第三章 模糊关系和模糊矩阵

generalizedmoduspfoolnleennsts
[形式化的重要性]
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3.2 模糊逻辑推理
①广义前向推理（GMP）
前提1：如果x为A，则y为B 前提2：x为A' 结论 y为B '
②广义后向推理（GMT）
前提1：如果x为A，则y为B 前提2： y为B'
结论 x为A '
其中：x是论域X中的语言变量（Linguistic variables） 它的值是X中的模糊集合A，A ' y是论域Y中的语言变量 它的值是Y中的模糊集合B，B '
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3.2 模糊逻辑推理
Fuzzy命题：“如果x为A，则y为B” 令P：x为A；Q：y为B。 则上述的模糊命题可简写为“如果P为真，则Q为真”， 表明 P Q 。 即：普通模糊命题P，Q间有因果关系。
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3.2 模糊逻辑推理
模糊命题的真假程度称为模糊命题的真值。
因为：在X论域讨论问题， P x A x , Q y B y
0 .2
0 .2
0
0 0 0
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3.1 模糊关系
“关系”在模糊信息处理中的作用： • 根据已有知识建立关系。 RAB • 根据新的输入和已有的关系，确定新的输出。
即：A ' 已知，R 已知，求：A' R B'
解释： R ：温度高则压力大。 A ' ：温度比较高。
压力？
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3.2 模糊逻辑推理
如我们前面举的“健康”的例子，所进行的推理是一种近似
的推理，可以一般性的表达为：
大前提：如果x是A，则y是B

R(TS) (RT)(RS)
(RT)S (RS)(TS)
R(TS) (RT)(RS)
14
H
结合律： R (ST )(R S)T
包含
IF S T ,TH S R E T N R
逆运算 (RS)TSTRT
注意，模糊关系合成运算不满足交换率，即 RSSR
。
15
H
苹果x1
1.0
乒乓球x2 0.7
书x3
0
篮球x4
0.7
花x5
0.5
桃x6
0.6
菱形x7
0
0.7 0 0.7 0.5 0.6 0 1.0 0 0.9 0.4 0.5 0 0 1.0 0 0 0 0.1 0.9 0 1.0 0.4 0.5 0 0.4 0 0.4 1.0 0.4 0 0.5 0 0.5 0.4 1.0 0 0 0.1 0 0 0 1.0
这一计算结果表明孙子与祖父、祖母的相似程度 为0.2、0.2；而孙女与祖父、祖母的相似程度为 0.5、0.6。
13
H
与模糊集合的运算定律相似，模糊关系合成算子sup-min 存
在如下特征 R I I R R
R0 0R 0
R m 1 R n R
R m R n R mn
分配律
(RT)S (RS)(TS)
3
H
4
H
5
HHale Waihona Puke 其中6H模糊矩阵的运算
7
H
模糊矩阵运算的基本规律
8
H
3、模糊关系的合成
9
H
R
10
H
例3－1 某家中子女与父母的长像相似关系R为 模糊关系，可表示为
R
父

第三章 模糊关系在第二章中介绍了模糊集合的基本概念，本章将进一步讨论集合之间，或集合中元素之间的模糊关系。

事实上，模糊关系是普通关系概念的扩展。

3.1 模糊关系基本概念由普通关系的讨论可知它们都是二值的，换言之，对于任意两个元素，在它们之间或者存在关系，或者不存在关系，两者必居且仅居其一。

这种关系适合于描述“清晰确定”的关系。

但是，在实际中，有不少关系很难简单的用“有”或“无”来衡量，而必须引入一定的量来表示两元素间具有这种关系的程度。

例如，正常人的身高与体重之间是有一定关系的，但这个关系是不清晰的。

譬如对于一个169厘米高的健康人来说，一般不能断定他的体重必定是多少，而只能根据正常人身高与体重的关系表估计他的体重大约是多少。

又如，正方形的四边是等长的，但在日常生活中，我们判断一个四边形物体的形状通常并不总是用尺子度量四条边后才给出是否为正方形的结论的。

当四条边的长度在一定范围内有差异时，很可能不同的人会得出不同的结论。

另外，“远远大于”、“充分小”等都是些“不清晰”的关系。

这类需要有描述关系程度的量来补充描述的关系就是模糊关系，而其中的关系程度通过隶属度来表示。

定义3-1 集合X 到集合Y 的一个“二元模糊关系”R 是给定论域X ×Y 中的模糊集合，并可记为：Y X R−→−模糊关系R 的隶属函数R （x , y ）是X ×Y 到实数区间[0 , 1]的一个映射。

特别的，当Y=X时，称R 为“论域X 中的模糊关系”。

对于任意x ∈X ，y ∈Y ，隶属函数R （x ，y ）事实上表示了x 、y 之间存在关系R 的程度。

在同一个论域上，可以存在着各种各样的模糊关系。

例如，在人与人的关系中，可以有“相互理解”、“友好”、“性格相似”、“程度相当”等模糊关系。

例3－1 设X 、Y 均为实数集合，对于任意x ∈X ，y ∈Y ，“x 远大于y ”是X 到Y 的一个模糊关系R ，它的隶属函数可以描述为：R （x ，y ）⎩⎨⎧-+≤-yx y x y x 12)/(1001[0例3－2 在医学上通常用公式体重（公斤）＝身高（厘米）－100来描述正常人的体重与身高间的关系。

3.4 基于模糊等价矩阵的模糊聚类分析.
1
3.1 模糊关系及其运算 1, 设U, V 为两个论域, 若R∈F(U×V),则称R为U到 V的一个模糊关系. 对(u, v)∈U×V , 称R(u, v)为u 对v具有模糊关系R的相关程度. 特别地 (1) 称R∈F(U×U) 为U上的模糊关系; (2) 若(u, v)∈U×U,有 则称R为U上的恒等关系 , 这时记R = I ;
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目录
在实际应用中,常采用如下距离来确定rij
(1).Chebyshev 距离 : d ui , u j max uik u jk ;
1 k m m k 1
( 2).Ham min g距离： d ui , u j uik u jk ; m 2 (3).Euclid距离： d ui , u j uik u jk ; k 1 ( 4).Minkowski 距离 :
u11 u 21 u n1 u12 u 22 un 2 u1m u2 m u nm
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U
*
称U*为U的特性指标矩阵.
目录
第一步: 数据规格化 常用的数据规格化方法有如下几种: 数据标准化, 均值规格化, 中心规格化、最大规格化、极 差规格化、对数规格化等(参见教材P96) 第二步: 构造模糊相似矩阵
14
9, 定理3.2.5 设I, R, Q∈F(U×U), 则有 (1) t(I)=I ; (2) R Q t(R) = t(Q) (3) (t(R))T= t(RT) (4) RT=R (t(R))T= t(R)
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10, 设R∈F(U×U), 则 (1) R称为相似的,如果R是自反和对称的; (2) 称包含R的最小的相似模糊关系为相似闭包,记作a(R). 11, 定理3.2.6 设R∈F(U×U),则有 (1) R为相似的当且仅当∈[0,1], R 为相似的; (2)若R为相似的,则n∈N, Rn也是相似的.