：变量与函数的概念，函数的三种表示法，正比例函数和一次函数的概念、图象、性质和应用举例，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，课题学习“选择方案”。

函数的概念是数学中极为重要的基本概念，是“数与代数”中的重要内容，它的抽象性较强，是初二学生比较难理解和掌握的概念之一。

一次函数是在学完平面直角坐标系的基础上学习的，学生对数形结合法有了一定的认识，它为本章的学习做了铺垫，一次函数的学习又为后续函数的学习作了铺垫，因此本章内容起着承上启下的作用。

《一次函数》复习（1）教学设计教师寄语：纸上终觉浅，绝知需躬行.教学目标：1、知道什么是函数，能判断一个函数是不是一次函数和正比例函数；2、理解一次函数的性质，会运用一次函数图像及性质解决简单的问题；3、能用待定系数法确定一次函数的解析式.教学重点：一次函数的图象与性质，待定系数法的运用.教学难点：会运用一次函数图像及性质解决相关的问题.教学过程：一、导入新课，出示目标：同学们！前面我们已经学习了《一次函数》的相关知识内容，这节课老师将和同学们继续走进一次两数的乐园，去采撷更为丰硕的果实，从而达到将知识硕果颗粒归仓.体验一次愉快之旅！二、预习引领，自主探究：▲知识梳理：活动（一）、变量与函数一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个____________ 的值, y都有___________ 确定的值与其对应，那么就称__________ 是 _________ 的函数，其中x是______________ ，如果当x=a时,y二b,那么b叫做自变量的值为a时的 ______________ .▲对应训练：1、如果圆用R表示半径，用S表示圆的面积，则S和R满足的关系是_______ .2、汽车邮箱中有汽油50L,如果不加油，那么邮箱中的油量y （单位：L）随行驶路程x （单位:km）的增加而减少，平均耗油量为O.lL/km.写出表示y与x的函数关系式 ____________ ,自变量x的取值范闱是_________ .3、写出下更函数自变量x的取值范围.=yjx-i2x — 14、在函数y二了中，当函数值尸1时，自变量x的值是______ ；当自变量x=l时，的值是_______________ .自变量x取范围是__________ ▲知识梳理：活动（二）、函数图象（1）______________________________________________ 函数的表示方法：、_______________ 、 . （2）三种函数表示方法的优缺点：① __________________ 法能明显地显示出自变量与其对应的函数值，但具有片面性.② ______________________ 法形象直观，但画出的图象是近似的局部的，往往不够准确。

第十九章《一次函数》内容分析与教学建议各位评委老师：大家下午好！今天我要分析的内容是新人教版八年级下册第十九章《一次函数》的内容，接下来我将从教材地位和作用、知识体系、说教学目标、说教学重难点、说整体设计思路、说教材建议、教材挖掘、中考链接八个方面进行阐述。

一、说教材地位和作用本章是学生第一次接触函数，学生在初一上册第二章认识了字母代替数字初步接触了抽象表达，一次函数是抽象表达的深入学习，又是初中函数部分的起始章，通过学好本章知识筑牢根基，为后续学习二次函数和反比例函数打下基础。

在本章教学中，不断深化对函数的概念和三种表达方式（列表法、图象法、解析式法）的理解贯穿于整个函数的教学中，随着一般函数、正比例函数、一次函数的学习而不断加深认识，坚持从特殊到一般的原则——先学特殊的一次函数即正比例函数再学习一般的一次函数，着重理解掌握解析式法与图象法之间、解析式法与列表法之间的转化关系。

正比例函数是学生接触的一次函数的先躯，遵从概念教学的基本规律，由生活中的实例出发抽象出统一的函数解析式，利用列表直观反应数字规律，进而利用函数图象归纳出正比例函数的性质，继而利用图象和性质解决实际问题。

学习一次函数的过程与学习正比例函数的经历相似，学生复习了概念学习的基本流程，多次体验解析式、列表法、图象法表示函数的不同优势，渗透了数形结合、变化等数学思想。

综上所述，函数知识在中学数学教学中占有极为重要的地位，既是教学的重点，也是教学的难点之一。

二、知识体系三、说教学目标1.以探索简单实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立函数模型表示变量之间的单值对应关系，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型。

2.结合实例，了解常量、变量的意义和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能结合图象数形结合地分析简单的函数关系。

一次函数教与学现状分析和建议摘要：一次函数是初中函数教学的重点，也是中考的重要内容.据课堂观察、作业、考试可以发现大多数学生对一次函数的学习存在不少问题.文章讨论了初中数学教与学过程中存在的5个问题，并提出了相关解决方法.文章认为教师应激发学生的兴趣，创设情景，引导学生感知几何直观，并通过加强单元整体教学、培养学生探索和表达能力、建立数与形能力来促进学生得到提高.关键词：一次函数；学习现状；教学策略一、教材基本概念和性质掌握不扎实函数是初中数学“数与代数”模块的重要知识，数学教材是教学的依据，是学生获取系统知识的重要来源.经调查发现，课堂教学中学生易忽视教材中一次函数的概念和性质.以下是本问题的原因.（一）缺乏阅读求知欲且不善于总结数学语言具有符号化、逻辑化，以及严谨性、抽象性等特点，对于初中生来说具有一定的理解难度.且教材语言简练，对于专业词汇没有详细、通俗的解读，例题看似简易，但学生不能理解课本基本概念和性质，无法找到数学知识之间、思想方法之间的联系.例如，一次函数章节先学习了正比例函数再学习了一次函数，较少同学会总结它们的相似性和关联性.（二）不能理解函数两个变量之间的关系在问题情境中出现三个及以上变量，学生难以找到变量之间的关系.例如，往球形容器注水，水面的高度、水面的面积和注水量是三个变量，是的函数还是是的函数；是的函数还是是的函数？根据函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.水面的面积随着注入水体积的变化而变化，是的函数；水面的面积随着水面的高度的变化而变化，是的函数.首先找到问题情景有几个变量，再区分自变量与因变量.（三）没有掌握值和值的变化对函数图象的影响数学教材是教学的依据，是学生获取系统知识的重要来源.人教版教材的编写充分考虑了学生年龄特征以及应用能力，但是学生掌握情况并不理想.对于一次函数,决定函数的增减性，一次函数是增函数，一次函数是减函数；函数图象交于轴的正半轴，函数图象交于轴的负半轴.二、感知问题情景，抽象出数学问题的能力不足一次函数的问题情景往往借助古代或现代实际应用呈现，学生往往不能透彻地理解情境中的数学问题.教学过程中，首先教师需要带领学生理解问题情景，根据问题特征直观感知图形并可根据描述画出图形，再借助问题中的参数、符号等理解其几何意义，建立代数与几何的联系，最后学生自主体会图形、数量之间的关系，感知几何直观.例如，《九章算术》记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它有供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速的从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.现仿制了一套浮箭漏，每隔一段时间记录一次，不考虑水量变化对压力的影响，开始时，浮箭悬浮并且刻度为0，能大概画出箭尺读数与漏水时间的图象？初看感觉问题情景与社会经验脱离，教师需要引导学生思考浮箭漏的原理，水匀速，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，读数也是匀速增大，是一次函数.一次函数的学习是非常抽象的，教师创设情景要激发学生的兴趣，同时能发展学生的实践能力.三、缺乏建模思想初中数学建模能力是评价学生学习能力的一部分.目前，部分学生仍然用题海战术的思想来解决问题，建构思维模式根本上没有改变.遇到问题直接硬套一次函数解析式，稍微复杂的实际问题无法转化为数学问题以及构建正确的函数表达式.例如，某学校有师生200人参加春季研学活动，租一辆型客车花费200元，租一辆型客车花费300元，型客车可承载15人，型客车可承载25人，计划租9辆客车，怎么安排使得花销最少？此问题是出行计划安排，理清解题目思路后，不难知道本问题有三点要求，一是师生200人都要有座位，二是型客车和型客车共9辆，三是花费最少.可假设型客车辆，型客车辆，师生200人都有座位可列式，解得；总花销列式，此式是一次函数，比例系数是负数，取最大值2时花销最少.根据本例题可知，教师可从三个方面增强学生建模意识和能力，一是审题，弄清题目具体要求；二是转化，将实际问题转化为数学问题，三是创建模型并检验.四、畏惧开放性问题开放题、“结构不良问题”，考查知识的基本概念和性质，培养学生发散思维和创新思维.随着新课标的提出，学校教学和中考也有了新方向，课堂教学更加注重培养学生的理解能力和创新能力.无论课堂教学还是中考，开放性问题越来越受欢迎，以开放性试题考查发散思维、以探究性试题考查独立思考能力，体现创新性的考查要求.例如，已知函数过第三象限且随增大而减小，写出一个满足条件的函数解析式.据调查分析，许多学生青睐于直接求函数解析式，面对写出符合要求的解析式，产生畏惧，选择乱写或者不填.但从本质上，此问题还是考查学生对一次函数的图象和性质的理解，随增大而减小，说明；图象过第三象限说明，写出任意一个满足且的一次函数解析式就可以.开放性问题满足学生个性化发展的需求，增强了学生的自主性和创造性，不再是机械地用待定系数法求函数解析式[1].五、解题欠规范在课堂和作业练习中学生有几方面造成解题不规范.一是审题不规范.例如，若和成正比，当时，，求与的关系式.许多同学会直接设再将和代入，，然而，题目并没有说与成正比，应该将代入，.二是不重视解题步骤.课堂中教师没有突出重点，或者学生不重视重点，课后也没有总结或者画思维导图.三是语言叙述不规范，数学中语言有三类:文字语言，图像，符号语言，一次函数解决问题过程中没有图象的题目通常需要画图分析，图象性质未掌握或考虑不全面也导致答题不规范.六、建议（一）加强单元整体教学一是一次函数共有11课时，在日后教学时可增加一节概念课，学生对找变量和变量之间的关系没理解，无法抽象出变量之间的关系；二是明确整单元重难点，本章主要包含“函数概念”、“函数图象和性质”、“函数实际生活中的应用”三个模块.推进整体单元教学，可以让学生经历了什么是一次函数，怎么研究一次函数，怎么用一次函数解决生活中的实际问题这些知识升华、发展的过程.（二）培养学生探索和表达能力八年级学生首次接触函数概念，对概念的理解和表达表现能力不足，思维固化.同时，缺乏探究一次函数与一元一次方程、不等式的解跟转化成两个一次函数图象交点的横坐标的关系.因此，在学习过程中，可以引导和培养学生将一次函数关联相关知识点.（三）教学中建立数与形的能力重视课程与生活之间的联系，提高学生认知能力，对于复杂的数量关系，可以分成多个子问题，降低问题难度系数.函数在“数”的层面不易解决的问题可以考虑“形”的层面，借助直观的图象发展学生核心素养.参考文献：[1]张如碧.一道中考题的变式教学[J].中学教学参考,2019(11):9-10.作者简介：陈铖（1999-），女（汉族），湖北黄冈人，江汉大学硕士研究生，研究方向：学科教学（数学）.。

第⼗九章《⼀次函数》内容分析与教学建议第⼗九章《⼀次函数》内容分析与教学建议⼴州市真光中学苏国东⼀、教材分析（⼀）本章地位和作⽤函数知识在中学数学教学中占有极为重要的地位，既是教学的重点，也是教学的难点之⼀。

本章学⽣第⼀次接触函数，是初中函数部分的起始章，是后续学习⼆次函数和反⽐例函数的基础。

对函数概念和函数图像的理解贯穿于整个函数的教学中，随着具体函数的学习⽽不断加深认识，同时对函数概念中体现的变化与对应思想的理解⼜决定了具体的⼀次函数、反⽐例函数、⼆次函数的学习能否顺利地进⾏。

⼀次函数是学⽣接触的第⼀类具体函数形式，由具体实例抽象出统⼀的函数形式、利⽤函数图像归纳函数性质、利⽤函数图像和性质解决实际问题，这种由特殊到⼀般再到特殊的研究⽅法是研究函数的基本⽅法。

变化对应、数形结合等思想⽅法贯穿函数学习的始终，要尽可能地使学⽣加深认识。

（⼆）新版教材的变动《⼀次函数》在旧版教材中是在初⼆上学期学习的内容，《反⽐例函数》是在初⼆下学期学习的内容。

⽽在新版教材中《⼀次函数》移⾄初⼆下学期，《反⽐例函数》移⾄初三下学期，使学⽣学习函数的难点后移。

新旧教材本章内容与课时安排有所调整，“⽤函数观点看⽅程（组）与不等式”并⼊“⼀次函数”⼀节，题⽬作了修改。

19.1节是基础部分，19.2节是重点内容，19.3节是拓展提⾼部分。

具体如下：k 的性质显得更为妥当。

⼆、本章知识结构框图三、内容分析（⼀）函数的相关概念1．理解函数的概念及对应关系：①两个变量相互联系，⼀个变量发⽣变化时另⼀个变量也随之变化；②函数与⾃变量之间是单值对应关系，⾃变量的值确定后，函数值是唯⼀确定的。

2．能根据实际问题列出解析式，写出⾃变量的取值范围（使解析式有意义、实际问题有意义），给出⾃变量的⼀个值，会求出相应的函数值（学⽣对函数与函数值可能混淆）。

3．能较准确地画出简单函数的图象，学会利⽤图象分析变量之间的数量关系。

函数图象直观反映变量间的单值对应关系，提供了数形结合地研究问题的⽅法。