高中数学2019学年超级全能生9月联考B卷

2019学年浙江全能生联考B 卷数学试卷2019.10.171.已知全集U{0，1，2，3，4，5，6}，集合A ＝{0，1，3，5}，B ＝{2，3，6}，则A ∪(U ðB)＝A.{3}B.{0，1，3，4}C.{0，1，3，4，5}D.{0，1，2，3，5，6}2.已知双曲线2212y x -=的顶点到其渐近线的距离为A.3B.3C.1 3.在同一直角坐标系中，f(x)＝x a 与g(x)＝a －x 在[0，＋∞)上的图象为4.已知离散型随机变量X 的分布列为若E(X)＝2，则D(3X －1)＝A.3B.9C.12D.365.已知某空间几何体的三视图如图所示，每个小方格的边长为1，则该几何体的表面积为A.13B.C.4D.6.已知函数f(x)＝sinx ，x ∈[0，2π)，则“f(r)≥0”是“f(x 2)≥0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设z ＝－x ＋2y ，其中x ，y 满足1210320y x y x y c ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，若z 的最大值为11，则实数c ＝A.21B.22C.23D.248.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别是AC 1，B 1C 的中点，P 为该三棱柱表面上一动点，若此三棱柱恰好有5条棱与平面PEF 平行，则动点P 的轨迹为除去E ，F 两点的A.线段B.三角形，且其所在平面平行于平面AA 1C 1CC.梯形，且其所在平面平行于平面BB 1C 1CD.平行四边形，且其所在平面平行于平面AA 1B 1B9.若直线MN 过△ABC 的重心G ，且AM mAB =，AN nAC =，其中m>0，n>0，则m ＋2n 的最小值是11 C.2D.10.设数列{a n }的前n 项积为T n ＝1－a n ，记S n ＝T 12＋T 22＋…＋T n 2，则S n －a n ＋1的取值范围为 A.11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.17,218⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C.57,1218⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D.51,123⎡⎫-⎪⎢⎣⎭11.若复数11i z i-=+(i 为虚数单位)，则|z|＝ ，z 的共轭复数z ＝ 。

2019年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 已知实数集合{1,2,3,}x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x 的值为 ．答案：3-．解：条件等价于1,2,3,x 中除最大数以外的另三个数之和为0．显然0x <，从而120x ++=，得3x =-．2. 若平面向量(2,1)m a =-与1(21,2)m m b +=-垂直，其中m 为实数，则a 的模为 ．答案解：令2m t =，则0t >．条件等价于(1)(1)20t t t ⋅-+-⋅=，解得3t =．因此a=．3. 设,(0,)a b p Î，cos ,cos a b 是方程25310x x --=的两根，则sin sin a b 的值为 ．答案：5． 解：由条件知31cos cos ,cos cos 55a b a b +==-，从而222(sin sin )(1cos )(1cos )a b a b =--22221cos cos cos cos a b a b=--+2222437(1cos cos )(cos cos )5525a b a b æöæö÷çç=+-+=-=÷çç÷ççèøè．又由,(0,)a b p Î知sin sin 0a b >，从而sin sin 5a b =． 4. 设三棱锥P ABC -满足3,2PA PB AB BC CA =====，则该三棱锥的体积的最大值为 ．答案：3． 解：设三棱锥P ABC -的高为h ．取M 为棱AB 的中点，则h PM £==．当平面PAB 垂直于平面ABC 时，h 取到最大值．此时三棱锥P ABC -的体积取到最大值11333ABC S D ⋅==．5. 将5个数2,0,1,9,2019按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为 ．答案：95． 解：易知2,0,1,9,2019的所有不以0为开头的排列共有44!96´=个．其中，除了(2,0,1,9,2019)和(2019,2,0,1,9)这两种排列对应同一个数20192019，其余的数互不相等．因此满足条件的8位数的个数为96195-=．6. 设整数4n >，(1)n x +的展开式中4n x -与xy 两项的系数相等，则n 的值为 ．答案：51．解：注意到0(1)C 1)nnr n r r nr x x -=+=å．其中4n x -项仅出现在求和指标4r =时的展开式444C 1)n n x-中，其4n x -项系数为44(1)(2)(3)(1)C 24n n n n n ----=．而xy 项仅出现在求和指标1r n =-时的展开式11C 1)n n nx --⋅中，其xy 项系数为12331C C 4(1)(1)2(1)(2)n n n n n n n n ----⋅-=---． 因此有3(1)(2)(3)(1)2(1)(2)24n n n n n n n n ----=---．注意到4n >，化简得33(1)48n n --=-，故只能是n 为奇数且348n -=．解得51n =．7. 在平面直角坐标系中，若以(1,0)r +为圆心、r 为半径的圆上存在一点(,)a b 满足24b a ³，则r 的最小值为 ．答案：4．解：由条件知222(1)a r b r --+=，故22224(1)2(1)(1)a b r a r r a a £=---=---．即22(1)210a r a r --++£．上述关于a 的一元二次不等式有解，故判别式2(2(1))4(21)4(4)0r r r r --+=-³，解得4r ³．经检验，当4r =时，(,)(3,a b =满足条件．因此r 的最小值为4．8. 设等差数列{}n a 的各项均为整数，首项12019a =，且对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得12n m a a a a +++=．这样的数列{}n a 的个数为 ．答案：5．解：设{}n a 的公差为d ．由条件知12k a a a +=（k 是某个正整数），则 112(1)a d a k d +=+-，即1(2)k d a -=，因此必有2k ¹，且12ad k =-．这样就有1111(1)2n n a a n d a a k -=+-=+-，而此时对任意正整数n ，12111(1)(1)(1)22n n n n n a a a a n d a n a d --+++=+=+-+ 1(1)(1)(2)2n n a n k d æö-÷ç=+--+÷ç÷çèø， 确实为{}n a 中的一项．因此，仅需考虑使12|k a -成立的正整数k 的个数．注意到2019为两个素数3与673之积，易知2k -可取1,1,3,673,2019-这5个值，对应得到5个满足条件的等差数列．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）在椭圆G 中，F 为一个焦点，,A B 为两个顶点．若3,2FA FB ==，求AB 的所有可能值．解：不妨设平面直角坐标系中椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，并记c =F 为G 的右焦点．易知F 到G 的左顶点的距离为a c +，到右顶点的距离为a c -，到上、下顶点的距离均为a ．分以下情况讨论：(1) ,A B 分别为左、右顶点．此时3,2a c a c +=-=，故25AB a ==（相应地，2()()6b a c a c =+-=，G 的方程为2241256x y +=）． …………………4分(2) A 为左顶点，B 为上顶点或下顶点．此时3,2a c a +==，故1c =，进而2223b a c =-=，所以AB ==G 的方程为22143x y +=）． …………………8分 (3) A 为上顶点或下顶点，B 为右顶点．此时3,2a a c =-=，故1c =，进而2228b a c =-=，所以AB ==G 的方程为22198x y +=）．…………………12分 综上可知，AB的所有可能值为5,． …………………16分10. （本题满分20分）设,,a b c 均大于1，满足lg log 3,lg log 4.b a a c b c ì+=ïïíï+=ïî求lg lg a c ⋅的最大值．解：设lg ,lg ,lg a x b y c z ===，由,,1a b c >可知,,0x y z >．由条件及换底公式知3,4z zx y y x+=+=，即34xy z y x +==．…………………5分由此，令3,4(0)x t y t t ==>，则241212z x xy t t =-=-．其中由0z >可知(0,1)t Î． …………………10分因此，结合三元平均值不等式得2lg lg 312(1)18(22)a c xz t t t t t ==⋅-=⋅-33(22)2161818333t t t æöæö++-÷çç£⋅=⋅=÷çç÷ççèèø． 当22t t =-，即23t =（相应的,,a b c 分别为8833100,10,10）时，lg lg a c 取到最大值163． …………………20分11. （本题满分20分）设复数数列{}n z 满足：11z =，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=．证明：对任意正整数m ，均有123m z z z +++<． 证明：归纳地可知*0()n z n N ¹Î．由条件得2*114210()n n n n z z n z z N ++æöæö÷çç÷++=Îçç÷çç÷èøèø，解得*11()4N n n z n z +-=Î． …………………5分因此1112n n nnz z z z ++===，故*11111()22N n n n z z n --=⋅=Î． ①进而有*11111()22N n n n n n n n z z z z n z ++-+=⋅+==Î． ②…………………10分当m 为偶数时，设*2()N m s s =Î．利用②可得122122122111123sm k k k k k k k k z z z z z z z ¥¥---===+++£+<+==ååå． …………………15分 当m 为奇数时，设21()N m s s =+Î．由①、②可知21212221211112322s k k s s k k s k s z z z ¥¥+---=+=+=<==+⋅åå， 故1221221212113s m k k s k k k k z z z z z z z z ¥-+-==æö÷ç+++£++<+=÷ç÷çèøåå． 综上，结论获证． …………………20分2019年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）参考答案及评分标准说明：1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、（本题满分40分）设正实数12100,,,a a a 满足101(1,2,,50)i i a a i -³=．记112(1,2,,99)k k kka x k a a a +==+++．证明：29912991x x x £．证明：注意到12100,,,0a a a >．对1,2,,99k =，由平均值不等式知121210kk k k a a a a a a æöç<£çç+++èø， ……………10分 从而有9999299112991111212kk k k k k k k ka k x x x a a a a a a a ++==æö÷ç÷=£ç÷÷ç+++èø ． ①………………20分记①的右端为T ，则对任意1,2,,100i =，i a 在T 的分子中的次数为1i -，在T 的分母中的次数为100i -．从而10121005050210121012(101)101101101111ii i i i i i i i i i ia T a a a a -------===æö÷ç÷===ç÷ç÷èø ．………………30分又1010(1,2,,50)i i a a i -<£=，故1T £，结合①得29912991x x x T ££． ………………40分二、（本题满分40分）求满足以下条件的所有正整数n ：(1) n 至少有4个正约数；(2) 若12k d d d <<< 是n 的所有正约数，则21321,,,k k d d d d d d ---- 构成等比数列．解：由条件可知4k ≥，且3212112kk k k d d d d d d d d -----=--． ………………10分 易知112231,,,k k k n nd d n d d d d --====，代入上式得3222231n n d d d n n d d d --=--， 化简得223223()(1)d d d d -=-． ………………20分由此可知3d 是完全平方数．由于2d p =是n 的最小素因子，3d 是平方数，故只能23d p =． ………………30分从而序列21321,,,k k d d d d d d ---- 为23212,1,,,k k p p p p p p p ------ ，即123,,,,k d d d d 为21,1,,,k p p p - ，而此时相应的n 为1k p -．综上可知，满足条件的n 为所有形如a p 的数，其中p 是素数，整数3a ≥． ………………40分三、（本题满分50分）如图，点,,,,A B C D E在一条直线上顺次排列，满足BC CD ==，点P 在该直线外，满足PB PD =．点,K L 分别在线段,PB PD 上，满足KC 平分BKE ，LC 平分ALD ．证明：,,,A K L E 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：令1,(0)AB BC CD t ===>，由条件知2DE t =．注意到180BKE ABK PDE DEK < = < - ，可在CB 延长线上取一点A ¢，使得A KE ABK A BK ¢¢ = = ． ………………10分此时有A BK A KE ∽¢¢D D ，故A B A K BKA K A E KE¢¢==¢¢． ………………20分 又KC 平分BKE ，故211BK BC t KE CE t t t===++．于是有 22112A B A B A K BK AB A E A K A E KE t t AEæö¢¢¢÷ç=⋅===÷ç÷碢¢èø++． …………30分 由上式两端减1，得BE BEA E AE=¢，从而A A ¢=．因此AKE A KE ABK ¢ = = ． 同理可得ALE EDL = ．而ABK EDL = ，所以AKE ALE = ．因此,,,A K L E 四点共圆． ………………50分四、（本题满分50分）将一个凸2019边形的每条边任意染为红、黄、蓝三种颜色之一，每种颜色的边各673条．证明：可作这个凸2019边形的2016条在内部互不相交的对角线将其剖分成2017个三角形，并将所作的每条对角线也染AA (为红、黄、蓝三种颜色之一，使得每个三角形的三条边或者颜色全部相同，或者颜色互不相同．证明：我们对5n ≥归纳证明加强的命题：如果将凸n 边形的边染为三种颜色,,a b c ，并且三种颜色的边均至少有一条，那么可作满足要求的三角形剖分． ………………10分当5n =时，若三种颜色的边数为1，1，3，由对称性，只需考虑如下两种情形，分别可作图中所示的三角形剖分．若三种颜色的边数为1，2，2，由对称性，只需考虑如下三种情形，分别可作图中所示的三角形剖分．………………20分假设结论对(5)n n ≥成立，考虑1n +的情形，将凸1n +边形记为121n A A A + ． 情形1：有两种颜色的边各只有一条．不妨设,a b 色边各只有一条．由于16n +≥，故存在连续两条边均为c 色，不妨设是111,n n n A A A A ++．作对角线1n A A ，并将1n A A 染为c 色，则三角形11n n A A A +的三边全部同色．此时凸n 边形12n A A A 的三种颜色的边均至少有一条，由归纳假设，可对其作符合要求的三角形剖分．………………30分 情形2：某种颜色的边只有一条，其余颜色的边均至少两条．不妨设a 色边只有一条，于是可以选择两条相邻边均不是a 色，不妨设111,n n n A A A A ++均不是a 色，作对角线1n A A ，则1n A A 有唯一的染色方式，使得三角形11n n A A A +的三边全部同色或互不同色．此时凸n 边形12n A A A 的三种颜色的边均至少有一条，由归纳假设，可对其作符合要求的三角形剖分． ………………40分情形3：每种颜色的边均至少两条．作对角线1n A A ，则1n A A 有唯一的染色方式，使得三角形11n n A A A +的三边全部同色或互不同色．此时凸n 边形12n A A A 的三种颜色的边均至少有一条，由归纳假设，可对其作符合要求的三角形剖分．综合以上3种情形，可知1n +的情形下结论也成立．由数学归纳法，结论获证． ………………50分。

2019学年超级全能生9月联考一、选择题：每小题4分，共40分1. 已知全集U R =，集合{}2|40A x x =-≥，集合{}|22x B x =≥，则()U A B =I ð（ ） A ．[)2+∞，B ．∅C ．[)1,2D ．()1,22. 已知复数2i1iz -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模长等于（ ） ABCD3. 若实数,x y 满足约束条件2032402340x y x y x y ++≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2-B ．12C ．4-D ．84. 在同一直角坐标系中，函数2y ax bx =+，()01x b y a a a 且-=>≠的图像可能是（ ）5. 已知直线,m l ，平面,αβ满足l α⊥，m β⊂，则“l m ∥” 是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. A ．()E ξ增大，()D ξ增大 B ．()E ξ减小，()D ξ减小C ．()E ξ增大，()D ξ先增大后减小 D ．()E ξ增大，()D ξ先减小后增大7. 已知双曲线2221(0)y x b b-=>右焦点为F ，左顶点为A ，右支上存在点B 满足BF AF ⊥，记直线AB与渐近线在第一象限内的交点为M ，且2AM MB =u u u u r u u u r，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．43y x =±D ． 34y x =±8. 已知函数()(ln 1)(2)(1,2)i f x x x m i =---=，e 是自然对数的底数，存在m ∈R （ ） A ．当1i =时，()f x 零点个数可能有3个 B ．当1i =时，()f x 零点个数可能有4个 C ．当2i =时，()f x 零点个数可能有3个 D ．当2i =时，()f x 零点个数可能有4个DC B A9. 三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，动点M 在线段1CA 上滑动（包含端点），记BM 与11B A 所成角为α，BM 与平面ABC 所成线面角为β，二面角M BC A --为γ，则（ ） A ．,βαβγ≥≤ B ．,βαβγ≤≤C ．,βαβγ≤≥D ．,βαβγ≥≥10. 已知函数()()11,212,22x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩，若函数()()g x x f x a =⋅-的零点个数恰为2个，则（ ）A ．2837a <<或1a =-B ．2837a <<C ．7382a <<或1a =-D ．7382a <<二、填空题：单空题4分，多空题6分，共36分11. 《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算术十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．书中对一些特殊的柱体和锥体有特定的命名．例如，将长方体切割成两个一模一样的三角柱体，称之为“堑堵”．若某一个“堑堵”的三视图如图所示，则该柱体的外接球表面积是 ．12. 已知()()()2012111nn n x a a x a x a x =+++++++L （*n ∈N ）对任意x ∈R 恒成立，则0a = ；若450a a +=，则n = ．13. 已知单位向量1e ，2e 夹角为60︒，122+=e e ；12λ+e e （λ∈R ）的最小值为 ．14. 在ABC △中，D 为AC 中点，若46AB =，2BC =，5BD =，则cos ABC ∠= ；sin C = ．15. 将1,2,3,4,5,6,7,8八个数字组成没有重复数字的八位数，要求7与8相邻，且任意相邻两个数字奇偶不同，这样的八位数的个数是 ．16. 设()0,3F -是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点，点()0,2A ，若椭圆上存在点P 满足9PA PF +=，则椭圆离心率的取值范围是 ．17. 已知数列{}n a ，满足()21n n n a k a a +=-．若112a =，1k =，则1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小值是 ；若12a =，且存在常数0M >，使得任意n a M ≤，则k 的取值范围是 ．三、解答题：5小题，共74分18. 已知函数()1cos cos 34f x x x π⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭．（1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值和()f x 的单调递增区间；（2）函数()f x θ+是奇函数（0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦），求函数()2y f x θ=+⎡⎤⎣⎦的值域．19. 已知棱台111ABC A B C -，平面11AAC C ⊥平面111A B C ，111=60B AC ∠︒，111=90A B C ∠︒，11AA AC CC ===112AC，,D E 分别是BC 和11A C 的中点．（1）证明：11DE B C ⊥；（2）求DE 与平面11BCC B 所成角的余弦值．20. 已知等比数列{}n a 的公比1q >，且4a 为23a a ，的等比中项，31a +为24a a ，的等差中项．（1）求q 的值； （2）设()()*11nn n b a n N +=+-∈，数列1nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S，求证：53n S <．21. 如图，已知抛物线C ：()220x py p =>，过抛物线上点B 作切线l ：24y x =-交y 轴于点A ．（1）求抛物线方程和切点B 的坐标； （2）过点A 作抛物线的割线，在第一象限内的交点记为D E 、，设F 为y 轴上一点，满足FD FE =，M 为DE 中点，求DEFAMFS S △△的取值范围．22. 已知函数()ln 12x f x a x⎫=+⎪⎭．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）设()()12g x f x x =-，若()g x 在()1+∞，上有极值点0x ，求证：()01g x <．。

3 22 s-1
=
¥ k=s+1
3 22k-1
¥
=
k=s+1
z2k-1 + z2k
，
故
å å z1 + z2 ++ zm
£
æçççè
k
s =1
z2k-1 + z2k ÷ö÷÷ø+
z2 s+1
¥
<
k =1
z2k-1 + z2k
=
2
3 3
．
综上，结论获证．
…………………20 分
2019 年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷） 参考答案及评分标准
3. 设 a, b Î (0, p) ，cosa, cosb 是方程 5x2 -3x -1= 0 的两根，则 sin asin b 的
值为
．
答案：
7 5
．
解：由条件知 cosa + cosb = 3 , cosa cos b = -1 ，从而
5
5
(sin a sin b)2 = (1-cos2a)(1- cos2 b) = 1- cos2a - cos2 b + cos2a cos2 b
=
(-1)n-32n(n -1)(n
- 2)
．
因此有
n(n
-1)(n 24
2)(n
-
3)
=
(-1)n-3
2n(n
-1)(n
-
2)
．注意到
n
>
4
，化简得
n -3 = (-1)n-3 48 ，故只能是 n 为奇数且 n - 3 = 48 ．解得 n = 51．