超级全能生2019高考全国卷26省12月联考乙卷文科数学
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1 “超级全能生”2019高考全国卷26省12月联考乙卷
数学（文科）
一、选择题：
1．已知集合M＝{x|－1＜x＜1），N＝{x|2x2－x－3≤0），则M∩N＝（ ）
A．（－1，1）
B．13[,)22
C．3[1,]2
D．[－1，1）
2．复数4421izi，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知椭圆22214xyb（b＞0）的上、下顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，且四边形AF1BF2的面积为4，则该椭圆的离心率为（ ）
A．14
B．32
C．22
D．12
4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
2
A．24
B．48
C．88
D．104
5．已知函数lg,0,()8,0,xxfxxx若f（－5）＝3f（a），则实数a的值为（ ）
A．1
B．3
C．－7或－1
D．10或－7
6．图中大正方形是由四个全等的直角三角形的斜边组成，每个直角三角形的两条直角边的长分别为a，b且a＝2b，阴影部分是小正方形的内切圆，则在大正方形内任取一点，此点恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A．13
B．20
3 C．5
D．16
7．在递增的等差数列{an}中，a2，a8是函数f（x）＝x2－4x－5的两个零点，则{an}的前50项和等于（ ）
A．2450
B．1125
C．1225
D．－2450
8．某校高三第一次模拟考试，从全校文科学生中随机抽取10名学生的数学成绩如茎叶图所示，现将每人的分数依次输入到如下程序框图中，则输出的S＝（ ）
A．110.5
B．111
C．111.5
D．112
9．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点77(3cos,9sin)66P，则22sin12cossincos（ ）
4 A．35
B．12
C．3
D．6
10．某圆柱的体积、侧面积都为16π，则该圆柱的外接球的体积为（ ）
A．32π
B．643
C．6423
D．1282
11．对函数()33sin3cos33xxfx给出下列命题：
①f（x）的图象向右平移2个单位长度后所得的函数是非奇非偶函数；
②f（x）的图象关于点（π，0）中心对称；
③f（x）的图象关于直线x＝－2019π对称；
④f（x）在[,]2上单调递增．
其中真命题的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
12．已知函数21,1,()62,1,2axxfxaxxx当x1≠x2时，1221()()0fxfxxx，则函数g（a）＝2a2＋16a＋3的值域是
A．[－27，＋∞）
5 B．（－∞，35]
C．（2，5]
D．（27，35]
二、填空题：
13．已知点A（2，－1），(1,3)AC，32ABAC，则点B的坐标为________．
14．已知x，y满足约束条件2360,3260,220,xyxyxy则z＝x－3y的最小值为________．
15．双曲线x2－y2＝4的渐近线与圆C：（x－3）2＋（y－2）2＝4交于A，B两点，则|AB|＝________．
16．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，（an＋1－2Sn）2＝4Sn＋1Sn，且a1＝1，设13lognnbS，则b1＋b2＋…＋b20＝________．
三、解答题：
（一）必考题：
17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos2A＋sinBsinA＝1，3C，且△ABC的外接圆直径为433．
（Ⅰ）求ab的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
18．如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD的对角线互相垂直，且BC＝CD，PA⊥平面ABCD．
6
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若BD＝CD＝4，PA＝6，M为PC上一点，且2PM＝MC，试求三棱锥C—BDM的体积．
19．某羽毛球俱乐部规定，每天一人打球1小时收费30元（不足1小时部分按1小时收费，依此类推），注册成为会员，对会员一天连续打球2小时、3小时的优惠标准说明如下表：
消费时间 1小时 2小时 3小时
收费比例 1 0.9 0.8
该俱乐部从注册的会员中，随机抽取了40位进行统计，得到统计数据如下表：
消费时间 1小时 2小时 3小时
频数 20 12 8
假设该俱乐部一人1小时活动的成本为5元，根据所给数据，解答下列问题：
（Ⅰ）估计该俱乐部一位会员消费时间至少为2小时的概率；
（Ⅱ）若某会员消费时间不超过3小时，以频率作为概率，估计该俱乐部每小时对该会员获取的平均利润；
（Ⅲ）小明、小王、小张、小军四名会员周六一起去俱乐部打球，小王打了1小时有事离开了，小军打了2小时，小明、小张打了3小时，他们今天共应付给俱乐部多少费用？
20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴交于A点，过
7 点F且斜率为2的直线l交C的准线于B点，22ABFS△．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）已知C上一点P（t，4），过点P作C的两条弦PD和PE，且PD⊥PE，求直线DE恒过的定点的坐标．
21．已知函数f（x）＝3a2lnx－x2－5ax（a∈R）．
（Ⅰ）若x＝1是f（x）的极值点，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．
（二）选考题：
22．已知曲线C1的参数方程为4cos,4sinxy（θ为参数）．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程；
（Ⅱ）设P是曲线C1上的动点，M（－2，5），N（6，1），求|PM|2＋|PN|2的最大值．
23．设函数f（x）＝|2x＋4|＋|x－a|（a∈R）．
（Ⅰ）当12a时，求不等式9()2fx的解集；
（Ⅱ）若1()|2|32fxxa恒成立，求实数a的取值范围．
“超级全能生”2019高考全国卷26省12月联考乙卷
数学（文科） 答案
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10 11
12
A B C C D B B C A C D D
13．8(,1)3
14．8413
15．14
8 16．－380
17．解：（Ⅰ）因为cos2A＋sinBsinA＝1，
所以2sin2A＝sinBsinA，因为sinA≠0，
所以sinB＝2sinA，
由正弦定理得b＝2a，
所以12ab．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b＝2a，
因为3C，三角形ABC的外接圆直径为433，
所以由正弦定理得433sin3c，所以c＝2，
由余弦定理得22222422cos33aaaaa，
解得243a，
所以△ABC的面积为2134323sin232323ABCSaba△．
18．解：（Ⅰ）证明：因为底面ABCD的对角线互相垂直，所以BD⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
所以BD⊥PA，
因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，
因为BD平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．
（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，
所以平面PAC⊥平面BCD，
过点M在平面PAC上作MN⊥AC于N点，
所以MN⊥平面BCD，
9 因为2PM＝MC，所以2PC＝3CM，
由Rt△PAC∽Rt△MNC，所以2PA＝3MN，
因为PA＝6，所以MN＝4，
因为BC＝BD＝CD＝4，
所以144sin60432BCDS△，
所以三棱锥C—BDM的体积116343433CBDMMBCDVV．
19．解：（Ⅰ）在40名会员中，消费时间至少为2小时的会员有12＋8＝20（人），故概率201402P．
（Ⅱ）该会员消费时间为1小时、2小时、3小时的概率分别为12，310，15，所以估计该俱乐部每小时对该会员获取的平均利润为131(305)(300.95)(300.85)22.9()2105元．
（Ⅲ）依题意，小王打了1小时应付30元；
小军打了2小时，应付2×30×0.9＝54（元）；
小明、小张打了3小时，应付3×30×0.8×2＝144（元）；
所以他们今天共应付给俱乐部费用为30＋54＋144＝228（元）．
20．解：（Ⅰ）由题意知抛物线的焦点(,0)2pF，
所以直线l的方程为2()2pyx．
则可得点B的坐标为(,2)2pp，
因为22ABFS△，
所以12222pp，解得p＝2．
所以抛物线C的方程为y2＝4x．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得点P（4，4），
且直线DE的斜率不为0，
10 设直线DE的方程为x＝my＋n，
联立24,,yxxmyn得y2－4my－4n＝0，
则Δ＝16m2＋16n＞0． ①
设D（x1，y1），E（x2，y2），
则由韦达定理知y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n．
因为PD⊥PE，
所以1122(4,4)(4,4)PDPExyxy
121212124()164()16xxxxyyyy
2222121212124()164()164444yyyyyyyy
2212121212()()34()3216yyyyyyyy
22161232160nmnm，
即n2－12n＋32＝16m2＋16m，
整理得（n－6）2＝4（2m＋1）2，
所以n－6＝±2（2m＋1），
即n＝－4m＋8或n＝－4m＋4（不合题意，舍去），
所以直线DE的方程为x＝my＋4m＋8＝m（y＋4）＋8．
所以直线DE恒过定点（8，－4）．
21．解：（Ⅰ）因为f（x）＝3a2lnx－x2－5ax，
所以2223253()25(0)axaxafxxaxxx，
因为x＝1是f（x）的极值点，所以3a2－5a－2＝0，
解得a＝2或13a．
