等腰三角形练习题(含答案)等腰三角形第1课时：等腰三角形的性质1.已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为80°。
2.如图，△ABC中，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD=3cm。
3.如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为45°。
4.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为80°。
5.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，求∠C的度数为100°。
6.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE=AF。
证明：DE=DF。
第2课时：等腰三角形的判定1.在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC为钝角三角形。
2.已知△ABC中，∠B=50°，∠A=80°，AB=5cm，则AC=5cm。
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=DC，则△ABC为等腰三角形。
4.如图，已知△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有2个等腰三角形。
5.如图，D是△XXX的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE=DF。
证明：AB=AC。
6.如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G。
证明：△EFG是等腰三角形。
等边三角形第1课时：等边三角形的性质与判定1.如图，a∥b，等边△ABC的顶点B，C在直线b上，则∠1的度数为60°。
2.在△ABC中，∠A=60°，现有下面三个条件：①AB=AC；②∠B=∠C；③∠A=∠B。
能判定△ABC为等边三角形的有条件①、②、③。
3.如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD=2.4.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，连接AD交BC于点E，求∠BAD的度数为75°。
等腰三角形的性质练习(含答案)等腰三角形的性质1.选择题：1) 等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（）A。
底角大于相邻外角 B。
底角小于相邻外角C。
底角大于或等于相邻外角 D。
底角小于或等于相邻外角2) 等腰三角形的一个内角等于100°，则另两个内角的度数分别为（）A。
40°，40° B。
100°，20°C。
50°，50° D。
40°，40°或100°，20°3) 等腰三角形中的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A。
50°，50°，80° B。
80°，80°，20°C。
100°，100°，20° D。
50°，50°，80°或80°，80°，20°4) 如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°，那么顶角为（）A。
45° B。
40° C。
55° D。
50°5) 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A。
顶角 B。
顶角的一半C。
顶角的2倍 D。
底角的一半6) 已知：如图1所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A。
30° B。
45° C。
36° D。
72°2.填空题：1) 如图2所示，在△ABC中，①因为AB=AC，所以∠A=∠C；②因为AB=AC，∠1=∠2，所以BD=BC，BD⊥AC．2) 若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°，则顶角的度数为70°．3) 已知等腰三角形的一个角是80°，则顶角为20°．4) 在等腰三角形ABC中，一腰上的高是1cm，这条高与底边的夹角是45°，则△ABC的面积为1/2 cm²．5) 如图3所示，O为△ABC内一点，且OA=OB=OC，∠ABO=20°，∠BCO=30°，则∠CAO=30°．3.等腰三角形两个内角的度数比为4：1，求其各个角的度数．设两个内角的度数为4x和x，则三角形的第三个角的度数为180°-5x．因为三角形内角和为180°，所以4x+4x+180°-5x=180°，解得x=36°，因此两个内角的度数分别为144°和36°，第三个角的度数为100°．4.如图，已知线段a和c，用圆规和直尺作等腰三角形ABC，使等腰三角形△ABC以a和c为两边，这样的三角形能作无数个．5.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数．连接AD和AC，因为AD=BD，AB=AC，所以△ABD≌△ACD，故∠ABD=∠ACD．又因为AB=CD，所以△ABC为等腰三角形，所以∠BAC=180°-∠ABC=180°-2∠ABD=80°．6.如图所示，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点．1) AF与CD不垂直．因为∠ABC=∠AED，所以△ABC≌△AED，故AB=AE，又因为BC=ED，所以AC=AD，所以AF垂直于BC的中点，而CD的中点是F，所以AF与CD不垂直．二、拓展延伸训练右下图是人字型层架的设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D。
等腰三角形的性质一、基础能力平台1．选择题：（1）等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（）A．底角大于相邻外角B．底角小于相邻外角C．底角大于或等于相邻外角D．底角小于或等于相邻外角（2）等腰三角形的一个内角等于100°，则另两个内角的度数分别为（）A．40°，40°B．100°，20°C．50°，50°D．40°，40°或100°，20°（3）等腰三角形中的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A．50°，50°，80°B．80°，80°，20°C．100°，100°，20°D．50°，50°，80°或80°，80°，20°（4）如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°，那么顶角为（）A．45°B．40°C．55°D．50°（5）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A．顶角B．顶角的一半C．顶角的2倍D．底角的一半（6）已知：如图1所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A 的度数为（）A．30°B．45°C．36°D．72°（1）（2）（3）2．填空题：（1）如图2所示，在△ABC中，①因为AB=AC，所以∠________=∠______；②因为AB=AC，∠1=∠2，所以BD=_____，_____⊥______．（2）若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°，则顶角的度数为______．（3）已知等腰三角形的一个角是80°，则顶角为______．（4）在等腰三角形ABC中，一腰上的高是1cm，这条高与底边的夹角是450，则△ABC 的面积为________．（5）如图3所示，O为△ABC内一点，且OA=OB=OC，∠ABO=20°，∠BCO=30°，则∠CAO=______．3．等腰三角形两个内角的度数比为4：1，求其各个角的度数．4．如图，已知线段a和c，用圆规和直尺作等腰三角形ABC，使等腰三角形△ABC•以a和c为两边，这样的三角形能作几个？ac5．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数．6．如图所示，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点．（1）AF与CD垂直吗？请说明理由；（2）在你接连BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个．（不要求说明理由）7．如图，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE．AH与2BD•相等吗？请说明理由．二、拓展延伸训练右下图是人字型层架的设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D．如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是（）A．AC和BC，焊接点B B．AB和AC，焊接点AC．AD和BC，焊接点D D．AB和AD，焊接点A三、自主探究提高如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，且DA=DB=DC．（1）已知∠A=30°，求∠ACB的度数；（2）已知∠A=40°，求∠ACB的度数；（3）试改变∠A的度数，计算∠ACB的度数，你有什么发现吗？答案：【基础能力平台】1．（1）B（2）A（3）D（4）D（5）B（6）C 2．（1）①B C•②DC（或BC）AD⊥BC（2）40°（3）80°或20°（4）12cm2（5）40°3．80°80•° 20°或120°30°30°4．略5．108°6．（1）略（2）①BE∥CD②AF•⊥BE③△ACF≌△ADF④∠BCF=∠EDF等7．说明△BCE≌△AHE，得AH=BC，由等腰三角形的“三线合一”性质得BC=2BD，所以AH=2BD【拓展延伸训练】C【自主探究提高】（1）∠ACB=90°（2）∠ACB=90°（3）猜想：不论∠A•等于多少度（小于90°），∠ACB总等于90°。
15.3《等腰三角形》基础练习第1课时《等腰三角形的性质定理及推论》一、选择题1．已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（）A．40°B．70°C．100°D．140°2．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的第三条边长为（）A．2或5 B．3 C．4 D．53．如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．65°D．70°4．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°5．若实数m、n满足等式|m﹣2|+=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12 B．10 C．8 D．66．若等腰三角形的一个外角等于140°，则这个等腰三角形的顶角度数为（）A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°7．如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（）A．55°B．45°C．35°D．65°8．如图，△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，且AD=AE，则∠EDC等于（）A．10°B．12.5°C．15°D．20°二、填空题9．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为．10．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为cm．11．已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为．12．如图，△ABC中．点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE=16°，则∠B 为度．13．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，则该等腰三角形的顶角为度．三、解答题14．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．15．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE=CD，（1）求证：DB=DE．（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF=4，求△ABC的周长．第2课时一、选择题1．以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（）A．1，1，2 B．1，1，3 C．2，2，1 D．2，2，52．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=40°，∠B=50 B．∠A=40°，∠B=60°C．∠A=40°，∠B=70 D．∠A=40°，∠B=80°3．如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，点D在AC上，BC=BD，DE∥BC交AB于点E，则图中等腰三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个4．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．8 C．9 D．105．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4C．∠B=50°，∠C=80°D．∠A：∠B：∠C=1：1：26．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．6条C．7条 D．8条7．下列三角形，不一定是等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120°的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形8．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有（）个．A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=40°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为．10．如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP=时，△AOP为等边三角形．11．如图，在3×3的网格中有A、B两点，任取一个格点E，则满足△EAB是等腰三角形的点E有个．12．在△ABC中，∠A=80°，当∠B=时，△ABC是等腰三角形．13．如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（填序号）．三、解答题14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E．（1）求证：BE=DE；（2）若AB=BC=10，求DE的长．15．已知：如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD，求证：BD=CD．第3课时一、选择题1．如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于（）A．10 B．C．5 D．2.52．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则∠A=（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，则AB等于（）A．9 cm B．8 cm C．7cm D．6cm4．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且AB=6，则EC的长为（）A．3 B．4.5 C．1.5 D．7.55．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=3cm，则最长边AB的长为（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=8，则BD=（）A．2 B．3 C．4 D．67．某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元8．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=6m，∠A=30°，则DE等于（）A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m二、填空题9．在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，AC=10，则BC=10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，以点C为圆心，CB长为半径作圆弧，交AB 于点D，若CB=4，则BD的长为．11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D 和点E，若CE=2，则AB的长为12．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，则腰上的高为．13．如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD=1，BC=6，那么CE等于．三、解答题14．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，线段AB的垂直平分线MN交AC于点D，且AD=8cm．求：（1）∠ADG的度数；（2）线段DC的长度．15．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求：（1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里．（2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行使，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．参考答案第1课时1．解：∵等腰三角形的顶角为50°，∴这个等腰三角形的底角为：（180°﹣40°）÷2=70°，故选：B．2．解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，这个三角形的第三条边长为5；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；故选：D．3．解：∵AB∥CD，∴∠1=∠ACD=65°，∵AD=CD，∴∠DCA=∠CAD=65°，∴∠2的度数是：180°﹣65°﹣65°=50°．故选：A．4．解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE=∠ACB=35°．故选：B．5．解：∵|m﹣2|+=0，∴m﹣2=0，n﹣4=0，解得m=2，n=4，当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．故选：B．6．解：①若顶角的外角等于140°，那么顶角等于40°，两个底角都等于70°；②若底角的外角等于140°，那么底角等于40°，顶角等于100°．故选：D．7．解：∵∠1=125°，∴∠ADE=180°﹣125°=55°，∵DE∥BC，AB=AC，∴AD=AE，∠C=∠AED，∴∠AED=∠ADE=55°，又∵∠C=∠AED，∴∠C=55°．故选：A．8．解：∵△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，∴∠DAC=∠BAD=30°（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合），∵AD=AE（已知），∴∠ADE=75°∴∠EDC=90°﹣∠ADE=15°．故选：C．9．解：∵等腰三角形底角相等，∴180°﹣50°×2=80°，∴顶角为80°．故填80°．10．解：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm．11．解：当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，当50°为底角时，其他两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角为50°或80°．故答案为：50°或80°．12．解：∵AD=AC，点E是CD中点，∴AE⊥CD，∴∠AEC=90°，∴∠C=90°﹣∠CAE=74°，∵AD=AC，∴∠ADC=∠C=74°，∵AD=BD，∴2∠B=∠ADC=74°，∴∠B=37°，故答案为37°．13．解：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，∴∠A：∠B=1：2，即5∠A=180°，∴∠A=36°，故答案为：36．14．证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．∵AB=AC，∵AD=AE，∴DP=PE，∴BP﹣DP=PC﹣PE，∴BD=CE．15．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）；（2）∵∠CDE=∠CED=∠BCD=30°，∴∠CDF=30°，∵CF=4，∴DC=8，∵AD=CD，∴AC=16，∴△ABC的周长=3AC=48．第2课时1．解：A、∵1+1=2，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；B、∵1+1＜3，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；C、∵1+2＞2，且有两边相等，∴本组数据可以构成等腰三角形；故本选项正确；D、∵2+2＜5，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；故选：C．2．解；当顶角为∠A=40°时，∠C=70°≠50°，当顶角为∠B=50°时，∠C=65°≠40°所以A选项错误．当顶角为∠B=60°时，∠A=60°≠40°，当∠A=40°时，∠B=70°≠60°，所以B选项错误．当顶角为∠A=40°时，∠C=70°=∠B，所以C选项正确．当顶角为∠A=40°时，∠B=70°≠80°，当顶角为∠B=80°时，∠A=50°≠40°所以D选项错误．故选：C．3．解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C==72°，△ABC是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC=36°，∴∠ABD=∠EDB=∠A，∴AD=BD，EB=ED，即△ABD和△EBD是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，即△BCD是等腰三角形，∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC，∠ADE=∠C，∴∠AED=∠ADE，∴AE=AD，即△AED是等腰三角形．∴图中共有5个等腰三角形．故选：C．4．解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有6个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：D．5．解：A、∵a=3，b=3，c=4，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；B、∵a：b：c=2：3：4∴a≠b≠c，∴△ABC不是等腰三角形；C、∵∠B=50°，∠C=80°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=50°，∴∠A=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形；D、∵∠A：∠B：∠C=1：1：2，∵∠A=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形．故选：B．6．解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．7．解：A、根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；B、有一个外角等于120°的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；C、三个角都相等的三角形，内角一定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；D、边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，故此选项正确．故选：D．8．解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选：B．9．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，∴当AB=BP1时，∠BAP1=∠BP1A=40°，当AB=AP3时，∠ABP3=∠AP3B=∠BAC=×40°=20°，当AB=AP4时，∠ABP4=∠AP4B=×（180°﹣40°）=70°，当AP2=BP2时，∠BAP2=∠ABP2，∴∠AP2B=180°﹣40°×2=100°，∴∠APB的度数为：20°、40°、70°、100°．故答案为：20°或40°或70°或100°．10．解：∵AON=60°，∴当OA=OP=a时，△AOP为等边三角形．故答案是：a．11．解：如图，满足△EAB是等腰三角形的点E有5个，故答案为：5．12．解：∵∠A=80°，∴①当∠B=80°时，△ABC是等腰三角形；②当∠B=（180°﹣80°）÷2=50°时，△ABC是等腰三角形；③当∠B=180°﹣80°×2=20°时，△ABC是等腰三角形；故答案为：80°、50°、20°．13．解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°，能；②不能；③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．故答案为：②14．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD=∠CBD．∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD．∴∠EDB=∠EBD．∴BE=DE．（2）∵AB=BC，BD是△ABC的角平分线，∴AD=DC．∵DE∥BC，∴，∴．∴DE=5．15．证明：连接BC．∵AB=AC（已知），∴∠1=∠2（等边对等角）．又∠ABD=∠ACD（已知），∴∠ABD﹣∠1=∠ACD﹣∠2（等式运算性质）．即∠3=∠4．∴BD=DC（等角对等边）．第3课时1．解：∵PC∥OA，∴∠CPO=∠POA，∵∠AOP=∠BOP=15°，∴∠AOP=∠BOP=∠CPO=15°，过点P作∠OPE=∠CPO交于AO于点E，则△OCP≌△OEP，∴PE=PC=10，∵∠PEA=∠OPE+∠POE=30°，∴PD=10×=5．故选：C．2．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，即BC=AB，∴∠A=30°，故选：B．3．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，故选：B．4．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，AC=AB=BC=6，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴CD=AC=3，∵DE⊥BC，∴∠CDE=30°，∵EC=CD=1.5．故选：C．5．解：设∠A、∠B、∠C分别为k、2k、3k，则k+2k+3k=180°，解得k=30°，2k=60°，3k=90°，∵最小边BC=3cm，∴最长边AB=2BC=2×3=6cm．故选：D．6．解：∴CD是高，∴∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，BC=AB=×8=4，∴∠BCD=30°，∴BD=BC=2，故选：A．7．解：如图，作BH⊥AC于H，则∠ABH=180°﹣∠BAC=30°，在Rt△ABH中，BH=AB=10，所以S△ABC=×10×30=150，所以购买这种草皮至少需要150a元．故选：C．8．解：∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，∴BC∥DE，∵D是AB中点，∴AD=BD，∴AE：CE=AD：BD，∴AE=CE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，在Rt△ABC中，BC=AB=3，∴DE=1.5．故选：A．9．解：∵∠A=30°，∠B=90°，∴BC=AC=5，故答案为：5．10．解：如图，过C点作BD的垂直平分线交BD于点E，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴∠BCE=∠A=30°，BE=BD，∴BE=2∴BD=2BE=4故答案为：4．11．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，ED⊥AB，∴∠A=∠EBA=30°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠EBA=30°，又∵BC⊥AC，ED⊥AB，∴DE=CE=2．在直角三角形ADE中，DE=2，∠A=30°，∴AE=2DE=4，∴AD==2，∴AB=2AD=4．故答案为：4．12．解：如图，过C作CD⊥AB，交BA延长线于D，∵∠B=15°，AB=AC，∴∠DAC=30°，∵CD为AB上的高，AC=8cm，∴CD=AC=4cm．故答案为：4cm．13．解：∵在△ABC中，∠B=∠C=60°，∴∠A=60°，∵DE⊥AB，∴∠AED=30°，∵AD=1，∴AE=2，∵BC=6，∴AC=BC=6，∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4，故答案为4．14．解：（1）∵在△ABC中，已知BA=BC，∴∠A=∠C（等边对等角）；又∵∠B=120°，∴∠A=（180°﹣120°）=30°（三角形内角和定理），∴∠ADG=90°﹣30°=60°；（2）连接BD．∵AB的垂直平分线DG交AC于点D，∴AD=BD，∠A=∠ABD=30°，∴∠CBD=90°；由（1）知∠A=∠C=30°，∴BD=CD（30°所对的直角边是斜边的一半），∴CD=2AD=2BD，∴AC=AD+CD=AD+2AD=3AD；又∵AD=8cm，∴DC=16cm．15．解：（1）过P作PD⊥AB于点D，∵∠PBD=90°﹣60°=30°且∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PAB=90﹣75=15°∴∠PAB=∠APB，∴BP=AB=7（海里）．（2）作PD⊥AB于D，∵A处测得小岛P在北偏东75°方向，∴∠PAB=15°，∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向，∴∠APB=15°，∴AB=PB=7海里，∵∠PBD=30°，∴PD=PB=3.5＞3，∴该船继续向东航行，没有触礁的危险．。
