基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧题型分析

ʏ喻 芳利用不等式求最值的实质是a b ɤa +b2ɤa 2+b 22(a ,b >0),a b ɤa +b 22ɤa 2+b22(a ,b ɪR )的灵活应用㊂题型一:简单的和或积为定值求最值例1 (1)已知x ,y ,z 都是正实数,若x y z =1,则(x +y )(y +z )(z +x )的最小值为( )㊂A.2 B .4C .6D .8(2)已知0<x <1,则函数f (x )=x 3(1-x 3)的最大值为㊂(1)由x >0,y >0,z >0,可知x +y ȡ2x y >0(当且仅当x =y 时等号成立),y +z ȡ2y z >0(当且仅当y =z 时等号成立),x +z ȡ2x z >0(当且仅当x =z 时等号成立)㊂以上三个不等式两边同时相乘得(x +y )(y +z )(z +x )ȡ8x 2y 2z 2=8(当且仅当x =y =z =1时等号成立)㊂应选D ㊂(2)由基本不等式得f (x )=x 3(1-x 3)ɤx 3+1-x322=14,当且仅当x 3=1-x 3,即x =312时等号成立㊂故所求的最大值为14㊂感悟:基本不等式a 2+b 2ȡ2a b (a ,b ɪR ),a +b ȡ2a b (a ,b ɪR +),当一端为定值时,另一端就可取到最值,且要注意两个不等式适应的范围和取等号的条件㊂题型二:配凑法构造和或积为定值求最值例2 (1)已知x <54,求y =4x -2+14x -5的最大值㊂(2)若x ȡ72,则f (x )=x 2-6x +10x -3有( )㊂A .最大值52B .最小值52C .最大值2D .最小值2(1)由x <54,可得5-4x >0,所以y =4x -2+14x -5=4x -5+14x -5+3=-5-4x +15-4x+3ɤ-2(5-4x )ˑ15-4x+3=1,当且仅当5-4x =15-4x ,即x =1时等号成立,所以y 的最大值为1㊂(2)由x ȡ72,可得x -3>0,所以f (x )=x 2-6x +10x -3=(x -3)2+1x -3=(x -3)+1x -3ȡ2(x -3)ˑ1x -3=2,当且仅当x -3=1x -3,即x =4时等号成立,所以f (x )有最小值2㊂应选D ㊂感悟:形如y =a x 2+b x +ck x +m的分式函数求最值,可化为y =m g (x )+Ag (x)+B (A >0,B >0),这里g (x )恒正或恒负,然后运用基本不等式求最值㊂题型三:常数代换法求最值例3 已知p ,q 为正实数,且p +q =3,81 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.则1p +2+1q +1的最小值为( )㊂A.23B .53C .74D .95由p ,q 为正实数,p +q =3,可知p +2+q +1=6㊂所以1p +2+1q +1=1p +2+1q +1 ㊃p +26+q +16 =13+16p +2q +1+q +1p +2 ȡ13+16ˑ2p +2q +1㊃q +1p +2=23,当且仅当p +2=q +1,即p =1,q =2时 = 成立㊂应选A ㊂感悟:常数代换法适用于求解条件最值问题㊂题型四:消元法求最值例4 若正实数x ,y ,z 满足x 2+4y 2=z +3x y ,则当x yz 取最大值时,1x +12y -1z 的最大值为㊂正实数x ,y ,z 满足x 2+4y 2=z +3x y ,则z =x 2-3x y+4y 2,所以x y z =x yx 2-3x y +4y2=1x y +4y x -3ɤ12x y ㊃4y x -3=1,当且仅当x =2y 时等号成立,所以x yzm a x=1,此时x =2y ,所以z =x 2-3x y +4y 2=2y 2㊂所以1x +12y -1z =12y +12y -12y 2=-121y -12+12ɤ12,所以1x +12y -1z的最大值为12㊂感悟:解决多元最值的方法是消元后利用基本不等式求解,但要注意所保留变量的取值范围㊂题型五:换元法求最值例5 若正数a ,b 满足2a +b =1,则a 2-2a +b2-b的最小值是㊂设u =2-2a ,v =2-b ,则a =2-u2,b =2-v ,所以u +v =3(u >0,v >0)㊂所以a 2-2a +b 2-b =1-12uu +2-vv=1u +2v -32=13(u +v )1u +2v-32=13㊃3+v u +2u v-32ȡ133+2v u ㊃2uv-32=1+223-32=223-12,当且仅当v 2=2u 2,u +v =3,即v =6-32,u =32-3时等号成立,所以所求的最小值为223-12㊂感悟:换元法求最值的关键是整体换元,利用构造的新元求最值㊂题型六:构建不等式求最值例6 (1)已知正实数x ,y 满足x y =x +y +8,则x +y 的最小值为㊂(2)已知x ,y ɪR +,若x +y +x y =8,则x y 的最大值为㊂(1)由正实数x ,y ,可得(x +y )2=x 2+y 2+2x y ȡ4x y(当且仅当x =y 时等号成立),所以x y ɤ(x +y )24,所以x y =x +y +8ɤ(x +y )24,即(x +y )2-4(x +y )-32ȡ0,解得x +y ɤ-4(舍去)或x +y ȡ8(当且仅当x =y =4时等号成立),所以x +y 的最小值为8㊂(2)因为正数x ,y 满足x +y +x y =8,所以8-x y =x +y ȡ2x y ,即x y +2x y-8ɤ0,解得0<x y ɤ2,所以x y ɤ4,当且仅当x =y =2时取等号㊂所以x y 的最大值为4㊂感悟:利用题设条件,借助基本不等式进行放缩,得到关于 和 或 积 的不等式,解此不等式可得 和 或 积 的最值㊂作者单位:湖北省宜昌市长阳土家族自治县职业教育中心(责任编辑 郭正华)91知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

不等式最值的解题方法与技巧
不等式最值的解题方法与技巧如下：
(一)利用基本不等式。

在原不等式中，把"1"的表达式与所求最值的表达式相乘
或相除，进而构造和或积为定值的形式，再利用基本不等式求解。

(二)轮换对称法。

确认对称，确认最值，取等解方程。

(三)常数代换法。

常数代换法求最值的步骤：
1)根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
2)把确定的定值（常数）变形为1；
3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的
形式；
4)利用基本不等式求解最值。

基本不等式应用一：直接应用求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋（2）y ＝x ＋解：（1）y ＝3x 2＋≥2)＝∴值域为[，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋≥2)＝2；当x ＜0时，y ＝x ＋=－（－x －）≤－2)=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 二：凑项例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

变式12,33y x x x =+>- 三：凑系数例3.当时，求(82)y x x =-的最大值。

解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

当，即x ＝2时取等号当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

变式1：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=3,03x 时等号成立。

变式2：已知x ，y 为正实数，且x 2＋＝1，求x 的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤。

利用基本不等式求最值题型梳理【题型1直接法求最值】【题型2配凑法求最值】【题型3常数代换法求最值】【题型4消元法求最值】【题型5构造不等式法求最值】【题型6多次使用基本不等式求最值】【题型7实际应用中的最值问题】【题型8与其他知识交汇的最值问题】命题规律基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.知识梳理【知识点1利用基本不等式求最值的方法】1.利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.【知识点2基本不等式的实际应用】1.基本不等式的实际应用的解题策略(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.举一反三【题型1直接法求最值】1(2023上·北京·高一校考阶段练习)已知a>0，则a+1a+1的最小值为()A.2B.3C.4D.5【解题思路】用基本不等式求解即可.【解答过程】因为a>0，所以a+1a+1≥2a⋅1a+1=3，当且仅当a=1a即a=1时取等号；故选：B.【变式训练】1(2023·北京东城·统考一模)已知x>0，则x-4+4x的最小值为()A.-2B.0C.1D.22【解题思路】由基本不等式求得最小值．【解答过程】∵x>0，∴x+4x-4≥2x×4x-4=0，当且仅当x=4x即x=2时等号成立．故选：B．2(2023上·山东·高一统考期中)函数y=x2-x+9x(x>0)的最小值为()A.1B.3C.5D.9【解题思路】利用均值不等式求最小值即可.【解答过程】y=x2-x+9x=x+9x-1≥2x⋅9x-1=5，当且仅当x=9x，即x=3时等号成立，故选：C.3(2023下·江西·高三校联考阶段练习)3+1 x21+4x2的最小值为()A.93B.7+42C.83D.7+43【解题思路】依题意可得3+1 x21+4x2=7+1x2+12x2，再利用基本不等式计算可得.【解答过程】3+1 x21+4x2=7+1x2+12x2≥7+21x2⋅12x2=7+43，当且仅当1x2=12x2，即x4=112时，等号成立，故3+1 x21+4x2的最小值为7+4 3.故选：D.【题型2配凑法求最值】1(2023·浙江·校联考模拟预测)已知a>1，则a+16a-1的最小值为()A.8B.9C.10D.11【解题思路】运用基本不等式的性质进行求解即可.【解答过程】因为a>1，所以由a+16a-1=a-1+16a-1+1≥2a-1⋅16a-1+1=9，当且仅当a-1=16a-1时取等号，即a=5时取等号，故选：B.【变式训练】1(2023上·吉林·高一校考阶段练习)已知x>3，则y=2x-3+2x的最小值是()A.6B.8C.10D.12【解题思路】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.【解答过程】由x-3>0，则y=2x-3+2(x-3)+6≥22x-3⋅2(x-3)+6=10，当且仅当x=4时等号成立，故最小值为10.故选：C.2(2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习)设x>2，则函数y=4x-1+4x-2，的最小值为()A.7B.8C.14D.15【解题思路】利用基本不等式求解.【解答过程】因为x>2，所以x-2>0，所以y=4x-1+4x-2=4x-2+4x-2+7≥24x-2⋅4x-2+7=15，当且仅当4x -2 =4x -2，即x =3时等号成立，所以函数y =4x -1+4x -2的最小值为15，故选:D ．3(2023上·辽宁·高一校联考期中)若x >0，y >0且满足x +y =xy ，则2xx -1+4y y -1的最小值为()A.6+26B.4+62C.2+46D.6+42【解题思路】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值.【解答过程】若x >0，y >0且满足x +y =xy ，则有1x +1y=1，所以x >1，y >1，2x x -1+4y y -1=2x -1 +2x -1+4y -1 +4y -1=6+2x -1+4y -1≥6+22x -1⋅4y -1=6+28xy -x +y +1=6+42，当且仅当2x -1=4y -1，即x =1+22,y =1+2时等号成立.所以2x x -1+4y y -1的最小值为6+4 2.故选：D .【题型3 常数代换法求最值】1(2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习)已知a >0，b >0，若2a +3b=1，则2a +b3的最小值是()A.8B.9C.10D.11【解题思路】利用基本不等式“1”的应用即可求解.【解答过程】由题意得a >0，b >0，2a +3b=1，所以2a +b 3=2a +b 3 2a +3b =4+1+2b 3a +6ab ≥5+22b 3a ×6a b=9，当且仅当2b 3a =6ab 时，即a =3，b =9，取等号，故B 项正确.故选：B .【变式训练】1(2023·河南·校联考模拟预测)已知正实数a ，b ，点M 1,4 在直线xa +y b=1上，则a +b 的最小值为()A.4B.6C.9D.12【解题思路】根据题意可得1a+4b=1，结合基本不等式运算求解.【解答过程】由题意得1a+4b=1，且a>0,b>0，故a+b=a+b⋅1a+4b=5+b a+4a b≥5+2b a×4a b=9，当且仅当ba=4ab，即a=3，b=6时，等号成立.故选：C.2(2023上·重庆·高一统考期末)若正实数x，y满足2x+8y-xy=0，则2x+y的最大值为()A.25B.16C.37D.19【解题思路】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【解答过程】∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0,∴2y+8x=1,x+y=x+y2y+8x=2x y+8+2+8y x≥22x y×8y x+10=18,∴2 x+y ≤218=19.故选:D.3(2023·重庆·统考一模)已知a，b为非负实数，且2a+b=1，则2a2a+1+b2+1b的最小值为()A.1B.2C.3D.4【解题思路】首先根据题意求出0≤a<12，0<b≤1，然后将原式变形得2a2a+1+b2+1b=2a+1+1b-1，最后利用1的妙用即可求出其最值.【解答过程】∵2a+b=1，且a,b为非负实数，b≠0，则a≥0,b>0则b=1-2a>0，解得0≤a<12，2a=1-b≥0，解得0<b≤1，∴2a2 a+1+b2+1b=2(a+1)2-4(a+1)+2a+1+b2+1b=2(a+1)-4+2a+1+b+1b=(2a+b-2)+2a+1+1b=2a+1+1b-12 a+1+1b=42a+2+1b=13(2a+2)+b⋅42a+2+1b=135+4b2a+2+2a+2b≥135+24b2a+2⋅2a+2b=3，当且仅当4b2a+2=2a+2b即2a+2=2b，2a+b=1时,即b=1,a=0时等号成立，故2a+1+1b-1min=2，故选：B.【题型4消元法求最值】1(2023上·江苏·高一校联考阶段练习)已知正数x，y满足3x-4=9y，则x+8y的最小值为12.【解题思路】根据指数方程，得出x,y的关系式，运用消元法将所求式化成关于y的关系式，再利用基本不等式求解.【解答过程】由3x-4=9y，可得x-4=2y，即x=2y+4，代入x+8y中，可得2y+4+8y=2y+8y+4≥22y⋅8y+4=12,当且仅当y=2,x=8时，取等号，所以x+8y的最小值为12.故答案为：12.【变式训练】1(2023上·安徽池州·高一统考期中)已知x,y∈R+，若2x+y+xy=7，则x+2y的最小值为62-5.【解题思路】根据题意，化简得到x+2y=x2-3x+14x+1，设t=x+1，求得x2-3x+14x+1=t+18t-5，结合基本不等式，即可求解.【解答过程】由x,y∈R+，且2x+y+xy=7，可得y=7-2xx+1，则x+2y=x+2×7-2xx+1=x2-3x+14x+1，设t=x+1，可得x=t-1且t>1，可得x2-3x+14x+1=t2-5t+18t=t+18t-5≥2t⋅18t-5=62-5，当且仅当t=18t时，即t=32时，等号成立，所以x+2y的最小值为62-5.故答案为：62-5.2(2023上·山东淄博·高一校考阶段练习)已知正实数a,b，且2a+b+6=ab，则a+2b的最小值为13.【解题思路】根据基本不等式即可求解.【解答过程】由2a+b+6=ab可得a=b+6b-2>0，由于b>0，所以b>2，故a+2b=b+6b-2+2b=8b-2+2b-2+5，由于b>2，所以8b-2+2b-2≥216=8，当且仅当b=4时等号成立，故a+2b=8b-2+2b-2+5≥13，故a+2b的最小值为13，故答案为：13.3(2023·上海崇明·统考一模)已知正实数a, b, c, d满足a2-ab+1=0，c2+d2=1，则当(a-c)2+(b-d)2取得最小值时，ab=22+1．【解题思路】将(a-c)2+(b-d)2转化为a,b与c,d两点间距离的平方，进而转化为a,b与圆心0,0的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.【解答过程】可将(a-c)2+(b-d)2转化为a,b与c,d两点间距离的平方，由a2-ab+1=0，得b=a+1 a，而c2+d2=1表示以0,0为圆心，1为半径的圆，c,d为圆上一点，则a,b与圆心0,0的距离为：a2+b2=a2+a+1 a2=2a2+1a2+2≥22a2⋅1a2+2= 22+2，当且仅当2a2=1a2，即a=±412时等号成立，此时a,b与圆心0,0的距离最小，即a,b与c,d两点间距离的平方最小，即(a-c)2+(b-d)2取得最小值.当a=412时，ab=a2+1=22+1，故答案为：22+1.【题型5构造不等式法求最值】1(2023下·河南·高三校联考阶段练习)已知2a+b=ab(a>0,b>0)，下列说法正确的是()A.ab的最大值为8B.1a-1+2b-2的最小值为2C.a+b有最小值3+2D.a2-2a+b2-4b有最大值4【解题思路】根据基本不等式运用的三个条件“一正､二定､三相等”，可知ab≥8，所以A错误；将原式化成a-1b-2=2，即可得1a-1+2b-2=1a-1+a-1≥2，即B正确；不等式变形可得2b+1a=1，利用基本不等式中“1”的妙用可知a+b≥3+22，C错误；将式子配方可得a2-2a+b2 -4b=(a-1)2+(b-2)2-5，再利用基本不等式可得其有最小值-1，无最大值，D错误.【解答过程】对于A选项，ab=2a+b≥22ab，即ab≥22，故ab≥8，当且仅当a=2,b=4时等号成立，故ab的最小值为8，A错误；对于B选项，原式化为a-1b-2=2,b=2aa-1>0，故a-1>0；a=bb-2>0，故b-2>0；所以1a-1+2b-2=1a-1+a-1≥2，当且仅当a=2,b=4时等号成立，B正确；对于C选项，原式化为2b+1a=1，故a+b=a+b2b+1a=2a b+1+2+b a≥3+22，当且仅当a=2+1,b=2+2时等号成立，C错误；对于D选项，a2-2a+b2-4b=(a-1)2+(b-2)2-5≥2a-1b-2-5=-1，当且仅当a=1+2,b=2+2时等号成立，故有最小值-1，D错误．故选：B.【变式训练】1(2022上·山东青岛·高一青岛二中校考期中)已知x>0，y>0，且x+y+xy-3=0；则下列结论正确的是()A.xy的最小值是1B.x+y的最小值是2C.x+4y的最小值是8D.x+2y的最大值是42-3【解题思路】利用基本不等式得x+y+xy-3≥(xy+3)(xy-1)、x+y+xy-3≤(x+y)24+(x+y)-3分别求xy、x+y的最值，注意取等条件；由题设有x=3-yy+1且0<y<3代入x+4y、x+2y，结合基本不等式求最值，注意取等条件.【解答过程】由x+y+xy-3≥xy+2xy-3=(xy+3)(xy-1)，当且仅当x=y=1时等号成立，即(xy+3)(xy-1)≤0，又x>0，y>0，故0<xy≤1，仅当x=y=1时等号成立，所以0<xy≤1，故xy的最大值是1，A错误；由x+y+xy-3≤(x+y)24+(x+y)-3，当且仅当x=y=1时等号成立，所以(x+y)24+(x+y)-3≥0，即(x+y+6)(x+y-2)≥0，又x>0，y>0，则x+y≥2，仅当x=y=1时等号成立，故x+y的最小值是2，B正确；由x+y+xy-3=0，x>0，y>0，可得x=3-yy+1，且0<y<3，所以x +4y =3-y y +1+4y =4y 2+3y +3y +1=4(y +1)2-5(y +1)+4y +1=4(y +1)+4y +1-5≥24(y +1)⋅4y +1-5=3，当且仅当y +1=1，即y =0、x =3时等号成立，故x +4y >3，C 错误；同上，x +2y =3-y y +1+2y =2y 2+y +3y +1=2(y +1)2-3(y +1)+4y +1=2(y +1)+4y +1-3≥22(y +1)⋅4y +1-3=42-3，当且仅当y +1=2，即y =2-1、x =22-1时等号成立，故x +2y ≥42-3，D 错误；故选：B .2(2023上·江苏·高一专题练习)下列说法正确的是()A.若x >2，则函数y =x +1x -1的最小值为3B.若x >0，y >0，3x +1y =5，则5x +4y 的最小值为5C.若x >0，y >0，x +y +xy =3，则xy 的最小值为1D.若x >1，y >0，x +y =2，则1x -1+2y的最小值为3+22【解题思路】选项A ：将函数变形再利用基本不等式进行判断最值即可，选项B ：由基本不等式进行判断即可，选项C ：结合换元法与基本不等式求最值进行判断即可，选项D ：对式子进行变形得到1+yx -1+2x -1 y+2，再利用基本不等式进行判断即可．【解答过程】解：选项A ：y =x +1x -1=x -1+1x -1+1≥2x -1·1x -1+1=3，当且仅当x -12=1时可以取等号，但题设条件中x >2，故函数最小值取不到3，故A 错误；选项B ：若x >0，y >0，3x +1y =5，则5x +4y =153x +1y 5x +4y =1519+5x y +12y x ≥1519+25x y ·12y x=19+4155，当且仅当5xy =12y x时不等式可取等号，故B 错误；选项C ：3-xy =x +y ≥2xy ⇒xy +2xy -3≤0当且仅当x =y 时取等号，令xy =t t ≥0 ，t 2+2t -3≤0，解得-3≤t ≤1，即0<xy ≤1，故xy 的最大值为1，故C 错误；选项D ：x +y =2，(x -1)+y =1，1x -1+2y =1x -1+2y·x -1 +y =1+y x -1+2x -1 y+2≥3+2y x -1·2x -1y=3+22，当且仅当y =2x -2时取等号，又因为x +y =2，故x =2y =2-2 时等号成立，即1x -1+2y最小值可取到3+22，故D 正确．故选：D ．3(2023上·广东中山·高三校考阶段练习)设正实数x ,y 满足x +2y =3，则下列说法错误的是()A.y x +3y 的最小值为4 B.xy 的最大值为98C.x +2y 的最大值为2D.x 2+4y 2的最小值为92【解题思路】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.【解答过程】对于A ，y x +3y =y x +x +2y y =y x +x y +2≥2yxxy+2=4，当且仅当x =y =1时取等号，故A 正确；对于B ，xy =12⋅x ⋅2y ≤12×x +2y 2 2=12×94=98，当且仅当x =2y ，即x =32,y =34时取等号，故B 正确；对于C ，(x +2y )2=x +2y +22xy ≤3+22×98=3+3=6，则x +2y ≤6，当且仅当x =2y ，即x =32,y =34时，故C 错误；对于D ，x 2+4y 2=(x +2y )2-4xy ≥9-4×98=92，当且仅当x =32,y =34时取等号，故D 正确.故选：C .【题型6 多次使用基本不等式求最值】1(2023·河南·校联考模拟预测)已知正实数a ，b ，满足a +b ≥92a +2b，则a +b 的最小值为()A.5B.52C.52D.522【解题思路】先根据基本不等式求出92a +2ba +b ≥252.然后即可根据不等式的性质得出a +b2≥92a +2ba +b ≥252，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.【解答过程】由已知可得，a >0，b >0，a +b >0.因为92a+2ba+b=92+2+9b2a+2ab≥29b2a×2ab+132=6+132=252，当且仅当9b2a=2ab，即2a=3b时等号成立.所以，a+b2≥92a+2ba+b≥252，当且仅当2a=3ba+b=92a+2b，即a=322b=2时，两个等号同时成立.所以，a+b≥322+2=522.故选：D.【变式训练】1(2023·山东菏泽·统考一模)设实数x,y满足x+y=1，y>0，x≠0，则1x+2xy的最小值为()A.22-1B.22+1C.2-1D.2+1【解题思路】分为x>0与x<0，去掉绝对值后，根据“1”的代换，化简后分别根据基本不等式，即可求解得出答案.【解答过程】当x>0时，1x+2xy=x+yx+2xy=yx+2xy+1≥2yx⋅2xy+1=22+1，当且仅当yx=2xy，即x=2-1，y=2-2时等号成立，此时有最小值22+1；当x<0时，1x+2xy=x+y-x+-2xy=y-x+-2xy-1≥2y-x⋅-2xy-1=22-1.当且仅当y-x=-2xy，即x=-1-2，y=2+2时等号成立，此时有最小值22-1.所以，1x+2xy的最小值为22-1.故选：A.2(2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测)已知实数x,y,z>0，满足xy+zx=2，则当4y+1z取得最小值时，y+z的值为()A.1B.32C.2 D.52【解题思路】两次应用基本不等式，根据两次不等式等号成立的条件列方程求解即可.【解答过程】因为实数x,y,z>0，满足xy+zx=2，所以xy +zx=2≥2xy ×z x =2yz ⇒yz ≤1，当且仅当z =yx 2时，yz =1，所以4y +1z≥24y ×1z=24yz≥241=4，当且仅当4y =1z且yz =1时，等号成立；所以当yz =1且4y =1z 时，4y +1z取得最小值4，此时解得y =2z =12 ⇒y +z =52，故选：D .3(2023上·辽宁大连·高一期末)若a >0,b >0,a +b =1，则a 2+3ab a +2b +2b +1-1b 的最大值为()A.2B.2-2C.3-2D.3-22【解题思路】由已知可得a 2+3ab a +2b +1b +1=3-2b -1b +1，进而有a 2+3ab a +2b +2b +1-1b =3-2b -1b，结合基本不等式求最大值，注意取值条件.【解答过程】由题设，a 2+3ab a +2b +1b +1=a (a +3b )+1b +1=a (2b +1)+1b +1，而a =1-b >0，b >0，所以a (2b +1)+1b +1=2+b -2b 2b +1=1+1-2b 2b +1=1+2(1-b 2)-1b +1=3-2b -1b +1，所以a 2+3ab a +2b +2b +1-1b =3-2b -1b 且0<b <1，又2b +1b≥22b ⋅1b =22，当且仅当b =22时取等号，所以a 2+3ab a +2b +2b +1-1b ≤3-22，当且仅当a =1-22,b =22时取等号，即目标式最大值为3-2 2.故选：D .【题型7 实际应用中的最值问题】1(2023上·四川眉山·高一校联考期中)如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为400m 2的十字形地域.计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为8400元/m 2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为420元/m 2；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为160元/m 2.设总造价为y (单位：元)，AD 长为x (单位：m ).(1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围；(2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.【解题思路】(1)由题意可得矩形AMQD的面积，即可得出AM=400-x2 4x；(2)先表示出总造价y，再由基本不等式求解即可.【解答过程】(1)由题意可得，矩形AMQD的面积为S AMQD=400-x24,因此AM=400-x24x，∵AM>0，∴0<x<20.(2)y=8400x2+420×400-x2+160×4×12×400-x24x2=8000x2+3200000x2+152000，0<x<20，由基本不等式y≥28000x2×3200000x2+152000=472000，当且仅当8000x2=3200000x2，即x=25时，等号成立，故当x=25时，总造价y最小，最小值为472000元.【变式训练】1(2023上·山东·高一校联考期中)某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为x米.2≤x≤6(1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价.(2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为900a x+2x元(a>0)(整体报价中含固定费用).若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.【解题思路】(1)根据题意，列出函数关系式，结合基本不等式代入计算，即可得到结果；(2)根据题意，列出不等式，分离参数，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【解答过程】(1)设甲工程队的总造价为y 元，则y =150×2x +16x×3+400×16+800=900x +16x+7200≥900×2x ⋅16x +7200=14400当且仅当x =16x时，即x =4时等号成立.即当宽为4m 时，甲工程队的报价最低，最低为14400元.(2)由题意可得900x +16x +7200>900a x +2 x.对∀x ∈2,6 恒成立.即a <x 2+8x +16x +12令y =x 2+8x +16x +2=x +2 +4x +2+4∵2≤x ≤6,∴4≤x +2≤8.令t =x +2,t ∈4,8 ，则y =t +4t+4在4,8 上单调递增.且t =4时，y min =9.∴0<a <9.即a 的取值范围为0,9 .2(2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习)因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的13．因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x 米(1≤x ≤5)．(1)记y 为甲工程队整体报价，求y 关于x 的关系式；(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为4800t (x +1)x元，问是否存在实数t ，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功(注：整体报价小者竞标成功)，若存在，求出t 满足的条件；若不存在，请说明理由．【解题思路】(1)根据题意分别计算正面和侧面以及其它各面的费用，相加，可得答案;(2)由题意可得不等关系240184x +10x-3120>4800t (x +1)x,对任意x ∈[1,5]都成立，进而转化t <10x 2-13x +18420(x +1)恒成立，采用换元法，结合基本不等式求得答案.【解答过程】(1)由题意，隔离室的左右两侧的长度均为x米(1≤x≤5)，则底面长为24x米，正面费用为3604×24x-2×6,故y=3604×24x-2×6+4×24x×100+2×300×4x+1200=240184x +10x-3120，1≤x≤5.(2)由题意知, 240184x +10x-3120>4800t(x+1)x，对任意x∈[1,5]都成立,即t<10x2-13x+18420(x+1)对任意x∈[1,5]恒成立，令k=x+1,则x=k-1,k∈[2,6]，则t<10(k-1)2-13(k-1)+18420k=10k2-33k+20720k=k2+20720k-3320，而k2+20720k≥2k2⋅20720k=20710，当且仅当k=20710∈[2,6]取等号，故0<t<20710-3320，即存在实数0<t<20710-3320，无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功.3(2023上·重庆·高一校考阶段练习)为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为36000cm2的矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形)，为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设DC=xcm．(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸(AD和CD分别为多少时)，可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积．【解题思路】(1)根据题意列出总面积y表示为x的表达式即可.(2)根据(1)利用基本不等式求可使用宣传栏总面积最大时AD和CD的值.【解答过程】(1)根据题意DC=xcm，矩形海报纸面积为36000cm2，所以AD=36000xcm，又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，所以四个宣传栏的总面积y =CD -5×10 AD -2×10 =x -50 36000x-20 ，其中x -50>036000x -20>0 所以x ∈50,1800 .即y =x -50 36000x-20,x ∈50,1800 .(2)由(1)知y =x -50 36000x-20 ,x ∈50,1800 ，则y =x -50 36000x -20 =37000-20x +1800000x,x ∈50,1800 20x +1800000x≥220x ×1800000x =12000，当且仅当x =300时取等号，则y =37000-20x +1800000x≤25000，当且仅当x =300时取等号，即CD =300cm ,AD =36000300=120cm 时，可使用宣传栏总面积最大为25000cm 2.【题型8 与其他知识交汇的最值问题】1(2023上·安徽·高三校联考阶段练习)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足c +b cos2A =2a cos A cos B A ≤B .(1)求A ；(2)若角A 的平分线交BC 于D 点，且AD =1，求△ABC 面积的最小值.【解题思路】(1)由已知结合正弦定理边化角即可求解;(2)表示出所求面积后运用基本不等式即可求解.【解答过程】(1)由已知和正弦定理可得：sin C +sin B cos2A =2sin A cos A cos B ，所以sin C =sin2A cos B -sin B cos2A =sin (2A -B )>0.又因为C ∈(0,π)，2A -B ∈(0,π)，所以C =2A -B 或者C +2A -B =π.当C =2A -B 时，A +B +2A -B =π，A =π3；当C +2A -B =π时，A =2B 与题设A ≤B 不符.综上所述，A =π3.(2)△ABC 面积S =12bc sin π3=34bc ，由AD 是角平分线，∠BAD =∠CAD =π6，因为S △ABC =S △ABD +S △ADC ，得12bc sin π3=12b sin π6+12c sin π6，即b +c =3bc ，由基本不等式3bc ≥2bc ，bc ≥43，当且仅当b=c=233时等号成立.所以面积S=34bc≥34×43=33.故△ABC面积的最小值3 3.【变式训练】1(2023上·安徽铜陵·高二校联考期中)已知圆C的圆心在坐标原点，面积为9π．(1)求圆C的方程；(2)若直线l，l 都经过点(0,2)，且l⊥l ，直线l交圆C于M，N两点，直线l 交圆C于P，Q两点，求四边形PMQN面积的最大值．【解题思路】(1)根据面积解出半径，再应用圆的标准方程即可；(2)根据几何法求出弦长，再应用面积公式计算，最后应用基本不等式求最值即可.【解答过程】(1)由题可知圆C的圆心为C(0,0)，半径r=3．所以圆C的方程为x2+y2=9．(2)当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=kx+2，圆心到直线l的距离为d，则d=2k2+1，|MN|=232-d2=29-4k2+1，同理可得|PQ|=29-41k2+1=29-4k2k2+1，则S PMQN=12|MN|⋅|PQ|=12×29-4k2+1×29-4k2k2+1=29-4k2+19-4k2k2+1≤9-4 k2+1+9-4k2k2+1=14，当且仅当9-4k2+1=9-4k2k2+1，即k2=1时等号成立．当直线l的斜率不存在时，|MN|=6，|PQ|=232-22=25，此时S PMQN=12|MN|⋅|PQ|=12×6×25=65．当直线l的斜率为0时，根据对称性可得S PMQN=65．综上所述，四边形PMQN面积的最大值为14．2(2023上·江苏盐城·高一校考阶段练习)已知在定义域内单调的函数f x 满足f f x +12x+1-ln x=23恒成立．(1)设f x +12x+1-ln x=k，求实数k的值；(2)解不等式f7+2x>-2x2x+1+ln-ex；(3)设g x =f x -ln x，若g x ≥mg2x对于任意的x∈1,2恒成立，求实数m的取值范围．【解题思路】(1)由题意列方程求解；(2)由函数的单调性转化后求解；(3)参变分离后转化为最值问题，由换元法结合基本不等式求解.【解答过程】(1)由题意得f x =ln x-12x+1+k，f k =ln k-12k+1+k，由于y=ln k-12k+1+k在k∈0,+∞上单调递增，观察ln k-12k+1+k=23，可得k=1；(2)由于f x 在定义域内单调，所以f x +12x+1-ln x为常数，由(1)得f x =ln x-12x+1+1，f x 在x∈0,+∞上单调递增，f-x=ln-x-12-x+1+1=ln-ex-2x2x+1，故原不等式可化为f7+2x>-2x2x+1+ln-ex=f-x，由2x+7>0-x>07+2x>-x，解得-73<x<0，故原不等式的解集为-7 3 ,0；(3)g x =f x -ln x=-12x+1+1=2x2x+1>0，g x ≥mg2x可化为m≤2x2x+1⋅4x+14x=4x+14x+2x=1+-2x+14x+2x对于任意的x∈1,2恒成立，设t=-2x+1∈-3,-1，则-2x+14x+2x=t1-t2+1-t=1t+2t-3，t∈-3,-1，由基本不等式得t+2t=--t+2-t≤-22，当且仅当-t=2-t即t=-2时等号成立，故当t=-2时1t+2t-3min=22-3，故m≤22-2，当且仅当x=log22+1等号成立.实数m的取值范围为-∞,22-2.3(2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是长方形A1B1C1D1内一点，∠APC是二面角A-PD1-C的平面角.(1)证明：点P 在A 1C 1上；(2)若AB =BC ，求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦的最大值.【解题思路】(1)由二面角定义知AP ⊥PD 1,CP ⊥PD 1，利用线面垂直的判定及性质可证PD 1⊥面APC 、PD 1⊥面ACC 1A 1，结合面APC 与面ACC 1A 1有交线，确定它们同平面，进而证结论；(2)构建空间直角坐标系，令P 12,12,k且k >0，C (1,1,0)，D (0,1,0)，求直线方向向量、平面法向量，应用空间向量夹角坐标表示、基本不等式求线面角正弦值的最大值，注意取值条件.【解答过程】(1)由∠APC 是二面角A -PD 1-C 的平面角，则AP ⊥PD 1,CP ⊥PD 1，又AP ∩CP =P ，AP ,CP ⊂面APC ，则PD 1⊥面APC ，又AC ⊂面APC ，即PD 1⊥AC ，由长方体性质知A 1C 1⎳AC ，故PD 1⊥A 1C 1，由长方体性质：AA 1⊥面A 1B 1C 1D 1，又PD 1⊂面A 1B 1C 1D 1，则PD 1⊥AA 1，又A 1C 1∩AA 1=A 1，A 1C 1,AA 1⊂面ACC 1A 1，故PD 1⊥面ACC 1A 1，而面APC ∩面ACC 1A 1=AC ，且PD 1⊥面APC 、PD 1⊥面ACC 1A 1，根据过AC 作与PD 1垂直的平面有且仅有一个，所以面APC 与面ACC 1A 1为同一平面，又P ∈面A 1B 1C 1D 1，面ACC 1A 1∩面A 1B 1C 1D 1=A 1C 1，所以点P 在A 1C 1上；(2)构建如下图示的空间直角坐标系A -xyz ，令AB =BC =1，AA 1=k ，由题设，长方体上下底面都为正方形，由(1)知PD 1⊥A 1C 1，则P 为A 1C 1中点，所以P 12,12,k且k >0，C (1,1,0)，D (0,1,0)，则AP =12,12,k ，PC =12,12,-k ，PD =-12,12,-k ，若m =(x ,y ,z )是面PCD 的一个法向量，则m ⋅PC =12x +12y -kz =0m ⋅PD =-12x +12y -kz =0，令y =2，则m =0,2,1k，所以|cos ‹AP ,m ›|=|AP ⋅m||AP ||m |=212+k 2⋅4+1k 2=23+4k 2+12k 2≤23+22=2(2-1)，仅当k =422时等号成立，故直线PA 与平面PCD 所成角的正弦的最大值为2(2-1).直击真题1(2022·全国·统考高考真题)若x ，y 满足x 2+y 2-xy =1，则()A.x +y ≤1B.x +y ≥-2C.x 2+y 2≤2D.x 2+y 2≥1【解题思路】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【解答过程】因为ab ≤a +b 2 2≤a 2+b 22(a ,b ∈R )，由x 2+y 2-xy =1可变形为，x +y 2-1=3xy ≤3x +y 2 2，解得-2≤x +y ≤2，当且仅当x =y =-1时，x +y =-2，当且仅当x =y =1时，x +y =2，所以A 错误，B 正确；由x 2+y 2-xy =1可变形为x 2+y 2-1=xy ≤x 2+y 22，解得x 2+y 2≤2，当且仅当x =y =±1时取等号，所以C 正确；因为x 2+y 2-xy =1变形可得x -y 2 2+34y 2=1，设x -y 2=cos θ,32y =sin θ，所以x =cos θ+1 3sinθ,y=23sinθ，因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ+23sinθcosθ=1+13sin2θ-13cos2θ+13=43+23sin2θ-π6∈23,2，所以当x=33,y=-33时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D错误．故选：BC．2(2020·山东·统考高考真题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A.a2+b2≥12B.2a-b>12C.log2a+log2b≥-2D.a+b≤2【解题思路】根据a+b=1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【解答过程】对于A，a2+b2=a2+1-a2=2a2-2a+1=2a-1 22+12≥12，当且仅当a=b=12时，等号成立，故A正确；对于B，a-b=2a-1>-1，所以2a-b>2-1=12，故B正确；对于C，log2a+log2b=log2ab≤log2a+b22=log214=-2，当且仅当a=b=12时，等号成立，故C不正确；对于D，因为a+b2=1+2ab≤1+a+b=2，所以a+b≤2，当且仅当a=b=12时，等号成立，故D正确；故选：ABD.3(2020·全国·统考高考真题)设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为() A.4 B.8 C.16 D.32【解题思路】因为C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=±bax，与直线x=a联立方程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c=2a2+b2，结合均值不等式，即可求得答案.【解答过程】∵C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)∴双曲线的渐近线方程是y=±bax∵直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立{x=ay=bax，解得{x=ay=b故D(a,b)联立{x=ay=-bax，解得{x=ay=-b故E(a,-b)∴|ED|=2b∴△ODE面积为：S△ODE=12a×2b=ab=8∵双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)∴其焦距为2c=2a2+b2≥22ab=216=8当且仅当a=b=22取等号∴C的焦距的最小值：8故选：B.4(2021·天津·统考高考真题)若a>0,b>0，则1a+ab2+b的最小值为22．【解题思路】两次利用基本不等式即可求出.【解答过程】∵a>0,b>0，∴1 a +ab2+b≥21a⋅ab2+b=2b+b≥22b⋅b=22，当且仅当1a=ab2且2b=b，即a=b=2时等号成立，所以1a+ab2+b的最小值为2 2.故答案为：2 2.5(2020·天津·统考高考真题)已知a>0, b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为4【解题思路】根据已知条件，将所求的式子化为a+b2+8a+b，利用基本不等式即可求解.【解答过程】∵a>0,b>0,∴a+b>0，ab=1,∴12a+12b+8a+b=ab2a+ab2b+8a+b=a+b2+8a+b≥2a+b2×8a+b=4，当且仅当a+b=4时取等号，结合ab=1,解得a=2-3,b=2+3，或a=2+3,b=2-3时，等号成立.故答案为：4.6(2020·江苏·统考高考真题)已知5x 2y 2+y 4=1(x ,y ∈R )，则x 2+y 2的最小值是45．【解题思路】根据题设条件可得x 2=1-y 45y 2，可得x 2+y 2=1-y 45y 2+y 2=15y 2+4y 25，利用基本不等式即可求解.【解答过程】∵5x 2y 2+y 4=1∴y ≠0且x 2=1-y 45y 2∴x 2+y 2=1-y 45y 2+y 2=15y2+4y 25≥215y 2⋅4y 25=45，当且仅当15y2=4y 25，即x 2=310,y 2=12时取等号.∴x 2+y 2的最小值为45.故答案为：45.7(2019·天津·高考真题)设x >0, y >0, x +2y =5，则(x +1)(2y +1)xy的最小值为43【解题思路】把分子展开化为2xy +6，再利用基本不等式求最值．【解答过程】∵(x +1)(2y +1)xy =2xy +x +2y +1xy,∵x >0, y >0, x +2y =5,xy >0,∴2xy +6xy ≥2⋅23xyxy =43，当且仅当xy =3，即x =3,y =1时成立，故所求的最小值为43．8(2017·江苏·高考真题)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是30．【解题思路】得到总费用为4x +600x ×6=4x +900x，再利用基本不等式求最值．【解答过程】总费用为4x +600x ×6=4x +900x≥4×2900=240，当且仅当x =900x，即x =30时等号成立．故答案为30.。

专题27 基本不等式中常见的方法求最值一、例题选讲 题型一、消参法消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例1、(2017苏北四市期末）. 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 【答案】 8【解析】解法1 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x－3(y ＞3)， 所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1y －3，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1y －3的最小值为8.解法2 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3x－6＞0， 所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋13x －6＋6≥2⎝⎛⎭⎫3x －6·13x －6＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x －6，即x ＝37时取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1y －3的最小值为8.例2、（2013徐州、宿迁三检）若0,0a b >>，且，则的最小值为 ．【解析】由已知等式得222122a b ab a b b ++=+++，从而212b b a b-+=，21222b b a b b b -++=+131222b b =++1122≥+=题型二、双换元若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系例3、(2015苏锡常镇、宿迁一调）已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为________．【答案】3＋224【解析】设⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝m ，x －y ＝n .解得⎩⎨⎧x ＝m ＋3n4，y ＝m －n4.所以x ＋y ＝m ＋n 2≤2，即m ＋n ≤4.设t ＝2x ＋3y ＋1x －y ＝2m＋1n ，所以4t ≥⎝⎛⎭⎫2m ＋1n (m ＋n )＝3＋2n m ＋m n ≥3＋2 2.即t ≥3＋224，当且仅当2n m ＝mn ，即m ＝2n 时取等号．例4、（2013徐州、宿迁三检）若0,0a b >>，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】所以332222m n a b +=+-，因为33113()()22222222m n m n m n m n n m+=++=++≥+所以332222m n a b +=+-≥题型三、1的代换1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。

利用基本不等式求最值8大题型命题趋势基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。

题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。

在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。

在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。

利用基本不等式求最值的方法1.直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2.配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。

3.代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；类型2：分母为多项式时方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a +4b 与a +3b ，分子为a +2b ，设a +2b =λ3a +4b +μa +3b =3λ+μ a +4λ+3μ b∴3λ+μ=14λ+3μ=2 ，解得：λ=15μ=254.消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。

5.构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。

热点题型解读【题型1直接法求最值】【例1】(2022春·辽宁锦州·高三校考阶段练习)已知x >0,y >0，且x +y =12，则xy 的最大值为()A.16B.25C.36D.49【答案】C【解析】因为x >0,y >0，x +y =12≥2xy ，即xy ≤36，当且仅当x =y =6时取到等号，故xy的最大值为36.故选：C【变式1-1】(2022·四川广安·广安二中校考模拟预测)已知3x+9y=18，当x+2y取最大值时，则xy的值为( )A.2B.2C.3D.4【答案】B【解析】由已知3x+9y=18可得3x+32y=18，则18=3x+32y≥23x×32y=23x+2y，即3x+2y≤81，所以x+2y≤4，当且仅当x=2y=2时取等号，即x=2，y=1，此时xy=2.故选：B．【变式1-2】(2023·河南郑州·高三校联考阶段练习)已知正数a,b满足a2+2b2=1,则ab2的最大值是()A.13B.33C.39D.19【答案】C【解析】解:由题知1=a2+2b2=a2+b2+b2≥33a2b2b2,∴3a2b4≤1 3,当且仅当a=b=33时取等号，所以ab2≤39．故选:C．【变式1-3】(2022·上海·高三统考学业考试)已知x>1，y>1且lg x+lg y=4，那么lg x·lg y的最大值是( )A.2B.12C.14D.4【答案】D【解析】∵x>1，y>1，∴lg x>0，lg y>0，∴lg x⋅lg y≤lg x+lg y22=42 2=4，当且仅当lg x=lg y=2，即x=y=100时等号成立．故选：D.【变式1-4】(2022春·云南·高三校联考阶段练习)已知正数a,b满足a+5b2a+b=36，则a+2b的最小值为()A.16B.12C.8D.4【答案】D【解析】因为a+5b2a+b≤a+5b+2a+b22，所以9(a+2b)24≥36.又a>0,b>0.所以a+2b≥4，当且仅当a=83,b=23时，等号成立.故选：D【题型2配凑法求最值】【例2】(2022·全国·高三专题练习)已知-3<x<0，则f x =x9-x2的最小值为________．【答案】-9 2【解析】因为-3<x<0，所以f x =x9-x2=-9-x2⋅x2≥-9-x2+x22=-92，当且仅当9-x 2=x 2，即x =-322时取等，所以f x =x 9-x 2的最小值为-92.【变式2-1】(2022春·上海静安·高三上海市市西中学校考期中)函数f (x )=x +9x -1(x >1)的值域为______.【答案】7,+∞【解析】由题知，x >1，所以x -1>0，所以f (x )=x -1 +9x -1+1≥2x -1 ⋅9x -1+1=7，当且仅当x -1=9x -1，即x =4时取等号，所以函数f (x )=x +9x -1(x >1)的值域为7,+∞ .【变式2-2】(2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)已知x >0,y >0，且x +y =7，则1+x 2+y 的最大值为()A.36B.25C.16D.9【答案】B【解析】由x +y =7，得x +1 +y +2 =10，则1+x 2+y ≤1+x +2+y 2 2=25，当且仅当1+x =2+y ，即x =4,y =3时，取等号，所以1+x 2+y 的最大值为25.故选：B .【变式2-3】(2022春·山东济宁·高三统考期中)已知向量m =a -5,1 ,n =1,b +1 ，若a >0,b >0，且m⊥n ，则13a +2b +12a +3b 的最小值为()A.15B.110C.115D.120【答案】A【解析】根据题意，m ⋅n =a -5+b +1=0，即a +b =4，则3a +2b +2a +3b =20，又a >0,b >0，故13a +2b +12a +3b =12013a +2b +12a +3b 3a +2b +2a +3b =1202+2a +3b 3a +2b +3a +2b 2a +3b≥120×2+22a +3b 3a +2b ×3a +2b 2a +3b =15，当且仅当2a +3b 3a +2b =3a +2b2a +3b，且a +b =4，即a =b =2时取得等号.故选：A .【题型3消元法求最值】【例3】(2022春·湖南永州·高三校考阶段练习)设x ≥0,y ≥0,x 2+y 22=1，则x 1+y 2的最大值为()A.1B.22C.324D.2【答案】C【解析】因为x 2+y 22=1，所以y 2=2-2x 2≥0，解得：x ∈0,1 ，故x 1+y 2=x 1+2-2x 2=x 3-2x 2=222x 23-2x 2 ≤22×2x 2+3-2x 22=324，当且仅当2x 2=3-2x 2，即x =32时，等号成立，故x 1+y 2的最大值为324.【变式3-1】(2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)已知正数a ,b 满足a 2-2ab +4=0，则b-a4的最小值为()A.1 B.2C.2D.22【答案】B【解析】∵a ,b >0,a 2-2ab +4=0，则有b =a 2+2a，∴b -a 4=a 2+2a -a 4=a 4+2a≥2a 4⋅2a =2，当且仅当a 4=2a ，即a =22时等号成立，此时b =322，故选：B .【变式3-2】(2022春·广东广州·高三执信中学校考阶段练习)设正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则xy z的最大值为()A.0B.2C.1D.3【答案】C【解析】因为正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则z =4x 2-3xy +y 2，则xy z =xy 4x 2-3xy +y 2=14x y +y x -3≤124x y ⋅y x-3=1，当且仅当y =2x >0时取等号.故xy z 的最大值为1.故选：C .【变式3-3】(2023·全国·高三专题练习)设正实数x ，y ，z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0，则当xyz取得最大值时，2x +1y -2z 的最大值为()A.0B.3C.94D.1【答案】D【解析】由正实数x ，y ，z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0，∴z =x 2-3xy +4y 2．∴xy z =xy x 2-3xy +4y 2=1x y +4y x -3≤12x y ⋅4y x-3=1，当且仅当x =2y >0时取等号，此时z =2y 2．∴2x +1y -2z =22y +1y -22y2=-1y -1 2+1≤1，当且仅当y =1时取等号，即2x +1y -2z的最大值是1．故选：D 【变式3-4】(2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)(多选)已知a ，b ，c 均为正实数，ab +ac=2，则1a +1b +c +8a +b +c的取值不可能是()A.1B.2C.3D.4【答案】ABC【解析】a ，b ，c 均为正实数，由ab +ac =2得：a b +c =2，即b +c =2a，所以1a +1b +c +8a +b +c =1a +a 2+8a +2a=2+a 22a +8a a 2+2，由基本不等式得：1a +1b +c +8a +b +c =2+a 22a +8a a 2+2≥22+a 22a ⋅8a a 2+2=4，当且仅当2+a 22a =8aa 2+2，即a =2±2时，等号成立.故选：ABC【变式3-5】(2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习)若x 21+y 21=4,x 22+y 22=4,x 1⋅y 2=-2，则x 2⋅y 1的最大值为___________．【答案】2【解析】x 2⋅y 1 2=4-y 22 4-x 21 =4-4x 214-x 21 =20-44x 21+x 21，由y 2=-2x 1，所以y 2 =-2x 1=2x 1≤2，所以1≤x 1 ≤2，所以x 2⋅y 1 2=20-44x 21+x 21≤20-4×24x 21⋅x 21=4，当且仅当|x 1|=2时，等号成立，所以x 2⋅y 1≤2，当且仅当x 2=2,y 1=2或x 2=-2,y 1=-2时取等号，所以x 2⋅y 1的最大值为2．【题型4代换法求最值】【例4】(2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习)已知x >0,y >0，且4x +y =1，则1x +9y的最小值是_____．【答案】25【解析】因为x >0,y >0，且4x +y =1，所以1x +9y =4x +y 1x +9y =4+36xy +y x+9≥13+236x y ⋅y x=25，当且仅当36x y =y x ，即x =110,y =35时，等号成立.【变式4-1】(2022春·江西·高三九江一中校联考阶段练习)已知a >0，b >0，a +b =2，则b a +4b的最小值为_______.【答案】22+2【解析】因为a >0，b >0，且a +b =2，所以b a +4b =b a +4b a +b 2 =b a +2a b +2≥2b a ×2a b+2=22+2，当且仅当b 2=2a 2时取等号故b a +4b 的最小值为22+2【变式4-2】(2022春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习)若正实数x ，y 满足2x +y =xy ，则x +2y 的最小值为______．【答案】9【解析】由2x +y =xy 得2y +1x=1，又因为x >0，y >0，所以x +2y =x +2y 2y +1x =2xy +2y x +5≥22x y ⋅2y x +5=9，当且仅当x =y =3时等号成立，故x +2y 的最小值为9．【变式4-3】(2022春·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习)已知x >-2，y >0，2x +y =3，则x +2y +2x +2+7y的最小值为()A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】因为x >-2，y >0，2x +y =3，所以2x +2 +y =7，x +2>0，所以x +2y +2x +2+7y =x +2y +2x +2+2x +2 +y y =2+2y x +2+2x +2 y≥2+22yx +2⋅2x +2 y=6，当且仅当x +2=y ，即x =13，y =73时等号成立，即x +2y +2x +2+7y 的最小值为6，故选：B .【变式4-4】(2022·广西·统考一模)如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且AG=2GM ，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，AB =xAP (x >0)，AC =yAQ (y >0)，则1x+1y +1的最小值为()A.34B.1C.43D.4【答案】B【解析】由于M 为线段BC 的中点，则AM =12AB +12AC又AG =2GM ，所以AM =32AG ，又AB =xAP (x >0)，AC =yAQ (y >0)所以32AG=x 2AP +y 2AQ ，则AG =x 3AP +y 3AQ因为G ,P ,Q 三点共线，则x3+y 3=1，化得x +y +1 =4由1x +1y +1=14x +y +1 1x +1y +1 =14x y +1+y +1x+2 ≥142x y +1⋅y +1x+2=1当且仅当x y +1=y +1x 时，即x =2,y =1时，等号成立，1x +1y +1的最小值为1故选：B 【题型5双换元法求最值】【例5】(2022春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习)设x >-1,y >-2，且x +y =4，则x 2x +1+y 2y +2的最小值是__________.【答案】167【解析】令x +1=a (a >0)，y +2=b (b >0)，则x =a -1，y =b -2，因为x +y =4，则有a +b =7，所以x 2x +1+y 2y +2=(a -1)2a +(b -2)2b =a +1a -2+b +4b -4=7-2-4+1a +4b=1+17(a +b )1a +4b =1+171+4+b a +4a b≥1+17×5+2b a ×4a b =167当且仅当b =2a ，即a =73,b =143时取等号，则x ,y 分别等于43,83时，x 2x +1+y 2y +2的最小值是167.【变式5-1】(2022春·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习)已知正数x ，y 满足3x +2y y +83x +2y x=1，则xy 的最小值是()A.54B.83C.43D.52【答案】D 【解析】xy =xy 3x +2y y +83x +2y x=3x x +2y +8y 3x +2y ，令x +2y =m ，3x +2y =n ，则x =n -m 2，y =3m -n4，xy =3x x +2y +8y 3x +2y =3n 2m +6m n -72≥23n 2m ⋅6m n -72=52，当且仅当3n 2m =6m n 且3x +2y y +83x +2y x =1，即x =5，y =52时，等号成立，所以xy ≥52，故xy 有最小值52.故选：D .【变式5-2】(2022·全国·高三专题练习)设正实数x ,y 满足x >12,y >1，不等式4x 2y -1+y 22x -1≥m 恒成立，则m 的最大值为()A.8 B.16C.22D.42【答案】A【解析】设y -1=b ,2x -1=a ，则y =b +1b >0 ,x =12a +1 a >0 所以4x 2y -1+y 22x -1=a +1 2b +b +1 2a ≥2a +1b +1 ab =2ab +a +b +1ab=2ab +1ab +a +b ab ≥22ab ⋅1ab +2ab ab=2⋅2+2 =8当且仅当a =b =1即x =2,y =1时取等号所以4x 2y -1+y 22x -1的最小值是8，则m 的最大值为8.故选A【变式5-3】(2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中)已知x >0,y >0，若x +y =1，则33x +2y+11+3y的最小值是___________.【答案】85【解析】设x +y +k =λ3x +2y +μ1+3y ，由对应系数相等得1=3λ1=2λ+3μk =μ，得λ=13k =μ=19所以x +y +19=133x +2y +191+3y整理得1=3103x +2y +1101+3y 即1=1109x +6y +1+3y所以33x +2y +11+3y =1109x +6y +1+3y 33x +2y +11+3y=1+11031+3y 3x +2y +9x +6y 1+3y≥85.经验证当x =y =12时，等号可取到.【题型6齐次化求最值】【例6】(2020春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习)已知a ,b 都是负实数，则a a +2b +ba +b的最小值是____________ .【答案】22-2【解析】a a +2b +b a +b =a 2+2ab +2b 2a 2+3ab +2b 2=1-ab a 2+3ab +2b2=1-1a b+2b a +3，因为a ,b 都是负实数，所以a b>0,2ba >0，所以a b +2b a ≥2a b ×2b a =22(当且仅当a b=2b a 时等号成立).所以a b +2b a +3≥22+3，所以1a b+2b a +3≤122+3，所以-1a b +2b a +3≥-122+3=22-3，所以1-1a b+2b a +3≥1+22-3=22-2.即a a +2b +b a +b的最小值是22-2.【变式6-1】(2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)已知对任意正实数x ，y ，恒有x 2+y 2≤a x 2-xy +y 2 ，则实数a 的最小值是___________.【答案】2【解析】因为x >0,y >0，则x 2-xy +y 2=x -y 2+xy >0，则x2+y2≤a x2-xy+y2，即x2+y2x2-xy+y2≤a，又x2+y2x2-xy+y2=11-xyx2+y2，因为x2+y2≥2xy，所以1-xyx2+y2≥12，所以11-xyx2+y2≤2，即x2+y2x2-xy+y2≤2，当且仅当x=y时，取等号，所以x2+y2x2-xy+y2max=2，所以a≥2，即实数a的最小值是2.【变式6-2】(2022·全国·高三专题练习)已知x>0，y>0，则x2+3y2xy+y2的最小值为____．【答案】2【解析】∵x，y>0，则x2+3y2xy+y2=x2y2+3xy+1，设xy=t，t>0，则x2+3y2xy+y2=t2+3t+1=t+12-2t+1+4t+1=(t+1)+4t+1-2≥2t+1×4t+1-2=4-2=2，当且仅当t+1=4t+1，即t=1时取等号，此时x=y，故x2+3y2xy+y2的最小值为2.【题型7构造不等式法求最值】【例7】(2013春·浙江嘉兴·高三阶段练习)已知正实数a，b满足2ab=a+b+12，则ab的最小值是_____ ______.【答案】9【解析】由2ab=a+b+12得，2ab≥2ab+12，化简得ab-3ab+2≥0，解得ab≥9，所以ab的最小值是9.【变式7-1】已知x>0，y>0，2xy=x+y+4，则x+y的最小值为______．【答案】4【解析】由题知x>0,y>0,由基本不等式得xy≤x+y22，即x+y+4≤2×x+y22，令t=x+y，t>0，则有t+4≤2×t22，整理得t2-2t-8≥0，解得t≤-2(舍去)或t≥4，即x+y≥4，当且仅当x=y=2时等号成立，所以x+y的最小值为4.【变式7-2】(2022·全国·高三专题练习)若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是___________．【答案】2105【解析】∵4x 2+y 2+xy =1，∴(2x +y )2-3xy =1≥(2x +y )2-322x +y 2 2=58(2x +y )2，当且仅当2x =y 时，等号成立，此时(2x +y )2≤85，所以2x +y ≤2105，即2x +y 的最大值是2105.【变式7-3】(2020春·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习)若x >0，y >0，y +1x+4x +2y =5，则2x +y 的最小值为___________.【答案】8【解析】因为x >0，y >0，所以2x +y >0由y +1x +4x +2y=5两边同时乘xy ，得y 2+y +4x 2+2x =5xy ，即4x 2+y 2+4xy +2x +y =5xy +4xy ，则2x +y 2+2x +y =9xy ，因为2xy ≤2x +y 2 2=2x +y 24，所以9xy =92×2xy ≤92×2x +y 24=982x +y2，故2x +y 2+2x +y ≤982x +y 2，整理得2x +y 2-82x +y ≥0，即2x +y 2x +y -8 ≥0，所以2x +y ≥8或2x +y ≤0(舍去)，故2x +y 的最小值为8.【题型8多次使用不等式求最值】【例8】(2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)已知a >0,b >0，则4b +ba2+2a 的最小值为()A.22 B.42C.42+1D.22+1【答案】B【解析】因为a >0,b >0，所以4b +ba2+2a ≥24b ⋅b a 2+2a =4a+2a ≥24a⋅2a =42，当且仅当4b =b a2且4a =2a ，即a =2,b =22时取等号，即4b +ba2+2a 的最小值为4 2.故选：B .【变式8-1】(2022春·江苏淮安·高三校联考期中)当0<x <2a ,不等式1x 2+12a -x2≥1恒成立，则实数a 的取值范围是()A.2,+∞B.0，2C.0,2D.2,+∞【答案】B【解析】1x 2+12a -x 2≥1恒成立，即1x 2+12a -x 2 min≥1∵0<x <2a ,∴2a -x >0，又1x 2+1(2a -x )2≥21x 2(2a -x )2=2x (2a -x )≥2x +2a -x 22=2a 2，上述两个不等式中，等号均在x =2a -x 时取到，∴1x 2+12a -x 2min=2a 2，∴2a2≥1，解得-2≤a ≤2且a ≠0，又a >0，实数a 的取值范围是0，2 .故选：B .【变式8-2】(2022·全国·模拟预测)已知a >0，b >0，c >1，a +2b =2，则1a +2bc +2c -1的最小值为()A.92B.2C.6D.212【答案】D【解析】1a +2b =121a +2b a +2b =125+2b a +2a b≥125+4 =92，当且仅当a =b =23时等号成立，(应用基本不等式时注意等号成立的条件)所以1a +2bc +2c -1≥92c -1 +2c -1+92≥29c -1 2⋅2c -1+92=212，当且仅当9c -1 2=2c -1，即c =53且a =b =23时，等号成立，故最小值为212，故选：D【变式8-3】(2022春·安徽·高三校联考阶段练习)已知a ,b ,c ∈R +，θ∈-π2,π2，不等式2b a +c a 2+4b 2+c 2≤cos θ恒成立，则θ的取值范围是()A.-π2,π2B.-π3,π3C.-π4,π4D.-π6,π6【答案】C【解析】因为a ,b ,c ∈R +,θ∈-π2,π2 ，不等式2b a +c a 2+4b 2+c 2≤cos θ恒成立，所以2b a +c a 2+4b 2+c 2 max≤cos θ，因为a ,b ,c ∈R +，所以2ab =12×2a 2b ≤12a 2+2b 2 =12a 2+2b 2，当且仅当a =2b 时等号成立；2bc =12×2c 2b ≤12c 2+2b 2 =12c 2+2b 2，当且仅当c =2b 时等号成立.所以2b a +c a 2+4b 2+c 2=2ab +2bc a 2+4b 2+c 2≤12a 2+2b 2 +12c 2+2b 2a 2+4b 2+c 2=22，当且仅当a =2b =c 时等号成立，所以2b a +c a 2+4b 2+c2的最大值为22，所以cos θ≥22，又因为θ∈-π2,π2，所以θ∈-π4,π4.故选：C.【变式8-4】(2023·全国·高三专题练习)若a，b，c均为正实数，则ab+bca2+2b2+c2的最大值为()A.12B.14C.22D.32【答案】A【解析】因为a，b均为正实数，则ab+bca2+2b2+c2=a+ca2+c2b+2b≤a+c2a2+c2b×2b=a+c22a2+c2=12a2+2ac+c22a2+c2=1212+aca2+c2≤1212+ac2a2×c2=12，当且仅当a2+c2b=2b，且a=c，即a=b=c时取等号，则ab+bca2+2b2+c2的最大值为12．故选：A．限时检测(建议用时：60分钟)1.(2022春·江苏徐州·高三学业考试)若正实数x，y满足1x+2y=1，则x+2y的最小值为()A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】因为x，y是正数，所以有1x+2yx+2y=5+2yx+2xy≥5+22yx∙2xy=9，当且仅当2yx=2xy时取等号，即当且仅当x=y=3时取等号，故选：C2.(2022春·广东湛江·高三校考阶段练习)已知x>2,y=x+1x-2，则y的最小值为()A.2B.1C.4D.3【答案】C【解析】因为x>2，所以x-2>0,1x-2>0，由基本不等式得y=x+1x-2=x-2+1x-2+2≥2x-2⋅1x-2+2=4，当且仅当x-2=1x-2，即x=3时，等号成立，则y的最小值为4.故选：C3.(2022春·河南·高三安阳一中校联考阶段练习)已知a>1，b>1，且aln+4bln=2，则a elog+b e4log的最小值为()A.92lg B.212 C.252 D.12【答案】C【解析】a e log =1a ln ，b e 4log =4b ln ，因为a >1，b >1，故a >0ln ,b ln >0，a e log +b e 4log =1a ln +4b ln =12×a ln +4b ln 1a ln +4bln=12×17+4b ln a ln +4a ln bln≥12×17+24b ln a ln ⋅4a ln bln=252，当且仅当a ln =b ln 时，即a =b =e 25时等号成立．所以a e log +b e 4log 的最小值为252．故选：C4.(2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习)已知正数a ,b 满足4a +9b =4，则ab 的最大值为()A.19B.16C.13D.12【答案】A【解析】正数a ,b 满足4a +9b =4，由基本不等式得：4a +9b =4≥24a ⋅9b ，解得：ab ≤19，当且仅当4a =9b ，即a =12,b =29时，等号成立，ab 的最大值为19.故选：A 5.(2022春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末)已知a >0,b >0，9是3a 与27b 的等比中项，则a 2+2a +3b 2+1b 的最小值为()A.9+26 B.21+264C.7D.14+263【答案】B【解析】由等比中项定义知：3a ⋅27b =3a +3b =92，∴a +3b =4，∴a 2+2a +3b 2+1b =a +3b +2a +1b =4+142a +1b a +3b =4+145+6b a +a b≥4+145+26b a ⋅a b =4+5+264=21+264(当且仅当6b a =ab，即a =46-8，b =43-6 3时取等号)，即a 2+2a +3b 2+1b的最小值为21+264.故选：B .6.(2022春·河南南阳·高三校考阶段练习)在△ABC 中，过重心E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM =xAB ,AN =yAC ，(x >0，y >0)，则4x +y 的最小值是()A.43B.103C.3D.2【答案】C【解析】在△ABC 中，E 为重心，所以AE =23⋅12AB +AC =13AB +AC ，设AM =xAB ,AN =yAC ，(x >0，y >0)，所以AB =1x AM ,AC =1y AN ，所以AE =13⋅1x AM +13⋅1yAN .因为M 、E 、N 三点共线，所以13x +13y=1，所以4x +y 13x +13y=43+13+y 3x +4x 3y ≥53+2y 3x ⋅4x 3y =3(当且仅当y 3x =4x 3y ，即x =12，y =1时取等号)．故4x +y 的最小值是3．故选：C ．7.(2022春·四川德阳·高三阶段练习)已知实数a 、b >0，且函数f x =x 2-2a +b x +2a +b -1的定义域为R ，则a 2b +2a 的最小值是()A.4B.6C.22D.2【答案】A【解析】∵f x =x 2-2a +b x +2a +b -1定义域为R ，∴x 2-2a +b x +2a +b -1≥0在R 上恒成立，∴△=-2a +b 2-4×2a +b -1 ≤0，即：a +b 2-2a +b +1≤0∴a +b -1 2≤0，解得：a +b =1又∵a >0,b >0∴a 2b +2a =1-b 2b +2a =12b +2a -12=12b +2a a +b -12=a 2b +2ba +2≥2a 2b ⋅2b a+2=4当且仅当a 2b =2b a ，即a =23,b =13时取等号.故选：A .8.(2022春·江西宜春·高三校考阶段练习)设x >y >z ，且1x -y +1y -z ≥nx -zn ∈N 恒成立，则n 的最大值为()A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】因为x >y >z ，所以x -y >0，y -z >0，x -z >0，所以不等式1x -y +1y -z ≥n x -z 恒成立等价于n ≤x -z 1x -y +1y -z恒成立.因为x -z =x -y +y -z ≥2x -y y -z ，1x -y +1y -z≥21x -y ⋅1y -z ，所以x -z ⋅1x -y +1y -z≥4x -y y -z⋅1x -y ⋅1y -z =4(当且仅当x -y =y -z 时等号成立)，则要使n ≤x -z 1x -y +1y -z恒成立，只需使n ≤4n ∈N ，故n 的最大值为4.故选：C 9.(2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习)(多选)已知实数a ，b 满足4a 2-ab +b 2=1，以下说法正确的是()A.a ≤21515B.a +b <1C.45≤4a 2+b 2≤43D.2a -b ≤2105【答案】ACD【解析】由4a 2-ab +b 2=1，可得b 2-ab +4a 2-1=0，关于b 的方程有解，所以△=-a 2-44a 2-1 ≥0，所以a 2≤415，即a ≤21515，故A 正确；取a =0,b =1，4a 2-ab +b 2=1，则a +b =1，故B 错误；由4a 2-ab +b 2=1，可得4a 2+b 2=ab +1=1+12⋅2ab ，又-4a 2+b 22≤2ab ≤4a 2+b 22，令t=4a 2+b 2，则-t 2≤2t -1 ≤t 2，所以45≤t ≤43，即45≤4a 2+b 2≤43，故C 正确；由4a 2-ab +b 2=1，可得2a -b 2+3ab =1，所以2a -b 2=1-3ab =1+32⋅2a ⋅-b ，令u =2a -b ，由2a ⋅-b ≤2a -b 22，可得u 2≤1+38u 2，所以u 2≤85，即2a -b ≤2105，故D 正确.故选：ACD .10.(2022·浙江·模拟预测)(多选)已知a ，b 为正数，且2a +b -2=0，则()A.a 2+16>8a B.2a +1b≥9 C.a 2+b 2≥255D.32<a +b -5a -2<4【答案】ACD【解析】对于A 选项，a 2+16-8a =a -4 2≥0，当且仅当a =4时等号成立，当a =4时，由于2a +b -2=0，得b =2-2a =2-8=-6，与b 为正数矛盾，故a ≠4，即得a 2+16>8a ，故A 选项正确；对于B 选项，∵2a +b -2=0，∴a +b2=1.又∵a >0,b >0∴2a +1b =2a +1b a +b 2 =2+b a +a b+12≥52+2b a ⋅a b =92，当且仅当b a =a b，即a =b =23时等号成立；故B 选项不正确；对于C 选项，∵2a +b -2=0，∴b =2-2a ，a ∈0,1 .∵a 2+b 2=a 2+2-2a 2=5a 2-8a +4=5a -45 2+45，∴a 2+b 2≥45，当且仅当a =45时等号成立，∴a 2+b 2≥255，故C 选项正确；对于D 选项，∵2a +b -2=0，∴b =2-2a ，a ∈0,1 .∴a +b -5a -2=a +2-2a -5a -2=-a -3a -2=-a -2 -5a -2=-1-5a -20<a <1 ，当0<a <1时，-2<a -2<-1，∴-5<5a -2<-52，得32<-1-5a -2<4，即32<a +b -5a -2<4，故D 选项正确.故选：ACD11.(2022春·山西·高三校联考阶段练习)(多选)若a >b >1，且a +3b =5，则()A.1a -b +4b -1的最小值为24 B.1a -b +4b -1的最小值为25C.ab -b 2-a +b 的最大值为14 D.ab -b 2-a +b 的最大值为116【答案】BD【解析】由a >b >1，可知a -b >0，b -1>0，a -b +4b -1 =a +3b -4=5-4=1，1a -b +4b -1=a -b +4b -1 a -b +4a -b +4b -1 b -1=17+4b -1 a -b +4a -b b -1≥17+24b -1 a -b ⋅4a -b b -1=25当且仅当a -b =b -1=15 时，等号成立，1a -b +4b -1的最小值为25．又1=a -b +4b -1 ≥2a -b ⋅4b -1 =4a -b ⋅b -1 ．当且仅当a -b =4b -1 =12时，等号成立，所以ab -b 2-a +b =a -b ⋅b -1 ≤116，故ab -b 2-a +b 的最大值为116．故选：BD .12.(2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习)(多选)在下列函数中，最小值是4的是()A.y =x +4xB.y =x +5x +1x >0 C.y =x sin +4xsin ，x ∈0,π2D.y =4x +41-x【答案】BD【解析】对于A ，当x >0时，y =x +4x ≥2x ⋅4x =4，当且仅当x =4x，即x =2时取等号；当x <0时，y =x +4x =--x +-4x ≤-2x ⋅4x =-4，当且仅当-x =-4x ，即x =-2时取等号，所以y ∈-∞,-4 ⋃4,+∞ ，A 错误；对于B ，y =x +5x +1=x +1+4x +1=x +1+4x +1，因为x >0，所以x +1>1，x +1+4x +1≥2x +1⋅4x +1=4，当且仅当x +1=4x +1，即x =3时取等号，所以y =x +5x +1x >0 的最小值为4，B 正确；对于C ，因为x ∈0,π2，所以x sin ∈0,1 ，由对勾函数性质可知：y =x sin +4x sin ,x ∈5,+∞ ，C 错误；对于D ，4x >0，y =4x +41-x =4x +44x ≥24x ×44x =4，当且仅当4x =44x ，即x =12时取等号，所以y =4x +41-x 的最小值为4，D 正确.故选：BD13.(2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习)已知正实数x ，y 满足4x +7y =4，则2x +3y+12x +y的最小值为______.【答案】94【解析】因为4x +7y =4，所以2x +3y +12x +y =142x +3y +2x +y 2x +3y +12x +y ，所以2x +3y +12x +y =144+2x +3y 2x +y +22x +y x +3y +1，因为x ,y 为正实数，所以2x +3y 2x +y >0,22x +yx +3y>0，所以2x +3y 2x +y +22x +y x +3y≥22x +3y 2x +y ⋅22x +yx +3y =4，当且仅当x +3y =2x +y 4x +7y =4时等号成立，即x =815,y =415时等号成立，所以2x +3y +12x +y ≥144+4+1 =94，当且仅当x =815,y =415时等号成立，所以2x +3y +12x +y 的最小值为94.14.(2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习)若a ,b ∈R ，且b 2-a 2=1，则a +b2-a 2b的最大值为___________.【答案】2【解析】由题知，a ,b ∈R ，且b 2-a 2=1，即b 2=a 2+1，所以a +b2-a 2b =a +1b ，当a =0时，b 2=1，即b =±1，此时a +1b =±1，所以a +b 2-a 2b的最大值为1，当a ≠0时，a +1b2=a 2+2a +1b 2=1+2a a 2+1≤1+2a 2a =2，当且仅当a =1时取等号，此时-2≤a +1b ≤2；所以a +a 2-b 2b 的最大值为2.综上，a +a 2-b 2b的最大值为2.15.(2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)已知正数x ，y 满足83x 2+2xy +3xy +2y 2=1，则xy的最小值是_________．【答案】52【解析】根据题意，由83x 2+2xy +3xy +2y 2=1可得8xy +2y 2 +33x 2+2xy 3x 2+2xy xy +2y 2=1，即16y 2+9x 2+14xy =3x 3y +8x 2y 2+4xy 3=xy 4y 2+3x 2+8xy所以16y 2+9x 2+14xy 4y 2+3x 2+8xy =xy =16y 2x2+9+14y x 4y 2x2+3+8y x ；又因为x ，y 均是正数，令y x =t ∈0,+∞ ，则xy =f t =16t 2+14t +94t 2+8t +3所以， f t =16t 2+14t +94t 2+8t +3=4-18t +34t 2+8t +3=4-14t 2+8t +318t +3令 g t =4t 2+8t +318t +3，则g t =29t +1127+16918t +3=29t +16 +16918t +3+1027≥229t +16 ×16918t +3+1027=1827当且仅当29t +16 =16918t +3，即t =12时，等号成立；所以f t =4-14t 2+8t +318t +3≥4-11827=4518=52所以f t 的最小值为f t min =52;即当t =y x =12,x =2y =5时，即x =5,y =52时，等号成立.16.(2022春·陕西商洛·高三校联考阶段练习)已知正实数a ,b ,c 满足a 2+ab +b 2-12c 2=0，则当a +bx取得最大值时，a -b 2+c 的最大值为______.【答案】916【解析】由a 2+ab +b 2-12c 2=0，可得12c 2=a +b 2-ab ≥a +b 2-a +b 22=34a +b 2，即a +bc≤4，当且仅当a =b 时，等号成立，所以当a +b c 取得最大值时，a =b ，c =a +b 4=a 2，所以a -b 2+c =32a -a 2=-a -342+916，故当a =34,b =34,c =38时，a -b 2+c 取最大值916.。

基本不等式a +b 2≥ab (a ,b ∈R +)是高中数学中的重点知识，其应用范围较广,尤其在求最值时,运用基本不等式能使问题快速获解.而在运用基本不等式求最值时，我们需要注意以下两个问题.一、把握应用基本不等式的条件运用基本不等式求最值需把握三个条件：一正、二定、三相等.“一正”是指两个数或两个式子都是大于0的；“二定”是指两个数或两个式子的积或和为定值；“三相等”指在两个数或两个式子相等时不等式可取等号.运用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.例1.求函数y =x 2+1x 2+2的最值.解析：很多同学在解题时会直接利用基本不等式进行求解：y =x 2+2+1x 2+2-2≥2-2=0.出错的原因在于，忽略了“三相等”这一条件，很显然x 2+2≠1x 2+2，导致得到错误的答案.解答本题，我们需通过换元，令t =x 2+2(t ≥2),则y =t +1t-2,根据对勾函数y =t +1t -2在[2,+∞)上为增函数，得出y =x 2+1x 2+2的值域为[12,+∞).很多同学在运用基本不等式时往往会注意到“一正”“二定”两个条件，却忽略“三相等”这个条件.大家在解题时要警惕，避免出现这样的错误.二、灵活运用配凑技巧运用基本不等式求最值，关键是配凑出两式的和或积的定值.如何配凑呢？常见的配凑技巧有拆项、裂项、添项等，下面我们结合实例来说明.1.拆项在拆项时，我们要学会将某些项拆为两项之和、差、积的形式，以便配凑出两式的和或积.常见的拆项形式有：a +b =a 2+a 2+b 、x 2+m x =x +m x 等.例2.当x >0时，试求y =16x +9x2的最小值.分析：可将目标式中的16x 拆为8x +8x ，这样便构造出三项8x 、8x 、9x2积的定值，便可利用基本不等式求得最值.解:因为x >0,所以y =8x +8x +9x 2≥=1293,当且仅当8x =9x 2，即x =时，y 的最小值为1293.2.裂项裂项是指将某一项分裂为两项、三项之和或者差的形式，然后将各式重新组合，配凑出两式的和或积，运用基本不等式求得最值.裂项常用于求分式的最值.例3.已知x >-1,求函数y =x 2+7x +10x +1的最小值.分析：要运用基本不等式求得y 的最小值，需先将函数式中的分式裂项，配凑出分母x +1，才可利用基本不等式求得最值.解：∵x >-1,∴y =x 2+7x +10x +1=[]()x +1+4[]()x +1+1x +1=()x +1+4x +1+5≥+5=9,当且仅当x +1=4x +1,即x =1时，等号成立,∴y 的最小值为9.3.添项添项，即通过恒等变换，在代数式中添加某些项，从而配凑出两式的和或者积.常见的添项形式有：a +1a +m =()a +m +1a +m-m 、a =a -b +b 等.例4.已知a >1,b >1,且ab -()a +b =1，求a +b 的最小值.分析：因为ab -()a +b =1，所以()a -1()b -1=2，将其与目标式对比可发现，只需通过添项，构造出a -1、b -1，便可运用基本不等式求得问题的答案.解:a +b =()a -1+()b -1+2≥2()a -1()b -1+2=22+2，当且仅当a -1=b -1，即a =b =1+2时，等号成立，因此a +b 的最小值为22+2.虽然，基本不等式法是一种常用的解题方法，也是大家比较熟悉的方法，但是同学们在解题时一定要注意这两个问题，只有把握了应用基本不等式的条件，学会灵活运用配凑的技巧，才能顺利求得问题的答案.（作者单位：江苏省海门证大中学）思路探寻49。

课程篇应用基本不等式解题的常用方法分析孙天贶（湖南省平江县一中高467班）在高中数学中，基本不等式作为重点知识内容，在实际运用的过程中，需要掌握相应的解题技巧与方法，进而为实现对基本不等式知识的有效掌握奠定了基础，同时，实现对这一知识点的有效掌握，也是学好其他相关知识的基础。

通常而言，基本不等式解题的常用方法为：“1”的代换法、换元法、适当拼凑组合法、待定系数法、换元法、消元法以及多次应用不等式法。

一、“1”的代换法例题1：若点A （1，1）在直线mx+ny-2=0上，其中，m ，n >0，1m +1n的最小值为（）解析：从本题的题意中，存在m+n -2=0，即m+n 2=1，则=1m+1n =（1m +1n ）·m+n 2=12（2+m n +n m )≥12（2+2m n ·n m √）=2，当m=n =1时等号成立，所以1m +1n的最小值为2。

评析：基于“1”的巧妙利用下，则是以1乘以任何数，相应值都不会发生改变的性质，通过整体代换的方式，将代数式化成齐次式，进而促使在应用不等式的过程中，两数相乘具备定值，此种方式还能够用来求1m 2+1n2的最小值。

二、换元法的运用例题2：已知x ，y ∈R +，且x+y +1x +1y =5，则x+y 的最大值为（）A.3B.72C.4D.92解析：设t=x+y >0，则有已知5-（x+y ）=x+y xy ≥（x+yx+y 2）=4x+y，即5-t ≥4t ，整理得t 2-5t +4≤0，解得1≤t ≤4，因此，x+y ≤4，当x=y =2时等号成立，因此答案为C 。

评析：在这一题目中，涉及了x+y 与xy ，借助基本不等式，可将xy 沟通到目标式x+y ，通过换元法的运用进行换元，再以解不等式的方式，将x+y 的取值范围求出。

同样，在相同的条件下，能够求出xy 的最大值为4。

事实上，在实际解题的过程中，采用换元法的目的是将问题简单化，进而促使不会的问题转变为会的问题，在此基础上，就能轻而易举地得到答案。

利用基本不等式求最值的类型及方法基本不等式是利用数学推理和不等式性质来求解最值问题的一种方法。

在解决最值问题时，运用基本不等式能够有效地简化计算过程，并找到最优解。

下面将介绍几种常见的类型和方法。

1.求函数最值：假设已知一个函数f(x)，要求其在一些区间[a,b]上的最大值或最小值。

可以利用基本不等式结合导数来求解。

首先，对函数f(x)求导得到极值点，即f'(x)=0的解，然后利用基本不等式推论得到最值。

2. 求二次函数最值：对于一个二次函数f(x) = ax² + bx + c(a≠0)，可以通过求解二次函数的顶点来确定其最值。

二次函数的最大值或最小值在顶点处取得。

通过计算出二次函数的顶点坐标，可以得到函数的最值。

3.求几何问题最值：在几何问题中，常常需要求解最长距离、最短路径等最值问题。

对于空间几何问题，可以利用三角不等式和柯西-施瓦茨不等式等基本不等式进行推导，找到满足条件的最优解。

4.求代数问题最值：在代数问题中，常常需要求解最大值或最小值。

例如，求解多项式函数的最值、线性规划等问题。

可以利用基本不等式来对多项式进行分解和化简，从而找到最大值或最小值。

5.求概率问题最值：在概率问题中，需要求解满足一定概率条件的最值问题。

例如，已知一些事件发生的概率，求解最大化或最小化概率的问题。

通过利用基本不等式可以对概率进行推导和计算，找到满足条件的最值。

在使用基本不等式求解最值问题时，需要注意以下几个基本方法：1.将问题抽象化：将具体的问题转化为符号运算和数学模型，将需要求解的最值问题用数学语言表达出来。

2.应用基本不等式：根据不同的问题类型，运用相应的基本不等式进行推导和计算。

常用的基本不等式有柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、三角不等式等。

3.约束条件转化：将约束条件转化为等式或不等式，以便进行运算。

4.求解极值点：通过对函数求导，找到函数的极值点。

利用基本不等式结合导数求解最值问题。

专题27 基本不等式中常见的方法求最值一、例题选讲题型一、消参法消参法就是对应不等式中的两元问题,用一个参数表示另一个参数,再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正,二定,三相等”这三个条件缺一不可！例1、(2017苏北四市期末). 若实数x ,y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12,则3x ＋1y －3的最小值为________． 【答案】 8【解析】解法1 因为实数x ,y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12,所以y ＝3x－3(y ＞3), 所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3＋6＝8,当且仅当y －3＝1y －3,即y ＝4时取等号,此时x ＝37,所以3x ＋1y －3的最小值为8.解法2 因为实数x ,y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12,所以y ＝3x －3(y ＞3),y －3＝3x－6＞0, 所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋13x －6＋6≥2⎝⎛⎭⎫3x －6·13x －6＋6＝8,当且仅当3x －6＝13x －6,即x ＝37时取等号,此时y ＝4,所以3x ＋1y －3的最小值为8.例2、(2013徐州、宿迁三检)若0,0a b >>,且11121a b b =+++,则2a b +的最小值为 ．【解析】由已知等式得222122a b ab a b b ++=+++,从而212b b a b-+=,21222b b a b b b -++=+131222b b =++1122≥+=,题型二、双换元若题目中含是求两个分式的最值问题,对于这类问题最常用的方法就是双换元,分布运用两个分式的分母为两个参数,转化为这两个参数的不等关系例3、(2015苏锡常镇、宿迁一调)已知实数x ,y 满足x >y >0,且x ＋y ≤2,则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为________．【答案】3＋224【解析】设⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝m ，x －y ＝n .解得⎩⎨⎧x ＝m ＋3n 4，y ＝m －n4.所以x ＋y ＝m ＋n 2≤2,即m ＋n ≤4.设t ＝2x ＋3y ＋1x －y ＝2m ＋1n,所以4t ≥⎝⎛⎭⎫2m ＋1n (m ＋n )＝3＋2n m ＋m n ≥3＋2 2.即t ≥3＋224,当且仅当2n m ＝mn ,即m ＝2n 时取等号．例4、(2013徐州、宿迁三检)若0,0a b >>,且11121a b b =+++,则2a b +的最小值为 ．【解析】12,211m n a b m a b n b n --⎧+==⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=-⎩解得 所以111,m n +=332222m n a b +=+-,因为33113()()22222222m n m n m n m n n m+=++=++≥+所以332222m n a b +=+-≥题型三、1的代换1的代换就是指凑出1,使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件,即积为定值,凑的过程中要特别注意等价变形.例5、(2019苏锡常镇调研)已知正实数a ,b 满足a ＋b ＝1,则bb a a 421222+++的最小值为 ． 【答案】.11【解析】思路分析：由于目标式比较复杂,不能直接求最小值,需要对该式子进行变形,配凑出使用基本不等式的条件,转化为熟悉的问题,然后利用基本不等式求解．1174274))(41()(24212421222=+⨯≥++=++++=+++=+++baa b b a a b b a b a b a b b a a b b a a 当且仅当b a a b 4=,即⎪⎩⎪⎨⎧==3231b a 时取“=”,所以b b a a 421222+++的最小值为.11例6、(2019年苏州学情调研)若正实数x y ，满足1x y +=,则4y x y+的最小值是 ． 【答案】8【解析】因为正实数x y ，满足1x y +=,所以4()444y y x y y xx y x y x y ⨯++=+=++4448≥=+=,当且仅当4y x x y =,即2y x =,又1x y +=,即12,33x y ==,等号成立,即4yx y +取得最小值8.题型四、齐次化齐次化就是含有多元的问题,通过分子、分母同时除以得到一个整体,然后转化为运用基本不等式进行求解.例7、(2019通州、海门、启东期末)已知实数a>b>0,且a ＋b ＝2,则3a －ba 2＋2ab －3b 2的最小值为________．【答案】3＋54思路分析2 注意到所求的代数式的分子与分母分别为一次式、二次式,为此想到将它们转化为齐次式来加以处理,即将分子利用条件a ＋b ＝2,通过常数代换转化为二次式,进而将齐次式化为单变量的问题来加以处理．解析：(化齐次式法)：因为a ＋b ＝2,所以3a －b a 2＋2ab －3b 2＝（a ＋b ）（3a －b ）2（a 2＋2ab －3b 2）＝32＋2（－ab ＋2b 2）a 2＋2ab －3b 2＝32＋2（2－ab ）（a b ）2＋2·a b －3,令u ＝2－a b ,因为a ＋b ＝2,a>b>0,所以2－b>b>0,故0<b<1,从而u ＝2－a b ＝2－2－b b ＝3－2b ∈(－∞,1),则3a －b a 2＋2ab －3b 2＝32＋2u u 2－6u ＋5＝32＋2u ＋5u－6 当u∈(0,1)时,u ＋5u －6>0,此时3a －b a 2＋2ab －3b 2>32；当u<0时,u ＋5u －6＝－⎝⎛⎭⎫－u ＋5－u －6≤－6－25,此时3a －b a 2＋2ab －3b 2≥32＋2－6－25＝3＋54,当且仅当u＝－5时等号成立．因此3a －b a 2＋2ab －3b 2的最小值为3＋54.二、达标训练1、(2019年苏州学情调研)若正实数x y ，满足1x y +=,则4y x y+的最小值是 ． 【答案】8【解析】因为正实数x y ，满足1x y +=,所以4()444y y x y y xx y x y x y ⨯++=+=++4448≥=+=,当且仅当4y x x y =,即2y x =,又1x y +=,即12,33x y ==,等号成立,即4yx y +取得最小值8.2、(2018苏锡常镇调研) 已知a>0, b>0,且2a ＋3b ＝ab,则ab 的最小值是________．【答案】 26【解析】思路分析 利用基本不等式,化和的形式为积的形式．因为ab ＝2a ＋3b ≥22a ·3b ,所以ab≥26,当且仅当2a ＝3b＝6时,取等号．3、(2018苏锡常镇调研) 已知a b ，为正实数,且()234()a b ab -=,则11a b+的最小值为 ．【答案】【解析】因为223()()44()4a b a b ab ab ab +=-+=+,所以3222114()44()()48()a b ab ab ab a b ab ab ab +++===+≥,故11a b +≥当且仅当21()4ab a b =⎧⎨-=⎩,即11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取得等号,所以11a b +的最小值为.224、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)已知a,b,c 均为正数,且abc ＝4(a ＋b),则a ＋b ＋c 的最小值为________． 【答案】 8【解析】由a,b,c 均为正数,abc ＝4(a ＋b),得c ＝4a ＋4b ,代入得a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋4a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫a ＋4a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋4b ≥2a·4a＋2b·4b＝8,当且仅当a ＝b ＝2时,等号成立,所以a ＋b ＋c 的最小值为8. 5、(2019苏北三市期末) 已知a>0,b>0,且a ＋3b ＝1b －1a ,则b 的最大值为________．【答案】 13【解析】由a ＋3b ＝1b －1a ,得1b －3b ＝a ＋1a .又a>0,所以1b －3b ＝a ＋1a ≥2(当且仅当a ＝1时取等号),即1b －3b≥2,又b>0,解得0<b≤13,所以b 的最大值为13.6、(2019扬州期末)已知正实数x,y 满足x ＋4y －xy ＝0,若x ＋y≥m 恒成立,则实数m 的取值范围为_________． 【答案】 (－∞,9]【解析】 m≤x ＋y 恒成立,m≤(x ＋y)min .解法1(消元法) 由x ＋4y －xy ＝0,得y ＝x x －4,因为x,y 是正实数,所以y>0,x>4,则x ＋y ＝x ＋x x －4＝x ＋x －4＋4x －4＝x ＋4x －4＋1＝(x －4)＋4x －4＋5≥2（x －4）·4x －4＋5＝9,当且仅当x ＝6时,等号成立,即x ＋y 的最小值是9,故m≤9.解法2(“1”的代换) 因为x,y 是正实数,由x ＋4y －xy ＝0,得4x ＋1y ＝1,x ＋y ＝(x ＋y)·⎝⎛⎭⎫4x ＋1y ＝4y x ＋x y ＋5≥24y x ·xy＋5＝9,当且仅当x ＝6,y ＝3时,等号成立,即x ＋y 的最小值是9,故m≤9. 解法3(函数法) 令t ＝x ＋y,则y ＝t －x,代入x ＋4y －xy ＝0,得x 2－(3＋t)x ＋4t ＝0.Δ＝(t ＋3)2－16t ＝t 2－10t ＋q≥0,得t≤1或t≥9.又y ＝xx －4>0,且x>0,则x>4,故t>4,从而t≥9.所以m≤9. 7、(2017苏州期末) 已知正数x,y 满足x ＋y ＝1,则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________． 【答案】 94【解析】 解法1 令x ＋2＝a ,y ＋1＝b ,则a ＋b ＝4(a ＞2,b ＞1),4a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝14⎝⎛⎭⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94,当且仅当a ＝83,b ＝43,即x ＝23,y ＝13时取等号．8、(2019宿迁期末)已知正实数a,b 满足a ＋2b ＝2,则1＋4a ＋3b ab 的最小值为________.【答案】252【解析】解法1(消元法) 由a ＋2b ＝2得a ＝2－2b ＞0,所以0＜b ＜1,令f(b)＝1＋4a ＋3b ab ＝9－5b2b －2b 2,f′(b)＝－10b 2＋36b －18（2b －2b 2）2＝－2（5b －3）（b －3）（2b －2b 2）2.当b∈⎝⎛⎭⎫0，35时,f′(b)<0,f(b)单调递减；当b∈⎝⎛⎭⎫35，1时,f′(b)>0,f(b)递增, 所以当b ＝35时,f(b)有唯一的极小值,也是最小值f ⎝⎛⎭⎫35＝252. 解法2(齐次化) 因为a ＋2b ＝2,所以1＋4a ＋3b ab ＝12a ＋b ＋4a ＋3bab ＝9a ＋8b 2ab ＝（9a ＋8b ）（a ＋2b ）4ab ＝9a4b ＋4b a ＋132≥29a 4b ·4b a ＋132＝252,当且仅当a ＝45,b ＝35时取等号,所以所求的最小值为252.。