第1讲 速算与巧算
- 格式：doc
- 大小：75.00 KB
- 文档页数：8
第一章 速算与巧算
知识要点
在速算与巧算中，主要是运算定律、性质和一些技巧方法的运用。
1.加法巧算。
(1)加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。
字母表示：a＋b＝b＋a
(2)加法结合律；三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变。
字母表示：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
交换律和结合律通常是在一起使用。如果多个数相加，任意交换加数的位置，它们的和不变，或者先把其中的几个数结合成一组相加，再把所得的和同其他剩下的数相加，它们的和仍然不变。
字母表示：a＋b＋c＋d＋e＝d＋(b＋d＋e)＋c
2.减法巧算。
(1)减法的运算性质(有时可以将减法的运算性质理解成填括号或去括号的性质)：一个数减去几个数的和，等于从这个数里依次减去和中的每一个加数。
字母表示：a－(b＋c＋d)＝a－b－c－d
(2)一个数连续减去几个数，等于从这个数中减去这几个数的和。
字母表示：a－b－c－d＝a－(b＋c＋d)
3.乘法巧算。
(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
字母表示：a×b＝b×a
(2)乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数结合起来相乘，再和第三个数相乘；也可以先把后两个数结合起来先乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。
字母表示：a×b×c＝(a×b)×c＝a×(b×c)
交换律和结合律通常是在一起使用。如果多个数相乘，任意交换因数的位置，它们的积不变；可以选择两个因数相乘，得出便于运算的整十、整百、整千……的积，再将这个积与其他的因数相乘；有时可以把一个因数用几个因数相乘的形式表示，使其中一个因数与算式中其他的某个因数的积成为便于运算的数，然后再与其他的因数相乘，使计算快捷准确。
(3)积不变的规律：如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。
字母表示：如果 a×b＝c
那么 (a×m)×(b÷m)＝c(m≠0)
(a÷m)×(b×m)＝c(m≠0)
(4)乘法分配律：两个加数的和与一个数相乘，可以用每一个加数分别与这个数相乘，再把所得的积相加。
字母表示：(a＋b)×c＝a×c＋b×c
这个运算定律可以推广到减法与乘法，或多个数与一个数相乘。
字母表示：(a－b)×c＝a×c－b×c
(a＋b－c)×d＝a×d＋b×d－c×d
我们还可以将这个定律进行逆应用(这时就叫做提取公因数)。
字母表示：a×c＋b×c＝(a＋b)×c
a×c－b×c＝(a－b)×c
4.除法巧算。 (1)商不变的性质：如果被除数和除数同时乘或除以一个数(0除外)，它们的商不变。
字母表示：如果 a÷b＝c
那么 (a×m)÷(b×m)＝c(m≠0)
(a÷m)÷(b÷m)＝c(m≠0)
(2)除法中填括号或去括号的方法：在一个连除法或乘除混合的算式中，如果在除号的后面填括号，则后面的除号就变为乘号，乘号则变为除号；如果在除号的后面去括号，则后面的除号就变为乘号，乘号则变为除号。
字母表示：a÷b×c÷d＝a÷(b÷c×d)
a÷(b÷c×d)＝a÷b×c÷d
(3)除法中的运算技巧：两个数的和(或差)除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数(在都能整除的情况下)，再求两个商的和(或差)。
字母表示：(a＋b)÷c＝a÷c＋b÷c
(a－b)÷c＝a÷c－b÷c
上面的技巧可以扩展到多个数的和或差除以一个数，但仅限于几个数的和或差除以一个数的情况，而在一个数除以几个数的和或差的时候不允许使用此方法(见例16)。
5.带符号搬家。
这一运算技巧主要是在同级运算的巧算题中使用，也是交换律的扩展运用。是指在计算中移动数据的时候，要将数据前面的符号一同移动，这一方法一般都和结合律或填括号的方法同时使用，目的是使计算变得更容易。
字母表示：a－b＋c＋d＝(a＋d)＝(b－c)
a÷b×c×d＝(a×d)÷(b÷c)
6.基准数法。
当许多大小不同而又比较接近的数相加时，可以选择一个和这些数比较接近的整十数作为计算的基础，这个数就叫做基准数。计算时用基准数乘算式中数的个数，同时采用少加多减的方法记下每个数与基准数的差，并写在算式中，最后把基准数与数的个数的乘积同后得到的数进行运算，得到结果(详见例3)。
典例巧解
例1 375＋286＋125＋714
点拨 仔细观察算式，可以发现375＋125＝500，286＋714＝1000，因此可以将加法交换律和结合律结合在一起使用，降低计算难度。这种结合也可以说成是带符号搬家，这里需要做的就是将125和其前面的加号搬到286的前面去，然后使用结合律计算。
解 375＋286＋125＋714
＝(375＋125)＋(286＋714)
＝500＋1000
＝1500
例2 49998＋4998＋498＋48
点拨一 从算式中可以看出，每一个数都是接近整十、整百、整千、整万的数，所以这道题可以使用“拆小补大”的方法解题，也就是从最小数48里面取出前面数所需的数，使前面的数变为整百、整千、整万的数，这样便于计算。
解法一 49998＋4998＋498＋48
＝(49998＋2)＋(4998＋2)＋(498＋2)＋(48－2－2－2)
＝50000＋5000＋500＋42
＝55542
点拨二 结合算式的特点，可以采用凑整的方法解题。 解法二 49998＋4998＋498＋48
＝(49998＋2)＋(4998＋2)＋(498＋2)＋(48＋2)－2×4
＝50000＋5000＋500＋50－8
＝55542
例3 71＋69＋68＋73＋74＋70＋68
点拨 这道题的特点是数据没有规律，但所有数据都接近70，所以我们可以使用基准数法解题。把这7个数都看做70，用70×7算出乘积，然后把71，73，74中少加的数1，3，4加上，再把69和2个68中多加的数1和2个2减去。
解 71＋69＋68＋73＋74＋70＋68
＝70×7＋1＋3＋4－1－2－2
＝490＋3
＝493
例4 8897＋128－597
点拨 由于算式中8897与597的尾数相同，算式中又都是同级运算，
因此使用带符号搬家的方法解题更快捷。
解 8897＋128－597
＝8897－597＋128
＝8300＋128
＝8428
例5 986－253－347－186
点拨 由于算式中986与186的尾数相同，而253与347的尾数相加可以得到整百数，算式中又都是同级运算，因此使用带符号搬家与减法的性质相结合使解题更快捷。
解 986－253－347－186
＝(986－186)－(253＋347)
＝800－600
＝200
例6 (1)728－(28＋320) (2)1290－164－736
点拨 可利用去括号与添括号的性质，使运算简便。
(1)728－(28＋320)
＝728－28－320
＝700－320
＝380
(2)1290－164－736
＝1290－(164＋736)
＝1290－900
＝390
例7 4328－298－305
点拨 可以先把减数“转化”成整百的数，再利用“去括号”的性质进行运算，也可以直接加补或减补。
4328－298－305
＝4328－(300－2)－(300＋5)
＝4328－300＋2－300－5
＝3725
例8 巧算：25×32×63×125 点拨 用分解分组法计算比较简便。把32分解成4×8，再分别与25，125结合。
25×32×63×125
＝25×(4×8)×63×125
＝(25×4)×(125×8)×63
＝100×1000×63
＝6300000
例9 巧算：65×499
点拨 这是一道一个数乘接近整百数的算式，显然一个数乘整百数容易计算，所以把499转化成整百的数，再计算。
解 65×499
＝65×(500－1)
＝65×500－65×1
＝32500－65
＝32435
例10 巧算：13×12－26×4＋13×7
点拨 在这个算式中，可根据“积不变的规律”把26×4转化为13×8，这样就有了公因数13，可以用提取公因数的方法进行计算。
13×12－26×4＋13×7
＝13×12－13×8＋13×7
＝13×(12－8＋7)
＝13×11
＝143
例11 3456＋4365＋5643＋6534
点拨 因为3456＝3000＋400＋50＋6,4365＝4000＋300＋60＋5，以下同理，所以，比较分解后的加数不难发现：3000＋4000＋5000＋6000＝(3＋4＋5＋6)×1000，百位、十位、个位同理。因此本题可用提取公因式法进行计算。
解 3456＋4365＋5643＋6534
＝(3＋4＋5＋6)×1000＋(3＋4＋5＋6)×100＋(3＋4＋5＋6)×10＋(3＋4＋5＋6)
＝(3＋4＋5＋6)×(1000＋100＋10＋1)
＝18×1111
＝19998
例12 720×17÷18
点拨 这道题可以根据“带符合搬家”的性质，将“×17”与“÷18”互换位置，那样计算便简单了。
解 720×17÷18
＝720÷18×17
＝40×17
＝680
例13 (1)1860÷540×18
(2)1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6)
点拨 (1)这是一道乘除混合运算题，如果按顺序运算1860÷540，则不能整除。而恰好除数540是后面一个因数18的倍数，所以可以根据添括号的性质，把540和18括成一组，同时括号里面变号。
(2)按给定的顺序计算既烦又难，而且没学过分数不能计算，但应用除法的运算性
