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太原市教研科研中心研制第1页（总页）课题9.2.1空间中的平行直线课型新授第几课时1～2
课时教学目标（三维）1. 掌握平行线的基本性质，了解空间四边形的定义．2. 了解空间中图形平移的定义，理解空间中图形平移的性质．3. 渗透数形结合思想，渗透由平面到空间的转换思想，培养学生观察分析、空间想象的能力．
教学重点与难点教学重点：平行线的基本性质教学难点：空间中图形平移的性质
教学方法与手段实物演示法
使用教材的构想通过实物或模型演示，帮助学生理解平行线的性质，以及空间四边形的概念，培养学生的空间想象能力．通过证明题，向学生渗透将立体问题转化为平面问题来解决的思想课时教学流程
太原市教研科研中心研制第2页（总页）☆补充设计☆教师行为学生行为设计意图导入：1．平行线的定义．
2．平面几何中的平行公理．
3．平行线的传递性．
4．空间中的直线是否也具有类似的平行公理、平行线的传递性呢？师：在平面几何中，平行线的定义是什么？生：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．师：这个定义在立体几何中不变．但需特别注意“在同一平面内”．过直线外一点有几条直线和这条直线平行？生：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．师：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线是否互相平行？生：是．师：这是平面中平行直线的传递性．提出新问题，引出空间中的平行直线．复习旧知，引出新知，由平面推广到空间，激发学习新知识的兴趣．
新课：1．平行线的基本性质平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．空间平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相平行．即如果直线a // b，c // b，则a // c．如下图所示．
2.空间四边形的定义
如图所示，顺次连接不共面的四点A，B，C，D 所构成的图形，叫做空间师：这条性质同样也可推广到空间，作为空间中平行直线的基本性质．
教师出示长方体模型，或以教室中的实物为例，让学生理解空间平行线的传递性．
1 C'D'B'A'CDAB 空间的平行直线与异面直线
（一）异面直线所成的角
异面直线所成角的定义：过空间任意一点O，与异面直线a和b分别平行的直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.
①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；
②两条异面直线所成的角θ∈（0,2］;
③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；
④找两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；
（二）两直线互相垂直
当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作a⊥b;
【注】以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形。
一、 例题讲解
【例1】 设图中正方体的棱长为a. bb'aa'O
2 GEFBCDA（1）求直线BA′和CC′所成角的大小；
（2）求直线BA′和B′D′所成角的大小；
【例2】 在空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且12AEBFEDFC，AB=CD=3，EF=3，求AB与CD所成角
的大小.
【例3】 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2a，AA1=a,E和F分别是A1B1和BB1的中点。求：(1)EF和AD1所成的角的正弦值；(2)AC1和B1C所成角的余弦值.
(图1) (图2)
(2)延长D1A1到F使A1F=D1A1,则AF∥DA1∥CB1.所求角为AF与AC1的夹角.
二、 课堂练习 一、选择题
1、 下列命题中，正确的是（ ）
A.垂直于同一条直线的两条直线平行
3 B.有三个角是直角的四边形是矩形
异面直线间距离的一个简明公式
本文先给出两条异面直线间的距离公式，然后指出其在解题中的应用.
定理 如图1，异面直线AB，CD分别在二面角—AC—的面和内，二面角—AC—的大小为，AC=l，∠ACD=x，∠BAC=y.那么异面直线AB与CD间的距离
d=.cosctgctg2ctgctgsinsin222yxyxl
证：如图1，过点D作平面的垂线DF，F为垂足.在平面内，过点F作FG⊥AB于G，FE⊥AC于E，连结DE，DG.
则∠DEF=，且（DG）min=d.
设DF=t，在Rt△DFE中，EF=tctg.
在Rt△DEC中，EC=DEctgx=tcsc·ctgx.
∴AE=AC-EC=l-tcscctgx.
图1 图2
在四边形AEFG中（图2），过点F作AE的平行线交AG于M，过点M作MN⊥AE于N.则
MF=NE=AE-AN=.ctgctgctgcscctg)ctgcsc(ytxtlyEFxtl
在Rt△MGF中，FG=.sin)ctgctgctgcsc(sinyytxtlyMF
所以在22222]sin)ctgctgctgcsc[(,RtyytxtltDFGFGDDGF中
.sin)cosctgsinsinctg(sin2])cosctgsinsinctg(1[2222yltyyxyltyyx
根据二次函数的极值公式可得
)4/()4()(2min2abacGD ])cosctgcscsinctg(1[4)]cosctgcscsinctg(sin2[])cosctgcscsinctg(1[4sin])cosctgcscsinctg(1[4222222yyxyyxylyyxylyyx
收稿日期
:2003-12-15
作者简介
:翁玉中(
1962—)
,男
,江苏武进人
,江苏前黄高级中学高级教师
,学士
.谈谈到两异面直线距离相等的点的集合
翁玉中
(前黄高级中学
,江苏
213172)
中图分类号
:O123-42 文献标识
:A 文章编号
:0488-7395(
2004)
5-0011-02
在空间到两条平行直线等距离的点的集合是一
个平面
;在空间到两条相交直线等距离的点的集合
是两个互相垂直的平面
,但是在空间到两条异面直
线等距离的点的集合是什么呢
?本文特对此进行一
番探究
,供大家欣赏
.
我们先证明以下引理
.
引理 设直线
l
1,
l
2
,直线
l
1∩
l
2=
O,则平面α
到直线
l
1,
l
2的距离的平方差为定值
d
(
d>0)的动点的轨迹为等轴双曲线,且以直线
l
1,
l
2相交所成角的平分线为渐近线
.
证 建立如下直角坐标系
:以
l
1与
l
2交点
O
为原点
,以直线
l
2到直线
l
1的角的平分线为
x轴
,
以直线
l
1到直线
l
2的角的平分线为
y轴
,则直线
l
1,
l
2分别位于第一、三象限及第二、四象限
,则设直
线
l
1的方程为
y=
kx,则直线
l
2的方程为
y=
-
kx(
k>0)
,则
p(
x,
y)到直线
l
1的距离为|
kx-
y|
1+
k2,到直线
l
2的距离为|
kx+
y|
1+
k2,而动点
P(
x,
y)到直线
l
1,
l
2距离的平方差为定值
d(
d>
0)
,则有
|
kx-
y|
1+
k22
-
|
kx+
y|
1+
k22
=
d,
化简得 xy=-d(
1+
k2
)
4
k,由此可知动点
P
的轨迹为位于第二、四象限
,以坐标轴(即直线
l
1,
l
2
相交后所成角的平分线)为渐近线的等轴双曲线
.
下面我们研究空间到两异面直线等距离的点的
集合
.
设直线
l
1,
l
2为两异面直线
,
AB⊥
l
1于
A,
AB
⊥
l
2于
B,且
|
AB|=2
l,
O为
AB的中点
.
设直线
AB⊥平面α
,
l
1,
l
2在α
内的射影分别
为
l′
1,
l′
2,则
l
1∥
l′
1(或
l
1与
l′
1重合)
;
l
2∥
l′
2(或
l
2与
l′
2重合)
,
P为平面α
内一点
,
PP
1⊥
l
1于
P
1,
PP
2
⊥
l
2于
P
2,|
