电磁场与电磁波试卷
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一、 填空题（每题2分，共24分）
1.对于矢量A ，若A ＝x e x
A
＋y e y
A
＋z e z
A
，
则：y e ∙x e ＝ 0 ；z e ∙z e ＝ 1 ；
z
e ⨯x
e
＝
y
e
；x e ⨯x e ＝ 0 。
2. 哈密顿算子的表达式为∇＝
x
e
x ∂∂＋y e y
∂∂＋z e z ∂∂ ， 其性质是 一阶矢性微分算子
3.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系为0()()B r H r μ=，通常称它为真空的磁特性方程或本构关系。
4．设线性各向同性的均匀媒质中，02=∇φ称为 拉普拉斯 方程。
5. 在自由空间中，点电荷产生的电场强度与其电荷量q 成 正 比，与观察点到
电荷所在点的距离平方成 反比 。
6．在理想导体的表面， 电场 的切向分量等于零。
7．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用 磁
矢位A 函数的旋度来表示。
8．电磁场在两种不同媒质分界面上满足的方程称为 。
9．在理想介质中的均匀平面电磁波，其电场方向与磁场方向 ，其振幅之比等于 。
10．在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为 色散 。
11．随时间变化的电磁场称为_时变（动态）_场。
12．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合右手螺旋关系。
二、简答题（每题5分，共20分）
1. 简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。
答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。
（3分）
亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究。
（2分）
2. 说明矢量磁位和库仑规范。
答:由于
，而
，所以令
，A 称为矢量磁位，它是一
个辅助性质的矢量。
从确定一个矢量场来说，只知道一个方程是不够的，还需要知道A 的散度方程后才能唯一确定A ，在恒定磁场的情况下，一般总是规定
，这种规定为库仑规范。
3. 实际边值问题的边界条件分为哪几类？
答：实际边值问题的边界条件分为三类：第一类是整个边界上的电位函数均已知，第二类是已知整个边界上的电位法向导数，第三类是一部分边界上电位已知，而另一部分边界上的电位法向导数已知。
4. 什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？
答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。
（2分）
极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。
（3分）
三、 计算题（共36分）
1．利用直角坐标，证明 ()f f f ∇⨯=∇⨯+∇⨯G G G 解 在直角坐标中
[(
)()()]y
y x x z z x y z G G G G G G f f y z z x x y ∂∂∂∂∂∂∇⨯=-+-+-∂∂∂∂∂∂G e e e f ∇⨯=G [()()()]x z
y y x z z y x f f f f f f G G G G G G y z z x x y ∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂e e e 所以
f f ∇⨯+∇⨯=G G [()()]y z x z
y G G f f
G f G f y y z z
∂∂∂∂+-++∂∂∂∂e [()()]x z y x z G G f f
G f G f z z x x
∂∂∂∂+-++∂∂∂∂e
[()()]y x z y x G G f f
G f G f x x y y
∂∂∂∂+-+=∂∂∂∂e
()
()[]y z x fG fG y z
∂∂-+∂∂e ()()[]x z y fG fG z x ∂∂-+∂∂e ()()[]y x z fG fG x y
∂∂-=∂∂e ()f ∇⨯G
2. 空气中传播的均匀平面波电场为0jk r x E e E e -⋅=，已知电磁波沿ｚ轴传播，频率为f 。
求 (1)磁场H ； (2)波长λ；
(3)能流密度S 和平均能流密度av S ； (4)能量密度W 。
解:（1）01
jk r z x H e e E e η
-⋅=
⨯0
00
jk r y
e E e εμ-⋅= （2）00
1
v f f λεμ=
=
（3）0
000
jk r jk r x y S E H e E e e E e εμ-⋅-⋅=⨯=
⨯
2200
02
2000
cos (2)jk r
z
z
e E e e E ft kz εμεπμ-⋅==-
*2
000
11Re()22av z S E H e E εμ=⨯
=
（4）
22
001122
W E H
εμ=+
3. 如图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为0U ，求槽内的电位函数。
解: 根据题意，电位(,)x y ϕ满足的边界条件为
① (0,)(,)y a y ϕϕ== ② (,0)0x ϕ= ③ 0(,)x b U ϕ=
根据条件①和②，电位(,)x y ϕ的通解应取为
1
(,)sinh(
)sin()n n n y n x
x y A a a
ππϕ∞
==∑ 由条件③，有
01sinh(
)sin()n n n b n x U A a a
ππ∞
==∑ 两边同乘以sin()n x a π，并从0到a 对x 积分，得到
002sin()d sinh()a
n U n x
A x a n b a a ππ=⎰ 0
02(1cos )
sinh()
4,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a U n n n b a n πππππ=
-⎧
=⎪
=⎨⎪=
⎩
，
故得到槽内的电位分布
1,3,5,
41(,)sinh()sin()sinh()n U n y n x
x y n n b a a a
ππϕπ
π==
∑
四、 论述题（共20分）
麦克斯韦方程组及其物理意义
①．麦克斯韦方程组的积分表达式分别为 ：
1.⎰=∙S
Q S d D ;
2.S d t
B
l d E l
S
⎰⎰∂∂-
=∙; 3.0=∙⎰S
S d B ; 4.⎰⎰∙∂∂+
=∙S
l
S d t
D
J l d H )(
②．麦克斯韦方程组的微分表达式分别为 ：
1.ρ=∙∇D ;
2.t
B
E ∂∂-
=⨯∇; 3.0=∙∇B ; 4.t
D
J H ∂∂+
=⨯∇ ③．物理意义: 1. 电荷是产生电场的通量源 。
2. 时变磁场产生时变电场，是产生电场的漩涡源 。
3. 磁通永远是连续的，磁场是无源场，磁感线总是闭合曲线。
4. 传导电流和位移电流产生磁场，他们是产生磁场的漩涡源。
揭示时变电场产生时变磁场。
