2017-2018学年高中数学 第一章 数列 1.1.1 数列的概念课件 北师大版必修5

§2

等差数列

2.1 等差数列

第1课时 等差数列的概念及其通项公式

学 习 目 标 核 心 素 养

1.理解等差数列的概念．(难点)

2．掌握等差数列的判定方法．(重点)

3．会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项．(重点、难点) 1.通过等差数列概念的学习培养学生的数学抽象素养．

2．借助于等差数列的通项公式提升学生的数学运算素养.

1．等差数列的概念

阅读教材P10～P11例1以上部分,完成下列问题．

文字

语言 从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这样的数列就叫作等差数列．这个常数称为等差数列的公差,通常用字母d表示

符号

语言 若an－an－1＝d(n≥2),则数列{an}为等差数列

思考：(1)数列{an}的各项为：n,2n,3n,4n,…,数列{an}是等差数列吗？

[提示] 不是,该数每一项与其前一项的差都是n,不是常数,所以不是等差数列．

(2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数,这个数列一定是等差数列吗？

[提示] 不一定,当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时,这个数列才是等差数列．

如数列：1,2,3,5,7,9,就不是等差数列．

2．等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．

思考：(1)若已知等差数列{an}的首项a1和第二项a2,可以求其通项公式吗？

[提示] 可以,可利用a2－a1＝d求出d,即可求出通项公式．

(2)等差数列的通项公式一定是n的一次函数吗？

[提示] 不一定,当公差为0时,等差数列的通项公式不是n的一次函数,而是常数函数．

3．等差数列通项公式的推导

如果等差数列{an}的首项是a1,公差是d,根据等差数列的定义得到a2－a1＝d,a3－a2＝d,a4－a3＝d,…

所以a2＝a1＋d,

a3＝a2＋d＝a1＋d＋d＝a1＋2d,

§4 数列在日常经济生活中的应用

知识点一 零存整取模型

[填一填]

(1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为利息＝本金×利率×存期．若以P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有S＝P(1＋nr)．

(2)复利：把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n.

[答一答]

1．简单总结一下本节课中几种模型的规律方法．

提示：(1)银行存款中的单利是等差数列模型,本息和公式为S＝P(1＋nr)．

(2)银行存款中的复利是等比数列模型,本利和公式为S＝P(1＋r)n.

(3)产值模型：原来产值的基础数为N,平均增长率为P,对于时间x的总产值y＝N(1＋P)x.

(4)分期付款模型：a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则b＝r1＋rna1＋rn－1.

知识点二 数列知识的实际应用及解决问题的步骤

[填一填]

(1)数列知识有着广泛的应用,特别是等差数列和等比数列．例如银行中的利息计算,计算单利时用等差数列,计算复利时用等比数列,分期付款要综合运用等差、等比数列的知识．

(2)解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目,认真审题,将实际问题转化为数列模型；②挖掘题目的条件,分析该数列是等差数列,还是等比数列,分清所求的是项的问题,还是求和问题；③检验结果,写出答案． [答一答]

2．数列应用题中常见模型是哪些？

提示：等差模型和等比模型．

1．数列实际应用题的解题策略

解等差、等比数列应用题时,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,然后求解．

2．处理分期付款问题的注意事项

(1)准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)．

(2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和,只有掌握了这一点,才可以顺利建立等量关系．

2016-2017学年高中数学 第一章 数列 1.4 数列

在日常经济生活中的应用课后演练提升 北师大版

必修5

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后

一年的价格与原来的价格比较，变化情况是( )

A．不增不减 B．约增1.4%

C．约减9.2% D．约减7.8%

解析：　设原价为1，则现价为(1＋20%)2(1－20%)2＝0.921 6，∴1

－0.921 6＝0.078 4，约减7.8%.

答案：　D

2．某厂在2009年底制订生产计划，要使2019年底的总产量在原有

基础上翻两番，则年平均增长率为( )

A．4－1 B．2

C．4－1 D．2－1

解析：　设年增长率为x,2009年总产量为1，到2019年底翻两番后的

总产量为4，故得1·(1＋x)10＝4，∴x＝4－1.

答案：　A

3．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2006年某地区农

民人均收入为3 150元(其中工资性收入为1 800元，其他收入为1 350

元)，预计该地区自2007年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的

年增长率增长，其他收入每年增加160元，根据以上数据，2011年该地

区农民人均收入介于( )

A．4 200元～4 400元 B．4 400元～4 600元

C．4 600元～4 800元 D．4 800元～5 000元

解析：　从2007年起该地区农民人均工资性收入构成以1 800为首

项，1＋6%为公比的等比数列，其他收入构成以1350为首项，160为公

差的等差数列，则2011年该地区农民人均收入为T＝1 800(1＋6%)5＋1350＋5×160＝1 800×(1＋0.06)5＋2 150，显然T＝1 800×(1＋0.06)5＋2

150≈4 559.

答案：　B

4．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每

年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )

A.万元 B.万元

..

DOC版. 习题课(1)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( B )

A．－1 B．1

C．3 D．7

解析：由已知得a1＋a3＋a5＝3a3＝105，

a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a3＝35，a4＝33，∴d＝－2.

∴a20＝a3＋17d＝35＋(－2)×17＝1.

2．在数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2，则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是( C )

A．a21和a22 B．a22和a23

C．a23和a24 D．a24和a25

解析：因为an＋1＝an－23，所以数列{an}是等差数列，且公差为－23，所以an＝15＋(n－1)·－23.因为a23＝13，a24＝－13，所以a23a24<0.

3．在数列{an}中，an＋1＝an＋a(n∈N＋，a为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量OA→、OB→、OC→满足OC→＝a1OA→＋a2 015OB→，且A、B、C三点共线且该直线不过O点，则S2 015等于( A )

A．1 007.5 B．2 015

C．1 006 D．2 014

解析：由an＋1＝an＋a，知数列{an}为等差数列，又A、B、C三点共线，故a1＋a2 015＝1，所以S2 015＝2 015a1＋a2 0152＝1 007.5.

4．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使Sn取得最小值的正整数n的值是( C )

A．4或5 B．5或6

C．6或7 D．7或8

解析：依题意得a5<0，a9>0，且a5＋a9＝0⇒2a1＋12d＝0⇒a1＋6d＝0，即a7＝0，故前6项与前7项的和相等，且最小．

5．已知数列{an}的通项公式an＝26－2n，则使其前n项和Sn最大的n的值为( D )

A．11或12 B．12