函数的奇偶性的典型例题
函数的奇偶性的判断
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：
第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(xf是否与)(xf、)(xf 相等，判断步骤如下：
①、定义域是否关于原点对称；
②、数量关系)()(xfxf哪个成立；
例1：判断下列各函数是否具有奇偶性
⑴、xxxf2)(3 ⑵、2432)(xxxf
⑶、1)(23xxxxf ⑷、2)(xxf 2,1x
/
⑸、xxxf22)( ⑹、2211)(xxxf
解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数
⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数
注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。
例2：判断函数)0()0()(22xxxxxf的奇偶性。
.)(),()()()()()(,0,0)()()(,0,0)(0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解xfxfxfxfxxxfxxxfxxxfxxxff
第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。
四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。
~ 命题1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。
此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。
命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x∈〔-1,1〕),g(x)=x(x∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。
2．3．1 函数的单调性·例题解析
【例1】求下列函数的增区间与减区间
(1)y＝|x2＋2x－3|
(2)y(3)y＝＝xxxxx2221123||
解 (1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．
先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像，如图2．3－1所示．
由图像易得：
递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)
递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]
(2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．
解 当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x．
当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2．
∴增区间是(－∞，0)和(0，1)
减区间是[1，2)和(2，＋∞)
(3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1．
令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1]上是在x∈[－1，1]上是．
而＝在≥上是增函数．yu0u
∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．
【例2】函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范围． 解 当a＝0时，f(x)＝x在区间[1，＋∞)上是增函数．
当≠时，对称轴＝，若＞时，由＞≤，得＜≤．a0xa0a0
3a10a131212aaa
若a＜0时，无解．
∴a的取值范围是0≤a≤1．
【例3】已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，试比较大小：
(1)f(6)与f(4)
(2)f(2)f(15)与
解 (1)∵y＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x＝3，∴x≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)
(2)x3f(2)f(4)34f(x)x3∵对称轴＝，∴＝，而＜＜，函数在≥15
函数的单调性和奇偶性
经典例题透析
类型一、函数的单调性的证明
1.证明函数上的单调性.
证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)， 令△x=x2-x1＞0
则
∵x1＞0，x2＞0，∴
∴上式＜0，∴△y=f(x2)-f(x1)＜0
∴上递减.
总结升华：
[1]证明函数单调性要求使用定义；
[2]如何比较两个量的大小？(作差)
[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)
举一反三：
【变式1】用定义证明函数上是减函数.
思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.
证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1＜x2，则
∵0＜x1＜x2≤1 ∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1
∵0＜x1x2＜1 故，即f(x1)-f(x2)＞0
∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2)
上是减函数.
总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.
类型二、求函数的单调区间
2. 判断下列函数的单调区间；
(1)y=x2-3|x|+2； (2)
解：(1)由图象对称性，画出草图
∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.
(2)
∴图象为
∴f(x)在上递增.
举一反三：
【变式1】求下列函数的单调区间：
(1)y=|x+1|； (2) (3).
解：(1)画出函数图象，
∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；
(2)定义域为，
其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，
1
函数的奇偶性的典型例题
函数的奇偶性的判断
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：
第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(xf是否与)(xf、)(xf 相等，判断步骤如下：
①、定义域是否关于原点对称；
②、数量关系)()(xfxf哪个成立；
例1：判断下列各函数是否具有奇偶性
⑴、xxxf2)(3 ⑵、2432)(xxxf
⑶、1)(23xxxxf ⑷、2)(xxf 2,1x
⑸、xxxf22)( ⑹、2211)(xxxf
解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数
⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数
注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。
例2：判断函数)0()0()(22xxxxxf的奇偶性。
.)(),()()()()()(,0,0)()()(,0,0)(0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解xfxfxfxfxxxfxxxfxxxfxxxff
第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。
四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。
命题1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分
2
条件。
此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。
命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
