数值传热学(课件)

《数值传热学》课程教学大纲

编号：C3/研部03/002

一、 课程名称

1. 中文名称：数值传热学

2. 英文名称：Numerical Heat Transfer (NHT)

二、 课程概况

课程类别：选修 学时数：32 学分数：2

适用专业：制冷与低温工程，热能工程，工程热物理 开课学期：二

开课单位：商船学院

三、 大纲编写人：杨超

四、 教学目的及要求

通过本课程的教学，使学生能系统地掌握数值传热学的基本理论知识，利用 数值方法通过计算机求解描述传热传质的数学方程，获得空间和时间离散位置处 的数值解，揭示传热传质的物理规律与物理特性。本课程是研究流体传热传质的 重要方法，也是动力工程中分析和设计的重要手段。通过讲授数值传热学的基本 概念、理论和方法，培养学生利用计算数值传热学方法，解决工程中遇到的实际 问题的能力。

五、 课程主要内容及先修课程

第1章绪论

1.1描写流动与传热问题的控制方程

1.2控制方程的守恒与非守恒形式及单值性条件

1.3控制方程的数学分类及其对数值解的影响

1.4什么是数值传热学及常用的数值方法

1.5数值传热学在现代传热学研究中的作用与地位

1.6本书内容介绍

第2章 计算区域与控制方程的离散化

2.1空间区域的离散化

2.2建立离散方程的Taybr展开法及多项式拟合法

2.3建立离散方程的控制容积积分法及平衡法

第3章 扩散方程的数值解法及其应用

3.1 一维导热问题 3.2多维非稳态导热方程的全隐格式

3.3源项及边界条件的处理

3.4求解离散方程的三对角阵算法及交替方向隐式方法

第4章 对流一扩散方程的离散格式

4.1对流项离散格式的重要性及两种离散方式

4.2对流项的中心差分与迎风格式

4.3对流一扩散方程的混合格式及乘方格式

4.4对流一扩散方程5种3点格式系数特性的分析

第5章 求解椭圆型流动与换热问题的原始变量法

5.1动量方程的源项及流场求解中的关键问题

导热问题的数值解法

1 、重点内容： ① 掌握导热问题数值解法的基本思路；

② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。

2 、掌握内容：数值解法的实质。

3 、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。

由前述 3 可知，求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。但是，对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题，从数学上目前无法得出其分析解。随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，并得到广泛应用，并形成为传热学的一个分支——计算传热学（数值传热学），这些数值解法主要有以下几种：

（１）有限差分法 （ 2 ）有限元方法 （ 3 ）边界元方法

数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题，特别是分析解方法无法解决的问题。如：几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。

分析解法与数值解法的异同点：

相同点：根本目的是相同的，即确定 ① t=f(x ， y ， z) ； ② 。

不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。

§4-1 导热问题数值求解的基本思想及内节点离散方程的建立

实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。

这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。

2 、基本思路：数值解法的求解过程可用框图 4-1 表示。

由此可见：

1 ）物理模型简化成数学模型是基础；

2 ）建立节点离散方程是关键；

3 ）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。

- 1 - 1、Jacobi迭代

在Jacobi迭代法中任一点上未知值的更新是用上一轮迭代中所获得的各邻

点之值来计算的，即

kkkkllnlknkabTaT/)(1)1()( k=1,2,...,L1×M1

这里带括号的上角标表示迭代轮数。所谓一轮是指把求解区域中每一节点之值都更新一次的运算环节。显然，采用Jacobi迭代式，迭代前进的方向（又称扫描方向）并不影响迭代收敛速度。这种迭代法收敛速度很慢，一般较少采用。但对强烈的非线性问题，如果两个层次的迭代之间未知量的变化过大，容易引起非线性问题迭代的发散。在规定每一层次计算的迭代轮次数的情况下，有利于Jacobi迭代有利于非线性问题迭代的收敛。

2、Gauss-Seidel迭代

在这种迭代法中，每一种计算总是取邻点的最新值来进行。如果每一轮迭代按T的下角标由小到大的方式进行，则可表示为：

kkkMLklnlklkllnlklnkabTaTaT/)(111)1(11)()(

此时迭代计算进行的方向（即扫描方向）会影响到收敛速度，这是与边界条件的影响传入到区域内部的快慢有关的。

3、例题：

一矩形薄板几何尺寸如图所示，薄板左侧的边界温度TL=100K，右侧温度TR=300K，上侧温度TT=200K，下侧温度TB=200K，其余各面绝热，求板上个节点的温度。要求节点数目可以变化，写出程序。

解析：

⑴列出描述问题的微分方程和定解条件。

22220ttxy；对于离散化的问题，其微分方程根据热平衡原理得到： - 2 - 1,1,,1,10ijijijijyyxxttttxxyy

定解条件(边界条件):

TL=100K，TR=300K，TT=200K，TB=200K。

⑵网格划分示意图：

如下图所示，将薄板划分成mn(m=n)个网格，求mn个节点的温度分布。

传热学课程数值计算实验报告

一 问题重述

有一个用砖砌成的长方形截面的冷气通道，其截面尺寸如下图所示，假设在垂直于纸面方向上冷空气及砖墙的温度变化很小，可以近似忽略。试计算：

（1） 砖墙横截面上的温度分布；

（2） 垂直于纸面方向上的每米长度上通过砖墙的导热量。

墙壁内、外表面的流体的温度分别为10oc、30oc；

内外表面均为第三类边界条件，且已知：

1t=30oc，1h=10.33 2/oWmc

2t=10oc, 2h=3.93 2/oWmc

砖墙的导热系数0.53lamda /oWmc

3.02.01.22.2h1,too1h2,too2

二 离散

首先考虑到整个墙体截面的对称性，对称地取其四分之一截面进行研究，可以适当简化问题。

为方便与温度场电模拟实验的数据进行对比，对温度场的离散与之保持一致，即网格为0.1m的正方形，且对内、外墙表面的流体温度的模拟各设一排节点进行模拟。在实际的编程过程中，为使程序简洁且更有条理，建立一个网格矩阵，矩阵中每个元素的值根据温度场中对应位置的节点的边界情况或计算特点进行设定从而将温度场节点进行分类。网格矩阵如下。下面会结合该矩阵详细阐述迭代方程的建立过程。

三 方程的建立与求解

在介绍迭代方程之前，需要说明的是：a、为提高迭代速度，采用Gauss-Seidel迭代方法，即总是将最新得出来的节点数据用到迭代过程中去；b、每次迭代的初始温度场记为tfi，正在迭代的新温度场记为tft；c、墙壁的内节点初值设为20。

网格矩阵将温度场的节点按照边界情况或计算条件进行了分类、标记。每个不同数值含

义及对应的迭代方程列举如下：

0：温度场中流体的节点，迭代过程中值保持不变：tft(i,j)=tfi(i,j);

1：墙壁的内节点，控制方程可有热平衡法或泰勒级数展开得出：tft(i,j)=0.25*(tfi(i,j+1)+tfi(i+1,j)+tft(i-1,j)+tft(i,j-1));