初三数学相似三角形的判定定理的证明作业

三角形相似的判定定理的证明

你有没有想过，为什么有些三角形看起来差不多？比如它们的角好像一样大，边也差不多长，是不是它们就是“亲戚”？说到三角形相似的判定定理，简直就像是为这些三角形找到了家谱！一提到三角形相似，大家的脑海里可能会闪过“角相等，边成比例”这样的词，可实际背后有个理论基础，就是通过这些定理来证明这些三角形“长得像”是真的有原因的。

咱们先来个简单的比喻。你去街上逛街，看到两个穿着几乎一模一样的T恤的哥们儿，一开始你可能觉得这俩是孪生兄弟，怎么长得这么像。你问他俩才知道，他们其实根本没啥关系，只是恰好选了同一款T恤。但如果有一天，你发现这俩穿的T恤不仅颜色一样，款式也一样，甚至连腰围都差不多，那你可能就得开始怀疑：这俩人是不是有点“眉目”了。三角形相似就差不多是这种情况，它说的就是两三角形虽然大小不同，但它们的形状、角度和比例完全一致。这就像是两个三角形穿了相同的“形状T恤”，但它们的“尺码”可能不一样。

为了证明这点，我们需要一些“硬核”知识。这些判定定理，不是凭空就能得出来的，得经过一些巧妙的推理和实际的计算。最常见的三角形相似判定有三个，分别是角角（AA）、边边边（SSS）、边角边（SAS）。我给你细细道来，保证你听了不晕。

首先是角角（AA）相似定理。你想想，如果两个三角形的两个内角相等，那它们的第三个角还能不相等吗？不可能啊！就好像你去餐厅点菜，点了两道完全一样的菜，服务员都送错了，你还能吃到不同的菜吗？不可能的，肯定都是一样的。所以，如果两个三角形有两个对应的角相等，那第三个角自然也相等，结果它们的形状也就“无一例外”地相似了，尺寸大小可以不同，但形状“就是”一样。

接下来是边边边（SSS）。这个就更直白了。你可以把它想成两个三角形，分别量一下它们的三条边长度。如果这三条边分别成比例，那这两个三角形肯定是相似的。比如你去市场买西瓜，商贩跟你说“这西瓜和那西瓜长得差不多，大小差不多”，你就得看它们的大小比例，长得像不代表它们重量就相同嘛。这里的边成比例，简直就是最直接的证明方式。两个三角形的边如果都成比例，那它们不仅是形状相似，甚至还会在大小上有一定的联系。

*4.5 相似三角形判定定理的证明

【学习目标】

1．了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一种有效的证明方法．

2．进一步掌握相似三角形的三个判定定理．

【学习重点】

掌握相似三角形的三个判定定理．

【学习难点】

通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程．

情景导入 生成问题

我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成立吗？

答：相似三角形的判定定理有：(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．

自学互研 生成能力

知识模块一 相似三角形判定定理的证明

先阅读教材P99－101的内容，然后完成下面的填空：

如图，已知△ABC和△A1B1C1，∠A＝∠A1，ABA1B1＝ACA1C1，求证：△ABC∽△A1B1C1.证明的主要思路是，在边AD上截取AD＝A1B1，作DE∥BC，交AC于E，在△ABC中构造△ADE∽△ABC，再通过比例式得AE＝A1C1，证△A1B1C1≌△ADE，从而得到△A1B1C1∽△ABC.

1．证明：两角分别相等的两个三角形相似，见教材P99－100页．

2．证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，见教材P100－101页．

3．证明：三边成比例的两个三角形相似，见教材P101－102页．

知识模块二 相似三角形判定定理的应用

解答下列各题：

1．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①ABA′B′＝BCB′C′；②BCB′C′＝ACA′C′；③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有( C )

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

2．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试证明：△ABF∽△EAD.

证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，∴∠BAF＝∠AED.∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°.∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.

证明两个三角形相似的判定定理

三角形相似的判定定理的定义是：如果两个三角形的相应角度相等，且两个三角形的两个内角和一个外角分别相等，那么这两个三角形就是相似的。

证明：

设ABC和A'B'C'是两个三角形，且∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，则两个三角形ABC和A'B'C'同时满足以上条件。

先考虑两个三角形ABC和A'B'C'的对边关系，有：AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'，由定理A（三角形内角定理）可知：AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，即三条边比率相等，且比率大于0。

再考虑两个三角形ABC和A'B'C'的外角关系，有：∠ABC=∠A'B'C'，由∠ABC/∠A'B'C'=AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'=比率，得出∠ABC/∠A'B'C'=比率，即外角也比率相等，且比率大于0。

综上所述，两个三角形ABC和A'B'C'的相应角度相等，且两个三角形的两个内角和一个外角分别相等，那么这两个三角形ABC和A'B'C'就是相似的。

结论：如果两个三角形的相应角度相等，且两个三角形的两个内角和一个外角分别相等，那么这两个三角形就是相似的。

九年级数学上册 1 4.5《相似三角形判定定理的证明》同步练习

一、选择题

1.下列语句正确的是( )

A.在△ABC和△A´B´C´中,∠B=∠B´=90°,∠A=30°,∠C´=60°,则⊿ABC和⊿A´B´C´不相似;

B.在⊿ABC和⊿A´B´C´中,AB=´5,BC=7,AC=8,A´C´=16,B´C´=14,A´B ´=10,则⊿ABC∽⊿A´B´C´;

C.两个全等三角形不一定相似;

D.所有的菱形都相似

2.如图，在正三角形ABC中，D、ACADE分别在AC、AB上，且＝31，AE＝BE，则有（ ）

A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBD C.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD

( 3题 ) (4题)

3．已知：如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（ ）

A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

4.三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边为21cm,则其余两边之和为( )

A.32cm B.24cm C.18cm D.16cm

5．如图33－7，已知∠C＝∠E，则不一定能使△ABC∽△ADE的条件是 ( )

A．∠BAD＝∠CAE B．∠B＝∠D C.BCDE＝ACAE

D.ABAD＝ACAE

图33－7 图33－8

6．如图33－8，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝14CD，下列结论：①∠BAE＝30°，②△ABE∽△AEF，③AE⊥EF， ④△ADF∽△ECF.其中正确的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

7. 已知一个三角形三边长是6cm，7.5cm，9cm，另一个三角形的三边是8cm，10cm，12cm，则这两个三角形 （填相似或不相似）