2016年高考全国卷一理科数学精彩试题及问题详解

2016年普通高等学校招生全统一考试

全国卷一理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合2430Axxx，032xxB，则BA

（A）（3，23） （B）（3，23） （C）（1，23） （D）（23，3）

2. 设yixi1)1(，其中x,y是实数，则yix

（A）1 （B）2 （C）3 （D）2

3. 已知等差数列na前9项的和为27，810a，则100a

（A）100 （B）99 （C）98 （D）97

4. 某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

（A）31 （B）21 （C）32 （D）43

5. 已知方程132222nmynmx表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则m的取值围是

（A）（1，3） （B）（1，3） （C）（0，3） （D）（0，3）

6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是328，则它的表面积是

（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π

7. 函数xexy22在22，的图象大致为 （A） （B） （C） （D）

8. 若1ba，10c，则

（A）ccba （B）ccbaab

（C）cbcaabloglog （D）ccbaloglog

9. 执行右图的程序框图，如果输入的0x,1y,1n，则输出yx,的值满足

（A）xy2 （B）xy3 （C）xy4 （D）xy5

10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交C的准线于D,E两点．已知24AB，52DE，则C的焦点到准线的距离为

（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

11.平面过正方体1111DCBAABCD的顶点A，∥平面11DCB，∩平面mABCD，∩平面nAABB11，则nm,所成角的正弦值为

（A）23 （B）22 （C）33 （D）31

12.已知函数)sin()(xxf)2,0(，4x为)(xf的零点，4x为)(xfy图xxxxyyyyO-221O-221O-221-221O是 否 nyynxx,21

3622yx输入nyx,,

输出yx, 开始

结束 1nn象的对称轴，且)(xf在)365,18(单调，则的最大值为

（A）11 （B）9 （C）7 （D）5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.设向量)1,(ma，)2,1(b，且222baba，则m ．

14.5)2(xx的展开式中，3x的系数是 ．（用数字填写答案）

15.设等比数列na满足1031aa，542aa，则naaa21的最大值为 ．

16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg，用5个工时；生产一件B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg，用3个工时.生产一件A产品的利润为2100元，生产一件B产品的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）ABC△的角CBA,,的对边分别为cba,,，已知cAbBaC)coscos(cos2.

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若7c，ABC△的面积为233.求ABC△的周长.

18.（本小题满分12分）如图，在以FEDCBA,,,,,为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，FDAF2，90AFD，且二面角EAFD与二面角FBEC都是60°.

（Ⅰ）证明：平面ABEF⊥平面EFDC；

（Ⅱ）求二面角ABCE的余弦值.

19.（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后被淘汰.机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种三年使用期更换的易损零件，得下面柱状图： FEABCD以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的频率，记X表示2台机器三年共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）若要求5.0）（nXP，确定n的最小值；

（Ⅲ）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在19n与20n之中选其一，应选用哪个？

20.（本小题满分12分） 设圆015222xyx的圆心为A，直线l过点)0,1(B且与x轴不重合，l交圆A于DC,两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（Ⅰ）证明EBEA为定值，并写出点E的轨迹方程；

（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线1C，直线l交1C于NM,两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于QP,两点，求四边形MPNQ面积的取值围.

21.（本小题满分12分） 已知函数2)1()2()(xaexxfx有两个零点.

（Ⅰ）求a的取值围；

（Ⅱ）设21,xx是)(xf的两个零点，证明：221xx.

请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，OAB△是等腰三角形，120AOB.以O为圆心，OA21为半径作圆.

（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；

（Ⅱ）点DC,在⊙O上，且DCBA,,,四点共圆，证明：CDAB∥.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为,sin1,costaytax(t为参数，0a).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C：cos4. 910118频数更换的易损零件数4020OCBAOD（Ⅰ）说明1C是哪一种曲线，并将1C的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线3C的极坐标方程为0，其中0满足2tan0，若曲线1C与2C的公共点都在3C上，求a.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数321)(xxxf.

（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(xfy的图像；

（Ⅱ）求不等式1)(xf的解集.

xy11o2016年全国卷Ⅰ高考数学（理科）答案与解析

一、选择题

【答案】

（1）D （2）B （3）C （4）B （5）A （6）A （7）D （8）C （9）C

（10）B （11）A （12）B

【解析】

（1）310342xxxxxA，23032xxxxB，∴

323xxBA．

（2）∵yixi1)1(即yixix1∴yxx1，解得：11yx，∴222yxyix．

（3）∵2792292)(955919aaaaS∴35a，∵810a∴1510510aad，∴989010100daa．

（4）如图所示，画出时间轴： 小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，

根据几何概型，所求概率21401010p．

（5）132222nmynmx表示双曲线，则0)3)((22nmnm，∴223mnm，

∵22224)3()(42mnmnmcc

解得12m，∴31n．

（6）原立体图如图所示：

是一个球被切掉左上角的1/8后的三视图，表面积是7/8的球面面积和三个扇形面积之和，

∴172413248722S

（7）08.288)2(22ef，排除A；

17.288)2(22ef，排除B；

0x时，xexxf22)( ，xexxf4)(，当)41,0(x时，0441)(0exf8:208:107:507:408:308:007:30BACD∴)(xf在)41,0(单调递减，排除C；

故选D

（8）对A： 由于01c，∴函数cyx在R上单调递增，因此1ccabab，A错误；

对B：由于110c，∴函数1cyx在1,上单调递减，

∴111ccccababbaab，B错误

对C：要比较logbac和logabc，只需比较lnlnacb和lnlnbca，只需比较lnlncbb和lnlncaa，只需lnbb和lnaa

构造函数ln1fxxxx，则'ln110fxx，fx在1,上单调递增，因此110lnln0lnlnfafbaabbaabb

又由01c得ln0c，∴lnlnlogloglnlnabccbcacaabb，C正确

对D：要比较logac和logbc，只需比较lnlnca和lnlncb

而函数lnyx在1,上单调递增，故111lnln0lnlnababab

又由01c得ln0c，∴lnlnlogloglnlnabccccab，D错误

故选C．

【2°用特殊值法，令21,2,3cba得212123，排除A；21213223，排除B；2log221log332，C正确；21log21log23，排除D；∴选C】

（9）如下表：

输出23x，6y，满足4yx，故选C．

（10）以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理

设抛物线为22ypx0p，设圆的方程为222xyr，题目条件翻译如图： 循环节运行次数 12nxxx yyny 判断

2236xy 是否输出 1nnn

运行前 0 1 / / 1

第一次 0 1 否 否 2

第二次 12 2 否 否 3

第三次 32 6 是 是